第3章 机械手运动学(1)

xi−1
α i −1
ai −1
yi
di
xi
θi
3.3 连杆变换和运动学方程
连杆变换
T 称为连杆变换。
i −1 连杆坐标系{i}相对于{i-1}的变换 i
相当于坐标系{i}经过四个变换得到 经过四个变换得到： 连杆变换 ii −1T 相当于坐标系 经过四个变换得到： 1. 2. 3. 4. 轴旋转α 平行； 绕xi-1轴旋转 i-1角，使zi-1与zi平行； 轴移动a 在同一直线上； 沿xi-1轴移动 i-1 ，使zi-1与zi在同一直线上； 轴旋转θ 转到与x 平行； 绕zi轴旋转 i角，使xi-1转到与 i平行； 轴移动d 使连杆坐标系{i}的原点与 的原点与{i-1}的 的 沿zi轴移动 i ，使连杆坐标系 的原点与 原点重合。 原点重合。
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齐次坐标变换
齐次坐标变换的逆变换：
{A}相对于{B}的描述为： {A}相对于{B}的描述为：
R B A −1 T = A =BT 0
A B A A B RT pB = 1 0 −1
− R pB 1
A TA B
) 3 { A′′} {B} →
A′′ B R = Rot ( x ,γ
A′ A′′ R = Rot ( y , β )
A′
A′′
′ p = A′′ R A′′ p A
p = RB p
A′′ B
∴
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A
p = R R RB p
A A′
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A′ A′′
A′′ B
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基本旋转变换
A
p = R( x,θ ) p
B
zB
zA
R(x,θ ) = [?]3×3
0 0 1 R(x,θ ) = 0 cosθ −sinθ 0 sinθ cosθ B
P Bp α yB
β
θ
{A}
oA xA xB
{B}
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3.1 连杆、关节
关节与连杆： 关节与连杆：工业机器人由若干运动副和杆件 连接而成，这些杆件称为连杆 连杆， 连接而成，这些杆件称为连杆，连接相邻两个 关节。 连杆的运动副称为关节 连杆的运动副称为关节。 多自由度关节可以看成多个单自由度关节与长 度为零的连杆构成。 度为零的连杆构成。 单自由度关节分为平移关节和旋转关节。 单自由度关节分为平移关节和旋转关节。
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第二章 齐次变换与位姿描述 重点回顾
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手爪坐标系
接近矢量 a 方位矢量 o 法向矢量 n approach orientation normal
n
o
a
[ n, o, a ] 等价于 [ i B , jB , k B ]
A
Bp
xA zB
{A}
oA zA
yA xB
Bp
oB
{B}
yB
p= R p
A B B
yB xA oA xB yA
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齐次坐标变换
平移齐次坐标变换
1 0 Trans( a, b, c) = 0 0 0 0 a 1 0 b Translation transformation 0 1 c 0 0 1
A B
R = {A iB ,A jB ,A kB}
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zA
P
B
齐次变换
A
iB
p
A
p
jB
A p R = 1 0 0 0
A B
A
pBo B p 1 1
{A} kA
O
{B}
kB yA
pBo
iA
yA xC
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{B} 基座坐标系 {W} 腕坐标系 {T} 工具坐标系 {S} 工作站坐标系 {G} 目标坐标系
{T}
{W}
{G}
B S
S T、T、 L L G
{B}
{S}
G T
T
机器人控制和规划的目标
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第三章 机械手运动学
3.1 连杆、关节 3.2 连杆坐标系和D-H参数 连杆坐标系和D 3.3 连杆变换和运动学方程
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符号说明
cα c1 c12 cos α cos θ1 sα s1 sin α sin θ1 s12 sin(θHale Waihona Puke Baidu + θ 2 )
旋转齐次坐标变换
Rotation transformation
0 1 0 0 cθ − sθ Rot (x,θ ) = 0 sθ cθ 0 0 0 cθ 0 0 0 Rot ( y,θ ) = , − sθ 0 0 1 0 sθ 0 cθ − sθ sθ cθ 1 0 0 , Rot (z,θ ) = 0 0 cθ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1
cos(θ1 + θ 2 )
R (k , −θ ) = R (k , θ )
−1
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3.1 连杆、关节
关节形式
高副、 高副、低副 常 见 低 副 形 式
每个关节确定一个自由度 如果某个关节有两个运动，分解为两个单自由 如果某个关节有两个运动， 度的关节考虑。 度的关节考虑。
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基本旋转变换
0 1 0 R(x,θ ) = 0 cθ − sθ , 0 sθ cθ cθ 0 sθ R( y,θ ) = 0 1 0 , − sθ 0 cθ cθ − sθ 0 R(z,θ ) = sθ cθ 0 0 0 1
复合变换：平移和旋转构成复合变换。 复合变换：平移和旋转构成复合变换。
C C A p = BR B p = BR B p
zB zC
A
A
p = p + pC = R p + pB
C A A B B
zA
{A}
Ap
Bp Ap B
yB
{C}
A
p = R p + pB
A B B A
oB xB
{B}
yC
xA
oA
xA
jA
齐次变换矩阵
A B
R T = 0 0 0
A B
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A
pBo 1
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齐次变换矩阵的优点： 齐次变换矩阵的优点： 描述、映射、算子
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坐标变换 平移坐标变换：在坐标系{B}中的位置矢量 平移坐标变换：在坐标系 中的位置矢量Bp在
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3.1 连杆、关节
PUMA560 机械手外形图
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3.1 连杆、关节
手腕有3个自由度，分解为 个单自由度的关节 个单自由度的关节。 手腕有 个自由度，分解为3个单自由度的关节。 个自由度
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zA
位置 位姿描述
{B} =
A
iB
jB kA
O
pBo
kB yA
{
姿态
A B
R
A
pBo
}
xA
A
iA
jA
位置描述：坐标系{ 原点在{ 位置描述：坐标系{B}原点在{A}坐标系中的位置。
pBo
姿态描述：利用固定于物体的坐标系描述方位。 姿态描述：利用固定于物体的坐标系描述方位。
zi−1
zi
yi−1
xi−1
ai −1
yi
di
α i −1
xi
θi
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3.2 连杆坐标系和D-H参数
zi−1
zi
D－H参数 － 参数
yi−1
xi−1
α i −1
ai −1
yi
di
xi
θi
连杆长度a ： zi-1沿着 i-1到zi的距离； 沿着x 的距离； 连杆 连杆长度 i-1： 连杆扭转角α 的转角； 参数 连杆扭转角 i-1： zi-1绕xi-1到zi的转角； 关节偏置d 关节 关节偏置 i： 参数 关节转角θi ： 关节转角 xi-1沿着zi到xi的距离； 的距离； 沿着 xi-1绕zi到xi的转角。 的转角。
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{W}
B T
B B S T =W TTWT =S TG TTGT
{T}
G T
已知， T已知，改变
B W
T
{B}
{G} {S}
B W
B S T =S TG TTGTTWT −1
空间尺寸链
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机器人运动姿态描述 Z-Y-X欧拉(Euler)角：坐标系 欧拉(Euler)角 坐标系{A}先绕 轴旋转 ，再绕 先绕z轴旋转 欧拉 先绕 轴旋转α 新的y轴 ′ 旋转 旋转β 再绕新的x轴 ′′)旋转 旋转γ 新的 轴(y′)旋转 ，再绕新的 轴(x ′′ 旋转 ，得到最终 坐标系{B}。用三次旋转变换表示所有的姿态 表示所有的姿态。 的坐标系 。用三次旋转变换表示所有的姿态。 Z-YX欧拉角等价的旋转矩阵变换表示为： 欧拉角等价的旋转矩阵变换表示为 欧拉角等价的旋转矩阵变换表示为：
3.2 连杆坐标系和D-H参数
D－H参数 － 参数
关节既可以旋转，也可以平移。 关节既可以旋转，也可以平移。 关节偏置di：直线运动，公垂线沿轴线平移； 关节偏置 直线运动，公垂线沿轴线平移； 关节转角θ 旋转运动，公垂线绕轴线旋转。 关节转角 i ：旋转运动，公垂线绕轴线旋转。
zi−1
zi
yi−1
机器人学
Robotics
南京航空航天大学机电学院 刘凯 liukai@nuaa.edu.cn
主要参考书
熊有伦等，机器人学，机械工业出版社， 熊有伦等，机器人学，机械工业出版社，1993 熊有伦等，机器人技术基础，华中科技大学出版社， 熊有伦等，机器人技术基础，华中科技大学出版社，1996 周远清等，智能机器人系统， 周远清等，智能机器人系统，清华大学出版社 1989
A B
Rzyx (α,β,γ ) = Rot(z,α)Rot( y, β )Rot(x,γ )
Rzyx (α,β,γ ) = Rot(x,γ )Rot( y, β )Rot(z,α)
A A′ R = Rot ( z ,α )
A B
1 { A} { A′} →
A
p= R p
A A′
A′
2 { A′} { A′′} →
yA
S sin β S sin β px S cos β cos(α + θ ) S cos β cosα B B B 0 0 0 px = py 1 A p = p= sin(α B S cos β sinα B pz 0 cosθ S cos βθ 0+ θ ) B −sin A py cosθ − psinθ = z Bp p= B 1 1 B 1 py sinθ + pzcosθ 0 sinθ cosθ 0 0 0 0 1 1
yi
xi
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3.2 连杆坐标系和D-H参数
zi−1
zi
连杆坐标系的确定
yi−1
xi−1
yi
xi
zi-1坐标轴：沿着 关节的运动轴； 坐标轴：沿着i-1关节的运动轴 关节的运动轴； xi-1坐标轴：沿着 i-1和zi的公法线，指向下一个关 坐标轴：沿着z 的公法线， 节的方向； 节的方向； yi-1坐标轴：按右手直角坐标系法则确定。 坐标轴：按右手直角坐标系法则确定。
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3.2 连杆坐标系和D-H参数
连杆描述
关节i 关节
i-1 i-1 i
关节i-1 关节
靠 基 座
靠 手 爪
3.2 连杆坐标系和D-H参数
连杆坐标系的确定
zi zi
i-1 zz i−1 1 i− i-1
i
yi−1
xi−1
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3.2 连杆坐标系和D-H参数
连杆参数
zi−1
zi
yi−1
xi−1
yi
xi
连杆参数又称为Denavit-Hartenberg(D-H)参数 连杆参数又称为Denavit-Hartenberg(D-H)参数
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3.2 连杆坐标系和D-H参数
D－H参数 － 参数
坐标系{A}中的表示可由矢量相加获得。 坐标系 中的表示可由矢量相加获得。 中的表示可由矢量相加获得
A
p = B p + A pB
zB zA
{A}
Ap Ap B
旋转坐标变换： 旋转坐标变换：
坐标系{B}与坐标系 原点 坐标系 与坐标系{A}原点 与坐标系 相同，则p点在两个坐标系中 相同， 的描述具有下列关系： 的描述具有下列关系：