静电学-环路定理电势能电势
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电势电势梯度
§ 5-4
静电场的环路定理
当带电体在静电场中移动时，静电场力对带电体要作 功，这说明静电场具有能量。
一、静电场力的功
d A = F . d l = q E .dl b r rb = q E .dl cosφ dl qq φ φ q = q E .dr = 4 r 2d r π ε ra q E q q rb d r qq 1 1 a A= 2 = r r 4π 4 π ra r b ε a ε
§5-5
等势面 电场强度与电势梯度的关系
注：相邻等势面之间的电势差相等。
一.等势面：在静电场中，电势相等的点所组成的面。
等势面的性质： （2）等势面与电场线处处正交 （3）电场线指向电势降低的方向 （4）等势面和电场线密集 处场强量值大，稀疏处场强 量值小
（1）在静电场中，沿等势面移动电荷时，电场力作功为零
=
q 4πε
o
[
x (x + R )
2 2 3 2
]
V dV
B2
n
B3
dn φ
B1
dV E dn
V
dl
II I
E
dV E dn
负号表示E与n的方向相反，正是E的方向
dV E n gradV dn
电场中各点的场强等于各点的电势 梯度矢量的
负值。
任一方向的电场强度的分量：
V dV
B3 II dn φ
B2
n
1. 点电荷的电势 Vp =
p
E .dl =
8
q 4 πε 0 r
2
8
p
d r cos 0
0
q 1 1 4o r r a
静电场的环路定理
当带电体在静电场中移动时，静电场力对带电体要作 功，这说明静电场具有能量。
一、静电场力的功
d A = F . d l = q E .dl b r rb = q E .dl cosφ dl qq φ φ q = q E .dr = 4 r 2d r π ε ra q E q q rb d r qq 1 1 a A= 2 = r r 4π 4 π ra r b ε a ε
§5-5
等势面 电场强度与电势梯度的关系
注：相邻等势面之间的电势差相等。
一.等势面：在静电场中，电势相等的点所组成的面。
等势面的性质： （2）等势面与电场线处处正交 （3）电场线指向电势降低的方向 （4）等势面和电场线密集 处场强量值大，稀疏处场强 量值小
（1）在静电场中，沿等势面移动电荷时，电场力作功为零
=
q 4πε
o
[
x (x + R )
2 2 3 2
]
V dV
B2
n
B3
dn φ
B1
dV E dn
V
dl
II I
E
dV E dn
负号表示E与n的方向相反，正是E的方向
dV E n gradV dn
电场中各点的场强等于各点的电势 梯度矢量的
负值。
任一方向的电场强度的分量：
V dV
B3 II dn φ
B2
n
1. 点电荷的电势 Vp =
p
E .dl =
8
q 4 πε 0 r
2
8
p
d r cos 0
0
q 1 1 4o r r a
静电场环路定理
视dq为点电荷 dq
dU
4 0
dq U dU
Q 4 0r
4、电势迭加原理
r
L
s
V
dl
4 0r dS
4 0r dV
4 0r
dq
r P
Q
电场中任意一点的电势，等于各带电体单独存在
时在该点产生的电势的代数和
n
U ui
i 1
U
P
P
E
P
dl
E
dl
E
r
dr
பைடு நூலகம் q
4 0
1 r r2
dr
1
4 0
q r
例2 、求电偶极子电场中任一点P的电势
由叠加原理
Y
uP
u1
u2
q
4 0r1
q
4 0r2
q(r2 r1 )
4 0r1r2
P( x, y)
r l r2 r1 l cos
28.8 102V
q1
q2
O
r
q4
q3
②将 q0 1.0 109 c 从 0 电场力所作的功
A0 q0 (u u0 ) q0 (0 28.8 102 ) 28.8 107 J
③求该过程中电势能的改变
A0 W W0 28.8 107 0 电势能
x2
u
q
qx
E 4 0 ( x 2 R2 )32
qxdx
Edx
xp
静电场的环路定理 电势
· · a O
2
均匀带电球体内、外的场强： E内 r 3 0 均匀带电球体内某点的电势
2 腔内电势: U ( r ) U 1 U 2 [( 3 R12 r 2 ) ( 3 R2 r 2 )] 6 0
对O2点，r a, r 0
U r
(2) 点电荷系的电势
qi UA i 4 π ε0 ri
推广：
E Ei
A
U Ui
i
r1
q1
r2 ri
qi
rN
qN
电势叠加原理 （标量叠加）
q2
§3-1-4 静电场的环路定理 电势
(3) 有限连续带电体
【方法一】微元分割＋积分法
Q
dq
e
带电体
r
A
UA ? dU 4 0 r
但在工程技术中，取大地、仪器外壳等为电势零点； （2）电场的电势分布确定后，电场力做功
W AB q0 (U A U B )
§3-1-4 静电场的环路定理 电势
2、电势的计算 (1) 点电荷的电势
q
+
A
积分至无穷远
r
E
q U (r ) 4πε0 r
§3-1-4 静电场的环路定理 电势
3 解：取如图所示C点(0,3R/2) 0, R r 2 根据对称性 U B U C O A x C 补上下半球面成为完整球面后 y B Q R U A 4 0 R 0 R U U UC AC A 3 0 Q 2R UC 4 0 ( 3 R / 2) 3 0 1 R 再由根据对称性 U AB U AC U AC 2 6 0
09-4静电场的环路定理和电势
P
r0
2 π 0r
dr
r
o VA 0 P r r0
2 π0
ln
r0 r
r
关于静电场的实验定律和定理的关系： 静电场 静止电荷
库仑定律
F12 q1q 2 4 π 0 r12
2
激发
高斯定理
e 12
1 E dS
S
0 （ S 内）
qi
平方反比律
-15
J C
1.6 10
-19
5 10 V
4
计算一个电子伏特（eV）的能量
一个电子在电场中经过电势差为1V的两点时，电 场力对它做的功
W qU
1.60 10
19
C 1V 1.60 10
19
J
一个电子伏特的能量
电子伏特是近代物理学中能量单位，虽然它也出现 “伏特”这个名称，但它并非电压的单位，而是能量 的单位
A B
A
AB两点之间的电势差等于场强由A点到B点的线积分
把电荷q从A点移动到B点，电场力做的功 B B WAB qE dl q E dl qU AB
A A
Wba 8 10
15
J
Wab qU ab q(Va Vb )
Vb 8 10
在负电荷形成的电场中，任 一点的电势均为负，且离点 电荷越远的点，电势越高
A A2 A3 1
点电荷系电场的电势 V A E dl
A
q1
q2 r2
r1
E3
场强的叠加原理
r0
2 π 0r
dr
r
o VA 0 P r r0
2 π0
ln
r0 r
r
关于静电场的实验定律和定理的关系： 静电场 静止电荷
库仑定律
F12 q1q 2 4 π 0 r12
2
激发
高斯定理
e 12
1 E dS
S
0 （ S 内）
qi
平方反比律
-15
J C
1.6 10
-19
5 10 V
4
计算一个电子伏特（eV）的能量
一个电子在电场中经过电势差为1V的两点时，电 场力对它做的功
W qU
1.60 10
19
C 1V 1.60 10
19
J
一个电子伏特的能量
电子伏特是近代物理学中能量单位，虽然它也出现 “伏特”这个名称，但它并非电压的单位，而是能量 的单位
A B
A
AB两点之间的电势差等于场强由A点到B点的线积分
把电荷q从A点移动到B点，电场力做的功 B B WAB qE dl q E dl qU AB
A A
Wba 8 10
15
J
Wab qU ab q(Va Vb )
Vb 8 10
在负电荷形成的电场中，任 一点的电势均为负，且离点 电荷越远的点，电势越高
A A2 A3 1
点电荷系电场的电势 V A E dl
A
q1
q2 r2
r1
E3
场强的叠加原理
第10章静电学-3-静电场环路定理
+q
11
(2)电荷分布如图所示, 将点电荷qo从a 经半圆b移到c的 过程中, 电场力对qo的功？
解 Aac qo (Ua Uc )
b
Ua
q
4o R
q
4o R
0
-q
a
+q R
o
c
Uc
q
4 o (3 R)
q
4o R
R
R
q
6o R
Aac
qqo
6o R
12
例10-14 一均匀带电直线段，长为L，电量为q ;取无穷远为电 势零点，求直线延长线上离一端距离为d 的P点的电势。
9
③对于电荷连续分布的带电体，可将其分割为无数多电荷元
dq，每个电荷元dq当作点电荷，其电势为
dU dq 4πε0r
根据电势叠加原理
U
V
dq
4 0r
dl dq dS
dV
积分遍及整个带电体，V是带电体的体积。
电势叠加原理也可以计算多个带电体所产生电场的总电 势，总电势应等于各带电体所产生电场的电势的代数和。
(3)电势差：
b
Uab Ua Ub E dl
a
静电场中a、b两点的电势差等于将单位正电荷由a沿任意路 径移至b过程中电场力做的功。
电势差是绝对量，与电势零点的选择无关。
6
由Wa
q
零势点 E
a
dl ,
得 Wa qUa
由Aab
q
b
E dl
a
Wa Wb ,
得 Aab q(Ua Ub )
(3)等于场强从该点沿任意路径到零势点的线积分。
说明：
(1)电势是相对量，要确定场中各点的电势必须选定电势零点。
09-4静电场的环路定理和电势
电子伏特是近代物理学中能量单位
19
19
J
一个电子伏特的能量
9.4 静电场的环路定理和电势
9.4.3 电势的计算
一、点电荷q的电场中任一场点的电势
无穷远处为电势零点
V ( P)
P
E dl E dr P Edr P
q q dr 2 r 4 πε r 4πε 0 r 0
电场指向电势降落方向
沿电场线方向移动正电荷，电场力做正功， 正电荷的电势能减少，故电势减小。
9.4 静电场的环路定理和电势
我们的心脏附近 的等电势线（类似于 电偶极子）
9.4 静电场的环路定理和电势
电势差
9.5.2 电场强度与电势梯度 E
U AB VA VB V
U AB E l El cos
9.4 静电场的环路定理和电势
电势是相对的，电势差是绝对的
电势差 U V V PQ P Q
单位：1V＝1J/C
P
Q
E dl
二、电势零点 1、电荷只分布在有限区域时，电势零点通常选在无 穷远处。 VP E dl 设Q点在无限远，VQ=0
P
2、 电荷分布延伸到无限远；可选取场中任一点， 合理选择电势零点可使问题简化。
y
P( x, y)
p cos V 4 π 0 r 2
在图示的Oxy坐标系中
q
r
O
r
r
q
r x y
2 2
2
l
x
cos
x x2 y 2
px V 2 2 3/ 2 4 π 0 ( x y )
9.4 静电场的环路定理和电势
19
19
J
一个电子伏特的能量
9.4 静电场的环路定理和电势
9.4.3 电势的计算
一、点电荷q的电场中任一场点的电势
无穷远处为电势零点
V ( P)
P
E dl E dr P Edr P
q q dr 2 r 4 πε r 4πε 0 r 0
电场指向电势降落方向
沿电场线方向移动正电荷，电场力做正功， 正电荷的电势能减少，故电势减小。
9.4 静电场的环路定理和电势
我们的心脏附近 的等电势线（类似于 电偶极子）
9.4 静电场的环路定理和电势
电势差
9.5.2 电场强度与电势梯度 E
U AB VA VB V
U AB E l El cos
9.4 静电场的环路定理和电势
电势是相对的，电势差是绝对的
电势差 U V V PQ P Q
单位：1V＝1J/C
P
Q
E dl
二、电势零点 1、电荷只分布在有限区域时，电势零点通常选在无 穷远处。 VP E dl 设Q点在无限远，VQ=0
P
2、 电荷分布延伸到无限远；可选取场中任一点， 合理选择电势零点可使问题简化。
y
P( x, y)
p cos V 4 π 0 r 2
在图示的Oxy坐标系中
q
r
O
r
r
q
r x y
2 2
2
l
x
cos
x x2 y 2
px V 2 2 3/ 2 4 π 0 ( x y )
9.4 静电场的环路定理和电势
物理静电学3
r dr dr E
1 .点电荷的场中电场力做的功： q q
r
q0
b
dW q0E dr q0Edr q0 40r2 dr
W
b
dW
a
b a
q0q
4 0 r
2
dr
q
q0q ( 1 1 )
rb
ra
a
q0
dr
4 0 ra rb
做功与路径无关
2. 任意静电场中电场力做的功：
b
b
Wab a q0E dl q0 a (E1 E2 En ) dl
2、利用电势定义
电势零点
V
E dl
任一位置
3、利用电场力做功（电势差）
U ab
Wab q0
例：已知某空间的电势函数V=x2+2xy，求(1)电场强度 函数；(2)坐标(2,2,3)点的电势及其与原点的电势差。
Ex
V x
2(x y)
Ey
V y
2x
E Exi Ey j 2(x y)i 2xj
若仍然选取无穷远为电势零点，则由积分可知各点电势将为 无限大而失去意义。此时，我们可以选取某一距带电直导线
p 为 r0的 p0 点为电势零点，则距带电直线为r 的 点的电势：
p'
p0
p0
V E dl E dl 0
dr
p
p'
p' 20r
rp
20 ln r 20 ln r0 20 ln r C
即 V (x, y, z) C的空间曲面称为等势面。
等势面的性质：
除电场强度为零处外，电场线与等势面正交。
证明： dWMN E dl Edl cos 0
【大学物理】静电场的环路定理 电势 等势面 电势梯度
r r r r－ r l cos
r
r
r+
q l
q+
3. 连续分布电荷电场中的电势 利用电势叠加原理：
dV
dq
dq VP 4 π 0 r
r
P
使用此公式的前提条件为有限大带电体且选无限远 处为电势零点；积分是对整个带电体的积分。 E 利用电势定义式： dl “ 0 ” P
qr E1 3 4 π 0 R
r
q E2 2 4 π 0 r
V1 E1dr E 2 dr
r R
R
q R
R
r
qr q dr dr 3 2 R 4 π r 4 π 0 R 0
2
q q q (3 R r ) 2 2 (R r ) 3 8 π 0 R 4 π 0 R 8 π 0 R
与路径无关
a
dr
任意带电体系产生的电场
任意带电体系都可以看成电荷系 q1、q2、…，移动q0， 静电力所作功为: b b q E •b dr W F dr 0
ab
q0 a• q0 ( E1 E 2 E n ) dr a( L) n b q 0 E i d r ＝ qi q0 ( 1 1 ) a( L) i 1 rbi i 4 0 rai
注意：
• 电势能的零点可以任意选取，但是在习惯上， 当场源电荷为有限带电体时，通常把电势能的零 点选取在无穷远处。 这时，空间a点的电势能：
E pa
a
q0 E dl
• 电势能为电场和位于电场中的电荷这个系统所 共有。
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P
Q
q0在 P点 的电势能 q0在 Q点 的电势能
WP q0 E d l q0 E d l
P P0
P0
P
电势能减小量
WQ q0 E d l q0 E d l
Q P0
P0
Q
P0 是电势能0点， 电势能等于把电荷从该点移动到电势0点处电场所作功
或，电势能等于把电荷从电势能0点移到该点外力所作功
静电势方程: Poisson Equation
E U
E
电场旋度为0, 有心力场的直接结果.
0
高斯定理:平方反比的直接结果
(U ) 0
电荷为0的地方:
U Poisson Equation 0
2
2U 0 Laplace Equation
有关电势的讨论
电势与场强一样是一个描述场本身性质的物理量，与试探 电荷无关，是标量,是电场理论中的一个重要物理量。 电场线的方向总是由高电势指向低电势 在实际问题中，常取大地或无限远处的电势为零。电势能 的零点是可以任意选取的，改变零点的位置，各点的电势 能和电势的数值将随之变化，但都改变一个相同量，以至 不会影响两点间的电势能差和电势差。 问题
• 把电荷从无穷远处移到该点外力克服电场力所做 的功= 把电荷从改点移到无穷远处 (外力对电场做工)
WP q0 E d l q0 E d l
P
P
电势能的差
电场力 的功
静电场与 q0有能量交换
APQ q0 E d l WPQ (WQ WP )
Q P0
P0
Q
P0 是电势能0点， 电势能等于把电荷从该点移动到电势0点处电场所作功
或，电势能等于把电荷从电势能0点移到该点外力所作功
• 可以与重力做功类比
– 电场力做正功，电势能将减少 – 电场力做负功，电势能将增加
电势的定义
从中扣除q0,即引入电势
P WP U P E d l P0 q0
电场的环量
电场的环量
A E dl
L
电场的环量的物理意义：
Aq Aq q E dl F dl A q L L
它说明静电场的环量表示静电场对沿该闭合路径 移动的单位正电荷所作的功。
电场的环量
• 单个点电荷产生的场
– 把单位电荷从P移到Q E
如弹性力 f kr 也有类似性质/ 还有重力 F Mg
哪些力具有做功与路径无关这种性质？ 引力 引力势能 如何定义/衡量势能? 重力 重力势能 外力做功的多少, 弹性力 弹性势能 在这个过程中场所获得的能量多 少 静电力 静电势能
他们都是有心保守力
电势能的定义
• 势能产生的原因 (外力做功,静场,那能量哪里去了,什么东 西变化消耗了能量), 代表场潜在的做功的能力. (场里的能 量, 以重力场为例, 场物质的形变, 以弹簧为例,势能的绝对 大小没有实际意义) 物质组成: 物体+场; 场力对外做功, 势能减小, 反之增加.
电势能的差
电场力 的功
静电场与 q0有能量交换
APQ q0 E d l WPQ (WQ WP )
P
Q
q0在 P点 的电势能 q0在 Q点 的电势能
WP q0 E d l q0 E d l
P P0
P0
P
电势能减小量
WQ q0 E d l q0 E d l
静电场的总结(2): 三个基本量的关系
静电学: 库仑定律+叠加原理
U
E
电势能的定义
• 势能产生的原因 (外力做功,静场,那能量哪 里去了,什么东西变化消耗了能量), 场潜在 的做功的能力. (场里的能量, 以重力场为例, 场物质的形变, 一弹簧为例)
• 把电荷从无穷远处移到该点外力克服电场 力所做的功= 把电荷从改点移到无穷远处 P0 P ) (外力对电场做工 WP q0 E d l q0 E d l
• 把电荷从无穷远处移到该点外力克服电场力所做 的功= 把电荷从改点移到无穷远处 (外力对电场做工)
WP q0 E d l q0
P
P0
E dl
电势能的定义
• 势能产生的原因 (外力做功,静场,那能量哪里去了,什么东 西变化消耗了能量), 代表场潜在的做功的能力. (场里的能 量, 以重力场为例, 场物质的形变, 以弹簧为例,势能的绝对 大小没有实际意义) 物质组成: 物体+场; 场力对外做功, 势能减小, 反之增加.
•在材料/器件模拟中, 我们求解Poisson Equation(Poisson Solver), 得到电势,来得到体 系电荷的总能. •方法的变化: 1:从力出发来求解体系的状态2:把能量作为出发点来求解体系 两者等价, 但后者往往更加方便,因为前者是矢量运算,后者是标量运算.
静电场的总结(1): 基本定律
• 闭合面外的电荷虽然对通量没有贡献，但并不 意味着不影响闭合面上的电场，高斯面上的场 强是空间所有带电体所产生的 • 高斯定理是静电场的一条重要的定理，有其重 要的理论地位，是静电场基本方程之一 ，它 是由库仑定律导出的， 反映了电力平方反比 律 ，如果电力平方反比律不满足，则高斯定 理也不成立。
每项均与路径无关，只与位置有关
静电场力做功只与起点终点有关，与路径无关
静电场的环路定理（积分形式）
在任意电场中取一闭合回路，沿路径L 从 PQP，电场力所做的功为
W E dl E dl E dl
L P ( L1 ) Q ( L2 ) Q P
E dl E dl 0
APQ E d l E cosdl
P P
Q
Q
Edr
P
Q
rQ
rP
q Edr 4 0
rQ rP
dr rP r 2
rQ
APQ
q 4 0
dr q 1 1 r 2 4 0 r r p Q
静电场力做功只与起点终点有关，与路径无关
与q0的大小无关，只和位置有关系 (类似电场强度， 是场的一种特性)
• 为了确定某点的值，还需要选择零点 • 一般选择无穷远为势能零点。
U ( p) E d l E d l
P
P
P点电势值公式
有关电势的讨论
电势与场强一样是一个描述场本身性质的物理量，与试探 电荷无关，是标量,是电场理论中的一个重要物理量。 电场线的方向总是由高电势指向低电势 在实际问题中，常取大地或无限远处的电势为零。电势能 的零点是可以任意选取的，改变零点的位置，各点的电势 能和电势的数值将随之变化，但都改变一个相同量，以至 不会影响两点间的电势能差和电势差。 问题
1 E dS
S
0
q
S内
E
0
大家喜欢标量函数的运算. 简化计算. 探索更加简单的 方法
矢量运算, 多维微分或积分
高斯定理说明
• 闭合面内的电荷决定通过闭合面的电通量,只 要 S内电荷不为零 ，则通量不为零——有源
– 正电荷 —— 喷泉形成的流速场—— 源 – 负电荷 —— 有漏洞水池中的流速场——漏
• 静电力是有心力，但高斯定理只给出了源和通 量的关系，并没有反映静电场是有心力场这一 特性，它只反映静电场性质的一个侧面（下一 节还要讲另一个定理——环路定理）
– 一般不能直接说高斯定理与库仑定律完全等价 – 若不添加附加条件（如场的对称性等），无法从高 斯定理导出库仑定理 – 电力平方反比律 ——Gauss定理 – 电荷间的作用力是有心力 ——Stokes定理
U ( p) E d l E d l
P
P
P点电势值公式
电势的一般表达式
U (r ) E d l P
q1 (r ) d l 3 4 0 P r
1
q1 r cos( )dl 3 4 0 P r
1
q1 dr 2 4 0 P r
q r E 3 0 4 0 r
直接推导：可以从一个点电荷产生的场的旋度和叠加原理来获得一般 场的旋度为0的结论 q r E 4 0 r 3
静电场的环路定理(讨论)
• 环路定理表明，静电场是一个无旋场，静电场不会有闭合的电场线。 • 在证明Gauss定理中，说电力必须与r2成反比，由环路定理的证明过程可 以看出，它不要求库仑定律是严格的平方反比。
选无穷远为零点？选地为零点即地和无穷远等电势吗？
q0 4 0
q2 q2 qn qn q q 1 1 r r r r r r p 1 Q 1 p 2 Q 2 pn Qn
P 到 q1 的距离
Q 到 q1 的 距离
电场的环量
• 点电荷组产生的场
APQ
q1 , q2 ,, qn E E1 E2 En Q Q E dl E dl P P Q Q Q E1 dl E2 dl En dl P P P
• 电场力做正功，电势能将减少; 电场力做负功，电势能将增加
U U dl E dl
由于位移矢量的任意性:
E U
• 将电场强度矢量和静电势标量直接联系起来了. • 可以将复杂的3维矢量问题约化为一个标量问题. 为电场强度的求解 提供了第3种方法 (1,直接求解, 2,高斯定理). • 这个关系是电场是有心保守力场的直接结果, 与平方反比关系无关.
Q
q0在 P点 的电势能 q0在 Q点 的电势能
WP q0 E d l q0 E d l
P P0
P0
P
电势能减小量
WQ q0 E d l q0 E d l
Q P0
P0
Q
P0 是电势能0点， 电势能等于把电荷从该点移动到电势0点处电场所作功
或，电势能等于把电荷从电势能0点移到该点外力所作功
静电势方程: Poisson Equation
E U
E
电场旋度为0, 有心力场的直接结果.
0
高斯定理:平方反比的直接结果
(U ) 0
电荷为0的地方:
U Poisson Equation 0
2
2U 0 Laplace Equation
有关电势的讨论
电势与场强一样是一个描述场本身性质的物理量，与试探 电荷无关，是标量,是电场理论中的一个重要物理量。 电场线的方向总是由高电势指向低电势 在实际问题中，常取大地或无限远处的电势为零。电势能 的零点是可以任意选取的，改变零点的位置，各点的电势 能和电势的数值将随之变化，但都改变一个相同量，以至 不会影响两点间的电势能差和电势差。 问题
• 把电荷从无穷远处移到该点外力克服电场力所做 的功= 把电荷从改点移到无穷远处 (外力对电场做工)
WP q0 E d l q0 E d l
P
P
电势能的差
电场力 的功
静电场与 q0有能量交换
APQ q0 E d l WPQ (WQ WP )
Q P0
P0
Q
P0 是电势能0点， 电势能等于把电荷从该点移动到电势0点处电场所作功
或，电势能等于把电荷从电势能0点移到该点外力所作功
• 可以与重力做功类比
– 电场力做正功，电势能将减少 – 电场力做负功，电势能将增加
电势的定义
从中扣除q0,即引入电势
P WP U P E d l P0 q0
电场的环量
电场的环量
A E dl
L
电场的环量的物理意义：
Aq Aq q E dl F dl A q L L
它说明静电场的环量表示静电场对沿该闭合路径 移动的单位正电荷所作的功。
电场的环量
• 单个点电荷产生的场
– 把单位电荷从P移到Q E
如弹性力 f kr 也有类似性质/ 还有重力 F Mg
哪些力具有做功与路径无关这种性质？ 引力 引力势能 如何定义/衡量势能? 重力 重力势能 外力做功的多少, 弹性力 弹性势能 在这个过程中场所获得的能量多 少 静电力 静电势能
他们都是有心保守力
电势能的定义
• 势能产生的原因 (外力做功,静场,那能量哪里去了,什么东 西变化消耗了能量), 代表场潜在的做功的能力. (场里的能 量, 以重力场为例, 场物质的形变, 以弹簧为例,势能的绝对 大小没有实际意义) 物质组成: 物体+场; 场力对外做功, 势能减小, 反之增加.
电势能的差
电场力 的功
静电场与 q0有能量交换
APQ q0 E d l WPQ (WQ WP )
P
Q
q0在 P点 的电势能 q0在 Q点 的电势能
WP q0 E d l q0 E d l
P P0
P0
P
电势能减小量
WQ q0 E d l q0 E d l
静电场的总结(2): 三个基本量的关系
静电学: 库仑定律+叠加原理
U
E
电势能的定义
• 势能产生的原因 (外力做功,静场,那能量哪 里去了,什么东西变化消耗了能量), 场潜在 的做功的能力. (场里的能量, 以重力场为例, 场物质的形变, 一弹簧为例)
• 把电荷从无穷远处移到该点外力克服电场 力所做的功= 把电荷从改点移到无穷远处 P0 P ) (外力对电场做工 WP q0 E d l q0 E d l
• 把电荷从无穷远处移到该点外力克服电场力所做 的功= 把电荷从改点移到无穷远处 (外力对电场做工)
WP q0 E d l q0
P
P0
E dl
电势能的定义
• 势能产生的原因 (外力做功,静场,那能量哪里去了,什么东 西变化消耗了能量), 代表场潜在的做功的能力. (场里的能 量, 以重力场为例, 场物质的形变, 以弹簧为例,势能的绝对 大小没有实际意义) 物质组成: 物体+场; 场力对外做功, 势能减小, 反之增加.
•在材料/器件模拟中, 我们求解Poisson Equation(Poisson Solver), 得到电势,来得到体 系电荷的总能. •方法的变化: 1:从力出发来求解体系的状态2:把能量作为出发点来求解体系 两者等价, 但后者往往更加方便,因为前者是矢量运算,后者是标量运算.
静电场的总结(1): 基本定律
• 闭合面外的电荷虽然对通量没有贡献，但并不 意味着不影响闭合面上的电场，高斯面上的场 强是空间所有带电体所产生的 • 高斯定理是静电场的一条重要的定理，有其重 要的理论地位，是静电场基本方程之一 ，它 是由库仑定律导出的， 反映了电力平方反比 律 ，如果电力平方反比律不满足，则高斯定 理也不成立。
每项均与路径无关，只与位置有关
静电场力做功只与起点终点有关，与路径无关
静电场的环路定理（积分形式）
在任意电场中取一闭合回路，沿路径L 从 PQP，电场力所做的功为
W E dl E dl E dl
L P ( L1 ) Q ( L2 ) Q P
E dl E dl 0
APQ E d l E cosdl
P P
Q
Q
Edr
P
Q
rQ
rP
q Edr 4 0
rQ rP
dr rP r 2
rQ
APQ
q 4 0
dr q 1 1 r 2 4 0 r r p Q
静电场力做功只与起点终点有关，与路径无关
与q0的大小无关，只和位置有关系 (类似电场强度， 是场的一种特性)
• 为了确定某点的值，还需要选择零点 • 一般选择无穷远为势能零点。
U ( p) E d l E d l
P
P
P点电势值公式
有关电势的讨论
电势与场强一样是一个描述场本身性质的物理量，与试探 电荷无关，是标量,是电场理论中的一个重要物理量。 电场线的方向总是由高电势指向低电势 在实际问题中，常取大地或无限远处的电势为零。电势能 的零点是可以任意选取的，改变零点的位置，各点的电势 能和电势的数值将随之变化，但都改变一个相同量，以至 不会影响两点间的电势能差和电势差。 问题
1 E dS
S
0
q
S内
E
0
大家喜欢标量函数的运算. 简化计算. 探索更加简单的 方法
矢量运算, 多维微分或积分
高斯定理说明
• 闭合面内的电荷决定通过闭合面的电通量,只 要 S内电荷不为零 ，则通量不为零——有源
– 正电荷 —— 喷泉形成的流速场—— 源 – 负电荷 —— 有漏洞水池中的流速场——漏
• 静电力是有心力，但高斯定理只给出了源和通 量的关系，并没有反映静电场是有心力场这一 特性，它只反映静电场性质的一个侧面（下一 节还要讲另一个定理——环路定理）
– 一般不能直接说高斯定理与库仑定律完全等价 – 若不添加附加条件（如场的对称性等），无法从高 斯定理导出库仑定理 – 电力平方反比律 ——Gauss定理 – 电荷间的作用力是有心力 ——Stokes定理
U ( p) E d l E d l
P
P
P点电势值公式
电势的一般表达式
U (r ) E d l P
q1 (r ) d l 3 4 0 P r
1
q1 r cos( )dl 3 4 0 P r
1
q1 dr 2 4 0 P r
q r E 3 0 4 0 r
直接推导：可以从一个点电荷产生的场的旋度和叠加原理来获得一般 场的旋度为0的结论 q r E 4 0 r 3
静电场的环路定理(讨论)
• 环路定理表明，静电场是一个无旋场，静电场不会有闭合的电场线。 • 在证明Gauss定理中，说电力必须与r2成反比，由环路定理的证明过程可 以看出，它不要求库仑定律是严格的平方反比。
选无穷远为零点？选地为零点即地和无穷远等电势吗？
q0 4 0
q2 q2 qn qn q q 1 1 r r r r r r p 1 Q 1 p 2 Q 2 pn Qn
P 到 q1 的距离
Q 到 q1 的 距离
电场的环量
• 点电荷组产生的场
APQ
q1 , q2 ,, qn E E1 E2 En Q Q E dl E dl P P Q Q Q E1 dl E2 dl En dl P P P
• 电场力做正功，电势能将减少; 电场力做负功，电势能将增加
U U dl E dl
由于位移矢量的任意性:
E U
• 将电场强度矢量和静电势标量直接联系起来了. • 可以将复杂的3维矢量问题约化为一个标量问题. 为电场强度的求解 提供了第3种方法 (1,直接求解, 2,高斯定理). • 这个关系是电场是有心保守力场的直接结果, 与平方反比关系无关.