数学物理方法第5章傅里叶变换-2016
合集下载
数学物理方法 复变函数 第五章 傅立叶变换
从物理上看 , 显然有 ∞
∫
ρ (x) d x = m......(4)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
也即
-∞
∫
∞
-∞
lim ρ l (x) d x = m
l→ 0
由 (3) 、（ 4）可以看出质点线密度
分布函数的直观图像。
它在
x ≠ 0时 , 为 0; 在 x = 0时，为 ∞ 。它的积分值为 m. 也即由 (3) 、 共 (4) 同来描述。
因此 , 在 Dirac 首次引入 δ 函数时，曾遭到许多数 学家的非难 但它在近代物理学中有 许多重要的应用 , 它可以用来描述物 理学中的一切点量 (点质量 \ 点电荷 \ 瞬时源 )且物理图象清 晰 .这样迫使数学家对 δ 函数的性质等进行研究 和解释 .
下一页 上一页 返回
第5章
傅里叶变换(Fourier transforms)
-∞
第5章
傅里叶变换(Fourier transforms)
第5节 δ函数
五 δ函数的性质
2 δ 函数具有挑选性
若 a = 0, 则有
这 一 性 质 表 明 , 虽 然 δ (x) 是 广 义 函 数 ， 但 它 和 任 何 连 续 函 数 的 乘 积 在 （ － ∞， ＋ ∞） 内 的 积 分 都 有 明 确 的 意 义 。 这 使 得 它在近代物理和工程技术中有广泛的应用。
..........
...(1)
下一页 上一页 返回
第5章
傅里叶变换(Fourier transforms)
第5节 δ函数
引入δ 一 引入δ函数的物理背景
注意 rect() 的写法 : 即保证 rect() 中的量的绝对值 >
∫
ρ (x) d x = m......(4)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
也即
-∞
∫
∞
-∞
lim ρ l (x) d x = m
l→ 0
由 (3) 、（ 4）可以看出质点线密度
分布函数的直观图像。
它在
x ≠ 0时 , 为 0; 在 x = 0时，为 ∞ 。它的积分值为 m. 也即由 (3) 、 共 (4) 同来描述。
因此 , 在 Dirac 首次引入 δ 函数时，曾遭到许多数 学家的非难 但它在近代物理学中有 许多重要的应用 , 它可以用来描述物 理学中的一切点量 (点质量 \ 点电荷 \ 瞬时源 )且物理图象清 晰 .这样迫使数学家对 δ 函数的性质等进行研究 和解释 .
下一页 上一页 返回
第5章
傅里叶变换(Fourier transforms)
-∞
第5章
傅里叶变换(Fourier transforms)
第5节 δ函数
五 δ函数的性质
2 δ 函数具有挑选性
若 a = 0, 则有
这 一 性 质 表 明 , 虽 然 δ (x) 是 广 义 函 数 ， 但 它 和 任 何 连 续 函 数 的 乘 积 在 （ － ∞， ＋ ∞） 内 的 积 分 都 有 明 确 的 意 义 。 这 使 得 它在近代物理和工程技术中有广泛的应用。
..........
...(1)
下一页 上一页 返回
第5章
傅里叶变换(Fourier transforms)
第5节 δ函数
引入δ 一 引入δ函数的物理背景
注意 rect() 的写法 : 即保证 rect() 中的量的绝对值 >
傅里叶变换
r x2 y2
无吸收、反射能量损耗
P′
透镜将平面波变成球面波
(x,y)
a( x, y ) A2 / A1 1 ~ TL ( x, y ) exp[ i L ( x, y )]
透镜相位 变换函数
t1
L
Q
t2 t
T ( x, y) e
L′ Q′
iL ( x , y )
e
长大的，衍射角大，谱线距0级较远；
同样对于二级光谱而言，也有同样的情况。但可 能造成二级光谱与一级光谱的重叠，而且具有最 大强度的光处于0级（为未分开的白光）！
二. 任意光栅的屏函数及其傅里叶级数展开 严格空间周期性函数的衍射屏 (透射式或反射式) 光栅 一 维 衍 射 屏
周期性 T ( x d ) T ( x)
2 2
远离中心的Q 点相位延迟
结论：在傍轴条件下理想薄透镜的相位变换函数具有 纯二次型的相位因子。
例 设入射平面波振幅为A，并将L平面处相位取作零， 则经透镜后出射光波的复振幅为：
ik ( x y ) ~ ~ EL AT ( x, y) A exp[ ] 2f'
2 2
讨 论 (1) 会聚透镜 f 0 表示中心在光轴上距透镜为 f 处会聚球面波 (2) 发散透镜 f 0 表示中心在光轴上距透镜 f 处的发散球面波
频谱分析:周期性振动具有离散谱。 这种将任一振动分解为简谐振动的 方法称为频谱分析。 非周期函数的频谱分析与付里叶变换
任一非周期函数也都可表示为简谐函数的合成：
F (t ) A( ) costd B( ) sintd
0
F (t )
1 2
数学物理方法 第五章 傅里叶变换
将上式改写成
f (x) 0 C() cos[x ()]d
其中
1
C() [ A()]2 [B()]2 2
称为f (x)的振幅谱
() arctan[B() / A()] 称为f (x)的相位谱
与傅里叶级数的情形类似，奇函数f (x)的傅里叶积分
是傅里叶正弦积分。
A
2N
0 0
[cos( 0 )t cos( 0 )t]dt
N 2
A
sin( 0 0
)t
sin( 0 )t 0
0 0
A sin( N 2 )[ 1 1 ]
0
0 0
解：f (t)是偶函数，可按余弦展开。
f (t) 0 A() costd
其中：
A() 2
f ( ) cos d
0
2
T
0
h cos d
2h
sin T
例2 由2N个（N是正整数）正弦波组成的有限正弦波列：
f
(t
)
A
sin
0t
l
cos
l
k x
l
cos n x
l
dx
0
(k n)
l
sin
l
k x sin
l
n x
l
dx
0
(k n)
l
cos
l
k x sin
l
数学物理方程第五章 傅里叶变换
1 k
1 k
0 2E0 ] 1 k [1 ( 2 n ) 2 ] 1
k 2n 1 k 2 n.
2012-8-1
阜师院数科院
b1
E0 2
,
和
bk 0
E (t )
E0
E0 2
sin t
2E0
1 (2n)
n 1
1
2
cos 2 n t .
f ( ) sin d .
(5.2.4) 是 f(x) 的傅里叶积分，(5.2.5) 为它的傅里叶变换。
f ( x ) A ( ), B ( )
为某函数从时域到频域的变换。频域中的函数可能是连续的。
傅里叶积分定理：若函数 f(x) 在区间 ( , ) 上满足条件(1) 在任意有限区间满足狄 里希利条件；(2) 在区间 ( , ) 上绝对可积（即
2 2
0
( ) tg
1
[ B ( ) / A ( )].
C ( )
为振幅谱
3. 奇、偶函数 偶函数
2012-8-1
( )
为相位谱
A ( ) cos xd ,
f (x) A ( )
0
奇函数
f (x) B ( )
B ( ) sin xd ,
f (x)
k
c
k
e
ikx
,
ck
1 2
f ( )e ( 1 ik e
ikx
d
0
1 2 ( 1 ik
数学物理方法 5 傅里叶变换
4
( t , t 0)
由上例可以推断：一个周期为2l的函数f(x+2l)= f(x) 可以 看作是许多不同频率的简谐函数的叠加.
6
2. 三角函数族及其正交性 引入三角函数族
①其中任意两个不同的函数之积在 [-l,l]上的积分等于 0 .
②两个相同的函数的乘积在[-l,l]
上的积分不等于 0 .
(2m ,(2m 1) ) ((2m 1) , 2m )
k
ce
k
ik
ikx
,
1
0
1
2
x
0
f ( )e
1 d 2
0
1 e
0
ik
1 d 2
1 e ik d
1 1 ik ( e ) 2 ik
ak cos
l
l
d
12
1 l k ak f ( )cos d ( k 1, 2 , ) l l l
类似地, 用 sin kπξ/l 乘 ① 式两边, 再逐项积分可得
1 l k bk f ( )sin d l l l
归纳:
(k 1, 2, )
变换 延拓
23
3. 傅里叶级数的复数形式
利用欧拉公式导出
• 1 • 2
24
5.2 傅里叶积分与傅里叶变换 （一） 傅里叶变换
周期函数的性质是f(x+2l)=f(x), x每增大2l，函数值就重复 一次，非周期函数没有这个性质，但可以认为它是周期2l∞ 的周期函数。所以，我们也可以把非周期函数展开为所谓“傅 里叶积分”。 考察复数形式的傅里叶级数:
《傅里叶变换经典》PPT课件
F 1[AF BG ] AF 1[F ] BF 1[G ]
43
2. 位移性质:
若F [f t ] F ，t0 ,0 为实常数，则
F [f t t0 ] ejt0F ， F 1[F 0 ] e j0t f t
或F [e j0t f t ] F 0
证明：F
[f
F f t eitdt(实自变量的复值函数)
称为f t 的Fourier变换，记为F [f t ]。
1 F eitd 称为F 的Fourier逆变换，
2 记为F 1[F ] .
26
若F f t F ,则F 1 F f t ； 若F 1 F f t ,则F f t F f t F ：一一对应，称为一组Fourier变换对。 f t 称为原像函数，F 称为像函数。
t
具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表
单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复 多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz).
2
最常用的一种周期函数是三角函数。人们发现, 所有 的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的 线性组合来逼近.—— Fourier级数
1
2
1
2
1,
t
0
42
§3 Fourier变换与逆变换的性质
这一讲介绍傅氏变换的几个重要性质, 为了叙述方 便起见, 假定在这些性质中, 凡是需要求傅氏变换的函 数都满足傅氏积分定理中的条件, 在证明这些性质时, 不再重述这些条件.
1.线性性质:
F [af t bg t ] aF [f t ] bF [g t ]
19
1.2 Fourier积分公式与Fourier积分存在定理
43
2. 位移性质:
若F [f t ] F ，t0 ,0 为实常数，则
F [f t t0 ] ejt0F ， F 1[F 0 ] e j0t f t
或F [e j0t f t ] F 0
证明：F
[f
F f t eitdt(实自变量的复值函数)
称为f t 的Fourier变换，记为F [f t ]。
1 F eitd 称为F 的Fourier逆变换，
2 记为F 1[F ] .
26
若F f t F ,则F 1 F f t ； 若F 1 F f t ,则F f t F f t F ：一一对应，称为一组Fourier变换对。 f t 称为原像函数，F 称为像函数。
t
具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表
单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复 多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz).
2
最常用的一种周期函数是三角函数。人们发现, 所有 的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的 线性组合来逼近.—— Fourier级数
1
2
1
2
1,
t
0
42
§3 Fourier变换与逆变换的性质
这一讲介绍傅氏变换的几个重要性质, 为了叙述方 便起见, 假定在这些性质中, 凡是需要求傅氏变换的函 数都满足傅氏积分定理中的条件, 在证明这些性质时, 不再重述这些条件.
1.线性性质:
F [af t bg t ] aF [f t ] bF [g t ]
19
1.2 Fourier积分公式与Fourier积分存在定理
数学物理方法 第5章 傅里叶变换
0 xl l x 0 x l
-l 0
F(x)
l
x
图5.7(a)
1 l 1 l 1 l l a0 F ( x)dx f ( x) xdx l 0 l 0 l 0 2
2 l kx 2 l kx 2 l kx ak F ( x) cos dx f ( x) cos dx x cos dx 0 0 0 l l l l l l
k 1
a0 E (t )dt 2 2
1
0
E0 cost E 0 sin tdt 2
0
E0
E0 a k E0 sin t cos ktdt 0 2
0
[sin(k 1)t sin(k 1)t ]dt
解：
l 2 l kx 2 l kx l bk x sin dx x( ) cos 0 l l l k l 0 k
l 2 l l 2 kx 2l l ( )( 1) k ( ) sin (1) k 1 l k k l 0 k
f ( x)
0
A( ) cosxd
0
B( ) sin xd
（称为傅里叶积分式）
A( )
B( )
1
1
f ( x) cosxdx
f ( x) sin xdx
（称为傅里叶变换式）
在 f (x) 的间断点，傅里叶积分的值
1 [ f ( x 0) f ( x 0)] 2
例4：定义在区间 (0, l ) 上的函数 f ( x) x ，试把它 展开为傅里叶级数。 解:方法一：偶延拓法，所找的周期函数 F (x)为偶 函数,如图5.7(a)所示。
数学物理方法 第五章 傅里叶变换
l
2
1 2 2 2 2 [ f ( x )] dx 2la0 l a k l bk 2l l k 1 k 1
l n n
n n 1 l k x 2 k x 2 2 l 2 l 2 [ f ( x )] dx a k [cos ] dx bk [ sin ] dx l l l 2l l l k 0 k 1 n n 1 l k x 2 k x 2 2 l 2 l 2 [ f ( x )] dx a k [cos ] dx bk [ sin 10 ] dx l l l 2l l l k 0 k 0
积化和差后容易证明其余三式， 例如：
cos( ) cos( ) 2 cos cos kx nx 1 ( k n )x ( k n )x cos cos cos cos l l 2 l l l l kx nx 1 l ( k n )x ( k n )x -l cos l cos l dx 2 -l cos l dx -l cos l dx
0πx πx 2πx kx 1 cos , cos , cos , , cos , l l l l 0πx πx 2πx kx sin 0, sin , sin , , sin , l l l l
k x -l 1 cos l dx 0 (k 0) 正交性 l k x -l 1 sin l dx 0 l k x n x -l cos l cos l dx 0 (k n) l k x n x -l sin l sin l dx 0 (k n) l k x n x -l cos l sin l dx 0
f (x) f (x+2l) • -l o +l •
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
奇、偶函数
f ( x) A( )
0
A( )cos xd ,
0
f ( x) B( )
0
B( )sin xd ,
0
2
f ( )cos d .
2
f ( )sin d .
偶函数
奇函数
19
例 (1)
定义矩形函数为
1 2
第 5章
傅里(立）叶(Fourier )变换
• 让· 巴普蒂斯· 约瑟夫· 傅立叶 （ 1768 –1830 ） （Jean Baptiste Joseph Fourier） • 法国著名数学家、物理学家， • 1817年当选为科学院院士， • 1822年任该院终身秘书， • 后又任法兰西学院终身秘书和理工科大学校务委员会主席， 主要贡献： 1. 在研究热的传播时创立了一套数学理论 2. 最早使用定积分符号，改进了代数方程符号法则的证法和实根 个数的判别法等， 3. 傅立叶变换的基本思想首先由傅里叶提出；
是奇函数
k x cos l
是偶函数
奇函数 f(z) 有 f ( x ) bk sin k x ,
k 1
l
1 l k bk f ( )sin d . l l l
偶函数 f(z) 有 f ( x ) a0 ak cos k x ,
k 1
l
ak
k l l
f ( )cos d ]cos xd .
正弦部分
lim
l
l
0
k 1
1 l f ( )sin k d sin k x k l l
[
故
0
1
f ( )sin d ]sin xd .
f ( x ) A( )cos xd B( )sin xd ,
12 ak cos kx , 例 2： f ( x ) 2 1 2 cos x k =0
( <1)
(1 2 )cos kx ak dx 2 k 1 2 cos x 1
e ikx cos kx i sin kx
f ( x)
1
0
1 2
1, rect(x ) 0, x
(x
1 ), 2 1 ( x ). 2
矩形函数 （rectangle function) x 时间： 光学中描述照相机快门， x 空间： 无限大不透明屏上的单缝的透过率
20
例 (1)
矩形函数 （rectangle function)
21
例 (1)
定义矩形函数为
1 2
f ( x)
1
0
1 2
1, rect(x ) 0, x
(x
1 ), 2 1 ( x ). 2
将矩形脉冲
f (t )
t f (t ) h rect( ) 展开作傅里叶积分。 2T
h
0
偶函数
T
T
t
f ( x)
[ f ( x 0) f ( x 0)]/ 2
f ( x ) A( )cos xd B( )sin xd
0 0
A( )
1
f ( )cos d ,
B( )
1
f ( )sin d .
18
f ( x ) A( )cos xd B( )sin xd
(2) 在每个周期内只有有限个极值点，则三角级数收敛，且
f ( x ), 级数和 1 { f ( x 0) f ( x 0)}. 2 (在连续点x ) (在间断点x )
第一类间断点: 函数在间断点处左右极限存在，但不相等。
10
（二）奇函数和偶函数的傅里叶展开
k x sin l
0
其中 A( ) 1 f ( )cos d ,
B( )
1
f ( )sin d .
17
傅里叶积分定理：若函数 f(x) 在区间(-，+)上满
足条件(1) 在任意有限区间满足狄里希利条件；(2)
在区间 (-，+ )上绝对可积（即 f ( x ) dx 收敛）， 则f(x) 可表为 傅里叶积分，且傅里叶积分值=
{a
k 1 k
l
,
则
cos k x bk sin k x}k .
1 l ak f ( )cos k d , l kl b 1 l f ( )sin d . k k l l
若
lim f ( )d
其中
2 k 1
( k 0) ( k 0)
三角函数族：完备性，傅里叶级数平均收敛于f(x)。
7
三角函数族：完备性，傅里叶级数平均收敛于f(x)。
8
9
狄里希利(狄里克雷Dirichlet)定理： 若函数 f(z) 满足条件 ：
(1) 处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间断点；
k x k x f ( x ) ak cos bk sin l l k
（ak，bk） ak ibk ak ibk , 2 2
i
k x l
f ( x)
k
c e
k
kx i l
（ck
， c k）
,
其中
k i 1 l ck f ( )[e l ]* d . 2l l
x
周期2l > 0 偶函数
1, cos
2 x k x , , cos , l l l x 2 x k x sin , sin , , sin , l l l , cos
奇函数
2l
l
,….,
2l/k,…..
k x k x f ( x ) a0 ak cos bk sin l l k 1
1 (z k ) z
1 2 k cos kx
15
5.2 傅里叶积分与傅里叶变换 （一） 实函数的傅里叶变换
k x k x g( x ) a0 {ak cos bk sin }. l l k 1
令：
k k , l
g( x ) a0 l
k k k 1
k x k x f ( x ) a0 ak cos bk sin l l k 1
1 l k a f ( )cos d , k l kl l b 1 l f ( )sin k d . k l l l
傅里叶(Fourier )
傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理 、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着 广泛的应用。
1. 傅里叶级数， 2. 傅里叶积分与变换 3. Delta函数
§5.1
傅里叶级数
f ( x 2l ) f ( x )
（一） 周期函数的傅里叶展开 三角函数族： 最小正周期： 2l 最小正周期：
f ( x ), g( x )
x
f ( x ) x, (0,1)
x
偶延拓
奇延拓
12
（四） 复数形式的傅里叶展开
,e
i
k x l
,
e 2 e 2i
i
,e
k x l
i
x
l
,1, e
i
x
l
,
,e
i
k x l
,
i kl x k x e cos l k x k x i l sin e l
l l
l
有限，则
1 l lim a0 lim f ( )d 0. l l 2l l
16
1 l { f ( )cos k d cos k x } k 余弦部分 lim l l k 1 l [
0
l
1
0
e i x e i x e i x e i x d B( ) d 0 A( ) 0 2 2i 1 1 i x i x [ A ( ) iB ( )] e d [ A ( ) iB ( )] e d 0 2 0 2 1 0 1 i x i x [ A ( ) iB ( )] e d [ A ( ) iB ( )] e d 0 2 2 |w|=-w F ( )e i x d .
c k ck *
13
2 f ( x ) x , 例 1：
( <x< )
1 x 4 ( 1) 2 cos kx 3 k k =1
2 k
ak
2
k
0
x cos kxdx
2
2
X=pi
1 4 2 3 k =1 k
2
2
1 2 2 6 k =1 k
12 f ( x) , 1 1 (z ) 2 z
(1 2 )z (1 z )(1 z )
( z e ix )
< 1 < z < 1 <
1
1 1z
k k
1 1 z
z < 1
z
f ( x) A( )
0
A( )cos xd ,
0
f ( x) B( )
0
B( )sin xd ,
0
2
f ( )cos d .
2
f ( )sin d .
偶函数
奇函数
19
例 (1)
定义矩形函数为
1 2
第 5章
傅里(立）叶(Fourier )变换
• 让· 巴普蒂斯· 约瑟夫· 傅立叶 （ 1768 –1830 ） （Jean Baptiste Joseph Fourier） • 法国著名数学家、物理学家， • 1817年当选为科学院院士， • 1822年任该院终身秘书， • 后又任法兰西学院终身秘书和理工科大学校务委员会主席， 主要贡献： 1. 在研究热的传播时创立了一套数学理论 2. 最早使用定积分符号，改进了代数方程符号法则的证法和实根 个数的判别法等， 3. 傅立叶变换的基本思想首先由傅里叶提出；
是奇函数
k x cos l
是偶函数
奇函数 f(z) 有 f ( x ) bk sin k x ,
k 1
l
1 l k bk f ( )sin d . l l l
偶函数 f(z) 有 f ( x ) a0 ak cos k x ,
k 1
l
ak
k l l
f ( )cos d ]cos xd .
正弦部分
lim
l
l
0
k 1
1 l f ( )sin k d sin k x k l l
[
故
0
1
f ( )sin d ]sin xd .
f ( x ) A( )cos xd B( )sin xd ,
12 ak cos kx , 例 2： f ( x ) 2 1 2 cos x k =0
( <1)
(1 2 )cos kx ak dx 2 k 1 2 cos x 1
e ikx cos kx i sin kx
f ( x)
1
0
1 2
1, rect(x ) 0, x
(x
1 ), 2 1 ( x ). 2
矩形函数 （rectangle function) x 时间： 光学中描述照相机快门， x 空间： 无限大不透明屏上的单缝的透过率
20
例 (1)
矩形函数 （rectangle function)
21
例 (1)
定义矩形函数为
1 2
f ( x)
1
0
1 2
1, rect(x ) 0, x
(x
1 ), 2 1 ( x ). 2
将矩形脉冲
f (t )
t f (t ) h rect( ) 展开作傅里叶积分。 2T
h
0
偶函数
T
T
t
f ( x)
[ f ( x 0) f ( x 0)]/ 2
f ( x ) A( )cos xd B( )sin xd
0 0
A( )
1
f ( )cos d ,
B( )
1
f ( )sin d .
18
f ( x ) A( )cos xd B( )sin xd
(2) 在每个周期内只有有限个极值点，则三角级数收敛，且
f ( x ), 级数和 1 { f ( x 0) f ( x 0)}. 2 (在连续点x ) (在间断点x )
第一类间断点: 函数在间断点处左右极限存在，但不相等。
10
（二）奇函数和偶函数的傅里叶展开
k x sin l
0
其中 A( ) 1 f ( )cos d ,
B( )
1
f ( )sin d .
17
傅里叶积分定理：若函数 f(x) 在区间(-，+)上满
足条件(1) 在任意有限区间满足狄里希利条件；(2)
在区间 (-，+ )上绝对可积（即 f ( x ) dx 收敛）， 则f(x) 可表为 傅里叶积分，且傅里叶积分值=
{a
k 1 k
l
,
则
cos k x bk sin k x}k .
1 l ak f ( )cos k d , l kl b 1 l f ( )sin d . k k l l
若
lim f ( )d
其中
2 k 1
( k 0) ( k 0)
三角函数族：完备性，傅里叶级数平均收敛于f(x)。
7
三角函数族：完备性，傅里叶级数平均收敛于f(x)。
8
9
狄里希利(狄里克雷Dirichlet)定理： 若函数 f(z) 满足条件 ：
(1) 处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间断点；
k x k x f ( x ) ak cos bk sin l l k
（ak，bk） ak ibk ak ibk , 2 2
i
k x l
f ( x)
k
c e
k
kx i l
（ck
， c k）
,
其中
k i 1 l ck f ( )[e l ]* d . 2l l
x
周期2l > 0 偶函数
1, cos
2 x k x , , cos , l l l x 2 x k x sin , sin , , sin , l l l , cos
奇函数
2l
l
,….,
2l/k,…..
k x k x f ( x ) a0 ak cos bk sin l l k 1
1 (z k ) z
1 2 k cos kx
15
5.2 傅里叶积分与傅里叶变换 （一） 实函数的傅里叶变换
k x k x g( x ) a0 {ak cos bk sin }. l l k 1
令：
k k , l
g( x ) a0 l
k k k 1
k x k x f ( x ) a0 ak cos bk sin l l k 1
1 l k a f ( )cos d , k l kl l b 1 l f ( )sin k d . k l l l
傅里叶(Fourier )
傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理 、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着 广泛的应用。
1. 傅里叶级数， 2. 傅里叶积分与变换 3. Delta函数
§5.1
傅里叶级数
f ( x 2l ) f ( x )
（一） 周期函数的傅里叶展开 三角函数族： 最小正周期： 2l 最小正周期：
f ( x ), g( x )
x
f ( x ) x, (0,1)
x
偶延拓
奇延拓
12
（四） 复数形式的傅里叶展开
,e
i
k x l
,
e 2 e 2i
i
,e
k x l
i
x
l
,1, e
i
x
l
,
,e
i
k x l
,
i kl x k x e cos l k x k x i l sin e l
l l
l
有限，则
1 l lim a0 lim f ( )d 0. l l 2l l
16
1 l { f ( )cos k d cos k x } k 余弦部分 lim l l k 1 l [
0
l
1
0
e i x e i x e i x e i x d B( ) d 0 A( ) 0 2 2i 1 1 i x i x [ A ( ) iB ( )] e d [ A ( ) iB ( )] e d 0 2 0 2 1 0 1 i x i x [ A ( ) iB ( )] e d [ A ( ) iB ( )] e d 0 2 2 |w|=-w F ( )e i x d .
c k ck *
13
2 f ( x ) x , 例 1：
( <x< )
1 x 4 ( 1) 2 cos kx 3 k k =1
2 k
ak
2
k
0
x cos kxdx
2
2
X=pi
1 4 2 3 k =1 k
2
2
1 2 2 6 k =1 k
12 f ( x) , 1 1 (z ) 2 z
(1 2 )z (1 z )(1 z )
( z e ix )
< 1 < z < 1 <
1
1 1z
k k
1 1 z
z < 1
z