正交编码与伪随机码(1)

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Walsh码的产生 码的产生
• 用 不 同 频 率 的 方 波 产 生 ： Walsh 信 号 中 的 一 部 分 是 Rademacher信号，即不同频率的方波，故可用分频器 产生。剩下的另外一部分不是Rademacher信号的都是 Rademacher信号的相乘结果。 • 查表法（任何确定信号都可以这样产生）
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n级
• • 上式可改写为 定义一个多项式
∑C a
i=0
n
i n−i
=0
n
f (x) = ∑Ci xi
i=0
•
•
– 称之为线性反馈移位寄存器的特征多项式。 特征多项式与输出序列的关系 – 产生m序列的n级移位寄存器，其特征多项式必须 是n次本原多项式。 母函数G（x）＝1/f(x)
G ( x ) = a 0 + a 1 x + ... + a n x + ... =
• m序列
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正交编码
• • • • 正交码就是一些正交的向量 。 1 1 N T 正交性 ： N × ab = N ∑ aibi = 0 i =1 N维向量 a = [a a L a ] b = [b1b2 LbN ] 对于定义在区间上的信号 φa (t ) φb (t ) 1 T ∫0 φ a (t )φ b (t )dt = 0
• 其中 H n 是 H n 的逻辑取反。若以±1标记 的逻辑取反。若以± 标记 标记Walsh码，0 码 映射成+1， 映射成 映射成-1。 映射成 ，1映射成 。则
H1 = [+ ]
+ + H2 = + −
+ + H4 = + + + + + − + − + − − − − +
c
周期的函数
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（6）m序列互相关： 同一m序列的两个不同相移的序列的互相关可 由自相关类推。 不同m序列的互相关相对而言比较差。 给定级数n时可设计的不同m序列的个数：不是 很多 （7）功率谱密度 对上述自相关函数进行傅立叶变换，得到m序列 的功率谱密度 可以看到m序列的噪声功率谱密度为近似白噪声
q
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例
m = 24 −1=15
x15 +1 = (x4 + x +1)(x4 + x3 +1)(x4 + x3 + x2 +1)(x2 + x +1)(x +1)
根据本原多项式的定义 x4 + x +1 x4 + x3 +1 和 是本原多项式。
c4பைடு நூலகம்+
C1=1
→
D c2 D c3 D
x4 + x +1
n
∑a
k =0
∞
k
xk
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n次本原多项式
• f (x) 是n次本原多项式，需满足以下条件：
。
(1) f (x)是 约 ， 是 能 分 。 既 的 即 不 再 解
（ ） (x)可 除 xm +1 这 m = 2n −1 2 f 整 ， 里
（） (x)不 整 x +1 这 q < m。 3 f 能 除 , 里
• 互相关：{ak } 若 {a′k } 、是两个不相同的样本序列，则
(m ) = L → ∞ 1 R aa ′ lim L
∑
L
i =1
a i + m a i′ = 0
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m序列发生器
• m序列是一种伪随机序列，它是最长线性反馈 特征寄存的序列的简称，m序列是由常线性反 m 馈的转移寄存而产生的序列，并且具有最长周 期。
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m 序列
• m序列：最长线性反馈移位寄存器序列的简称。 • m序列发生器举例: 输出序列为: …1000 1001 1010 111…
a4 = a1⊕a0
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四级m序列发生器
a4 + a1 D a3
Clock
D a2
D
D
输出
• 首先设定各级寄存器的状态，在时钟触发下，每次移 位后各级寄存器状态发生变化，观察任何一级寄存器 的输出，发现，在时钟的控制下，会产生一个序列。
C5 C4 C3 C2 C1 C0
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m序列的性质
（1）均衡性 n 由n级移位寄存器产生的m序列周期为 2 −1 。 除全0状态外，其它状态都在m序列一个周期内 出现，而且只出现一次，m序列中“1”和“0”概率 大 致相同，“1”的只比“0”的多一个。 （2） 游程分布 游程：序列中取值相同的那些相继的元素合称为一个 “游程”。 游程长度：游程中元素的个数。 m序列中，长度为1的游程占总游程数的一半；长度为2 的游程占总游程的1/4， 长度为k的游程占总游程数的 2 − k 。
m =1 N n =1
∫ ∑∑a
T 0 m =1 n =1 N
N
m
bn g c (t − mT c )g c (t − nT c )dt
T
∑∑a
m =1 n =1 N
N
m
bn ∫ g c (t − mT c )g c (t − nT c )dt
0
1 a m bm Tc = ∑1 N m=
∑a
m =1
D
c0=1 + c3=1 D c1 D c2
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→
x4 + x3 +1
D
D
本原多项式的系数
• 通常，一个本原系统式系数都表示为八进制形式。 –例如，对于4级
23 → 0 1 0 0 1 1 → x4 + x +1
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ C5 C4 C3 C2 C1 C0
31 → 0 ↓ 1 ↓ 1 ↓ 0 ↓ 0 ↓ 1 ↓ → x4 + x3 +1
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一般情况：n级
• 一般情况下，n级线性反馈寄存器，它的线性反馈逻辑 可表示为（递推方程） an = C1an−1 ⊕C2an−2 ⊕C3an−3 ⊕L⊕Cna0
Ci = 0表 n − i级 出 参 反 示 输 未 加 馈 – –表示反馈线的连接状态
Ci
Ci =1表 n − i级 出 入 馈 线 示 输 加 反 连
N
m
bm = 0
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• 若码组 ∀x, y ∈ C，（为所有编码码组的集合）满 足 ρ(x, y) = 0 ，则称C为正交编码。即：正交编码 的任意两个码组都是正交的 • 即：正交编码的任意两个码组都是正交的。 • 例1：已知编码的4个码组如下：
S1 = (+1,+1,+1,+1); S2 = (1,1,−1,−1); S3 = (1,−1,−1,1); S4 = (1,−1,1,−1)
1 mmod p = 0 1 R(m) = ∑ ak ak + m = 1 − mmod p ≠ 0 p k =0 p
p −1
• 是一个以
τ modpT 1 c 1− 1+ τ modpTc ≤ Tc 1 pTc Tc p Rs (τ ) = ∫0 s(t )s(t +τ )dt = pTc 1 − τ modpTc > Tc p pT
Hn H H2n = n Hn − Hn
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Walsh码 码
• H矩阵中的每一行就是一个Walsh码。N阶Walsh矩阵 （或称Hardmard矩阵）的第i行为向量
WiN = Wi N (1), Wi N (2 ), L , Wi N (N )
[
]
• Walsh码构成的信号: • 用Walsh码可构成一个N码元的双极性NRZ信号，其持 续时间为，Tc是Walsh码的码片（chip）持续时间。 • 用N维Hardmard矩阵可构造出N个正交信号。
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四级m序列发生器（续）
• 在相同级数下，采用不同线性反馈的逻辑所得到的周期 不同，m序列发生器是一种最长周期的。
a4 = a1 ⊕a0 • 对于4级来说，其反馈逻辑为 • 它产生15位级周期，第16位后开始重复，这就是周期性。
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四级m序列发生器（续）
• 4级移位寄存器共有 24 即16种状态，除了全0状态外， 其余15种状态都可出现，全0状态是要被禁止的。 • 如果改变反馈逻辑，就不能得到最长周期的m序列。 • 如4级，反馈逻辑为 a4 = a2 ⊕a0，那么它只能形 成100010 • 周期为6， 所以线性反馈移位寄存器是和它的反 馈逻辑有关。 • 反馈电路如何连接才能输出序列最长？是本节要讨论 的问题。
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4
Walsh-Hardmard Code
• Walsh-Hardmard矩阵 矩阵
H 1 = [0]
0 0 H2 = 0 1
0 0 = 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0
H4
Hn Hn H2n = Hn Hn
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m序列的性质（续）
（3）移位相加特性 同一m序列的不同相移的序列相加还是m序列 (同一m序列指特征多项式相同，但相移可能不同的m序 列。不同m序列指特征多项式不同的m序列。)
M p ⊕ Mr = M s
（4）m序列的有相关函数。当二进制序列中“0”、“1” 分别表示为“-1”和“+1”时，其自相关函数为
1 2 N
T
• Gc（t）是一个码片的波形，Tc是码片宽度，也就是说 把a、b变成NRZ波形 a b N 1 T 1 T N ∫0 φ a (t )φ b (t )dt = ∫0 ∑ a m g c (t − mT c )∑ bn g c (t − nT c )dt
T T 1 = T 1 = T 1 = T
T
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伪随机序列
• • • • • • 随机序列 “随机”表现为如下特征： 非周期，或者说周期无限长 序列中+1,-1（或者说0、1）出现的频率各为1/2 长度为n的游程的出现频率是 1n 2 自相关： L
1 m = 0 1 R(m) = lim ∑ ai + mai = E[ai + mai ] = L →∞ L i =1 0 m ≠ 0
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伪噪声特性
• 如果我们对一个正态的白噪声进行采样，若取样值为 ‘+’，则记为1，为‘-’记为0，则构成一个随机序列， 该随机序列有如下性质： • （1）序列中0、1个数出现概率相等 • （2）序列中长度为1的游程占1/2，长度为2的游程占 1/4，…且长度为k的游程中，0游程与1游程个数相同。 • （3）该序列的噪声功率谱为常数。 • m序列的性质与随机噪声相似，因此称为伪随机序列。 • 真正的随机序列是不可重复的，伪随机序列可以任意 地重复。
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9
Walsh码的性质
• • • • • Walsh信号是正交的 所有N阶Walsh码构成一个N维的完备正交集 两个Walsh函数相乘得另一Walsh函数 Walsh函数与Rademacher信号的关系（10.2.14） Walsh函数频域特性和相关性
N i N j
1 T
1 i = j ∫0 Wal (t )Wal (t )dt = 0 i ≠ j
第10章 正交编码与伪随机编码
• 数字通信中，正交编码与伪随机序列十分重要 • 正交编码： 可用作纠错编码、可用来实现码分多址通信 • 伪随机序列应用广泛： 误码率测量、时延测量、扩频通信、通信加密、 分离多径等
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• 正交编码的概念
• Walsh-Hardmard矩阵 矩阵
• Walsh码 码
• Walsh码的性质 • 伪随机序列
ρ(i) = A − B
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m序列的性质（续）
ρ(i) = A − B
• A为序列与其i次移位序列在一个周期内逐位码元 相同的数目 • B为序列与其i次移位序列在一个周期内逐位码元 不同的数目
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（5）m序列的自相关函数
• 是一个以p为周期的序列。如果把s(t ) 做成双极性NRZ信， 则s(t)自相关函数为