储油罐标定

储油罐的变位识别与灌容表标定摘要本文先同过对平头椭圆柱体油罐进行建模研究分析，用积分的方法导出了卧式倾斜安装椭圆柱体油罐不同液面高度时贮油量的计算公式，从而得到一般性通用模型。

利用通用模型解出了两端球冠圆柱体油罐在横向和纵向倾斜共同影响下不同液面高度时贮油量的计算公式，由易到难层层深入。

在解决问题二过程中，如何将横向影响因素转化到纵向上是解决问题二的关键所在。

我们通过建立几何模型，分析得出了横纵转化的关系式。

在求解α，β过程时，定义了一个偏差函数f(h)以及单位偏差函数G（h）,利用问题二中提供的数据，通过使用MATLAB 进行数据拟合，得出一个单位偏差函数g(h),在给定的h下，两个单位偏差函数作差，差值越接近零，说明这种情况下的α，β越接近真实值，利用MATLAB通过使用步长法，即可求解出α，β值。

关键词：变位罐容表卧式储油罐一、问题的重述地下储油罐一般都有一套与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。

但是，事情往往没有那么简单，许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，罐体就会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称变位），灌容表因此也会发生该变。

这就需要定期的对灌容表进行重新标定，才能真正有益的指导实践。

有图：图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体；图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。

要求用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。

（1）为了了解罐体变位对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为α=4.1度的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。

建立数学模型研究罐体变位对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。

（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系。

利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。

进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验模型的正确性与方法的可靠性。

二、问题背景与模型准备储油罐不仅是液态货物（如石油）的储存设备,又是液态货物贸易的重要收发计量器具。

对于储油罐在进行贸易交接时,直接关系到双方利益[1]。

油罐的倾斜还可能造成油罐的疲劳损伤[2]，增大发生危险的可能性，为此如何发现储油罐存在差量的原因,并加以解决是非常重要的工作。

90年代以来我国加油站建设速度加快，现在全国已有加油站点10余万座，，所以地下储油罐的安全状况备受关注。

良好的地下储油罐系统须具有双层壁的罐体、二次容器、管道防护、腐蚀防护、泄漏检查与监控等功能，预防机制对地下储油罐防渗非常重要。

求解本问题，重在解决复杂的积分计算问题，所以，在解决问题之前，我们必须建立合适的自定义空间直角坐标系，为接下来有序的解决复杂的积分问题提供基本依据。

我们设油桶纵向底边线为x轴，x轴与油桶左端面交点为原点O，过0沿椭圆短轴方向向上为y轴，我们知x轴与y轴垂直，用同样方法沿长轴做z轴，这样空间直角坐标系建立完毕。

（如图1）同样，我们在求球冠内油量时也可以炮制此法，这样可以较为方便有条理的求出球冠内油量。

图1 建立合适的自定义空间直角坐标系我们拟以以下流程进行讨论研究，以提高建模的条理性和工作过程的有效性：三、模型的假设1）油位探针、注油口、出油管、油浮子等所占容积远远小于储油量，忽略不计。

2）储油罐内外的气压相差不大，我们认为是相同的。

3）我们认为储油罐在使用的整个过程中是刚性的未发生变形。

4）忽略温度变化给油罐带来的影响。

5）假设储油罐的圆柱体、球冠体、椭圆的实际形状都符合几何上对它们的定义。

6）油位探针在变位时相对于储油罐偏移微小，可以看做是与储油罐相对固定的。

四、相关符号说明五、模型的建立和求解5.1、问题一的建模与求解5.1.1小椭圆形储油罐未发生变位当储油罐未发生变位时,油罐各处高度相同,截面如图1所示,其截面面积图2A =2a ∫√1−x 2b 2dx ℎ−b−b (1)积分得:arcsinsin 2arcsin 22h b ab ab h bA ab b b π--=++………………… (2) (arcsinsin 2arcsin )221(arcsinsin 2arcsin )22h b ab ab h bV LA L ab b bh b h b abL b bππ--==++--=++ (3)5.1.2当油罐发生纵向偏移当油罐发生纵向偏移时，几何简图如图2所示，此时油位探针测得的高度并不是实际的高度，应将其转换回去，则在离左端面x 的地方其截面面积11tan tan tan tan arcsin()sin(2())22h l x b h l x bab ab A arcain b bααααπ+--+--=++()(,)l V h A h x dx =⎰ (4)A图3需要注意的是此式是当11()tan 2tan l l h b l αα-≤≤-时成立．当1()tan h l l α<-时，如图３所示，此时有：1(,)(,)x V h x A h x dx =⎰ （0≤x 1≤l ） (5)当12tan h b l α>-时如图４所示，此时有：1()(,)x V h ab A h x dx π=-⎰ (6)图4 图55.1.3问题一的求解利用前面1.1 , 1.2,当000, 4.1αα==时，利用MATLAB 编程（见附件１，附件２）分别求出油位高度间隔0.01ｍ的罐容表标定值，见表１．5.1.4问题一分析利用1.2中建立的模型,分别令α=0,1,2,3,4,5;用MATLAB(见附件3)很容易绘出h-v的图形,见图6.由图很容易看出:随着纵向倾斜角度的增大,在某一固定油针探测高度下,容积逐渐减小,换句话说, 纵向倾斜角度越大,显示的储油量与实际储油量相差越大.图65.2 问题二的求解5.2.1．横向偏转对油位探针的实测高度的影响当油罐发生横向偏转时，油位探针的实测高度将发生变化，为了能够借鉴使用在求解问题一中建立的已知模型，采用逆向思维，将油位探针的高度转化成无横向偏转的实测高度ｈｏ，几何关系如图5所示.图7AG=r, ∠ABF=∠AEC=90°, GF=h由体积关系可以知道:AE=ABEF=AF−AE=AF−AB=AF(1−cosβ)=(r−ℎ)(1−cosβ)所以,EG=ℎ=ℎ+(r−ℎ)(1−cosβ) (7)即转化后油位探针的实测高度只受纵向偏转影响.5.2.2纵向倾斜对油罐容积变化的影响图8当油罐倾斜时液面的两个特殊位置将油罐分为三个区域,当液面在区域2内时,即:l2tanα≤ℎ≤2r−l1tanα此时油罐的体积应为中间部分和两边球冠体体积之和即:V=V0+V1+V2对于中间部分体积V0借用问题一中的模型易得:V0=∫(r2sin−1ℎ1−x tanα−rr +πr22+r22sin(2sin−1ℎ1−x tanα−rr))dxl (8)ℎ1=ℎ+l1tanα,l=l1+l2对于两边球冠体中油的容量求解,我们以图示阴影部分做近似求解,求解如下:图9建立坐标系如上所示,x 2+y 2=r 2,x 2+y 2+(z −1+R )2=R 2,则10h rRrDV dV dx dz---==⎰⎰⎰⎰从而解得:V =∫(R 2−x 2)(sin−1√r 2−x 2√R 2−x 2+12sin (2sin −1√r2−x 2√R 2−x2))ℎ−r−r+2(1−R )√r 2−x 2 dx (9)此时V (α,β,ℎ)=V 0+V 1(ℎ1)+V 2(ℎ2)当液面在区域3内时,即h 0<l 2tan α, ,此时有V 2=O ,中间部分体积为: V 0=∫(r 2sin −1ℎ1−x tan α−r r+πr 22+r 22sin (2sin −1ℎ1−x tan α−rr))dx x 10 (10)0≪x 1≪l ;ℎ1=ℎ0+l 1tan α;V (α,β,ℎ)=V 0+V 1(ℎ1)当液面在区域1内时,即ℎ0>2r −l 1tan α,利用全油罐的容量减去按ℎ0<l 2tan α时算的的油罐容量即为所求的油罐容量.算得V =πr 2l +2(πR 2(R −√R 2−r 2)−π3(R 2−(R 2−r 2)32)) −∫(r 2sin −1ℎ1−x tan α−rr +πr 22+r 22sin (2sin −1ℎ1−x tan α−rr))dx x10 (11)5.2.3参数α,β的求解定义函数f (h ): f (h )为两个高度容积理论值(探位油针显示高度所对应的容积)的差值与实际差值的偏差,即f(ℎ)=(V理(ℎ)−V理(ℎ))−(V实(ℎ)−V实(ℎ))定义函数G(ℎ)=df(ℎ)dℎ,表示f(ℎ)随的变化率.根据附件2提供的数据,对附件2中的数据进行处理得到表1,利用MATLAB对表1中的数据进行拟合,得到:g(ℎ)=−1.2925ℎ+2.1397 (12)拟合图形如下所示.图10在α,β一定的条件下G(ℎ)=df(ℎ)dℎ=limδ→0(V理(ℎ+δ)−V理(ℎ))−(V实(ℎ+δ)−V实(ℎ))δ,当|G(ℎ)−g(ℎ)|越接近0时,α,β越接近真实值α∗,β∗,取δ=0.0001m,利用MATLAB采用步长法解得:α=2.08°β=3.76°5.2.4、罐体变位后罐容表的标定值求解在得出α,β后,将α,β反代入(一)中建立的模型,利用MATLAB求解出罐体变位后油位高度间隔10cm的罐容表标定值见表2.编号h v 编号h v 编号h v5.2.5问题二分析无论是求罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β ）之间的一般关系,还是给出罐体变位后油位高度间隔为10cm 的罐容表标定值。

关键在于如何确定α和β,以及该模型的稳定性如何.在解决此问题时,我们引入了一个新的量f(h)，巧妙地利用了采集的实际的数据，对其关于h 求导后消去v 实(h 0)，利用MATLAB 采用步长法解得:α=2.08° β=3.76°时|()()|G h g h -最接近0。

利用附件2实际采集得到的前一半数据运用最小二乘法拟合得：() 1.2925 2.1397g h h =-+则剩下的后一半数成为我们检验α、β的稳定性从而确定模型稳定性的重要的依据。