三角形中的边角关系 知识点
第三讲 直角三角形的边角关系讲义
第三讲 直角三角形的边角关系知识点一 正切，正弦及余弦的定义1、正切的定义的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A 的正切，记作例1 如图，△ABC 是等腰直角三角形，求tanC.例2 如图， 已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB ，AD=8，BD=4，求tanA 的值。
C B A有什么发现？请加以证明。
3、三角函数的定义（重点）能判断谁的木棒更陡吗？说明理由。
同步练习：1、∠C=90°，点D 在BC 上，BD=6，AD=BC ，cos ∠ADC=53，求CD 的长。
2、P 是a 的边OA 上一点，且P 点的坐标为（3，4），求sina 、tana 的值。
3、在△ABC 中，D 是AB 的中点，DC ⊥AC ，且tan ∠BCD=31，求tanA 的值。
4、在Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA=125，周长为30，求△ABC 的面积。
5、（2008·浙江中考）在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，已知CD=2，AC=3，则sinB 的值是多少？知识点二 30°，45°，60°角的三角函数值例 求下列各式的值。
（1）︒︒-︒60tan 30sin 60sin ；（2）︒-+︒-︒45sin 22460tan 460tan 2。
同步练习：1、 求下列各式的值。
（1）︒+︒+︒45tan 30tan 330sin 2； （2）︒⋅︒+︒30cos 60tan 45cos 2。
(3) 6tan 2 30°－3sin 60°＋2tan45°(4)022)30tan 45(sin )60cos (160sin 260sin 60tan 245tan o o o o o oo-+-++----2、 已知a 为锐角，且tana=5，求aa aa sin cos 2cos 3sin +-的值。
(完整版)初中三角形知识点总结
图形的初步认识：三角形考点一、三角形1、三角形的三边关系定理及推论（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。
推论：三角形的两边之差小于第三边。
2、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
推论：①直角三角形的两个锐角互余。
②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。
③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
注：在同一个三角形中：等角平等边；等边平等角；大角对大边；大边对大角。
4、三角形的面积三角形的面积 = 1×底×高2考点二、全等三角形1、全等三角形的观点能够完整重合的两个三角形叫做全等三角形。
2、三角形全等的判断三角形全等的判断定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“ SAS”）（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ ASA”）（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“ SSS”）。
（4）角角边定理：有两角和一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“ AAS”）。
直角三角形全等的判断：关于特别的直角三角形，判断它们全等时，还有 HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“ HL”）3、全等变换只改变图形的地点，不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。
全等变换包含一下三种：（1）平移变换：把图形沿某条直线平行挪动的变换叫做平移变换。
（2）对称变换：将图形沿某直线翻折 180°，这类变换叫做对称变换。
（3）旋转变换：将图形绕某点旋转必定的角度到另一个地点，这类变换叫做旋转变换。
考点三、等腰三角形1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边平等角）推论 1：等腰三角形顶角均分线均分底边并且垂直于底边。
(完整版)初中三角形知识点总结
图形的初步认识:三角形考点一、三角形1、三角形的三边关系定理及推论(1) 三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。
推论：三角形的两边之差小于第三边。
2、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180 。
推论：①直角三角形的两个锐角互余。
②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。
③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边; 大边对大角。
4、三角形的面积三角形的面积=1x底X高2考点二、全等三角形1 、全等三角形的概念能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
2、三角形全等的判定三角形全等的判定定理:(1) 边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可简写成“边角边”或“ SAS)(2) 角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角边角”或“ ASA)(3) 边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“边边边”或“ SS6)。
(4) 角角边定理：有两角和一边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角角边”或“ AAS)。
直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理(斜边、直角边定理)：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“斜边、直角边”或“ HL”)3、全等变换只改变图形的位置，不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。
全等变换包括一下三种：(1) 平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。
(2) 对称变换：将图形沿某直线翻折180°,这种变换叫做对称变换。
(3) 旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换考点三、等腰三角形1 、等腰三角形的性质(1) 等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等(简称：等边对等角)推论1:等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。
直角三角形的边角关系(含答案)
第十四章直角三角形的边角关系基础知识梳理1．锐角三角函数．在Rt△ABC中，∠C是直角，如图所示．（1）正切：∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA=AA∠∠的对边的邻边．（2）正弦：∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA=A∠的对边邻边．（3）余弦：∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA=A∠的邻边邻边．（4）锐角三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．（5）锐角的正弦和余弦之间的关系．任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值．即：如果∠A+∠B=90°，那么sinA=cos（90°-A）=cosB；cosA=sin（•90•°-•A）•=sinB．（6）一些特殊角的三角函数值（如下表）．三角函数角sin cos tan30°12323345°2222160°32123（7）已知角度可利用科学计算器求得锐角三角函数值；同样，•已知三角函数值也可利用科学计算器求得角度的大小．（8）三角函数值的变化规律．①当角度在0°～90°间变化时，正弦值（正切值）随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．②当角度在0°～90°间变化时，余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（•或增大）．（9）同角三角函数的关系．①sin2A+cos2A=1；②tanA=sincosAA．2．运用三角函数解直角三角形．由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．（1）三边之间的关系：a2+b2=c2（勾股定理）．（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°．（3）边角之间的关系：sinA=ac，cosA=bc，tanA=ab．所以，在直角三角形中，只要知道除直角外的两个元素（其中至少有一个是边），•就可以求出其余三个未知元素．解直角三角形的基本类型题解法如下表所示：类型已知条件解法两边两直角边a，bc=22a b+，tanA=ab，B=90°-A一直角边a，斜边cb=22c a-，sinA=ac，B=90°-A一边、一锐角一直角边a，锐角AB=90°-A，b=tanaA，c=sinaA斜边a，锐角A B=90°-A，a=c·sin，b=c·cosA注意：解直角三角形需要注意的问题：（1）尽量使用原始数据，使计算更加准确；（2）不是解直角三角形的问题，添加合适的辅助线转化为解直角三角形的问题；（3）恰当使用方程或方程组的方法解决一些较复杂的解直角三角形的问题；（4）在选用三角函数式时，尽量做乘法，避免做除法，以使运算简便；（5）必要时画出图形，分析已知什么，求什么，它们在哪个三角形中，•应当选用什么关系式进行计算；（6）添加辅助线的过程应书写在解题过程中．3．解直角三角形的实际问题．解直角三角形的实际问题涉及到如下概念和术语．（1）坡度、坡角．如图所示，坡面的垂直高度h和水平宽度L的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母i表示，即i=hl．坡面与水平面的夹角记作α（叫做坡角），则i=hl=tanα．（2）仰角、俯角．当从低处观测高处的目标时，视线和水平线所成的锐角称为仰角．当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．如图所示．（3）方位角和方向角．①方位角：正北方向顺时针旋转与已知射线所成的角叫做方位角．如图所示的∠α（0°<α<360°）．②方向角：正北或正南方向与已知射线所成的锐角叫做方向角．如图14-5所示的∠β（0°<β<90°），若∠β=30°，则方向角可记作南偏西30°．（4）燕尾槽的深度、燕尾角．燕尾槽的横断面如图所示，AE是燕尾槽的深度，AD是外口宽，BC是里口宽，∠B是燕尾角．考点与命题趋向分析（一）能力1．通过实例认识锐角三角函数（sinA ，cosA ，tanA ），知道30°，45°，60•°角的三角函数值；会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角．2．运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题． （二）命题趋向分析1．三角函数是代数与几何衔接点之一，是三角学的基础，近年来锐角三角函数常与四边形、相似形、坐标系、圆等相结合出题，多涉及实际应用问题，如梯子的倾斜程度、坡度等问题．【例1】（2004年河南省）如图1，在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA 为a 米，此时梯子的倾斜角为75°．如果梯子底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB 为b 米，梯子的倾斜角为45°，则这间房子的宽AB 是________米．(1) (2) 【分析一】AB=AC+CB=tan 75a ︒+tan 45b︒．如图2，在Rt △ACB 中，∠C=90°．∠A=15•°，•∠ABC=75°， 在∠ABC 内部作∠ABD=15°，则∠BDC=30°，∠DBC=60°， 设BC=1，则BD=2，3， ∵∠A=∠ABD=15° ∴AD=BD=2 ∴3 ∴tan75°=AC BC23+3∴∴sin75°=ACAB 如图1所示：NB=CB=b 米∴b 米∴米 在Rt △MAC 中，sin75°=AMMC∴4a=（）b解得-1）a∴AB=AC+CB=tan 75a ︒+tan 45b︒+b=（a+）a=a （米）【分析二】在图1中连MN ，可由MC=NC ，∠MCN=60°得等边三角形MCN ，作MH•⊥BN 于H ．由∠A=∠MHB=90°，∠MCA=∠MNH=75°，MC=MN ．可证△MAC ≌△MHN ，得AM=MH ．•再证四边形MABH 为矩形，可得AB=MH=AM=a 米． 【解】此空应填a ．2．涉及特殊角的三角函数值的应用题是近年中考中的热点，•对学生的综合能力要求较高，要勤于观察生活中的数学现象，并善于将生活中的实际问题转化为数学问题并加以解决．【例2】（2004年哈尔滨市）如图，在测量塔高AB 时，•选择与塔底在同一水平面的同一直线上的C 、D 两点，用测角仪器测得塔顶A 的仰角分别是30°和60°．•已知测角器高CE=1.5m ，CD=30m ．求塔高AB ．（答案保留根号） 【分析】由CD=30m ，可求EG=30m ，考虑到∠AGF 是△AEG 的外角，可知EG=AG ，故AG=30m ，在Rt △AGF 中可求AF 长．AB=AF+FB 问题得以解决． 【解】由题意可知：EG=CD=30米 ∵∠AEG=30°，∠AGF=60°∴∠EAG=30°∴EG=AG=30米在Rt△AFG中，sin60°=AF AG∴AF=AG·sin60°=30×32=153（米）∴AB=AF+FB=153+32（米）答：塔高AB为（153+32）米．【规律总结】本题发现EG=AG=30米，以及熟记特殊角三角函数值是关键．3．近10年来含特殊角的三角函数值的应用问题中中考中呈现上升趋势，•这类考题往往给定一些角的三角函数值供考生选用，且这类题多以中档解答题为主，望读者引起注意．【例3】（2004年沈阳市）某地一居民楼，窗户朝南，窗户的高度为h米，•此地一年中的冬至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最小为α，夏至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最大为β（如图1）．小明想为自己家的窗户设计一个直角形遮阳篷BCD，要求它既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，•又能最大限度地使冬天温度的阳光射入室内．小明查阅了有关资料，获得了所在地区∠α和∠β的相应数据：∠α=24°36′，∠β=73°30′，小明又量得窗户的高AB=1.65米．若同时满足下面两个条件：（1）•当太阳光与地面夹角为α时，要想使太阳光刚好全部射入室内；（2）•当太阳光与地面夹角为β时，要想使太阳光刚好不射入室内．请你借助图形（如图2），帮助小明算一算，•遮阳篷BCD中，BC和CD的长各是多少？（精确到0.01米）以下数据供计算中选用:sin24°36′=0.416 cos24°36′=0.909tan24°36′=0.458 cot24°36′=2.184sin73°30′=0.959 cos73°30′=0.284tan73°30′=3.376 cot73°30′=0.296【分析】图中有两个直角三角形，即△BCD 和△ACD ．•利用这两个直角三角形求解．另外题中所给数据中cot24°36′实际上是tan24°36′的倒数，今后我们会学习到． 【解】∵在Rt △BCD 中，tan ∠CDB=BCCD，∠CDB=∠α ∴BC=CD ·tan ∠CDB=CD ·tan α ∵在Rt △ACD 中，tan ∠CDA=ACCD，∠CDA=∠β ∴AC=CD ·tan ∠CDA=CD ·tan β ∵AB=AC-BC=CD ·tan β-CD ·tan α =CD （tan β-tan α） ∴CD=tan tan AB βα-= 1.653.3760.458-≈0.57（米）∴BC=CD ·tan ∠CDB ≈0.57×0.458≈0.26（米） 答：BC 的长约为0.26米，CD 的长约为0.57米．【规律总结】本题的解决关键是把∠α、∠β置于两个直角三角形中，另外要细心体会把实际问题转化为数学模型的过程和方法．4．运用解直角三角形知识解决实际问题是近年中考的热点题型，•主要涉及测量（特别是底部不可到达的物体的高度的测量）、航空、航海、工程等领域，且说理性题（如船会不会触礁，速度应提高多少，巡逻艇能否追上走私船等）比重有所加大．这类题主要考查学生应用相关知识解决实际问题的能力． 【例4】（2003年青岛）如图14-11所示，•人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时，发现在其所处位置O 点的正北方向10海里处的A 点有一涉嫌走私船只，正以24海里/时的速度向正东方向航行，为迅速实施检查，巡逻艇调整好航向，以26•海里/时的速度追赶，在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下，问 （1）需要几小时才能追上？（点B 为追上时的位置） （2）确定巡逻艇追赶方向（精确到0.1°）（参考数据：sin66.8°≈0.9191，cos66.8°≈0.3939，•sin67.•4•°≈0.•9231，cos67.4°≈0.3843，sin68.4°≈0.9298，cos68.4°≈0.3681，•sin70.•6•°≈0.9432，cos70.6°≈0.3322）．【分析】由于已知速度，本题第（1）问可利用直角△ABO 的各边长列方程求解，•第（2）问可利用sin ∠AOB=ABOB，求出∠AOB 的度数． 【解】（1）设需要t 小时才能追上，则AB=24t ，OB=26t ．在Rt △ABO 中，OB 2=AB 2+OA 2，即（26t ）2=（24t ）2+102，解得t=±1，t=-1不合题意，舍去，∴t=1，即需要1小时才能追上． （2）在Rt △ABO 中 ∵sin ∠AOB=AB OB =2426t t =1213≈0.9231， ∴∠AOB ≈67.4°即巡逻艇的追赶方向是北偏东67.4°．解题方法与技巧1．数形结合思想．【例1】已知tan α=34，求sin cos sin cos αααα+-的值． 【分析】利用数形结合思想，将已知条件tan α=34用图形表示．【解】如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=α，设BC=3k ，AC=4k ，则AB=22AC BC +=22(4)(3)k k +=5k ．∴sin α=BC AB =35k k =35 cos α=4455AC k AB k ==， ∴原式=34553455+-=-7.方法2：转化思想 【例2】已知tan α=34，求sin cos sin cos αααα+-的值． 【分析】可将所求式子的分子、分母都除以cos ，转化为含有sin cos αα的式子，•再利用tan α=sin cos αα进行转化求解． 【解】将式子sin cos sin cos αααα+-的分子、分母都除以cos α，得原式＝31tan143tan114αα++=--＝-7【规律总结】因为tanα=34所以α不等于90°，所以cosα≠0，因此分子分母可以同时除以cosα．实现转化的目的．方法3：方程思想【例3】去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合性大学，•为了方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2千米的A、B•两地之间修筑一条笔直的公路（即图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60°方向，B地的西偏北45°的C处有一个半径为0.7千米的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？【分析】过C作AB的垂线段CM，把AM、BM用含x的代数式3x，x表示，利用AM+MB=2列方程得，3x+x=2，解出CM的长与0.7千米进行比较，本题要体会设出CM的长，列方程解题的思想方法．【解】作CM⊥AB，垂足为M，设CM为x千米，在Rt△MCB中，∠MCB=∠MBC=45°，则MB=CM=x千米．在Rt△AMC中，∠CAM=30°，∠ACM=60°tan∠ACM=AM CM∴AM=CM·tan60°=3x千米∵AM+BM=2千米∴3x+x=2∴x=3-1≈1.732-2=0.732∴CM长约为0.732千米，大于0.7千米∴这条公路不会穿过公园．方法4：建模思想【例4】如图所示，一艘轮船以20里/时的速度由西向东航行，•途中接到台风警报，台风中心正以40里/时的速度由南向北移动，距离台风中心2010•里的圆形区域（包括边界）都属台风区，当轮船到A处时，测得台风中心移到位于点A•正南方向的B处，且AB=100里．（1）若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风？若会，•试求轮船最初遇到台风的时间；若不，请说明理由．（2）现轮船自A处立即提高船速，向位于东偏北30°方向，相距60里的D港驶去，为使台风到来之前到达D港，问船速至少应提高多少？（取整数，13≈3.6）【分析】本题是航海问题，把航海问题抽象成纯数学问题，建立起“解直角三角形”的“数学模型”．【解】（1）设途中会遇到台风，且最初遇到台风的时间为t小时，此时，轮船位于C 处，台风中心移到E处，连结CE，则有AC=20t，AE=AB-EB=100-40t，EC=2010在Rt△ACE中，AE2+AC2=EC2∴（20t）2+（100-40t）2=（2010）2∴t2-4t+3=0△=（-4）2-4×1×3=4>0∴途中会遇到台风解方程①得t1=1，t2=3∴最初遇到台风的时间为1小时．（2）设台风抵达D港的时间为t小时，此时台风中心至M点，过D作DF⊥AB，垂足为F，连结DM．在Rt△ADF中，AD=60，∠FAD=60°∴DF=303，FA=30又FM=FA+AB-BM=130-40tMD=2010∴（303）2+（130-40t）2=（2010）2整理，得4t2-26t+39=0解之得t1=13134-，t2=13134+∴台风抵达D港的时间为13134-小时，到D港的速度为60÷13134-≈25.5（海里/时）．因此为使台风抵达D 港之前轮船到D 港，轮船应提高6海里/时．方法5：说理性问题的解法【例5】如图，MN 表示某引水工程的一段设计路线，从M 到N 的走向为南偏东30°，在M 的南偏东60°方向上有一点A ，以A 为圆心，500m 为半径的圆形区域为居民区，•取MN 上另一点B ，测得BA 的方向为南偏东75°，已知MB=400m ，通过计算回答，如果不改变方向，输水路线是否会穿过居民区？【分析】说明输水路线是否穿过居民区，应过A 作MN 的垂线段AH ，计算出AH 的长，然后把AH 与500m 比较大小．【解】过A 作AH ⊥MN ，垂足为H ∵MK ∥BG∴∠GBH=∠KMH=30°又∵∠GBA=75°，∠HBA=45° ∴∠BAH=45° ∴AH=BH设AH 为xm ，则BH=xm ，在Rt △MHA 中，∠HMA=∠KMA-∠KMB=60°-30°=30°． ∵tan ∠HMA=AHMH∴MH=tan 30x =33x =3x∵MB=MH-BH∴3x-x=400 解得x=200（3+1）∴AH ≈546.4m>500m答：输水路线不会穿过居民区．【规律总结】此题是说理性问题，这类题要求学生对基本概念、基本定理、基本思路有清醒的认识，能根据实际问题进行相关的计算，并利用计算所得结果说明问题的原因、依据．方法6：探索性问题【例6】某学校为了改善教职工居住条件，•准备在教学楼（正楼）的正南方向建一座住宅楼（正楼），要求住宅楼与教学楼等高，均为15.6米，已知该地区冬至正午时分太阳高度最低，太阳光线与水平线的夹角为30°，如果住宅楼与教学楼间相距19.2米，如图1所示．（1）此时住宅楼的影子落在教学楼上有多高？（精确到0.1米）（2）要使住宅楼的影子刚好落在教学楼的墙角，则两楼间的距离应是多少？•（精确到0.1米） 【分析】（1）如图所示，设冬至正午太阳最低时，住宅楼顶A•点的影子落在教学楼上的C 处，那么CD 的长就是影子落在教学楼上的高度．（2）如图2所示，BC 的长就是两楼间的距离．(1) (2) 【解】（1）如图1所示，作CE ⊥AB 于E ， 在Rt △ACE 中，∠ACE=30°，EC=19.2， ∴AE=EC ·tan30°=19.2319.2 1.7323⨯≈11.1 CD=EB=AB-AE≈15.6-11.1=4.5（米）∴住宅楼的影子落在教学楼上约有4.5米高 （2）如图2所示，在Rt △ABC 中，∠ACB=30° BC=tan 30AB ︒3315.6×1.732≈27.0（米）∴要使冬至正午的太阳能够照到教学楼的墙角，两楼间的距离至少应为27.0米．【规律总结】此题为探索性题，结论没有直接给出，需要通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等活动，逐步确定结论．方法7：开放性问题【例7】某处有一天线，高度超过10米，底部四周有铁丝网围墙，•使得不能直接到达天线底部，数学小组的同学们只有测倾器和测量长度用的量绳，请你为他们设计一个能测得天线高度的方案（包括测量方法，并推导计算公式）．【分析】本题是一道开放性试题，是近年来有关解直角三角形的中考试题中，开放程度很高的题目，着重考查学生如何借助解直角三角形知识解决这类测量问题．解题中要注意测量工具所能测得的数据，以免审题失误．【解】如图所示，测倾器离地面b 米，在点B 处测得天线顶端仰角为α，从B•点向前走a 米，到达点C ，在点C 处测得天线顶端仰角为β，设AG 为x 米． 在Rt △AGC 中，CG=tan tan AG xββ= 在Rt △AGB 中，BG=tan tan AG xαα=∵BC=BG-CG ∴tan x α-tan x β=a∴x=11()tan tan aαβ-=tan tan tan tan a αββα-∴AM=AG+GM=tan tan tan tan a αββα-+b【规律总结】对于开放性问题，一般都有多种解题方法，首先应对解直角三角形知识有关的基本图形非常熟悉，然后才能给出设计方案，选择适合自己的解题方法，灵活巧妙地解答问题．方法8：综合性问题【例8】如图所示，已知A 为∠POQ 的边OQ 上一点，以A•为顶点的∠MAN 的两边分别交射线OP 于M 、N 两点，且∠MAN=∠POQ=α（α为锐角），当∠MAN 以点A 为旋转中心，AM 边从与AO 重合的位置开始，按逆时针方向旋转（∠MAN 保持不变）时，M 、N 两点在射线OP 上同时以不同的速度向右平移，设OM=x ，ON=y （y>x ≥0），△AOM•的面积为S ，且cos α，OA 是方程2z 2-5z+2=0的两个根．（1）当∠MAN 旋转30°（即∠OAM=30°）时，求点N 移动的距离； （2）求证：AN 2=ON ·MN ； （3）试求y 与x 之间的函数关系式及自变量x 的取值范围．（4）试写出S 随x 变化的函数关系式，并确定S 的取值范围．【分析】本题把解直角三角形与一元二次方程、相似三角形、平移、旋转、函数等知识糅合在一起，形成一道综合性很强的考题．本题从解一元二次方程入手，逐步挖掘隐含条件，构造直角三角形，将其转化为解直角三角形问题．【解】（1）解方程2z2-5z+2=0，得z1=12，z2=2∵α为锐角∴O<cosα<1∴OA=2，cosα=1 2∴α=60°，即∠POQ=∠MAN=60°∴ON=OA=2，如图14-20所示．当AM旋转到AM′时，点N移动到N′∴∠M′N′A=30°，∠OAN′=90°，在Rt△OAN′中，ON′=2AO=2×2=4，∴MN′=ON′-ON=4-2=2∴点N移动距离为2（2）如图1所示，在△OAN和△AMN中，∠AON=∠MAN，∠ANO=∠MNA，∴△AON•∽△MAN，∴ANMN=ONAN，∴AN2=ON·MN(1) (2) （3）如图2所示，过A作AH⊥OP于点H．∵MN=ON-OM=x-y，∴AN2=ON·MN=y（y-x）=y2-xy在Rt△AOH中，OH=OA·cos60°=2×12=1∴AH=OA·sin60°3∴HN=ON-OH=y-1在△ANH中，AN2=AH2+HN2=32+（y-1）2=y2-2y+4，∴y2-xy=y2-2y+4，整理得y=42x．∵y>O ∴2-x>O ∴x<2 又∵x ≥O∴x 的取值范围是O ≤x<2（4）如图2所示，在△AOM 中，OM 边上的高AH 为，∴S=12OM ·AH=12·x 2x∵S 是x ∴S 随x 的增大而增大∴O ≤ 【规律总结】本题通过作OM 边上的高AH ，从而将其转化为解直角三角形问题，在解有关综合性问题时，要注意挖掘隐含条件，合理运用相应知识，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系沟通各知识点间的联系．中考试题归类解析（一）锐角三角函数 【例1】（2003，大连）在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则B 的值为（ ） A ．45 B ．35 C ．43 D ．34【思路分析】由勾股定理可知AB=5，根据锐角三角函数的定义可知cosB=35BC AB 解：答案B 【例2】（2003，南京）在△ABC 中，∠C=90°，tanA=1，那么cotB 等于（ ）A C ．1 D ．3【思路分析】由互为余角的三角函数关系可知：cotB=tanA=1 解：答案C【规律总结】本题也可由tanA=1得到∠A=45•°，•所以∠B=•45•°，• 故cotB=cot45°＝1【例3】（2003，黄冈）已知∠A 为锐角，且cosA ≤12，那么（ ） A ．0°∠A ≤60° B ．60°≤A ∠90° C ．0°∠A ≤30° D ．30°≤A ∠90°【思路分析】锐角三角函数的余弦值随角度的增大而减小，因为∠A 为锐角，所以O<cosA ≤12，即cos90°<cosA ≤cos60°，所以60°≤A<90° 解：答案B【例4】（2004，山西）计算：sin 248°+sin 242°-tan44•°·•tan45•°·•tan46•°=_______．【思路分析】利用互为余函数的关系化为同角函数，再利用同角三角函数公式就可求出值．【解】sin 248°+sin 242°-tan44°·tna45°tan46°=sin 248°+cos 248°-tan44°·cot44°tan45° =1-1×1 =0 故应填：0【规律总结】解决这样的问题一是要善于互化函数，往公式上靠，二是特殊角的三角函数值要记住．【例5】（2004，宁波）计算：（π-3）°-（12）-2+（-1）3-sin 245° 【思路分析】按运算法则和运算顺序直接计算即可． 【解】（π-3）°-（12）-2+（-1）3-sin 245° =1-211()2+（-1）3-（2）2 =1-4-1-12=-412【规律总结】在中考题中象这样代数值的运算和三角函数值的运算结合在一起的比较多．（二）解直角三角形【例1】已知如图所示，在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ．【求证】S △ABC =12absinc=12bcsinA=12casinB ． 【思路分析】要求面积关键是作高，构造出直角三角形利用锐角三角函数的定义加以理解．【证明】过A 点作AD ⊥BC 垂足为D 在Rt △ABD 中，sinB=ADAB∴AD=AB ·sinB=c ·sinB∴S=12AD ·BC=12ac ·sinB 同理可证，S=12absinc=12bcsinA【例2】如图，若CD 是Rt △ABC 斜边上的高，AD=3，CD=4，则BC=_____．【思路分析】先利用勾股定理求出AC 长再利用相似比就可求出BC 【解】∵AC 2=AD 2+DC 2 而AD=3 CD=4 ∴AC=3234+=5 Rt △CDA ∽Rt △BDCAD CD =ACBCBC=542033AC CD AD ⨯⨯==故应填：203【规律总结】：本题也可以利用射影定理去解．【例3】一艘渔船在A 处观测到东北方向有一小岛C ，周围4.8海里范围内是水产养殖场，渔船沿北偏东30°方向航行10海里到达B 处，在B 处测得小岛C•在北偏东60°方向，这时渔船改变航线向正东（即BD ）方向航行，这艘船是否有进入养殖场的危险． 【思路分析】是否有进入养殖场的危险就是看C 点到BD 的距离是多少，•如果大于4．8海里就没有进入养殖场的危险，否则就有危险．【解】过C 点作BD 的垂线与BD 交于E 点 ∠BAC=60°-45°=15° ∠BCA=45°-30°=15° 在Rt △CBE 中， sin ∠CBE=CEBCCE=BC·sin∠CBE=10×1 2=5（海里）∵4.8<5∴没有进入养殖场的危险．【规律总结】这种类型题关键是要构建直角三角形计算距离，再根据距离大小来判断是否有危险．中考试题集萃（一）填空题1．（2004，宁波）sin45°=________．2．（2004，衡阳）∠A为锐角，若cosA=13，则sin（90°-A）=_______．3．（2004，芜湖）在直角三角形ABC中，∠C=90°，已知sinA=35，则cosB=________．4．（2004，常州）若∠α′的余角是30°，则∠α′=_______°，sin∠α′=________． 5．（2004，江西）在△ABC中，若AC=2，BC=7，AB=3，则cosA=________．6．（2004，沈阳）在Rt△ABC中∠C=90°，tanA=23，AC=4，则BC=_______．7．（2004，上海）在△ABC中，∠A=90°，设∠B=θ，AC=b，则AB=______．（用b和θ的三角比表示）8．（2004，深圳）计算：3tan30°+cot45°-2tan45°+2cos60°=________．9．（2004，西宁）某人沿倾斜角为β的斜坡走了100m，则他上升的高度是______m． 10．（2004，潍坊）某落地钟钟摆的摆长为0.5m，来回摆动的最大夹角为20°，已知在钟摆的摆运过程中，摆锤离地面的最低高度为am，最大高度为bm，则b-a=_______m（不取近似值）．（二）选择题1．小强和小明去测量一座古塔的高度（如图）他们在离古塔60m•的A处，用测角仪器测得塔顶的仰角为30°，已知测角仪器高AD=1.5m，则古塔BE的高为（• ）A．（203-1.5）m B．（203+1.5）mC．31.5m D．28.5m2．在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，则锐角A的正切值（）A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．扩大4倍 D．没有变化3．用科学计算器计算锐角α的三角函数值时，•不能直接计算出来的三角函数值是（ ）A ．cot αB ．tan αC ．cos αD ．sin α 4．计算sin30°·cot45°的结果是（ ）A ．12B ．2C ．6D ．45．=（ ）A ．1-3 B -1 C ．3-1 D ． 6．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=12，cosA=1213，则tanA 等于（ ） A ．513 B ．1312 C ．125 D ．5127．已知α为锐角，tan αcos α等于（ ）A ．12B ．2C 8．在△ABC 中，∠C=90°，sinA=，则cosB 的值为（ ）A ．12B ．2C ．2D ．39．在△ABC 中，∠C=90°，AB=5，BC=3，CA=4，那么sinA 等于（ ） A ．34 B ．43 C ．35 D ．45（三）解答题1．（2004，芜湖）在△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且sinA=12，，AB=10，•求△ABC 的面积．2．（2004，大连）如图，某校自行车棚的人字架棚顶为等腰三角形，D是AB的中点，•中柱CD=1m，∠A=72°，求跨度AB的长（精确到0.01m）．3．（2004，南京）如图，天空中有一个静止的广告气球C，从地面A点测得C点的仰角为45°，从地面B点测得C点的仰角为60°，已知AB=20m，点C和直线AB在同一铅垂平面上，求气球离地面的高度．（结果保留根号）．4．（2004，贵阳）某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼（如图），该居民楼的一楼是高6m的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼的前面15m处要盖一栋高20m的新楼，当冬季正午的阳光与水平线的夹角为32°时，问：（1）超市以上的居民住房采光是否有影响？为什么？（2）若要使超市采光不受影响，两楼应相距多少米？（•结果保留整数，•参考数据：sin32°≈53100，cos32°≈106125，tan32°≈58）5．（2004，济南）如图表示一山坡路的横截面，•CM•是一段平路，•它高出水平地面24m，从A到B，从B到C是两段不同坡角的山坡路，山坡路AB的路面长100m，•把山坡路BC的坡角降到与AB的坡角相同，使得∠DBI=5°．（精确到0.01m）（1）求山坡路AB的高度BE．（2）降低坡度后，整个山坡的路面加长了多少米？（sin5°=0.0872，cos5°=0.9962，sin12°=0.2079，cos12°=0.9781）答案:一、填空题1．222．133．354．60°，325．236．837．b·cos或tanb83．100sinβ 10．12（1-cos10°）•二、选择题1．B 2．D 3．A 4．A 5．A 6．D 7．A 8．C 9．C 三、解答题1253 32．3.93m3．解：作CD⊥AB，垂足为D，设气球离地面的高度是xm在Rt△CBD中，∠CAD=45°∴AD=CD=x在Rt△CBD中，∠CBD=60°∴cot60°=BD CD∴BD=3 3∵AB=AD-BD，∴20=x-33x∴x=30+103．答：气球离地面的高度是（30+103）m．4．（1）如图设CE=x米，则AF=（20-x）米，tan32°=AFEF，即20-x=15·tan32°x=11∵11>6，∴居民住房的采光有影响．（2）如图：tan32°=ABBF，BF=20×85=32两楼应相距32米．5．（1）在Rt△ABE中BE=ABsin∠BAE=100sin5°=100×0.0872=8.72（米）．（2）在Rt△CBH中CH=CF-HF=15.28BC=sin CH CBH ∠=15.28sin12︒≈73.497在Rt△DBI中DB=sin DIDBI∠=15.28sin5︒≈175.229∴DB-BC≈175.229-73.497=101.732≈101.73（米）．。
直角三角形的边角关系知识点
直角三角形的边角关系知识点一、勾股定理勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于两个其他两边平方的和。
即a^2+b^2=c^2，其中c表示直角边，a和b分别表示斜边。
二、正弦定理正弦定理是指在任意三角形中，任意两边的比例等于它们所对的角的正弦值的比例。
在直角三角形中，不包含直角的两个角分别为A和B，直角所对的边为c，则正弦定理可以表示为sinA=a/c，sinB=b/c。
三、余弦定理余弦定理是指在任意三角形中，任意一边的平方等于另外两边的平方和减去它们的两倍乘以它们夹角的余弦。
在直角三角形中，不包含直角的两个角分别为A和B，直角边所对的边为c，则余弦定理可以表示为cosA=b/c，cosB=a/c。
四、正切定理正切定理是指在任意三角形中，两条边的比例等于它们所对的角的正切值的比例。
在直角三角形中，不包含直角的两个角分别为A和B，直角所对的边为c，则正切定理可以表示为tanA=a/b，tanB=b/a。
五、边角关系1.直角三角形中，一个角是90度，另外两个角的和是90度。
2.直角三角形中，直角边所对的角是90度，而另外两边所对的角是锐角。
3.直角三角形中，两个锐角的正弦、余弦、正切值彼此互为倒数。
4.直角三角形中，两个锐角的余弦值等于彼此的正弦值。
5.直角三角形中，一个锐角的正弦值等于另一个锐角的余弦值。
六、特殊三角形1.在直角三角形中，当两个直角边的长度相等时，该直角三角形为等腰直角三角形。
2.在等腰直角三角形中，两个锐角相等，且为45度。
3.在等腰直角三角形中，斜边的长度等于直角边的平方根的两倍。
以上是直角三角形的边角关系的主要知识点。
通过对直角三角形的边长和角度关系的了解，我们可以应用这些关系来解决与直角三角形相关的问题。
同时，直角三角形也是三角学中一个重要的基础概念，为后续学习提供了坚实的基础。
边角关系知识点总结
边角关系知识点总结1. 任意三角形的边角关系：（1）在任意三角形中，三个内角的和等于180°，即A + B + C = 180°。
（2）三角形的外角等于其不相邻的两个内角的和。
也就是说，三角形的一个内角加上其对边的外角等于180°。
（3）在任意三角形中，任意两边之和大于第三边。
即AB + BC > AC、AC + BC > AB、AB + AC > BC。
2. 直角三角形的边角关系：（1）直角三角形的三个内角中，一个为90°，一个为锐角，一个为钝角。
（2）直角三角形的斜边是其它两条边的平方和的平方根。
即c² = a² + b²。
（3）直角三角形的两个锐角互余，即一个角的余角是另一个角。
3. 等腰三角形的边角关系：（1）等腰三角形的底边相等，顶角相等。
（2）等腰三角形的底角相等，顶角相等。
（3）等腰三角形的底边上的高相等。
4. 等边三角形的边角关系：（1）等边三角形三个内角相等，每个角都是60°。
（2）等边三角形的三条边相等。
（3）等边三角形的高、中线、角平分线、垂径都是同一条线段。
5. 直角三角形、等腰三角形和等边三角形的区别：（1）直角三角形有一个角是90°，等腰三角形和等边三角形没有。
（2）等腰三角形有两条边相等，直角三角形和等边三角形没有。
（3）等边三角形的三条边都相等，直角三角形和等腰三角形没有。
6. 三角形的角平分线：（1）三角形的角平分线是指从三角形的一个角的顶点出发，把这个角平分成两个相等的角的线段。
（2）三角形的三个角都各有一条角平分线。
（3）角平分线和对边的比例关系：AB/BD = AC/CD。
7. 外接角和内切角：（1）外接角：指与三角形的外角相对应的一个角，外接角等于两个不相邻内角的和。
（2）内切角：指与三角形的内角相对应的一个角，内切角等于两个不相邻外角的和。
8. 三角形的全等条件：（1）两个三角形的三边全相等，则这两个三角形全等。
直角三角形边角关系知识点
直角三角形边角关系专题复习一. 知识体系：1. 三种三角函数与直角三角形中边与角的关系，在Rt△中在此应注意的问题是无论是求哪一个角的三角函数，一定要先把这个角放在直角三角形中 2. 特殊角的三角函数值3. 三角函数的有关计算（对于一般角的三角函数值可利用计算器）41 2 3 4.三角函数的应用（）测山的高度（）测楼的高度（）测塔的高度（）其它⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪题型一：三角形内的计算问题（计算三角函数值、面积等） 例1．在ABC Rt ∆中，∠C=90° ，且21sin =A ，AB=3，求BC ，AC 及B ∠.例2．已知，四边形ABCD 中，∠ABC = ∠ADB =090，AB = 5，AD = 3，BC = 32，求四边形ABCD 的面积。
例3．如图，在Rt ABC ∆中，90BCA ∠=︒，CD 是中线，5,4BC CD ==，求AC 的长。
B变式训练：1、ABC Rt ∆中，∠C=90°，AC=4，BC=3，B cos 的值为…………………【 】 A 、51 B 、53 C 、 34 D 、 432、在菱形ABCD 中，∠ABC=60° ， AC=4，则BD 的长是…………………【 】 A 、 38 B 、34 C 、32 D 、83、在ABC Rt ∆中，∠C=90° ，A tan =3，AC=10，则S △ABC 等于………【 】 A 、 ３ B 、３00 C 、350D 、1５0 4、在Rt △ABC 中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A 的正弦值（ ） A.扩大2倍 B.缩小2倍 C.扩大4倍 D.没有变化5、在ABC Rt ∆中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c 三边，则下列式子一定成立的是………………………………………………………………【 】 A 、B c a sin ⋅= B 、B c a cos ⋅= C 、Bac tan =D 、A a c sin ⋅= 6、等腰三角形的腰长为10cm ，顶角为120，此三角形面积为 。
三角形的概念及边角关系
三角形的概念及边角关系一、知识梳理（一）三角形的基本概念及性质：1．三角形的定义① 边② 顶点③ 角④ 外角2．三角形中的几条主要线段：① 三角形的角平分线；② 三角形的中线；③ 三角形的高线3．三角形的主要性质：① 三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边．180② 三角形的三个内角之和等于③ 三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角和．④ 三解形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角．⑤ 三角形具有稳定性，即三边长确定后三角形的形状保持不变．（二）三角形的分类：二、典例剖析例1. △ABC中，AB＝5，BC＝7，则AC的取值范围是____________________．变式1.有4根木条，长度分别为12 、10 、8 、4选其中三根组成三角形则能组____个三角形．变式2.若等腰三角形，一边长为4 cm，另一边为9 cm，则三角形的周长是 _______ cm．变式3.AD是△ABC的中线，AC=3，AB=4，那么△ABD和△ADC的周长之差是 __ 。
变式4. 等腰三角形的一边长是8 cm，周长是18 cm，则等腰三角形的腰长是 cm.例2. △ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则△ABC是______三角形．变式1. 如图，AD、BC相交于O点，AB∥CD，∠B＝30º，∠AOB＝100°，则∠ADE＝__________．变式2. 如图，已知∠1＝20º，∠2＝25º，∠A＝36°，则∠BDC＝______．变式3.已知△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C，满足∠B＋∠C＝3∠A，则此三角形（）A．一定有一个内角45°B．一定有一个内角80°C．一定是直角三角形D．一定是钝角三角形ABDCE例3. 下列结论正确的是（ ）A. 三角形的外角一定大于内角 B ． 三角形的三条高线都在三角形的内部 C. 三角形任何两边之和不小于第三边Ｄ. 三角形的内角平分线与相邻外角的平分线互相垂直变式1.三角形的角平分线、中线、高都是（ ）A ．直线B ．射线C ．线段D ．不确定变式2. 若a ，b ，c 为△ABC 的三边，则代数式 (a －b ＋c)(a －b －c) 的值为（ ）A ．大于零B ．等于零C ．小于零D ．无法确定变式3. 在△ABC 中,D 是BC 上的点,且BD:DC=2:1,S △ACD =12,那么S △ABC 等于( ) A.30 B.36 C.72 D.24例4. 在△ABC 中,∠A=50°,高BE 与,角平分线AD 所在的直线交于点O,求∠BO D 的度数.变式1. （山西中考题） 如图，已知△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，AE 为∠BAC 的平分线， 且∠B=35˚，∠C=65˚，求∠DAE 的度数。
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第十四章三角形中的边角关系
一、三角形的分类
1、按边分类：
2、按角分类：
不等边三角形直角三角形三角形三角形锐角三角形等腰三角形（等边三角形是特例）斜三角形钝角三角形
二、三角形的边角性质
1、三角形的三边关系：
三角形中任何两边的和大于第三边；任何两边的差小于第三边。
2、三角形的三角关系：
三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于180°。
三角形外角和定理：三角形的三个外角的和等于360°。
3三角形的外角性质
（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
（2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
三、三角形的角平分线、中线和高
（说明：三角形的角平分线、中线和高都是线段）
四、命题
1、命题：凡是可以判断出真（正确）、假（错误）的语句叫做命题。
2、命题分类
真命题：正确的命题
命题假命题：错误的命题
3、互逆命题
4、反例：符合命题条件，但不满足命题结论的例子称为反例。
原命题：如果p，那么q；
逆命题：如果q，那么p。
（说明：交换一个命题的条件和结论就是它的逆命题。
）。