学年成都理工大学第二学期《高等数学 I Ⅱ》 下 期末考试试卷 高数下试题及答案
x 1 1
y2 0
z 3 1
，
L2
：
x2 2
y 1 1
z 1
，求通过
L1
且与
L2 平行的平面方程。
解： n1 {1,0,1} , n2 {2,1,1}
n1 n2 {1, 3,1} 为所求平面的法向量 又平面过 L1 当然也过 L1 上的点（1，2，3） 所求平面为 (x 1) 3( y 2) (z 3) 0 即 x 3y z 2 0
n1
n1
证明： cn 收敛。
n1
证明： an cn bn
0 cn an bn an
(bn an )收敛
n1
(cn an )收敛
n1
cn an (cn an )
.................(3)
an 又收敛
n1
－7－
cn收敛
n1
.................(2)
D． f (1, 1) 是函数的极大值
5. 设 f (x, y) 为连续函数，则
4 d
1 f (r cos , r sin )rdr 等于（
0
0
A．
2
2 dx
1 x2
f (x, y)dy0Βιβλιοθήκη x21 x2
B. 2 dx
f (x, y)dy
0
0
C）
－2－
2
1 y2
C. 2 dy
f (x, y)dx
－8－
3
5. 设函数 f (u) 可微，且 f '(0) 1 ，则 z f (4x2 y2) 在点（1，2）处的全微分， 2
dz |(1,2) = 4dx 2dy
。
︵
6. 计算
3
dx
2
sin y2dy =
1
x1
1 ( 1 c o s 。4 ) 2
︶
7．函数
f
(x)
2 x
x 6
0 x 4 展开为周期是 8 的傅立叶级数为 4 x8
1分
四、计算（每小题 7 分，共 21 分） 得 分
1. 计算 x2 3y dx y2 x dy ，其中 L 为沿上半圆周： y 4x x2 从 L O 0,0 到 A4，0 的一段弧。
解：为了使用格林公式，添加辅助线段 AO ,它与 L 所围区域为 D ,则
原式
（3 分） （3 分）
2. 求曲线 y2 2mx ， z2 m x 在点 (x0, y0, z0) 处的切线及法平面方程。 解：设曲线的参数方程的参数为 x
2 y dy 2m dy m
dx
dx y
2z dz 1 dz 1
dx
dx 2z
曲线在点 (x0, y0, z0) 的切向量为
－3－
解： 在 xOy 面上的投影为 Dxy：x2 y2 2 ，故
M dS 3 1 4 x2 y2 dxdy
Dxy
2分
2
3 d
2
r
1 4r 2 dr
0
0
3分
6 1 2 1 4r2 d 1 4r2 13 80
2分
3．求 y2zdxdy z2xdydz x2 ydzdx ，其中 为由 x2 y2 1，z x2 y2 与 z 0
2分
(x 2)(x 3) x 2 x 3 2 1 x 3 1 x
2
3
1 (1)n x n 1 (1)n xn
2 n0 2n
3 n0 3n
n0
( 1)
n
1 2 n 1
1 3n1
xn
3分
1 1
x 2 x 3
1
1
2 3
x x
2 3
2
x
2
因此，收敛域为： (2 , 2)
2 z cos z zy (eyz x cos z) sin x(e yz x cos z)y
xy
(e yz x cos z)2
2分 1分
1分
－4－
2z
1
xy
e
(0,1)
2分
5.
将函数
f (x)
1 展开成 x 的幂级数，并求其收敛域． x2 5x 6
解： f (x)
1
1 1 1 1 1 1
成都理工大学 2014—2015 学年
第二学期《高等数学》（Ⅰ，Ⅱ）考试试卷
大题
一
二
三
四
五
总分
得分
一．填空题（每小题 3 分，共 21 分） 得 分
1．曲线积分 I (x2 y2 )ds （其中 L 是圆周： x2 y2 9 ）的值为 L 54 。
2．函数 u xy2z 在点（1，-1，2）处沿
C、若函数 z f (x, y) 在点 (x0, y0) 处连续，则函数在该点的偏导数一定存在． D、若函数 z f (x, y) 在点 (x0, y0) 处偏导数存在，则函数在该点一定连续．
2.
极限 lim(1
1
x2
) x y
(
B
)
x xy
ya
(a 0)
1
A．1
B. e a
C. 0
D.
3.
T {1, m , 1 }
4分
y0 2z0
于是，切线方程为
x x0 y y0 z z0
1分
1
m 1
y0
2z0
法平面方程为
m
1
(x x0 ) y0 ( y y0 ) 2z0 (z z0 ) 0
1分
3. 设 z f (x y, x sin y) ，其中 f 具有二阶连续偏导数，求 2z . xy
16
(2k 1)x
0 (2k 1)2 2 cos
4
( x ) ，则 s(100)
-2
－1－
二、选择题（每小题 3 分，共 18 分） 得 分
1. 下列说法正确的是（ B ）
A、若函数 z f (x, y) 在点 (x0, y0) 处各偏导数存在，则函数在该点可微分． B、若函数 z f (x, y) 在点 (x0, y0) 处可微分，则函数在该点的偏导数一定存 在．
0
0
证： 1e f xdx 1e f ydy
0
0
e f x f yd x d y 0 x 1 0 y1
2分
1
e f x f y e f y f x dxdy
2 0x1
0 y1
2分
1 2
D
2dxdy
1
1分
2．若级数 an 收敛，级数 bn 收敛 ，且 an cn bn (n 1, 2,3, )
0
y
2
1 y2
D. 2 dy
f (x, y)dx
0
0
6. 对级数 ( na )n (a 0) ，下列结论中错误的是（ D ） n1 n 1
A． a 1 时发散
B. a 1 时收敛
C. a 1 时发散
D. a 1 时收敛
三、计算（每小题 6 分，共 30 分） 得 分
1．已知直线 L1 ：
解： z x
f1
f2 sin
y
2分
2z xy
f11
(x cos
y
sin
y)
f12
f2 cos
y
x cos
y sin
yf 22
4分
（因 f12 f 21 ）
4. 设方程 eyz x sin z e 确定了点 (x, y) (0,1)附近的一个隐函数 z z( x, y) 求
z x
|(0,1)
级数
cos n
是
n1 3 n2 n
（A）
（A）条件收敛 （C）发散
（B）绝对收敛 （D）不能判断
4. 设 f (x, y) 3x x3 y2 2y ，则下列结论正确的是（ C ）
A． f (1, 1) 是函数的极小值
B． f (1, 1) 是函数的极大值
C． f (1, 1) 是函数的极小值
x2 3y dx y2 x dy x2 3y dx y2 x dy
L AO
OA
2分
4 d x d y 4 2 x d x
D
0
4分
8 64
1分
3
－5－
2. 已知曲面壳 z 3 x2 y2 的面密度 x2 y2 z ，求此曲面壳在平面 z 1
以上部分 的质量 M 。
所围成的封闭曲面，方向取外侧。
解： P z2x ， Q x2 y ， R y2z ， Px z2 ， Q y x2 ， Rz y2 ，
由高斯公式可得 y2zdxdy z2xdydz x2 ydzdx
= (Px Qy RZ )dv
= (x2 y2 z2 )dv
3分
－6－
=
2, 4,1 方向的方向导数最大。
3．函数 u x2 y2 z2 在点 P0 (1,1,1) 处沿 OP0 方向的方向导数为 2 3 ，其中 O 为坐标原点。
4 ． 区 域 D ： x2 y2 R2(R 0) , 则 积 分 (R x2 y2 )dxdy 的 值 为
D
1 R3
。
2
d
1
rdr
r2 (r 2 z2 )dz
0
0
0
= 2
1r(r2z 1 z3)
0
3
r2 0
dr
= 2 1r(r4 1 r6 )dr = 5
0
3
12
3分 1分
五、解答及证明题下列各题（每小题 5 分，共 10 分） 得 分
1．设 f x C0,1，证明： 1e f xdx 1e f ydy 1
大学高等数学下考试题库附答案新编
大学高等数学下考试题库附答案新编Last updated on the afternoon of January 3, 2021《高等数学》试卷1（下）一.选择题（3分⨯10）1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （）..4 C 向量j i b k j i a +=++-=2,2，则有（）.A.a ∥bB.a ⊥b 3,π=b a .4,π=b a 3.函数1122222-++--=y x y x y 的定义域是（）.(){}21,22≤+≤y xy x .(){}21,22<+<y x y x (){}21,22≤+<y x y x (){}21,22<+≤y x y x4.两个向量a 与b 垂直的充要条件是（）.0=⋅b a 0 =⨯b a 0 =-b a 0 =+b a 函数xy y x z 333-+=的极小值是（）. 2-1-设y x z sin =，则⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂4,1πy z ＝（）. 2222-22-若p 级数∑∞=11n p n 收敛，则（）. p 1<1≤p 1>p 1≥p 幂级数∑∞=1n nnx 的收敛域为（）.[]1,1-()1,1-[)1,1-(]1,1-幂级数nn x ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛02在收敛域内的和函数是（）.x -11x -22x -12x-21微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（）. x ce y =x e y =x cxe y =cx e y =二.填空题（4分⨯5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________.2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________.3.设13323+--=xy xy y x z ，则=∂∂∂y x z 2_____________________________. 4.x+21的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________.三.计算题（5分⨯6）1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求.,yz x z ∂∂∂∂ 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,y z x z ∂∂∂∂ 3.计算σd y x D⎰⎰+22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D .4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）.5.求微分方程x e y y 23=-'在00==x y条件下的特解.四.应用题（10分⨯2）1.要用铁板做一个体积为23m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？2..曲线()x f y =上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的2倍，且曲线过点⎪⎭⎫ ⎝⎛31,1，求此曲线方程 .试卷1参考答案一.选择题CBCADACCBD二.填空题1.0622=+--z y x .2.()()xdy ydx xy +cos .3.19622--y y x .4.()n n n nx ∑∞=+-0121.5.()xe x C C y 221-+=.三.计算题 1.()()[]y x y x y e x zxy +++=∂∂cos sin ，()()[]y x y x x e y zxy +++=∂∂cos sin . 2.12,12+=∂∂+-=∂∂z yy z z xx z.3.⎰⎰=⋅πππρρρϕ202sin d d 26π-. 4.3316R .5.x x e e y 23-=.四.应用题1.长、宽、高均为m 32时，用料最省.2..312x y =《高数》试卷2（下）一.选择题（3分⨯10）1.点()1,3,41M ，()2,1,72M 的距离=21M M （）. 12131415设两平面方程分别为0122=++-z y x 和05=++-y x ，则两平面的夹角为（）.6π4π3π2π函数()22arcsin y x z +=的定义域为（）.(){}10,22≤+≤y x y x .(){}10,22<+<y x y x()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+≤20,22πy x y x .()⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+<20,22πy x y x4.点()1,2,1--P 到平面0522=--+z y x 的距离为（）..4 C 函数22232y x xy z --=的极大值为（）..1 C 1-21设223y xy x z ++=，则()=∂∂2,1xz （）..7 C 若几何级数∑∞=0n n ar 是收敛的，则（）.1≤r 1≥r 1<r 1≤r 幂级数()n n x n ∑∞=+01的收敛域为（）.[]1,1-[)1,1-(]1,1-()1,1-级数∑∞=14sinn nna 是（）. A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.不能确定10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（）.cx e y =x ce y =x e y =x cxe y =二.填空题（4分⨯5）1.直线l 过点()1,2,2-A 且与直线⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z t y t x 213平行，则直线l 的方程为__________________________.2.函数xy e z =的全微分为___________________________.3.曲面2242y x z -=在点()4,1,2处的切平面方程为_____________________________________.4.211x +的麦克劳林级数是______________________. 5.微分方程03=-ydx xdy 在11==x y 条件下的特解为______________________________.三.计算题（5分⨯6）1.设k j b k j i a 32,2+=-+=，求.b a ⨯2.设22uv v u z -=，而y x v y x u sin ,cos ==，求.,yz x z ∂∂∂∂3.已知隐函数()y x z z ,=由233=+xyz x 确定，求.,yz x z ∂∂∂∂ 4.如图，求球面22224a z y x =++与圆柱面ax y x 222=+（0>a ）所围的几何体的体积.5.求微分方程023=+'+''y y y 的通解.四.应用题（10分⨯2）1.试用二重积分计算由x y x y 2,==和4=x 所围图形的面积.2.如图，以初速度0v 将质点铅直上抛，不计阻力，求质点的运动规律().t x x =（提示：g dt x d -=22.当0=t 时，有0x x =，0v dt dx=）试卷2参考答案一.选择题CBABACCDBA.二.填空题 1.211212+=-=-z y x .2.()xdy ydx e xy +.3.488=--z y x .4.()∑∞=-021n n n x .5.3x y =.三.计算题1.k j i 238+-.2.()()()y y x y y y y x y z y y y y x x z 3333223cos sin cos sin cos sin ,sin cos cos sin +++-=∂∂-=∂∂. 3.22,z xy xz y z z xy yz x z +-=∂∂+-=∂∂. 4.⎪⎭⎫ ⎝⎛-3223323πa . 5.x x e C e C y --+=221.四.应用题 1.316. 2.00221x t v gt x ++-=. 《高等数学》试卷3（下）一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分）1、二阶行列式2-3的值为（）45A 、10B 、20C 、24D 、222、设a=i+2j-k,b=2j+3k ，则a 与b 的向量积为（）A 、i-j+2kB 、8i-j+2kC 、8i-3j+2kD 、8i-3i+k3、点P （-1、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0的距离为（）A 、2B 、3C 、4D 、54、函数z=xsiny 在点（1，4π）处的两个偏导数分别为（） A 、,22,22B 、,2222-C 、22-22-D 、22-,225、设x 2+y 2+z 2=2Rx ，则y z x z ∂∂∂∂,分别为（） A 、z y z R x --,B 、z y z R x ---,C 、z y z R x ,--D 、zy z R x ,- 6、设圆心在原点，半径为R ，面密度为22y x +=μ的薄板的质量为（）（面积A=2R π）A 、R 2AB 、2R 2AC 、3R 2AD 、A R 221 7、级数∑∞=-1)1(n nnn x 的收敛半径为（） A 、2B 、21C 、1D 、3 8、cosx 的麦克劳林级数为（）A 、∑∞=-0)1(n n)!2(2n x n B 、∑∞=-1)1(n n )!2(2n x n C 、∑∞=-0)1(n n )!2(2n x n D 、∑∞=-0)1(n n )!12(12--n x n 9、微分方程(y``)4+(y`)5+y`+2=0的阶数是（）A 、一阶B 、二阶C 、三阶D 、四阶10、微分方程y``+3y`+2y=0的特征根为（）A 、-2，-1B 、2，1C 、-2，1D 、1，-2二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分）1、直线L 1：x=y=z 与直线L 2：的夹角为z y x =-+=-1321___________。
第二学期高数(下)期末考试试卷与答案
第二学期期末高数（下）考试试卷及答案 1 一、填空题(每空 3 分，共15 分)1.设0t2F x e dt，则F x2x22xxe.12.曲面z sin x cos y在点, ,442处的切平面方程是x y2z10.3.交换累次积分的次序：1233xdy f x, y dx dy f x, y dx 001023xdx f x, y dy.x24.设闭区域 D 是由分段光滑的曲线L 围成,则：使得格林公式：Q Px ydxdy Pdx Q dy D L成立的充分条件是：P x, y和Q x, y在D上具有一阶连续偏导数. 其中L 是D 的取正向曲线;5.级数n1n1n3n1的收敛域是3, 3.二、单项选择题( 每小题 3 分, 共15 分)1.当x0，y0时,函数32x y42x y的极限是D1 A.等于0; B. 等于;31C. 等于;D. 不存在.42.函数z f x, y在点x0, y0处具有偏导数f x x0, y0，f x, y是函数在该点可微分的Cy00A. 充分必要条件;B.充分但非必要条件;C.必要但非充分条件;D. 既非充分又非必要条件.1x3.设z e cos y x sin y，则dz1Bxy0A. e;B. e dx dy;C.1e dx dy; D.xe dx dy.4.若级数na x在x1处收敛,1nn1则此级数在x2处AA. 绝对收敛;B.条件收敛;C.发散;D.收敛性不确定.5.微分方程3xy6y9y x1e的特解y应设为DA.3xae; B.3xax b e;C.3xx ax b e; D.23xx ax b e.三.（8 分）设一平面通过点3,1, 2,而且通过x4y3z直线,求该平面方程.521解：A3,1, 2, B4, 3,0AB1, 4, 2平行该平面该平面的法向量n5, 2,11, 4, 28, 9, 22所求的平面方程为：8x39y122z20即：8x9y22z590y四.（8 分）设z f xy, e,其中f u,v具有二阶连续偏导数,试求2z z和x x y.y 解：令u xy，v ezyfux22zx y yy yf f y xf e f u u uu uv五.（8 分）计算对弧长的曲线积分22x ye ds L其中L是圆周222x y R与直线x0, y0在第一象限所围区域的边界.解：L L1L2L322200其中：L1：x y R x, yL：x00y R2L：y00x R322222222x y x y x y x ye ds e ds e ds e dsL L L L12322x y R R而R ee ds e R dt20 2L122Rx y y Re ds e dy e1L222Rx y x Re ds0e dx e 1 L322x y R R故：e ds R e 2e12L六、（8 分）计算对面积的曲面积分4z2x y dS,3x y z其中为平面1234在第一卦限中的部分.解：D：xy0x230y3x212261z zx y33461z2x y dS4dxdy33Dxy3423xdx61dy461,2003七.（8 分）将函数f x12x4x3,展开成x 的幂级数.解：f x 111111121x3x21x61x3,而11121x2n1n nx, 1,1n111x63n013nx n, 3, 3n n11f x11x, 1,1n12 3 n八.（8 分）求微分方程：423222 5x3xy y dx3x y3xy y dy0的通解.解：P Qy x 63xy y2,原方程为：422322 5x dx y dy(3xy y)dx3x y3xy dy 5133223dx d y d x y y x325133223d x y x y y x32通解为：5133223x y x y y x C324九.幂级数：y x12462n x x x x2! 4! 6! 2n!x,1.试写出y x y x的和函数;（4 分）2nx的和函数.（8 分）2.利用第 1 问的结果求幂级数n02n!解：1、y x x352n1x x x3! 5! 2n1!,于是23x xxy x y x1x e,2! 3!2、令：S x2nxn02n!由1 知：xS x S x e且满足：S01通解：1x x x x x S x e C e e dx C e e2由S01，得：1C；故：21x xS x e e2十.设函数f t在0, 上连续,且满足条件1122f t f x y dv2t1tt其中t是由曲线2z tyx0,绕z轴旋转一周而成的曲面与平面z t(参数t0)所围成的空间区域。
高等数学下期末试题七套附答案
高等数学（下）试卷一一、 填空题（每空3分，共15分）（1）函数z =的定义域为 （2）已知函数arctany z x =，则zx ∂=∂（3）交换积分次序，2220(,)y y dy f x y dx⎰⎰＝（4）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则()Lx y ds +=⎰（5）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为二、选择题（每空3分，共15分）（1）设直线L 为321021030x y z x y z +++=⎧⎨--+=⎩，平面π为4220x y z -+-=，则（ ） A. L 平行于π B. L 在π上 C. L 垂直于π D. L 与π斜交（2）设是由方程xyz =(1,0,1)-处的dz =（ ） A.dx dy +B.dx +D.dx（3）已知Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5z =所围成的闭区域，将22()x y dv Ω+⎰⎰⎰在柱面坐标系下化成三次积分为（ ） A.2253d r dr dzπθ⎰⎰⎰ B.2453d r dr dzπθ⎰⎰⎰ C.2253502rd r dr dzπθ⎰⎰⎰ D.22520d r dr dzπθ⎰⎰⎰（4）已知幂级数，则其收敛半径（ ）A. 2B. 1C. 12D. （5）微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y *=（ ）A.B.()x ax b xe +C.()xax b ce ++D.()xax b cxe ++三、计算题（每题8分，共48分）1、 求过直线1L :123101x y z ---==-且平行于直线2L ：21211x y z+-==的平面方程 2、 已知22(,)z f xy x y =，求zx ∂∂， z y ∂∂3、 设22{(,)4}D x y x y =+≤，利用极坐标求2Dx dxdy ⎰⎰4、 求函数22(,)(2)x f x y e x y y =++的极值5、计算曲线积分2(23sin)()yLxy x dx x e dy++-⎰，其中L为摆线sin1cosx t ty t=-⎧⎨=-⎩从点(0,0)O到(,2)Aπ的一段弧6、求微分方程xxy y xe'+=满足11xy==的特解四.解答题（共22分）1、利用高斯公式计算22xzdydz yzdzdx z dxdy∑+-⎰⎰，其中∑由圆锥面z=与上半球面z=(10)'2、（1）判别级数111(1)3nnnn∞--=-∑的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（6'）（2）在(1,1)x∈-求幂级数1nnnx∞=∑的和函数（6'）高等数学（下）试卷二一．填空题（每空3分，共15分）（1）函数z=的定义域为；（2）已知函数xyz e=，则在(2,1)处的全微分dz=；（3）交换积分次序，ln10(,)e xdx f x y dy⎰⎰＝；（4）已知L是抛物线2y x=上点(0,0)O与点(1,1)B之间的一段弧，则=⎰；（5）已知微分方程20y y y'''-+=，则其通解为.二．选择题（每空3分，共15分）（1）设直线L为30x y zx y z++=⎧⎨--=⎩，平面π为10x y z--+=，则L与π的夹角为（）；A. 0B. 2πC. 3πD. 4π（2）设是由方程333z xyz a-=确定，则zx∂=∂（）；A.2yzxy z- B. 2yzz xy- C. 2xzxy z- D. 2xyz xy-（3）微分方程256xy y y xe'''-+=的特解y*的形式为y*=（）；A.2()xax b e+ B.2()xax b xe+ C.2()xax b ce++ D.2()xax b cxe++（4）已知Ω是由球面2222x y z a++=所围成的闭区域, 将dvΩ⎰⎰⎰在球面坐标系下化成三次积分为（）；A222000sin ad d r drππθϕϕ⎰⎰⎰B.22000ad d rdrππθϕ⎰⎰⎰C.2000ad d rdrππθϕ⎰⎰⎰D.22000sin ad d r drππθϕϕ⎰⎰⎰（5）已知幂级数1212nnn n x ∞=-∑，则其收敛半径（ ）.A. 2B. 1C. 12D. 三．计算题（每题8分，共48分）5、 求过(0,2,4)A 且与两平面1:21x z π+=和2:32y z π-=平行的直线方程 .6、 已知(sin cos ,)x yz f x y e +=，求zx ∂∂， z y ∂∂ .7、 设22{(,)1,0}D x y x y y x =+≤≤≤，利用极坐标计算arctanDydxdy x ⎰⎰ .8、 求函数22(,)56106f x y x y x y =+-++的极值. 9、 利用格林公式计算(sin 2)(cos 2)x x Le y y dx e y dy-+-⎰，其中L 为沿上半圆周222(),0x a y a y -+=≥、从(2,0)A a 到(0,0)O 的弧段.6、求微分方程 32(1)1y y x x '-=++的通解.四．解答题（共22分）1、（1）（6'）判别级数11(1)2sin 3n nnn π∞-=-∑的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（2）（4'）在区间(1,1)-内求幂级数1n n x n ∞=∑的和函数 .2、(12)'利用高斯公式计算2xdydz ydzdx zdxdy ∑++⎰⎰，∑为抛物面22z xy =+(01)z ≤≤的下侧高等数学（下）模拟试卷三一． 填空题（每空3分，共15分）1、 函数arcsin(3)y x =-的定义域为 .2、22(2)lim 332n n n n →∞++-= .3、已知2ln(1)y x =+，在1x =处的微分dy = . 4、定积分1200621(sin )x x x dx -+=⎰.5、求由方程57230y y x x +--=所确定的隐函数的导数dydx = .二．选择题（每空3分，共15分）1、2x =是函数22132x y x x -=-+的 间断点 （A ）可去 （B ）跳跃（C ）无穷 （D ）振荡2、积分1⎰= .(A) ∞ (B)(C) 0 (D) 13、函数1xy e x =-+在(,0]-∞内的单调性是 。
高数下册期末考试和答案
高数下册期末考试和答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 已知函数f(x)=x^3-3x+2，求f'(x)的值。
A. 3x^2-3B. x^2-3xC. 3x^2-3xD. x^3-3x^2答案：A2. 求极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值。
A. 0B. 1C. 2D. -1答案：B3. 已知函数f(x)=e^x，求f'(x)的值。
A. e^xB. -e^xC. 0D. 1答案：A4. 求定积分∫(0,1) x^2 dx的值。
A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：A5. 已知函数f(x)=ln(x)，求f'(x)的值。
A. 1/xC. xD. -x答案：A6. 求定积分∫(0,1) e^x dx的值。
A. e-1B. eC. 1D. 0答案：A7. 已知函数f(x)=x^2，求f''(x)的值。
A. 2xB. 2C. 0答案：B8. 求极限lim(x→∞) (1/x)的值。
A. 0B. 1C. ∞D. -∞答案：A9. 已知函数f(x)=x^3，求f'(x)的值。
A. 3x^2B. 3xC. x^2D. x^3答案：A10. 求定积分∫(0,1) 1/x dx的值。
A. ln(1)-ln(0)B. ln(1)-ln(1)C. ln(2)-ln(1)D. ln(1)-ln(2)答案：C二、填空题（每题5分，共30分）11. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，求f'(x)的值。
______答案：2x-412. 求极限lim(x→0) (1-cos(x))/x的值。
______答案：013. 已知函数f(x)=x^4-6x^2+8，求f'(x)的值。
______答案：4x^3-12x14. 求定积分∫(0,1) x^3 dx的值。
______答案：1/415. 已知函数f(x)=e^(-x)，求f'(x)的值。
2010—2011学年(A)答案成都理工大学第二学期《高等数学 I、Ⅱ》(下)期末考试试卷 高数下试题及答案
（2 分）
P 1 1 1 2 [1 y 2 f ( xy)] [2 yf ( xy) xy 2 f ( xy)] 2 f ( xy) xyf ( xy) y y y y
（2 分）
Q P ,故曲线积分 I 与路径无关。 x y
（1 分）
3
（1 分）
F
1 2 x 0 x 1 Fy 2y 0 y 3 Fz 2z 0 z 2 x y 2 z 2 5R 2 0 Fx
(2 分)
解出 x y R,
Z 3R
(2 分) （2 分）
则 u 的最大值为 ln( 3 3R 5 ) 2. 添加 1 : z 1 ( x 2 y 2 1) ，取法向量朝上，则
xdydz 2 ydzdx 3( z 1)dxdy 0
1
(2 分)
根据奥高公式，
xdydz 2 ydzdx 3( z 1)dxdy xdydz 2 ydzdx 3( z 1)dxdy
1 1 ，此时极限为 8 8
（4 分）
由于 ( x, y) 沿不同路径趋于 (0,0) 时 f ( x, y ) 极限结果不一样，故 ( x, y) (0,0) 时
f ( x, y ) 的极限不存在。
2.
（1 分）
Q [ y 2 f ( xy) 1] xy 3 f ( xy) 1 f ( xy) 2 xyf ( xy) 2 x y y
1
6dv
(3 分)
6
2
3
（2 分） (2 分) （2 分）
3. P( x) cos x, Q( x) e sin x ， P( x)dx sin x
【经典期末卷】大学高数(下)期末测试题及答案
第 1 页 （共 10 页）班级（学生填写）： 姓名： 学号： 命题： 审题： 审批： ----------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ------------------------------------------------------- （答题不能超出密封线）LQdx Pdy +⎰=( )dxdy )P dxdy x 二重积分的积分区域D 是221≤+x y π C ．2π+⎰L Pdx Qdy在A．∂∂-=∂∂P Qy x第 2 页（共10 页）第 3 页 （共 10 页）班级（学生填写）： 姓名： 学号： ----------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ------------------------------------------------------- （答题不能超出密封线）()Lx y ds +⎰＝ ()Lx y ds +⎰= Lydx xdy +⎰= 2sin y t =上对应22xy De dxdy --⎰⎰= 2.第 4 页 （共 10 页）三. 计算题（一）（每小题6分，共36分）1.计算：22xy De d σ+⎰⎰，其中D 是由圆周224x y +=所围成的闭区域。
2.计算三重积分xdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω为三个坐标面及平面21x y z ++=所围成的闭区域。
3.计算xyzdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面2221x y z ++=，0,0,0x y z ≥≥≥所围成.第 5 页 （共 10 页）班级（学生填写）： 姓名： 学号： ----------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ------------------------------------------------------- （答题不能超出密封线）4.求2d d Dxx y y⎰⎰，其中D 为1xy =，y x =及2x =所围成的区域。
高等数学下考试题库附答案
A、 2 , 2 , 22
B、 2 , 2 22
C、 2 2
2
2
D、 2
2,
22
5、设 x2+y2+z2=2Rx，则 z , z 分别为（
）
x y
A、 x R , y zz
B、 x R , y zz
C、 x R , y zz
D、 x R , y zz
6、设圆心在原点，半径为 R，面密度为 x 2 y 2 的薄板的质量为（ ）（面积 A=R 2 ）
A、R2A
B、2R2A
C、3R2A
D、 1 R 2 A 2
7、级数 (1)n x n 的收敛半径为（
）
n1
n
A、2 B、 1 2
C、1 D、3
8、cosx 的麦克劳林级数为（ ）
B. x, y0 x2 y 2 1
C. x,
y0
x2
y2
2
D. x,
y0
x2
y2
2
4.点 P1,2,1到平面 x 2 y 2z 5 0 的距离为（ ）.
A.3
B.4
C.5
D.6
5.函数 z 2xy 3x 2 2 y 2 的极大值为（ ）.
9.幂级数 x n 在收敛域内的和函数是（
）.
n0 2
A. 1 1 x
B. 2 2x
C. 2 1 x
10.微分方程 xy y ln y 0 的通解为（
D. 1 2x ）.
A. y ce x B. y e x C. y cxe x D. y ecx 二.填空题（4 分 5）
成都理工大学第二学期《高等数学IⅡ》下期末考试试卷高数下试题及答案
成都理工大学2010—2011学年第二学期《高等数学》（Ⅰ，Ⅱ）考试试卷（A ）一．填空题（每小题3分，共21分）1．函数221)ln(yx x x y z --+-=的定义域为 。
2．设y x z =)1,0(≠>x x ，则=∂∂+∂∂yzx x z y x ln 1 。
3．函数z xy u 2=在点（1，-1，2）处沿 方向的方向导数最大。
4．区域D ：)0(222>≤+R R y x ,则积分⎰⎰+-Ddxdy y x R )(22的值为 。
5. 设L 为球面2222a z y x =++与平面y x =相交的圆周，则曲线积分⎰+=Ldl z y I 222= 。
6．函数)1ln(22y x z ++=在点（1，2）处的全微分dz = 。
7．级数∑∞=1!2n n n nn 的敛散性为 。
二、选择题（每小题3分，共15分） 1．直线110112-+=+=-z y x 与平面2=++z y x 的位置关系是（ ） A ．直线与平面平行 B. 直线在平面上 C ．直线与平面垂直 D. 直线与平面斜交得 分 得 分2．22limy xy x yx y x +-+→∞→∞=（ ）A ．1 B. 0 C. 1- D.不存在3．已知⎰⎰⎰Ω+=dv z y x f I ),(22，其中Ω由1=z 和22y x z +=围成，则=I （ ）A ．⎰⎰⎰πθ201012),(dz z r f dr d B.⎰⎰⎰πθ2010122),(rdz z r f rdr dC.⎰⎰⎰πθ201012),(dz z r f rdr d D.⎰⎰⎰πθ20122),(r dz z r f rdr d4．微分方程x xe y y 22='-''的特解形式是（ ） A ．x e B Ax 2)(+ B. x Axe 2 C ．x e B Ax x 2)(+ D. x e Ax 225．函数⎩⎨⎧≤<-≤≤-=846402)(x x x xx f 展开为周期是8的傅立叶级数为∑∞+∞<<-∞++022)(4)12(cos )12(16x xk k ππ，则=)100(s （ ）A ．98- B. 94 C. 2 D. 2- 三、计算（每小题7分，共21分） 1．已知直线1L ：130211--=-=-z y x ，2L ：11122zy x =-=+，求通过1L 且与2L 平行的平面方程。
高等数学下考试题库(含答案)
《高等数学》试卷1（下）一.选择题（3分⨯10）1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）.A.3B.4C.5D.62.向量j i b k j i a+=++-=2,2，则有（ ）.A.a ∥bB.a ⊥bC.3,π=b aD.4,π=b a3.函数1122222-++--=y x y x y 的定义域是（ ）.A.(){}21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+<y x y xC.(){}21,22≤+<y xy x D (){}21,22<+≤y x y x4.两个向量a 与b垂直的充要条件是（ ）.A.0=⋅b aB.0 =⨯b aC.0 =-b aD.0 =+b a5.函数xy y x z 333-+=的极小值是（ ）. A.2 B.2- C.1 D.1- 6.设y x z sin =，则⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂4,1πyz ＝（ ）.A.22B.22-C.2D.2-7.若p 级数∑∞=11n p n 收敛，则（ ）. A.p 1< B.1≤p C.1>p D.1≥p8.幂级数∑∞=1n nnx 的收敛域为（ ）.A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1-9.幂级数nn x ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛02在收敛域内的和函数是（ ）.A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x-21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.xce y = B.xe y = C.xcxe y = D.cxe y = 二.填空题（4分⨯5）1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________.2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________.3.设13323+--=xy xy y x z ，则=∂∂∂yx z 2_____________________________.4.x+21的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题（5分⨯6）1.设v e z usin =，而y x v xy u +==,，求.,yz x z ∂∂∂∂ 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,yz x z ∂∂∂∂ 3.计算σd y x D⎰⎰+22sin，其中22224:ππ≤+≤y x D .4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）.5.求微分方程xey y 23=-'在00==x y条件下的特解.四.应用题（10分⨯2）1.要用铁板做一个体积为23m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？ 2..曲线()x f y =上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的2倍，且曲线过点⎪⎭⎫ ⎝⎛31,1，求此曲线方程 .试卷1参考答案一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题1.0622=+--z y x .2.()()xdy ydx xy +cos .3.19622--y y x .4.()n n n n x ∑∞=+-0121.5.()xe x C C y 221-+= .三.计算题 1.()()[]y x y x y e xzxy +++=∂∂cos sin ，()()[]y x y x x e y z xy +++=∂∂cos sin . 2.12,12+=∂∂+-=∂∂z yy z z x x z . 3.⎰⎰=⋅πππρρρϕ202sin d d 26π-.4.3316R . 5.x xe ey 23-=.四.应用题1.长、宽、高均为m 32时，用料最省.2..312x y =《高数》试卷2（下）一.选择题（3分⨯10）1.点()1,3,41M ，()2,1,72M 的距离=21M M （ ）. A.12 B.13 C.14 D.152.设两平面方程分别为0122=++-z y x 和05=++-y x ，则两平面的夹角为（ ）.A.6π B.4π C.3π D.2π 3.函数()22arcsin yx z +=的定义域为（ ）.A.(){}10,22≤+≤y x y x B.(){}10,22<+<y x y xC.()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+≤20,22πy x y x D.()⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+<20,22πy x y x 4.点()1,2,1--P 到平面0522=--+z y x 的距离为（ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 5.函数22232y x xy z --=的极大值为（ ）. A.0 B.1 C.1- D.216.设223y xy x z ++=，则()=∂∂2,1xz （ ）.A.6B.7C.8D.9 7.若几何级数∑∞=0n nar是收敛的，则（ ）.A.1≤rB. 1≥rC.1<rD.1≤r8.幂级数()nn xn ∑∞=+01的收敛域为（ ）.A.[]1,1-B.[)1,1-C.(]1,1-D. ()1,1- 9.级数∑∞=14sin n n na是（ ）. A.条件收敛 B.绝对收敛 C.发散 D.不能确定 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.cxe y = B.xce y = C.xe y = D.xcxe y = 二.填空题（4分⨯5）1.直线l 过点()1,2,2-A 且与直线⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z t y tx 213平行，则直线l 的方程为__________________________.2.函数xye z =的全微分为___________________________.3.曲面2242y x z -=在点()4,1,2处的切平面方程为_____________________________________.4.211x+的麦克劳林级数是______________________. 5.微分方程03=-ydx xdy 在11==x y 条件下的特解为______________________________.三.计算题（5分⨯6）1.设k j b k j i a32,2+=-+=，求.b a ⨯2.设22uv v u z -=，而y x v y x u sin ,cos ==，求.,y z x z ∂∂∂∂ 3.已知隐函数()y x z z ,=由233=+xyz x 确定，求.,yz x z ∂∂∂∂ 4.如图，求球面22224a z y x =++与圆柱面ax y x 222=+（0>a ）所围的几何体的体积.5.求微分方程023=+'+''y y y 的通解. 四.应用题（10分⨯2） 1.试用二重积分计算由x y x y 2,==和4=x 所围图形的面积.2.如图，以初速度0v 将质点铅直上抛，不计阻力，求质点的运动规律().t x x =（提示：g dtxd -=22.当0=t 时，有0x x =，0v dtdx=）试卷2参考答案一.选择题 CBABA CCDBA. 二.填空题 1.211212+=-=-z y x . 2.()xdy ydx exy+.3.488=--z y x .4.()∑∞=-021n n nx .5.3x y =. 三.计算题1.k j i238+-.2.()()()y y x y y y y x yz y y y y x x z 3333223cos sin cos sin cos sin ,sin cos cos sin +++-=∂∂-=∂∂ . 3.22,z xy xz y z z xy yz x z +-=∂∂+-=∂∂. 4.⎪⎭⎫ ⎝⎛-3223323πa . 5.x xe C eC y --+=221.四.应用题1.316. 2. 00221x t v gt x ++-=.《高等数学》试卷3（下）一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分） 1、二阶行列式 2 -3 的值为（ ）4 5A 、10B 、20C 、24D 、222、设a=i+2j-k,b=2j+3k ，则a 与b 的向量积为（ ） A 、i-j+2k B 、8i-j+2k C 、8i-3j+2k D 、8i-3i+k3、点P （-1、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0的距离为（ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、54、函数z=xsiny 在点（1，4π）处的两个偏导数分别为（ ） A 、,22 ,22 B 、,2222- C 、22- 22- D 、22- ,22 5、设x 2+y 2+z 2=2Rx ，则yzx z ∂∂∂∂,分别为（ ） A 、z y z R x --, B 、z y z R x ---, C 、zyz R x ,-- D 、zyz R x ,- 6、设圆心在原点，半径为R ，面密度为22y x +=μ的薄板的质量为（ ）（面积A=2R π）A 、R 2AB 、2R 2AC 、3R 2AD 、A R 221 7、级数∑∞=-1)1(n nnn x 的收敛半径为（ ）A 、2B 、21C 、1D 、3 8、cosx 的麦克劳林级数为（ ）A 、∑∞=-0)1(n n)!2(2n x n B 、∑∞=-1)1(n n )!2(2n x n C 、∑∞=-0)1(n n )!2(2n x n D 、∑∞=-0)1(n n)!12(12--n x n9、微分方程(y``)4+(y`)5+y`+2=0的阶数是（ ） A 、一阶 B 、二阶 C 、三阶 D 、四阶 10、微分方程y``+3y`+2y=0的特征根为（ ） A 、-2，-1 B 、2，1 C 、-2，1 D 、1，-2 二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分） 1、直线L 1：x=y=z 与直线L 2：的夹角为z y x =-+=-1321___________。
成都理工大学同济版高数下期未考试历年真题(1)
dx 解方程 dy 1 。
dx (x y)2
－5－
2．设函数
f
(x)
是连续函数，试证
f
(x
y)dxdy
a
a
( a
|
u |)
f
(u)du 其中
0
x
2
1 x2
B. 2 dx
f (x, y)dy
0
0
C．
2
2 dy
1 y2
f (x, y)dx
0
y
2
1 y2
D. 2 dy
f (x, y)dx
0
0
5、设 f (x, y) 3x x3 y2 2y ，则下列结论正确的是（ ）
A． f (1, 1) 是函数的极小值
A．相交但不垂直
B. 垂直相交
C．平行
D. 重合
2、设函数 z f (x, y) 是方程 F( y , z ) =0 确定的函数，其中 F(u, v) 为可微函数， xx
且
F2'
0 ，则
x
z x
y
z y
ห้องสมุดไป่ตู้
=（
）
A． x
B. z
C. x
D. z
－1－
3、设幂级数 an xn 与 bn xn 的收敛半径分别为
n1
n1
5 与 1 ，则幂级数 bn2 xn 的
33
a2
n1 n