人教版中考数学复习：第2讲 整式及其运算
人教版初三数学下册中考知识点梳理：第2讲整式与因式分解
第2讲整式与因式分解一、知识清单梳理中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，AD=3，点E 是BC 边上靠近点B 的三等分点，动点P 从点A 出发，沿路径A→D→C→E 运动，则△APE 的面积y 与点P 经过的路径长x 之间的函数关系用图象表示大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由题意可知， 当03x ≤≤时，11222y AP AB x x =⋅=⨯=； 当35x <≤时，ABE ADP EPC ABCD y S S S S ∆∆∆=---矩形()()11123123325222x x =⨯-⨯⨯-⨯--⨯-1922x =-+；当57x <≤时，()1127722y AB EP x x =⋅=⨯⨯-=-.∵3x =时，3y =；5x =时，2y =.∴结合函数解析式， 可知选项B 正确. 【点睛】考点：1．动点问题的函数图象;2．三角形的面积．2．若正比例函数y ＝mx （m 是常数，m≠0）的图象经过点A （m ，4），且y 的值随x 值的增大而减小，则m 等于（ ） A ．2 B ．﹣2C ．4D ．﹣4【答案】B【解析】利用待定系数法求出m ，再结合函数的性质即可解决问题． 【详解】解：∵y ＝mx （m 是常数，m≠0）的图象经过点A （m ，4）， ∴m 2＝4，∵y的值随x值的增大而减小，∴m＜0，∴m＝﹣2，故选：B．【点睛】本题考查待定系数法，一次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．3．在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝45，则tanB等于()A．43B．34C．35D．45【答案】B【解析】法一，依题意△ABC为直角三角形，∴∠A+∠B=90°，∴cosB=45，∵22cos sin1B B+=，∴sinB=35,∵tanB=sincosBB=34故选B法2，依题意可设a=4,b=3,则c=5，∵tanb=34ba故选B4．如图所示，直线a∥b，∠1=35°，∠2=90°，则∠3的度数为（）A．125°B．135°C．145°D．155°【答案】A【解析】分析：如图求出∠5即可解决问题．详解：∵a∥b，∴∠1=∠4=35°，∴∠4+∠5=90°，∴∠5=55°，∴∠3=180°-∠5=125°，故选：A．点睛：本题考查平行线的性质、三角形内角和定理，邻补角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．5．若数a使关于x的不等式组()3x a2x11x2x2⎧-≥--⎪⎨--≥⎪⎩有解且所有解都是2x+6＞0的解，且使关于y的分式方程y51y--+3=ay1-有整数解，则满足条件的所有整数a的个数是（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】D【解析】由不等式组有解且满足已知不等式，以及分式方程有整数解，确定出满足题意整数a的值即可．【详解】不等式组整理得：13x ax≥-⎧⎨≤⎩，由不等式组有解且都是2x+6＞0，即x＞-3的解，得到-3＜a-1≤3，即-2＜a≤4，即a=-1，0，1，2，3，4，分式方程去分母得：5-y+3y-3=a，即y=22a-，由分式方程有整数解，得到a=0，2，共2个，故选：D．【点睛】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+b（k、b是常数，且k≠0）与反比例函数y2=cx（c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点，则不等式y1＞y2的解集是（）【解析】一次函数y1=kx+b落在与反比例函数y2=cx图象上方的部分对应的自变量的取值范围即为所求．【详解】∵一次函数y1=kx+b（k、b是常数，且k≠0）与反比例函数y2=cx（c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点，∴不等式y1＞y2的解集是﹣3＜x＜0或x＞2，故选C．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合是解题的关键．7．点P（1，﹣2）关于y轴对称的点的坐标是（）A．（1，2）B．（﹣1，2）C．（﹣1，﹣2）D．（﹣2，1）【答案】C【解析】关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，由此可得P（1，﹣2）关于y轴对称的点的坐标是（﹣1，﹣2），故选C．【点睛】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标，正确地记住关于坐标轴对称的点的坐标特征是关键.关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数.8．如图，△ABC的面积为8cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（）A．2cm2B．3cm2C．4cm2D．5cm2【答案】C【解析】延长AP交BC于E，根据AP垂直∠B的平分线BP于P，即可求出△ABP≌△BEP，又知△APC 和△CPE等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可求得△PBC的面积．【详解】延长AP交BC于E．∵AP垂直∠B的平分线BP于P，∴∠ABP＝∠EBP，∠APB＝∠BPE＝90°．在△APB和△EPB中，∵，∴△APB≌△EPB（ASA），∴S△APB＝S△EPB，AP＝PE，∴△APC和△CPE等底同高，∴S△APC＝S△PCE，∴S△PBC＝S△PBE+S△PCE S△ABC＝4cm1．【点睛】本题考查了三角形面积和全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出S △PBC ＝S △PBE +S △PCES △ABC ．9．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（ ） A ．9人 B ．10人C ．11人D ．12人【答案】C【解析】设参加酒会的人数为x 人，根据每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，列出一元二次方程，解之即可得出答案.【详解】设参加酒会的人数为x 人，依题可得：12x （x-1）=55， 化简得：x 2-x-110=0，解得：x 1=11，x 2=-10（舍去）， 故答案为C. 【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题中的等量关系列出方程. 1019273） A ．﹣2和﹣1 B ．﹣3和﹣2 C ．﹣4和﹣3 D ．﹣5和﹣4【答案】C1927333﹣3算，由3＜34可知﹣34和﹣3之间． 故选C ．点睛：此题主要考查了二次根式的化简和估算，关键是根据二次根式的性质化简计算，再二次根式的估算方法求解.二、填空题（本题包括8个小题）11．如图，点,A B 是反比例函数(0,0)ky k x x=>>图像上的两点（点A 在点B 左侧），过点A 作AD x ⊥轴于点D，交OB于点E，延长AB交x轴于点C，已知2125OABADCSS∆∆=，145OAES∆=，则k的值为__________．【答案】20 3【解析】过点B作BF⊥OC于点F，易证S△OAE=S四边形DEBF=145，S△OAB=S四边形DABF，因为2125OABADCSS∆∆=，所以2125DABFADCSS∆=四边形，425BCFADCSS∆∆=，又因为AD∥BF，所以S△BCF∽S△ACD，可得BF:AD=2：5，因为S△OAD=S△OBF，所以12×OD×AD =12×OF×BF，即BF:AD=2：5= OD：OF，易证：S△OED∽S△OBF，S△OED：S△OBF=4:25，S△OED：S四边形EDFB=4:21，所以S△OED=815，S△OBF= S△OED+ S四边形EDFB=815+145=103, 即可得解：k=2 S△OBF=20 3.【详解】解：过点B作BF⊥OC于点F，由反比例函数的比例系数|k|的意义可知：S△OAD=S△OBF，∴S△OAD- S△OED =S△OBF一S△OED，即S△OAE=S四边形DEBF=145，S△OA B=S四边形DABF，∵2125OABADCSS∆∆=，∴2125DABFADCSS∆=四边形，425BCFADCSS∆∆=，∵AD∥BF∴S△BCF∽S△ACD，又∵4BCFS∆=，∴BF:AD=2：5，∵S△OAD=S△OBF，∴12×OD×AD =12×OF×BF∴BF:AD=2：5= OD：OF易证：S△OED∽S△OBF，∴S△OED：S△OBF=4:25，S△OED：S四边形EDFB=4:21∵S四边形EDFB=145，∴S△OED=815，S△OBF= S△OED+ S四边形EDFB=815+145=103,∴k=2 S△OBF=20 3.故答案为20 3.【点睛】本题考查反比例函数的比例系数|k|的几何意义，解题关键是熟练运用相似三角形的判定定理和性质定理. 12．某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图，若菜农身高为1.8m，他在不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围是__m．【答案】1【解析】设抛物线的解析式为：y=ax2+b，由图得知点（0，2.4），（1，0）在抛物线上，列方程组得到抛物线的解析式为：y=﹣x2+2.4，根据题意求出y=1.8时x的值，进而求出答案；【详解】设抛物线的解析式为：y=ax2+b，由图得知：点（0，2.4），（1，0）在抛物线上，∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2.4，∵菜农的身高为1.8m，即y=1.8，则1.8=﹣x2+2.4，故他在不弯腰的情况下，横向活动范围是：1米， 故答案为1．13．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点P ，若∠P ＝40°，则∠ADC ＝____°．【答案】115°【解析】根据过C 点的切线与AB 的延长线交于P 点，∠P=40°，可以求得∠OCP 和∠OBC 的度数，又根据圆内接四边形对角互补，可以求得∠D 的度数，本题得以解决．【详解】解：连接OC ，如右图所示，由题意可得，∠OCP=90°，∠P=40°， ∴∠COB=50°， ∵OC=OB ，∴∠OCB=∠OBC=65°，∵四边形ABCD 是圆内接四边形， ∴∠D+∠ABC=180°， ∴∠D=115°， 故答案为：115°． 【点睛】本题考查切线的性质、圆内接四边形，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 14．如图，直线y ＝k 1x ＋b 与双曲线2k y=x 交于A 、B 两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k 1x ＜2kx＋b 的解集是 ▲ ．【答案】－2＜x ＜－1或x ＞1．不等式k 1x ＜2k x ＋b 的解集即k 1x －b ＜2kx的解集，根据不等式与直线和双曲线解析式的关系，可以理解为直线y ＝k 1x －b 在双曲线2ky=x下方的自变量x 的取值范围即可．而直线y ＝k 1x －b 的图象可以由y ＝k 1x ＋b 向下平移2b 个单位得到，如图所示．根据函数2k y=x图象的对称性可得：直线y ＝k 1x －b 和y ＝k 1x ＋b 与双曲线2k y=x的交点坐标关于原点对称． 由关于原点对称的坐标点性质，直线y ＝k 1x －b 图象与双曲线2ky=x图象交点A′、B′的横坐标为A 、B 两点横坐标的相反数，即为－1，－2．∴由图知，当－2＜x ＜－1或x ＞1时，直线y ＝k 1x －b 图象在双曲线2k y=x图象下方． ∴不等式k 1x ＜2k x＋b 的解集是－2＜x ＜－1或x ＞1． 15．如图，菱形OABC 的顶点O 是原点，顶点B 在y 轴上，菱形的两条对角线的长分别是6和4，反比例函数()y x 0xk=<的图象经过点C ，则k 的值为 ．【答案】－6【解析】分析：∵菱形的两条对角线的长分别是6和4， ∴A （﹣3，2）. ∵点A 在反比例函数()y x 0xk=<的图象上， ∴23k=-，解得k=－6. 【详解】请在此输入详解！16．计算：cos 245°-tan30°sin60°=______． 【答案】0【解析】直接利用特殊角的三角函数值代入进而得出答案．故答案为0.【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．17．某种水果的售价为每千克a 元，用面值为50元的人民币购买了3千克这种水果，应找回 元（用含a 的代数式表示）．【答案】（50-3a ）.【解析】试题解析：∵购买这种售价是每千克a 元的水果3千克需3a 元，∴根据题意，应找回（50-3a ）元．考点：列代数式.18．如图，矩形ABCD 中，8AB =，4BC =，将矩形沿AC 折叠，点D 落在点'D 处.则重叠部分AFC ∆的面积为______.【答案】10【解析】根据翻折的特点得到'AD F CBF ∆≅∆，AF CF =.设BF x =，则8FC AF x ==-.在Rt BCF ∆中，222BC BF CF +=，即()22248x x +=-，解出x,再根据三角形的面积进行求解.【详解】∵翻折，∴'4AD AD BC ===，'90D B ∠=∠=︒，又∵'AFD CFB ∠=∠， ∴'AD F CBF ∆≅∆，∴AF CF =.设BF x =，则8FC AF x ==-.在Rt BCF ∆中，222BC BF CF +=，即()22248x x +=-， 解得3x =，∴5AF =，∴11541022AFC S AF BC ∆=⋅=⨯⨯=. 【点睛】此题主要考查勾股定理，解题的关键是熟知翻折的性质及勾股定理的应用.三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，在电线杆上的C 处引拉线CE 、CF 固定电线杆，拉线CE 和地面成60°角，在离电线杆6米的B 处安置测角仪，在A 处测得电线杆上C 处的仰角为30°，已知测角仪高AB 为1.5米，求拉线CE 的长（结果保留根号）．【答案】CE的长为（4+）米【解析】由题意可先过点A作AH⊥CD于H．在Rt△ACH中，可求出CH，进而CD=CH+HD=CH+AB，再在Rt△CED中，求出CE的长．【详解】过点A作AH⊥CD，垂足为H，由题意可知四边形ABDH为矩形，∠CAH=30°，∴AB=DH=1.5，BD=AH=6，在Rt△ACH中，tan∠CAH=CH AH，∴CH=AH•tan∠CAH，∴CH=AH•tan∠CAH=6tan30°=6×33=23（米），∵DH=1.5，∴CD=23+1.5，在Rt△CDE中，∵∠CED=60°，sin∠CED=CD CE，∴CE=23 1.532=（4+3）（米），答：拉线CE的长为（4+）米．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题20．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可以销售20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？【答案】每件衬衫应降价1元.【解析】利用衬衣平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种衬衣利润列出方程解答即可.【详解】解：设每件衬衫应降价x元.根据题意，得（40-x）（1+2x）=110,整理，得x2-30x+10=0,解得x1=10，x2=1．∵“扩大销售量，减少库存”，∴x1=10应舍去，∴x=1.答：每件衬衫应降价1元.【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键.21．如图，△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°而得，且AB⊥BC，BE＝CE，连接DE．求证：△BDE≌△BCE；试判断四边形ABED的形状，并说明理由．【答案】证明见解析.【解析】（1）根据旋转的性质可得DB=CB，∠ABD=∠EBC，∠ABE=60°，然后根据垂直可得出∠DBE=∠CBE=30°，继而可根据SAS证明△BDE≌△BCE；（2）根据（1）以及旋转的性质可得，△BDE≌△BCE≌△BDA，继而得出四条棱相等，证得四边形ABED 为菱形．【详解】（1）证明：∵△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°而得，∴DB=CB，∠ABD=∠EBC，∠ABE=60°，∵AB⊥EC，∴∠ABC=90°，∴∠DBE=∠CBE=30°，在△BDE和△BCE中，∵DB CBDBE CBE BE BE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDE≌△BCE；（2）四边形ABED 为菱形；由（1）得△BDE ≌△BCE ，∵△BAD 是由△BEC 旋转而得，∴△BAD ≌△BEC ，∴BA=BE ，AD=EC=ED ，又∵BE=CE ，∴BA=BE=ED= AD∴四边形ABED 为菱形．考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．22．先化简，后求值：（1﹣11a +）÷（2221a a a a -++），其中a ＝1． 【答案】11a a +-,2. 【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a 的值代入计算可得． 【详解】解：原式＝()()2111111a a a a a a -+⎛⎫-÷ ⎪++⎝⎭+ ()()2111a a a a a +=+- 11a a +=-， 当a ＝1时， 原式＝3131+-＝2． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．23．图1是某市2009年4月5日至14日每天最低气温的折线统计图．图2是该市2007年4月5日至14日每天最低气温的频数分布直方图，根据图1提供的信息，补全图2中频数分布直方图；在这10天中，最低气温的众数是____，中位数是____，方差是_____．请用扇形图表示出这十天里温度的分布情况．【答案】(1)作图见解析；（2）7，7.5，2.8；（3）见解析.【解析】（1）根据图1找出8、9、10℃的天数，然后补全统计图即可；（2）根据众数的定义，找出出现频率最高的温度；按照从低到高排列，求出第5、6两个温度的平均数即为中位数；先求出平均数，再根据方差的定义列式进行计算即可得解；（3）求出7、8、9、10、11℃的天数在扇形统计图中所占的度数，然后作出扇形统计图即可．【详解】（1）由图1可知，8℃有2天，9℃有0天，10℃有2天，补全统计图如图；（2）根据条形统计图，7℃出现的频率最高，为3天，所以，众数是7；按照温度从小到大的顺序排列，第5个温度为7℃，第6个温度为8℃，所以，中位数为12（7+8）=7.5；平均数为110（6×2+7×3+8×2+10×2+11）=110×80=8，所以，方差=110[2×（6﹣8）2+3×（7﹣8）2+2×（8﹣8）2+2×（10﹣8）2+（11﹣8）2]，=110（8+3+0+8+9），=110×28，=2.8；（3）6℃的度数，210×360°=72°，7℃的度数，310×360°=108°，8℃的度数，210×360°=72°，10℃的度数，210×360°=72°，11℃的度数，110×360°=36°，作出扇形统计图如图所示．【点睛】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．同时考查中位数、众数的求法：给定n 个数据，按从小到大排序，如果n为奇数，位于中间的那个数就是中位数；如果n为偶数，位于中间两个数的平均数就是中位数．任何一组数据，都一定存在中位数的，但中位数不一定是这组数据量的数．给定一组数据，出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数．24．已知平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD且交AD于点E，AF∥CE，且交BC于点F．求证：△ABF≌△CDE；如图，若∠1=65°，求∠B的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）50°．【解析】试题分析：（1）由平行四边形的性质得出AB=CD，AD∥BC，∠B=∠D，得出∠1=∠DCE，证出∠AFB=∠1，由AAS证明△ABF≌△CDE即可；（2）由（1）得∠1=∠DCE=65°，由平行四边形的性质和三角形内角和定理即可得出结果．试题解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD∥BC，∠B=∠D，∴∠1=∠DCE，∵AF∥CE，∴∠AFB=∠ECB，∵CE平分∠BCD，∴∠DCE=∠ECB，∴∠AFB=∠1，在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（AAS）；（2）由（1）得：∠1=∠ECB，∠DCE=∠ECB，∴∠1=∠DCE=65°，∴∠B=∠D=180°﹣2×65°=50°．考点：（1）平行四边形的性质；（2）全等三角形的判定与性质．25．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB 的两个端点均在小正方形的顶点上．在图中画出以线段AB 为一边的矩形ABCD （不是正方形），且点C 和点D 均在小正方形的顶点上；在图中画出以线段AB 为一腰，底边长为22的等腰三角形ABE ，点E 在小正方形的顶点上，连接CE ，请直接写出线段CE 的长．【答案】作图见解析；CE=4.【解析】分析：利用数形结合的思想解决问题即可.详解：如图所示，矩形ABCD 和△ABE 即为所求；CE=4.点睛：本题考查作图-应用与设计、等腰三角形的性质、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用思想结合的思想解决问题．26．先化简，再求值：222(2)()y x y y x y x y x y x y⎛⎫--÷--+ ⎪+-⎝⎭，其中1x =-，2y =. 【答案】1【解析】分析：先把小括号内的通分，按照分式的减法和分式的除法法则进行化简，再把字母的值代入运算即可.详解：原式()()()()222,x y x y y xy y x y x y x y x y x y -+⎛⎫+=-⋅--+ ⎪++-⎝⎭()()()222,x y x y xy x xy y x y x y -+-=⋅---+- 222,xy x xy y =--++222x y =-+，当x=-1、y=2时，原式=-（-1）2+2×22 =-1+8=1．点睛：本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如果2(2)2a a -=-，那么（ ）A ．2x <B ．2x ≤C ．2x >D ．2x ≥【答案】B 【解析】试题分析：根据二次根式的性质2(0)0(0)(0)a a a a a a a ＞＜⎧⎪===⎨⎪-⎩，由此可知2-a≥0，解得a≤2.故选B点睛：此题主要考查了二次根式的性质，解题关键是明确被开方数的符号，然后根据性质2(0)0(0)(0)a a a a a a a ＞＜⎧⎪===⎨⎪-⎩可求解.2．如图，A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC 绕着点A 逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为（ ）A ．12B ．24C ．14D ．13【答案】D【解析】过C 点作CD ⊥AB ，垂足为D ，根据旋转性质可知，∠B′=∠B ，把求tanB′的问题，转化为在Rt △BCD 中求tanB ．【详解】过C 点作CD ⊥AB ，垂足为D ．根据旋转性质可知，∠B′=∠B ．在Rt △BCD 中，tanB=13CD BD =， ∴tanB′=tanB=13． 故选D ．【点睛】本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求法．3．如图，△ABC 中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N 作直线MN ，交BC 于点D ，连结AD ，则∠BAD 的度数为（ ）A ．65°B ．60°C ．55°D ．45°【答案】A 【解析】根据线段垂直平分线的性质得到AD=DC ，根据等腰三角形的性质得到∠C=∠DAC ，求得∠DAC=30°，根据三角形的内角和得到∠BAC=95°，即可得到结论．【详解】由题意可得：MN 是AC 的垂直平分线，则AD=DC ，故∠C=∠DAC ，∵∠C=30°，∴∠DAC=30°，∵∠B=55°，∴∠BAC=95°，∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=65°，故选A ．【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．4．如图，已知BD 是ABC △的角平分线，ED 是BC 的垂直平分线，90BAC ∠=︒，3AD =，则CE 的长为（ ）A ．6B ．5C ．4D ．33【答案】D 【解析】根据ED 是BC 的垂直平分线、BD 是角平分线以及∠A=90°可求得∠C=∠DBC=∠ABD=30°，从而可得CD=BD=2AD=6，然后利用三角函数的知识进行解答即可得.【详解】∵ED 是BC 的垂直平分线，∴DB=DC，∴∠C=∠DBC，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠DBC，∵∠A=90°，∴∠C+∠ABD+∠DBC=90°，∴∠C=∠DBC=∠ABD=30°，∴BD=2AD=6，∴CD=6，∴CE =33，故选D．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，余弦等，结合图形熟练应用相关的性质及定理是解题的关键.5．下列图案是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解：A．此图形不是轴对称图形，不合题意；B．此图形不是轴对称图形，不合题意；C．此图形是轴对称图形，符合题意；D．此图形不是轴对称图形，不合题意．故选C．6．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，CD⊥AB于D，则tan∠BCD的值为（）A．45B．54C．43D．34【答案】D【解析】先求得∠A＝∠BCD，然后根据锐角三角函数的概念求解即可．【详解】解：∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC＝3，在Rt△ABC与Rt△BCD中，∠A+∠B＝90°，∠BCD+∠B＝90°．∴∠A ＝∠BCD ．∴tan ∠BCD ＝tanA ＝BC AC ＝34， 故选D ．【点睛】本题考查解直角三角形，三角函数值只与角的大小有关，因而求一个角的函数值，可以转化为求与它相等的其它角的三角函数值．7．在一幅长80cm ，宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整幅挂图的面积是25400cm ，设金色纸边的宽为xcm ，那么x 满足的方程是（ ）A ．213014000x x +-=B ．2653500x x +-=C ．213014000x x --=D ．2653500x x --=【答案】B 【解析】根据矩形的面积=长×宽，我们可得出本题的等量关系应该是：（风景画的长+2个纸边的宽度）×（风景画的宽+2个纸边的宽度）=整个挂图的面积，由此可得出方程.【详解】由题意，设金色纸边的宽为xcm ，得出方程：（80+2x ）（50+2x ）=5400，整理后得：2653500x x +-=故选：B.【点睛】本题主要考查了由实际问题得出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据等量关系列出方程是解题关键.8．甲、乙两人沿相同的路线由A 地到B 地匀速前进，A 、B 两地间的路程为20km ．他们前进的路程为s(km)，甲出发后的时间为t(h)，甲、乙前进的路程与时间的函数图象如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是（ ）A ．甲的速度是4km/hB ．乙的速度是10km/hC．乙比甲晚出发1h D．甲比乙晚到B地3h【答案】C【解析】甲的速度是：20÷4=5km/h；乙的速度是：20÷1=20km/h；由图象知，甲出发1小时后乙才出发，乙到2小时后甲才到，故选C．9．若一个正比例函数的图象经过A（3，﹣6），B（m，﹣4）两点，则m的值为（）A．2 B．8 C．﹣2 D．﹣8【答案】A【解析】试题分析：设正比例函数解析式为：y=kx，将点A（3，﹣6）代入可得：3k=﹣6，解得：k=﹣2，∴函数解析式为：y=﹣2x，将B（m，﹣4）代入可得：﹣2m=﹣4，解得m=2，故选A．考点：一次函数图象上点的坐标特征．10．下列几何体中，主视图和左视图都是矩形的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】主视图、左视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．依此即可求解．【详解】A. 主视图为圆形，左视图为圆，故选项错误；B. 主视图为三角形，左视图为三角形，故选项错误；C. 主视图为矩形，左视图为矩形，故选项正确；D. 主视图为矩形，左视图为圆形，故选项错误.故答案选：C.【点睛】本题考查的知识点是截一个几何体，解题的关键是熟练的掌握截一个几何体.二、填空题（本题包括8个小题）11．填在下列各图形中的三个数之间都有相同的规律，根据此规律，a的值是____．【答案】1．【解析】寻找规律：上面是1，2 ，3，4，…，；左下是1，4=22，9=32，16=42，…，；右下是：从第二个图形开始，左下数字减上面数字差的平方：（4－2）2，（9－3）2，（16－4）2，…∴a=（36－6）2=1．12．如图，量角器的0度刻度线为AB ，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C ，直尺另一边交量角器于点A ，D ，量得10AD cm =，点D 在量角器上的读数为60，则该直尺的宽度为____________cm ．【答案】533【解析】连接OC,OD,OC 与AD 交于点E ，根据圆周角定理有130,2BAD BOD ∠=∠=︒根据垂径定理有：15,2AE AD == 解直角OAE △即可. 【详解】连接OC,OD,OC 与AD 交于点E ，130,2BAD BOD ∠=∠=︒ 10 3.cos303AE OA ==︒ 5tan 303,3OE AE =⋅︒= 直尺的宽度：105533 3.333CE OC OE =-== 533【点睛】考查垂径定理，熟记垂径定理是解题的关键.13518x <<x 的值是_____．【答案】3，1【解析】直接得出253，1185，进而得出答案．【详解】解：∵253，1185，∴518x <<的整数x 的值是：3，1．故答案为：3，1．【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出接近的有理数是解题关键．14．如图，正方形ABCD 和正方形OEFG 中, 点A 和点F 的坐标分别为 （3,2)，（－1,－1)，则两个正方形的位似中心的坐标是_________．【答案】（1，0）；（﹣5，﹣2）.【解析】本题主要考查位似变换中对应点的坐标的变化规律．因而本题应分两种情况讨论，一种是当E 和C 是对应顶点，G 和A 是对应顶点；另一种是A 和E 是对应顶点，C 和G 是对应顶点．【详解】∵正方形ABCD 和正方形OEFG 中A 和点F 的坐标分别为（3，2），（-1，-1），∴E （-1，0）、G （0，-1）、D （5，2）、B （3，0）、C （5，0），（1）当E 和C 是对应顶点，G 和A 是对应顶点时，位似中心就是EC 与AG 的交点，设AG 所在直线的解析式为y=kx+b （k≠0），∴231k b b =+⎧⎨-=⎩，解得11b k =-⎧⎨=⎩． ∴此函数的解析式为y=x-1，与EC 的交点坐标是（1，0）；（2）当A 和E 是对应顶点，C 和G 是对应顶点时，位似中心就是AE 与CG 的交点，设AE 所在直线的解析式为y=kx+b （k≠0），320k b k b +=⎧⎨-+=⎩，解得1212k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 故此一次函数的解析式为1122y x =+…①， 同理，设CG 所在直线的解析式为y=kx+b （k≠0），501k b b +=⎧⎨=-⎩，解得151k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，故此直线的解析式为115y x=-…②联立①②得1122115y xy x⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得52xy=-⎧⎨=-⎩，故AE与CG的交点坐标是（-5，-2）．故答案为：（1，0）、（-5，-2）．15．如图，直线y=2x+4与x，y轴分别交于A，B两点，以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC，将点C向左平移，使其对应点C′恰好落在直线AB上，则点C′的坐标为．【答案】（﹣2，2）【解析】试题分析：∵直线y=2x+4与y轴交于B点，∴x=0时，得y=4，∴B（0，4）．∵以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC，∴C在线段OB的垂直平分线上，∴C点纵坐标为2．将y=2代入y=2x+4，得2=2x+4，解得x=﹣2．所以C′的坐标为（﹣2，2）．考点：2．一次函数图象上点的坐标特征；2．等边三角形的性质；3．坐标与图形变化-平移．16．如图，已知函数y＝x+2的图象与函数y＝kx（k≠0）的图象交于A、B两点，连接BO并延长交函数y＝kx（k≠0）的图象于点C，连接AC，若△ABC的面积为1．则k的值为_____．【答案】3【解析】连接OA．根据反比例函数的对称性可得OB=OC，那么S△OAB=S△OAC=12S△ABC=2．求出直线y=x+2与y轴交点D的坐标．设A（a，a+2），B（b，b+2），则C（-b，-b-2），根据S△OAB=2，得出a-b=2 ①．根据S△OAC=2，得出-a-b=2 ②，①与②联立，求出a、b的值，即可求解．【详解】如图，连接OA．由题意，可得OB=OC，∴S△OAB=S△OAC=12S△ABC=2．设直线y=x+2与y轴交于点D，则D（0，2），设A（a，a+2），B（b，b+2），则C（-b，-b-2），∴S△OAB=12×2×（a-b）=2，∴a-b=2 ①．过A点作AM⊥x轴于点M，过C点作CN⊥x轴于点N，则S△OAM=S△OCN=12k，∴S△OAC=S△OAM+S梯形AMNC-S△OCN=S梯形AMNC=2，∴12（-b-2+a+2）（-b-a）=2，将①代入，得∴-a-b=2 ②，①+②，得-2b=6，b=-3，①-②，得2a=2，a=1，∴A（1，3），∴k=1×3=3．故答案为3．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，待定系数法求函数的解析式等知识，综合性较强，难度适中．根据反比例函数的对称性得出OB=OC是解题的突破口．17．经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是__________________________．【答案】50（1﹣x ）2=1．【解析】由题意可得，50(1−x)²=1，故答案为50(1−x)²=1.18．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板一条直角边在同一条直线上，则∠1的度数为__________【答案】75°【解析】先根据同旁内角互补，两直线平行得出AC ∥DF ，再根据两直线平行内错角相等得出∠2=∠A=45°，然后根据三角形内角与外角的关系可得∠1的度数．【详解】∵∠ACB=∠DFE=90°，∴∠ACB+∠DFE=180°，∴AC ∥DF ，∴∠2=∠A=45°，∴∠1=∠2+∠D=45°+30°=75°．故答案为：75°．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，三角形外角的性质，求出∠2=∠A=45°是解题的关键．三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，BD 是菱形ABCD 的对角线，75CBD ∠=︒，（1）请用尺规作图法，作AB 的垂直平分线EF ，垂足为E ，交AD 于F ；（不要求写作法，保留作图痕迹）在（1）条件下，连接BF ，求DBF ∠的度数．【答案】（1）答案见解析；（2）45°．【解析】（1）分别以A 、B 为圆心，大于12AB 长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可； （2）根据∠DBF ＝∠ABD ﹣∠ABF 计算即可；【详解】（1）如图所示，直线EF 即为所求；（2）∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ABD ＝∠DBC 12=∠ABC ＝75°，DC ∥AB ，∠A ＝∠C ， ∴∠ABC ＝150°，∠ABC+∠C ＝180°，∴∠C ＝∠A ＝30°．∵EF 垂直平分线段AB ，∴AF ＝FB ，∴∠A ＝∠FBA ＝30°，∴∠DBF ＝∠ABD ﹣∠FBE ＝45°．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线作法和性质，菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．20．关于x 的一元二次方程230x m x m ++=有两个实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．m≤1B ．m ＜1C ．﹣3≤m≤1D ．﹣3＜m ＜1【答案】C 【解析】利用二次根式有意义的条件和判别式的意义得到230(3)40m m m +≥⎧⎪⎨+-≥⎪⎩＝，然后解不等式组即可． 【详解】根据题意得230(3)40m m m +≥⎧⎪⎨+-≥⎪⎩＝， 解得-3≤m≤1．故选C ．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．21．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC 的三个顶点的位置如图所示．现将△ABC 平移，使点A 变换为点D ，点E 、F 分别是B 、C 的对应点．请画出平移后的△DEF．连接AD、CF，则这两条线段之间的关系是________．【答案】见解析【解析】(1)如图：(2)连接AD、CF，则这两条线段之间的关系是AD＝CF，且AD∥CF．22．某高科技产品开发公司现有员工50名，所有员工的月工资情况如下表：员工管理人员普通工作人员人员结构总经理部门经理科研人员销售人员高级技工中级技工勤杂工员工数（名） 1 3 2 3 24 1每人月工资（元）21000 8400 2025 2200 1800 1600 950请你根据上述内容，解答下列问题：该公司“高级技工”有名；所有员工月工资的平均数x为2500元，中位数为元，众数为元；小张到这家公司应聘普通工作人员．请你回答右图中小张的问题，并指出用（2）中的哪个数据向小张介绍员工的月工资实际水平更合理些；去掉四个管理人员的工资后，请你计算出其他员工的月平均工资y（结果保留整数），并判断y能否反映该公司员工的月工资实际水平．。
第2课 整式及其运算课件
((22))((22001122··桂桂林林)) 计计算算 22xxyy22＋＋33xxyy22的的结结果果是是 AA．．55xxyy22 BB． ．B．xxyyx22 y2CC． ．22Cxx．22yy442x2DDy． ．4 xx22yy44D．x2y4 解解析析 22xxyy22＋＋33xxyy22＝＝((22＋＋33))xxyy22＝＝55xxyy22..
D．3Dx．y 3的xy次的数次为数2为，不2，符不合符题合意题．意．
基础自测
4．(2012·聊城) 下列计算正确的是
A．x2＋x3＝x5
B．x2·x3＝x6
C．(x2)3＝x5
D．x5÷x3＝x2
( ( )D )
解析 A．x2 与 x3 不是同类项，不能合并，故此选项错误； B．x2·x3＝x2＋3＝x5，故此选项错误； C．(x2)3＝x2×3＝x6，故此选项错误； D．x5÷x3＝x5－3＝x2，故此选项正确．
题型分类 题型一 整式的加减运算
知知能能迁迁移移 11 ((11))((22001111··义义乌乌)) 下下列列计计算算正正确确的的是是
AA．．xx22＋＋xx44＝＝xx66
BB．．22xx＋＋33yy＝＝55xxyy
(( D ))
CC．．xx66÷÷xx33＝＝xx22
DD．．((xx33))22＝＝xx66
题型分类 题型一 整式的加减运算
((33))计计算算：：33((22xxyy－－yy))－－22xxyy 解解 33((22xxyy－－yy))－－22xxyy＝＝66xxyy－－33yy－－22xxyy＝＝44xxyy－－33yy..
探究提高
整式的加减，实质上就是合并同类项，有括号 的，先去括号．只要算式中没有同类项，就是最后 的结果．
人教版2021中考数学总复习 第2讲 整式与因式分解
=12mn+10n
11. （2019·广州）分解因式： x2y+2xy+y＝____y_（__x_+_1_）__2__________________. 12. （2019·深圳）分解因式： ab2－a=________a_（__b_+_1_）__（__b_-_1_）_____________. 13.(2020·广东）分解因式： xy－x=_________x_(_y_－__1_)____________________．
14.(2020·长春）长春市净月潭国家森林公园门票的价格为成
人票每张30元，儿童票每张15元．若购买m张成人票和n张儿童
票，则共需花费___（__3_0_m_+_12+2m=1，则4m2+8m-3的值是（ D ）
A．4
B．3
C．2
D．1
分层训练
变式诊断
9. （2019·深圳）下列运算正确的是（ C ）
A. a2+a2=a4
B. a3·a4=a12
C. (a3)4=a12
D. (ab)2=ab2
10.(2020·南通）计算：
（2m+3n）2-（2m+n）（2m-n）.
解：原式=4m2+12mn+9n2-（4m2-n2）
=4m2+12mn+9n2-4m2+n2
续表 4. 因式分解的步骤(概括为“一提，二套，三检查”)： (1)提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c). (2)套公式：a2-b2=(a+b)(a-b)，a2±2ab+b2=(a±b)2(乘法公式 的逆运算). (3)检查:分解因式要分解到每一个多项式都不能再分解为止.
中考数学专题复习：第2课 整式及其运算优质课件PPT
【答案】 2
【类题演练 4】 (2018·扬州)计算：(2x＋3)2－(2x＋3)(2x －3)．
【解析】 原式＝4x2＋12x＋9－(4x2－9)＝12x＋18．
1．整式的加减实质就是合并同类项，整式的乘除实质就 是幂的运算．
2．本课主要用到以下三种数学思想方法： (1)数形结合思想： 在列代数式时，常常会遇到一种题型：题中提供一 定的图形，要求通过对图形的观察、探索，提取图 形中反馈的信息，并根据相关的知识列出相应的代 数式，也能用图形来验证整式的乘法和乘法公式．
A．34
B．1
C．23
D．98
【答案】 D
()
题型一 幂的运算
熟记法则，依照法则进行计算.
【典例 1】 有下列运算：①a2·a3＝a6；②(a3)2＝a6；③a5
÷a5＝a；④(ab)3＝a3b3．其中结果正确的个数为 ( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】 ①a2·a3＝a5，故本项错误；②(a3)2＝a6，故本 项正确；③a5÷a5＝1，故本项错误；④(ab)3＝a3b3，故本 项正确．故选 B．
注意公式的变形及整体思想的应用．
【典例 3】 (2018·河北)将 9．52 变形正确的是 ( ) A．9．52＝92＋0．52 B．9．52＝(10＋0．5)(10－0．5) C．9．52＝102－2×10×0．5＋0．52 D．9．52＝92＋9×0．5＋0．52
【解析】 9．52＝(10－0．5)2＝102－2×10×0．5＋0．52．
【答案】 C
【类题演练 3】 (2018·乐山)已知实数 a，b 满足 a＋b＝2，
ab＝34，则 a－b＝
()
A．1
年中考数学人教版初一上册第二章整式复习讲义
年中考数学人教版初一上册第二章整式复习讲义一. 教学内容：整式1. 单项式的有关概念，如何确定单项式的系数和次数；2. 多项式的有关概念，如何确定多项式的系数和次数；3. 什么是整式；4. 剖析实践效果中的数量关系，培育用字母表示数量关系以及处置实践效果的才干.二. 知识要点：1. 用字母表示数时，应留意以下几点：〔1〕加、减、乘、除、乘方等运算符号将数和表示数的字母衔接而成的式子是代数式.〔2〕代数式中出现的乘号普通用〝·〞或省略不写，例如4乘a写作4a. 〔3〕在代数式中出现除法运算时，普通按分数的写法来写，例如a除以t写作. 〔4〕代数式中大于1的分数系数普通写成假分数，例如2. 单项式〔1〕如3a，xy，－6m2，－k等，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫做单项式. 关于单项式的了解有以下几点需求留意：①单项式反映的或许是数与字母，或许是字母与字母之间的运算关系，且这种运算只能是乘法，而不能含有加减运算，如代数式〔x＋1〕3不是单项式.②字母不能出如今分母里，如不是单项式，由于它是n与m的除法运算.③独自的一个数或一个字母也是单项式，如0，－2，a都是单项式.〔2〕单项式的系数：是指单项式中的数字因数，假设一个单项式只含有字母因数，它的系数就是1或－1，如m就是1·m，其系数是1；－a2b就是－1·a2b，其系数是－1.〔3〕单项式的次数：是指一个单项式中一切字母的指数的和. 掌握好这个概念要留意以下几点：①从实质上说，单项式的次数就是单项式中字母因数的个数，如5a3b就是5aaab，有4个字母因数，因此它的次数就是4.②确定单项式的次数时，不要漏掉〝1〞. 如单项式3x2yz3的次数是2＋1＋3＝6，字母因数的指数为1时，不能以为它没有指数.③单项式的次数只与单项式中的字母因数的指数有关，而不能误参与系数的指数，如单项式－2a3b4c5的次数是字母a、b、c的指数和，即3＋4＋5＝12，而不是2＋3＋4＋5＝14.④独自一个非零数字的次数是零.3. 多项式〔1〕多项式：是指几个单项式的和. 其含义有：①必需由单项式组成；②表达和的运算法那么，如3a2＋b－5是多项式，〔2〕多项式的项：是指多项式中的每个单项式. 其中不含字母的项叫做常数项. 要特别留意，多项式的项包括它前面的性质符号〔正号或负号〕.另外，一个多项式化简后含有几项，就叫做几项式. 多项式中的某一项的次数是n，这一项就叫做n次项. 如多项式x3＋2xy＋x2－x＋y－1是六项式，x3的次数是3，叫三次项，2xy、x2的次数都是2，都叫二次项，－x、y的次数都是1，都叫一次项，前面的－1叫常数项.〔3〕多项式的次数：是指多项式里次数最高的项的次数. 应当留意的是：不要与单项式的次数混杂，而误以为多项式的次数是各项次数之和，如多项式3x4＋2y2＋1的次数是4，而不是4＋2＝6，故此多项式叫做四次三项式.4. 单项式与多项式统称为整式.三. 重点难点：1. 重点：单项式和多项式的有关概念.2. 难点：如何确定单项式的次数和系数，如何确定多项式的次数.【典型例题】例1. 〔1〕某市对一段全长1500米的路途停止改造. 原方案每天修x米，为了尽量增加施工对城市交通所形成的影响，实践施工时，每天修路比原方案的2倍还多35米，那么修这条路实践用了__________天.〔2〕某商店经销一批衬衣，每件进价为a元，批发价比进价高m%，后因市场变化，该商店把批发价调整为原来批发价的n%出售，那么调整后每件衬衣的批发价是〔〕A. a〔1＋m%〕〔1－n%〕元B. am%〔1－n%〕元C. a〔1＋m%〕n%元D. a〔1＋m%·n％〕元剖析：〔1〕修这条路实践用的天数等于这条路的全长1500米除以实践每天的任务量，原方案每天修x米，实践施工时，每天比原方案的2倍还多35米，即〔2x＋35〕米. 用1500除以〔2x＋35〕就可以了. 〔2〕每件衬衣进价为a元，批发价比进价高m%，那么批发价就是a〔1＋m%〕，后来批发价调整为原来的n%，也就是a〔1＋m%〕n%.评析：用字母表示数时，要留意书写代数式的惯例〔数字在前字母在后，乘号省略，假设是除法写成分数的方式，系数是代分数时写成假分数，数字和字母写在括号的前面等〕例2. 找出以下代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数.独自一个数字是单项式，它的次数是0.8a3x的系数是8，次数是4；－1的系数是－1，次数是0.评析：判定一个代数式能否是单项式，关键就是看式子中的数字与字母或字母与字母之间是不是地道的乘积关系，假设含有加、减、除的关系，那么它就不是单项式.例3. 请你用代数式表示如下图的长方体形无盖的纸盒的容积〔纸盒厚度疏忽不计〕和外表积，这些代数式是整式吗？假设是，请你区分指出它们是单项式还是多项式.剖析：容积是长×宽×高，外表积〔无盖〕是五个面的面积，在分辨它们是不是整式，是单项式还是多项式时，牵牵掌握住概念，依据概念判别.解：纸盒的容积为abc；外表积为ab＋2bc＋2ac〔或ab＋ac＋bc ＋ac＋bc〕. 它们都是整式；abc是单项式，ab＋2bc＋2ac〔或ab＋ac＋bc＋ac ＋bc〕是多项式.评析：①此题是综合考察本节知识的实践效果，作用有二：一是将本节所学知识直接运用到详细效果的剖析和解答中，既稳固了知识，又强化了对知识的应意图识；二是将几何图形与代数无机结合起来，有利于综合处置效果才干的提高. ②此题解答关键：长方体的体积公式和外表积公式.故只剩下－2x2a＋1y2的次数是7，即2a＋1＋2＝7，那么a＝2.解：2评析：此题考察对多项式的次数概念的了解. 多项式的次数是由次数最高的项的次数决议的.例5. 把代数式2a2c3和a3x2的共同点填写在以下横线上.例如：都是整式.〔1〕都是____________________；〔2〕都是____________________.剖析：观察两式，共同点有：〔1〕都是五次式；〔2〕都含有字母a.解：〔1〕五次式；〔2〕都含有字母a.评析：主要观察单项式的特征.例6. 假设多项式x4－〔a－1〕x3＋5x2－〔b＋3〕x－1不含x3和x项，求a、b 的值.剖析：多项式不含x3和x项，那么x3和x项的系数就是0. 依据这两项的系数等于0就可以求出a和b的值了.解：由于多项式不含x3项，所以其系数－〔a－1〕＝0，所以a＝1.由于多项式也不含x项，所以其系数－〔b＋3〕＝0，所以b＝－3.答：a的值是1，b的值是－3.评析：多项式不含某项，那么某项的系数为0.【方法总结】1. 〝用字母表示数〞是代数学的基础，这种符号化的表示方法随着学习的深化会逐渐加深数学笼统化的水平，我们要体会这种笼统化，它更接近数学的实质，也是有效地处置数学效果的工具.2. 在学习多项式的时分，要留意和单项式的概念停止比拟，经过比拟两者之间的相反点和不同点，掌握两个概念之间的联络与区别，突出概念的实质，协助我们了解多项式的概念.【模拟试题】〔答题时间：40分钟〕一. 选择题1. 在代数式中单项式共有〔〕A. 2个B. 4个C. 6个D. 8个*2. 以下说法不正确的选项是〔〕C. 6x2－3x＋1的项是6x2，－3x，1D. 2πR＋2πR2是三次二项式3. 以下整式中是多项式的是〔〕4. 以下说法正确的选项是〔〕A. 单项式a的指数是零B. 单项式a的系数是零C. 24x3是7次单项式D. －1是单项式5. 组成多项式2x2－x－3的单项式是以下几组中的〔〕A. 2x2，x，3B. 2x2，－x，－3C. 2x2，x，－3D. 2x2，－x，3*7. 以下说法正确的选项是〔〕B. 单项式a的系数为0，次数为2C. 单项式－5×102m2n2的系数为－5，次数为58. 以下单项式中的次数与其他三个单项式次数不同的是〔〕**9.假设一个多项式的各项的次数都相反，那么称该多项式为齐次多项式. 例如：x3＋2xy2＋2xyz＋y3是3次齐次多项式. 假定x m＋2y2＋3xy3z2是齐次多项式，那么m等于〔〕A. 1B. 2C. 3D. 4二. 填空题1.一台电视机的原价为a元，降价4％后的价钱为__________元.三. 解答题*1. 以下代数式中哪些是单项式，并指出其系数和次数.2. 说出以下多项式是几次几项式：〔1〕a3－ab＋b3〔2〕3a－3a2b＋b2a－1〔3〕3xy2－4x3y＋12〔4〕9x4－16x2y2＋25y2＋4xy－1四. 综合提高题**3. 一个关于字母a、b的多项式，除常数项外，其他各项的次数都是3，这个多项式最多有几项？试写出一个契合这种要求的多项式，假定a、b满足︱a＋b ︱＋〔b－1〕2＝0，求你写出的多项式的值.【试题答案】一. 选择题1. B2. D3. B4. D5.B 6.C 7.D 8.B 9. B二. 填空题三. 解答题2. 〔1〕三次三项式〔2〕三次四项式〔3〕四次三项式〔4〕四次五项式四. 综合提高题1. 由题意可知m＋2＋1＝8，∴m＝52. 〔1〕四次六项式，最高次项是－3x3y，最高次项系数是－3，常数项是1 〔2〕三次三项式，最高次项是y3，最高次项系数是1，常数项是－0.53. 最多有5项〔可以含有a3，b3，a2b，ab2〕，如a3+a2b＋ab2＋b3＋1〔答案不独一〕. 由于︱a＋b︱＋〔b－1〕2＝0，所以b＝1，a＝－1，所以原式＝－1＋1－1＋1＋1＝1。
中考数学 第2讲 代数式及整式的运算(解析版)
【解答】解：A.2m3+3m2＝5m5，不是同类项，不能合并，故错误；
B．m3÷m2＝m，正确；
C．m•（m2）3＝m7，故错误；
D．（m﹣n）（n﹣m）＝﹣（m﹣n）2＝﹣n2﹣m2+2mn，故错误．
故选：B． 【一领三通 3-3】（2019•河北石家庄中考模拟）先化简，再求值：
（5a2+2a+1）﹣4（3﹣8a+2a2）+（3a2﹣a），其中 ．
A．4a+2b
B．4a+4b
C．8a+6b
D．8a+12b
中考数学复习资料
【答案】C． 【分析】根据已知条件即可得到结论． 【解答】解：∵正三角形面积为 a，矩形面积为 b， ∴图 2 中直角柱的表面积＝2×4a+6b＝8a+6b， 故选：C． 【一领三通 1-3】（2019•台湾）小宜跟同学在某餐厅吃饭，如图为此餐厅的菜单．若他们所点的餐点总共 为 10 份意大利面，x 杯饮料，y 份沙拉，则他们点了几份 A 餐？（ ）
C．1
D．2
【答案】C．
【分析】将 m＝﹣1 代入代数式即可求值；
【解答】解：将 m＝﹣1 代入 2m+3＝2×（﹣1）+3＝1；
故选：C．
【一领三通 1-1】（2019.云南中考）按一定规律排列的单项式：x3，﹣x5，x7，﹣x9，x11，……，第 n 个单项
式是（ ）
A．（﹣1）n﹣1x2n﹣1 C．（﹣1）n﹣1x2n+1
A．a•a2＝a3
B．a6÷a2＝a3
C．2a2﹣a2＝2
D．（3a2）2＝6a4
【答案】A．
【分析】根据同底数幂乘除法的运算法则，合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方法则即可求解；
中考数学(人教版)总复习 课件：第2课时 整式及因式分解
命题点1 整数指数幂的运算 【例1】 下列运算正确的是( )
A.3ab-2ab=1B.x4·x2=x6 C.(x2)3=x5 D.3x2÷x=2x 解析:A项是整式的加减运算,3ab-2ab=ab,故A项错误;B项是同底 数幂相乘,x4·x2=x4+2=x6,故B项正确;C项是幂的乘方,(x2)3=x2×3=x6, 故C项错误;D项是单项式相除,3x2÷x=(3÷1)x2-1=3x,故D项错误. 答案:B
考点梳理 自主测试
考点二 幂的运算法则
基础自主导学
考点三 同类项与合并同类项
1.所含字母相同,并且相同字母的指数也分别相同的单项 式叫做 同类项 ,常数项都是同类项 .
2.把多项式中的同类项 合并成一项叫做合并同类项 ,合并的法 则 是系数相加,所得的结果作为合并后的系数,字母和字母的指数 不变.
命题点4 整式的运算
规律方法探究
解:(a+b)(a-b)+(a+b)2-2a2=a2-b2+a2+2ab+b2-2a2=2ab,
命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 命题点5
规律方法探究
命题点5 因式分解 【例5】 分解因式:a3+a2-a-1= .
解析:a3+a2-a-1=(a3+a2)-(a+1)=a2(a+1)-(a+1)=(a+1)(a2-1) =(a+1)2(a-1). 答案:(a+1)2(a-1)
因式,只在一个单项 式里含有的字母,则 连 同它的指数作为积 的一 个因式.
②单 项 式与多项式相乘:m(a+b+c)=ma+mb+mc. ③多项式与多项式相乘:(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb.
2021年中考数学总复习第2讲整式及其运算课件
分析
答案
考点四 乘法公式
例4 (2020·重庆B)计算：(x－y)2－(x－2y)(x＋y)． 分析 根据平方差公式、多项式乘多项式法则进行计算． 解 原式＝x2－2xy＋y2－x2＋xy＋2y2＝－xy＋3y2.
分析
答案
规律方法
规律方法
本题考查的是整式的混合运算，掌握完全平方公式、单项式乘多项式 法则是解题的关键．
练习4
(2020·邵阳)先化简，再求值：(m－n)2－m(m－2n)，其中m＝ 3 ， n＝ 2 . 解 原式＝m2－2mn＋n2－m2＋2mn＝n2， 当n＝时，原式＝2.
分析
答案
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易错防范
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易错警示系列 2 幂运算易出现的错误
试题 计算：①x3·x5；②x4·x4；③(am＋1)2；④(－2a2b)2；⑤(m－n)6÷(n－m)3.
分析
答案
考点二 整式的加减运算
例2 (2020·株洲)计算：3a－(2a－1)＝___a_＋__1__. 分析 原式去括号合并即可得到结果． 原式＝3a－2a＋1＝a＋1.
分析
答案
规律方法
规律方法
本题考查了整式的加减，熟练掌握去括号法则、整式加减法法则是解 本题的关键．
练习2
(2020·青岛)计算a·a5－(2a3)2的结果为( D )
2
诊断自测
1.(2020·舟山)计算2a2＋a2，结果正确的是( D )
A.2a4
B.2a2
C.3a4
D.3a2
1 23 45
2.(2020·福州)下列算式中，结果等于a6的是( D )
A.a4＋a2
B.a2＋a2＋a2
C.a2·a3
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2b＝ A．n．,(例(－2如02)1:B92··深xkhd圳x＝)定kB2义．－一－h2种,2若新运算－:5mCxmn－．ab·2xd2nx－＝1d－x＝2,a则n－Dm. 2
【解析】 －x－2dx＝5m－1－(5m)－1＝ － ＝－52,
【知识梳理】
1．乘法公式:(a＋b)(a－b)＝ a2－b2,(a＋b)2 ＝ a2＋2ab＋b2 ,(a－b)2＝ a2－2ab＋b2 ． 2．去括号法则:括号前面是“－”号,去掉括号,括号 里的每一项都要变号．
类型一 幂的运算 例1 计算:(1)(a2b)3＝____a_6_b_3 _；
(2)(3a)2·a5＝___9_a_7___；
【阅读理解题】
如图,多边形的各顶点都在方格纸的 格多1(a点 边是(形横多称竖边为格形格子内点线的多的格边交点形错数,它点,b的是)上面多,这积边样S形可的边用界公上式的S格＝点a＋数)计b12 － 算,这个公式称为“皮克定理”．现用一张方格纸共有200 个格点,画有一个格点多边形,它的面积S＝40. (1)这个格点多边形边界上的格点数b＝________(用含a 的代数式表示)； (2)设该格点多边形外的格点数为c,则c－a＝_____．
【答案】方案二:a2＋ab＋b(a＋b)＝a2＋ab＋ ab＋b2＝a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2. 方案三:a2＋b(a＋a＋b)×2＝a2＋ab＋ab＋ b2＝a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2.
类型五 列代数式表示规律
例5 如图是一组有规律的图案,它们是由边长相同 的小正方形组成,其中部分小正方形涂有阴影,依此 规律,第n个图案中有________个涂有阴影的小正 方形(用含有n的代数式表示)．
分的面积＝
－4(
)2＝ab.
7．(2018·宁波)先化简,再求值:(x－1)2＋x(3 －x),其中x＝－ 1.
2 【答案】原式＝x＋1,当x＝－ 时,原式＝ .
【提示】课后请完成作业本BP1－2练习．
【答案】由图可得,第1个图案涂有阴影的小正方 形的个数为5,第2个图案涂有阴影的小正方形的个 数为5×2－1＝9,第3个图案涂有阴影的小正方形 的个数为5×3－2＝13,…,第n个图案涂有阴影的 小正方形的个数为5n－(n－1)＝4n＋1.故答案 为:4n＋1.
【解后感悟】每后一个图形比前一个图形多4的, 跟4n有关；每后一个图形是前一个图形2倍的,跟2n 有关．从简单到复杂,进行归纳猜想,从而获得隐含 的数学规律．
第2讲 整式及其运算
【问题】 (1)计算:(a＋3)(a－3)＋ a(3a－2)－(2a－1)2； (2)完成(1)计算后回答: ①此计算过程中,用到了哪些乘法公式 和法则？ ②此计算过程中,要注意哪些问题？ 【解析】(1)2a—10；
(2)①完全平方公式、平方差公式,去括号、合并 同类项法则等；
②去括号时பைடு நூலகம்要注意变号等．
【答案】原式＝2a(2a－b),将a＝2,b＝1代入得12.
类型四 乘法公式
例4 (1)计算:(a＋1)(a－1)－(a－2)2. 4a－5
(2)已知a＋b＝10,a－b＝8,则a2－b2＝____8_0_.
(3)若a2＋b2＝2,a＋b＝3,则ab的值为_____． 【知识梳理】 常见公式变形:①a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2 ＋2ab＝（a b）2 （a b）2 ；②4ab＝(a＋b)2－(a－b)2.
此规律,图案⑦需____根火柴棒．50
第5题图
6．一个大正方形和四个全等的小正方形按图1,2两 种方式摆放,则图2的大正方形中未被小正方形覆盖 部分的面积是___a_b(用a、b的代数式表示)．
第6题图
【解析】设大正方形的边长为x1,小正方形的边长
为x2,由图1和图2列出方程组得
解得
大正方形中未被小正方形覆盖部
(2)－1 (3)x2y
【知识梳理】
1．整式的运算包括整式的加、减、乘、除、 乘方．化简时,注意整式的运算顺序,能用乘法 公式的就用乘法公式．
2．整体代入求值．
5．已知m＋n＝－3,mn＝5,则(2－m)(2－n)的值为 ____．15 6．已知a,b互为相反数,则(4a－3b)－(3a－4b)＝ ____0． 7．先化简,再求值:(4ab3－8a2b2)÷(4ab)＋(2a＋ b)(2a－b),其中a＝2,b＝1.
【答案】(1)x3·x5＝x3＋5＝x8； (2)x4·x4＝x4＋4＝x8； (3)(am＋1)2＝a(m＋1)×2＝a2m＋2； (4)(－2a2b)2＝(－2)2a4b2＝4a4b2； (5)(m－n)6÷(n－m)3＝(n－m)6÷(n－m)3＝(n－m)3.
1．(2017·台州)下列计算正确的是( D ) A．(a＋2)(a－2)＝a2－2 B．(a＋1)(a－2)＝a2＋a－2
2
8．(2018·衢州)有一张边长为a厘米的正方形桌面, 因为实际需要,需将正方形边长增加b厘米,木工师傅 设计了如图所示的三种方案:
小明发现这三种方案都能验证公式:a2＋2ab＋b2＝(a ＋b)2,
对于方案一,小明是这样验证的: a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2. 请你根据方案二,方案三,写出公式的验证过程．
1．单项式的次数:单项式所有字母的指数和； 多项式的次数:取各单项式的最高次数． 2．同类项:①所含字母相同；②相同字母的 指数也相同．
3．单项式πr2的次数为_2__．
4．两个四次多项式的和为( D )
A．8次多项式
B．4次多项式
C．4次单项式
D．不高于4次的整式
类型三 整式的运算
例3(1)(2019·湖州)化简:(a＋b)2－b(2a＋b)． (2)若代数式5a－3b的值是－2,则代数式2(a－b)＋ 4(2a－b)＋3的值等于________． (3)(2x)3·(－2y3)÷(－16xy2)＝________． 【答案】(1)原式＝a2＋2ab＋b2－2ab－b2＝a2.
(3)x5÷x3＝____x2____；
(4)(2018·大庆)若2x＝5,2y＝3,则22x＋y＝ ___7_5____．
【知识梳理】
1．同底数幂相乘,底数不变,指数相加； 同底数幂相除 ,底数不变,指数相减； 幂的乘方 ,底数不变,指数相乘．
2．积的乘方:(ab)m＝ambm.
1．(2019·宁波)下列计算正确的是( D )
A．a3＋a2＝a5 C．(a2)3＝a5
B．a5－a2＝a6 D．a6÷a2＝a4
2．若3x＝4,9y＝7,则3x－2y的值为(
A. 4
B. 7
C．－3
7
4
)A D. 2 7
类型二 整式的有关概念
例2 (1)(2018·株州)单项式5mn2的次数是__3__．
(2)若3x2ym与－5xny3是同类项,则m＋n＝___5_. ． 【知识梳理】
【分析与解】(1)∵S＝a＋ b－1,且S＝ 40,∴a＋ b－1＝40,整理得:b＝82－2a； (2)∵a是多边形内的格点数,b是多边形边界 上的格点数,总格点数为200,∴边界上的格点 数与多边形内的格点数的和为b＋a＝82－2a ＋a＝82－a,∴多边形外的格点数c＝200－ (82－a)＝118＋a,∴c－a＝118＋a－a＝118.
【方法与对策】本题需要先通过阅读掌握新定义方 法,再利用类似方法解决问题．关键是观察问题,分 析问题,解决问题的能力．该题型是中考命题的一 种方式．
警示点3:幂的运算 计算:(1)x3·x5＝________； (2)x4·x4＝________； (3)(am＋1)2＝________； (4)(－2a2·b)2＝________； (5)(m－n)6÷(n－m)3＝________．
则m＝－ ,故选B.
3．已知2x＋y＝－1,则代数式(2y＋y2－3)－(y2－4x)
的值为_－__5_．
1
4．(2018·湖州模拟)若单项式2x2ya＋b与－3 xa－by4是
同类项,则a＝___3_,b＝____1．
5．下列图案是用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭
而成,图案①需8根火柴棒,图案②需15根火柴棒,…,按