线性系统理论中状态反馈综述
第六章 线性反馈系统的状态空间综合(1)
第六章 线性反馈系统的状态空间综合6.1 引言1）什么是综合问题？系统综合问题由被控系统、性能指标和控制输入3个要素组成。
¾ 被控系统：兼顾应用广泛性和理论分析的简单性，限于考虑严格真线性时不变系统 Cxy t x x Bu Ax x=≥=+=000,)(, ¾ 性能指标：控制系统具备的性能。
¾ 控制输入：通常取反馈形式，包含状态反馈和输出反馈，即系统综合问题就是，对给定的被控系统，确定反馈控制，使得导出的闭环系统运动行为 达到期望的性能指标。
性能指标分类可区分为“非优化型性能指标”和“优化型性能指标”。
非优化型性能指标：属于不等式型指标，目标是使综合的系统达到期望指标。
优化型性能指标：极值型指标，目标为使系统性能指标函数极大或极小。
典型的非优化型性能指标 1) 渐近稳定：镇定问题2) 一组期望闭环极点：极点配置问题 3) MIMO 系统化为多个SISO 系统：解耦问题4) 使输出在外部干扰环境下无静差的跟踪参考信号：跟踪问题优化型性能指标通常取为000>>+=∫∞R Q dx Ru u Qx x u J T T ,,)()(2）研究综合问题的思路建立“可综合条件”，建立确定相应控制规律的“算法”。
3）综合与工程实现中的一些理论问题及外部扰动的影响等。
¾ 状态反馈的物理构成：状态一般不能直接测量，需要引入状态重构或估计；¾ 系统结构参数摄动的影响：系统模型总是存在不确定性因素，鲁棒性问题；¾ 外部扰动的影响：扰动抑制。
6.2 反馈6.2.1 状态反馈1)状态反馈结构图2）系统描述⎩⎨⎧=≥=+=CxytxxBuAxx0,)(,:Σ)()()(tvtKxtu+−=⎩⎨⎧=≥=+−=⇒CxytxxBvxBKAxxf,)(,)(:Σ闭环系统传递函数：定理：状态反馈的引入，不改变系统的能控型，但可能改变系统的能观测性。
证明：1）能控性BBKAsICsGK1−+−=)()(设0∑和k ∑的能控型判别矩阵分别为c Q 和ck Q ，有()()n 1n 1ck c −−⎡⎤=−−⎣⎦−−⎡⎤⎢⎥−⎢⎥⎡⎤⎢⎥=⋅⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦−−⎡⎤⎢⎥−⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦Q BA BK BA BKB I KBKBK KA *0I K *BAB A B 00I *000I I KBKBK KA *0I K *Q 00I *000I """""###%#""""###%#"可以看出，ck Q 与c Q 的秩相同，从而k ∑能控，而且仅当0∑能控。
线性系统的状态反馈及极点配置
现代控制理论实验（一）线性系统的状态反馈及极点配置——09级自动化本科一．实验目的1．了解和掌握状态反馈及极点配置的原理。
2．了解和掌握利用矩阵法及传递函数法计算状态反馈及极点配置的原理与方法。
3．掌握在被控系统中如何进行状态反馈及极点配置，构建一个性能满足指标要求的新系统的方法。
二．实验原理及说明一个控制系统的性能是否满足要求，要通过解的特征来评价，也就是说，当传递函数是有理函数时，它的全部信息几乎都集中表现为它的极点、零点及传递函数。
因此若被控系统完全能控，则可以通过状态反馈任意配置极点，使被控系统达到期望的时域性能指标。
若有被控系统如图3-3-61所示，它是一个Ⅰ型二阶闭环系统。
图3-3-61 被控系统如图3-3-61所示的被控系统的传递函数为：12021S 11)1(1)(a S a S b T TS T TS S T S i i i ++=++=++=φ （3-3-51） 采用零极点表达式为：))(()(210λλφ--=S S b S （3-3-52）进行状态反馈后，如图3-3-62所示，图中“输入增益阵”L 是用来满足静态要求。
图3-3-62 状态反馈后被控系统设状态反馈后零极点表达式为：))(()(21**--=λλφS S b S （3-3-53）1．矩阵法计算状态反馈及极点配置1）被控系统被控系统状态系统变量图见图3-3-63。
图3-3-63 被控系统状态系统变量状态反馈后的被控系统状态系统变量图见图3-3-64。
图3-3-64 状态反馈后的被控系统状态系统变量图图3-3-61的被控系统的状态方程和输出方程为：状态方程：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+-=+-=••1i 1i 2211X Y u T 1X T 1X X T 1X T 1X （3-3-54）⎪⎩⎪⎨⎧=+==•∑CxY u Ax X B C B A 0），，（式中[]01,T 10B 0T 1T 1T 1A ,i i 21=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=C x x x ， 被控系统的特征多项式和传递函数分别为：12010a a b S b )(+++=S S S φB A)C(SI 1--=）（A -SI det a a )(f 0120=++=S S S 可通过如下变换（设P 为能控标准型变换矩阵）： —x P X =将∑0C B A ），，（化为能控标准型 ），，（————C B A ∑，即： ⎪⎩⎪⎨⎧=+=•——————x C Y u x A B X 式中 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==-101a -a 10AP P A — ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡==-10B P B 1— ， []10b b CP C ==— 2）被控系统针对能控标准型），，（————C B A ∑引入状态反馈：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-=—————式中10k k k xk u ν （3-3-55）可求得对—x 的闭环系统），，—————C B k B A (-∑的状态空间表达式： 仍为能控标准型，即： ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=•————————）（x C Y u x B k B A X 式中 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-=-）（）（—————1100k a k a 10k B A则闭环系统），，（——————C B k B A -∑的特征多项式和传递函数分别为： ）（）（—————00112k k a k a k)B (A SI det )(f ++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=S S S )k a (k a b S b B )k B A (SI C )(00112011k ———————）（+++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-S S S φ3）被控系统如图3-3-61所示：其中：05.01==T T i则其被控系统的状态方程和输出方程为：[]XY uX X 0110012020=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=期望性能指标为：超调量M P ≤20%；峰值时间t P ≤0.5秒。
6第六章 线性反馈系统的状态空间
y (t ) Cx (t )
做如下状态反馈
u (t ) r (t ) Kx (t )
那么对于几乎任意的反馈增益阵K，矩阵(A-BK)具有互异特征 值，从而为循环矩阵。 引理2、对上述系统若（A，B）能控，且A为循环的，那么对几 乎所有的r维向量均有（A，B）能控。
rankV rankVH rankV rankVH
说明输出反馈不改变系统的能观测性。 对于状态反馈不能保持原有系统的能观测性，举个反例即可。
7
例：下列系统引入状态反馈K=[0 4]判系统的反馈前后的能观测性。 1 2 0 x x u , y 1 1x 0 3 1 解：反馈前 C 1 1 rankV rank rank 2 CA 1 5 反馈后 系统完全能观测
A BK 0 k 1 0 1 21 k 22 k 21
k12 1 k 22
sI ( A BK )
s 1 k11 k 21
k12 s 1 k 22
( s 1 k11 )( s 1 k 22 ) k12 k 21
15
1、直接求反馈增益阵
例：设两输入系统为
1 0 1 0 x x u 0 1 0 1
* 给定期望的一组闭环特征值为 1, 2 1 j 2
k11 k12 求反馈增益阵K。 K k k 21 22 解： 1 0 1 0 k11 k12 1 k11
14 这个证明方法同样给出了多输入多输出配置极点的一种算法。
第七章 状态反馈和状态观测器
第七章 状态反馈和状态估计器
7.1 7.2 7.3 7.4 引言 状态反馈与输出反馈 状态观测器 状态反馈和状态观测器的连接
线性系统理论 第七章状态反馈和状态观测器
7.1 引言
对一个系统（称其为对象）和一个期望的信号或 参考信号，其控制问题就是求出控制信号或驱动信号， 使得对象的输出尽可能地接近参考信号。 若控制信号是事先给定的，并不依赖于对象的实 际响应，则这种控制称为开环控制。当系统中存在扰 动或变化时，这种类型的控制是不能令人满意的。 若控制信号依赖于系统的实际响应，则这种控制 称为反馈控制或闭环控制。
k2 k2 k2
kn ) a1 kn ) a 2 kn ) a n
7.2 状态反馈
n (k )
n (k1
得到包含n个未知量的n个线性方程，在系统可控的条件下， 由这个方程可唯一地确定出k。有时用这种直接方法比较方便。 例：书上p265例2,系统可控;期望的特征值为-1,-2,-1±j
0 0 x 0 0
式中A+BFC为闭环系统的系统矩阵。
线性系统理论 第七章状态反馈和状态观测器
7.2 状态反馈
原开环系统：x Ax Bu ,
y Cx y Cx
输出反馈系统：x ( A BFC) x Bv ,
定理：对连续线性时不变系统，输出反馈可保
持原系统的可控性和可观测性。即线性时不变 系统输出反馈系统为可控性(可观测性)，当且 仅当线性时不变系统为可控（可观测）。 证明：（略）
7.2 状态反馈
直接求k算法：上述步骤中有化可控标准形这一步。 如果不经过这步，也可直接求k: 1) 将k用[k1,k2,….,kn] 表示; 2) 计算det(sIAbk)。 这个s的多项式的系数包含 了待定的n个参数 ： det( sI A bk ) s n 1 (k ) s n 1 2 (k ) s n 2 n (k ) 3) 将这个特征式与期望特征式比较，令s 的同次幂 的系数相等:
第5章 线性反馈控制系统的综合 现代控制理论课件
a 1 a 2 1 1007 21 81 7 21 81 （ 5 ） P bA bA 2 b a 2 10 01 6 1 810 1 210
1 00 001 1 00 1 00
72 18 11
（6）k=kP1 4 66 1412 1 0
被控对象
x& AxBu
（或开环系统）： y Cx
x ~ n维 u~ p维 y ~ q维
取 系 统 的 控 制 作 用 为 ： u K x v
其 中 ： K为 pn矩 阵 ，
为 p维 列 向 量 ：调 节 问 题 ＝ 0 跟 踪 问 题 为 确 定 性 的 时 间 向 量 函 数 恒 值 控 制 为 常 值 向 量
（4）由 (s) *(s) ，解n个联立的代数方程，得到 k0,k1,L ,kn1
0 0 0 1 例5－1 x&1 6 0 x0u，
0 1 12 0
期望极 点为1* － 2，2*,3 1j，求状态 反馈向量 k。
解：首先由能控性矩阵判断系统的能控性：
1 0 0 Qcb Ab A2b0 1 6
0 0 1
五、关于极点配置的几点说明：
（1）实现多输入系统极点配置的状态反馈矩阵K不是唯一的，满足闭 环极点期望值的K都是极点配置的正确值，但是其元素取值较小的矩 阵K更具工程意义。 （2）在安排闭环极点位置时，既要考虑具有较大负实部的闭环极点， 使过渡过程加快，也要考虑这将使所需的控制量幅值增大，导致系统 响应的幅值增大。
(A ,b ) x P x (A ,b )能控标准型
极点配置
k
k=k P1kkPk0 k1 L kn1
a0a0 a1a1 L an1an1
0 0 0 1
线性系统的校正与状态反馈
1.3 线性系统的校正与状态反馈控制系统的校正与状态反馈就是在被控制对象已确定，在给定性能指标的前提下,要求设计者选择控制器（校正网络）的结构和参数，使控制器和被控制对象组成一个性能满足指标要求的系统。
1.3.1频域法串联超前校正超期网络的特性是相角超前，幅值增加。
串联超前校正的实质是将超前网络的最大超前角设计在校正后系统的剪切频率w c处，提高校正后系统的相位裕度和剪切频率，从而改善系统的动态性能。
频域法校正主要是通过对被控对象的开环对数幅频特性和相频特性（伯德图）观察和分析实现的。
1. 观测被控系统的开环对数幅频特性L（w）和相频特性φ（w），幅值穿越频率w c,相位裕度γ，按“校正后系统的相位裕度γ'”要求，设计校正参数，构建校正后系统。
2. 观测校正前、后的时域特性曲线，并测量校正后系统的相位裕度γ'、超调量Mp、峰值时间tp。
3. 改变“校正后系统的相位裕度γ'”要求，设计校正参数，构建校正后系统，画出其系统模拟电路图和阶跃响应曲线，观测校正后相位裕度γ'、超调量Mp、峰值时间tp填入实验报告。
1.未校正系统的时域特性的测试未校正系统的时域特性的测试模拟电路图见图1-3-1图1-3-1 未校正系统的时域特性的测试模拟电路图图1-3-1 未校正系统的开环传递函数为：6 (S)0.2(10.3) GS S=+实验内容及步骤：（1）构造模拟电路（2）运行、观察、记录实验结果如下图：实验结果分析：（1）理论上在未校正系统的时域特性特性曲线上可测得时域特性：超调量Mp=59%，峰值时间tp=0.336S,调节时间ts=1.8S（Δ=5时）（2）实测结果为：超调量Mp=3.931 2.52.5=57.24%,峰值时间tp=0.322S,调节时间ts=1.825S（Δ=5时）所以实测结果与理论上基本相等。
2.未校正系统的频域特性的测试未校正系统的频域特性的测试模拟电路图见图1-3-2图1-3-2 未校正系统的频域特性的测试模拟电路图实验内容及步骤:（1）构造模拟电路（2）运行、观察、记录实验结果如下图：实验结果的分析:（1）理论上测得未校正系统频域特性：穿越频率W c=9.44rad/s,相位裕度γ=19°。
线性系统的状态反馈及极点配置
线性系统的状态反馈及极点配置1.前言随着现代控制理论的不断发展和成熟，线性系统的状态反馈控制在控制理论中得到了广泛的应用，并成为了控制领域中重要的一种控制方法。
状态反馈控制能够将系统的状态进行反馈，并利用反馈得到的信息对系统进行控制，从而达到使系统达到预期控制目标的目的。
本文将从状态反馈控制的原理和实现方法两方面介绍线性系统的状态反馈及极点配置。
2.状态反馈控制的原理状态反馈控制是建立在现代控制理论的基础上的一种高级控制方法。
状态反馈控制的基本思想是在系统中引入反馈环节，设计一个反馈控制器，将系统的状态量反馈给控制器，控制器再根据反馈信号输出控制量，以期望控制系统按照预期的运动轨迹运行。
因此，状态反馈控制要实现以下两个步骤：- 系统状态量的测量：首先要在系统中安装测量传感器，实时地测量系统状态量，使得状态量可以被反馈到控制器中。
- 反馈控制器的设计：设计一个反馈控制器，将系统的状态量反馈给控制器，控制器再根据反馈信号输出控制量，实现对系统的精确控制。
因此，状态反馈控制的基本原理就是将系统状态量反馈到控制器中，以期望控制系统按照预期的运动轨迹运行。
2.2 状态空间模型与状态反馈控制状态空间模型是状态反馈控制的基础。
状态空间模型是一种方便描述线性系统动态行为和控制器的模型。
对于线性时不变系统，我们可以用如下的状态变量描述：x(t) = [x1(t),x2(t),...,xn(t)]T其中，x(t) 是系统在时刻 t 的状态量，n 是状态量的数量，x1(t),x2(t),...,xn(t) 分别是系统的每个状态量。
状态空间模型可以用一组线性常微分方程描述：dx/dt = Ax + Bu其中，A 是系统的状态方程矩阵，B 是输入矩阵，C 是输出矩阵，D 是直接耦合矩阵。
系统的状态反馈控制可以表示为：u(t) = -Kx(t)其中，K 是状态反馈矩阵。
将状态反馈控制引入到状态空间模型中，可以得到控制器的状态空间模型为：y = Cx上述控制器的状态空间模型就是一个闭环系统，通过反馈控制器将系统状态返回到系统，形成了一个反馈环。
江苏大学线性系统理论(现代控制理论)考试必备--第5章
望的闭环系统特征多项式
* n 1 * 1 * * ( s) ( s i* ) s n an s a s a 1 1 0 i 0 n
第5章 状态反馈
江苏大学电气学院
第3步：写出通过非奇异变换 x Px 将（A，b）化成能控
第5章 状态反馈
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系统经输出反馈后，其系统矩阵变成了 A -BFC ，此处 FC的相当于状态反馈中的K。可见，选择 F 也可以改变系
统矩阵的值使系统特征根位置发生改变。
虽然状态反馈和输出反馈都可改变系统矩阵，但两者 是有区别的。状态变量包含了系统所有的运动信息，而系
统输出量是状态变量的线性组合。当输出矩阵 C 为单位矩
变成了一个单输入能控系统 ( A BK, bi ) 。 利用这一结论，在随后的多输入系统状态反馈极点 配置相关的结论证明中，可以方便地将多输入能控系统 变成单输入系统来讨论，从而利用单输入系统的极点配 置的相关结论。
第5章 状态反馈
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5.3 系统的极点配置
一. 极点配置的概念
由前面的讨论可知，状态反馈使原系统的系统矩阵由 A变成了A－BK，通过选择不同的反馈增益矩阵 K ，可改 变系统的特征值。后面将看到，当系统完全能控且完全能 观时，系统的特征值也就是闭环传递函数矩阵的极点 。 由经典控制理论可知，闭环系统传统意义上的一些主
1.状态反馈与输出反馈的概念 2.反馈对能控性和能观性的影响 3.系统与输出反馈的极点配置 4.状态反馈的解耦
第5章 状态反馈
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5.1 状态反馈与输出反馈的概念
经典控制理论以输出量作为反馈量，使系统得以稳定 或使系统性能指标得到改善。在系统的状态空间描述中，
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线性系统理论中状态反馈综述
学号：1402028 姓名：王家林
现代控制理论源于20世纪60年代，以极大值等原理为形成标志，经典理论中以单一输入变量为研究对象，主要通过频率进行控制，现在控制理论以线性空间理论为基础，在时域中研究系统，能够定量的进行系统的分析和设计，随着计算机运算能力的发展，现代控制也在更多领域得到应用。
控制系统是有受控对象和反馈控制器两部分组成的闭环系统，经典控制理论通常采用输出反馈，而现代控制理论多采用状态反馈。
闭环系统极点的分布情况决定于系统的稳定性和动态品质，因此，可以根据对系统动态品质的要求，规定闭环系统的极点所具备的分布情况，把极点的配置作为系统的动态品质指标。
这种把极点配置在某位置的过程称为极点配置。
在空间状态法中，一般采用反馈系统状态变量或输出变量的方法，来实现系统的极点配置。
20世纪50年代以后，随着航天等技术发展和控制理论应用范围的扩大，经典线性控制理论的局限性日趋明显，它既不能满足实际需要，也不能解决理论本身提出的问题，这就推动了线性系统的研究，于是在1960年以后从经典阶段发展到现阶段。
美国学者R.E.卡尔曼首先把状态空间法应用于多变量线性系统的研究，提出了能控性和能观性两个基本概念。
其研究问题的方法主要有时域状态空间分析法，线性二次型最优状态调节器法，状态观测器控制法，李雅普诺夫稳定性分析法以及极点配置法等。
近年来，计算机技术的迅速发展给需要大计算量的现代控制提供了更好的发展空间，同事工业生产的告诉发
展，是的工程界对控制的要求也日益提高，由此也极大地推动了现代控制理论的发展和完善。
在控制理论与实践中的一个基本要求是设计反馈控制率，将闭环系统的极点配置在制定的位置上，从而保证闭环系统具有所要求的动态和稳态特性。
由于模型的不确定因素和各种扰动的存在，使得精确极点配置的控制方式不可能得到真正的实现。
世纪设计中只能将闭环系统的极点配置在指定的区域内，就可以使系统获得满意的性能。
近年来，对D稳定理论的研究十分活跃，利用这一理论研究区域极点配置问题已取得一些成果，包括最优控制、鲁棒性等方面。
在对系统的分析和设计中，首先要考虑的是系统的稳定性问题，而线性系统的稳定性与其极点的位置紧密相关，因此极点配置问题在系统设计中是很重要的。
为此，需要根据分析和设计的目的，将系统极点配置在指定区域内或指定某个位置。
所谓极点配置问题，就是通过反馈矩阵的选择，使闭环系统的极点，即闭环特征方程的特征值恰好处于所希望的一组极点位置上或者是某个区内。
由于希望的极点具有一定的任意性，因此极点的配置也具有一定的任意性。
对于线性系统而言，其稳定性取决于状态的零输入响应，因而取决于系统极点的分布，当极点的实部小于零时，系统是稳定的；当极点分布在虚轴上时，系统是临界稳定的；当极点的实部大于零时，系统是不稳定的。
同事，系统动态响应的基本特性也依赖于极点的分布，若系统极点是负实数，则系统动态响应时非周期的，按指数规律
衰减，衰减的快慢取决于极点的分布；若系统极点是具有负实部的共轭复数，则其动态响应时衰减振荡的，振荡的频率缺件于极点的虚部，而振幅衰减的快慢有极点的实部决定。
因此将系统极点配置在制定位置，可以试听满足性能指标的要求，从而改善系统的基本特性，具有实际的理论意义。
在现代控制理论中，以状态空间描述和状态空间法为基础，引入反馈和补偿器将闭环系统的极点配置在制定位置。
显然，解决极点配置问题必须给出可配置条件和相应的配置方法。
由于在控制理论中，主要的反馈形式由于状态反馈和输出反馈两种。
传统的输出反馈方法虽然也能改变系统极点的位置，但有很大的局限性，而采用状态反馈方法可以实现极点的任意配置。
状态反馈是控制理论中最基本的反馈形式之一。
状态反馈就是采用线性系统的状态变量构成反馈率，进而改变系统矩阵，因此状态反馈具有改变系统结构属性和实现性能指标的功能。
首先，状态反馈的引入不改变系统的能控性，但可能改变系统的能观测性。
其次，由于状态反馈是系统结构信息的一种完全的反馈，因此状态反馈系统可以获得良好的动态性能。
最后，当系统状态完全可观测时，状态反馈控制器更易于实现。
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