高三数学文科周练

高三文科数学周练3 命题人：顾永芹 2013.09.17一、填空题1. 设集合A={－1,1,3}，B={a +2,a 2+4},A∩B={3}，则实数a =________．2. 若复数12429,69,z i z i =+=+ 其中i 是虚数单位，则复数12()z z i -的实部为 .3．函数ln y x x =-的单调减区间为______________.4.设集合""""},3{},2{P M x P x M x x x P x x M ∈∈∈<=>=是或那么的 ．5.已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________． 6. 若不等式的值等于则实数的解集为a x a x x ],5,4[4|8|2-≤+-________． 7．已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加，则满足(21)f x -＜1()3f 的x 取值范围是_ __ _．8．x a x y 2cos 2sin +=的图象关于8π-=x 对称，则a 等于___________． 9．若,(0,)αβπ∈，cosα=1tan 3β=-，则2αβ+=________．10．求函数y ＝tan x －tan 3x1＋2tan 2x ＋tan 4x的最大值是________．11．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，已知b 2＝c (b ＋2c )，若a ＝6，cos A ＝78，则△ABC 的面积等于________．12．在△ABC 中，sinA=54，cosB=1312-，则cosC 等于 ． 13．下面有五个命题：①函数y=sin 4x-cos 4x 的最小正周期是π.②终边在y 轴上的角的集合是{a|a=Z k k ∈π,2|. ③在同一坐标系中，函数y=sinx 的图象和函数y=x 的图象有三个公共点. ④把函数.2sin 36)32sin(3的图象得到的图象向右平移x y x y =ππ+= ⑤函数.0)2sin(〕上是减函数，在〔ππ-=x y 其中真命题的序号是 （（写出所有真命题的编号））．14.设a b c x y ===+,若对任意的正实数,x y ,都存在以,,a b c 为三边长的三角形,则实数p 的取值范围是 .二、解答题15. 已知函数f (x )＝A sin(3x ＋φ) (A >0，x ∈(－∞，＋∞)，0<φ<π)在x ＝π12时取得最大值4.(1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )的解析式；(3)若f ⎝⎛⎭⎫23α＋π12＝125，求sin α.16. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边为a ，b ，c . (1)若sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝2cos A ，求A 的值； (2)若cos A ＝13，b ＝3c ，求sin C 的值．E17．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .18. 某居民小区内建有一块矩形草坪ABCD，AB =50米，BC =休闲散步，该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设三条小路OE 、EF 和OF ，考虑到小区整体规划，要求O 是AB 的中点，点E 在边BC 上，点F 在边AD 上，且∠EOF =90°，如图所示． （1）设∠BOE =α，试将OEF ∆的周长l 表示成α的函数关系式，并求出此函数的定义域； （2）经核算，三条路每米铺设费用均为400元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？ 并求出最低总费用．19. 已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数，设e为自然对数的底数．(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；(2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值；(3)当a＝－1时，试推断方程|f(x)|＝ln xx＋12是否有实数解．答 案1．1 2．－533．－2554．(0,1) 5. 7256. π3 7．114π8.2π39．－11610.15215.解 (1)f (x )的最小正周期T ＝2π3.(2)由函数的最大值为4，可得A ＝4. 所以f (x )＝4sin(3x ＋φ)．当x ＝π12时，4sin ⎝⎛⎭⎫3×π12＋φ＝4， 所以sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝1. 因为π4<π4＋φ<5π4，故π4＋φ＝π2，所以φ＝π4. 所以f (x )的解析式是 f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4. (3)因为f ⎝⎛⎭⎫23α＋π12＝125， 故sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＋π4＝35. 所以cos 2α＝35，即1－2sin 2α＝35，故sin 2α＝15.所以sin α＝±55.16．解 (1)∵sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝2cos A ，∴sin A ＝3cos A ， ∴cos A ＝3，又A ∈(0，π) ∴A ＝π3.(2)∵cos A ＝13，b ＝3c ，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝8c 2，a ＝22c .由正弦定理得：22c sin A ＝c sin C ，而sin A ＝1－cos 2A ＝223，∴sin C ＝13.(也可以先推出直角三角形)17．解 (1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0.因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0. 由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12. 又0<A <π，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8. 解得b ＝c ＝2.18.解：(1)∵在Rt △BOE 中，OB=25, ∠B=90°，∠BOE=α，∴OE=25cos α.…………2分 在Rt △AOF 中，OA=25, ∠A=90°，∠AFO=α，∴OF=25sin α.……………………4分又∠EOF=90°，∴EF==25cos sin αα, ∴252525cos sin cos sin l OE OF EF αααα=++=++即25(sin cos 1)cos sin l αααα++=． …………………………………………6分当点F 在点D 时，这时角α最小，求得此时α=π6；当点E 在C 点时，这时角α最大，求得此时α=π3．故此函数的定义域为ππ[,]63.……………………………………………………………8分(2)由题意知，要求铺路总费用最低，只要求OEF ∆的周长l 的最小值即可.由（1）得，25(sin cos 1)cos sin l αααα++=，ππ[,]63α∈设sin cos t αα+=，则21sin cos 2t αα-⋅=，∴225(sin cos 1)25(1)501cos sin 12t l t t αααα+++===--……………………………………………12分 由，5ππ7π12412α≤+≤t ≤≤11t ≤-≤，1111t ≤-，……………………………………………………………15分当π4α=，即BE=25时，min 1)l =,所以当BE=AE=25米时，铺路总费用最低，最低总费用为1)元.…………16分19. 解：(1)∵当a ＝－1时，f (x )＝－x ＋ln x ，f ′(x )＝－1＋1x ＝1－xx .当0<x <1时，f ′(x )>0；当x >1时，f ′(x )<0. ∴f (x )在(0,1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数， ∴f (x )max ＝f (1)＝－1.(2)∵f ′(x )＝a ＋1x ，x ∈(0，e]，1x∈⎣⎡⎭⎫1e ，＋∞. ①若a ≥－1e ，则f ′(x )≥0，从而f (x )在(0，e]上是增函数，∴f (x )max ＝f (e)＝a e ＋1≥0，不符合题意． ②若a <－1e ，则由f ′(x )>0得a ＋1x >0，即0<x <－1a，由f ′(x )<0得a ＋1x <0，即－1a<x ≤e.从而f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－1a 上是增函数，在⎝⎛⎭⎫－1a ，e 上是减函数． ∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－1＋ln ⎝⎛⎭⎫－1a . 令－1＋ln ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－3，则ln ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－2， ∴－1a ＝e －2，即a ＝－e 2<－1e ，∴a ＝－e 2为所求．(3)由(1)知，当a ＝－1时，f (x )max ＝f (1)＝－1， ∴|f (x )|≥1.令g (x )＝ln x x ＋12，则g ′(x )＝1－ln x x 2，令g ′(x )＝0，得x ＝e ，当0<x <e 时，g ′(x )>0，g (x )在(0，e)上单调递增； 当x >e 时，g ′(x )<0，g (x )在(e ，＋∞)上单调递减． ∴g (x )max ＝g (e)＝1e ＋12<1.∴g (x )<1.∴|f (x )|>g (x )，即|f (x )|>ln x x ＋12. ∴当a ＝－1时，方程|f (x )|＝ln x x ＋12没有实数解．。