第4讲—第三章

2013-03-15第三章阶跃折射率分布光纤阶跃折射率分布光纤（SIOF）n( r ) =n1 ( 0≤r≤a )n2 ( r > a ) （纤芯中）（包层中）折射率分布表达式：分析方法：几何光学方法分析、波动光学分析方法2013-03-152013-03-15几个基本概念：1、什么是子午平面？与纤轴相交且与纤壁垂直的平面。

2、什么是子午光线？在子午平面上传输的光线。

偏斜光线：与纤轴既不相交又不限于单一平面之内的光线。

θz3.1 几何光学方法分析2013-03-15iθzθzθin 1n 2n 子午的全反射条件：21cos z n n θ≥22112sin z n n nθ≤−由光的折射定理：1sin sin i i z n n θθ=子午光线的约束条件：2212sin i i n n nθ≤−2013-03-15光线轨迹:限制在子午平面内传播的锯齿形折线。

光纤端面投影线是过园心交于纤壁的直线。

临界角:)/arccos(12n n zc =θ2013-03-152013-03-15数值孔径:定义光纤数值孔径NA为入射媒质折射率与最大入射角的正弦值之积,即Δ=−==2sin 12221n n n n NA im i θ相对折射率差:最大时延差：0111002212111cos t n n n t t n c n n c δτθ⎛⎞⎛⎞⎛⎞=−=−=−=Δ⋅⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠1NA B BL δτδτ↑⇒Δ↑⇒↑⇒∞↓⇒↓2013-03-15物理意义•反映光纤接收光的能力，NA越大，光纤收集光的能力增大，增加了光源与光纤的耦合效率。

应注意，光纤的数值孔径只决定于光纤的折射率，而与光纤的几何尺寸无关，这一点和普通的光学系统有所不同。

•增大NA，对于提高光纤耦合效率有利。

但是却使光纤的另一重要传输特性“通信容量”降低。

光纤的通信容量正比于光纤的传输带宽，或单位长度光纤光脉冲展宽的倒数。

2013-03-15SIOF的传输容量•传输容量: 时延差的倒数•多模光纤: n 1=1.5, ∆=1%, ∆τ=50 ns/km 传输带宽: 1/ ∆τ= 20 MHz·km 结论1: 多模阶跃光纤通信容量并不高!•由一点发出的光线不能会聚在另一点:结论2:多模阶跃光纤不适合于传输图像!（不聚焦）2013-03-15倾斜光线传播时不与纤轴相交，不在单一平面内传输，光线是螺旋折线。

•光线轨迹：(螺旋折线)内散焦面半径：•数值孔径：(大于子午光线)•最大时延差：(大于子午光线)c n NA n n S s 122111⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−−=Δτφθsin /NA NA S =2013-03-15极限情况，当满足cosθφ＝n 2/n 1时，Δτs →∞，尽管光线依然可以满足内全反射条件而被约束在纤芯中，但光线仅仅在光纤横截面上频繁反射而不沿z轴向前传播。

显然，若考虑偏斜光线的传播，光纤的传输带宽比仅考虑子午光线时要小。

2013-03-153.2 波导场方程及导模本征解2013-03-15模式分析的基本过程•数学模型•园柱坐标系中的波导场方程•边界条件•本征解与本征值方程•本征值与模式分析数学模型阶跃折射率分布光纤(SIOF)是一种理想的数学模型,即认为光纤是一种无限大直园柱系统,芯区半径a，折射率为n1；包层沿径向无限延伸,折射率为n2；光纤材料为线性、无损、各向同性的电介质。

光纤是一种介质光波导，具有如下特点：①无传导电流；②无自由电荷；③线性各向同性。

2013-03-152013-03-15一、波导场方程麦克斯韦方程电场、磁场变量分离场的波动方程时间、空间变量分离亥姆霍兹方程（将直角坐标变换为圆柱坐标）22(,,)(,,)0V r z k V r z φφ∇+=(,,):V r z φ代表场的任意一分量，到底是哪一分量？能方便求出场的其他分量!2013-03-15由麦克斯韦方程的其他方程组：0D H H j E tE j H B E t ωεωμ⎧∂∇×=⎪⎧∇×=⎪⎪∂⎨⎨∇×=∂⎪⎪⎩∇×=−⎪∂⎩⇒r r r r r r r r 利用：1rz rze e e A r r z A rA A φφφ∂∂∂∇×=∂∂∂rr r r2013-03-15可推导各分量方程：rz H jz E E r 0H jr E z E z r 0zrH jE r Er rE 0rz E j z HH r E j rH z H zr zrE j H rH r rH2013-03-15()()zj e r V z r V β−φ=φ,,,对z 导数的算子就有：β−=∂∂j z由此可推得横纵之间的关系：()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛φ∂∂εμ+∂∂ββ−−=z z r H r k r E n k j E 0002220()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂εμ−φ∂∂ββ−−=φr H k E r n k jE z z 0002220()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛φ∂∂εμ−∂∂ββ−−=z z r E r n k r H n k jH 20002220()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛φ∂∂εμ+φ∂∂ββ−−=φz z E n k H r n k j H 20002220很显然，12(,)(,)r z z z z E f E H E f E H φ=⎧⎨=⎩12(,)(,)r z z z z H g E H H g E H φ=⎧⎨=⎩所以，(,)z z E V r H φ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦2013-03-15由上式可知，若电场、磁场的纵向分量E z 、H z 已求得，不难求得横向分量，由标量场方程：0022=εμω+∇V V ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡=z z H E V 22222211z V V r r V r r r V ∂∂+⎟⎠⎞⎜⎝⎛φ∂∂+⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂∂∂=∇其中22β−=∂∂z可得：()()()()0,1,1,20222222=β−εμω+φ∂φ∂+∂φ∂+∂φ∂V r V r r r V r r r V 再作变量分离：()()()φ=φg r F r V ,代入上式得()()()()()()()0111122202222=φφφ+⎥⎦⎤⎢⎣⎡β−εμω++d g d g dr r dF r F r dr r F d r F r 设其解形式：()φ≈φjl eg ，则()r F 满足：0)()()(1)(2220222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−β−εμω+⋅+r F r l dr r dF r dr r F d 场方程2013-03-15二、导模的本征解0)()()(1)(222222r F rl drr dF r dr r F d 场方程：解为贝塞尔函数！且有如下性质：22rY l r 有限，有界22r J l r2013-03-15第一类贝塞尔函数第二类贝塞尔函数2013-03-15根据导模条件：0102k n k n ，对阶跃光纤)()(2122120r aU AJ raank AJ l l)()(2122202r aW CK ra an k CK l larar )(r F 022022)(rK D rI C r F l l2013-03-15第一类汉克尔函数第二类汉克尔函数2013-03-15纤芯及包层处，电场及磁场的轴向(z)的分量：jl l e r aU J B Ajll e r aW K D Czz H E ar ar纤芯包层26页。

3.3 本征值方程（确定A、B、C、D、β 和l）②)()(1)()(1)11(''22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+⋅ωμ−+βBWKWKWUJUJUAWUlillll)11()()()()(22'2'1=+β+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅ε+⋅εωBWUliAWKWKWUJUJUllll（φEφH、在ar=处连续）欲获得A与B不全为零的解，需使上面的方程组特征行列式为零，可得本征值方程：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+β)()()()()()()()()11('22'21''22222WWKWKkUUJUJkWWKWKUUJUJWUlllllllll其中11knk=22knk=1n2n aλ当、、及给定时，对于每个l值可有多个mβ值(m=1,2,3...),则每个ml,β对应于一个导模。

zH2013-03-152013-03-15本征值方程的物理意义–又称特征方程，或色散方程。

其中U 与W 通过其定义式与β相联系,因此它实际是关于β的一个超越方程。

当n 1、n 2、a 和λ0给定时, 对于不同的l 值,可求得相应的β值。

由于贝塞尔函数及其导数具有周期振荡性质, 所以本征值方程可以有多个不同的解βlm (l=0,1,2,3... m=1,2,3...),每一个βlm 都对应于一个导模。

22222'22'21'')11())((WU l WK K k UJ J k WK K UJ J l ll l l l l l +=++β2013-03-15 3.4 模式分析一、光纤中的导模及其分类利用φE φH 、、、z E z H 在a r =处连续的边界条件，可得：①)()(U J W K D B C A l l ==φE 、z E （在ar =处连续）②0)()(1)()(1)11(''22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+⋅ωμ−+βB W K W K W U J U J U A W U l i l l l l 0)11()()()()(22'2'1=+β+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅ε+⋅εωB W U l i A W K W K W U J U J U l l l l （φE φH 、在ar =处连续）z H2013-03-15对TE模：0,0,0 = z z E H =≠l 使齐次方程得到不全为零的根，有：()()()()0J u K w uJ u wK w ′′+=l l l l ()()()()00000J u K w uJ u wK w ′′+=对TM模：0,0,0 =z z H E =≠l 使齐次方程得到不全为零的根，有：()()()()22120k J u k K w uJ u wK w ′′+=l l l l ()()()()221020000k J u k K w uJ u wK w ′′+=TM模的本征值方程：TE模的本征值方程：2013-03-15混杂模的本征值方程：()()()()()()()()22212222211J u K w k J u k K w uJ u wK w uJ u wK w u W ⎛⎞⎛⎞′′′′⎛⎞⎜⎟⎜⎟β+=++⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠l l l l l l l l l 令()()()(), J u K w J K uJ u wK w ′′==l l l ll l 可得：22222222222222222221111111111142k k k k J K K K k k k u k w u w ⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞=−+±+−−++⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎣⎦l l l l l 令“＋”EH模，令“－”HE模，EH模的本征值方程：()()()()2211J u K w uJ u wK w u w ′′⎛⎞+=+⎜⎟⎝⎠l l l l l HE模的本征值方程：()()()()221122222211J u K w k k uJ u wK w k k u w ′′⎛⎞+=−+⎜⎟⎝⎠l l l l l2013-03-15Bessel 函数的微分关系：()()()()()()()()()()111101011212dJ x J x J x dxdK x K x K x dx dJ x J x dx dK x K x dx−+−+=−⎡⎤⎣⎦=−+⎡⎤⎣⎦=−=−l l l l l l二、导模的截止与远离截止条件物理含义：2013-03-152013-03-15远离截止条件：W)()(01W WK W K 0)()(01U UJ U J 1UJ U所以远离截止条件：01mU J 的根，但0mU 本征值方程：01022121WWK W K UUJ n UJ n 远离截止、截止条件与模相同0102( 2.405); ( 5.52)c c TE V V TE V V >=>=LL0102( 2.405); ( 5.52)c c TM V V TM V V >=>=LLTE 、TM 模成对出现；成对消失！2013-03-15本征值方程：11WWK W K UUJ U J l l l l截止条件：W时，210Wl WK W K W l l W 将上式颠倒，则UJ l 可见模的截止条件是：c l V J 即l 阶贝塞尔函数的个非零根02)1(21)1(21)()(210W l l l U UJ U J l l U 显然不能成立！m m l EH )(3.823 2013-03-151 2013-03-152013-03-15个非零根1)(l )1(2122)()(12210l U l U l U J U J U l l U 显然不能成立经化简整理可知：当2cl V J 时成立m lHE l 模的截止条件是l阶贝塞尔函数的第m l时，有1lV J V J V cl c l c221cl cl clcl cc l c cl c l c V J V J l V J V J V V J V V J V J lV 12013-03-151=l 时，∞→⎟⎠⎞⎜⎝⎛=⋅lW V J V J V c c c 2ln )()(1100)(1=c V J 的根是μ1HE 的截止条件（包括零根）某些模的截止条件如下：lu HE )(模式11)(HE 12)(HE 13)(HE 14)(HE 21)(HE 22)(HE 23)(HE cV 03.8327.01610.1732.4055.5203.832远离截止条件0)()(0)()(11=⇒→⇒∞→−−U UJ U J W WK W K W l l l l ∴截止条件：)0(U,0)(lm1≠=∞∞−lml U J 3.8233.8232013-03-15•导模截止与远离截止条件:模式临近截止远离截止*除了HE 1m 模式以外,U 不能为零•模式本征值β、l 满足：lmEH ()0c llmJ U =()10l lmJ U ∞+=lmHE ()()()()210 10 1c l lmc lmJ U l J U l −=>==()10l lmJ U ∞−=()000cm J U=()100m J U ∞=()00m m TE TM (), c lm lmlmU U U∞∈(), c V V ∈∞2013-03-15三、色散曲线与单模条件•色散曲线–结构参数给定的光纤中,模式分布是固定的。