高三数学第一次模拟考试适应性测试试卷
浙江省L16联盟2024-2025学年7月新高三适应性测试数学试题含答案
浙江省L16联盟2024年7月新高三适应性测试数学（答案在最后）本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部分3至4页.满分150分，考试时间120分钟.考生注意：1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}1,1,2,3A =-，集合{}0,2,3,4B =，则B A 的子集个数是（）A.1 B.2C.3D.4【答案】D 【解析】【分析】由交集的概念得出交集中元素的个数即可求解.【详解】集合{}1,1,2,3A =-，集合{}0,2,3,4B =，则{}2,3B A ⋂=，则B A 的子集个数是224=.故选：D.2.公比为q 的等比数列{}n a 满足0n a >，43223a a a =+，则q =（）A.1-B.1C.3D.9【答案】C 【解析】【分析】由等比数列的通项公式：11n n a a q -=⋅，代入43223a a a =+解关于q 的方程，即可得q 的值.【详解】由0n a >，知10,0a q >>，又43223a a a =+，则3211123a q a q a q ⋅=⋅+⋅，223q q ∴=+，解得1q =-（舍），或3q =.故选：C.3.已知na x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭存在常数项，且常数项是320a ，则n =（）A.4B.6C.8D.10【答案】B 【解析】【分析】求得二项式展开式的通项公式，化简整理，由常数项是320a ，得r ，n ．【详解】n a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为21C C rr n r r n rr r n n a T x xa x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，0,1,2,,r n = ，令20n r -=，得2n r =，*N n ∈，所以它的常数项为2C rrr a ⋅，又已知常数项是320a ，所以3r =，6n =，故选：B ．4.已知椭圆E ：()222210+=>>x y a b a b的左右焦点到直线l ：40x y --=的距离之差为2，则E 的焦距是（）A.B.2C. D.4【答案】C 【解析】【分析】设椭圆E 的左右焦点分别为()(),0,,0,0c c c ->，2=，分04c <<和4c ≥两种情况，分析求解即可.【详解】设椭圆E 的左右焦点分别为()(),0,,0,0c c c ->，2=，则()44c c +--=若04c <<，则()()()44442c c c c c +--=++-==，即c =若4c ≥，则()()()44448c c c c +--=+--=≠，不合题意；综上所述：c =E 的焦距是2c =.故选：C.5.在ABC V 中，tan A 和tan B 是方程()20,1x mx n n -+=≠的两个根，则tan C =（）A.1m n - B.1m n- C.1n m- D.1n m-【答案】A 【解析】【分析】由韦达定理，tan tan ,tan tan A B m A B n +=⋅=，结合诱导公式、两角和的正切即可求解.【详解】因为tan A 和tan B 是方程20x mx n -+=的两个根，所以由韦达定理有tan tan ,tan tan A B m A B n +=⋅=，所以()()tan tan tan tan πtan 1tan tan 11A B m mC A B A B A B n n +=--=-+=-=-=---.故选：A.6.边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是1AA ，11A D 中点，M 是DB 靠近B 的四等分点，P 在正方体内部或表面，()0DP EF MF ⋅+= ，则DP的最大值是（）A.1B.52C.D.【答案】D 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设(),,P x y z ，从而求得3330442x y z --+=，再根据向量模长公式结合01,01x y ≤≤≤≤即可求解.【详解】如图，建立空间直角坐标系，设(),,P x y z ，则()11330,0,0,1,0,,,0,1,,,02244D E F M ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1113,0,,,,12244EF MF ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，则333,,442EF MF ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，因为()0DP EF MF ⋅+= ，又(),,DP x y z =，所以3330442x y z --+=，即2x y z +=，所以22222222x y DP x y z x y +⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，又01,01x y ≤≤≤≤，所以22221111322x y x y ++⎛⎫⎛⎫++≤++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1x y ==，此时1z =时，等号成立，所以DP故选：D.7.已知函数()323f x x x =-，则()20252023k f k =-=∑（）A.8098- B.8096- C.0D.8100【答案】A 【解析】【分析】首先得出()f x 关于()1,2-中心对称，然后即可利用这一性质求解.【详解】()()()()333231311312f x x x x x x x =-=--+=----，所以()()331132324f x f x x x x x ++-=---+-=-，即()f x 关于()1,2-中心对称，所以()()()()()()()()202520232023202520222024021k f k f f f f f f f =-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-++-++⋯+++⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑()()2024418098f =⨯+=-.故选：A.8.若正实数a ，b ，c 满足b a bc =，ln b a a c =，则（）A.a b ≥B.a c ≥C.b c≥ D.c b≥【答案】B 【解析】【分析】借助导数研究函数单调性，进而得到函数值大小即可.【详解】ba bc =，lnb a ac =，则ln bc a c =，则ln 1b a =，则1e b a =.则1(e )e bb b a ==，则1(e )e=bbb a bc ==，则ec b=先比较a ，b ：作差1e b a b b -=-，设1()e (0)xf x x x =->，求导121()e 10,(0)x f x x x'=--<>，则1()e (0)x f x x x =->在(0,)+∞单调递减.(1)e 10f =->，(2)20f =-=<，故1()e (0)xf x x x =->有正负还有零.即a b -值有正负还有零，故不能比较,a b 大小.故A 错误.再比较a ，c ：作差1e e ba cb -=-，设1e ()e (0)x f x x x =->，求导112221e 1()e (e e )0x x f x x x x'=-+=-=，则1x =由于11011e e 0()0x x f x x '<<⇒>⇒-<⇒<，则()f x 在(0,1)单调递减.1111e e 0()0x x f x x'>⇒<⇒->⇒>，则()f x 在(1,)+∞单调递增.且(1)0f =，则()0f x ≥，即1ee 0ba c b-=-≥，即a c ≥.故B 正确．最后比较b，c ，由于ec b=，假设b c ==满足题意，假设b c >，即eb b >，即2e b >，即b >假设b c <，即eb b<，即2e b <，即0b <<也满足题意．则,b c 无法比较大小，故CD 错误.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知均值为()2,5的多组样本点数据()11,x y ，()22,x y …()()1,,2,i i x y i n =⋅⋅⋅经最小二乘法得到的回归直线21y x =+.现删去样本点数据()2,7，并利用最小二乘法得到新回归直线，则新回归直线（）参考数据：回归直线 y abx =+ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1122211()()(()nni ii ii i nn iii i x y nx yx x yy bxn x x x ====---==--∑∑∑∑ ， ay bx =- .A.斜率改变 B.截距不变 C.斜率不变 D.截距改变【答案】CD 【解析】【分析】依据题意得211(2)(5)2(2)n niiii i x y x ==--=-∑∑，接着先求出新数据的,x y ，再代入最小二乘法公式求得111212(2)(5)1(2)n iii n ii x y n bx -=-=--+-=-∑∑ 和，进而得解.【详解】由题意可得121(2)(5)2(2)n iii nii x y x ==--=-∑∑，且1n >，所以211(2)(5)2(2)nn iiii i x y x ==--=-∑∑，不妨将样本点数据()2,7作为第n 组数据，即2,7n n x y ==，则前1n -组数据满足()111111222111n n i i n i i x x x x n n n n -==⎛⎫==-=-= ⎪---⎝⎭∑∑，()11111125751111n n i i n i i y y y y n n n n n -==⎛⎫==-=-=- ⎪----⎝⎭∑∑，所以11111111221122(2)(5)(2)(5)(2)11(2)(2)n n n i i i i i i i i n n iii i x y x y x n n bx x ---===--==--+--+---==--∑∑∑∑∑ ()111112122(2)(5)2111(2)n n i i ii i n ii x y x n n n x --==-=--+-⨯---=-∑∑∑()()1112122(2)(5)212111(2)n i i i n ii x y n n n n x -=-=--+⨯--⨯---=-∑∑11121(2)(5)(2)n iii n ii x y x -=-=--=-∑∑27711112211(2)(5)(2)(5)2(2)(2)(2)nnii i i i n n iii i x y xy x x x ==--==------==--∑∑∑∑112227111122112(2)(2)2(2)2(2)(2)n n i i i i n n iii i x x x x x --==--==----===--∑∑∑∑，所以 225221111ay bx n n =-=--⨯=-<-- .综上，新回归直线斜率不变，截距会发生变化，故选项AB 错误，选项CD 正确.故选：CD.10.如图，在三棱锥P EDF -的平面展开图中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，正方形ABCD 的边长为2，则在三棱锥P EDF -中（）A.PEF !的面积为12B.PD EF⊥C.平面PEF ⊥平面DEF D.三棱锥P EDF -的体积为13【答案】ABD 【解析】【分析】直接求BEF △的面积可判定A ，连接BD 交EF 于G ，根据条件证⊥EF 平面GPD 即可判定B ，判定PG DG 、的夹角是否为直角可判定C ，利用棱锥的体积公式可判定D.【详解】对于A ，易知1122BEF PEF S S BE BF ==⨯⨯= ，故A 正确；对于B ，连接BD 交EF 于G ，根据正方形的性质易知EF BD ⊥，所以有,EF GD EF GP ⊥⊥，又,PG GD ⊂平面PGD ，所以⊥EF 平面GPD ，PD ⊂平面GPD ，所以EF PD ⊥，故B 正确；对于C ，由上可知PGD ∠为平面PEF 与平面DEF 的夹角，易知232,222PG DG PD ===≠，则,PG DG 不垂直，故C 错误；对于D ，由题意可知,,PD PE PF 两两垂直，则111323P EDF V PD PE PF -=⨯⨯⨯⨯=，故D 正确.故选：ABD11.已知曲线C 上的点满足：到定点1,0与定直线y 轴的距离的差为定值m ，其中，点A ，B 分别为曲线C 上的两点，且点B 恒在点A 的右侧，则（）A.若12m =，则曲线C 的图象为一条抛物线B.若1m =，则曲线C 的方程为24y x=C.当1m >时，对于任意的()10,A x y ，()20,B x y ，都有12x x >D.当1m <-时，对于任意的()10,A x y ，()20,B x y ，都有12x x >【答案】AC 【解析】【分析】设曲线C 上的点s ，由题意求出,x y 的方程，分0x ≥、0x <化简后逐项判断可得答案.【详解】对于A ，若12m =，设曲线C 上的点s ，由题意可得12x -=，化简得2324y x x =+-，当0x ≥时，2334=-y x 为抛物线，当0x <时，234=-y x ，因为0x <，所以304-<x ，而20y ≥，显然不成立，综上，若12m =，则曲线C 的图象为一条抛物线，故A 错误；对于B ，若1m =，设曲线C 上的点s ，1x -=，化简得222y x x =+，当0x ≥时，24y x =为抛物线，当0x <时，0y =为一条射线，故B 错误；对于C ，若1m >，设曲线C 上的点s ，x m =，化简得22221y x m x m =++-，因为1m >，当0x ≥时，()21212m y m x -⎛⎫=+-⎪⎝⎭，为开口向右，顶点为1,02m -⎛⎫⎪⎝⎭的抛物线的一部分，，当0x <时，()21212m y m x +⎛⎫=--⎪⎝⎭，为开口向左，顶点为1,02m +⎛⎫⎪⎝⎭的抛物线的一部分，，且1,02m -⎛⎫⎪⎝⎭与1,02m +⎛⎫⎪⎝⎭关于12x =对称,其图象大致如下，因为()10,A x y ，()20,B x y 两点的纵坐标相同，根据对称性可得12x x >，故C 正确；对于D ，若1m <-，设曲线C 上的点s ，()221x y x m -+=，化简得22221y x m x m =++-，因为1m <-，当0x ≥时，()21212m y m x -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，为开口向左，顶点为1,02m -⎛⎫⎪⎝⎭的抛物线的一部分，当0x <时，()21212m y m x +⎛⎫=--⎪⎝⎭，为开口向右，顶点为1,02m +⎛⎫⎪⎝⎭的抛物线的一部分，且1,02m -⎛⎫⎪⎝⎭与1,02m +⎛⎫⎪⎝⎭关于12x =对称,其图象大致如下，因为()10,A x y ，()20,B x y 两点的纵坐标相同，根据对称性可得12x x <，故D 错误.故选：AC.【点睛】关键点点睛：解题的关键点是设曲线C 上的点s ，求出P 点的轨迹方程，数形结合求出答案.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.计算：234562024i i i i i i i -+-+-+⋅⋅⋅-=______（i 为虚数单位）.【答案】0【解析】【分析】利用i 的指数幂的周期可计算得出所求代数式的值.【详解】因为234i i i i i i 101-+---+==，所以()()()23456782021202220232024i i i ii i i i i i i i -+-+-+-+⋅⋅⋅+-+-()()()23442342020234i i i i i i i i i i i i i i 50600=-+-+-+-+⋅⋅⋅+-+-=⨯=.故答案为：0.13.三棱锥P ABC -的底面ABC 是边长为2的正三角形，4PA PB +=，则三棱锥体积的最大值是______.【答案】1【解析】【分析】点P 在以,A B 为焦点长轴长为4的椭球上（去掉长轴端点），可得侧面PAB ⊥平面ABC 时三棱锥的体积最大，求出最大值即可.【详解】由题意可得，点P 在以,A B 为焦点长轴长为4的椭球上（去掉长轴端点），设PA x =，4PB x =-，椭球的焦距为22c =，可得椭球的短轴长b ==，所以当侧面PAB ⊥平面ABC 时三棱锥的体积最大，此时，最大值为11132213322==⨯⨯⨯⨯ ABC V S b .故答案为：1.14.已知一道解答题有两小问，每小问5分，共10分.现每十个人中有六人能够做出第一问，但在第一问做不出的情况下，第二问做出的概率为0.1；第一问做出的情况下，第二问做不出的概率为0.6.用频率估计概率，则此题得满分的概率是______；得0分的概率是______.【答案】①.0.24##625②.0.36##925【解析】【分析】设相应事件，由题意可得()()(),|,|P A P B A P B A ，根据对立事件结合条件概率公式分析求解.【详解】设“第一问做出”为事件A ，“第二问做出”为事件B ，由题意可得：()()()60.6,|0.1,|0.610P A P B A P B A ====，则()()()0.4,|0.9,|0.4P A P B A P B A ===，所以()()()|0.24P AB P A P B A ==，即此题得满分的概率是0.24；所以()()()|0.36P AB P A P B A ==，即此题得满分的概率是0.36.故答案为：0.24；0.36.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15..如图，底面1111D C B A 固定在底面α上的盛水容器口为正方形ABCD ，侧棱1AA ，1BB ，1CC ，1DD 相互平行.（1）证明：底面四边形1111D C B A 是平行四边形；（2）若已知四条侧棱垂直于面ABCD ，且114AA DD ==，112BB CC AB ===.现往该容器中注水，求该容器最大盛水体积V 及此时侧面11BB C C 与底面α所成角θ的余弦值（水面平行于底面α）.【答案】（1）证明见解析（2）8V =，cos 2θ=【解析】【分析】（1）只需证明平面11//ABB A 平面11CDD C ，再结合面面平行的性质即可得证；（2）取11,AA DD 的中点,E F ，说明该容器最大盛水体积V 就是平行六面体1111EBCF A B C D -的体积，当1111A B B C ⊥时，1111EBCF A B C D V -最大，此时可以说明AEB θ∠=，结合解三角形知识以及平行六面体的体积公式即可求解.【小问1详解】因为11//AA DD ，1AA ⊄平面11CDD C ，1DD ⊂平面11CDD C ，所以1//AA 平面11CDD C ，同理//AB CD ，AB ⊄平面11CDD C ，CD ⊂平面11CDD C ，所以//AB 平面11CDD C ，而1AA AB A = ，1,AA AB ⊂平面11ABB A ，所以平面11//ABB A 平面11CDD C ，又平面11ABB A 平面11A B α=，平面11CDD C 平面11C D α=，所以1111//A B C D ，同理1111//A D B C ，所以底面四边形1111D C B A 是平行四边形；【小问2详解】取11,AA DD 的中点,E F ，因为1111//,A E BB A E BB =，所以四边形11A EBB 是平行四边形，所以11//EB A B ，而EB ⊄平面1111D C B A ，11A B ⊂平面1111D C B A ，所以//EB 平面1111D C B A ，同理1111//,A E D F A E D F =，所以四边形11A EFD 是平行四边形，所以11//EF A D ，而EF ⊄平面1111D C B A ，11A D ⊂平面1111D C B A ，所以//EF 平面1111D C B A ，又EB EF E = ，,EB EF ⊂平面EBCF ，所以平面//EBCF 平面α，所以该容器最大盛水体积V 就是平行六面体1111EBCF A B C D -的体积，由题意2,AE AB AE AB ==⊥，所以BE =，因为1111//,AA DD AA DD =，所以四边形11ADD A 是平行四边形，而,E F 分别是11,AA DD 的中点，所以2EF AD ==，当1111A B B C ⊥时，1111EBCF A B C D V -最大，而1BB BC ⊥，11//BC B C ，所以111BB B C ⊥，所以11A B B ∠的补角就是侧面11BB C C 与底面α所成角θ，因为1111//,//BB AA A B EB ，所以AEB θ∠=，cos2AE EB θ===，注意到()0,πθ∈，所以π4θ=，此时11112A B EB B C BC ====，平行六面体的高为1sin 22BB θ=⨯=平行六面体的底面积为1111A B B C ⋅=，所以平行六面体的体积为8V ==.16.现有一抛硬币游戏机制：假设抛中正、反面可能性均为12，若抛中的是正面，则收益80%的手中金额；否则亏损50%的手中金额.甲同学按此规则进行多组模拟，抛硬币100次，发现最终亏损的次数多于盈利的次数.假设初始金额为100元，记x 为抛硬币次数，y 为经历x 次抛硬币后手中的金额.（1）若2x =，求y 的分布列；（2）如图，横坐标表示x ，纵坐标表示y ，在图中描出所有可能取值对应的(),x y ，并求出当0x =、1、2、3时盈利的概率；（3）综合（1）（2）数据，简要说明形成甲同学的实验现象的原因（直接写结论）.【答案】（1）分布列见解析（2）图象见解析，()00P x ==，()112P x ==，()124P x ==，()132P x ==（3）答案见解析【解析】【分析】（1）根据条件知y 的可能取值为25,90,324，再求出相应的概率，即可求出结果；（2）通过取一些特殊值，即可得到部分图象，再根据条件，即可求出0x =、1、2、3时盈利的概率；（3）根据题设条件，即可写出结果.【小问1详解】易知y 的可能取值为25,90,324，111(25)224P y ==⨯=，12111(90)C 222P y ==⨯⨯=，111(324)224P y ==⨯=，所以y 的分布列为y2590324P141214【小问2详解】当0x =时，100y =，当1x =时，50y =或180y =，当2x =时，y 的可能取值为25,90,324，L ，所以图象如下图易知()00P x ==，()112P x ==，()1112224P x ==⨯=，()1311111113C 2222222P x ==⨯⨯+⨯⨯⨯=.【小问3详解】x 越大，最终手中金额大于初始金额的概率会越小，则最终亏损的可能性越大，最后亏损的组数多于盈利的组数，即甲同学实验现象（答案不唯一）.17.已知a 为实数，*n ∈N ，设函数()ln nf x x a x =-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）()e,n ∞+【解析】【分析】（1）首先求函数的导数，分0a ≤和0a >两种情况讨论函数的单调性；（2）根据（1）的结果，转化为函数的最小值小于0，并且结合函数零点存在性定理说明存在2个零点.【小问1详解】()1n n a nx af x nxx x--'=-=，0x >，当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在()0,∞+单调递增，当0a >时，令()0f x '>，得1na x n ⎛⎫> ⎪⎝⎭，令()0f x '<，得10na x n ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，所以函数的单调递减区间是10,n a n ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，单调递增区间是1,n a n ⎛⎫⎛⎫⎪+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，综上可知，0a ≤时，()f x 的增区间是()0,∞+；0a >时，()f x 的单调递减区间是10,n a n ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，单调递增区间是1,n a n ⎛⎫⎛⎫⎪+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；【小问2详解】由（1）可知，若()f x 有两个零点，则0a >，且当1na x n ⎛⎫= ⎪⎝⎭时，()f x 取得最小值，111ln 0nn n n a a a f a n n n ⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎢⎥=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，得e a n >，且0x →时，()f x →+∞，·当x →+∞，()f x →+∞，所以10,n a n ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有1个零点，1,n a n ⎛⎫⎛⎫⎪+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭也有1个零点，所以若()f x 有两个零点，则e a n >.18.已知点()4,4A ，B ，C ，D 均在抛物线W ：()220x py p =>上，A ，C 关于y 轴对称，直线AB ，AD 关于直线AC 对称，点D 在直线AC 的上方，直线AD 交y 轴于点E ，直线AB 斜率小于2.（1）求ABE 面积的最大值；（2）记四边形BCDE 的面积为1S ，ABE 的面积为2S ，若122S S =，求sin BAD ∠.【答案】（1）16（2）1213【解析】【分析】（1）设()():44,0AB y k x k =-+>，则():44AD y k x =--+，令0x =可得,E F 的坐标，由韦达定理可表示出12x x -，从而可求得ABE 面积2S 的表达式，结合基本不等式即可求解；（2）设ABCD 的面积为S ，由题意23S S =，由韦达定理以及同理思想可得()()222341,41y k y k =-=+，由公式3212S AC y y =-可知S 也可以用k 表示，进而可以得出关于k 的方程，解出k ，结合二倍角公式、平方关系即可求解.【小问1详解】由题意2424p =⨯，解得2p =，所以抛物线W ：24x y =，因为A ，C 关于y 轴对称，直线AB ，AD 关于直线AC 对称，所以,AD AB 斜率互为相反数，不妨设()():44,0AB y k x k =-+>，则():44AD y k x =--+，设AB 与y 轴交于点F ，而直线AD 交y 轴于点E ，所以()()0,44,0,44E k F k +-，联立():44AB y k x =-+与抛物线W ：24x y =，化简并整理得2416160x kx k -+-=，()22Δ166********k k k k =-+=->⇒≠，设1,1,2,2，则12124,1616x x k x x k +==-，设ABE 面积为2S ，则21211822S EF x x k =⋅⋅-=⋅()22416216216162k k k k k k +-⎛⎫==-=-≤= ⎪⎝⎭，等号成立当且仅当1k =，所以ABE 面积的最大值为16；【小问2详解】由（1）可知12241616x x x k ==-，解得244x k =-，设点D 的坐标为()33,x y ，同理可得()34444x k k =--=--，所以()()222341,41y k y k =-=+，设ABCD 的面积为S ，而四边形BCDE 的面积为1S ，ABE 的面积为2S ，由题意12222S S S S S -==，所以23S S =，而()()()2232118414164,0222S AC y y k k k k ⎡⎤=-=⨯⨯+--=<<⎣⎦，而()2162S k k =-，所以()643162k k k =⨯-，即232k k =，解得23k =，由题意//AC x 轴，且BAC DAC ∠=∠，设π,0,2BAC DAC θθ⎛⎫∠=∠=∈ ⎪⎝⎭，所以2tan 3k θ==，所以22222422sin cos 2tan 1233sin sin 213sin cos tan 1132193BAD θθθθθθθ⨯∠======++⎛⎫+ ⎪⎝⎭.19.已知正整数m ，设1a ，2a ，…，2m a ，1b ，2b ，…，2m b 是4m 个非负实数，22110m miii i S a b====>∑∑.若对于任意1,2,,2i m =⋅⋅⋅，取211m a a +=，222m a a +=，211m b b +=，都有21i i i i a a b b ++≥+，则称这4m 个数构成(),S m —孪生数组.（1）写出8个不全相等的数，使得这8个数构成()8,2—孪生数组；（2）求最小的S ，使得1a ，2a ，…，6a ，1b ，2b ，…，6b 构成(),3S —孪生数组；（3）若4≥m ，且1a ，2a ，…，2m a ，1b ，2b ，…，2m b 构成()16,m —孪生数组，求()1,2,,2i a i m =⋅⋅⋅的最大值.参考公式：（i ）()()21231223313x x x x x x x x x ++≥++，当且仅当123x x x ==时取等；（ii ）当正偶数4n ≥时，设()*2n k k =∈N，有()()122311321242n k k x xx x x x x x x x x x -++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+；当正奇数4n >时，设()*21n k k =+∈N ，有()122311321n k x x x x x x x x x +++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+()242k x x x ++⋅⋅⋅+.【答案】（1）2，2，2，2，0，4，0，4（答案不唯一）（2）12（3）4【解析】【分析】（1）根据(),S m —孪生数组的含义写出即可；（2）由题知3m =，进而可以求出S ，再结合参考公式（i ）即可证明；（3）由题知3S =，结合（2）可得21222111()mmi i i i i i S bb a a -+===+≤∑∑.再利用参考公式（ii ）放缩，进而求解最大值.【小问1详解】根据(),S m —孪生数组的含义可知:2,2,2,2,0,4,0,4构成()8,2—孪生数组，当然其答案不唯一;【小问2详解】若3m =，由题知:131224233534;;;a a b b a a b b a a b b ≥+≥+≥+464551566261;;a a b b a a b b a a b b ≥+≥+≥+所以()()()()12345613163515ii S b b bb b b a a a a a b a ===+++++≤++∑.由参考公式（i ），有()()2135********a a a a a a a a a S ++≥++≥，记T 是数列{}n a 中奇数项的和，即135T a a a =++，不妨设2S T ≤，则有2234S T S ≥≥，因为0S >，解得12S ≥，当且仅当()21,2,,6i a i == 时取等.故最小的S 为12.【小问3详解】类比前问，得:212212111()mmi i i i i i S bb a a --+===+≤∑∑.由参考公式（ii ），有若m 为正偶数，21211mi i i aa-+=∑()()15233721m m a a a a a a --≤++++++ .由基本不等式，得()()2152337214m m T a a a a a a --++++++≤ .当且仅当15233721m m a a a a a a --+++=+++ 时等号成立.所以2212121416mi i i T S S a a -+=≤≤≤∑，因为0S >，解得16S ≥;同理，当m 为正奇数，解得16S ≥，由122122,,,,,,,m m a a a b b b 构成()16,m -孪生数组，所以等号需要全部成立.对于参考公式（ii ），左边的项在右边全部出现，若等号成立，则其余项均需为0.若4n =，则等号直接成立.不妨设120x x ≠，则451,,0n x x x -= ，当n 为正奇数时，0n x =；当n 为正偶数时，若6n ≥，则30n x x =，不妨使0n x =，则此时仅123,,0x x x ≠，其余项均为0.故()()1532644,4,7,8,20,5,6,20j i a a a a a a a j m b i m +==+====== .所以()341,2,,24i a i m a a =≤== ()1,2,,2i a i m = 的最大值为4【点睛】关键点点睛：对于新定义型问题，解答的关键是理解所给定义，第二问关键是将2211m mi i i i S a b ====∑∑表示出来，再利用参考答公式（i ）进行放缩；第三问需要用到第（2）问结论，要注意对m 时是正奇数和正偶数讨论.。
高三数学第一次适应性考试试题 文含解析 试题
卜人入州八九几市潮王学校2021届高三数学第一次适应性考试试题文〔含解析〕〔考试时间是是：120分钟总分值是：150分〕本卷须知：1.本套试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部..2.答复第一卷时，选出每一小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在套本套试卷上无效.3.答复第二卷时，将答案写在答题卡上，写在套本套试卷上无效.4.在在考试完毕之后以后，将本套试卷和答题卡一起交回.第一卷一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的. 1.集合{}{}10,12A x x B x x =->=-≤≤，那么AB =〔〕A.(1,)+∞B.[1,)-+∞C.[1,1]-D.[1,2]-【答案】B 【解析】 【分析】 解出集合A 中的一次不等式即可.【详解】因为{}{}101A x x x x =->=>，{}12B x x =-≤≤所以A B =[1,)-+∞应选：B【点睛】此题考察的是集合的运算，较简单.2.设(1)1i x yi -=+，其中,x y 是实数，那么x yi +在复平面内所对应的点位于〔〕A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】由()11i x yi -=+，其中,x y 是实数，得：11,1x x x y y ==⎧⎧∴⎨⎨-==-⎩⎩，所以x yi +在复平面内所对应的点位于第四象限. 此题选择D 选项. 3.(0,)απ∈，3cos 5α=，那么sin()6πα-的值是()C.710【答案】A 【解析】 【分析】由结合同角平方关系可求sin α，然后结合两角差的正弦公式即可求解． 【详解】解：(0,)απ∈，3cos 5α=， 4sin 5α∴=，那么1431sin()cos 62552πααα-=-=⨯． 应选：A ．【点睛】此题主要考察了同角平方关系及和差角公式在三角化简求值中的应用，属于根底题.4.PM 是空气质量的一个重要指标，我国PM HY 采用世卫组织设定的最宽限值，即PM 日均值在35μg /m 3以下空气质量为一级，在35μg /m 3～75μg /m 3之间空气质量为二级，在75μg /m 3以上空气质量为超标.如图是某2019年12月1日到10日PM 日均值〔单位：μg /m 3〕的统计数据，那么以下表达不正确的选项是〔〕A.这10天中，12月5日的空气质量超标B.这10天中有5天空气质量为二级C.从5日到10日，PM 日均值逐渐降低D.这10天的PM 日均值的中位数是47 【答案】C 【解析】 【分析】先对图表信息进展分析，再由频率分布折线图逐一检验即可得解. 【详解】解：由图表可知，选项A ，B ，D 正确，对于选项C ，由于10日的PM 日均值大于9日的PM 日均值， 故C 错误， 应选：C .【点睛】此题考察了频率分布折线图，考察数据处理和分析才能，属于根底题.5.假设实数,x y 满足110220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩，那么2z x y =+的最小值为〔〕A2 B.4C.5D.10【答案】B 【解析】 【分析】 作出可行域，作直线2y x z =-+，再将其平移至()1,2A 时，直线的纵截距最小【详解】作出可行域如下列图：作直线2y x z =-+，再将其平移至()1,2A 时，直线的纵截距最小z 的最小值为4应选：B【点睛】此题考察的是线性规划的知识，较简单. 6.圆22420x y ax ay +++=与直线2100x y +-=相切，那么圆的半径为()B.2C. D.4【答案】A 【解析】 【分析】求出圆的圆心与半径，利用直线与圆相切，列出方程求解即可.【详解】解：圆22420x y ax ay +++=的圆心(2,)a a --圆22420x y ax ay +++=与直线2100x y +-=相切，=解得1a =-．应选：A ．【点睛】此题考察直线与圆的位置关系的应用，圆的一般方程求解圆的圆心以及半径，考察转化思想以及计算才能，属于根底题.7.双曲线2222x y a b-=1〔a ＞0，b ＞0〕的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且斜率为第一象限的交点为A ，且1AF •2AF =0，假设a =1，那么F 2的坐标为〔〕A.〔1，0〕B.0〕C.〔2，0〕D.1，0〕 【答案】C 【解析】【分析】根据条件可得12AF AF ⊥，126AF F π∠=2c a -=，带入a 的值即可．【详解】解：因为120AF AF =，所以12AF AF ⊥，又因为2AF k =，所以126AF F π∠=，那么由1=AF ，2c a -=，那么2c ==，应选：C ．【点睛】此题考察双曲线的定义，根据条件得到特殊角是关键，属于中档题.8.如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为A 1B 1，CD 的中点，那么异面直线D 1E 与A 1F 所成的角的余弦值为〔〕B.6C.3【答案】A 【解析】 【分析】连结BE ，BF 、1D F ，推导出1BED F 为平行四边形，从而1//D E BF ，异面直线1D E 与1A F 所成角为1A F 与BF 所成锐角，即1A FB ∠，由此能求出异面直线1D E 与1A F 所成的角的余弦值．【详解】解：如图，连结BE ，BF 、1D F ， 由题意知1BED F 为平行四边形，1//D E BF ∴，∴异面直线1D E 与1A F所成角为1A F 与BF 所成锐角，即1A FB ∠，连结1A B ，设2AB =，那么在△1A BF 中，1A B =BF =，13AF ，2221111cos2A F BF A BAFBA F BF+-∴∠===．∴异面直线1D E与1A F．应选：A．【点睛】此题考察异面直线所成角的余弦值的求法，考察空间中线线、线面、面面间的位置关系等根底知识，考察运算求解才能，是中档题.9.a为正实数，假设函数322()32f x x ax a=-+的极小值为0，那么a的值是()A.12B.1C.32D.2【答案】A【解析】【分析】由于()3(2)f x x x a'=-，而0a>，可求得()f x在2x a=处获得极小值，即()()20f x f a==极小值，从而可求得a的值．【详解】解：由2()363(2)f x x ax x x a'=-=-，又0a>，所以由()0f x'>得0x<或者2x a>，即函数在(),0-∞和()2,a+∞上单调递增，由()0f x'<得02x a<<，函数在()0,2a上单调递减，所以()f x在2x a=处获得极小值0，即()32232()2(2)3(2)2420f x f a a a a a a a==-+=-+=极小值，又0a>，解得12a=，应选：A．【点睛】此题考察了函数的极值与导数关系的应用，考察运算求解的才能，属于中档题.10.抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，l 与x 轴的交点为P ，点A 在抛物线C 上，过点A 作AA l '⊥，垂足为A '．假设3cos 5FAA '∠=，那么||(AF =) A.8 B.7C.6D.5【答案】D 【解析】 【分析】过F 做FB AA '⊥于B ，可得||2||2A B OF '==，因为3cos 5FAA '∠=，可得||AF ，||BA ，||A B '的关系，进而求出||AF 的值．【详解】解：由题意如图过F 做FB AA '⊥于B ，||2||2A B OF '== 因为3cos 5FAA '∠=，设||3AB x =，那么可得||||5AA AF x '==，由抛物线的性质可得||||||52AB AA A B x ''=-=-，所以352x x =-解得1x =，所以||5AF =，应选：D ．【点睛】此题考察余弦值的应用及抛物线的性质，属于中档题.11.函数2()2cos()1(0)3f x x πωω=+->的一个零点是4x π=，那么当ω取最小值时，函数()f x 的一个单调递减区间是()A.[3π-，]6π-B.[12π-，]6πC.[12π，]3πD.[3π，7]12π 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数零点关系，求出ω的取值，利用函数的单调性进展求解即可．【详解】解：()f x 的一个零点是4x π=，由()04f π=得21cos(()432ππω+=，得22433k πππωπ+=±，即84k ω=-或者483k ω=-，k Z ∈，0ω>，ω∴的最小值为4ω=，此时2()2cos(4)13f x x π=+-， 由220423k x k ππππ+++，k Z ∈，得1126212k x k ππππ-+，k Z ∈，当1k=时，()f x 的一个单调递减函数区间为[3π，7]12π， 应选：D ．【点睛】此题主要考察三角函数的图象和性质，根据条件求出函数的解析式以及利用单调性是解决此题的关键.属于中档题12.定义域为R 的奇函数()f x 的导函数为()f x '，当0x >时，()()xf x f x '>.假设2424(sin )(log 3)(log 6)8,,log 3log 6sin 8f f f a b c ππ-===-，那么,,a b c 的大小关系为〔〕 A.a b c << B.c a b <<C.c b a <<D.b c a <<【答案】C 【解析】 【分析】设()()f x gx x=，由条件可得出()g x 是偶函数且在0,上单调递增，然后即可比较出,,a b c 的大小【详解】设()()f x gx x=，因为()f x 是奇函数，所以()g x 是偶函数 当0x >时()()()20xf x f x g x x'-'=>，所以()g x 在0,上单调递增因为2420sin1log log 6log 38π<<<=<，()2222log 3(log 3)log 3log 3f f a-==- 所以()()42sinlog 6log 38g g g π⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即c b a << 应选：C【点睛】此题考察的是利用函数的奇偶性和单调性比较大小，构造出适宜的函数是解题的关键，属于中档题.第二卷本卷包括必考题和选考题两局部.第13~21题为必考题，每个试题考生都必须答题.第22、23题为选考题，考生根据要求答题.二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分. 13.在平面上，12,e e 是方向相反的单位向量，假设向量b 满足()()12b e b e -⊥-，那么b的值____________． 【答案】1 【解析】 【分析】 由()()12b e b e -⊥-得()()12b e b e -⋅-=，由12,e e 是方向相反的单位向量得120e e +=，121e e ⋅=-，然后即可算出答案【详解】由()()12b e b e -⊥-得()()120b e b e -⋅-=即()212120be e b e e -++⋅=因为12,e e 是方向相反的单位向量，所以120e e +=，121e e ⋅=-所以210b-=，即1b =故答案为：1【点睛】此题考察的是平面向量数量积的有关计算，较简单.14.设a ，b ，c 分别为三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边，三角形ABC 222)b c a +-，那么内角A 的大小为____________． 【答案】3π 【解析】 【分析】由2221()sin42S b c a bc A =+-=得222sin b c a A +-=，结合余弦定理可推出tan A =【详解】因为2221)sin 42Sb c a bc A =+-= 所以222sinbc a A +-=由余弦定理得222cos 2b c a A bc+-=所以cosA A =，即tan A =因为()0,A π∈，所以3A π=故答案为：3π 【点睛】此题考察的是三角形的面积公式及余弦定理，较简单.15.某几何体是一个平面将一正方体截去一局部后所得，该几何体三视图如下列图，那么该几何体的体积为____________． 【答案】203【解析】 【分析】由三视图画出几何体的直观图即可【详解】由三视图可知正方体边长为2，截去局部为三棱锥，作出几何体的直观图如下： 其体积为：1120222222323⨯⨯-⨯⨯⨯⨯= 故答案为：203【点睛】此题考察的是几何体的三视图及体积的求法，较简单，画出直观图是解题的关键.16.关于圆周率π，数学开展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验，受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值，先请240名同学，每人随机写下两个都小于1的正实数x ，y 组成的实数对〔x ，y 〕；假设将〔x ，y 〕看作一个点，再统计点〔x ，y 〕在圆x 2+y 2＝1外的个数m ；最后再根据统计数m 来估计π的值，假设统计结果是m ＝52，那么可以估计π的近似值为_______.〔用分数表示〕 【答案】4715【解析】 【分析】由试验结果知200对0~1之间的均匀随机数x ，y ，对应区域的面积为1，两个数对(,)x y ，满足2211x y +>且x ，y 都小于1，面积为14π-，由几何概型概率计算公式即可估计π的值．【详解】解：由题意，240对都小于l 的正实数对(,)x y ，对应区域的面积为1， 两个数能与1构成钝角三角形三边的数对(,)x y ， 满足221xy +>且x ，y 都小于1，1x y +>，面积为14π-，因为点(,)x y 在圆221x y +=外的个数52m =；∴5212404π=-； 4715π∴=． 故答案为：4715．【点睛】此题考察了随机模拟法求圆周率的问题，也考察了几何概率的应用问题，考察运算求解才能，属于中档题.三、解答题：本大题一一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.17.水稻是人类重要的粮食作物之一，耕种与食用的历史都相当悠久，日前我国南方农户在播种水稻时一般有直播、撒酒两种方式．为比较在两种不同的播种方式下水稻产量的区别，某红旗农场于2021年选取了200块农田，分成两组，每组100块，进展试验．其中第一组采用直播的方式进展播种，第二组采用撒播的方式进展播种．得到数据如下表：约定亩产超过900斤〔含900斤〕为“产量高〞，否那么为“产量低〞〔1〕请根据以上统计数据估计100块直播农田的平均产量〔同一组中的数据用该组区间的中点值为代表〕 〔2〕请根据以上统计数据填写上下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“产量高〞与“播种方式〞有关？附22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++：【答案】〔1〕100块直播农田的平均产量为907斤，〔2〕有99%的把握认为“产量高〞与“播种方式〞有关. 【解析】 【分析】 〔1〕根据48183931850870890910930100100100100100X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，算出答案即可 〔2〕由题目中给的数据完善22⨯列联表，然后算出2K 的观察值即可 【详解】〔1〕100块直播农田的平均产量为：48183931850870890910930907100100100100100X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=〔斤〕 〔2〕由题中所给的数据得到22⨯列联表如下所示：由表中的数据可得2K 的观察值()2120820070503050258 6.01001635300k ⨯⨯⨯>⨯⨯-⨯==>所以有99%的把握认为“产量高〞与“播种方式〞有关【点睛】此题考察的是平均数的算法及HY 性检验，考察了学生的计算才能，属于根底题. 18.数列{a n }满足14a =，11232n n n a a ++=+⨯．〔1〕证明：数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；〔2〕设164nn n n b a a +⨯=，求数列{}n b 的前n 项和nT．【答案】〔1〕证明见详解，()312n na n =-⋅，〔2〕364n nT n =+【解析】 【分析】 〔1〕由11232n n n a a ++=+⨯得11322n n n n a a ++-=，然后()213312nna n n =+-⨯=-，即可算出答案 〔2〕()()()()13126431322313213132n n n n b n n n n n n +-⋅⋅⨯===-+⋅--++，然后即可求出n T【详解】〔1〕因为11232n n n a a ++=+⨯，所以11322n nn n a a ++-= 即数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为2，公差为3的等差数列 所以()213312nna n n =+-⨯=- 所以()312n na n =-⋅ 〔2〕由()312n na n =-⋅得所以1111111125582331323264nn n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++= ⎪--=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+ 【点睛】常见数列的求和方法：公式法〔等差等比数列〕、分组求和法、裂项相消法、错位相减法 19.如下列图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1AA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AD AB ⊥，//AB CD ，1224AB AD AA ===．〔1〕证明：1A D ⊥平面11ABC D ；〔2〕假设四棱锥111A ABC D -的体积为103，求四棱柱1111ABCD A B C D -的侧面积．【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕14+【解析】 【分析】 〔1〕由侧棱1AA ⊥平面ABCD ，得1AA AD ⊥，1AA AB ⊥，结合AB AD ⊥，可得AB ⊥平面11AA D D ，那么11AB A D ⊥，再由1AA AD ⊥，1AA AD =，得到四边形11AA D D 是正方形，那么11A D AD ⊥，进一步得到1A D ⊥平面11ABC D ；〔2〕记1A D 与1AD 的交点为O ，那么1A O ⊥平面11ABC D ，设11CD C D x ==，由四棱锥111A ABC D -的体积为103列式求得x ，进一步求得BC ，再由侧面积公式求得四棱柱1111ABCD A B C D -的侧面积．【详解】〔1〕证明：侧棱1AA ⊥平面ABCD ，1AA AD ∴⊥，1AA AB ⊥，又AB AD ⊥，1AA AD A =，AD ⊂平面11AA D D ，1AA ⊂平面11AA D D ，AB ∴⊥平面11AA D D ，而1A D ⊂平面11AA D D ，11AB A D ∴⊥，又1AA AD ⊥，1AA AD =，∴四边形11AA D D 是正方形，那么11A D AD ⊥，又1ABAD A =，1AD ⊂平面11ABC D ，AB平面11ABC D ，1A D ∴⊥平面11ABC D ；〔2〕解：记1A D 与1AD 的交点为O ，1A O ∴⊥平面11ABC D ，又1224AB AD AA ===，∴1AO ，1AD = 设11CD C D x ==，那么1111111128103233A ABC D ABCD x V AD AO -++===． 解得：1x =，即1CD =．BC ∴．∴四棱柱1111ABCD A B C D -的侧面积(124214S =+++⨯=+【点睛】此题考察直线与平面垂直的断定，考察空间想象才能与思维才能，训练了棱柱体积与侧面积的求法，属于中档题.20.函数2()2(1)2(0)f x x a x alnx a =-++≠．〔1〕当1a =时，求函数()f x 的图象在点1x =处的切线方程； 〔2〕讨论函数()f x 的单调性． 【答案】〔1〕y +3＝0；〔2〕见解析【解析】 【分析】〔1〕先把1a =代入，对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程； 〔2〕先对函数求导，对a 进展分类讨论，确定导数的符号，进而可求函数的单调性． 【详解】解：〔1〕1a =时，2()42f x x x lnx =-+，2()24f x x x'=-+， ()13f ∴=-，()10f '=，故()f x 的图象在点1x =处的切线方程30y +=；〔2〕函数的定义域(0,)+∞，22(1)()()22(1)a x x a f x x a x x--'=-++=， 当0a <时，(0,1)x ∈时，()0f x '<，函数单调递减，(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，函数单调递增，当01a <<时，(,1)x a ∈时，()0f x '<，函数单调递减，(1,)x ∈+∞，(0,)a 时，()0f x '>，函数单调递增，当1a =时，22(1)()0x f x x-'=恒成立，()f x 在(0,)+∞上单调递增，当1a >时，(1,)x a ∈时，()0f x '<，函数单调递减，(,)x a ∈+∞，(0,1)时，()0f x '>，函数单调递增，综上：当0a <时，函数在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 当01a <<时，函数在(,1)a 上单调递减，在(1,)+∞，(0,)a 上单调递增， 当1a =时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，当1a >时，函数在(1,)a 单调递减，在(,)a +∞，(0,1)上单调递增．【点睛】此题主要考察了导数的几何意义及利用导数求解函数的单调性，表达了分类讨论思想的应用，属于中档题.21.椭圆222:1(02)4x y C b b +=<<的离心率0,2e ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭∈，F 为椭圆C 的右焦点，D ，E 为椭圆的上、下顶点，且DEF ∆．〔1〕求椭圆C 的方程； 〔2〕动直线1:2l y x t =+与椭圆C 交于A ，B 两点，证明：在第一象限内存在定点M ，使得当直线AM 与直线BM 的斜率均存在时，其斜率之和是与t 无关的常数，并求出所有满足条件的定点M 的坐标．【答案】〔1〕2243x y +=1；〔2〕证明见解析，〔1，32〕 【解析】 【分析】〔1〕设椭圆的半焦距为c ，由a ，b ，c 的关系和三角形的面积公式，结合离心率公式，解方程可得b ，c ，进而得到椭圆方程； 〔2〕设1(A x ，11)2x t +，2(B x ，21)2x t +，(,)M m n ，联立直线l 和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，以及斜率公式，化简计算AM BM k k +，考虑它的和为常数，可令t 的系数为0，进而得到M 的坐标．【详解】解：〔1〕设椭圆的半焦距为c ，那么22224c a b b =-=-，又由DEF ∆122c b bc ==1c =，或者c =离心率e ∈，那么c =时，c e a ==，舍去， 那么1c =，b =22143x y +=；〔2〕证明：设1(A x ，11)2x t +，2(B x ，21)2x t +，(,)M m n ，将直线1:2l y x t =+代入椭圆223412x y +=可得2230x tx t ++-=， 由224(3)0t t ∆=-->，可得22t-<<，那么有12x x t +=，2123x x t =-，12122122121211113()()()()()2322222()()3AM BM n x t n x t n x t m x n x t m x n m t mn k k m x m x m x m x t mt m -------+----+-+=+==----++-为与t 无关的常数，可得当32n m =，23mn =时，斜率的和恒为0，解得132m n =⎧⎪⎨=⎪⎩或者132m n =-⎧⎪⎨=-⎪⎩〔舍去〕， 综上所述，在第一象限内满足条件的定点M 的坐标为31,2⎛⎫⎪⎝⎭． 【点睛】此题考察椭圆的方程和性质，考察直线和椭圆联立，运用韦达定理和斜率公式，考察化简运算才能和推理才能，属于中档题.请考生在第22、23两题中任选一题答题.注意：只能做所选定的题目，假设多做，那么按所做的第一个题目计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 的倾斜角为30，且经过点()2,1A ，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线2:cos 3l ρθ=，从原点O 作射线交2l 于点M ，点N 为射线OM 上的点，满足|12OM ON ⋅=，记点N 的轨迹为曲线C ．〔1〕①设动点1P l ∈，记e 是直线1l 的向上方向的单位方向向量，且AP te =，以t 为参数求直线1l 的参数方程②求曲线C 的极坐标方程并化为直角坐标方程；〔2〕设直线1l 与曲线C 交于P ，Q 两点，求11AP AQ+的值【答案】〔1〕①直线1l的参数方程为2112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩〔t 为参数〕，②曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直角坐标方程为：()22400xy x x +-=≠；〔2〕3【解析】 【分析】〔1〕①由题意可得直线1l 的参数方程为2cos301sin 30x t y t =+︒⎧⎨=+︒⎩〔t为参数〕，②设()()()111,,,0,0N M ρθρθρρ>>，由题意可得1112ρρθθ=⎧⎨=⎩，由11cos 3ρθ=可得12cos 3θρ⋅= 〔2〕将1l 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程中得：221214202t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简得230t t +-=，设12,t t 为方程230t t +-=的两个根，那么12121,30t t t t +=-=-<，然后利用11AP AQ+=.【详解】〔1〕①由题意可得直线1l 的参数方程为2cos301sin 30x t y t =+︒⎧⎨=+︒⎩〔t 为参数〕即22112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩〔t 为参数〕 ②设()()()111,,,0,0NM ρθρθρρ>>，由题意可得1112ρρθθ=⎧⎨=⎩ 因为点M 在直线2:cos 3l ρθ=上，所以11cos 3ρθ=所以12cos 3θρ⋅=，即4cos ρθ=所以24cos ρρθ=，所以曲线C 的直角坐标方程为：()22400xy x x +-=≠〔2〕将1l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程中得：22121420222t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简得230t t +-= 设12,t t 为方程230t t +-=的两个根，那么12121,30t t t t +=-=-<所以1212121111t t AP AQ t t t t -+=+====【点睛】此题考察了直线的参数方程、直角坐标方程与极坐标方程的互化及动点的轨迹方程的求法，属于中档题.选修4-5：不等式选讲 23.己知函数()21f x x x =++-〔1〕求不等式()8f x x ≥+的解集；〔2〕记函数()y f x =的最小值为k ，假设,,a b c 是正实数，且33112ka kb kc++=，求证239a b c ++≥.【答案】〔1〕不等式的解集为(][),37,x ∈-∞-⋃+∞，〔2〕证明见详解 【解析】 【分析】〔1〕分3种情况解出即可 〔2〕首先求出3k=，即可得到111123a b c++=，然后()122332323323233211a ab bc c a b c a b c a b c b c a c a b ⎛⎫++=++++=++++++ ⎪⎝⎭，用根本不等式即可证明. 【详解】〔1〕()218f x x x x =++-≥+等价于1218x x x ≥⎧⎨+≥+⎩或者2138x x -≤<⎧⎨≥+⎩或者2218x x x <-⎧⎨--≥+⎩ 解得7x ≥或者x ∈∅或者3x ≤- 所以不等式的解集为(][),37,x ∈-∞-⋃+∞〔2〕因为()212(1)3f x x x x x =++-≥+--=当[]2,1x ∈-时等号成立，所以()f x 的最小值为3，即3k =所以111123a b c++= 所以()122332323323233211a ab bc c a b ca b c a b c b c a c a b ⎛⎫++=++++=++++++ ⎪⎝⎭当且仅当23a b c ==时等号成立【点睛】此题考察的是含绝对值不等式的解法及利用根本不等式求最值，属于典型题.。
河北省廊坊市六校联考2024年高三第一次适应性测试数学试题
河北省廊坊市六校联考2024年高三第一次适应性测试数学试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F 且EF =22，则下列结论中错误的是（ ）A ．AC ⊥BEB ．EF //平面ABCDC ．三棱锥A -BEF 的体积为定值D ．异面直线AE ,BF 所成的角为定值2．已知2π()12cos ()(0)3f x x ωω=-+>.给出下列判断： ①若12()1,()1f x f x ==-，且12minπx x -=，则2ω=；②存在(0,2)ω∈使得()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到的图象关于y 轴对称； ③若()f x 在[]0,2π上恰有7个零点，则ω的取值范围为4147,2424⎡⎫⎪⎢⎭⎣； ④若()f x 在ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围为20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦.其中，判断正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．已知复数168i z =-，2i z =-，则12z z =（ ） A ．86i -B ．86i +C ．86i -+D ．86i --4．已知函数2()ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，若不等式()()()12122f x f x x x t +>++有解，则t 的取值范围是（ ） A ．(,2ln 2)-∞- B ．(],2ln 2-∞- C ．(,112ln 2)-∞-+D ．(],112ln 2-∞-+5．已知命题P ：x R ∀∈，sin 1x ≤，则p ⌝为( ) A ．0x R ∃∈，0sin 1x ≥ B ．x R ∀∈，sin 1x ≥ C ．0x R ∃∈，0sin 1x >D ．x R ∀∈，sin 1x >6．直线20(0)ax by ab ab ++=>与圆221x y +=的位置关系是（ ） A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交或相切7．函数sin ln ||2y x x π⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭图像可能是（ ） A ． B ． C ．D ．8．三棱锥S ABC -的各个顶点都在求O 的表面上，且ABC ∆是等边三角形，SA ⊥底面ABC ，4SA =，6AB =，若点D 在线段SA 上，且2AD SD =，则过点D 的平面截球O 所得截面的最小面积为（ ） A ．3πB ．4πC ．8πD ．13π9．下列四个结论中正确的个数是（1）对于命题0:p x R ∃∈使得2010x -≤，则:p x R ⌝∃∈都有210x ->；（2）已知2(2,)XN σ，则 (2)0.5P X >=（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程为ˆ23yx =-； （4）“1x ≥”是“12x x+≥”的充分不必要条件. A ．1B ．2C ．3D ．410．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）A ．78B ．158C ．3116D ．151611．小张家订了一份报纸，送报人可能在早上6:307:30-之间把报送到小张家，小张离开家去工作的时间在早上7.008:00-之间.用A 表示事件：“小张在离开家前能得到报纸”，设送报人到达的时间为x ，小张离开家的时间为y ，(,)x y 看成平面中的点，则用几何概型的公式得到事件A 的概率()P A 等于（ ）A ．58B ．25C ．35D ．7812．某个命题与自然数n 有关，且已证得“假设()*n k k N =∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”．现已知当7n =时，该命题不成立，那么（ ） A ．当8n =时，该命题不成立 B ．当8n =时，该命题成立 C ．当6n =时，该命题不成立D ．当6n =时，该命题成立二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高三数学第一次适应性测试一模试题理试题
2021年高三第一次适应性测试创 作人：历恰面 日 期： 2020年1月1日数学〔理科〕试题本试题卷分选择题和非选择题两局部。
全卷一共4页，选择题局部1至2页，非选择题局部2至4页。
满分是150分，考试时间是是120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题之答案涂、写在答题纸上。
参考公式：柱体的体积公式：V=Sh其中S 表示柱体的底面积， h 表示柱体的高锥体的体积公式：V=13Sh其中S 表示锥体的底面积， h 表示锥体的高 台体的体积公式11221()3V S S S S h=++其中S1， S2分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高 球的外表积公式S=4πR2球的体积公式V=43πR3 其中R 表示球的半径选择题局部〔一共40分〕一、选择题：本大题一一共8小题，每一小题5分，一共40分。
在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。
1．设集合P={x|y=x +1}，Q={y|y=x3}，那么P∩Q=〔 〕A.B.[0，+∞)C.(0，+∞)D.[1，+∞)2. 直线l: y=x 与圆C: (x －a)2+y2=1，那么2〞是“直线l 与圆C 相切〞的〔〕A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件65，那么cos(6－x)= 〔〕A.－35 B.35 C.－45 D.454. 以下命题正确的选项是〔〕C. 锐角三角形在一个平面上的平行投影不可能是钝角三角形D. 平面截正方体所得的截面图形不可能是正五边形5. 假设函数f(x)=sinωx(ω>0)在[,]62ππ上是单调函数，那么ω应满足的条件是〔 〕A.0<ω≤1B. ω≥1C. 0<ω≤1或者ω=3D. 0<ω≤36. 设F 是双曲线22221(0,0)y x a b a b -=>>的右焦点，P 是双曲线上的点，假设它的渐近线上存在一点Q 〔在第一象限内〕，使得2PF PQ =，那么双曲线的离心率的取值范围是〔 〕A.(1，3)B.(3，+∞)C.(1，2)D. (2，+∞)7. 长方体ABCD －A1B1C1D1中，二面角A1－BD －A 的大小为6π，假设空间有一条直线l 与 直线CC1所成的角为4π，那么直线l 与平面A1BD 所成角的取值范围是〔 〕A.7[,]1212ππ B. [,]122ππC. 5[,]1212ππD.[0,]2π 8. 过边长为2的正方形中心作直线l 将正方形分为两个局部，将其中的一个局部沿直线l 翻折到另一个局部上。
2024学年江西省赣州市第三中学高三高考适应性月考(一)数学试题
2024学年江西省赣州市第三中学高三高考适应性月考（一）数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若将函数()2sin 16f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象上各点横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()g x 在0 6π⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增 B ．函数()g x 的周期是2π C ．函数()g x 的图象关于点 012π⎛⎫- ⎪⎝⎭，对称 D ．函数()g x 在0 6π⎛⎫⎪⎝⎭，上最大值是1 2．在ABC ∆中，点D 是线段BC 上任意一点，2AM AD =，BM AB AC λμ=+，则λμ+=（ ） A ．12-B ．-2C ．12D ．23．关于x 的不等式0ax b ->的解集是(1,)+∞，则关于x 的不等式()(3)0ax b x +->的解集是（ ） A ．(,1)(3,)-∞-+∞ B ．(1,3)- C ．(1,3)D ．(,1)(3,)-∞+∞4．如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．则下列结论中表述不正确．．．的是( )A ．从2000年至2016年，该地区环境基础设施投资额逐年增加；B ．2011年该地区环境基础设施的投资额比2000年至2004年的投资总额还多；C ．2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番 ；D ．为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为127，，…，）建立了投资额y 与时间变量t 的线性回归模型ˆ9917.5yt =+，根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元.5．在平行四边形ABCD 中，113,2,,D,32AB AD AP AB AQ A ====若CP C 12,Q ⋅=则ADC ∠=( ) A ．56πB ．34π C ．23π D ．2π 6．甲在微信群中发了一个6元“拼手气”红包,被乙､丙､丁三人抢完,若三人均领到整数元,且每人至少领到1元,则乙获得“最佳手气”(即乙领到的钱数多于其他任何人)的概率是（ ） A ．13B ．310C ．25D ．347．定义在[]22-,上的函数()f x 与其导函数()f x '的图象如图所示，设O 为坐标原点，A 、B 、C 、D 四点的横坐标依次为12-、16-、1、43，则函数()xf x y e=的单调递减区间是（ ）A ．14,63⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．1,12⎛⎫-⎪⎝⎭C ．11,26--⎛⎫⎪⎝⎭ D ．()1,28．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：22233=333388=44441515=55552424=上规律，若10101010n n=“穿墙术”，则n =（ ） A ．48B ．63C ．99D ．1209．已知函数21,0()ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩,则方程[]()3f f x =的实数根的个数是（ ）A ．6B ．3C ．4D ．510．若复数z 满足3(1)1z z i -+=，复数z 的共轭复数是z ，则z z +=（ ） A ．1B ．0C ．1-D ．1322i -+ 11．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（ ）A ．1112B ．6C ．112D ．22312．已知抛物线y 2= 4x 的焦点为F ，抛物线上任意一点P ，且PQ ⊥y 轴交y 轴于点Q ，则 PQ PF ⋅的最小值为（ ） A ．-14B ．-12C ．-lD ．1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广西南宁市2024届高三3月第一次适应性测试数学试题(解析版)
南宁市2024届普通高中毕业班第一次适应性测试数学注意事项：1．满分150分，考试时间120分钟.2．考生作答时，请将答案答在答题卡.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3．考试结束后，将答题卡交回.一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设复数12,z z 在复平面内的对应点关于实轴对称，若()12122,i 2z z z z +=−=，（i 为虚数单位），则1z =（ ） A. 1i + B. 1i −−C. 1i −+D. 1i −【答案】D 【解析】【分析】根据复数除法运算即可求解.【详解】由()12i 2z z −=可得1222i iz z ==−−，结合122,z z +=故1z =1i −， 故选：D2. 已知集合{}{}1,,1,1A x ax a R B ==∈=−∣，若A B ⊆，则所有a 的取值构成的集合为（ ）A. {}1−B. {}1,1−C. {}0,1D. {}1,0,1−【答案】D 【解析】【分析】根据子集的概念求得参数a 的值可得． 【详解】0a =时，A =∅满足题意，0a ≠时，1ax =得1x a =，所以11a=或11a =−，1a =或1a =−，所求集合为{1,0,1}−． 故选：D ．的3. 已知数列{}n a 的首项1a a =（其中1a ≠且0a ≠），当2n ≥时，111n n a a −=−，则2024a =（ ）A. aB.11a− C. 11a−D. 无法确定【答案】B 【解析】【分析】逐项计算得出数列的周期进而可得.【详解】1a a =，211a a=−，311111a a a a−==−−，4111a a a a ==−−，故数列{}n a 的周期为3. 故202436742211a a a a×+===−. 故选：B4. ()6312xx −− 展开式中的常数项为（ ） A. 60 B. 4C. 4−D. 64−【答案】C 【解析】【分析】根据分配律，结合二项式展开式的通项特征即可求解.【详解】二项式6(2x −的展开式的通项公式为()3626216,0,1,2,3,,1C 45,26r r r r r T x r −−+=−⋅⋅=， 令3602r −=，求得4r =，令3632r−=−，求得6r =， 由于()663631222x x x x x −−− =−， 故其展开式中的常数项为()()644266661606441C 2C 2−−=−⋅−=−⋅ 故选：C5. 已知ABC 的外接圆圆心为O ，且2,AO AB AC OA AC =+= ，则向量CA 在向量CB上的投影向量为（ ）A. 14CBB. C. 14CB −D. 12CA【答案】A 【解析】【分析】根据题意，得到OB OC =−，得到点O 为线段BC 的中点，得出ABC 为直角三角形，且AOC 为等边三角形，进而求得向量CA 在向量CB上的投影向量.详解】由2AO AB AC =+，可得)(()0AB AO AC AO OB OC −−=+=+ ，所以OB OC =−，即点O 为线段BC 的中点，又因为ABC 的外接圆圆心为O ，所以ABC 为直角三角形，所以12OA BC =因为OA AC =，可得OAAC OC == ，所以AOC 为等边三角形， 故点A 作AD BC ⊥，可得1cos 2CDAC ACB AC =∠=，所以14CD CB =， 因为向量CA 在向量CB 同向，所以向量CA 在向量CB 上投影向量为14CB.故选；A.6. 已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b−=>>的右焦点为F ，右顶点为A ，过点F 的直线与双曲线E 的一条渐近线交于点P ，与其左支交于点Q ，且点P 与点Q 不在同一象限，直线AP 与直线OQ （O 为坐标原点）的交点在双曲线E 上，若2PQ PF =−，则文曲线E 的离心率为（ ）A.B. 2C.73D. 3【答案】B 【解析】【分析】根据对称性可判断四边形Q F QF ′′为平行四边形，即可利用相似求解. 【详解】设F ′为双曲线的左焦点，由于直线AP 与直线OQ （O 为坐标原点）的交点Q ′在双曲线E 上，【的所以Q ′与Q 关于坐标原点对称,又O 是F F ′的中点，故四边形Q F QF ′′为平行四边形， 故//,,F Q QF F Q QF ′′′′=故F Q A PFA ′′ ， 3F Q F A c a QF PF FA c a PF′′′+===−=，故2,2c a e =∴=， 故选：B7. 在边长为4的菱形ABCD 中，120ABC ∠=°．将菱形沿对角线AC 折叠成大小为30°的二面角B ACD ′−−．若点E 为B C ′的中点，F 为三棱锥B ACD ′−表面上的动点，且总满足AC EF ⊥，则点F轨迹的长度为（ ）A.B.C. 4D. 4+【答案】A 【解析】【分析】根据二面角的平面角可结合余弦定理求解求B D ′=，进而利用线面垂直可判断点F 轨迹为EPQ △，求解周长即可．【详解】连接AC 、BD ，交于点O ，连接OB ′，ABCD 为菱形，120ABC ∠=°， 所以AC BD ⊥，OB AC ′⊥，OD AC ⊥， 所以B OD ′∠为二面角B AC D ′−−的平面角， 于是30B OD ′∠=°， 又因为122OBOD AB ′===，所以B D ′=−取OC 中点P ，取CD 中点Q ，连接EP 、EQ 、PQ ，所以//PQ OD 、//EP OB ′， 所以AC EP ⊥、AC PQ ⊥，EP ，EQ 相交， 所以AC ⊥平面EPQ ，所以在三棱锥B ACD ′−表面上，满足AC EF ⊥的点F 轨迹为EPQ △， 因为12EP OB ′=，12PQ OD =，12EQ B D ′=，所以EPQ △的周长为)1222×+所以点F ．故选：A ．8. 已知函数()f x 的定义域为()()()()22R,x y f x y f x f y +−=−，且当0x >时，()0f x >，则（ ）A. ()01f =B. ()f x 是偶函数C. ()f x 是增函数D. ()f x 是周期函数【答案】C 【解析】【分析】对A ，令0x y −=求解即可；对B ，令0x =化简可得()()0f y f y −+=即可；对C ，设210x x >>，结合题意判断()()22210fx f x −>判断即可；对D ，根据()f x 是增函数判断即可.【详解】对A ，令0x y −=，则()()()222000f f f =−，得()00f =，故A 错误；对B ，令0x =，得()()()()220f y f y f f y −=−，由()00f =整理可得()()()0f y f y f y −+= ， 将y 变换为y −，则()()()0f y f y f y −+−=， 故()()20f y f y +−=，故()()0f y f y −+=，故()f x 是奇函数，故B 错误；对C ，设210x x >>，则()()210,0f x f x >>， 且()()()()()()()()22212121fx f x f x f x f x f x −=+−()()21210f x x f x x =+−>，故()()22210f x f x −>，则()()21f x f x >.又()00f =，()f x 是奇函数，故()f x 是增函数，故C 正确； 对D ，由()f x 是增函数可得()f x 不是周期函数，故D 错误. 故选：C二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 下列说法中，正确的是（ ）A. 一组数据10,11,11,12,13,14,16,18,20,22的第40百分位数为12B. 若样本数据121021,21,,21x x x +++ 的方差为8，则数据1210,,,x x x 的方差为2C. 已知随机变量X 服从正态分布()2,N µσ，若()()261P X P X ≥−+≥=，则2µ=D. 在独立性检验中，零假设为0H ：分类变量X 和Y 独立．基于小概率值α的独立性检验规则是：当2x αχ≤时，我们就推断0H 不成立，即认为X 和Y 不独立，该推断犯错误的概率不超过α；当2x αχ>时，我们没有充分证据推断0H 不成立，可以认为X 和Y 独立 【答案】BC 【解析】【分析】对A ，根据百分位数的定义求解即可；对B ，根据方差的公式推导数据1210,,,x x x …的方差与121021,21,,21x x x ++……+的方差关系求解即可；对C ，根据正态分布的对称性推导即可；对D ，由独立性检验的性质判断即可.【详解】对A ，由于10,11,11,12,13,14,16,18,20,22共10个数据，且100.44×=，故第40百分位数为第4，5个数据的平均数为121312.52+=，故A 错误； 对B ，设数据1210,,,x x x …的平均数为121010x x x x +++= ，方差为()()()22221210110s x x x x x x =−+−++−， 则数据121021,21,,21x x x ++……+的平均数为()()()()12101210'212121210211010x x x x x x x x ++++++++++===+ ，方差为()()()2222'''11210121212110s x x x x x x=+−++−+++−()()()()()()22222212101210142222221010x x x x x x x x x x x x −+−++−=−+−++−248s =，所以22s =，故B 正确；对C ，()()261P X P X ≥−+≥=则()()()6122P X P X P X ≥=−≥−=≤−，即()()62P X P X ≥=≤−，由正态分布()2,N µσ的性质可得6222µ−==，故C 正确； 对D ，在独立性检验中，零假设为0H ：分类变量X 和Y 独立．基于小概率值α的独立性检验规则是：当2x αχ≥时，我们就推断0H 不成立，即认为X 和Y 不独立，该推断犯错误的概率不超过α；当2x αχ<时，我们没有充分证据推断0H 不成立，可以认为X 和Y 独立.故D 错误. 故选：BC10. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为110米，转盘直径为100米，摩天轮的圆周上均匀地安装了36个座舱，游客甲从距离地面最近的位置进舱，开启后摩天轮按逆时针方向匀速旋转，开始转动t 分钟后距离地面的高度为H 米，当15t =时，如图，以摩天轮的轴心O 为原点，与地面平行的直线为x 轴建立直角坐标系，则()()sin (0,0,π)H t A t b A ωϕωϕ=++>><，下列说法中正确的是（ ）A. H 关于t 的函数()H t 是偶函数B. 若在()1212,t t t t ≠时刻，游客甲距离地面的高度相等，则12t t +的最小值为30C. 摩天轮旋转一周的过程中，游客甲距离地面的高度不低于85米的时长为10分钟D. 若甲、乙两游客分别坐在,P Q 两个座舱里，且两人相隔5个座舱（将座舱视为圆周上的点），则劣弧PQ 的弧长50π3l =米 【答案】BCD 【解析】【分析】对A ，先根据题意确定各参数的值，再根据三角函数的奇偶性判断即可；对B ，根据()()12H t H t =代入解析式可得12ππ2π1515t k t =+，或12ππ2π1515t k t =−，进而可判断；对C ，求解ππ50sin 6085152t −+≥即可；对D ，由题意每个座舱与中心连线所成的扇形的圆心角为π18，进而可得劣弧PQ 的弧长.【详解】对A ，由题意，5,,,2ππ50110506030301A b T ω==−====， 所以()π50sin 6015H t t ϕ=++，当0=t 时，可得sin 1ϕ=−，所以π2ϕ=−，故()()ππ50sin 60,0152H t t t =−+≥ ，所以()H t 是非奇非偶函数，故A 错误；对B ，由题意()()12H t H t =，即12ππππ50sin 6050sin 60152152t t −+=−+ ，即12ππcoscos 1515t t =，所以12ππ2π1515t k t =+，或12ππ2π1515t k t =−， ()1212,,0,0k t t t t ∈≠≥≥N ，即1230t t k =+或1230t t k +=，()12min 30t t +=，故B 正确； 对C ，由题意ππ50sin 6085152t −+≥，即ππ1sin 1522t −≥ ，即π1cos 152t ≤−，所以2ππ4π2π2π3153k t k +≤≤+，()N k ∈，解得()30103020,N k t k k +≤≤+∈. 所以摩天轮旋转一周的过程中，游客甲距离地面的高度不低于85米的时长为10分钟，故C 正确； 对D ，因为摩天轮的圆周上均匀地安装着36个座舱， 故每个座舱与中心连线所成的扇形的圆心角为2ππ=3618， 因为,P Q 两个座舱相隔5个座舱，所以劣弧PQ 对应的圆心角是ππ×6183=， 故π50π5033l =×=（m ）.故D 正确. 故选：BCD11. 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 作两条互相垂直的直线12,l l ，1l 与C 交于P 、Q 两点，2l与C 交于M 、N 两点，PQ 的中点为,G MN 的中点为H ，则（ ） A. 当2PF QF =时，36MN = B. PQ MN +的最小值为18 C. 直线GH 过定点()4,0 D. FGH 的面积的最小值为4【答案】AD 【解析】【分析】设直线1l 和2l 的方程，与抛物线方程联立，再利用焦半径公式求解弦长，结合基本不等式判断AB ，利用两点求出直线方程，求解直线恒过定点判断C ，将面积分割，结合韦达定理，再利用基本不等式求解最值判断D .【详解】对于A ，由题意得()1,0F ，设直线1l 方程为1x my =+，则2l 方程为11x y m=−+，()11,P x y ，()22,Q x y ，()33,M x y ，()44,N x y ，联立直线1l 方程与抛物线方程214x my y x =+=得2440y my −−=.则12Δ0,4y y m >+=，124y y =−，同理344y y m+=−，344y y =−，又2PF QF =，所以122y y =−，所以218m =，所以()3434214222436MN x x y y m m =++=−+++=+=，故A 正确；对于B ，由A 知，()34342142224MN x x y y m m=++=−+++=+，()2121222244PQ x x m x x m =++=+++=+，所以22224444448816PQ MN m m m m +=+++=++≥=， 当且仅当2244=m m ，即1m =±时，等号成立.故B 错误； 对于C ，由A 知，()222221,2,1,G m m H m m ++− ，所以直线GH ：()2222222122m m y m x m m m+−=−−−， 令0y =得3x =，所以直线GH 恒过定点()3,0，故C 错误； 对于D ，由C 知直线GH 恒过定点()3,0，所以1222242FGH G H G H S FA y y y y m m m m=⋅−=−=+=+≥ ， 当且仅当1m =±时，等号成立.故D 正确； 故选：AD【点睛】思路点睛：1.直线与圆锥曲线相交问题时，有时需要考查斜率不存在和存在两种情况，斜率存在的情况经常和曲线方程联立，利用根与系数的关系解决几何问题；2.一般涉及三角形面积问题时，采用面积分割法，结合韦达定理，利用基本不等式法求解范围或最值.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12. 已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的表面积之比为________. 【答案】2:3. 【解析】 【分析】根据圆柱的侧面积公式，求出圆柱的表面积，再由球的表面积公式，即可求解. 【详解】设球的半径为R R ，高为2R .∴222226S R R R R πππ=⋅+⋅=圆柱，24S R π=球， ∴22:4:62:3S S R R ππ==球圆柱. 故答案为:2:3.【点睛】本题考查圆柱和球的表面积，属于基础题. 13. 已知()π170π,cos ,sin 239αββαβ<<<<=−+=，则tan α=______．【解析】【分析】根据同角三角函数的关系结合两角差的正弦值可得sin α，进而可得tan α.【详解】由题意，sin βπ3π22αβ<+<，故()cos αβ+. 故()()()sin sin sin cos cos sin ααββαββαββ=+−=+−+711933 =×−−= .故cos αtan α=. 14. 已知函数()()21e xf x x ax =−+的最小值为1−，则实数a 的取值范围为______. 【答案】[)0,∞+ 【解析】【分析】求出导函数，根据a 的符号分类讨论研究函数的单调性，利用单调性研究函数最值即可求解.【详解】因为()()21e xf x x ax =−+，所以()()e 2e 2xxf x x ax x a =′=++， 若0a ≥，则(),0x ∞∈−时，(0f x ′<，故()f x 在(),0∞−上单调递减，()0,x ∞∈+时，()0f x ′>，故()f x 在()0,∞+上单调递增，所以当0x =时，()f x 有最小值()01f =−，满足题意；若a<0，则当x 无限趋近于负无穷大时，()f x 无限趋向于负无穷大，()f x 没有最小值，不符合题意； 综上，0a ≥，所以实数a 的取值范围为[)0,∞+. 故答案为：[)0,∞+四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. 有两个盒子，其中1号盒子中有3个红球，2个白球；2号盒子中有4个红球，6个白球，这些球除颜色外完全相同.（1）先等可能地选择一个盒子，再从此盒中摸出2个球．若摸出球的结果是一红一白，求这2个球出自1号盒子的概率；（2）如果从两个盒子中摸出3个球，其中从1号盒子摸1个球，从2号盒子摸两个球，规定摸到红球得2分，摸到白球得1分，用X 表示这3个球的得分之和，求X 的分布列及数学期望. 【答案】（1）917（2）分布列见解析，数学期望是225【解析】【分析】（1）应用条件概率公式及贝叶斯概率公式求解即可；（2）由题设X 的可能值为3，4，5，6，并计算出对应概率即得分布列，进而求数学期望. 【小问1详解】记“摸出球的结果是一红一白”为事件A ，“选择1号盒子”为事件1B ，“选择2号盒子”为事件2B ，则()()1212P B P B ==，()1132125C C 3C 5P A B ==，()11462210C C 8C 15P A B ==， 由贝叶斯公式，若摸球的结果是一红一白，出自1号盒子的概率为()()()()()()()()()111112121|921117||22P B A P B A P B A P B A P A P B A P B A P B A P B A ====++. 【小问2详解】由题意，X 的可能值为3，4，5，6.()26210C 2215235C 54515P X ==×=×=，()112466221010C C C 232243153145C 5C 54554575P X ==×+×=×+×=，()112464221010C C C 23263242855C 5C 54554575P X ==×+×=×+×=，()24210C 336265C 54525P X ==×=×=. 所以X 的分布列为所以()3093841899022=3+4+5+6==2252252252252255E X ××××. 16. 如图，四棱柱1111ABCD A B C D −的底面ABCD 是棱长为2的菱形，对角线AC 与BD 交于点1111,60,,O BAD A AB A AD AA A AC ∠=°∠=∠∠为锐角，且四棱锥11A BCC B −的体积为2.（1）求证：1A O ⊥平面ABCD ；（2）求直线1AD 与平面11BDD B 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析（2 【解析】【分析】（1）先利用体积分割及等体积法求得四棱柱1111ABCD A B C D −1A 作平面ABCD 的垂线，垂足为O ′，利用三角形全等证明点O ′与O 重合，即可证明线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角的正弦值. 【小问1详解】设四棱柱1111ABCD A B C D −的高为h ，因为四边形11BCC B 是平行四边形，所以111BB C B C C S S = ，所以111A BB C A B C C V V −−=， 所以111111122A BCC B A BB C A B C C A BB C B ABC V V V V V −−−−−=+==，所以1223ABC S h ×××=，且122sin1202ABC S =×××= ，所以h =1111ABCD A B C D −因为ABD △为正三角形，所以AOAB =因为11,A AB A AD AB AD ∠∠==，所以11A AB A AD ≅ ，于是11A B A D =， 过点1A 作平面ABCD 的垂线，垂足为O ′，所以11A O B A O D ≅′′ ， 所以O B O D ′′=，从而AO B AO D ≅′′ ，故BAO DAO ∠∠′′=，所以点O ′在对角线AC 上.因为11AA A O =′=，所以12AO AC =′=，故点O ′为对角线AC 与BD 的交点，即点O ′与O 重合， 所以1A O ⊥平面ABCD .【小问2详解】因为底面ABCD 是棱长为2的菱形，所以AC BD ⊥，因为1A O ⊥平面ABCD ，OA ⊂平面ABCD ，OB ⊂平面ABCD ， 所以1A O OA ⊥，1A O OB ⊥，即1,,OA OB OA 两两垂直，以O 为坐标原点，以1,,OA OB OA 方向为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则)()()(1,0,1,0,0,1,0,AB D A −，由11A D AD =得(1D −，由11A B AB =得(1B，所以(1AD =−− ， 设平面11BDD B 的一个法向量为(),,n x y z =，()(1110,2,0,B D BD =−=− ，所以1112020n B D y n BD y ⋅=−= ⋅−=，令1x =，所以()1,0,1n = ， 设直线1AD 与平面11BDD B 所成的角为θ，所以1sin cos AD θ= 所以直线1AD 与平面11BDD B. 17. 已知函数()()e ,ln xf xg x x ==．（1）若直线l 与函数()f x 和()g x 均相切，试讨论直线l 的条数； （2）设11,0,1a b f g a b>+=，求证：a b ab +>． 【答案】（1）2条 （2）证明见解析 【解析】【分析】（1）求导，分别求解()f x 和()g x 的切线方程，进而可得()112121e 1e ln 1x x xx x = −=− ，构造函数()()1e 1,x h x x x =++-求导确定函数的单调性，进而结合零点存在性定理判断根的个数即可求解，（2）通过换元以及指对互化，构造函数()()ln 1e ,tq t t =−+求导判断函数的单调性，即可求证. 【小问1详解】设直线l 与函数()f x 和()g x 分别相切于()()1122,e,,ln x A x B x x ，由()()1e ,xf xg x x′′==可得121e x x =，直线l 方程为()111e e xx y x x −=-以及()2221ln y x x x x −=−， 故()112121e 1e ln 1x x x x x = −=− ，进而()1111e 10xx x ++=-， 令()()()1e 1,e 1x x h x x x h x x ′=+++-=-，记()()()e 1,1e xxt x x t x x ′=−++=-， 当()()()1,0,x t x t x h x ′′>−<=单调递减，()()()1,0,x t x t x h x ′′<−>=单调递增，又()()0,0,11e 0x t x t <>−<=，故存在唯一的()()000,1,0x t x ∈=， 故当 ()()()()0,,0,x x t x h x h x ′∈−∞>=单调递增，当()()()()0,,0,x x t x h x h x ′∈∞<+=单调递减， ()()()0max 020h x h x h =>=>，又()()2223e 0,213e0h h −=−<−=−+<，因此()h x 存在两个零点，故直线l 的条数为2条. 【小问2详解】 令11,,m n a b则0,0m n >>， 由()()1111e ln 1mf g f m g n n a b +=⇒+=⇒+=，由于e 1,m >故ln 0n <， 令ln 0t n =<，则e ,e 1t m n t ==−，故()ln 1m t =−， 故()ln 1e ,0tm nt t +=−+< 记()()()()11e 1ln 1e ,e 11tttt q t t q t t t +−−′=−++−−==， 记()()()11e ,e 0ttp t t p t t ′=+−=<，所以()p t 在(),0∞-单调递减，故()(0)0p t p >=， 故()()11e 01tt q t t +−′<−=，()q t 在(),0∞-单调递减，故()()01q t q >=，所以1,m n +>即111a b>+，a b ab +> 【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1，从而得出不等关系； 2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数最值问题，从而判定不等关系； 3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.18. 已知点()2,0F 和圆22:(2)36,C x y M ++=为圆C 上的一动点，线段MF 的垂直平分线与线段MC 相交于点S ，记点S 的轨迹为曲线E ． （1）求曲线E 的方程；（2）已知点()0,1N ，若曲线E 与x 轴的左、右交点分别为A B 、，过点()1,0T 的直线l 与曲线E 交于P Q 、两点，直线AP BQ 、相交于点D ，问：是否存在一点D ，使得DM DN +取得最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22195x y +=的（2）存在点D 使得DM DN +取得最小值,6， 【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义即可求解，（2）联立直线与椭圆方程可得韦达定理，进而可得()12124my y y y =+，求解,AP BQ 的直线方程，联立可得点D 在定直线9x =上，进而根据对称性即可求解. 【小问1详解】由题意可得64SC SF SC SM MC CF +=+==>=, 所以S 点的轨迹是以,C F 为焦点的椭圆，故26,243,2,a c a c b ==⇒===，故轨迹方程为22195x y +=【小问2详解】存在点D 使得DM DN +取得最小值,6−，由题意可知直线l 的斜率不为0，故设直线l 方程为1x my =+， 221195x my x y =++= ，整理得()225910400m y my ++−=， 设()()1122,,,P x y Q x y , 所以1212221040,5959m y y y y m m +++=-=-，故()12124my y y y =+， 由（1）()()3,0,3,0A B −故()11:33y AP y x x =++，()22:33y BQ y x x =−−,设()00,D x y ，将()00,D x y 代入,AP BQ 方程可得,()()()()()()21211220122012121211213444342332242y x y my y y y x my y y x y x y my my y y y y y ++++++=====−−−−+−，解得09x =，故点D 在定直线9x =上，()0,1N 关于9x =的对称点()18,1N ′，且()2,0C −,故66DM DN DM DN MN CN ′′′+=+≥≥−=−，故DMDN +的最小值为6，【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.19. 若无穷数列{}n a 满足()110,n n a a a f n +=−=，则称数列{}n a 为β数列，若β数列{}n a 同时满足12n n a −≤，则称数列{}n a 为γ数列． （1）若数列{}n a 为β数列，()1,f nn ∗=∈N ，证明：当2025n ≤时，数列{}n a 为递增数列的充要条件是20252024a =；（2）若数列{}n b 为γ数列，()f n n =，记2n n c b =，且对任意的n ∗∈N ，都有1n n c c +<，求数列{}n c 的通项公式．【答案】（1）证明见解析 （2）2nc n =− 【解析】【分析】（1）先证必要性，根据递增函数可得数列{}n a 是等差数列可得20252024a =，再证充分性，根据11n n a a +−≤累加可得20252024a ≤当且仅当11n n a a +−=时取等号即可证明； （2）依题意{}n b 的偶数项构成单调递增数列，从而可得当20n b ≥时，有2n ≥，再证明相邻两项不可能同时为非负数，从而可得112,n n c c n −−=≥，进而根据等差数列的通项公式求解即可. 【小问1详解】 先证必要性：依题意得，11n n a a +−=，又数列{}n a 是递增数列，故11n n a a +−=， 故数列{}n a 是10a =，公差1d =的等差数列， 故()202502025112024a =+−×=. 再证充分性：由11n n a a +−=，得11n n a a +−≤， 故()()()202520252024202420232112024a a a a a a a a =−+−+−+≤ ，当且仅当11n n a a +−=时取等号. 又20252024a =，故11n n a a +−=，故数列{}n a 是递增数列. 【小问2详解】因为2n n c b =，由1n n c c +<，知数列{}n c 是单调递增数列， 故数列{}n b 的偶数项构成单调递增数列，依题意，可得240,1b b =−=，故当20n b ≥时，有2n ≥. 下面证明数列{}n b 中相邻两项不可能同时为非负数. 假设数列{}n b 中存在1,i i b b +同时为非负数，因为1||i i b b i +−=， 若1i i b b i +−=，则有()1112i i i b b i i ++−=+≥>，与条件矛盾；若1i i b b i +−=−，则有112i i i b b i i +−=+≥>，与条件矛盾；即假设不存在，即对任意正整数1,,n n n b b +中至少有一个小于0； 由20n b ≥，对2n ≥成立，故2n ≥时，210n b −≤，210n b +≤，即221221,n n n n b b b b −+>>，故()221212221,22n n n n b b n b b n −−−−=−−=−−， 故()()22121221n n n n b b b b −−−−+−=， 即2221,2n n b b n −−=≥，即112,n n c c n −−=≥. 又12240,1c b c b ==−==，所以数列{}n c 是11c =−，公差为1的等差数列， 所以()112n c n n =−+−=−.【点睛】思路点睛：（1）证明充要条件可分别证明充分性与必要性；（2）隔项数列可考虑每项前后的两项数列正负，并根据累加可得2221n n b b −−=.。
陕西省高三数学第一次高考适应性统考试卷
陕西省高三数学第一次高考适应性统考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共12分)1. （1分） (2019高二上·望城月考) 知集合，，则（）A .B .C .D .2. （1分）为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图(两坐标轴单位长度相同)，用回归直线＝ x＋近似地刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是（）A . 线性相关关系较强，的值为3.25B . 线性相关关系较强，的值为0.83C . 线性相关关系较强，的值为-0.87D . 线性相关关系太弱，无研究价值3. （1分）(2020·成都模拟) 已知复数，则（）A .B .C .D .4. （1分）设，则a,b,c的大小关系是（）A .B .C .D . .5. （1分）平面四边形ABCD中，则四边形ABCD是（）A . 矩形B . 正方形C . 菱形D . 梯形6. （1分） A是平面BCD外一点，E，F，G分别是BD，DC，CA的中点，设过这三点的平面为α，则在直线AB，AC，AD，BC，BD，DC中，与平面α平行的直线有（）A . 0条B . 1条C . 2条D . 3条7. （1分） (2019高二上·郑州期中) 给出如下四个命题：①若“ 且”为假命题，则均为假命题；②命题“若，则”的否命题为“若，则”；③“ ，则”的否定是“ ，则”；④在中，“ ”是“ ”的充要条件．其中正确的命题的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 48. （1分） (2019高一上·南充月考) 函数的图像大致是（）A .B .C .D .9. （1分） (2017高一下·沈阳期末) 如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的为茎叶图中的学生成绩，则输出的，分别是（）A . ，B . ，C . ，D . ，10. （1分） (2017高二上·潮阳期末) 设a＞0，b＞0，若是4a与2b的等比中项，则的最小值为（）A . 2B . 8C . 9D . 1011. （1分）(2016·连江模拟) 函数f（x）=sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的对称轴为（）A . x=﹣+kπ，k∈ZB . x=﹣+2kπ，k∈ZC . x=﹣ +k，k∈ZD . x=﹣ +2k，k∈Z12. （1分） (2019高二上·咸阳月考) 已知函数，若任意的，存在，使得，则实数m的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）角α的终边经过点P（x，4），且sinα= ，则x=________．14. （1分）(2019·江南模拟) 设，满足约束条件，则的最小值为________．15. （1分） (2018高二下·黑龙江月考) 正三角形的边长为2，将它沿高翻折，使点与点间的距离为1，此时四面体外接球的表面积是________.16. （1分）(2020·赤峰模拟) 已知函数，若正实数满足，则的最小值为________.三、解答题 (共7题；共16分)17. （2分）(2013·浙江理) 在公差为d的等差数列{an}中，已知a1=10，且a1 ， 2a2+2，5a3成等比数列．（1）求d，an；（2）若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|．18. （2分） (2019高一下·大庆月考) 在锐角中，角，，的对边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）若，求的最大值．19. （3分） (2017高二上·清城期末) 国家“十三五”计划，提出创新兴国，实现中国创新，某市教育局为了提高学生的创新能力，把行动落到实处，举办一次物理、化学综合创新技能大赛，某校对其甲、乙、丙、丁四位学生的物理成绩（x）和化学成绩（y）进行回归分析，求得回归直线方程为y=1.5x﹣35．由于某种原因，成绩表（如表所示）中缺失了乙的物理和化学成绩．甲乙丙丁物理成绩（x）75m8085化学成绩（y）80n8595综合素质155160165180（x+y）（1）请设法还原乙的物理成绩m和化学成绩n；（2）在全市物理化学科技创新比赛中，由甲、乙、丙、丁四位学生组成学校代表队参赛．共举行3场比赛，每场比赛均由赛事主办方从学校代表中随机抽两人参赛，每场比赛所抽的选手中，只要有一名选手的综合素质分高于160分，就能为所在学校赢得一枚荣誉奖章．若记比赛中赢得荣誉奖章的枚数为ξ，试根据上表所提供数据，预测该校所获奖章数ξ的分布列与数学期望．20. （2分） (2017高一上·洛阳期末) 在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是BC，A1B1的中点．（1）求证：DE∥平面ACC1A1；（2）设M为AB上一点，且AM= AB，若直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均相等，求直线DE与直线A1M 所成角的正切值．21. （3分）(2018·辽宁模拟) 已知曲线的一条切线过点 .（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）若， .①讨论函数的单调性；②当时，求证： .22. （2分） (2018高二下·泸县期末) 在平面直角坐标系中，直线：（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线： .(Ⅰ)求直线的极坐标方程及曲线的直角坐标方程；(Ⅱ) 记射线与直线和曲线的交点分别为点和点（异于点），求的最大值.23. （2分）(2019·泉州模拟) 已知函数，为不等式的解集.（1）求；（2）证明：当时， .参考答案一、单选题 (共12题；共12分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共16分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、23-1、23-2、。
江苏省南京市秦淮区2020届高三数学第一次模拟考试适应性测试试卷
江苏省南京市秦淮区2020届高三数学第一次模拟考试适应性测试试卷一、填空题 (共14题；共14分)1．（1分）设全集 U ={1,2,3,4,5} ，若集合 A ={3,4,5} ，则 C U A = . 2．（1分）已知复数 z =21+i+2i （ i 是虚数单位），则 z 的共轭复数为 ． 3．（1分）函数f （x ） =1√x−1的定义域为 ． 4．（1分）根据如图所示的伪代码可知，输出的结果为 ．5．（1分）某班要选一名学生做代表，每个学生当选是等可能的，若“选出代表是男生”的概率是“选出代表是女生”的概率的 13，则这个班的女生人数占全班人数的百分比是 ．6．（1分）若双曲线 x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0) 的渐近线方程为 y =±x ，则双曲线的离心率为 ．7．（1分）已知某正四棱锥的底面边长和侧棱长均为 2cm ，则该棱锥的体积为 cm 3 .8．（1分）函数 f(x)={x 2−3x +2，x ≤012x ，x >0 ，则f （f （0））＝ ． 9．（1分）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的半径为 √13 ，圆心在y 轴上，且圆C 与直线2x+3y ﹣10＝0相切于点P （2，2），则圆C 的标准方程是 ．10．（1分）设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点， AD =12AB ，BE =23BC ，若 DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1CB⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ （λ1，λ2为实数），则λ1+λ2＝ ． 11．（1分）已知e 为自然对数的底数．若不等式（e x ﹣1﹣1）（x ﹣a ）≥0恒成立，则实数a 的值是 ．12．（1分）在等差数列{a n }中，已知公差d≠0，a 22＝a 1a 4，若 a 1，a 3，a k 1，a k 2，⋯，a k n ，…成等比数列，则k n ＝ ．13．（1分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 是曲线M ：y ＝sinx （x ∈[0，π]）在点A 处的一条切线，且l ∥OP ，其中P 为曲线M 的最高点，l 与x 轴交于点B ，过A 作x 轴的垂线，垂足为C ，则BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = ． 14．（1分）在锐角三角形ABC 中，已知4sin 2A+sin 2B ＝4sin 2C ，则1tanA +1tanB +1tanC的最小值为 ．二、解答题 (共6题；共65分)15．（10分）如图，在△ABC 中，已知B =π4 ，AB ＝3，AD 为边BC 上的中线，设∠BAD ＝α，若cosα =2√55．（1）（5分）求AD 的长； （2）（5分）求sinC 的值．16．（10分）在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，PD ⊥平面ABCD ，BD ＝CD ，E ，F 分别为BC ，PD 的中点．（1）（5分）求证：EF ∥平面PAB ； （2）（5分）求证：平面PBC ⊥平面EFD ．17．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆 C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 的离心率为12，右焦点F 到右准线的距离为3．（1）（5分）求椭圆C的标准方程；（2）（5分）设过F的直线l与椭圆C相交于P，Q两点．已知l被圆O：x2+y2＝a2截得的弦长为√14，求△OPQ的面积．18．（10分）如图，OM，ON是某景区的两条道路（宽度忽略不计，OM为东西方向），Q为景区内一景点，A为道路OM上一游客休息区，已知tan∠MON=−3，OA=6（百米），Q到直线OM，ON的距离分别为3（百米），6√105（百米），现新修一条自A经过Q的有轨观光直路并延伸至道路ON于点B，并在B处修建一游客休息区.（1）（5分）求有轨观光直路AB的长；（2）（5分）已知在景点Q的正北方6百米的P处有一大型组合音乐喷泉，喷泉表演一次的时长为9分钟，表演时，喷泉喷洒区域以P为圆心，r为半径变化，且t分钟时，r=2√at（百米）（0≤t≤9，0<a<1）.当喷泉表演开始时，一观光车S（大小忽略不计）正从休息区B沿（1）中的轨道BA以√2（百米/分钟）的速度开往休息区A，问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并说明理由.19．（15分）在数列{a n}中，a1＝3，且对任意的正整数n，都有a n+1＝λa n+2×3n，其中常数λ＞0．（1）（5分）设b n=a n3n，n∈N∗．当λ＝3时，求数列{b n}的通项公式；（2）（5分）若λ≠1且λ≠3，设c n＝a n+2λ−3×3n，n∈N∗，证明：数列{c n}为等比数列；（3）（5分）当λ＝4时，对任意的n∈N*，都有a n≥M，求实数M的最大值．20．（10分）已知函数g（x）＝e x﹣ax2﹣ax，h（x）＝e x﹣2x﹣lnx．其中e为自然对数的底数．（1）（5分）若f（x）＝h（x）﹣g（x）．①讨论f（x）的单调性；②若函数f（x）有两个不同的零点，求实数a的取值范围．（2）（5分）已知a＞0，函数g（x）恰有两个不同的极值点x1，x2，证明：x1+x2< ln(4a2)．答案解析部分1．【答案】{1,2}【解析】【解答】∵全集U={1,2,3,4,5}，集合A={3,4,5}，∴C U A=={1，2}，故答案为：{1,2}．【分析】利用补集定义直接求解即可2．【答案】1−i【解析】【解答】∴z=21+i+2i=2(1−i)(1+i)(1−i)+2i=1−i+2i=1+i∴z̅=1−i．故答案为1−i【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得z，再由共轭复数的定义得答案．3．【答案】（1，+∞）【解析】【解答】由题,若函数有意义,则x−1>0,解得x>1,所以定义域为(1,+∞), 故答案为: (1,+∞)【分析】若函数有意义,则x−1>0,求解即可.4．【答案】65【解析】【解答】由题, i=1, S=2,i=1+3=4, S=3×4+2=14,i=4+3=7, S=3×7+14=35,i=7+3=10, S=3×10+35=65,此时输出,故答案为:65【分析】根据程序伪代码列出程序的每一步,进而可得输出结果.5．【答案】75%【解析】【解答】设“选出代表是女生”的概率为a,则“选出代表是男生”的概率为13a,因为a+13a=1,所以a=34,所以这个班的女生人数占全班人数的百分比为75%,故答案为: 75%【分析】设“选出代表是女生”的概率为a,则“选出代表是男生”的概率为13a ,则a+13a=1,进而求解即可.6．【答案】√2【解析】【解答】双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±bax，根据题意知±ba=±1，所以b a=1.双曲线的离心率e=ca =√c2a2=√a2+b2a2=√1+b2a2=√2.故答案为：√2.【分析】利用双曲线求渐近线方程的公式结合已知条件求出a,b的关系式，再利用双曲线中a,b,c三者的关系式结合双曲线的离心率公式变形，从而求出双曲线的离心率。
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高三数学第一次模拟考试适应性测试试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、填空题 (共14题；共14分)
1. （1分）(2019·普陀模拟) 已知集合，，则 ________．
2. （1分）(2020·达县模拟) 复数的实部为________.
3. （1分） (2016高三上·苏州期中) 函数y= 的定义域为________．
4. （1分）运行下面的程序，输出的值为________．
5. （1分）一箱产品中有正品4件，次品3件，从中任取2件，事件：
①恰有1件次品和恰有2件次品；②至少有1件次品和全是次品；
③至少有1件正品和至少1件次品；④至少有1件次品和全是正品.
其中互斥事件为________.
6. （1分） (2019高二上·齐齐哈尔期末) 双曲线的焦距为________.
7. （1分）(2018·兴化模拟) 如图，棱长均为2的正四棱锥的体积为________．
8. （1分） (2018高一上·东台月考) 若幂函数的图象经过点，则的值是________；
9. （1分） (2019高一下·朝阳期末) 已知直线与圆交于两点，若，则 ________.
10. （1分）在△ABC中，点D满足=，点E是线段AD上的一动点，（不含端点），若=+，则=________
11. （1分） (2019高一上·汤原月考) 若函数的定义域是R ，则实数的取值范围是________.
12. （1分） (2016高一下·南充期末) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B=60°，且a，b，c成等比数列，则A=________度，C=________度．
13. （1分） (2018高一下·重庆期末) 是正三角形，，点为的重心，点满足
，则 ________．
14. （1分）(2020·广东模拟) 设，，分别为内角，，的对边.已知
，则 ________，的取值范围为________.
二、解答题 (共6题；共65分)
15. （10分）(2020·上饶模拟) 已知，的内角的对边分别为，为锐角，且 .
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积.
16. （10分） (2017高一下·鹤岗期末) 在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，为直角三角形，，且 .
（1）证明：平面平面；
（2）若AB=2AE，求异面直线BE与AC所成角的余弦值.
17. （10分）已知直线l：与抛物线y=x2交于A，B两点，求线段AB的长．
18. （10分）(2020·银川模拟) 在直角坐标系中，曲线的参数方程为 (为参数)，曲线 .
（1）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求，的极坐标方程；
（2）若射线(与的异于极点的交点为，与的交点为，求 .
19. （15分） (2016高二上·船营期中) 已知等差数列{an}满足a2=2，a5=8．
（1）求{an}的通项公式；
（2）各项均为正数的等比数列{bn}中，b1=1，b2+b3=a4，求{bn}的前n项和Tn．
20. （10分） (2018高二下·中山月考) 请按要求完成下列两题的证明
（1）已知，用分析法证明：
（2）若都是正实数，且用反证法证明：与中至少有一个成立..
参考答案一、填空题 (共14题；共14分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
二、解答题 (共6题；共65分) 15-1、
15-2、
16-1、
16-2、17-1、18-1、18-2、
19-1、19-2、20-1、20-2、。