矩形练习题及答案

矩形课后练习

1、矩形具有而平行四边形不具有的性质是（）

A .内角和为360°

B .对角线相等

C .对角相等

2

、平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质（）

A ?对角线相等

B ?对角线互相平分

C ?对角线平分一组对角

3、下列关于矩形的说法中正确的是

（

A ?矩形的对角线互相垂直且平分

C .对角线相等的四边形是矩形

B?矩形的对角线相等且互相平分D

?对角线互相平分的四边形是矩形

F列说法正确的有（）

①两条对角线相等的四边形是矩形；② 有一组对边相等，一组对角是直角的四边形是矩形；③一个角为直角，两条对角线相

等的四边形是矩形；④ 四个角都相等的四边形是矩形；⑤ 对角线相等且垂直的四边形是矩形；⑥ 有一个角是直角的平行四边形是矩形.A . 1个B. 2个 C . 3个 D . 4个

4、如图，在矩形ABCD中，AE丄BD ,垂足为E ,∠ DAE : ∠ BAE=I : 2 ,试求∠ CAE的度数.

5、如图，已知矩形ABCD中，AC与BD相交于O, DE平分∠ ADC交BC于E,∠ BDE=15 °,试求∠ COE的度数.

6、Rt A ABC 中，∠ BAC=90 ° AB=3, AC=4, P 为边BC 上一动点，PE 丄AB 于E, PF 丄AC 于F , M 为EF 中点，贝U AM 的最小值为______ .

8、如图，在A ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F,且AF = BD , 连接BF .

9、（1）线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由；（2）当A ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由.

10、如图，以A ABC的各边向同侧作正A ABD ,正△ BCF ,正A ACE .

D ?相邻两角互补

D.对角线互相垂直

ACB=90 °∠ ABC=60 ° BC=2 , E 是AB 边的中点,F是AC边的中点，D是BC边上一动点,

则厶EFD的周长最小值是 ________ .

A

D C

(1)求证：四边形

AEFD是平行四边形；(2)当∠BAC= _____ 时，四边形AEFD是矩形;

(3)当∠ BAC= ____ 时，以A、E、F、D为顶点的四边形不存在.

11、如图，已知平行四边形ABCD ,延长AD到E,使DE=AD,

连接

BE与DC交于O点.

(1)求证：A BOC^△EOD ; (2)当∠A=1∠EOC时，连接BD、CE,求证：四边形BCED为矩形.

12、已知四边形ABCD中，AB=CD , BC=DA ,对角线AC、BD交于点O. M是四边形ABCD外的一点，AM⊥ MC , BM丄MD ?试问：四边形ABCD是什么四边形，并证明你的结论.

13、如图，A ABC中，AB=AC, D是BC中点，F是AC中点，AN是A ABC的外角∠ MAC的角平分线，延长DF交AN于点E . (1)判断四边形ABDE的形状，并说明理由；(2)问：线段CE与线段AD有什么关系？请说明你的理由.

14、已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG //DB交CB的延长线于G. (1) 求证：

A ADE也A CBF;⑵若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论.

16、如图，已知，E是矩形ABCD边AD上一点，且BE=ED, P是对角线BD上任一点，PF ⊥BE, PG ⊥AD ,垂足分别为F、G,你知道PF+PG与AB有什么关系吗？并证明你的结论.

15、如图，矩形纸片ABCD的宽AD=5 ,现将矩形纸片ABCD PE

丄QR 于E, PF 丄AB 于 F ,求PE+PF .

沿QG折叠，使点C落到点R的位置，点P是QG上的一点, D

矩形

课后练习参考答案

题一：B.详解：A ?内角和为360°矩形与平行四边形都具有，故此选项错误； B ?对角线相等只有矩形具有，而平行四边形不具有，故此选

项正确；C ?对角相等矩形与平行四边形都具有，故此选项错误； D ?相邻两角互补矩形与平行四边形都具有，故此选项错误?故选 B ?

题二：B.详解：因为平行四边形的对角线互相平分、正方形的对角线垂直平分且相等、矩形的对角线互相平分且相等、菱形的对角线互相垂直平分，可知正方形、矩形、菱形都具有的特征是对角线互相平分?故选 B ?

题三：B.详解：A ?矩形的对角线互相平分，且相等，但不一定互相垂直，本选项错误；B.矩形的对角线相等且互相平分，本选项正确；

C ?对角线相等的四边形不一定为矩形，例如等腰梯形对角线相等，但不是矩形，本选项错误；

D ?对角线互相平分的四边形为平行四边形，不

一定为矩形，本选项错误?故选 B ?

题四：C.详解：两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形，故①③⑤错；有一个角为直角的平行四边形为矩形，故②④⑥正确?故选C.

题五：30°.详解:v∠DAE : ∠BAE=1 :2，ZDAB=90°，∕?ZDAE=30°，∠BAE=60°，「? ∕DBA=90° -∠BAE=90° _60° =30°，：OA=OB，OAB = ∕OBA=30°，???∕CAE=∠BAE ^OAB=60°30° =30°?

题六：75°.详解：T四边形ABCD 是矩形，DE 平分Z ADC ,?'?∠CDE = Z CED= 45 ° ∕? EC=DC ,又τ∠BDE=15°，∕?∠ CDO=60°，

又T矩形的对角线互相平分且相等，OD=OC，/?△ OCD是等边三角形，???Z DCO=60°，Z OCB=90°Z DCO=30°，T DE平分Z ADC, Z ECD=90°，

Z CDE = Z CED= 45 ° ∕? CD=CE=CO，「?/ COE= Z CEO ；^Z COE=(180° 30° ÷ 2=75°.

题七：6.详解：由题意知，四边形AFPE是矩形，T点M是矩形对角线EF的中点，则延长AM应过点P，「.当AP为Rt△ ABC的斜边上的5

1 1 1 3x" 4 12

高时，即AP⊥BC 时，AM 有最小值，此时AM= —AP,由勾股定理知BC= . AB2 AC2=5，T S A ABC= AB?AC=—BC ?AP，「.AP= =-，

2 2 2 5 5

1 6

.?. AM= -AP= —?

2 5

题八：1+ ,<3 .详解：作点F关于BC的对称点G,连接EG，交BC于D点，D点即为所求，T E是AB边的中点，F是AC边的中点，.EF

为A ABC 的中位线，TBC=2 , /.EF=I B C= 1 X2=1；VEF 为A ABC 的中位线，.EF//BC , .?Z EFG = Z C=90°,又TZ ABC=60° BC=2 , FG=AC=2 . 3 ,

EG = EF2FG2=、13 , /.DE+FE+DF=EG+EF=1+√13.

题九：见详解.详解：(1)BD=CD .理由：T AF /∕BC,?∕ZAFE = Z DCE , T E 是AD 的中点，/-AE=DE ,在A AEF 和ADEC 中，Z AFE=Z DCE , Z AEF= Z DEC , AE=DE , .A AEF≡ΔDEC (AAS) , .AF=CD,T AF=BD ,?*?BD=CD; (2)当A ABC 满足：AB=AC 时，四边形AFBD 是矩形.理由：T AF /BD , AF =BD ,.四边形AFBD是平行四边形，T AB=AC, BD=CD , . Z ADB=90°,.平行四边形AFBD是矩形.

题十：见详解.详解：(1) TABCF 和A ACE 是等边三角形，∕?AC=CE ,BC=CF , ZECA= ZBCF=60°, /?∕ECA-Z FCA= ZBCF -ZFCA,即Z ACB= ZECF , T 在A ACB 和A ECF 中，AC=CE, Z ACB=Z ECF ,BC=CF, .?A ACB≡A ECF(SAS) , .?EF=AB, T三角形ABD 是等边三角形，∕?AB=AD , /-EF=AD=AB, 同理FD=AE=AC,即EF=AD , DF=AE, /四边形AEFD是平行四边形；(2)当Z BAC=150°时，平行四边形AEFD是矩形，理由：TA ADB 和A ACE 是等边三角形，.Z DAB = ZEAC=60°, TZ BAC=150°, . Z DAE=360°-60°-60°/50° =90°, T由(1)知：四边形AEFD是平行四边形，.平行四边形AEFD 是矩形.(3)当Z BAC=60°时，以A、E、F、D 为顶点的四边形不存在，理由如下：vZDAB =Z EAC=60°, Z BAC=60°, ?/ZDAE =60°+60°+60°=180° .D、A、E三点共线，即边DA、AE在一条直线上，/?当Z BAC=60°时，以A、E、F、D为顶点的四边形不存在.

题十^一: 见详解.详解：(I)T在平行四边形ABCD 中，AD = BC, AD //BC,.Z EDO=ZBCO ,Z DEO = ZCBO ,T DE=AD , .DE = BC,

在A BOC 和AEOD 中，Z OBC= Z OED , BC=DE , Z OCB=Z ODE , .A BOC≡ΔEOD(ASA)；

1 1

(2) ?TDE=BC, DE //BC ,.四边形BCED 是平行四边形，在平行四边形ABCD 中，AB/DC ,.Z A= Z ODE ,T∕A= —∕EOC,.Z ODE=-ZEOC ,

2 2

T∕ODE+Z OED=Z EOC,./ODE= ZOED , .OE=OD ,T平行四边形BCED 中，CD=2OD, BE=2OE , .CD=BE ,.平行四边形BCED 为矩形. 题十二：见详解.详解：矩形.理由：连接OM , T AB=CD, BC=DA,.四边形ABCD是平行四边形，∕?OA=OC, OB=OD, VAM ⊥MC , BM丄MD ,

1 1

.Z AMC = Z BMD=90°, .OM=-BD , OM= — AC,. BD=AC,.四边形ABCD 是矩形.

2 2

题十三：见详解.详解：(1)四边形ABDE是平行四边形，理由：T AB=AC, D是BC中点，F是AC中点，「? DF /∕AB,τAB=AC, D是BC中点，Λ ZBAD=ZCA D，AD丄DC，T AN 是△ABC 的外角∠ MAC 的角平分线，「? ∠MAE= ZCAE , Λ∕NAD=90°, ∕?AE //BD ,「?四边形ABDE 是平行

四边形；(2)CE //AD , CE=AD ;理由：T AN 是ΔABC 外角Z CAM 的平分线，「? Z MAE= l ZMAC ,T∠MAC= ZB+ ∠ACB,T AB=AC ,Λ ZB=Z ACB,

2

???∕MAE=∠B,???AN∕∕BC,T AB=AC ,点D 为BC 中点，「? AD !BC,T CE⊥AN ,?*?AD //CE ,「?四边形ADCE 为平行四边形，

T CE⊥AN ,???∠AEC=90°,「?四边形ADCE 为矩形，「? CE/AD , CE=AD .

1

题十四：见详解.详解：(I)T四边形ABCD是平行四边形，「? ∠4=∠C, AD=CB , AB=CD ,T点E、F分别是AB、CD的中点，「? AE=丄AB,

2

1

CF= CD .???AE=CF ,在ΔAED 与A CBF 中，AD = CB,∠ 4= Z C, AE=CF ,Λ?ADE幻A CBF(SAS), (2)当四边形BEDF 是菱形时，四边形AGBD 2

是矩形；证明：T四边形ABCD是平行四边形，「? AD /∕BC,T AG / BD ,「?四边形AGBD是平行四边形，T四边形BEDF是菱形，「? DE=BE ,

T AE=BE , /-AE=BE=DE , ∕?∠1 = ∠2 , ∠3=∠4 , T ∠1 + ∠2+ ∠3+ /4=180°, ?'?2Z2+2∠3=180°, ∕?∠2+∠3=90 ° ° 即Z ADB =90°, 四边形AGBD 是矩形.

题十五：5.详解：把折叠的图展开，如图所示：EF=AD , T AD=5 , / EF=5 , / PF+PE=5.

题十六：

AAA

PF+PG =AB .详解：PF+PG=AB .理由如下：连接PE ,贝U SΔBEP+SΔDEP=SΔBED ,即丄BE?PF+ DE?3G = DE?AB

2 2 2

III 1 1

又T BE=DE , ?——DE?PF+ DERG=—DE?AB ,即一DE(PF+PG)= DE?AB , /?PF+PG =AB .

2 2 2 2 2