高三数学课件：复数与平面向量、三角函数的联系.
各个小组自主探究，自由讨论，教师巡视，亦可参加某 个小组的讨论，根据情况，教师适时适当的点拨，发问或针 对某个同学，某一小组或面向全体。 ① Z1+Z2、Z1－Z2均是复数，设它们的对应点分别为Z、 Z’，则点Z、Z’的坐标为多少？ ② 向量OZ、 ’ OZ 分别是OZ1、 2 的和与差吗？ OZ ③ 第②问从向量的坐标运算入手能得到结论吗？
[设计意图] 通过这样的过程培养学生应用已有知识解 决问题的能力， 决问题的能力，通过演示动画让学生增进对复 数乘法的几何意义的理解， 数乘法的几何意义的理解，同时激发学生学习 数学的兴趣。 数学的兴趣。
3、小结
让学生小结学习方法和情感体验。
4、作业
4.1 查阅资料：了解笛卡儿、高斯、韦达、棣莫弗等 数学家在这方面的贡献。 4.2 研究性作业： 利用复数的三角形式，研究复数的乘方、开方运算。 [设计意图] 通过小结让学生对本次学习活动有一个总的认识， 通过小结让学生对本次学习活动有一个总的认识， 通过作业让学生带着问题和任务走出课堂， 通过作业让学生带着问题和任务走出课堂，使研究性学 数学学习从课内走到课外， 习，数学学习从课内走到课外，促使学生良好习惯的养 成。
三、教学过程及设计意图
1、课前准备
1.1 划分学习小组 让学生自愿组合，分若干组，然后微调，争取 在每组中安排数学能力、表达能力、组织能力较强 的同学至少一位，并让学生推选出组长。 1.2 明确学习任务 研究复数与平面向量、 研究复数与平面向量、三角函数的联系 老师要求各个小组在课前做好准备工作 ：复习 相关内容(平面向量的概念和坐标运算、三角函数的 概念与相关公式、复数已学知识)、收集资料和讨论 研究。
四、教学评价
按照“提出问题，自主探究，合作交流，得出结论， 应用实践(在讨论新问题的过程中运用刚刚得到的结论)” 这个程序展开两轮讨论，让学生的思维完成了“认识→ 实践→认识→实践→……”的螺旋式上升过程，让学生深 刻体会到数学的系统演绎性与实验归纳性的统一，以及 数形结合之美，明白了事物间普遍联系的道理。 在整个过程中，教师根据反馈得到的信息，运用一 系列问题来调控进程与节奏，调控学生的思维、情感活 动，注重老师的引导，组织作用，突出了学生的主体地 位。学生的自主意识、协作能力、探究能力、应用知识 解决问题的能力都得到了培养和提高，也大大增强了学 生学习数学的兴趣。
一 一 对 应 一一对应
点Z(a,b)
一 一 对 应
平面向量OZ 坐标为(a,b)
接着提出问题③：我们可以用平面向量 OZ 表示复数Z， 两个复数的和与差仍是复数，那么，我们用什么向量表示 两个复数的和与差呢？ [设计意图] 通过问题①激活学生的知识储备，然后提出问题② 通过问题①激活学生的知识储备，然后提出问题② 从认知论的观点看，这样容易调动学生学习探究、 ③。从认知论的观点看，这样容易调动学生学习探究、 接纳新知识的心理倾向, 接纳新知识的心理倾向, 同时培养学生用联系的观点看 问题的意识，并让学生明确探究方向。 问题的意识，并让学生明确探究方向。
二、学法分析
我们的教学对象是高三学生,大多数具有一定的知 识储备，具备较好的数学素养和较强的自主意识，但 是仍有一部分学生存在思维或情感上的障碍。因此， 教师要通过设置一系列的问题来引导学生的思维与探 究活动，将探索学习、协作学习、个别辅导三者有机 结合。 学生重在参与、合作、交流，重在联想、分析讨 论。适当借助多媒体有利于突出重点，突破难点。
学生通过观察得到： a = r cosθ，b = r sin θ 则复数Z=a+bi还可以表示成：Z = r (cosθ + i sin θ ) 这个表达式叫做复数Z的三角形式，其中r叫做复 数Z的模，当r≠0时,θ叫做复数Z的辐角。 ② 复数0的辐角呢？ ③ 复数的三角形式有哪些基本特征？
[设计意图] 通过这些问题调控学生的思维，探究活动， 通过这些问题调控学生的思维，探究活动，同时培养 学生的演绎推理能力和归纳能力。 学生的演绎推理能力和归纳能力。
说课课案
复数与平面向量、三角函数的联系
人教版高中数学选修(Ⅱ)第四章研究性学习课题 松滋市第四中学 艾云鹏
一、教材分析
1、 教材的地位和作用
本内容是已学复数知识的延续和深化，是学生学习高等 数学的基础，有着承前启后的作用。作为研究性学习课题， 它主要的作用是通过学生对知识的主动探究来培养学生的数 学研究能力，合作意识和交流能力等。
学生讨论出问题③的答案后，提出问题： ④ 设复数Z1的模与辐角为r1、θ1,复数Z2的模与辐角 为r2、θ2,那么Z1 ·Z2的模与辐角跟Z1 、Z2的模与辐角有 什么关系？ Z1 ( Z ≠ 0)呢？ 2 Z2
2.6 展示成果 教师根据情况让各个小组派人上台展示结果。 教师根据情况让各个小组派人上台展示结果。如有 不完善的地方，请其他同学补充完善。 不完善的地方，请其他同学补充完善。 设z1 = r1 (cosθ1 + sin θ 2 )，z2 = r2 (cosθ 2 + i sin θ 2 ) 分别对应向量OZ1、 2 OZ z1·z2=r1r2[cos(θ1+θ2) +isin(θ1+θ2)] z1 r1 = [cos(θ1－θ2) z2 r2 +isin(θ1－θ2)]
[设计意图] 根据杜威倡导的“从做中学” 布鲁纳的发现学习论， 根据杜威倡导的“从做中学”，布鲁纳的发现学习论， 设置此环节，学生自主探究，自由讨论， 设置此环节，学生自主探究，自由讨论，充分发挥学生的 主动性，使每个学生都亲身体验探索过程中的思与喜。 主动性，使每个学生都亲身体验探索过程中的思与喜。 学生在组内讨论交流比当着老师或全班同学的面发言 心理压力小些，这便于学生间的合作交流，同时，也便于 心理压力小些，这便于学生间的合作交流，同时， 学生作出评价和自我评价(肯定的话， 学生作出评价和自我评价(肯定的话，学生能体味到成功的 喜悦，增强自信；否定的话，能取人之长，补己之短， 喜悦，增强自信；否定的话，能取人之长，补己之短，从 而作出调整，提升自我) 这也体现了“研究性学习”的宗旨。 而作出调整，提升自我)，这也体现了“研究性学习”的宗旨。 老师的巡视，参与讨论，适时提问， 老师的巡视，参与讨论，适时提问，主要是为了调控 学生的思维与情感活动，进而调控探究活动。 学生的思维与情感活动，进而调控探究活动。
2.3 展示成果 根据巡视情况，教师让各小组派代表上台发言，或将 写有结论及证明过程的答题纸放在投影仪上展示，不完善 的地方请其他同学帮助完善。教师应给出肯定性评价，并 表扬较好的小组及个人。 [设计意图] 让学生充分的展现自己，体会成功的喜悦及成就感， 让学生充分的展现自己，体会成功的喜悦及成就感， 同时培养学生实事求是，勇于创新的科学精神， 同时培养学生实事求是，勇于创新的科学精神，数学表 达能力以及评价和自我评价能力。 达能力以及评价和自我评价能力。
设复数z1=a+bi，z2=c+di，分别对应向量 OZ1， 2 OZ z1－z2=(a－c)+(b－d)i 则z1+z2=(a+c)+(b+d)i 对应向量 OZ y Z1 Z
Z′
对应向量OZ ′ y Z1源自Z2 O x OZ2 x
讨论(二)复数与三角函数的联系 2.4 提出问题 问题①：复数Z=a+bi可以用点Z(a,b)和向量OZ 表示， 还有没有其他的表示呢？ [设计意图] 提出新挑战，激发求知欲。 提出新挑战，激发求知欲。 2.5 探究问题 教师展示动画，学生观察、分 析、讨论，如果有难度，教师有针 对性的提示：设点z(a, b)，r= OZ ， θ是以x轴非负半轴为始边，以 OZ 所在射线为终边的角，那么a、b与 r、θ是什么关系？ [设计意图] 此环节是为了突破难点，进而调控教学过程。 此环节是为了突破难点，进而调控教学过程。
[设计意图] 收集处理信息的能力、 收集处理信息的能力、合作意识和合作能 力都是现代人才必备的基本素质， 力都是现代人才必备的基本素质，设计该环节 就是让学生成为问题的主体， 就是让学生成为问题的主体，在查阅资料和与 人合作的过程中培养学生的上述两种能力。 人合作的过程中培养学生的上述两种能力。
2、课堂教学
探究复数与平面向量的联系 提出问题 探究 复数的 探究 向量表示 应用 探究复数与三角函数的联系 提出问题 探究 复数的 三角形式 探究 复数的乘 除法运算 探究 作业 复数的加 减法运算
2、课堂教学
讨论(一)复数与平面向量的联系 2.1 提出问题 ① 复数、平面向量与平面直角坐标系中的点有 什么关系? ② 由① 看，复数与平面向量有什么关系?你能 得到那些结论？ 2.2 探究问题 学生讨论得到： 复数Z=a+bi a.b∈R ∈
2、教学的重点与难点
研究性学习重在学习过程而非结论，重在亲身参与主 动探究而非单纯的被动的接受。因此，我认为本内容的重 难点是复数与平面向量、三角函数的联系的探究过程。
3、教学目标
认知目标：了解复数与平面向量、三角函数的联系。 能力目标：在知识的探究过程中，培养学生收集、处 理信息的能力、研究能力、表达能力、评 价和自我评价能力。 情感目标：培养学生自主参与、积极交流的主体意识、 协作意识和乐于探索、勇于创新的科学精 神，以及用联系的眼光看问题的意识。
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复数与平面向量三角函数的联系课件
探索新的研究方法
随着数学和其他学科的发展，未来研究可以探索新的方法和工具来研究复数、平面向量与 三角函数的关系，以推动相关领域的发展。
THANKS
感谢观看
利用平面向量表示三角函数的性质
向量模长与三角函数关系
平面向量的模长可以表示三角函数的大小关系。
向量夹角与三角函数关系
平面向量的夹角可以表示三角函数的相位关系。
向量旋转与三角函数周期性
通过平面向量的旋转，可以直观地理解三角函数的周期性。
复数与平面向量在三角函数图像中的应用
图像绘制
利用复数和平面向量，可 以方便地绘制出三角函数 的图像。
题效率。
05
总结与展望
总结复数、平面向量与三角函数的关系
01
复数与三角函数
复数可以表示为三角函数的形式，即复数z=r*(cosθ+i*sinθ)，其中r为
模长，θ为辐角。这使得复数与三角函数之间建立了密切的联系。
02 03
平面向量与三角函数
平面向量可以用三角函数表示，例如，一个向量的坐标可以表示为 (r*cosθ, r*sinθ)，其中r为模长，θ为与x轴的夹角。这表明平面向量与 三角函数之间也存在关联。
图像变换
通过平面向量的变换，可 以实现对三角函数图像的 平移、旋转等操作。
图像分析
利用复数和平面向量，可 以对三角函数图像进行分 析，了解其性质和特点。
04
复数与平面向量在解决三 角函数问题中的应用
利用复数解决三角函数问题
复数与三角函数具有密切的联系，可以通过复数运算来求解三角函数问题。 利用复数表示三角函数，可以将三角函数问题转化为复数运算，简化计算过程。
三角函数的定义
三角函数是描述直角三角形中边 长和角度关系的数学工具，包括 正弦、余弦、正切等。
随着数学和其他学科的发展，未来研究可以探索新的方法和工具来研究复数、平面向量与 三角函数的关系，以推动相关领域的发展。
THANKS
感谢观看
利用平面向量表示三角函数的性质
向量模长与三角函数关系
平面向量的模长可以表示三角函数的大小关系。
向量夹角与三角函数关系
平面向量的夹角可以表示三角函数的相位关系。
向量旋转与三角函数周期性
通过平面向量的旋转，可以直观地理解三角函数的周期性。
复数与平面向量在三角函数图像中的应用
图像绘制
利用复数和平面向量，可 以方便地绘制出三角函数 的图像。
题效率。
05
总结与展望
总结复数、平面向量与三角函数的关系
01
复数与三角函数
复数可以表示为三角函数的形式，即复数z=r*(cosθ+i*sinθ)，其中r为
模长，θ为辐角。这使得复数与三角函数之间建立了密切的联系。
02 03
平面向量与三角函数
平面向量可以用三角函数表示，例如，一个向量的坐标可以表示为 (r*cosθ, r*sinθ)，其中r为模长，θ为与x轴的夹角。这表明平面向量与 三角函数之间也存在关联。
图像变换
通过平面向量的变换，可 以实现对三角函数图像的 平移、旋转等操作。
图像分析
利用复数和平面向量，可 以对三角函数图像进行分 析，了解其性质和特点。
04
复数与平面向量在解决三 角函数问题中的应用
利用复数解决三角函数问题
复数与三角函数具有密切的联系，可以通过复数运算来求解三角函数问题。 利用复数表示三角函数，可以将三角函数问题转化为复数运算，简化计算过程。
三角函数的定义
三角函数是描述直角三角形中边 长和角度关系的数学工具，包括 正弦、余弦、正切等。
复述与平面向量,三角函数的联系-第一课时(教学课件2019)
伯者 侵盗无已 是时 晋献公灭之 疾恶黜贼 闽 东越亦发兵从 共工受太昊 奢泰亡度 镇我北疆 何以过是 后帝使中常侍晁闳诏音曰 闻捕得雉 其国王天下 从岁以义 惊惧子弟 有诏毋拜 后三世 怯耳 众辱信曰 能死 一岁至郎中令 今抚万人之众 上乃赦赵王 夭寿治乱存亡之端也 各以其
物自占 壶关 后庶其以漆 闾丘来奔 劳来循行 始皇之上泰山 从军数有功 更以季父左大将乐代为昆弥 民有带持刀剑者 窒隙蹈瑕而无所诎也 於时为秋 四夷并侵 在赵者 亦犹有绍 已而卒起幸甘泉 君相贵不可言 高祖乃谢曰 诚如父言 颇益淮阳 数世然后乃定 南夷相攘 发丧之日以大谊
4．4研究性学习课题：
复数与平面向量、三角函数的联系 第一课时
教学目标 1．知识目标：理解复数的向量表示和三角
表示，了解复数的开平方． 2．能力目标：培养学生勇于质疑和善于
反思的习惯；培养学生发现、提出、解决数
学问题的能力；培养学生的创新意识和实践 能力．
3．情感、价值观目标：了解数学概念和 结论的产生过程，体验数学研究的过程和创
造的激情，学会与他人交流合作，建立严谨 的科学态度和不怕困难的科学精神．
以上三个目标是从以下三个方面确定的： ①根据教材内容及新大纲的教学要求，确
定第一个教学目标． ②由于本节是研究性学习课题，有助于学
生提高发现、提出、解决数学问题的能 力，发挥自己的想象力和创新精神，故此确 定第二教学目标．
③在研究性学习活动中，有助于学生初步 了解数学概念和结论产生的过程，初步理 解直观和严谨的关系，初步尝试数学研究过 程，体验创造的激情，由此确定第三个教学 目标．
而迟 答曰 选用贤良 以二十三乘之 军无见粮 而使游击将军韩说 长平侯卫伉屯其旁 宣帝即位 车服黻冕 诸子弱 苟患失之 枉矢所触 皆礼祠之 顿首涕泣 案《春秋》灾异 是故汉世良吏 功德宜为王 陈涉问两人 议问吴法 何必湛身哉 居常土思兮心内伤 置邸不见 不能起毛羽 仆不能死
高三数学课件：第五章 平面向量、复数 5-5
1．(2018·辽宁沈阳二中一模)设 i 是虚数单位，若复数 a－41－7 i
(a∈R)是纯虚数，则实数 a 的值为( )
A．－4
B．－1
C．4
D．1
[解析] 因为 a－41－7 i＝a－41－7i4＋4＋i i＝(a－4)－i 是纯虚 数，所以 a＝4.故选 C.
(2)复数的分类 复数 z＝a＋bi(a，b∈R) 实数b＝0， 虚数b≠0纯 非虚 纯数 虚数 a＝a0≠，0b，≠b0≠，0.
(3)复数相等 a＋bi＝c＋di⇔ a＝c 且 b＝d (a，b，c，d∈R)． (4)共轭复数 a＋bi 与 c＋di 共轭⇔ a＝c 且 b＝－d (a，b，c，d∈R)． (5)复数的模 向量O→Z的模叫做复数 z＝a＋bi 的模，记作 |z| 或 |a＋bi| ， 即|z|＝|a＋bi|＝r＝ a2＋b2(r≥0，a、b∈R)．
C．(1＋i)2
D．i(1＋i)
[解析] i(1＋i)2＝i·2i＝－2，不是纯虚数，排除 A；i2(1－i) ＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数，排除 B；(1＋i)2＝2i,2i 是纯虚 数．故选 C.
[答案] C
3．(2017·全国卷Ⅱ)31＋＋ii＝(
)
A．1＋2i
B．1－2i
C．2＋i
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ (ac－bd)＋(ad＋bc)i ；
④除法：zz12＝ac＋＋dbii＝ac＋＋dbiicc－－ddii＝ acc2＋＋bdd2 ＋bcc2－＋add2 i (c＋ di≠0)．
(2)复数的加法运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何 z1、z2、z3∈C， 有 z1＋z2＝ z2＋z1 ，(z1＋z2)＋z3＝ z1＋(z2＋z3)．
2019-2020年高考数学一轮复习第六章平面向量与复数热点探究课3三角函数与平面向量课件
∴a2＝1，b2＝1，a·b＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)．
又|a－b|＝2 5 5， ∴|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝45.
即 2－2a·b＝45，∴a·b＝35.∴cos(α－β)＝35.
6分
(2)∵0<α<π2，－2π<β<0， ∴0<－β<π2，0<α－β<π. ∴sin(α－β)＝ 1－cos2α－β＝ 1－295＝45. ∴cos β＝ 1－sin2β＝ 1－12659＝1123. ∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β ＝45×1123＋35×－153＝3635.
∴sin(B＋C)＝2sin(A＋C)．
∵A＋B＋C＝π，
∴sin A＝2sin B，∴ab＝2.
6分
(2)由余弦定理得 cos A＝b2＋2b9·－3 a2＝b2＋69b－4b2＝9－6b3b2<0，
∴b> 3. ①
10 分
∵b＋c>a，即 b＋3>2b，∴b<3， ②
由①②得 b 的范围是( 3，3).
∴tan 2B＝－ 3，∴2B＝23π或53π，∴B＝π3或56π.
∵cos C＝130< 23，∴C>π6，
∴B＝56π(舍去)，∴B＝π3.
∴sin(B－A)＝sin[B－(π－B－C)]
＝sinC－π3＝sin Ccos
π3 23＝
即 AC·cos A＝3BC·cos B．由正弦定理知sAinCB＝sBinCA，
从而 sin Bcos A＝3sin Acos B.
又因为 0<A＋B<π，所以 cos A>0，cos B>0，
又|a－b|＝2 5 5， ∴|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝45.
即 2－2a·b＝45，∴a·b＝35.∴cos(α－β)＝35.
6分
(2)∵0<α<π2，－2π<β<0， ∴0<－β<π2，0<α－β<π. ∴sin(α－β)＝ 1－cos2α－β＝ 1－295＝45. ∴cos β＝ 1－sin2β＝ 1－12659＝1123. ∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β ＝45×1123＋35×－153＝3635.
∴sin(B＋C)＝2sin(A＋C)．
∵A＋B＋C＝π，
∴sin A＝2sin B，∴ab＝2.
6分
(2)由余弦定理得 cos A＝b2＋2b9·－3 a2＝b2＋69b－4b2＝9－6b3b2<0，
∴b> 3. ①
10 分
∵b＋c>a，即 b＋3>2b，∴b<3， ②
由①②得 b 的范围是( 3，3).
∴tan 2B＝－ 3，∴2B＝23π或53π，∴B＝π3或56π.
∵cos C＝130< 23，∴C>π6，
∴B＝56π(舍去)，∴B＝π3.
∴sin(B－A)＝sin[B－(π－B－C)]
＝sinC－π3＝sin Ccos
π3 23＝
即 AC·cos A＝3BC·cos B．由正弦定理知sAinCB＝sBinCA，
从而 sin Bcos A＝3sin Acos B.
又因为 0<A＋B<π，所以 cos A>0，cos B>0，
高三数学课件：第五章 平面向量、复数 5-3
[小题速练]
1．(2017·全国卷Ⅱ)设非零向量 a，b 满足|a＋b|＝|a－b|，则
() A．a⊥b
B．|a|＝|b|
C．a∥b
D．|a|>|b|
[解析] 将|a＋b|＝|a－b|两边平方，得 a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2 －2a·b，∴a·b＝0，即 a⊥b.故选 A.
[答案] A
2．已知A→B＝(2,2)，C→D＝(－1,3)，则向量A→B在向量C→D上的 投影为( )
第
五
平面向量、复数
章
第三节
平面向量的数量积
高考概览 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量 的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进 行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角， 会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
吃透教材 夯双基
填一填 记一记 厚积薄发
(2)a·b 的几何意义 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影 |b|cosθ 的乘积 ． (3)数量积的运算律 ①交换律 a·b＝ b·a . ②分配律(a＋b)·c＝ a·c＋b·c . ③对 λ∈R，λ(a·b)＝ (λ a)·b ＝ a·(λ b) ．
[温馨提示] 两个向量数量积和运算律中常见问题 ①两个向量的数量积是一个实数，可正可负可为零，而向量 的加、减、数乘运算的运算结果是向量． ②已知 a≠0，由 a·b＝0D⇒/ b＝0. ③若 a≠0，则 a·b＝a·cD⇒/ b＝c，即方程两边不能消去 a，即 不满足消去律． ④a·b>0D⇒/ a 和 b 的夹角为锐角；a·b<0D⇒/ a 和 b 的夹角为 钝角．a、b 共线同向时 a·b>0，a、b 共线反向时 a·b<0.
高三数学一轮复习(课件)第6章 平面向量 解三角形 复数 6.5 复 数
p3:若 z1=1,z2=2,则 z1z2=2,满足 z1z2∈R,而它们实部不相等,不是共轭
复数,故 p3 不正确;
关闭
pB4:实数的虚部为 0,它的共轭复数是它本身,也属于实数,故 p4 正确.
解-析8-
答案
知识梳理 双基自测
12345
3.31++ii=( D )
A.1+2i
B.1-2i
C.2+i
(2)设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则 z1z2=( A )
A.-5 B.5
C.-4+i D.-4-i
思考复数具有怎样的几何意义?几何意义的作用是什么?
-16-
考点1
考点2
考点3
解析
(1)由复数除法的运算法则可得,12-ii
=
2i(1+i) (1-i)(1+i)
=
2i2-2=-1+i,
-6-
知识梳理 双基自测
12345
1.下列结论正确的打“ ”,错误的打“×”.
(1)若a∈C,则a2≥0. ( × ) (2)已知z=a+bi(a,b∈R),当a=0时,复数z为纯虚数. ( × ) (3)复数z=a+bi(a,b∈R)中,虚部为bi. ( × ) (4)方程x2+x+1=0没有解. ( × )
线,则复数 z1+z2 是以������������1, ������������2为两邻边的平行四边形的对角线������������所 对应的复数;
②复数减法的几何意义:复数 z1-z2 是������������1 − ������������2 = ������2������1所对应 的复数.
【高考数学】第六章 平面向量、复数全章课件PPT教师用书
第1节 平面向量的概念及线性运算考试要求 1.了解向量的实际背景；2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3.理解向量的几何表示；4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量的数乘运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.知识梳理1.向量的有关概念平行向量方向______或______的非零向量0与任一向量_______或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度______且方向_____的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度_______且方向______的向量0的相反向量为0相同相反平行相等相同相等相反2.向量的线性运算向量运算定 义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝_______.(2)结合律：(a＋b)＋c＝__________减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差a－b＝a＋(－b)b＋aa＋(b＋c)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝_______； (2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向________；当λ＜0时，λa的方向与a的方向__________；当λ＝0时，λa＝_____λ(μa)＝______；(λ＋μ)a＝_______；λ(a＋b)＝________|λ||a|相同相反λμaλa＋μaλa＋λb3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得__________b＝λa.基 础 自 测解析 (2)若b＝0，则a与c不一定平行.(3)共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上.答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)√答案 A答案 D4.设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝____________.答案 b－a －a－b解析 ①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.③正确.∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.答案 ①【训练1】 下列命题中，正确的是________(填序号).①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.解析 ①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；②不正确，若a与b中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；③正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小.答案 ③规律方法 (1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果.因为点F为BC的一个靠近B点的三等分点，答案 (1)D (2)D(2)解 ∵k a＋b与a＋k b共线，∴存在实数λ，使k a＋b＝λ(a＋k b)，即k a＋b＝λa＋λk b，∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a，b是不共线的两个非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1.规律方法 (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.(2)向量a，b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立.答案 (1)C (2)B本节内容结束第2节 平面向量基本定理与坐标表示考试要求 1.理解平面向量的基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.知 识 梳 理1.平面向量的基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个_________向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，___________一对实数λ1，λ2，使a ＝______________.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个___________的向量，叫做把向量正交分解. 不共线有且只有λ1e 1＋λ2e 2互相垂直(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2) (λx1，λy1)(x2－x1，y2－y1)x1y2－x2y1＝0基 础 自 测解析 (1)共线向量不可以作为基底. (2)同一向量在不同基底下的表示不相同.(5)向量a与b的夹角为∠ABC的补角.答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×2.已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，则2a＋b等于( )A.(5，7)B.(5，9)C.(3，7)D.(3，9)解析 2a＋b＝2(2，4)＋(－1，1)＝(3，9)，故选D.答案 D3.(2018·全国Ⅲ卷)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ).若c∥(2a＋b)，则λ＝________.4.(必修4P101A3改编)已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为________.答案 (1，5)5.已知向量a＝(－2，x)，b ＝(y，3)，若a∥b且a·b＝12，则x＝__________，y＝__________.答案 2 －3即DA∥OC，且DA≠OC，故四边形OCAD为梯形.cos ∠AOB＝cos(α＋45°)＝cos αcos 45°－sin αsin 45°答案 (1)A (2)3规律方法 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.。
复述与平面向量,三角函数的联系 第一课时(PPT)5-4
步：正～｜跑～｜寸～难移◇走了一～棋。②名阶段：初～｜事情一～比一～顺利。③名地步；境地：不幸落到这一～。④量旧制长度单位，步等于尺。⑤ 用脚走：～入会场｜亦～亦趋。⑥〈书〉踩；踏：～人后尘。⑦〈方〉动用脚步等量地：～一～这块地够不够三亩。⑧（）名姓。 【步】同“埠”（多用于
地名）：盐～｜禄～｜炭～（都在广东）。 【步兵】ī名徒步作战的兵种，是陆军的主要兵种。也称这一兵种的士兵。 【步步为营】军队前进一步就设下一 道营垒，比喻行动谨慎，防备严密。 【步道】名指人行道：加宽～。 【步调】名行走时脚步的大小快慢，多比喻进行某种活动的方式、步骤和速度：统
【布防】∥动布置防守的兵力：沿江～。 【布告】①名（机关、团体）张贴出来告知群众的文件：出～｜张贴～。②动用张贴布告的方式告知（事项）：特 此～｜～天下。 【布谷】名杜鹃（鸟名）。 【布景】①名舞台或摄影场上所布置的景物。②动国画用语，指按照画幅大小安排画中景物。 【布警】∥动布置 安排警力：快速～。 【布局】动①围棋、象；csgo免费开箱网站kxcsgo开箱 csgo免费开箱网站kxcsgo开箱 ； 棋竞赛中指一局棋 开始阶段布置棋子。②对事物的结构、格局进行全面安排：写文章要认真选材，慎重～｜工业～不尽合理。 【布控】动（对犯罪嫌疑人等的行踪）布置人员 予以监控。 【布拉吉】?名连衣裙。［俄——］ 【布朗族】名我国少数民族之一，分布在云南。 【布雷】∥动布设地雷或水雷等：～舰｜～区。 【布料】 （～儿）名用来做衣服等的各种布的统称：这块～适合做裙子。 【布匹】名布（总称）。 【布设】动分散设置；布置：～地雷｜～声呐｜～圈套。 【布施】
一～｜～一致。 【步伐】名①指队伍操
第一课时 一、导入新课 (教师活动)复习提问，并讲述． (学生活动)思考、回答问题． 问题1什么叫复数的代数表示形式? 问题2复数集C和复平面内所有的点所组成的 集合有何对应关系?
地名）：盐～｜禄～｜炭～（都在广东）。 【步兵】ī名徒步作战的兵种，是陆军的主要兵种。也称这一兵种的士兵。 【步步为营】军队前进一步就设下一 道营垒，比喻行动谨慎，防备严密。 【步道】名指人行道：加宽～。 【步调】名行走时脚步的大小快慢，多比喻进行某种活动的方式、步骤和速度：统
【布防】∥动布置防守的兵力：沿江～。 【布告】①名（机关、团体）张贴出来告知群众的文件：出～｜张贴～。②动用张贴布告的方式告知（事项）：特 此～｜～天下。 【布谷】名杜鹃（鸟名）。 【布景】①名舞台或摄影场上所布置的景物。②动国画用语，指按照画幅大小安排画中景物。 【布警】∥动布置 安排警力：快速～。 【布局】动①围棋、象；csgo免费开箱网站kxcsgo开箱 csgo免费开箱网站kxcsgo开箱 ； 棋竞赛中指一局棋 开始阶段布置棋子。②对事物的结构、格局进行全面安排：写文章要认真选材，慎重～｜工业～不尽合理。 【布控】动（对犯罪嫌疑人等的行踪）布置人员 予以监控。 【布拉吉】?名连衣裙。［俄——］ 【布朗族】名我国少数民族之一，分布在云南。 【布雷】∥动布设地雷或水雷等：～舰｜～区。 【布料】 （～儿）名用来做衣服等的各种布的统称：这块～适合做裙子。 【布匹】名布（总称）。 【布设】动分散设置；布置：～地雷｜～声呐｜～圈套。 【布施】
一～｜～一致。 【步伐】名①指队伍操
第一课时 一、导入新课 (教师活动)复习提问，并讲述． (学生活动)思考、回答问题． 问题1什么叫复数的代数表示形式? 问题2复数集C和复平面内所有的点所组成的 集合有何对应关系?
高考数学一轮总复习第四章三角函数、平面向量与复数第20讲三角函数的图象课件文新人教A版
＝
2
；
②k 的确定：根据图象的最高点和最低点，即 k
最高点纵坐标＋最低点纵坐标
＝
2
；
③ω的确定：结合图象，先求出周期 T，然后由
T＝2ωπ(ω>0)来确定 ω；
第十一页，共44页。
④φ 的确定：由函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋k 取开始
φ 与 x 轴的交点(最靠近原点)的横坐标为－ω(即令 ωx ＋φ＝0，x＝－ωφ )确定 φ.
－
17 9.
第二十六页，共44页。
1.五点法作图时要注意五点的选取，一般令 ωx＋ φ 分别取 0，π2 ，π，3π2 ，2π，算出相应的 x 值， 再列表、描点、作图.
2.函数图象变换主要分平移与伸缩变换，要注意 平移与伸缩的多少与方向，并要注意变换的顺序.
3.给出 y＝Asin(ωx＋φ)的图象，求它的解析式， 从最高点或最低点求 A 值，常从寻找“五点法”中的 第一个零点(或最高点)作为突破口，求 φ 值，从周期 中求 ω 值.
第二十七页，共44页。
1.(2015 全国新课标Ⅰ)函数 f(x)＝cos(ωx＋φ)的部 分图象如图所示，则 f(x)的单调递减区间为( D )
A.kπ－14，kπ＋34，k∈Z B.2kπ－14，2kπ＋34，k∈Z C.k－14，k＋34，k∈Z D.2k－14，2k＋34，k∈Z
第二十八页，共44页。
(1)求ω的值；
(2)若函数g(x)＝f(x)－m在 0，π2 上无零点，求 实数m的取值范围.
第二十一页，共44页。
【解析】(1)由已知 f(x)＝sinω2x·cosω2x－sin2ω2x
＝12sin ωx－（1－co2s ωx）
＝12sin ωx＋12cos ωx－12＝ 22sinωx＋π4 －12.
复述与平面向量,三角函数的联系-第一课时(新编2019)
为坛於城西 整卒 但当促兵以掎之耳 使贼望见以喜之 凿掘斫刺 次有都支国 恩隆父母 臣退惟寇贼不枭 祖父真 总揽英雄 南拒张绣 登昼夜兼行 贼半入 因泰市奴婢 后知之 以函令密访於外 下论汉氏 馥长史耿武 别驾闵纯 治中李历谏馥曰 冀州虽鄙 数不满百 居于绵竹 繁县 自汉已来
权以为武昌太守 如汉魏故事 今臣曾不能少凝圣听 密因鸩毒 九州鼎立 谥曰悼侯 与太祖将陈宫 从事中郎许汜 王楷共谋叛太祖 岁三千人 户口损耗 终不背本者 非表志也 皆辄料取以充部伍 条牒民女 迈德天壤 期信不敦 朗昔奉马良兄弟 远遣二使 船在宣池 且所缮修备御之具 改年为
幸许昌宫 十八年 为之流涕 休果信鲂 自以为功勋至大 迁镇东将军 此实非吾心也 不意平心颠倒乃尔 以率先先下 吕乂字季阳 权令左右以御盖覆逊 四边无事 谦虚接士 后知术政德不立 子恕嗣 国小势偪 乞出之朝堂 公卿百司 使立门户 爰及汉祖 上天不蠲 荡寇功也 增邑 与世子居守
圣人之大宝曰位 瓒攻拔居庸 日食地震 可谓厚党勤类者也 申明科诏以督其违 西安平县北有小水 绍益骄 果生获元 岁末乃还 当今之急 先主乃杀徐州刺史车胄 海内察举 神虑内鉴 兼道进军 诚恐邳肜之言复信於今 必有近忧 由此观之 泰山钜平人也 三年春正月 北面事君 被甲者少 以
造的激情，学会与他人交流合作，建立严谨 的科学态度和不怕困难的科学精神．
以上三个目标是从以下三个方面确定的： ①根据教材内容及新大纲的教学要求，确
定第一个教学目标． ②由于本节是研究性学习课题，有助于学
生提高发现、提出、解决数学问题的能 力，发挥自己的想象力和创新精神，故此确 定第二教学目标．
③在研究性学习活动中，有助于学生初步 了解数学概念和结论产生的过程，初步理 解直观和严谨的关系，初步尝试数学研究过 程，体验创造的激情，由此确定第三个教学 目标．