12 稳恒电流和稳恒电场

∫s
v v j ⋅ d s = 0 （稳恒电流方程或稳恒电流条件）
所以，稳恒电流线不可能在任何地方中断，它们永远是闭合线，这就是稳恒电流的一个重要特征， 称为稳恒电流的闭合性。
§12.2 电阻
一、 电阻
欧姆定律
1． 电阻的定义：导体两端的电压 U 与导体中电流强度 I 的比值。
R=
U I
实验证明：一段导体中的电流 I 与其两端的电势差成正比，即
v v v 金属中的电流密度 j 与电场强度 E 有关。如图，长为 dl 的柱体元的端电压为 dU，电流密度 j 与
端面 dS 垂直，由欧姆定律知，通过柱体元端面 dS 的电流为
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第 4 篇 电磁学
第 12 章
稳恒电流和稳恒电场
指导教师：谭毅
dI =
dU R
dU dl
ds
dl 其中 R 为柱体元的电阻， R = ρ ds
每个电子电量为 e，则：
Δq ΔI = = nv d eΔS Δt ΔI j= = nevd ΔS
v v l = v ⋅ Δt
ΔS
金属导体中的电流和电流密度均与自由电子数密度、电子的漂移速率成正比。 上式对一般导体、半导体都适用，只须把 e 换成载流子电量 q，把电子的漂移速率换成载流子的
v v 平均定向运动速率即可。速度 v d 一般很小，可以参照课本 P287 例 12.1， v d = 4.9 × 10 −4 m/s 。
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指导教师：谭毅
§12.4
一、电源
电动势
1、电源：能够提供非静电力的装置。在电源内部，非静电力把正电荷从负极搬运到正极，克服
静电力，把其它形式的能量转化为电能。
2、非静电力：
要形成稳定电流，就必须保证电荷分布不因电荷的定向移动而改 变。如图，这就要求从 A 经 C 到 B 的“电荷”全部返回 A，让电流线 闭合起来。这一过程不能靠静电力来完成，故必须存在一种本质上不 同于静电力的作用力，它能使“正电荷”反抗静电力的作用，从低电 势向高电势运动，把这种作用力称为非静电起源的力，简称非静电力。
可得 dI =
v j
ρ
1 dU ⋅ ds dI 1 dU ， ，又有 j = dI ， E = dU ，则 j = 1 E = σE = dl ds ds ρ dl dl ρ
电流密度 j 与电场强度 E 方向相同，上式可写为矢量形式：
v v v j = E ρ = σE
v
v
v v 这就是欧姆定律得微分形式，它表明导体中任一点的电流密度 j 与电场强度 E 成正比，两者方向
筒中的径向电流。 【分析】法一：以 r、r+dr 为半径做圆柱面，圆柱侧面积为 2πrL，两小柱面间电阻
dR = ρ
径向电流：
dr dr =ρ S 2πrL
I= U U = R ρ R ln 2 2πL R1
R2 dr R2 ρ ∴R = ρ ∫R1 r = 2πL ln R1 2πL
R1
R2
L
法二：由对称性，同一圆柱面上电流密度大小相同，且均沿径向，所以
零电阻现象：某些金属在某特定温度下，电阻突变为零的现象。 超导体的转变温度：导体或绝缘体电阻变为零的温度，TC。 超导体：在一定温度下能产生零电阻现象的物体叫超导体。 最早是在 1911 年由荷兰物理学家昂尼斯发现，他用液氦冷却汞，当温度下降到 4.2K 时，水银的 电阻完全消失，这种现象称为超导电性，此温度称为临界温度。根据临界温度的不同，超导材料可以 被分为：高温超导材料和低温超导材料。 高温超导体：TC>77K； 三、 欧姆定律的微分形式 1987 年 美国朱经武 中国赵忠贤 98K。
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指导教师：谭毅
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电流的连续性方程
§12.1 电流密度
一、 电流 电流密度
1、电流： 电流：大量电荷的定向运动。 电荷的携带者：自由电子、质子、正负离子——载流子。 电流的方向：正电荷从高电势向低电势移动的方向规定为电流的方向。 注意：导体中自由电子由低电势向高电势方向运动，即与电流方向相反。 电流 I：通过截面 S 的电荷随时间的变化率，
二、
电流的连续性方程
根据电荷守恒定律， 流出闭合曲面 S 的电流应等于 S 内单位时间电荷的减少量，即：
∫s
v dq v （电流的连续性方程） j ⋅ ds = − dt
电流的连续性方程是电荷守恒定律在电流场中的数学表述， 是电流场的 一个基本方程。电流的连续性方程表明，电流线始于正电荷减少的地方，终止于正电荷增加的地方。 2、稳恒电流的闭合性： ① 稳恒电流：电流的大小和方向都不随时间变化。即要求电荷的分布不随时间变化。 即：
I=
dq dt
单位：安（培）A
A， 1A = 1C ⋅ s −1 ，常用辅助单位有 mA 和μ 1μA = 10 −3 mA = 10 −6 μA 当导体中电流不随时间变化时，这种电流叫恒定电流。 2、 电流密度 （1）电流线：在大块的导体中，电流一般不均匀，可用电流线来描述各处电流的方向和大小。 （2）电流密度：导体中任意点的电流密度 j 的方向为该点正电荷的运动方向， j 的大小等于单 位时间内，通过该点附近且垂直于正电荷运动方向的单位面积内的电荷。
即在开路时，电源的端电压等于电源的电动势。 四、电源的输出功率
1．电源的输出功率：
P = IU 端＝Iε − I 2 r
2．最大功率匹配：
⎛ ε ⎞ P = UI = I 2 R = ⎜ ⎟ ⋅R ⎝R+r⎠
dP r−R =ε2 ⋅ =0 dR (R + r)3
当 r=R 则 Pmax
2
=
ε2
4r
- 40 -
R =ρ l s
v
ρ 为电阻率，与材料有关，单位 Ω ⋅ m ，对应物理量电导率 σ，有 σ=1/ρ。 纯金属电阻的电阻率约为 10-8Ω·m～10-7Ω·m，合金的电阻率约为 10-6Ω·m，半导体的电阻率约为 10-5Ω·m～107Ω·m，绝缘体的电阻率约为 107Ω·m 以上。 3．电阻率与温度的关系式：
表示非静电电场强度，W 表示非静电力所作的功，ε 表示电源电动势，则电动势
ε=
v v W = ∫ E k ⋅ dl q
v 外电路导线中，只存在静电场，没有非静电场， Ek 只存在于电源内部，则
∫
外
v v E k ⋅ dl = 0
ε = ∫ E k ⋅ dl = ∫ E ⋅ dl
l 内
v
v
v
v
电源电动势大小等于把单位正电荷从负极经电源内部移到正极非静电力的功。 电动势的方向：电源内部电势升高的方向，即从负极经电源内部指向正极的方向。 电源电动势取决于电源本身的性质，一定电源具有一定电动势而与外路无关。 电源也有内阻，用 Ri 表示，一般电源可用下图表示： 一般常用电路中铜导线电阻可以忽略不计，而常用电池内阻为 1Ω。
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ε
正极
Ri
负极
电源
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三、全电路欧姆定律 前面讨论了一段均匀电路中的欧姆定律，但实际常用的是包含电源在内的各种电路。考虑以下最 简单的电路。 各点电流 I 相同，电流流向为顺时针方向，从 A 点出发，顺时针绕闭合回路一周，电势总和应为 零，
v 作用于单位正电荷的非静电力，称为非静电场的场强， E K 。
仅在静电场作用下形成的电流是一种不稳定电流，其电流线不闭 合。 原因：静电力作用下，正电荷只能从高电势向低电势运动，负电荷只能从低电势向高电势运动， 不能向相反方向运动。如此，随着电荷的移动，会使两端的电势差减小。 二、电动势
v 定义：单位正电荷绕闭合回路一周时，非静电力所作的功。它反映了电源转化能量的能力。用 Ek
相同，大小成正比。
v v 一般来说，电场强度 E<102V/m 时，电阻率 ρ 可视为常数，此时 j 与 E 为线性关系，当电场强度
v v v 3 E>10 ～104V/m 时，电阻率 ρ 要受 E 的影响，这时， j 与 E 之间就是非线形关系了。
例
有一内、外径分别为 R1、R2 的金属圆筒，长 L，电阻率 ρ，若圆筒内外的电势差为 U，求圆
I =
∫
S
v v j ⋅ d S = 2π jLr ⇒ j = I 2π Lr
ρI 2 π Lr
r
电场强度： E = ρ j =
dr
R v R v ∴内外电势差： U = 2 E ⋅ dr = ρI 2 1 dr = ρI ln R2 ∫R1 ∫R1 r 2πL 2πL R1
故：
I=
U U = R ρ R ln 2 2πL R1
ρ 2 = ρ 1[1 + α (T2 − T1 )]
式中 ρ2 和 ρ1 分别为温度 T2 和 T1 时的电阻率，α 叫电阻的温度系数，单位是 K-1。 某些合金电阻的电阻温度系数非常小，其电阻几乎不随温度变化，故可用来做标准电阻；而另外 一些电阻的电阻温度系数非常大，其电阻对温度的变化非常灵敏，可以用来做电阻温度计、温度传感 器。 二、 超导体
v
v
v v v v 在 P 点选面元 Δs ，其法线为 en 与电流方向（即电流密度 j 的方向）夹角 α，△t 时间内通过 Δs
的电荷为+△Q，则
j= ΔI ΔQ = Δt ⋅ ΔS ⋅ cos α ΔS ⋅ cos α
+ ΔQ
v Δs
P
v en v α j
v v ΔS ⋅ cos α 为面元 Δs 在垂直于 j 的方向上的投影，可得 v v ΔI = j ⋅ ΔS ⋅ cos α = j ⋅ Δs