确定二次函数的表达式l
2
0=a(5-3)2+k
解得：a= 1 k=-4 ∴ 二次函数的表达式: y= (x-3)2-4 即 y =x2-6x+5 已知顶点坐标（h,k）或对称轴方程x=h 时 优先选用顶点式。
AB AB 6 CB 3, OC 0.9 2 2 2 B (3,0.9)代入y ax 中,0.9 a 3 a 0.1因此这段抛物线对应的二次 函数表示式为y 0.1x 2 (3 x 3)
图 26.2.6
〔议一议〕
通过上述问题的解决,您能体会到求二次函数 （待定系数法） 表达式采用的一般方法是什么?
a b c 2 c 3 a b c 0
解得：
a 2 b 1 c 3
2
∴二次函数解析式为
y 2 x
x3
y=a(x-x1)(x-x2)(a ≠0)
一、教学目标：
1.经历确定二次函数表达式的过程,体会求二次函
数表达式的思想方法,培养数学应用意识. 2.会利用待定系数法求二次函数的表达式. 3.灵活应用二次函数的三种形式:一般式，顶点式， 交点式，以便在用待定系数法求解二次函数表达 式时减少未知数的个数，简化运算过程。
二、重点和难点：
根据问题灵活选用二次函数表达式的不同形式， 既是重点又是难点。
例1.若二次函数图象过A(2,-4),B(0,2), C(-1,2)三点 求此函数的解析式。
解：设二次函数表达式为y=ax +bx+c
∵ 图象过B(0,2)
∴ c=2 ∴ y=ax +bx+2
2 2
∵ 图象过A(2,-4),C(-1,2)两点
∴ -4=4a+2b+2 2=a-b+2 解得 a=-1,b=-1 ∴ 函数的解析式为：
y=-x -x+2
2
例2. 已知一个二次函数的图象经过点(4,-3)， 并且当x=3时有最大值4，试确定这个二次 函数的解析式。 解法1：（利用一般式） 设二次函数解析式为：y=ax2+bx+c (a≠0) 由题意知 16a+4b+c = -3 -b/2a = 3 (4ac-b2)/4a = 4 解方程组得： a= -7 b= 42 c= -59 ∴ 二次函数的解析式为：y= -7x2+42x-59
〔做一做〕
如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线 （曲 线AOB） 的薄壳屋顶．它的拱宽AB为6m，拱高CO为 0.9m． 试建立适当的直角坐标系,并写出这段抛物线所对应的二 次函数表达式? 解:以线段AB的中垂线为y轴,以过点o且 与y轴垂直的直线为x轴,建立直角坐标系
设它的函数表达式为: y=ax²(a≠0)
课本Ｐ66《随堂练习》１﹑２题 《 习题2．10》1、2题
【能力挑战】
1.已知平面直角坐标系两点A（1，2）B（0，3）点C在X 轴上，其横坐标满足方程 ( x 1) 2 4 2 2 ①求点C的坐标 ②若一个二次函数的图像经过A，B，C三点， 求这个二次函数表达式。 ２．二次函数y=x2+px+q 的图像与X轴正半轴交于 M,N两点，与Y轴正向交于R,且 OM∶MN∶OR=1∶2∶3( O为坐标原点) ,求二次函 Y 数表达式.
你能否总结出上述解题的一般步骤?
1.若无坐标系,首先应建立适当的直角坐标系;
2.设抛物线的表达式;
3.写出相关点的坐标;
4.列方程(或方程组);
5.解方程或方程组,求待定系数;
6.写出函数的表达式;
归纳：
在确定二次函数的表达式时 （1）若已知图像上三个非特殊点，常设一般式 ； （2）若已知二次函数顶点坐标或对称轴，常设顶 点式 较为简便； （3）若已知二次函数与x轴的两个交点，常设交 点式较为简单。 练一练
R
M NXo1 解:①C(３,０)或C(-1,0) 2 ②设：二次函数解析式为： ax y
a b c 2 当C(3,0)时 c 3 9a 3b c 0
a 0 解得： b 1 c 3
bx c(a 0)
∵a≠0∴当C（3，0）时二次函数不存在 当C(-1,0)时
标，选用交点式比较简便
其它解法：（一般式）
设二次函数解析式为y=ax2+bx+c
∵二次函数图象过点(1,4),(-1,0)和(3,0) ∴ a+b+c=4 ① a-b+c=0 ② 9a+3b+c=0 ③ 解得： a= -1 b=2 c=3 ∴ 函数的解析式为：y= -x2+2x+3
（顶点式） 解： ∵ 抛物线与x轴相交两点(-1,0)和(3,0) ， ∴ (-1+3)/2 = 1 ∴ 点(1,4)为抛物线的顶点 2 可设二次函数解析式为： y=a(x-1) +4 ∵ 抛物线过点(-1, 0) 2 ∴ 0=a(-1-1) +4 得 a= -1 ∴ 函数的解析式为： 2 y= -(x-1) +4
解法2：（利用顶点式） ∵ 当x=3时，有最大值4∴ 顶点坐标为 (3,4) 设二次函数解析式为： y=a(x-3)2+4 ∵ 函数图象过点（4，- 3） ∴ a(4 - 3)2 +4 = - 3 ∴ a= -7 ∴ 二次函数的解析式为： y= -7(x-3)2+4
例3. 二次函数y=ax +bx+c的图象过点A(0,5), B(5,0)两点，它的对称轴为直线x=3， 求这个二次函数的解析式。
九年级数学第二章 二次函数 确定二次函数的表达式
复习提问：
1.二次函数表达式的一般形式是什么?
y=ax² +bx+c (a,b,c为常数,a ≠0)
2.二次函数表达式的顶点式是什么?
y=a(x-h)2+k (a ≠0)
3.若二次函数y=ax² +bx+c(a≠0)与x轴两交点为 (x1,0),(x2,0)则其函数表达式可以表示成什么形 式?
小结:
例４．已知二次函数图象经过点 (1,4),(-1,0)和 (3,0)三点，求二次函数的表达式。 解：（交点式） ∵二次函数图象经过点 (3,0),(-1,0) ∴设二次函数表达式为 ：y=a(x-3)(x+1) ∵ 函数图象过点(1,4) ∴ 4 =a (1-3)(1+1) 得 a= -1 ∴ 函数的表达式为： y= -(x+1)(x-3) = -x2+2x+3 知道抛物线与x轴的两个交点的坐
确定二次的函数的表达式
确定二次的函数的表达式知识点1 用一般式确定二次函数表达式1.已知抛物线上的三点坐标，可以设函数解析式为)0(2≠++=a c bx ax y ，代入后得到一个三元一次方程，解之即可得到c b a ,,的值，从而求出函数解析式，这种解析式叫一般式.2.用待定系数法确定二次函数表达式的一般步骤：步骤一：设含有待定系数的二次函数表达式y =ax 2+bx +c (a ≠0)；步骤二：将题设中满足二次函数图象的点代入所设表达式，得到关于待定系数a 、b 、c 的方程组；步骤三：解这个方程组，得到待定系数a 、b 、c 的值； 步骤四：将待定系数的值代入表达式，得到所求函数表达式.例1.已知二次函数的图象经过点(0,3)，(−3,0)，(2,−5)，且与x 轴交于A 、B 两点。
(1)试确定此二次函数的解析式； (2)求出抛物线的顶点C 的坐标；(3)判断点P (−2,3)是否在这个二次函数的图象上?如果在，请求出△P AB 的面积；如果不在，试说明理由。
例2.抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过(0，0)，(12，0)，(6，3)三点，则此抛物线的表达式是 .知识点2 用顶点式确定二次函数表达式已知二次函数的顶点坐标为（h ,k ）的话，可以设成顶点式：y =a (x -h )2+k （a 、h 、k 为常数且a ≠0）然后再找一点带入二次函数的顶点式，即可求得a 的值，最后回代到顶点式即可（提示：最后一般要把二次函数的解析式化成一般式）。
例1.已知抛物线y =ax 2+bx +c 的图象顶点为(−2,3)，且过(−1,5)，则抛物线的表达式为______. 例2.已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c ，当x =2时，y 有最大值4，且过(1，2)点，此抛物线的表达式为 .例3.有一个二次函数，当x ＜-1时，y 随x 的增大而增大；当x ＞-1时，y 随x 的增大而减小；且当x =-1时，y =3，它的图象经过点（2，0），请用顶点式求这个二次函数的表达式.例4.由表格中的信息可知，若设y ＝ax 2＋bx ＋c ,则下列y 与x 之间的函数表达式正确的（ ）A . y ＝x 2－x ＋4B . y ＝x 2－x ＋6 C . y ＝x 2＋x ＋4 D . y ＝x 2＋x ＋6例5. 已知函数抛物线的顶点坐标为(-3，-2)，且过点(1，6)，求此抛物线的解析式。
确定二次函数的表达式课件
跟踪练习1．已知抛物线的顶点为(1，-3)，且与y 轴交于点(0，1)，求这个二次函数的解析式
解:因为抛物线的顶点为(1，-3)，所以设二此函数的
关系式为y＝a(x－1)2－3，又由于抛物线与y轴交于
点(0，1)，可以得到
1＝a(0－1)2－3
解得
a＝4
所以，所求二次函数的关系式是y＝4(x－1)2－3．
1.通过知识回顾,交流思考,明确待定系数法求二次 函数解析式的方法和步骤; 2.通过例题的学习和跟踪练习的训练,熟练得根据 条件设顶点式.交点式.一般式(恰当的情势)求二次 函数解析式
3.通过一题多变,一题多解等变式训练,培养发散思 维
4.通过典例学习,跟踪训练,综合运用和拓展提升等 环节,学会用数形结合,方程,转化,优选的数学思想 解决数学问题.
1、用待定系数法确定二次函数的关系式的 基本步骤是什么？
设
代
解
写
2、如何选择设法？
①已知三点，设y=ax2+bx+c ②已知顶点，设y=a(x-h)2+k
3、求待定系数时需要几个条件？ 几个待定系数需要几个点
4、体会用到了什么样的数学思想？ ①特殊到一般 ②方程 ③ 数形结合
综合应用
一题多解
例4 已知抛物线的顶点为A(-1，-4)，又知它y与x 轴 的两个交点B、C间的距离为4，求其解析式。
一般式： 例3 求经过有三点 A（-2，-3），B（1，0）， C（2，5）的二次函数的解析式.
三个点设一般式 代入有先后
y
·5 ·C
·
·
·
·
··
-3 –2
–·1 o
B·
1
·
2
x
二次函数的表达式
y随x的增大而增大的是( C )
2.（莆田·中考）某同学用描点法画
y=ax2+bx+c(a≠0)的图象时，列出如下表格:
x y 0 3 1 0 2 2 3 0 4 3
经检查，发现只有一处数据计算错误，请你写出这 个二次函数的解析式 y=x24x+3 .
3.（潼南·中考）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形， 点C的坐标为（4,0），∠AOC= 60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发， 沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l与菱形OABC 的两边分别交于点M,N（点M在点N的上方），若△OMN 的面积为S，直线l的运动时间为t 秒（0≤t≤4）,则 能大致反映S与t的函数关系的图象是(
y=2x2-3x+5.
y 【例2】已知抛物线的顶点为
-1
(-1，-3),与y轴交点为
(0，-5),求抛物线的解析式. 解析：设所求的二次函数为y=a(x＋1)2-3, 由点( 0,-5 )在抛物线上得： a-3=-5, 得a=-2， 故所求的抛物线解析式为y=－2(x＋1)2-3.
o
-3
x
【规律方法】1.求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是 求出待定系数a, b, c的值，由已知条件（如二次函数图象
【例题】
【例1】已知一个二次函数的图象过（－1，10），（1， 4），（2，7）三点，求这个函数的解析式.
解析：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c，
a=2, a-b+c=10， 由条件得： a+b+c=4， 解方程组得： b=-3, c=5. 4a+2b+c=7，
因此，所求二次函数的解析式是：
确定二次函数的表达式(经典)
01
解:以线段AB的中垂线为y轴,以过点o且与y轴垂直的直线为x轴,建立直角坐标系
02
设它的函数表达式为: y=ax² (a≠0)
解：设二次函数表达式为y=ax2+bx+c ∵ 图象过B(0,2) ∴ c=2 ∴ y=ax2+bx+2 ∵ 图象过A(2,-4),C(-1,2)两点 ∴ -4=4a+2b+2 2=a-b+2 解得 a=-1,b=-1 ∴ 函数的解析式为： y=-x2-x+2
03
谈谈你的收获
单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了演示发布的良好效果，请言简意赅地阐述您的观点。
01
〔议一议〕 通过上述问题的解决,您能体会到求二次函数表达式采用的一般方法是什么?
（待定系数法）
你能否总结出上述解题的一般步骤?
1.若无坐标系,首先应建立适当的直角坐标系; 2.设抛物线的表达式; 3.写出相关点的坐标; 4.列方程(或方程组); 5.解方程或方程组,求待定系数; 6.写出函数的表达式;
单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了演示发布的良好效果，请言简意赅地阐述您的观点。您的内容已经简明扼要，字字珠玑，但信息却千丝万缕、错综复杂，需要用更多的文字来表述；但请您尽可能提炼思想的精髓，否则容易造成观者的阅读压力，适得其反。正如我们都希望改变世界，希望给别人带去光明，但更多时候我们只需要播下一颗种子，自然有微风吹拂，雨露滋养。恰如其分地表达观点，往往事半功倍。当您的内容到达这个限度时，或许已经不纯粹作用于演示，极大可能运用于阅读领域；无论是传播观点、知识分享还是汇报工作，内容的详尽固然重要，但请一定注意信息框架的清晰，这样才能使内容层次分明，页面简洁易读。如果您的内容确实非常重要又难以精简，也请使用分段处理，对内容进行简单的梳理和提炼，这样会使逻辑框架相对清晰。
确定二次函数的表达式
【知识总结】1．抛物线c bx ax y ++=2，与x 轴的两个交点)0,(),0,(21x B x A ，则线段AB 的长为：aac b x x AB 4221-=-=． 2．二次函数解析式的三种形式：一般式：c bx ax y ++=2（c b a ,,为常数，0≠a ）交点式：()()21x x x x a y --=（0≠a ，21,x x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标） 顶点式：()k h x a y +-=2（k h a ,,为常数，0≠a ）3．抛物线c bx ax y ++=2与直线b kx y +=的交点的求法就是解方程组 ⎩⎨⎧+=++=bkx y c bx ax y 2的解y x ,的值分别作为交点的横纵坐标．4．已知抛物线c bx ax y ++=2，求其关于x 轴、y 轴、原点对称的抛物线的解析式．（1）抛物线c bx ax y ++=2关于x 轴对称的抛物线的解析式：c bx ax y ---=2（2）抛物线c bx ax y ++=2关于y 轴对称的抛物线的解析式：c bx ax y +-=2（3）抛物线c bx ax y ++=2关于原点对称的抛物线的解析式：c bx ax y -+-=25．c b a ,,符号的确定a 的符号：由开口方向决定：开口向上，0>a ；开口向下，0<a ． a 决定抛物线开口大小：a 越大开口越小，a 越小开口越大；a 相等则形状相同．b 的符号：b 与a 共同决定对称轴的位置，“左同右异”c 的符号：由抛物线与y 轴交点决定：交点在y 轴正半轴0>c ；交点在y 轴负半轴0<c ；抛物线过原点0=c ．且抛物线与y 轴交点坐标为（0，c ）6. 抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的交点个数由ac b 42-决定：⇔>-042ac b 抛物线与x 轴有两个交点；⇔=-042ac b 抛物线与x 轴有一个交点；⇔<-042ac b 抛物线与x 轴有无交点；例1、求解析式（1）二次函数的图象经过点（－3，2），（2，7），（0，－1），求其解析式．（2）已知抛物线的对称轴为直线x=－2，且经过点 （－l ，－1），（－4，0）两点．求抛物线的解析式．（3）已知抛物线与 x 轴交于点（1，0）和(2，0)且过点 (3，4)，求抛物线的解析式．例2、已知抛物线y＝x2－2x－8，（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，且它的顶点为P，求△ABP 的面积．例3、已知二次函数2=-+，求分别满足下列条件的二次函数关系式365y x x（1）图像与抛物线2=-+关于x轴对称；365y x x（2）图像与抛物线2365=-+关于y轴对称；y x x（3）图像与抛物线2y x x=-+关于经过其顶点且平行于x轴的直线l对称。
专题02 确定二次函数的表达式(原卷版)
第二讲确定二次函数的表达式目录必备知识点 (1)考点一顶点式求表达式 (2)考点二两点式求表达式 (3)考点三一般式求表达式 (4)知识导航必备知识点知识点1 二次函数的解析式的常见形式（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）。
（2）顶点式：y=a（x-h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）。
（3）交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）。
知识点2 二次函数与一元二次方程关系（1）对于二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）来说，当y＝0时，就得一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a ≠0）．抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的横坐标，就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根；2、二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴的交点有三种情况（也即一元二次方ax2＋bx＋c ＝0根的情况）①抛物线y＝ax2＋bx＋c （a≠0）的图象与x轴有两个交点（x1，0）（x2，0）当Δ＞0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根x1，x2，②抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴有一个交点，恰好就是抛物线的顶点当＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根③抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴没有交点当Δ＜0时，方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根。
知识点3 待定系数法求二次函数的解析式在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．考点一顶点式求表达式1．二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（）A．y＝x2+2x﹣3B．y＝x2﹣2x﹣3C．y＝﹣x2+2x﹣3D．y＝﹣x2﹣2x+32．一个二次函数图象的顶点坐标是（2，4），且过另一点（0，﹣4），则这个二次函数的解析式为（）A．y＝﹣2（x+2）2+4B．y＝2（x+2）2﹣4C．y＝﹣2（x﹣2）2+4D．y＝2（x﹣2）2﹣43．如图，抛物线与直线交于点A（﹣4，﹣1）和点B（﹣2，3），抛物线顶点为A，直线与y轴交于点C．（1）求抛物线和直线的解析式；（2）若y轴上存在点P使△P AB的面积为9，求点P的坐标．考点二两点式求表达式4．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过点A（3，0）、C（﹣1，0）．（1）求此二次函数的解析式；（2）如图，二次函数的图象与y轴交于点B，二次函数图象的对称轴与直线AB交于点P，则P 点的坐标．5．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y 轴交于点C（0，3），D为抛物线的顶点．（1）求此二次函数的表达式；（2）求△CDB的面积．（3）在其对称轴右侧的抛物线上是否存在一点P，使△PDC是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，已知抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D，使得△DCA的面积最大，若存在，求出点D 的坐标及△DCA面积的最大值；若不存在，请说明理由．考点三一般式求表达式7．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（2，﹣3），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点P，使△PBC的面积是△BCD面积的4倍，若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．8．已知：在直角坐标系中直线y＝﹣x+4与x轴、y轴相交于点A、B，抛物线y＝﹣+bx+c经过点A 和点B．（1）求抛物线的解析式；（2）如果直线AB与抛物线的对称轴相交于点C，求OC的长；（3）P是线段OA上一点，过点P作直线AB的平行线，与y轴相交于点Q，把△OPQ沿直线PQ翻折，点O的对应点是点D，如果点D在抛物线上，求点P的坐标．9．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣1，0），点B（3，0），点C（0，3），连接AC．（1）求二次函数的表达式；（2）点P是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上位于第一象限内的一点，过点P作PQ∥AC，交直线BC于点Q，若PQ＝AC，求点P的坐标．。
北师版九年级数学下册_2.3确定二次函数的表达式
抛物线于点 H，则 yH＝－530×72＋6＝ 3.06>3.所以其中的一侧行车道能并排
行驶宽 2 m、高 3 m 的三辆卡车．
课堂小结
确定二次函数的 表达式
确定二次函 数的表达式
一般式 顶点式 交点式
关键 已知条件的 呈现方式
知2－练
感悟新知
知2－练
(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2 m 的隔 离带)，其中的一侧行车道能否并排行驶宽2 m、高3 m 的三辆卡车(卡车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由.
感悟新知
解：能. 理由如下：
知2－练
如图所示，设 DE 是隔离带的宽，EG 是三辆卡车的宽
度和，则点 G 的坐标是(7，0)．过点 G 作 HG⊥AB，交
4-1. 一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图所示)，拱高6 m，跨 度是20 m，相邻两支柱间的距离均为5 m.
感悟新知
知2－练
(1)将抛物线放在直角坐标系中，并根据所给数据求出抛物 线的函数表达式. 解：(答案不唯一)将抛物线放在 如图所示的直角坐标系中，根 据已知条件，知A，B，C三点 的坐标分别是(－10，0)，(10， 0)，(0，6)．
1
标－2∵为x)－分3+517别(.－x722＜为+172(01xx，4)2+.－则∴2xxl当=，)=Ax－0D=)，+7722D(Cx时12+4+，C－2Bxlx+=有，1(4最－－=－大177 值72xx22+(+，x22－x最x ))72大+，)(值+1(x432，－5 .
2
感悟新知
知2－练
得5a＝5，解得a＝1，
∴y＝x(x－4)＝x2－4x，
北师大九年级数学下 确定二次函数的表达式
2.3 确定二次函数的表达式类型一：顶点和另外一点用顶点式一个二次函数的图象过点〔0，1〕，它的顶点坐标是〔8，9〕，求这个二次函数关系式．练习：抛物线的顶点是〔－1，－2〕，且过点〔1，10〕，求其解析式类型二：图像上任意三点〔现一般有一点在y轴上〕用一般式二次函数的图象过〔0，1〕、〔2，4〕、〔3，10〕三点，求这个二次函数的关系式．练习：抛物线过三点：〔－1，2〕，〔0，1〕，〔2，－7〕．求解析式类型三：图像与x轴两个交点坐标和另外一点坐标，用两根式二次函数的图象过〔-2，0〕、〔4，0〕、〔0，3〕三点，求这个二次函数的关系式．练习：抛物线过三点：〔－1，0〕、〔1，0〕、〔0，3〕．（1）.求这条抛物线所对应的二次函数的关系式；（2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；〔3〕这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？稳固练习：1.二次函数的图象过〔3，0〕、〔2，-3〕二点,且对称轴是x=1，求这个二次函数的关系式．2..二次函数的图象过〔3，-2〕、〔2，-3〕二点,且对称轴是x=1，求这个二次函数的关系式．3.二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C。
假设AC=20,BC=15,∠ACB=90°，试确定这个二次函数的解析式4.一个二次函数当x=8时,函数有最大值9,且图象过点〔0，1〕,求这个二次函数的关系式．小测：1.二次函数y=x2－2x－k的最小值为－5，那么解析式为。
2.假设一抛物线与x轴两个交点间的距离为8，且顶点坐标为〔1, 5〕，那么它们的解析式为。
3.一个二次函数的图象经过点(6,0),且抛物线的顶点是(4,－8)，求它的解析式。
4.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象顶点坐标为(－2，3)，且过点(1，0)，求此二次函数的解析式．5．二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝－1时有最小值－4，且图象在x轴上截得线段长为4，求函数解析式．6．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过(0，0)，(12，0)两点，其顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的解析式．7.二次函数y=ax2＋bx＋c，当x=0时，y=0；x=1时，y=2；x=-1时，y=1．求a、b、c，并写出函数解析式．8.抛物线y＝ax2经过点A(2，1)．(1)求这个函数的解析式；(2)写出抛物线上点A关于y轴的对称点B的坐标；(3)求△OAB的面积；(4)抛物线上是否存在点C，使△ABC的面积等于△OAB面积的一半，假设存在，求出C点的坐标；假设不存在，请说明理由．。
确定二次函数的表达式
第二章 二次函数2.3 确定二次函数的表达式（1）一、知识点用待定系数法求解二次函数表达式二、教学目标知识与技能：1.能够根据二次函数的图像和性质建立合适的直角坐标系，确定函数关系式.2.会根据条件利用待定系数法求二次函数的表达式.过程与方法：经历确定适当的直角坐标系以及根据点的坐标确定二次函数表达式的思维过程，类比求一次函数的表达式的方法，体会求二次函数表达式的思想方法.情感与态度：1.能把实际问题抽象为数学问题，也能把所学知识运用于实践，培养学生积极参与的意识，加深学生在生活中学数学，将数学知识服务于生活的学习理念.2.养成学生善于主动学习、乐于合作交流、学会总结提升的学习习惯，激发和调动学生学习的积极性和主动性，培养数学的应用意识.三、重点与难点重点：根据问题灵活选用二次函数表达式的不同形式，用待定系数法确定二次函数表达式.难点：根据问题灵活选用二次函数表达式的不同形式，用待定系数法确定二次函数表达式.四、引入新课(放幻灯片2、3、4）1.二次函数表达式的一般形式是什么?2.二次函数表达式的顶点式是什么?3.我们在用待定系数法确定一次函数y=kx+b(k,b 为常数，k ≠0)的关系式时，通常需要 个独立的条件；确定反比例函数xk y (k ≠0)的关系式时，通常只需要 个条件. 如果要确定二次函数的关系式y=ax ²+bx+c (a,b,c 为常数,a ≠0)，通常又需要几个条件 ?(学生思考讨论后，回答)设计意图：利用类比的方法学习待定系数法确定二次函数的表达式.五、探究新知1.初步探究(放幻灯片5）（1）如图2-7是一名学生推铅球时，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)的图象，你能求出其表达式吗？分析：要求y 与x 之间的关系式，首先应观察图象，确定函数的类型，然后根据函数的类型设它对应的解析式，再把已知点的坐标代入解析式求出待定系数即可．解：根据图象是一抛物线且顶点坐标为（4，3），因此设它的关系式为3)4(2+-=x a y ,又∵图象过点（10，0）,∴03)410(2=+-a ,解得 121-=a , ∴图象的表达式为3)4(1212+--=x y . （2）想一想：确定二次函数的表达式需要几个条件？(放幻灯片6）小结：确定二次函数的关系式y=ax ²+bx+c (a,b,c 为常数,a ≠0)，通常需要3 个条件; 当知道顶点坐标（h,k ）和知道图象上的另一点坐标两个条件，用顶点式k h x a y +-=2)(可以确定二次函数的关系式.设计意图：以一个推铅球的实际情境引入，教学时要引导学生观察图象中隐含的信息，鼓励他们尝试确定二次函数的表达式.2.初步探究例1 (放幻灯片7）已知二次函数y=ax 2+c 的图象经过点（2，3）和（－1，－3），求出这个二次函数的表达式.分析：二次函数y=ax 2+c 中只需确定a,c 两个系数，需要知道两个点坐标，因此此题只要把已知两点代入即可.解：将点（2，3）和（－1，－3）分别代入二次函数y=ax 2+c 中，得 ⎩⎨⎧+=-+=,3,43c a c a 解这个方程组，得⎩⎨⎧-==.5,2c a ∴所求二次函数表达式为：y=2x 2－5.3.深入探究（1）已知二次函数的图象与y 轴交点的纵坐标为1，且经过点（2，5）和（-2，13），求这个二次函数的表达式. (放幻灯片8、9）解法1 解：因为抛物线与y 轴交点纵坐标为1，所以设抛物线关系式为12++=bx ax y ，∵图象经过点(2,5)和(-2,13)∴⎩⎨⎧=+-=++,13124,5124b a b a 解得：a=2,b=-2.∴这个二次函数关系式为 1222+-=x x y .解法2 解：设抛物线关系式为 y=ax ²+bx+c ,由题意可知，图象经过点（0，1），(2,5)和(-2,13)， ∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=,1324,524,1c b a c b a c 解方程组得：a =2,b =-2，c =1.∴这个二次函数关系式为 1222+-=x x y设计意图：此例求二次函数的表达式，一方面让学生深入探究根据不同的条件灵活选用二次函数的不同形式，通过待定系数法求出函数关系式，另一方面让学生通过实践感受到二次函数一般式y=ax ²+bx+c 确定二次函数需要三个条件．但由于这个二次函数图象与y 轴交点的纵坐标为1，所以c=1，因此可设y=ax ²+bx+1把已知的二点代入关系式求出a,b 的值即可.（2）想一想(放幻灯片10）在什么情况下，一个二次函数只知道其中两点就可以确定它的表达式？六、课堂练习(放幻灯片11)七、课堂小结(放幻灯片12、13）1.用顶点式k h x a y +-=2)(确定二次函数关系式，当知道顶点（h,k ）坐标时，那么再知道图象上的另一点坐标，就可以确定这个二次函数的关系式.2.用一般式y=ax ²+bx+c 确定二次函数时，如果系数a,b,c 中有两个是未知的，知道图象上两个点的坐标，也可以确定二次函数的表达式.3.用待定系数法确定二次函数表达式的步骤：（设-列-解-答）八、课后作业(放幻灯片14)。
二次函数的三种表示方式
二次函数的三种表示方式1．二次函数的一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；2．二次函数的顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点个数．当抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有ax2＋bx＋c＝0．①并且方程①的解就是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b2－4ac有关，由此可知，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式Δ＝b2－4ac存在下列关系：（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点，则Δ＞0也成立．（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点，则Δ＝0也成立．（3）当Δ＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点，则Δ＜0也成立．于是，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以x 1＋x2＝，x1x2＝，即＝－(x1＋x2)，＝x1x2．所以，y＝ax2＋bx＋c＝a( )= a[x2－(x1＋x2)x＋x1x2]＝a(x－x1) (x－x2)．由上面的推导过程可以得到下面结论：若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则其函数关系式可以表示为y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)．这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：3．二次函数的交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标．今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．。