北师大版八年级数学上册 第1章 勾股定理 单元培优训练
勾股定理单元培优训练
一．选择题
1．如图，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D．则BD 的长为（）
A．B．C．D．
2．如图，四边形ABCD中，AB=AD，AD∥BC，∠ABC=60°，∠BCD=30°，BC=6，那么△ACD 的面积是（）
A．B．C．2D．
3．△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于E、F，给出以下四个结论：
①AE=CF ②△EPF是等腰直角三角形③EF=AP ④S四边形AEPF=S△ABC
当∠EPF在△ABC内绕P旋转时（点E不与A、B重合），则上述结论始终正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个
4．如图，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）
A．4dm B．2dm C．2dm D．4dm
5．如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm，高为6cm．如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要（）cm．
A．10n B．C．D．
6．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，AM=AC，BN=BC，则MN的长为（）
A．2 B．2.6 C．3 D．4
7．如图，在△ABC中，∠BAC=30°，AB=AC，AD是BC边上的中线，∠ACE=∠BAC，CE交
AB于点E，交AD于点F．若BC=2，则EF的长为（）
A．B．C．1D．
8．已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的面积是（）
A．2n﹣2B．2n﹣1C．2n D．2n+1
9．已知直角三角形的斜边为2，周长为．则其面积是（）
A．B．1C．D．2
10．下列五个命题：
（1）若直角三角形的两条边长为5和12，则第三边长是13；
（2）如果a≥0，那么=a
（3）若点P（a，b）在第三象限，则点P（﹣a，﹣b+1）在第一象限；
（4）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；
（5）两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等．
其中不正确命题的个数是（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
11．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm．现将直角边AC沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
12．2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，那么（a+b）2的值为（）
A．13 B．19 C．25 D．169
13．如图，矩形ABCD的边长AB=6，BC=8，将矩形沿EF折叠，使C点与A点重合，则折痕EF的长是（）
A．7.5 B．6C．10 D．5
二．填空题
14．如图，△ABD和△CED均为等边三角形，AC=BC，AC⊥BC．若BE=，则CD= ．15．在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC上一点，∠DAC=30°，BD=2，AB=2，则BC的长是．
16．已知a，b，c是直角三角形的三条边，且a＜b＜c，斜边上的高为h，则下列说法中正确的是．（只填序号）
①a2b2+h4=（a2+b2+1）h2；②b4+c2h2=b2c2；③由可以构成三角形；④直角三角形的面积的最大值是．
17．如图，在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°，∠B=∠D=90°，则四边形ABCD的面积是．
18．如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，∠AED=2∠CED，点G是DF的中点．若BE=2，AG=8，则AB的长为．
三．解答题
19．如图，已知AD是△ABC的高，∠BAC=60°，BC=3,AC=2，试求AB的长．
20．操作发现：将一副直角三角板如图①摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30°角的直角三角板DEF的长直角边DE重合．
问题解决：将图①中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°，点C落在BF上，AC
与BD交于点O，连接CD，如图②．
（1）求证：△CDO是等腰三角形；（2）若DF=8，求AD的长．
21．已知a，b，c为△ABC的三边长，且（++）2=3（++），试说明这个三角形是什么三角形．
22．某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长为6m、8m．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形．求扩建后的等腰三角形花圃的周长．
23．已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB交AB于点E，且CD=AC，DF∥BC，分别与AB、AC交于点G、F．
（1）求证：GE=GF；（2）若BD=1，求DF的长．
24.已知：如图，△ABC中，AB＞AC，AD是BC边上的高．求证：AB2-AC2=BC(BD-DC)．
D
A
B C
AD
AB
AC
AB
BC⋅
+
+
=2
2
2
2
25.已知：△ABC是钝角三角形，CD垂直BA延长线于D，求证：
26．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别为BC和AC的中点，AD＝5，BE＝10
2求AB的长．
27．如图，△ABC中，∠A＝90°，AC＝20，AB＝10，延长AB到D，使CD＋DB＝AC＋AB，求BD的长．
28．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合，已知AB＝3，AD＝9，求BE的长．
29．如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝8cm，BC＝10cm，求EC的长．
30．已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DE⊥DF．求证：AE2＋BF2＝EF2．。
北师大版八年级数学上册 第一章 勾股定理及其应用 专题培优练习
北师大版八年级数学上册第一章勾股定理及其应用专题培优练习勾股定理是数学史上一颗璀璨的明珠，在西方数学史上称之为“毕达哥拉斯定理”．数学家陈省身说过：“欧几里德几何的主要结论有两个，一个是三角形内角和定理，另一个就是勾股定理．”数学家华罗庚曾建议把它送入其他星球，作为地球人与其他星球人“交谈的语言，用于探索宇宙的奥秘”．勾股定理是我们研究和解决几何问题的重要理论依据之一，也是人们在生产实践和生活中广泛应用的基本原理，许多求线段长、角的大小；线段与线段，角与角，线段与角间的关系等问题，常常都用勾股定理或逆定理来解决．因此，勾股定理及应用是中考竞赛等考查的重要内容．例题1：在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，请问水深多少？练习11.如图所示的一块草地，已知A D=4m,CD=3m,A B=12m,BC=13m,且∠CD A=900 求这块草地的面积．2．已知：长方形ABCD，AB∥CD，AD∥BC，AB=2，AD≠DC，长方形ABCD的面积为S，沿长方形的对称轴折叠一次得到一个新长方形，求这个新长方形的对角线的长．3．若线段a、b、c能组成直角三角形，则它们的比值可以是（）A．1：2：4 B．1：3：5 C．3：4：7 D．5：12：13例2 如图2-2，把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点A、C重合，•若其长BC为a，宽AB为b，则折叠后不重合部分的面积是多少？2-2练习21．如图2-3，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在C′的位置上，已知AB=•3，BC=7，重合部分△EBD的面积为________．2．如图2-4，一架长2.5m的梯子，斜放在墙上，梯子的底部B•离墙脚O•的距离是0.7m，当梯子的顶部A向下滑0.4m到A′时，梯子的底部向外移动多少米？2-43．如图2-5，长方形ABCD中，AB=3，BC=4，若将该矩形折叠，使C点与A点重合，•则折叠后痕迹EF的长为（）A．3.74 B．3.75 C．3.76 D．3.77例3 试判断，三边长分别为2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1（n为正整数）•的三角形是否是直角三角形？分析先确定最大边，•再利用勾股定理的判定定理判断是否为直角三角形．练习31．若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形2．如图2-6，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且EC=1BC，猜想AF•4与EF的位置关系，并说明理由．2-6 3．△ABC中的三边分别是m2-1，2m，m2+1（m>1），那么（）A．△ABC是直角三角形，且斜边长为m2+1．B．△ABC是直角三角形，且斜边长为2m．C．△ABC是直角三角形，但斜边长由m的大小而定．D．△ABC不是直角三角形．例4 已知：如图所示，△ABC中，D是AB的中点，若AC=12，BC=5，CD=6．5．求证：△ABC是直角三角形．分析欲证△ABC是直角三角形，在已知两边AC、BC的情况下求边AB的长，比较困难；但注意到CD是边AB的中线，我们延长CD到E，使DE=CD，•从而有△BDE•≌△ADC，这样AC、BC、2CD 就作为△BCE的三边，再用勾股定理的逆定理去判定．练习41．已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a2-b2，试判断△ABC的形状．先阅读下列解题过程：解：∵a2c2-b2c2=a4-b4，①∴c2（a2-b2）=（a2+b2）（a2-b2）．②∴c2=a2+b2．③∴△ABC为直角三角形．④问：（1）上述推理过程，出现错误的一步是________；（2）本题的正确结论是________．2．如图2-8，△ABC的三边分别为AC=5，BC=12，AB=13，将△ABC沿AD折叠，使AC落在AB上，求折痕AD的长．3．如图2-9，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，满足PA=3，PB=1，•PC=2，求∠BPC的度数．例5 如图2-10，△ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，且AD⊥AC，求BD的长．分析若作AE⊥BC于E，如图2-11，利用勾股定理可求出AE=12，AD是Rt•△ADC的直角边．∴AD=CD-AC，若设DE=x，借助于AD这个“桥”可以列出方程．解：作AE⊥BC于E．∵AB=AC，AE⊥BC，∴BE=EC=12BC=12×32=16．在Rt△AEC中，AE2=AC2-CE2=202-162=144，∴AE=12．设DE=x，则在Rt△ADE中，AD2=AE2+DE2=144+x2，在Rt△ACD中，AD2=CD2-AC2=（16+x）2-202．∴144+x2=（16+x）2-202解得x=9．∴BD=BE-DE=16-9=7．例题6：如图所示，甲、乙两船同时由港口A出发开往海岛B，甲船沿东北方向向海岛B航行，其速度为15海里/小时；乙船速度为20海里/小时，先沿正东方向航行1小时后，到达C港口接旅客，停留半小时后再转向北偏东30°方向开往B岛，其速度仍为20海里/小时．（1）求港口A到海岛B 的距离；（2）B岛建有一座灯塔，在离灯塔方圆5海里内都可以看见灯塔，问甲、乙两船哪一艘先看到灯塔？练习51．如图，△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，MD⊥AB于D．求证：AD2=AC2+BD2．2-102-112．如图，AB⊥AD，AB=3，BC=12，CD=13，AD=4，求四边形ABCD的面积．3．如图2-14．长方体的高为3cm，底面是正方形，边长为2cm，现有绳子从A出发，沿长方形表面到达C处，问绳子最短是多少厘米？参考答案:练习11．24（提示：利用勾股定理即可求出）2．长方形的对称轴有2条，要分别讨论：（1）以A、B为对称点（如图）∵S=AB×BC，AB=2，∴BC=AD=2S ． 根据对称性得DF=12AB=1．由于∠D=90°，据勾股定理得：=12 （2）以A 、D 为对称点（如图）∴BF=12BC=4S．由∠B=90°，据勾股定理得：=3．D 练习2 1．214（提示：利用Rt △ABE 的勾股定理即可求出） 2．0.8m 3．B 练习3 1．B2．AF ⊥EF （提示：连结AE ，设正方形的边长为a ，则DF=FC=2a ，EC=4a，在Rt △ADF 中，由勾股定理得：AF 2=AD 2+DF 2=a 2+（2a ）2=54a 2． 同理：在Rt △ECF 中，EF 2=（2a ）2+（4a ）2=516a 2，在Rt △ABE 中，BE=34a ，则AE 2=a 2+916a 2=2516a 2．∵54a 2+516a 2=2516a 2，∴AF 2+EF 2=AE 2． ∴∠AFE=90°．∴AF ⊥EF ．3．A （点拨：利用勾股定理的逆定理来判定） 练习41．（1）③、④（2）△ABC 为直角三角形或等腰三角形． 2．∵AC 2+BC 2=52+122=132=AB 2， ∴∠C=90°．将△ABC 沿AD 折叠，使AC 落在AB 上，C 的对称点为E （如图） ∴CD=DE ， AC=AE=5． 则△ACD ≌△AED ． 又BE=AB-AE=8．设CD 为x ，则x 2+82=（12-x ）2．解之得x=103． ∴AD 2=52+（103）2．∴． 3．过点C 作CE ⊥CP ，并截CE=CP=2，连结PE ，BE ．（如图） ∵∠ACB=∠PCE=90°， ∴∠ACB-∠PCB=∠PCE-∠PCB ． 即∠ACP=∠BCE ． ∴△PCA ≌△ECB （SAS ）． ∴BE=AP=3．在Rt△PCE中，PE2=PC2+CE2=8．又∵BP2=1，BE2=9，∴BE2=BP2+PE2．∴△PBE是直角三角形，其中∠BPE=90°在Rt△PCE中，PC=CE，∴∠CPE=∠CEP=45°．∴∠BPC=∠CPE+∠BPE=45°+90°=135°．练习5 Array 1．连结AM．∵M为CB的中点，∴CM=MB．又∵AC2=AM2-CM2，BD2=BM2-MD2，∴AC2+BD2=AM2-MD2．又∵AD2=AM2-DM2，∴AD2=AC2+BD2．2．36（提示：连结BD，利用勾股定理及逆定理即可求出）．。
北师大版八年级上册第1章 《勾股定理》单元培优卷
《勾股定理》单元培优卷一．选择题（共10小题）1．下列四组数中，是勾股数的是（ ） A ．0.3，0.4，0.5 B ．32，42，52 C ．3，4，5D ．2．下列线段，不能做成直角三角形的是（ ） A ．cm ，cm ，cm B ．3cm ，4cm ，5cm C ．7cm ，24cm ，25cmD ．10cm ，24cm ，26cm3．在△ABC 中，若∠B +∠C ＝90°，则（ ） A ．BC ＝AB +AC B ．AC 2＝AB 2+BC 2 C ．AB 2＝AC 2+BC 2D ．BC 2＝AB 2+AC 24．下列判断中正确的有（ ）个（1）直角三角形的两边为3和4，则第三边长为5（2）有一个内角等于其它两个内角和的三角形是直角三角形 （3）若三角形的三边满足b 2＝a 2﹣c 2，则△ABC 是直角三角形（4）若△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C ＝8：15：17，则△ABC 是直角三角形 A ．1B ．2C ．3D ．45．将一根长为25厘米的筷子置于底面直径为5厘米，高为12厘米的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外的长为h 厘米，则h 的取值范围是（ ） A ．12≤h ≤13B ．11≤h ≤12C ．11≤h ≤13D ．10≤h ≤126．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a +b ＝10cm ，c ＝8cm ，则Rt △ABC 的面积为（ ） A ．9cm 2B ．18cm 2C ．24cm 2D ．36cm 27．如图，在三个正方形中，其中两个的面积S 1＝25，S 2＝144，则另一个正方形的面积S 3，为（ ）A．13 B．200 C．169 D．2258．如图，在△ABC中，AB＝12，BC＝13，AC＝5，则BC边上的高AD为（）A．12 B．13 C．D．609．2019年10月1日，中华人民共和国70年华诞之际，王梓涵和学校国旗护卫队的其他同学们赶到学校举行了简朴而降重的升旗仪式．倾听着雄壮的国歌声，目送着五星红旗级缓升起，不禁心潮澎湃，爱国之情油然而生．爱动脑筋的王梓涵设计了一个方案来测量学校旗杆的高度．将升旗的绳子拉直到末端刚好接触地面，测得此时绳子末端距旗杆底端2米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5m处，测得此时绳子末端距离地面高度为1m，最后根据刚刚学习的勾股定理就能算出旗杆的高度为（）A．10m B．11m C．12m D．13m10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AE为△ABC的角平分线，且ED⊥AB，若AC＝6，BC＝8，则BD的长（）A．2 B．3 C．4 D．5二．填空题11．如图，BD为△ABC的中线，AB＝10，AD＝6，BD＝8，△ABC的周长是．12．如图，在三角形ABC中，AB⊥AC于点A，AB＝6，AC＝8，BC＝10，点P是线段BC上的一点，则线段AP的最小值为．13．如图，一架长5米的梯子A 1B 1斜靠在墙A 1C 上，B 1到墙底端C 的距离为3米，此时梯子的高度达不到工作要求，因此把梯子的B 1端向墙的方向移动了1.6米到B 处，此时梯子的高度达到工作要求，那么梯子的A 1端向上移动了 米．14．如图所示，由四个全等的直角三角形拼成的图中，直角边长分别为2，3，则大正方形的面积为 ．15．如图，三角形ABC 三边的长分别为AB ＝m 2﹣n 2，AC ＝2mn ，BC ＝m 2+n 2，其中m 、n 都是正整数．以AB 、AC 、BC 为边分别向外画正方形，面积分别为S 1、S 2、S 3，那么S 1、S 2、S 3之间的数量关系为 ．三．解答题16．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝13，BC ＝10． （1）求高AD 的长； （2）求△ABC 的面积．17．如图，已知在四边形ABCD中，AB＝20cm，BC＝15cm，CD＝7cm，AD＝24cm，∠ABC＝90°．（1）连结AC，求AC的长；（2）求∠ADC的度数；（3）求出四边形ABCD的面积18．如图所示，一架长为2.5米的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时梯子底部B到墙AC 的距离为0.7米．（1）如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4米到D，求梯子底部B向外移动的距离BE？（2）如果梯子底部B向外移动的距离BE为1.7米，那么顶部A下滑的距离AD是否与BE 相等？请给予说明．19．一只渔船在灯塔C的正西方向10海里的A处，以20海里/时的速度沿北偏东30°方向行驶．（1）多长时间后，渔船距灯塔最近？（2）多长时间后，渔船行驶到灯塔的正北方向？此时渔船距灯塔有多远？（其中：202﹣102＝17.32）20．葛藤是一种刁钻的植物，它自己腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘上升的路线，总是沿着最短路线﹣﹣盘旋前进的．难道植物也懂得数学吗？阅读以上信息，你能设计一种方法解决下列问题吗？（1）如图，如果树的周长为3cm，从点A绕一圈到B点，葛藤升高4cm，则它爬行路程是多少厘米？（2）如果树的周长为8cm，绕一圈爬行10cm，则爬行一圈升高多少厘米？如果爬行10圈到达树顶，则树干高多少厘米？参考答案一．选择题1．解：A、0.32+0.42＝0.52，能构成直角三角形，但不是整数，不是勾股数，故本选项不符合题意；B、（32）2+（42）2≠（52）2，不是勾股数，故本选项不符合题意；C、32+42＝52，是勾股数，故本选项符合题意；D、（）2+（）2≠（）2，不是勾股数，故本选项不符合题意．故选：C．2．解：A、∵（）2+（）2≠（）2，∴不能组成三角形，故此选项符合题意；B、∵32+42＝52，∴能组成三角形，故此选项不符合题意；C、∵72+242＝252，∴能组成三角形，故此选项不符合题意；D、∵102+242＝262，∴能组成三角形，故此选项不符合题意；故选：A．3．解：∵在△ABC中，若∠B+∠C＝90°，∴∠A＝90°，∴BC2＝AB2+AC2，故选：D．4．解：（1）直角三角形的两边为3和4，则第三边长为5或，原来的说法错误；（2）有一个内角等于其它两个内角和的三角形是直角三角形是正确的；（3）若三角形的三边满足b2＝a2﹣c2，即b2+c2＝a2，则△ABC是直角三角形是正确的；（4）若△ABC中，∠A：∠B：∠C＝8：15：17，∠C＝180°×＝76.5°，则△ABC不是直角三角形，原来的说法错误．故正确的有2个．故选：B．5．解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大＝25﹣12＝13cm．当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，如图所示：此时，AB＝＝＝13cm，故h＝25﹣13＝12cm．故h的取值范围是12cm≤h≤13cm．故选：A．6．解：∵a+b＝10cm，a2+b2＝c2＝64cm2，∴（a+b）2＝100，∴2ab＝100﹣（a2+b2）＝100﹣64＝36，∴ab＝9（cm2），故选：A．7．解：由题可知，在直角三角形中两直角边的平方分别为25和144，为169．所以斜边的平方为144+25＝169，即面积S3故选：C．8．解：∵52+122＝132，∴AC2+AB2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，S＝AB•AC＝BC•AD，△ABC×12×5＝×13×AD，∴AD＝．故选：C．9．解：设旗杆高度为x，可得AC＝AD＝x，AB＝（x﹣1）m，BC＝5m 根据勾股定理得，绳长的平方＝x2+12，右图，根据勾股定理得，绳长的平方＝（x﹣1）2+52，∴x2+22＝（x﹣1）2+52，解得x＝11．故选：B．10．解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝，∵AE为△ABC的角平分线，ED⊥AB，∴CE＝ED，∴△ACE≌△ADE（AAS），∴AD＝AC＝6，∴BD＝10﹣6＝4，故选：C．二．填空题（共5小题）11．解：∵AB＝10，AD＝6，BD＝8，∴AB2＝AD2+BD2＝100，∴△ABD是直角三角形且AD⊥BD．又BD为△ABC的中线，∴AB＝BC＝10，AD＝CD＝6．∴，△ABC的周长＝AB+BC+AD＝2AB+2AD＝20+12＝32．故答案是：32．12．解：∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，当AP⊥BC时，AP的值最短，∴AP＝＝＝，∴线段AP的最小值为，故答案为：．13．解：在Rt △ABC 中，根据勾股定理知，A 1C ＝＝4（m ），在Rt △ABC 中，由题意可得：BC ＝1.4（m ）， 根据勾股定理知，AC ＝＝4.8（m ），所以AA 1＝AC ﹣A 1C ＝0.8（米）． 故答案为：0.8．14．解：∵直角三角形的两条直角边长分别为2，3， ∴整个大正方形的面积为：13．15．解：∵AB ＝m 2﹣n 2，AC ＝2mn ，BC ＝m 2+n 2， ∴AB 2+AC 2＝BC 2， ∴△ABC 是直角三角形，设Rt △ABC 的三边分别为a 、b 、c ， ∴S 1＝c 2，S 2＝b 2，S 3＝a 2， ∵△ABC 是直角三角形， ∴b 2+c 2＝a 2，即S 1+S 2＝S 3． 故答案为：S 1+S 2＝S 3． 三．解答题（共5小题） 16．解：（1）∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ∴BD ＝CD ∵BC ＝10， ∴BD ＝5．在Rt △ABD 中，根据勾股定理可得：；（2）△ABC 的面积＝．17．解：（1）连接AC，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∵AB＝20cm，BC＝15cm，∴由勾股定理可得：AC＝cm；（2）∵在△ADC中，CD＝7cm，AD＝24cm，∴CD2+AD2＝AC2，∴∠ADC＝90°；（3）由（2）知，∠ADC＝90°，∴四边形ABCD的面积＝，18．解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得∵AC＝＝＝2.4米∴DC＝AC﹣AD＝2.4﹣0.4＝2米∴在Rt△EDC中，由勾股定理得EC＝＝＝1.5米∴BE＝EC﹣BC＝1.5﹣0.7＝0.8米故梯子底部B向外移动的距离BE为0.8米（2）∵梯子底部B向外移动的距离BE为1.7米，∴EC＝1.7+0.7＝2.4米∴在Rt△EDC中，由勾股定理得DC＝＝＝0.7米由（1）知AC＝2.4米此时AD＝AC﹣DC＝2.4﹣0.7＝1.7米∴AD＝BE即顶部A下滑的距离AD与BE相等19．解：（1）如图所示，由题意可知，当船航行到D点时，距灯塔最近，此时，CD⊥AB．因为∠BAC＝90°﹣30°＝60°，所以∠ACD＝30°．所以AD＝AC＝×10＝5（海里）．又因为5÷20＝0.25（小时），所以0.25小时后，船距灯塔最近．（2）当船到达灯塔的正北方向的B点时，BC⊥AC．此时∠B＝30°，所以AB＝2AC＝2×10＝20（海里）．所以20÷20＝1（小时）．所以BC2＝AB2﹣AC2＝202﹣102＝17.32．所以BC≈17.3（海里）．即1小时后，船到灯塔的正北方向，此时船距灯塔有17.3海里．20．解：（1）如果树的周长为3cm，绕一圈升高4cm，则葛藤绕树爬行的最短路线为：＝5 厘米；（2）如果树的周长为8cm，绕一圈爬行10cm，则爬行一圈升高为：＝6厘米．如果爬行10圈到达树顶，则树干高为：10×6＝60厘米．。
北师大新版八年级数学上学期期末单元培优复习 第1章 勾股定理 含详细答案
第1章勾股定理一．选择题1．下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是（）A．三条边的比为1：2：3B．三条边满足关系a2＝b2﹣c2C．三条边的比为1：1：D．三个角满足关系∠B+∠C＝∠A2．如图，OP＝1，过点P作PP1⊥OP，得OP1＝；再过点P1作P1P2⊥OP1，且P1P2＝1，得OP2＝；又过点P2作P2P3⊥OP2，且P2P3＝1，得OP3＝2，依此法继续做下去，得OP2018＝（）A．B．2018 C．D．13．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若最大正方形G的边长是6cm，则正方形A，B，C，D，E，F，G的面积之和是（）A．18cm2 B．36cm2C．72cm2D．108cm24．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，D为AB边上一动点，连接CD，△ACD 与△A′CD关于直线CD轴对称，连接BA′，则BA′的最小值为（）A．B．1 C．D．5．下列各组数中，不能构成直角三角形的是（）A．a＝1，b＝，c＝B．a＝5，b＝12，c＝13C．a＝1，b＝3，c＝D．a＝1，b＝1，c＝26．图1是我国著名的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形所围成将四个直角三角形的较短边（如AF）向外延长1倍得到点A′，B′，C′，D′，并连结得到图2．已知正方形EFGH与正方形A′B′C′D′的面积分别为1cm2和85cm2，则图2中阴影部分的面积是（）A．15cm2B．30cm2C．36cm2D．60cm27．如果正整数a、b、c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（）A．47 B．62 C．79 D．988．如图，点O在线段AB上，AO＝2，OB＝1，OC为射线，且∠BOC＝60°，动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动，设运动时间为t秒．当△ABP是直角三角形时，t的值为（）A．B．C．1或D．1或9．如图，P是等边△ABC形内一点，连接PA、PB、PC，PA：PB：PC＝3：4：5，以AC为边在形外作△AP′C≌△APB，连接PP′，则以下结论错误的是（）A．△APP'是正三角形B．△PCP'是直角三角形C．∠APB＝150°D．∠APC＝135°二．填空题（共6小题）10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于E，AB＝10，BE＝8，DE＝6，则AD的长是．11．如图，四边形ABCD的每个顶点都在边长为1的正方形格点上，延长DC与过点B的水平格线交于点E，则线段BE的长为．12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝6cm，线段PQ＝AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，要使△QPA和△ABC全等，则AP＝．13．如图，一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B，爬行的最短路线有条．14．如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形．如果AB＝13，EF＝7，那么AH等于．15．一个三角形有两边长分别为15和20，第三边上的高为12，则第三边的长为．三．解答题（共7小题）16．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，若点P从点A出发，以每秒2cm 的速度沿折线A﹣B﹣C﹣A运动，设运动时间为t秒．（1）AC＝cm；（2）若点P恰好在∠ABC的角平分线上，求此时t的值：（3）在运动过程中，当t为何值时，△ACP为等腰三角形．17．学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算出学校旗杆的高度．爱动脑筋的小明这样设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米．请你设法帮小明算出旗杆的高度．18．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．（1）在图①中，以格点为端点，画线段MN＝；（2）在图②中，以格点为顶点，画正方形ABCD，使它的面积为10．19．如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千AB在静止位置时，下端B离地面0.6m，荡秋千到AB的位置时，下端B距静止位置的水平距离EB等于2.4m，距地面1.4m，求秋千AB的长．20．如图，小明所在学校的旗杆BD高约为13米，距离旗杆20米处刚好有一棵高约为3米的香樟树AE，活动课上，小明有意在旗杆与香樟树之间的连线上来回踱步，发现有一个位置到旗杆顶部与树顶的距离相等，请你求出该位置与旗杆之间的距离．21．（1）如图1，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．求该长方体中能放入木棒的最大长度；（2）如图2，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．现有一只蚂蚁从点A处沿长方体的表面爬到点G处，求它爬行的最短路程．（3）若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？22．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD＝3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连结AP．（1）当t＝3秒时，求AP的长度（结果保留根号）；（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值；（3）过点D做DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使DE＝CD？参考答案与试题解析一．选择题1．【解答】解：A、三条边的比为1：2：3，12+22≠32，故本选项符合题意．B、三条边满足关系a2+c2＝b2，故本选项不符合题意．C、三条边的比为1：2：3，12+12＝（）2，故本选项不符合题意．D、三个角满足关系∠B+∠C＝∠A，则∠A为90°，故本选项不符合题意．故选：A．2．【解答】解：∵OP＝1，OP1＝，OP2＝，OP3＝＝2，OP4＝，…，以此类推，OP2018＝．故选：C．3．【解答】解：由图可得，A与B的面积的和是E的面积；C与D的面积的和是F的面积；而E，F的面积的和是G的面积．即A、B、C、D、E、F、G的面积之和为3个G的面积．∵G的面积是62＝36cm2，∴A、B、C、D、E、F、G的面积之和为36×3＝108cm2．故选：D．4．【解答】解：由折叠可得，A'C＝AC＝3，∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，∴BC＝＝4，∵A'B+A'C≥BC，∴A'B≥BC﹣A'C＝4﹣3＝1，∴A'B的最小值为1，故选：B．5．【解答】解：A、12+（）2＝（）2，此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；B、52+122＝132，此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；C、12+32＝（）2，此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；D、12+12≠22，此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；故选：D．6．【解答】解：∵正方形EFGH与正方形A′B′C′D′的面积分别为1cm2和85cm2‘∴EF＝FG＝GH＝HF＝1，A′B′＝B′C′＝C′D′＝A′D′＝设四个直角三角形的较短边为x，则在Rt△A′ED′中，D′E＝2x，A′E＝2x+1，由题意得（2x）2+（2x+1）2＝85，化简得2x2+x﹣21＝0∴x1＝3，x2＝﹣3.5（舍）∴A′F＝C′H＝6，AE＝CG＝4∴图2中阴影部分的面积是（3×6÷2+3×4÷2）×2＝30故选：B．7．【解答】解：由题可得，3＝22﹣1，4＝2×2，5＝22+1，……∴a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，∴当c＝n2+1＝65时，n＝8，∴x＝63，y＝16，∴x+y＝79，故选：C．8.【解答】解：分三种情况考虑：当∠A＝90°，即△ABP为直角三角形时，∵∠BOC＞∠A，且∠BOC＝60°，∴∠A≠90°，故此情况不存在；当∠B＝90°，即△ABP为直角三角形时，如图所示：∵∠BOC＝60°，∴∠BPO＝30°，∴OP＝2OB＝2，∵OP＝2t，∴t＝1；当∠APB＝90°，即△ABP为直角三角形时，过P作PD⊥AB，∴OD＝OP•cos∠BOC＝t，PD＝OP•sin∠BOC＝t，∴AD＝AO+OD＝2+t，BD＝OB﹣OD＝1﹣t，即AB＝3，在Rt△ABP中，根据勾股定理得：AP2+BP2＝AB2，即（2+t）2+（t）2+（t）2+（1﹣t）2＝32，解得：t＝或（负值舍去），综上，当t＝1或t＝时，△ABP是直角三角形．故选：C．9．【解答】解：△ABC是等边三角形，则∠BAC＝60°，又△AP'C≌△APB，则AP＝AP′，∠PAP′＝∠BAC＝60°，∴△APP'是正三角形，又PA：PB：PC＝3：4：5，∴设PA＝3x，则：PP′＝PA＝3x，P′C＝PB＝4x，PC＝5x，根据勾股定理的逆定理可知：△PCP'是直角三角形，且∠PP′C＝90°，又△APP'是正三角形，∴∠AP′P＝60°，∴∠APB＝150°错误的结论只能是∠APC＝135°．故选：D．二．填空题（共6小题）10．【解答】解：∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，∵AB＝10，BE＝8，∴AE＝＝＝6，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB＝90°，∴AD＝＝＝6．故答案为：6．11．【解答】解：过C作CF⊥BE于F，∵四边形ABCD的每个顶点都在格点上，∴四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°＝∠BCE，∴△BCF∽△CEF，∴，∴，∴，∴BE＝＝＝．故答案为：．12．【解答】解：①当AP＝CB时，∠C＝∠QAP＝90°，在Rt△APQ与Rt△CBA中，，∴Rt△APQ≌Rt△CBA（HL），即AP＝BC＝6cm；②当P运动到与C点重合时，AP＝AC，∠C＝∠QAP＝90°，在Rt△QAP与Rt△BCA中，，∴Rt△QAP≌Rt△BCA（HL），即AP＝AC＝12cm．综上所述，AP＝6cm或12cm．故答案为：6cm或12cm．13．【解答】解：如果要爬行到顶点B，有三种情况：若蚂蚁爬行时经过面AD，可将这个正方体展开，在展开图上连接AB，与棱a（或b）交于点D1（或D2），小蚂蚁线段AD1→D1B（或AD2→D2B）爬行，路线最短；类似地，蚂蚁经过面AC和AE爬行到顶点B，也分别有两条最短路线，因此，蚂蚁爬行的最短践线有6条．故答案为：6．14．【解答】解：∵AB＝13，EF＝7，∴大正方形的面积是169，小正方形的面积是49，∴四个直角三角形面积和为169﹣49＝120，设AE为a，DE为b，即4×ab＝120，∴2ab＝120，a2+b2＝169，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝169+120＝289，∴a+b＝17，∵a﹣b＝7，解得：a＝12，b＝5，∴AE＝12，DE＝5，∴AH＝12﹣7＝5．故答案为：5．15．【解答】解：①第三边上的高在三角形内部；如图所示，AB＝20，AC＝15，AD＝12，∵AD是高，∴△ABD、△ACD是直角三角形，∴BD＝＝＝16，同理：CD＝＝9，∴BC＝BD+CD＝16+9＝25；②第三边上的高在三角形外部；如图所示，AB＝20，AC＝15，AD＝12，∵AD是高，∴△ABD、△ACD是直角三角形，∴BD＝＝＝16，同理：CD＝＝9，∴BC＝BD﹣CD＝16﹣9＝7．综上所述，第三边的长度为25或7．故答案是：25或7．三．解答题（共7小题）16．【解答】解：（1）∵△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，∴AC＝＝6cm，故答案为：6；（2）如图，过P作PD⊥AB于D，∵BP平分∠ABC，∠C＝90°，∴PD＝PC，BC＝BD＝8，∴AD＝10﹣8＝2，设PD＝PC＝y，则AP＝6﹣y，在Rt△ADP中，AD2+PD2＝AP2，∴22+y2＝（6﹣y）2，解得y＝，∴CP＝，∴t＝＝＝s；当点P与点B重合时，点P也在∠ABC的角平分线上，此时，t＝＝5；综上所述，点P恰好在∠ABC的角平分线上，t的值为或5；（3）分四种情况：①如图，当P在AB上且AP＝CP时，∠A＝∠ACP，而∠A+∠B＝90°，∠ACP+∠BCP＝90°，∴∠B＝∠BCP，∴CP＝BP，∴P是AB的中点，即AP＝AB＝5，∴t＝＝；②如图，当P在AB上且AP＝CA＝6时，t＝＝3；③如图，当P在AB上且AC＝PC时，过C作CD⊥AB于D，则CD＝＝，∴Rt△ACD中，AD＝，∴AP＝2AD＝，∴t＝＝；④如图，当P在BC上且AC＝PC＝6时，BP＝8﹣6＝2，∴t＝＝6．综上所述，当t＝或3或或6s时，△ACP为等腰三角形．17．【解答】解：设旗杆的高为x米，则绳子长为x+1米，由勾股定理得，（x+1）2＝x2+52，解得，x＝12米．答：旗杆的高度是12米．18．【解答】解：（1）如图①所示：（2）如图②所示．19．【解答】解：设AB＝AB′＝x，由题意可得出：B′E＝1.4﹣0.6＝0.8（m），则AE＝AB﹣0.8，在Rt△AEB中，∵AE2+BE2＝AB2，∴（x﹣0.8）2+2.42＝x2解得：x＝4，答：秋千AB的长为4m．20．【解答】解：根据题意可得：AE＝3m，AB＝20m，BD＝13m．如图，设该位置为点C，且AC＝xm．由AC＝xm得：BC＝（20﹣x）m（1分）由题意得：CE＝CD，则CE2＝CD2，∴32+x2＝（20﹣x）2+132，解得：x＝14，∴CB＝20﹣x＝6，由0＜14＜20可知，该位置是存在的．答：该位置与旗杆之间的距离为6米．21．【解答】解：（1）由题意得：该长方体中能放入木棒的最大长度是：（cm）．（2）分三种情况可得：AG＝cm＞AG＝cm ＞AG＝cm，所以最短路程为cm；（3）∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，∴A′D＝5cm，BD＝12﹣3+AE＝12cm，∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B＝＝13（Cm）．22．【解答】解：（1）根据题意，得BP＝2t，PC＝16﹣2t＝16﹣2×3＝10，AC＝8，在Rt△APC中，根据勾股定理，得AP＝＝＝2．答：AP的长为2．（2）在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝16，根据勾股定理，得AB＝＝＝8若BA＝BP，则 2t＝8，解得t＝4；若AB＝AP，则BP＝32，2t＝32，解得t＝16；若PA＝PB，则（2t）2＝（16﹣2t）2+82，解得t＝5．答：当△ABP为等腰三角形时，t的值为4、16、5．（3）若P在C点的左侧，CP＝16﹣2t．AP＝20﹣2t （20﹣2t）2＝（16﹣2t）2+82解得：t＝5，若P在C点的右侧，CP＝2t﹣16．AP＝2t﹣12；（2t﹣12）2＝（2t﹣16）2+82解得：t＝11答：当t为5或11时，能使DE＝CD．。
北师大版八年级上册 第一单元 勾股定理单元培优卷(解析版)
第一单元 勾股定理单元培优卷（北师大版）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项：本试卷满分100分，考试时间90分钟，试题共25题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（20120·河南省初二期中）适合下列条件的△ABC 中, 直角三角形的个数为（ ） ①111345a b c ，，；=== ②6a =，∠A =45°; ③∠A =32°, ∠B =58°； ④72425a b c ===，，；⑤22 4.a b c ===，， ⑥::3:4:5a b c = ⑦::12:13:15A B C ∠∠∠= ⑧5,12,13a b c ===A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C 【解析】根据勾股定理的逆定理，可分别求出各边的平方，然后计算判断：222111+345≠（）（）（），故①不能构成直角三角形；当a=6，∠A=45°时，②不足以判定该三角形是直角三角形； 根据直角三角形的两锐角互余，可由∠A+∠B=90°，可知③是直角三角形；根据72=49，242=576，252=625，可知72+242=252，故④能够成直角三角形；由三角形的三边关系，2+2=4可知⑤不能构成三角形；令a=3x ，b=4x ，c=5x ，可知a 2+b 2=c 2，故⑥能够成直角三角形；根据三角形的内角和可知⑦不等构成直角三角形；由a 2=25，b 2=144，c 2=169，可知a 2+b 2=c 2，故⑧能够成直角三角形.故选：C.【点睛】此题主要考查了直角三角形的判定，解题关键是根据角的关系，两锐角互余，和边的关系，即勾股定理的逆定理，可直接求解判断即可，比较简单.2．（2019·河南省郑州外国语中学初二月考）如图，直角三角形两直角边的长分别为3和4，以直角三角形的两直边为直径作半圆，则阴影部分的面积是（ ）A ．6B ．32πC ．2πD ．12【答案】A【分析】分别求出以AB 、AC 、BC 为直径的半圆及△ABC 的面积，再由S 阴影=S1+S2+S △ABC-S3得出结论．【解析】解：如图所示：∵∠BAC=90°，AB=4cm ，AC=3cm ，BC=5cm ，∴以AB 为直径的半圆的面积S 1=2π（cm 2）； 以AC 为直径的半圆的面积S 2=98π（cm 2）；以BC 为直径的半圆的面积S 3=258π（cm 2）； S △ABC=6（cm2）；∴S 阴影=S 1+S 2+S △ABC-S 3=6（cm2）；故选：A ．【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．3．（2020·山东省初二期末）如图，正方形小方格的边长为1，则网格中的ABC 是（ ）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．以上答案都不对【答案】A 【分析】根据勾股定理求得△ABC 各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状．【解析】∵正方形小方格边长为1∴2222313AC =+=，2226452AB =+=，2228165BC =+=，∵在△ABC 中AB 2+AC 2=52+13=65，BC 2=65∴AB2+AC2=BC2 ∴网格中的△ABC 是直角三角形．故选A ．【点睛】解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC 的三边满足a 2+b 2=c 2，则三角形ABC 是直角三角形．4．（2020·右玉县二中初二期中）如图，测得楼梯的长为5米，高为3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少是（ ）A ．4米B ．5米C ．7米D ．10米【答案】C【分析】利用勾股定理求解出水平的那条直角边为4米，地毯所用的长度平移到两直角边上刚好是两直角边的长度，所以直接把两直角边的长度加起来就是地毯的长度.【解析】楼梯长为5米，高为3米，由勾股定理可知，其水平宽为4米．因为地毯铺满楼梯应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，所以地毯的长度至少是3+4=7（米）．故选：C ．【点睛】本题主要考查的是对图像的观察以及勾股定理，如果我们直接求解地毯的长度难度比较大，所以需要把地毯长度平移到两直角边上即可求解.5．（2019·山西晋中初三月考）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲、乙行各几何.”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又向东北方向走了一段后与乙相遇，那么相遇时所用时间为多少？若设甲与乙相遇时间为x ，则可列方程为（ ） A ．222(3)(7)10x x +=B ．22210(710)(310)x x +-=-C ．222(3)10(710)x x +=-D ．222(310)(7)10x x -+=【答案】C【分析】利用勾股定理列出方程即可．【解析】如图：设甲与乙相遇时间为x ，这时乙共行3AB x =，甲共行7AC BC x +=，∵10AC =，∴710BC x =-，又∵∠90A =°，∴222 AB AC BC +=，∴()()222310710x x +=- 故选：C ． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，画出图形，做到数形结合．6．（2020·西安交大阳光中学初二月考）如图，圆柱的底面周长为6cm ，AC 是底面圆的直径，高BC=6cm ，点P 是母线BC 上一点且PC=23BC ．一只蚂蚁从A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P 的最短距离是（）A．（4+6π）cm B．5cm C．213cm D．7cm【答案】B【分析】首先画出圆柱的侧面展开图，根据高BC=6cm，PC=23BC，求出PC=23×6=4cm，在Rt△ACP中，根据勾股定理求出AP的长．【解析】侧面展开图如图所示，∵圆柱的底面周长为6cm，∴AC=3cm，∵PC=23BC∴PC=23×6=4cm，在Rt△ACP中，AP2=AC2+CP2，∴AP=2234+=5．故选：B．【点睛】此题主要考查了平面展开图，以及勾股定理的应用，做题的关键是画出圆柱的侧面展开图．7．（2020·辽宁省初二期中）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这只铅笔的长度可能是（）A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm【答案】D【分析】首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出AC的长.【解析】根据题意可得图形：AB=12cm ，BC=9cm ，在Rt △ABC 中：AC=2222=129AB BC ++=15（cm ）， 则这只铅笔的长度大于15cm ．故选D ． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出笔筒内铅笔的最短长度是解决问题的关键． 8．（2020·涡阳县王元中学初二月考）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若（a ＋b ）2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C 【分析】观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积-4个直角三角形的面积，利用已知2()a b + =21，大正方形的面积为13，可以得以直角三角形的面积，进而求出答案。
第一章勾股定理单元培优题北师大版八年级数学上册
第一章：勾股定理单元培优卷一、单选题1．下面不是勾股数的是（）A．12，16，20 B．0.3，0.4，0.5 C．5，12，13 D．8，15，172．两个边长分别为a，b，c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成如图所示的图形，用两种不同的计算方法计算这个图形的面积，则可得等式为（）第2题第3题第4题A．（a+b）2＝c2B．（a﹣b）2＝c2C．a2﹣b2＝c2D．a2+b2＝c23．如图，以直角三角形的一条直角边和斜边为一边作正方形M和N，它们的面积分别为9平方厘米和25平方厘米，则直角三角形的面积为（）A．6平方厘米B．12平方厘米C．24平方厘米D．3平方厘米4．如图，分别以Rt△ABC的三条边为边向外作正方形，面积分别记为S1，S2，S3．若S1＝36，S2＝64，则S3＝（）A．8 B．10 C．80 D．1005．将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度h cm，则h的取值范围是（）A．h≤17cm B．h≥8cmC．15cm≤h≤16cm D．7cm≤h≤16cm6．如图，用4个相同的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，若图中直角三角形较短的直角边是6，小正方形的边长是2，则大正方形的面积是（）A．121 B．144 C．196 D．1007．如图有一个水池，水面BE的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是（）A．26尺B．24尺C．17尺D．15尺8．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（）A．B．C．D．9．如图，一棵大树在一次强台风中距地面5m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12m，这棵大树在折断前的高度为（）A．12m B．13m C．18m D．20m10．如图，一艘轮船以的速度从港口出发，向东北方向航行，另一艘轮船以的速度同时从港口出发，向东南方向航行，出发后，两船的距离是（）A．B．C．D．11、已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A：7或25 B：25 C：7 D：1412、一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是（）A：5米 B：12米 C：13米 D：14米二、填空题13．观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25．请你写出有以上规律的第④组勾股数：______．14．如图，某斜拉桥的主梁AD垂直于桥面MN于点D，主梁上两根拉索AB、AC长分别为13米、20米，主梁AD的高度为12米，则固定点B、C之间的距离为_____米．15．如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N 是线段AB的“勾股分割点”．已知点M，N是线段AB的“勾股分割点”，若AM＝4，MN＝5，则斜边BN的长为___________．16、如图7,一圆柱高8cm,底面半径为2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程是_______cm。
北师大新版八年级 上册 第一章 勾股定理 培优训练 (解析版)
第一章勾股定理培优训练一．选择题1．下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（）A．7，24，25 B．9，12，15 C．32，42，52D．，，2．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，下列说法中错误的是（）A．如果∠C﹣∠B＝∠A，那么∠C＝90°B．如果∠C＝90°，那么c2﹣a2＝b2C．如果（a+b）（a﹣b）＝c2，那么∠A＝90°D．如果∠A＝30°，那么AC2＝3BC23．直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，斜边上的高为h，下列结论：①a2+b2＝c2；②ab＝ch；③．其中正确的是（）A．①B．①②③C．①②D．①③4．等腰三角形的一边长为4，另一边长为6，则这个等腰三角形的面积是（）A．3B．8C．6D．3或85．如图，开口玻璃罐长、宽、高分别为16、6和6，在罐內点E处有一小块饼干碎末，此时一只蚂蚁正好在罐外长方形ABCD的中心H处，蚂蚁到达饼干的最短距离是多少（）A．B．C．D．176．若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足a2﹣6a+9+|b﹣4|＝0，则该直角三角形的第三边长的平方为（）A．25 B．7 C．25或7 D．25或167．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在AB上，AD＝AC，AF⊥CD 交CD于点E，交CB于点F，则CF的长是（）A．1.5 B．1.8 C．2 D．2.58．如图，Rt△ADC，Rt△BCE与Rt△ABC按如图方式拼接在一起，∠ACB＝∠DAC＝∠ECB＝90°，∠D＝∠E＝45°，AB＝16，则S Rt△ADC+S Rt△BCE为（）A．16 B．32 C．160 D．1289．图1是我国著名的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形所围成将四个直角三角形的较短边（如AF）向外延长1倍得到点A′，B′，C′，D′，并连结得到图2．已知正方形EFGH与正方形A′B′C′D′的面积分别为1cm2和85cm2，则图2中阴影部分的面积是（）A．15cm2B．30cm2C．36cm2D．60cm2二．填空题10．将一副三角尺按图所示叠放在一起，若AB＝6cm，则阴影部分的面积是cm2．11．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，底边BC＝6，点P是底边BC上任意一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE＝．12．如图，点A、B、C分别是正方体展开图的小正方形的顶点，则∠BAC的大小为．13．如图，已知在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，BC＝5，分别以Rt△ABC三条边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为．14．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这条边的长，那么称这个三角形为“有趣三角形”，这条中线称为“有趣中线”．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，一条直角边为3，如果Rt△ABC是“有趣三角形”，那么这个三角形“有趣中线”的长等于．15．如图，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝2，则BF的长为．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当△ABP为等腰三角形时，t的取值为．三．解答题（共7小题）17．用图1中四个完全一样的直角三角形可以拼成图2的大正方形解答下列问题：（1）请用含a、b、c的代数式表示大正方形的面积．方法1 ；方法2 ．（2）根据图2，利用图形的面积关系，推导a、b、c之间满足的关系式．（3）利用（2）的关系式解答：如果大正方形的面积是25，且（a+b）2＝49，求小正方形的面积．18．（1）勾股定理的证法多样，其中“面积法”是常用方法，小明发现：当四个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法”来证明勾股定理．（写出勾股定理的内容并证明）（2）已知实数x，y，z满足：，试问长度分别为x、y、z的三条线段能否组成一个三角形？如果能，请求出该三角形的面积；如果不能，请说明理由．19．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其中的“面积法”给了李明灵感，他惊喜地发现；当两个全等的直角三角形如图（1）摆放时可以利用面积法”来证明勾股定理，过程如下如图（1）∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2证明：连接DB，过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F，则DF＝b﹣aS四边形ADCB＝S△ADC+S△ABC＝﹣b2+abS四边形ADCB＝S△ADB+S△BCD＝c2+a（b﹣a）∴b2+ab＝c2+a（b﹣a）化简得：a2+b2＝c2请参照上述证法，利用“面积法”完成如图（2）的勾股定理的证明如图（2）中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c220．如图1，A村和B村在一条大河CD的同侧，它们到河岸的距离AC、BD分别为1千米和4千米，又知道CD的长为4千米．（1）现要在河岸CD上建一水厂向两村输送自来水．有两种方案备选方案1：水厂建在C点，修自来水管道到A村，再到B村（即AC+AB）．（如图2）方案2：作A点关于直线CD的对称点A'，连接A'B交CD于M点，水厂建在M点处，分别向两村修管道AM和BM．（即AM+BM）（如图3）从节约建设资金方面考虑，将选择管道总长度较短的方案进行施工，请利用已有条件分别进行计算，判断哪种方案更合适．（2）有一艘快艇Q从这条河中驶过，当快艇Q在CD中间，DQ为多少时？△ABQ为等腰三角形？21．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝3cm，AB＝6m，点P在线段AC 上以1cm/s的速度由点C向点A运动，同时，点Q在线段AB上以2cm/s的速度由点A 向点B运动，设运动时间为t（s）．（1）当t＝1时，判断△APQ的形状，并说明理由；（2）当t为何值时，△APQ与△CQP全等？请写出证明过程．22．（1）（操作发现）如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．请按要求画图：将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B′，点C 的对应点为C′，连接BB′，则∠AB′B＝．（2）（问题解决）如图2，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB＝，PC＝1，求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长；（3）（灵活运用）如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝，BP＝，PC＝1，求∠BPC的度数．参考答案与试题解析一．选择题1．下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（）A．7，24，25 B．9，12，15 C．32，42，52D．，，【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．【解答】解：A、72+242＝252，符合勾股定理的逆定理，故不符合题意；B、92+122＝152，符合勾股定理的逆定理，故不符合题意；C、（32）2+（42）2≠（52）2，不符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意；D、（）2+（）2＝（）2，符合勾股定理的逆定理，故不符合题意．故选：C．2．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，下列说法中错误的是（）A．如果∠C﹣∠B＝∠A，那么∠C＝90°B．如果∠C＝90°，那么c2﹣a2＝b2C．如果（a+b）（a﹣b）＝c2，那么∠A＝90°D．如果∠A＝30°，那么AC2＝3BC2【分析】根据直角三角形的定义以及勾股定理的逆定理一一判断即可．【解答】解：A、∵∠C﹣∠B＝∠A，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，故本选项正确，不符合题意．B、∵∠C＝90°，∴c2＝a2+b2，∴c2﹣a2＝b2，故本选项正确，不符合题意．C、∵（a+b）（a﹣b）＝c2，∴a2﹣b2＝c2，∴a2＝b2+c2，∴∠A＝90°，故本选项正确，不符合题意．D、∠A＝30°，不能推出AC2＝3BC2，故本选项错误，符合题意．故选：D．3．直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，斜边上的高为h，下列结论：①a2+b2＝c2；②ab＝ch；③．其中正确的是（）A．①B．①②③C．①②D．①③【分析】利用直角三角形的面积及勾股定理求证每一个选项，即可得出结论．【解答】解：∵直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，斜边上的高为h，∴由勾股定理可知：a2+b2＝c2，①正确；这个直角三角形的面积＝ab＝ch，∴ab＝ch，②正确；∴a2b2＝c2h2，∴＝＝＝＝，③正确．故选：B．4．等腰三角形的一边长为4，另一边长为6，则这个等腰三角形的面积是（）A．3B．8C．6D．3或8【分析】因为已知长度为4和6两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．【解答】解：①当4为底时，其它两边都为6，4、6、6可以构成三角形，底边上的高为＝4，∴等腰三角形的面积＝×＝8；②当4为腰时，其它两边为4和6，∵4+4＝6，∴不能构成三角形，故舍去．∴底边上的高为＝＝，∴等腰三角形的面积＝×6＝3．故选：D．5．如图，开口玻璃罐长、宽、高分别为16、6和6，在罐內点E处有一小块饼干碎末，此时一只蚂蚁正好在罐外长方形ABCD的中心H处，蚂蚁到达饼干的最短距离是多少（）A．B．C．D．17【分析】做此题要把这个长方体中蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理即可计算．【解答】解：①若蚂蚁从平面ABCD和平面CDFE经过，蚂蚁到达饼干的最短距离如图1：H′E＝＝，②若蚂蚁从平面ABCD和平面BCEH经过，则蚂蚁到达饼干的最短距离如图2：H′E＝＝17，故选：C．6．若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足a2﹣6a+9+|b﹣4|＝0，则该直角三角形的第三边长的平方为（）A．25 B．7 C．25或7 D．25或16【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵a2﹣6a+9+|b﹣4|＝0，﹣4|＝0，∴（a﹣3）2，b﹣4＝0，∴a＝3，b＝4，∴直角三角形的第三边长＝＝5，或直角三角形的第三边长＝＝，∴直角三角形的第三平方为25或7，故选：C．7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在AB上，AD＝AC，AF⊥CD 交CD于点E，交CB于点F，则CF的长是（）A．1.5 B．1.8 C．2 D．2.5【分析】连接DF，由勾股定理求出AB＝5，由等腰三角形的性质得出CE＝DE，由线段垂直平分线的性质得出CF＝DF，由SSS证明△ADF≌△ACF，得出∠ADF＝∠ACF＝∠BDF＝90°，设CF＝DF＝x，则BF＝4﹣x，在Rt△BDF中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：连接DF，如图所示：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，∵AD＝AC＝3，AF⊥CD，∴CE＝DE，BD＝AB﹣AD＝2，∴CF＝DF，在△ADF和△ACF中，，∴△ADF≌△ACF（SSS），∴∠ADF＝∠ACF＝90°，∴∠BDF＝90°，设CF＝DF＝x，则BF＝4﹣x，在Rt△BDF中，由勾股定理得：DF2+BD2＝BF2，即x2+22＝（4﹣x）2，解得：x＝1.5；∴CF＝1.5；故选：A．8．如图，Rt△ADC，Rt△BCE与Rt△ABC按如图方式拼接在一起，∠ACB＝∠DAC＝∠ECB＝90°，∠D＝∠E＝45°，AB＝16，则S Rt△ADC+S Rt△BCE为（）A．16 B．32 C．160 D．128【分析】根据勾股定理可求AC2+BC2的值，再根据等腰直角三角形的性质和三角形面积公式即可求解．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝16，∴AC2+BC2＝256，∵∠DAC＝∠ECB＝90°，∠D＝∠E＝45°，∴AD＝AC，BC＝CE，∴S Rt△ADC+S Rt△BCE＝256×＝128．故选：D．9．图1是我国著名的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形所围成将四个直角三角形的较短边（如AF）向外延长1倍得到点A′，B′，C′，D′，并连结得到图2．已知正方形EFGH与正方形A′B′C′D′的面积分别为1cm2和85cm2，则图2中阴影部分的面积是（）A．15cm2B．30cm2C．36cm2D．60cm2【分析】由正方形EFGH与正方形A′B′C′D′的面积分别为1cm2和85cm2‘，可得大小正方形的边长，设四个直角三角形的较短边为x，则在Rt△A′ED′中，由勾股定理可求出x，从而可求出相关三角形的边长，即可求出阴影部分的面积．【解答】解：∵正方形EFGH与正方形A′B′C′D′的面积分别为1cm2和85cm2‘∴EF＝FG＝GH＝HF＝1，A′B′＝B′C′＝C′D′＝A′D′＝设四个直角三角形的较短边为x，则在Rt△A′ED′中，D′E＝2x，A′E＝2x+1，由题意得（2x）2+（2x+1）2＝85，化简得2x2+x﹣21＝0∴x1＝3，x2＝﹣3.5（舍）∴A′F＝C′H＝6，AE＝CG＝4∴图2中阴影部分的面积是（3×6÷2+3×4÷2）×2＝30故选：B．二．填空题（共7小题）10．将一副三角尺按图所示叠放在一起，若AB＝6cm，则阴影部分的面积是cm2．【分析】解直角三角形求出AC，再证明AC＝CF即可解决问题．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝6cm，∠B＝30°，∴AC＝AB＝3cm，∵△ADE是等腰直角三角形，∴∠CAF＝45°，∴∠AFC＝∠CAF＝45°，∴AC＝CF＝3cm，∴S阴＝•CF＝cm2，故答案为11．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，底边BC＝6，点P是底边BC上任意一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE＝ 4.8 ．【分析】连接AP，过A作AF⊥BC于F，由图可得：S△ABC＝S△ABP+S△ACP，代入数值，解答出即可．【解答】解：连接AP，过A作AF⊥BC于F，∵AB＝AC＝5，∴BF＝CF＝BC＝3，由勾股定理得：AF＝＝4，由图可得，S△ABC＝S△ABP+S△ACP，∵PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，∴+，＝×5PE，24＝5（PD+PE），∴PD+PE＝4.8，故答案为：4.8．12．如图，点A、B、C分别是正方体展开图的小正方形的顶点，则∠BAC的大小为45°．【分析】分别在格点三角形中，根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，继而可得出∠BAC的度数．【解答】解：连接BC．根据勾股定理可以得到：AB＝BC＝，AC＝2，∵（）2+（）2＝（2）2，即AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是等腰直角三角形．∴∠BAC＝45°．故答案为：45°．13．如图，已知在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，BC＝5，分别以Rt△ABC三条边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为 6 ．【分析】根据勾股定理求出AB，分别求出三个半圆的面积和△ABC的面积，即可得出答案．【解答】解：在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，由勾股定理得：AC＝＝4，所以阴影部分的面积S＝×π×（）2+×π×（）2+×3×4﹣×π×（）2＝6．故答案为：6．14．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这条边的长，那么称这个三角形为“有趣三角形”，这条中线称为“有趣中线”．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，一条直角边为3，如果Rt△ABC是“有趣三角形”，那么这个三角形“有趣中线”的长等于3或2．【分析】“有趣中线”分三种情况，两个直角边跟斜边，而直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，不符合；两个直角边，有一种情况有趣中线为3．另一个为另一条直角边上的中线，利用勾股定理求出即可．【解答】解：“有趣中线”有三种情况：若“有趣中线”为斜边AB上的中线，直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，不合题意；若直角边BC为3，“有趣中线”为AC边上的中线，有趣中线”的长＝3；若“有趣中线”为另一直角边AC上的中线，BC＝3，如图所示：设BD＝2x，则CD＝x，在Rt△CBD中，根据勾股定理得：BD2＝BC2+CD2，即（2x）2＝32+x2，解得：x＝，则△ABC的“有趣中线”的长＝2；综上所述，这个三角形“有趣中线”的长等于3或2．15．如图，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝2，则BF的长为 5 ．【分析】过D作DG⊥AC于G，根据角平分线的性质得到DG＝DE＝2，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．【解答】解：过D作DG⊥AC于G，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴DG＝DE＝2，∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，∴AC•BF＝AB•DE+AC•DG，∴×4•BF＝×6×2+×4×2，∴BF＝5，故答案为：5．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC 以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当△ABP为等腰三角形时，t的取值为5或t＝8或t＝．【分析】当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB＝BP时；②当AB＝AP时；③当BP＝AP时，分别求出BP的长度，继而可求得t值．【解答】解：在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝52﹣32＝16，∴BC＝4（cm）；①当AB＝BP时，如图1，t＝5；②当AB＝AP时，如图2，BP＝2BC＝8cm，t＝8；③当BP＝AP时，如图3，AP＝BP＝tcm，CP＝（4﹣t）cm，AC＝3cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，所以t2＝32+（4﹣t）2，解得：t＝，综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t＝．故答案为：5或t＝8或t＝．三．解答题（共7小题）17．用图1中四个完全一样的直角三角形可以拼成图2的大正方形解答下列问题：（1）请用含a、b、c的代数式表示大正方形的面积．方法1 a2+b2；方法2 c2．（2）根据图2，利用图形的面积关系，推导a、b、c之间满足的关系式．（3）利用（2）的关系式解答：如果大正方形的面积是25，且（a+b）2＝49，求小正方形的面积．【分析】（1）方法1、根据图2是由4个完全一样的直角三角形和1个小正方形构成的，所以其面积＝1个正方形的面积+4个三角形的面积；方法2、观察图形发现图2是一个正方形，所以其面积＝边长2；（2）根据（1）写出a、b、c之间的等量关系；（3）直接用（2）的结论求出结果．【解答】解：（1）方法1：大正方形的面积＝（a﹣b）2+4×ab＝a2+b2，方法2：大正方形的面积＝c2；故答案为：a2+b2，c2；（2）因为大正方形的面积相等，所以a2+b2＝c2；（3）由（2）知，a2+b2＝c2．又（a+b）2＝49，所以 2ab＝49﹣（a2+b2）＝49﹣c2＝49﹣25＝24．所以小正方形的面积＝25﹣24＝1．18．（1）勾股定理的证法多样，其中“面积法”是常用方法，小明发现：当四个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法”来证明勾股定理．（写出勾股定理的内容并证明）（2）已知实数x，y，z满足：，试问长度分别为x、y、z的三条线段能否组成一个三角形？如果能，请求出该三角形的面积；如果不能，请说明理由．【分析】（1）根据S五边形面积＝S梯形面积1+S梯形面积2＝S正方形面积+2S直角三角形面积即可求解；（2）确定题中各式在实数范围内有意义，根据二次根式的意义，列不等式组，列方程组求解．【解答】（1）证明：∵S五边形面积＝S梯形面积1+S梯形面积2＝S正方形面积+2S直角三角形面积，即：（b+a+b）b+（a+a+b）a＝c2+2×ab，即ab+a2+b2ab＝c2+ab，即：a2+b2＝c2；（2）解：根据二次根式的意义，得，解得x+y＝8，∴+＝0，根据非负数的意义，得解得x＝3，y＝5，z＝4，∵32+42＝52，∴可以组成三角形，且为直角三角形，面积为6．19．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其中的“面积法”给了李明灵感，他惊喜地发现；当两个全等的直角三角形如图（1）摆放时可以利用面积法”来证明勾股定理，过程如下如图（1）∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2证明：连接DB，过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F，则DF＝b﹣aS四边形ADCB＝S△ADC+S△ABC＝﹣b2+abS四边形ADCB＝S△ADB+S△BCD＝c2+a（b﹣a）∴b2+ab＝c2+a（b﹣a）化简得：a2+b2＝c2请参照上述证法，利用“面积法”完成如图（2）的勾股定理的证明如图（2）中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2【分析】首先连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF＝b﹣a，表示出S五边形ACBED，两者相等，整理即可得证．【解答】证明：连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF＝b﹣a，∵S五边形ACBED＝S△ACB+S△ABE+S△ADE＝ab+b2+ab，又∵S五边形ACBED＝S△ACB+S△ABD+S△BDE＝ab+c2+a（b﹣a），∴ab+b2+ab＝ab+c2+a（b﹣a），∴a2+b2＝c2．20．如图1，A村和B村在一条大河CD的同侧，它们到河岸的距离AC、BD分别为1千米和4千米，又知道CD的长为4千米．（1）现要在河岸CD上建一水厂向两村输送自来水．有两种方案备选方案1：水厂建在C点，修自来水管道到A村，再到B村（即AC+AB）．（如图2）方案2：作A点关于直线CD的对称点A'，连接A'B交CD于M点，水厂建在M点处，分别向两村修管道AM和BM．（即AM+BM）（如图3）从节约建设资金方面考虑，将选择管道总长度较短的方案进行施工，请利用已有条件分别进行计算，判断哪种方案更合适．（2）有一艘快艇Q从这条河中驶过，当快艇Q在CD中间，DQ为多少时？△ABQ为等腰三角形？【分析】（1）根据题意得到结果判断即可；（2）如图，①AQ1＝AB＝5或AQ4＝AB＝5时，②AB＝BQ2＝5或AB＝B5＝5时，③当AQ3＝BQ3时，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：（1）方案1：AC+AB＝1+5＝6，方案2：AM+BM＝A′B＝＝，∵6＜，∴方案1更合适；（2）如图，①AQ1＝AB＝5或AQ4＝AB＝5时，CQ1＝CQ4＝＝2，∴QG＝2+2（舍去）或2﹣2（舍去）；②AB＝BQ2＝5或AB＝BQ5＝5时，DQ＝＝3，∴QG＝3+2＝5或3﹣2＝1（舍去），③G为CD中点时，当AQ3＝BQ3时，（GQ3+2）2+12＝（2﹣GQ3）2+42，解得：GQ3＝，DQ＝．故当DQ＝3或时，△ABQ为等腰三角形．21．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝3cm，AB＝6m，点P在线段AC 上以1cm/s的速度由点C向点A运动，同时，点Q在线段AB上以2cm/s的速度由点A 向点B运动，设运动时间为t（s）．（1）当t＝1时，判断△APQ的形状，并说明理由；（2）当t为何值时，△APQ与△CQP全等？请写出证明过程．【分析】（1）分别求出AP、AQ的长，根据等边三角形的判定推出即可；（2）根据全等的条件和已知分别求出AP、CP、AQ、CQ的长，根据全等三角形的判定推出即可；【解答】解：（1）△APQ是等边三角形，理由是：∵t＝1，∴AP＝3﹣1×1＝2，AQ＝2×1＝2，∴AP＝AQ，∵∠A＝60°，∴△APQ是等边三角形；（2）存在t，使△APQ和△CPQ全等．当t＝1.5s时，△APQ和△CPQ全等．理由如下：∵在Rt△ACB中，AB＝6，AC＝3，∴∠B＝30°，∠A＝60°，当t＝1.5，此时AP＝PC时，∵t＝1.5s，∴AP＝CP＝1.5cm，∵AQ＝3cm，∴AQ＝AC．又∵∠A＝60°，∴△ACQ是等边三角形，∴AQ＝CQ，在△APQ和△CPQ中，，∴△APQ≌△CPQ（SSS）；即存在时间t，使△APQ和△CPQ全等，时间t＝1.5；22．（1）（操作发现）如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．请按要求画图：将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B′，点C 的对应点为C′，连接BB′，则∠AB′B＝45°．（2）（问题解决）如图2，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB＝，PC＝1，求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长；（3）（灵活运用）如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝，BP＝，PC＝1，求∠BPC的度数．【分析】（1）根据旋转角，旋转方向画出图形即可，只要证明△ABB′是等腰直角三角形即可；（2）将△BPC绕点B顺时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2），连接PP′，可得△P′PB是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），所以∠AP′B＝150°，而∠BPC＝∠AP′B＝150°；过点B作BM⊥AP′，交AP′的延长线于点M，由∠MP′B＝30°，求出BM＝，P′M＝，根据勾股定理即可求出答案；（3）将△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△AEB，与（1）类似：可得：∠EBP＝∠EBA+∠ABP＝∠ABC＝90°，求出∠BEP＝（180°﹣90°）＝45°，根据勾股定理的逆定理求出∠AP′P＝90°，推出∠BPC＝∠AEB＝90°+45°＝135°；【解答】解：（1）如图1所示，连接BB′，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，∴AB＝AB′，∠B′AB＝90°，∴∠AB′B＝45°，故答案为：45°；（2）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，将△BPC绕点B顺时针旋转60°得出△ABP′，如图2，∴AP′＝CP＝1，BP′＝BP＝，∠PBC＝∠P′BA，∠AP′B＝∠BPC，∵∠PBC+∠ABP＝∠ABC＝60°，∴∠ABP′+∠ABP＝∠ABC＝60°，∴△BPP′是等边三角形，∴PP′＝，∠BP′P＝60°，∵AP′＝1，AP＝2，∴AP′2+PP′2＝AP2，∴∠AP′P＝90°，则△PP′A是直角三角形；∴∠BPC＝∠AP′B＝90°+60°＝150°；过点B作BM⊥AP′，交AP′的延长线于点M，∴∠MP′B＝30°，BM＝，由勾股定理得：P′M＝，∴AM＝1+＝，由勾股定理得：AB＝＝．（3）如图3，将△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△AEB，与（1）类似：可得：AE＝PC＝1，BE＝BP＝，∠BPC＝∠AEB，∠ABE＝∠PBC，∴∠EBP＝∠EBA+∠ABP＝∠ABC＝90°，∴∠BEP＝（180°﹣90°）＝45°，由勾股定理得：EP＝2，∵AE＝1，AP＝，EP＝2，∴AE2+PE2＝AP2，∴∠AEP＝90°，∴∠BPC＝∠AEB＝90°+45°＝135°；。
北师大版八年级数学上册 第一章 勾股定理 章末培优、能力提升卷
北师大版八年级数学上册第一章勾股定理章末培优、能力提升卷一、选择题(30分)1、直角三角形的三边为a﹣b，a，a+b且a、b都为正整数，则三角形其中一边长可能为（）A．61 B．71 C．81 D．912、如图，在矩形ABCD中，，，将其折叠使AB落在对角线AC上，得到折痕AE，那么BE的长度为A. B. C. D.3、一位工人师傅测量一个等腰三角形工件的腰，底及底边上的高，并按顺序记录下数据，量完后，不小心与其他记录的数据记混了，请你帮助这位师傅从下列数据中找出等腰三角形工件的数据（）A．13，10，10 B．13，10，12 C．13，12，12 D．13，10，114、如图，已知中，∠，CD是高，∠，，求AB的长A. 4B. 6C. 8D. 105、如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到该建筑物的高度是（）A. 12米B. 13C. 14米D. 15米6、等腰三角形的腰长为10，一腰上的高为6，则以底边为边长的正方形的面积为（）A、40B、80C、40或360D、80或3607、如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，若AD=，△ABC的周长为（）A．B．10 C．D．128、如图，一棵树在一次强台风中，从离地面5m处折断，倒下的部分与地面成角，如图所示，这棵树在折断前的高度是A. 10mB. 15mC. 5mD. 20m9、已知x、y为正数，且0(42)32=2x，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那-y-+么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（）A、5B、25C、7D、1510、如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，将其折叠，使AB边落在对角线AC上，得到折痕AE，则点E到点B的距离为（）l321S 4S 3S 2S 1A. B. 2 C. D. 3二、填空题（24分）11、ABC ∆的三边长c b a ,,满足：03018)602(2=-+-+-+c b b a ，则ABC ∆是 三角形；12、将一张长方形的纸片ABCD 按如图所示方式折叠，使C 点落在处，BC 交AD 于点E ，则△EBD的形状是________．13、在直线上依次摆放着七个正方形（如图），已知斜放着的三个正方形的面积分别的，，，321正放着的四个正方形的面积依次是1S ，2S ，3S ，4S ，则=+++4321S S S S ；14、在4×4的方格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，其中，．则△ABC 中AC 边上的高的长为 ．（保留根号）15、观察下列勾股数组：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．若a，144，145是其中的一组勾股数，则根据你发现的规律，a= ．（提示：5=，13=，…）16、矩形内一点到顶点，，的长分别是，，，则．三、解答题（66分）17、以R t△A BC 三边为直径作半圆，这三个半圆的面积S1、S2、S3 之间有什么关系？说明理由．18、直角三角形的面积为，斜边上的中线为，则这个三角形周长为多少？19、如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，请你根据所学的知识（1）求△ABC的面积．（2）判断△ABC是什么形状？并说明理由．20、张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：（1）请你分别观察a、b、c与n之间的关系，并用含自然数n （n＞1）的代数式表示：a=n2﹣1，b=2n，c=n2+1．（2）猜想：以a、b、c为边的三角形是否为直角三角形？请证明你的猜想．21、学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算出学校旗杆的高度．爱动脑筋的小明设计了这样一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米．请你帮助小明计算出旗杆的高度．22、如图，长方体的长、宽、高分别为5cm、3cm、2cm，一只蚂蚁欲从长方体底面上的点A沿着长方体表面爬到点B处，则蚂蚁需要爬行的最短路程的长为多少？。
新北师大版八上数学培优训练第一章勾股定理1
16、如图，一等腰三角形底边上的高为2㎝，周长为8㎝，求此三角形的面积。
17、吴林刚种植了一棵小树，为了防止小树向左右倾斜，他用两根木棒固定它，两根木棒的一端都固定在小树的B处，另一端分别固定在地面的C、D处（如图），经测量：点B到地面的距离AB=1.2米，木棒BC、BD的长分别是1.3米、1.5米，点A、C、D在同一条直线上，求CD长。
第一章综合检测卷
一、选择题
1、1．已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）
A、25B、14C、7D、7或25
2、下列以a,b,c为边长的三角形是直角三角形的是（）
A、 B、
C、 D、
3、如图：直角三角形三边上的半圆面积分别为S 、S 、S ，下列结论正确的是（）
A、S + S ＞S B、S + S ＜S C、S + S =S D、S + S =S
21、为了测量旗杆AB的高度，小明将升旗的绳子向右拉到点C处，并在绳子上打了一个结，测得点C到旗杆底部的距离CB=9 m，然后再将绳子向右拉到D处，又在绳子上打了一个结，如图所示，测得CD=7 m，两个结之间的距离为5 m，设AC= m，
（1）用 的代数式表示AB的平方：或。
（2）求出 的值。
（3）求旗杆AB的高度。
23、如图：在长方形ABCD中，AB=12，AD=8，点E在BC的延长线上，点F是AB的中点，连结DE、DF、EF，
（1）求DF的长。
（2）当CE=9时，△DEF是直角三角形？为什么？
（3）已知△DEF是等腰三角形，那么CE等于多少？
第一章 勾股定理 分类提升训练(含答案) 2024--2025学年 北师大版 八年级数学上册
第一章 勾股定理 分类提升训练 2024--2025学年 北师大版 八年级数学上册一、单选题1．学了“勾股定理”后，甲、乙两位同学的观点如下：甲：如果是直角三角形，那么一定成立；乙：在中，如果，那么不是直角三角形．对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）A ．甲对，乙错B ．甲错，乙对C ．两人都错D ．两人都对2．如图，在中，，分别以，为边向外作正方形，面积分别为，，若，，则的长为（ ）A ．4B ．2CD ．33．为预防新冠疫情，民生大院入口的正上方处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高为米的市民正对门缓慢走到离门米的地方时（即米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离等于（ ）A ．米B ．米C ．米D ．米4．如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，∠ABO ＝60°，若矩形的对角线长为6．则线段AD 的长是（ ）ABC V 222a b c +=ABC V 222a b c +≠ABC V ABC V 90ACB ∠=︒AC AB 1S 2S 13S =27S =BC A 3AB = 1.8CD 1.6 1.6BC =AD 2.0 2.2 2.25 2.5A ．3B ．4C ．2D ．35．如图是一圆柱玻璃杯，从内部测得底面半径为，高为，现有一根长为的吸管任意放入杯中，则吸管露在杯口外的长度最少是（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图，已知矩形纸片，，，点在边上，将沿折叠，点落在点处，，分别交于点，，且，则的长为（ ）A．B ．C ．D ．7． 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E ，则CE 的长为（ ）A ．B ．C ．D ．28．如图，有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面6cm 16cm 25cm 6cm 5cm 9cm (25cm -ABCD 4AB =3BC =P BC CDP V DP C E PE DE AB O F OP OF =DF 3911451317557173276256101尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面、求这根芦苇的长度是多少尺？设芦苇的长度是尺，根据题意，可列方程为（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图，过矩形对角线的交点，作对角线的垂线，交于点，交于点，若，，则的长等于（ ）A ．B ．CD ．10．在Rt 中，.以为圆心，AM 的长为半径作弧，分别交AC ，AB 于点M ，N.再分别以M ，N 为圆心，适当长度为半径画弧，两弧交于点.连接AP ，并延长AP 交BC 于点.过点作于点，垂足为，则DE 的长度为（ ）A ．B ．C ．2D ．1二、填空题11．小明想知道学校旗杆有多高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还余1米，当他把绳子下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆高度为 米．12．下图是公园的一角，有人为了抄近道而避开横平竖直的路的拐角 ，而走“捷径 ”，于是在草坪内走出了一条不该有的“路 ”.已知 米， 米，只为少走 米的路. x 222510x +=()2221015x -+=()22215x x -+=()22251x x +=-ABCD O BD AD E BC F 3AE =5BF =EF 48ABC V B ∠=90,8,10AB AC ︒==A P D D DE AC ⊥E E 8345ABC ∠AC AC 40AB =30BC =13．若的三边，，满足，则的面积是 ．14．如图，矩形ABCD 中， ， ，CB 在数轴上，点C 表示的数是 ，若以点C 为圆心，对角线CA 的长为半径作弧交数轴的正半轴于点P ，则点P 表示的数是 .15．有一根长7cm 的木棒，要放进长、宽、高分别为5cm 、4cm 、3cm 的木箱， (填“能”或“不能”)放进去。
北师大初二上数学第一章勾股定理培优练习题(含答案解析)
勾股定理培优练习题一、单选题1. 如图, 正方形ABCD的边长为4，M 在DC 上，且DM=1 ，N 是AC 上一动点，则DN+MN 的最小值为（）．A、3B、4C、5D、4 22. 如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD,∠D=90°,AD ＝CD＝4,AB=1,F 为AD 的中点,则F 到BC 的距离是（）A、1B、2C、4D、83. 一块木板如图所示，已知AB＝4，BC＝3，DC＝12，AD ＝13，∠B＝90°，木板的面积为（）A、60B、30C、24D、124. 如图，矩形纸片ABCD 中，已知AD=8 ，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点 B 落在点 F 处，折痕为AE，且EF=3，则AB 的长为（）A、3B、4C、5D、65. △ABC 中，∠A 、∠B、∠C 的对边分别是a、b、c，下列说法中，错误的是（）2﹣b2=a2 A、若∠C﹣∠B=∠A，则∠C=90°B、若∠C=90°，则c2C、若（a+b）（a﹣b）=c ，则∠C=90°D、若∠A=30°∠B=60°，则AB=2BC6. 下列结沦中，错误的有（）①Rt△ABC 中，已知两边分别为 3 和4，则第三边的长为5；②三角形的三边分别为a、b、c ，若a2+b2=c2 ，则∠A=90°；③若△ABC 中，∠A：∠B：∠C=1：5：6，则这个三角形是一个直角三角形；④若（x﹣y）2+M= （x+y）2 成立，则M=4xy ．A、0 个B、1 个C、2 个D、3 个7. △ABC 中，∠A 、∠B、∠C 的对边分别是a、b、c，下列说法中，错误的是（）A、如果∠C﹣∠B= ∠A ，那么∠C=90°B、如果∠C=90°，那么c2﹣b2=a2C、如果（a+b）（a﹣b）=c2，那么∠C=90°D、如果∠A=30°∠B=60°，那么AB=2BC二、填空题8. 若a,b,c 是直角三角形的三条边长，斜边 c 上的高的长是h ，给出下列结论：2 ①以 a2， b2， c 的长为边的三条线段能组成一个三角形；②以，，的长为边的三条线段能组成一个三角形；③以a+b ，c+h ，h 的长为边的三条线段能组成直角三角形；④以, , 的长为边的三条线段能组成直角三角形，正确结论的序号为．9. 如图，正方形ABCD ，AC 、BD 交于点O，点E、F 分别在AB 、BC 上，且∠EOF=90°，则下列结论①AE=BF ，②OE=OF ，③BE+BF=AD ，④AE 2+CF2=2OE2 中正确的有（只写序号）．三、综合题10. 根据直角三角形的判定的知识解决下列问题(1). 如图①所示，P 是等边△ABC 内的一点，连接PA、PB、PC，将△BAP 绕B 点顺时针旋转60°得△BCQ ，连接PQ．若PA2+PB2=PC2 ，证明∠PQC=9°0 ；(2). 如图②所示，P 是等腰直角△ABC （∠ABC=90°）内的一点，连接PA、PB、PC，将△BAP 绕B 点顺时针旋转90°得△BCQ，连接PQ．当PA、PB、PC 满足什么条件时，∠PQC=9°0 ？请说明．11. 请完成下列题目：(1). 如图①所示，P 是等边△ABC 内的一点，连接PA、PB、PC，将△BAP 绕B 点顺时针旋转60°得△BCQ ，连接PQ．若PA2+PB2=PC2 ，证明∠PQC=9°0 .(2). 如图②所示，P 是等腰直角△ABC （∠ABC=90°）内的一点，连接PA、PB、PC，将△BAP 绕B 点顺时针旋转90°得△BCQ，连接PQ．当PA、PB、PC 满足什么条件时，∠PQC=9°0 ？请说明12. 如图，△ABC 中，∠C=Rt∠，AB=5cm ，BC=3cm ，若动点P 从点 C 开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t 秒．(1). 出发 2 秒后，求△ABP 的周长．(2). 问t 满足什么条件时，△BCP 为直角三角形？(3). 另有一点Q,从点 C 开始,按C→B→A→C的路径运动,且速度为每秒2cm,若P、Q 两点同时出发,当P、 Q中有一点到达终点时,另一点也停止运动．当t 为何值时,直线PQ 把△ABC 的周长分成相等的两部分？13. 完成题目：(1). 如图1，已知△ABC ，以AB 、AC 为边向△ABC 外作等边△ABD 和等边△ACE ，连接BE，CD，请你完成图形，并证明：BE=CD ；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(2). 如图2，已知△ABC ，以AB 、AC 为边向外作正方形ABFD 和正方形ACGE ，连接BE ，CD，BE 与CD有什么数量关系？简单说明理由；(3). 运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E 的距离，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100 米，AC=AE ，求BE 的长．14. 如图①，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC ，四边形ADEF 是正方形，点B、C 分别在AD 、AF 上，此时BD=CF ，BD ⊥CF 成立．(1). 如图②，i）当△ABC 绕点A 逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，线段BD 与线段CF 的数量关系是；直线BD 与直线CF 的位置关系是．ii）请利用图②证明上述结论．(2). 如图③，当△ABC 绕点 A 逆时针旋转45°时，延长DB 交CF 于点H，若AB= ，AD=3 时，求线段FC 的长．参考答案1 C2、B3、C4、D5、C6、C7、C 8、9、10、11、12、13、14。