九年级数学上册 24.1-24.2周周清冀教版

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冀教版九上数学24

1.请学生完成课本第24.1节后的练习题，包括基础题和拓展题，要求学生在解题过程中注意方法的运用和步骤的完整性。
2.设计一道实际应用题，让学生运用一元二次方程的知识来解决。例如：“某商店在销售一种商品，售价x元/件时，每月销售量为300件。若售价每增加1元，月销售量减少10件。问：售价为多少元/件时，月销售利润最大？”
6.针对课堂教学中遇到的难点，教师设计一组具有针对性的巩固练习题，要求学生课后完成，以强化对难点的掌握。
7.布置一次课后研究性学习任务，让学生探索一元二次方程根的判别式在实际问题中的应用，并撰写学习心得。
作业布置要求：
1.学生需按照作业要求，认真完成每一项任务，确保作业质量。
2.作业完成后，学生应进行自我检查，确保解题过程无误，答案正确。
3.鼓励学生在完成作业过程中，积极与同学交流讨论，共同解决问题。
4.教师应关注学生的作业完成情况，及时给予反馈，指导学生改进学习方法。
5.培养学生严谨、认真、踏实的科学态度，为学生今后的学习和生活打下良好的基础。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对一元一次方程有了深入的了解和掌握。在此基础上，学生对一元二次方程的学习将更加顺畅。然而，由于一元二次方程的求解方法和思路较为复杂，学生在学习过程中可能会遇到以下问题：对一元二次方程的定义理解不够深入，容易混淆求解方法，对实际问题的分析能力较弱等。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，激发学生主动学习的积极性。
2.通过一元二次方程的学习，让学生体会数学在解决实际问题中的价值，增强学生的应用意识。
3.培养学生勇于克服困难、善于解决问题的精神品质，提高学生的自信心。
4.在教学过程中，注重个体差异，鼓励学生积极参与，使学生在学习过程中感受到成功的喜悦。

【四清导航】冀教版九上数学周周清2检测内容：24.1-24.2

2 2 p 2 p －4q p 2 4q－p A．(x＋ ) ＝ B．(x＋ ) ＝ 2 4 2 4 2 p 2 p －4q C．(x－ ) ＝ 2 4 2 p 2 4q－p D．(x－ ) ＝ 2 4
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8．若a、b、c是非零实数，且a－b＋c＝0，则有一个根是1的方程
是( B )
A．ax2＋bx＋c＝0 B．ax2－bx＋c＝0 C．ax2＋bx－c＝0 D．ax2－bx－c＝0 二、填空题(每小题4分，共24分) 9 ． (2013· 天津 ) 一元二次方程x(x －6) ＝ 0 的两个实数根中较大的是 x ＝6 ． ________ 2x2－4x＋5＝0 ，它的二 10．方程(2x－1)x＝3x－5化成一般形式为________ 2 －4 ，常数项是次项系数是 ____________ ，一次项系数是 ________ 5 ________ ． 3 11．已知(a2＋b2)(a2＋b2－1)＝6，则a2＋b2的值是________ ．
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周清Biblioteka 212．(2013· 兰州)若|b－1|＋
a－4
＝0，且一元二次方程kx2
k≤4且k≠0 ．＋ax＋b＝0有实数根，则k的取值范围是____________
13．三角形一边长为10，另两边长是方程x2－14x＋48＝0的两个直角三角形．根，则这是一个________ 14 ．等腰△ABC 中， BC ＝ 8 ， AB ， AC 的长是关于 x 的方程 x2 － m＝25或m＝16 ． 10x＋m＝0的两根，则m的值为________
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检测内容：24.1－24.2
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【冀教版】九年级数学上册：24.2《解一元二次方程(2)》ppt课件

，
.
例2 用公式法解下列方程：
⑴ 4x2 x 3 0 ；
⑵ x2 2x 5 0.
解：⑴这里 a 4 ，b 1 ，c 3 .
∵ b2 4ac = 12 4 4 （ 3） 49 ＞0，
∴ x 1 49 1 7 ，
24
8
3
即 x1 4 ，x2 1.
（2）这里 a=1，b=-2，c=-5.
问题2：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）配
方后的方程
x
b 2a
2

b2 4ac 4a2
一定有根吗？
∵4a2＞0,
∴(1)当b2-4ac＞0时，b
2
4ac 4a2
＞0，
x b
b2 4ac .
2a
2a
方程有两个不相等的实数根：
b x1
b2 4ac ，x2 b
2a
b2 4ac . 2a
4.已知关于x的一元二次方程 -x2+(2m+1)x+(1-m2)=0,当m为何值时,该方程没有实数根?
解:b2-4ac=(2m+1)2-4×(-1)×(1-m2)=4m+5, ∵该方程没有实数根,∴4m+5<0, ∴m< - 5 .
4
5.公式法解下列方程: (1)x2-3x-1=0; (2)4x2-3x+1=0; (3)5x+2=3x2.
∴方程无实数根.
（3）原方程可化为3x2-5x-2=0，
a=3, b=-5, c=-2，
∵b2-4ac=(-5)2-4×3×(-2)=49>0，
∴
x 5 49 5 7 ， 23 6
⑵当 b2 4ac

2015年秋新人教版九年级数学上册四清导航同步习题精讲课件周周清24.1-24.2

⊙O于点T，过T作AD的垂线交AD的延长线于点C.
(1)求证：CT为⊙O的切线； (2)若⊙O半径为2，CT＝，求AD的长．
解： (1) 证明：连接 OT ， ∵ OA ＝ OT ， ∴ ∠ OAT ＝ ∠ OTA ，又 ∵ AT 平分 ∠ BAD ， ∴ ∠ DAT ＝ ∠ OAT ， ∴ ∠ DAT ＝ ∠ OTA ， ∴ OT∥AC ，又 ∵ CT⊥AC ， ∴CT⊥OT，∴CT为⊙O的切线
6．在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点O为BC的中点，以O 则⊙O的半径和∠MND的度数分别为( A．2，22.5° B．3，30° ) A C．3，22.5°
为圆心作⊙O交BC于点M，N，⊙O与AB，AC相切，切点分别为D，E，
D．2，30°
第5题图
第6题图
7．如图， Rt△ABC 的内切圆⊙O 与两直角边 AB， BC 分别相切于点 D， BC 分别交于点 M， N，若⊙O 的半径为 r，则 Rt△MBN 的周长为( C ) 3 5 A．r B. r C．2r D. r 2 2 8．如图，一个宽为 2 厘米的刻度尺(刻度单位：厘米)，放在圆形玻璃杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个 13 交点处的读数恰好是 3 和 9，那么玻璃杯的杯口外沿半径为_______ 4 厘米．
13 ． (14 分 ) 如图，已知 PA ， PB ， DE 分别切⊙ O 于 A ， B ， C 三点，若 PO＝13 cm，△PDE的周长为24 cm，∠APB＝40°，求： (1)⊙O的半径； (2)∠EOD的度数．
解：(1)连接 BO，∵A，B，C 为切点，则 DC＝DB，EC＝EA，PA＝ 1 PB，∴△PDE 的周长为 PA＋PB＝2PB，PB＝ ×24＝12. 2 ∵PB 为切线，B 为切点，∴PB⊥BO，由勾股定理：OB2＋PB2＝PO2， ∴OB＝ PO2－PB2＝ 132－122＝5(cm)

冀教版数学九年级上册JJ九数上教案第24章教案与反思

第二十四章一元二次方程投我以桃，报之以李。

《诗经·大雅·抑》原创不容易，【关注】，不迷路！24．1一元二次方程1．理解一元二次方程及其相关概念，能够熟练地把一元二次方程化为一般形式；（重点、难点）2．会应用一元二次方程的解的定义解决有关问题；（重点）3．在分析、揭示实际问题中的数量关系，并把实际问题转化为数学模型的过程中，感受方程是刻画现实世界中的数量关系的工具，增强对一元二次方程的感性认识．一、情境导入参加一次集会，如果有x个人，每两人之间都握一次手，共握了21次手，请你列出符合上述条件的方程，并判断方程是什么类型？二、合作探究探究点一：一元二次方程的概念【类型一】一元二次方程的识别下列选项中，是关于x的一元二次方程的是( )A．x2＋1x2＝1B．3x2－2xy－5y2＝0C．(x－1)(x－2)＝3D．ax2＋bx＋c＝0解析：选项A中的方程分母含有未知数，所以它不是一元二次程；选项B中的方程含有2个未知数，所以它不是一元二次方程；当a＝0时，选项D中的方程不含二次项，所以它不是一元二次方程；排除A、B、D，故选C．方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，必须将方程化简后再进行判断．一元二次方程的三个条件：一是方程两边都是整式；二是只含有一个未知数；三是未知数的最高次数是2．上述三个条件必须同时满足，缺一不可．【类型二】利用一元二次方程的概念确定字母系数若关于x 的方程(k ＋1)x |k －1|＋kx ＋1＝0是一元二次方，则k 的值为________．解析：由题意得⎩⎨⎧|k －1|＝2，k ＋1≠0，∴⎩⎨⎧k ＝3或k ＝－1，k ≠－1.∴k ＝3．方法总结：由一元二次方程概念满足的条件：未知最高次数为2，构造方程，解出字母取值，并利用二次项系数不为0排除使二次项系数为0的字母取值，从而确定字母取值．探究点二：一元二次方程的一般形式将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项．(1)3x 2－2＝5x ；(2)9x 2＝16；(3)2x (3x ＋1)＝17(4)(3x －5)(x ＋1)＝7x －2．解析：先分别将各方程化为一般形式，再指出它们的各部分的名称．解：(1)方程化为一般形式为3x 2－5x －2＝0，二次项系数是3，一次项系数是－5，常数项是－2；(2)方程化为一般形式为9x 2－16＝0，二次项系数是9，一次项系数是0，常数项是－16；(3)方程化为一般形式为6x 2＋2x －17＝0，二次项系数是6，一次项系数是2，常数项是－17；(4)方程化为一般形式为3x 2－9x －3＝0，二次项系数是3，一次项系数是－9，常数项是－3．方法总结：求一元二次方程的各项系数和常数项，必须先把方程化为一般形式，特别要注意确认各项系数和常数项包括前面的符号．探究点三：一元二次方程的解【类型一】判断一元二次方程的解方程x 2－2x ＝0的解为( )A ．x 1＝1，x 2＝2B ．x 1＝0，x 2＝1C ．x 1＝0，x 2＝2D ．x 1＝12，x 2＝2 解析：把各选项中未知数的值分别代入方程的左右两边，只有选项C 中的x 1＝0，x 2＝2都能使方程x 2－2x＝0的左右两边相等，故选C ．方法总结：判断一个未知数的值是否是一元二次方程的解，可以把未知数的值代入方程左右两边，能使方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的解．【类型二】利用一元二次方程的解的意义求字母或代数式的值已知1是关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋x ＋1＝0的一个根，则m 的值是( )A ．1B ．－1C ．0D ．无法确定解析：根据方程的根的概念，直接代入方程，左右两边相等，但考虑到是一元二次方程，所以二次项系数不能等于0．由此得，(m －1)＋1＋1＝0，解得m ＝－1，此时m －1＝－2≠0，∴m ＝－1．故选B ．方法总结：方程的根（解）是能使方程左右两边相等的未知数的值，在涉及方程根的题目中，我们一般是把这个根代入方程左右两边转化为求待定系数的方程来解决问题．探究点四：列一元二次方程在一张矩形的床单四周绣上宽度相等的花边，剩下部分面积为1.6m2．已知床单的长是2m ，宽是1.4m ，求花边的宽度．请根据题意列出方程．解：设花边的宽度为x m ，则由图可知剩下部分的长为(2－2x )m ，剩下部分的宽为(1.4－2x )m ．∵剩下部分面积为1.6m2，∴可列方程为(2－2x )(1.4－2x )＝1.6．方法总结：列方程最重要的是审题，只有理解题意，才能恰当的设出未知数，准确地找出已知量和未知量之间的等量关系，正确的列出方程．三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为数学问题，体会数学建模的思想方法．24．2解一元二次方程第1课时配方法1．学习用直接开平方法解形如x²＝p或（mx＋n）²＝p（p≥0）的方程；（重点）2．了解配方的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤；（重点）3．探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系，能够熟练地运用配方法解决有关问题．（难点）一、情境导入一块石头从20m高的塔上落下，石头离地面的高度)和下落时间x(s)大致有如下关系：)2＝n(n≥0)的形式再用直接开平方法求解．（2）先把方程二次项的系数化为1，再配方成(x＋m)2＝n(n≥0)的形式，最后开平方即可．解：（1）移项，得x2－4x＝－1．配方，得x2－4x＋(－2)2＝－1＋(－2)2，即(x －2)2＝3．解得x－2＝±3．∴x1＝2＋3，x2＝2－3；（2）二次项系数化为1，得x2－x＝12．配方，得x2﹣x＋14＝12＋14，即（x﹣12）2＝34．解得x﹣12＝±2．∴x1＝12，x2＝12．方法总结：用配方法解一元二次方程，实质上就是对一元二次方程变形，转化成开平方所需的形式．【类型三】用配方解决求值问题已知：x 2＋4x ＋y 2－6y ＋13＝0，求x －2y x 2＋y 2的值．解：原方程可化为(x ＋2)2＋(y －3)2＝0，∴(x ＋2)2＝0，且(y －3)2＝0．∴x ＝－2，且y ＝3．∴原式＝－2－613＝－813．【类型四】用配方解决证明问题(1)用配方法证明2x 2－4x ＋7的值恒大于零；(2)由第(1)题的启发，请你再写出三个恒大于零的二次三项式．(1)证明：2x 2－4x ＋7＝2(x 2－2x )＋7＝2(x 2－2x ＋1－1)＋7＝2(x －1)2－2＋7＝2(x －1)2＋5．∵2(x －1)2≥0，∴2(x －1)2＋5≥5，即2x 2－4x ＋7≥5．故2x 2－4x ＋7的值恒大于零．（2）解：x 2－2x ＋3；2x 2－2x ＋5；3x 2＋6x ＋8等．【类型五】利用配方法解决一些简单的实际问题如图，一块矩形土地，长是48m ，宽是24m ，现要在它的中央划一块矩形草地，四周铺上花砖路，路面宽都相解析：若设花砖路面宽为x m ，则草地的长与宽分别为(48－2x )m 及(24－2x )m ，根据等量关系：矩形草地的面积＝59×矩形土地的面积，即可列一元二次方程求解．解：设花砖路面的宽为x m ．根据题意，得(48－2x )(24－2x )＝59×48×24．整理，得x 2－36x ＝－128．配方，得x 2－36x ＋(－18)2＝－128＋(－18)2，即(x －18)2＝196．两边开平方，得x －18＝±14．即x －18＝14，或x －18＝－14．所以x 1＝32(不合题意，舍去)，x 2＝4．故花砖路面的宽为4m ．方法总结：列一元二次方程解决实际问题时，一定要检验方程的根，这些根虽然满足所列的一元二次方程，但未必符合实际问题，因此，求出一元二次方程的解之后，要把不符合实际问题的解舍去．三、板书设计教学过程中，通过观察，思考，对比获得一元二次方程的解法——直接开平方法、配方法，领会降次——转化的数学思想．强调配方法解方程就是将方程左边配成完全平方式的过程．因此需熟练掌握完全平方式的形式．培养学生从不同角度进行探究的习惯和能力，使学生在数学活动中形成实事求是的态度以及独立思考的习惯．等，草地面积占矩形土地面积的59，求花砖路面的宽．第2课时公式法1．知道一元二次方程根的判别式的概念；（重点）2．会用判别式判断一元二次方程的根的情况及根据一元二次方程的根的情况确定字母的取值范围；（重点）3．经历求根公式的推导过程并会用公式法解简单的一元二次方程．（难点）一、情境导入老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程呢，小强突然站起来说出每个方程解的情况，你想知道他是如何判断的吗？二、合作探究探究点一：一元二次方程的根的情况【类型一】判断一元二次方程根的情况不解方程，判断下列方程的根的情况．(1)2x 2＋3x －4＝0；(2)x 2－x ＋14＝0； (3)x 2－x ＋1＝0．解析：根据根的判别式我们可以知道当b 2－4ac ≥0时，方程才有实数根，而b 2－4ac 2B ．a 0，此时方程有两实数根．则a ＝－1．故选D ．方法总结：解答此类题的关键是将与方程两根有关的式子转化为用两根之和、两根之积表示的形式，从而利用一元二次方程根与系数的关系解决问题．注意不要忽略题目中的隐含条件b 2－4ac ≥0，导致解答不全面．【类型五】一元二次方程根与系数的关系和根的情况的综合应用已知x 1、x 2是一元二次方程(a －6)x 2＋2ax ＋a ＝0的两个实数根．(1)是否存在实数a ，使－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2成立？若存在，求出a 的值；若不存在，请你说明理由；(2)求使(x 1＋1)(x 2＋1)为负整数的实数a 的整数值．解：(1)存在．由题意得判别式为(2a )2－4a (a －6)＝24a ≥0．解得a ≥0．又∵a －6≠0，∴a ≥0，且a ≠6．由一元二次方程根与系数关系得x 1＋x 2＝－2a a －6，x 1x 2＝a a －6．由－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2得x 1＋x 2＋4＝x 1x 2，∴－2a a －6＋4＝a a －6，解得a ＝24．经检验a ＝24是方程－2a a －6＋4＝a a －6的解．∴存在a ＝24，使－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2成立；(2)原式＝x 1＋x 2＋x 1x 2＋1＝－2a a －6＋a a －6＋1＝66－a．∵其为负整数，且a 为整数，∴6－a ＝－1，－2，－3或－6．∴a ＝7或8，9，12．三、板书设计教学过程中，强调一元二次方程根与系数的关系是通过求根公式得到的，在利用此关系确定字母的取值时，一定要记住b2－4ac≥0这个前提条件．24．4一元二次方程的应用第1课时面积问题第2课时1．掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题，并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性；（重点、难点）2．通过探究体会列方程的实质，提高灵活处理问题的能力．一、情境导入如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%，你能求出所截去小正方形的边长吗？二、合作探究探究点：用一元二次方程解决图形面积问题【类型一】利用面积构造一元二次方程模型用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为( )A．x(5＋x)＝6B．x(5－x)＝6C．x(10－x)＝6D．x(10－2x)＝6解析：设一边长为x米，则另外一边长为(5－x)米，根据它的面积为6平方米，即可列出方程为x(5－x)＝6．故选B．方法总结：理解题意，恰当的设未知数，把题中相关的量用未知数表示出来，用相等关系列出方程．现有一块长80cm、宽60cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为x cm 的小正方形，做成一个底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，求小正方形的边长．解析：设小正方形的边长为x cm，则长方体盒子底面的长、宽均可用含x的代数式表示，再根据面积，即可建立等量关系，列出方程．解：设小正方形的边长为x cm，则可得这个长方体盒子的底面的长是(80－2x)cm，宽是(60－2x)cm，由题意得(80－2x)(60－2x)＝1500，整理得x2－70x＋825＝0，解得x1＝55，x2＝15．又60－2x>0，∴x＝55不合题意，舍去．∴小正方形的边长为15cm．方法总结：要从已知条件中找出关键的与所求问题有关的信息，通过图形求出面积，解题的关键是熟记各种图形的面积公式，列出符合题意的方程，整理即可．【类型二】整体法构造一元二次方程模型如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．设道路宽为x米，根据题意可列出的方程为．解析：解法一：如图，把两条道路平移到靠近矩形的一边上，用含x的代数式表示草坪的长为(22－x)米，宽为(17－x)米，根据草坪的面积为300平方米可列出方程为(22－x)(17－x)＝300．解法二：根据面积的和差可列方程：22×17－22x－17x＋x2＝300．方法总结：解答与边框、甬道有关的面积问题，可以根据图形面积的和差关系，寻找相等关系建立方程求解；也可以用平移的方法，把道路平移构建特殊的图形，并利用面积建立方程求解．【类型三】利用一元二次方程解决动点问题如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动．(1)如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8cm2？(2)点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ 的面积等于△ABC 的面积的一半？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由．解析：这是一道动态问题，可设出未知数，表示出PC 与CQ 的长，根据面积公式建立方程求解．解：(1)设x s 后，可使△PCQ 的面积为8cm2，则AP ＝x cm ，PC ＝(6－x )cm ，CQ ＝2x cm ．根据题意，得12(6－x )·2x ＝8．整理，得x 2－6x ＋8＝0．解得x 1＝2，x 2＝4．∴P 、Q 同时出发，2s 或4s 后可使△PCQ 的面积为8cm2．(2)不存在．理由如下：设点P 出发x s 后，△PCQ 的面积等于△ABC 的面积的一半．根据题意，得12(6－x )·2x ＝12×12×6×8．整理，得x 2－6x ＋12＝0．∵b 2－4ac ＝－12＜0，此方程没有实数根，∴不存在使△PCQ 的面积等于△ABC 的面积一半的时刻．三、板书设计与图形有关的问题是一元二次方程应用的常见题型，解决这类问题的关键是将不规则图形分割或补全成规则图形，找出各部分面积之间的关系，运用面积等计算公式列出方程；对图形进行分割或补全的原则：转化成为规则图形时越简单越直观越好．第2课时增长率问题1．会列一元二次方程解决有关平均变化率的实际问题；（重点）2．进一步经历“问题情境－－－建立模型－－－求解－－－－解释与应用”的过程，获得更多地运用数学知识分析、解决实际问题的方法和经验，进一步掌握解决实际问题的步骤和关键．（难点）一、情境导入向阳村2017年的人均收入为12000元，2019年的人均收入为14520元，求人均收入的年平均增长率．二、合作探究探究点：用一元二次方程解决增长率问题【类型一】下降率问题近年来随着中央坚持“房住不炒”的原则，某四线城市商品房的价格开始呈现下降趋势，2017年某楼盘平均售价为5000元/平方米，2019年该楼盘平均售价为4050元/平方米．如果该楼盘2018年和2019年楼价平均下降率相同，求楼价2018年到2019年的下降率．解析：设2018年、2019年的年下降率为x，那么2018年的楼价为5000（1－x）元/平方米，2019年的楼价为5000（1－x）2元/平方米，即为4050元/平方米．解：设楼价2017年到2019年的年平均下降率为x．根据题意，得5000（1－x）2＝4050，则（1－x）2＝0．81，解得x1＝0．1＝10%，x2＝1．9（不合题意，舍去）．故楼价2017年到2019年的年下降率为10%．方法总结：解决平均增长率（或降低率）问题的关键是明确基础量和变化后的量．如果设基础量为a，变化后的量为b，平均每年的增长率（或降低率）为x，则两年后的值为a（1±x）2．由此列出方程a（1±x）2＝b，求出所需要的量．【类型二】增长率问题某工厂一种产品2018年的产量是100万件，计划2020年产量达到121万件．假设2018年到2020年这种产品产量的年增长率相同．(1)求2018年到2020年这种产品产量的年增长率；(2)2019年这种产品的产量应达到多少万件？解析：(1)通过增长率公式列出一元二次方程即可求出增长率；(2)依据求得的增长率，代入2019年产量的表达式即可解决．解：(1)设这种产品产量的年增长率为x，根据题意，得100(1＋x)2＝121，解得x1＝0．1，x2＝－2．1(舍去)．答：这种产品产量的年增长率为10%；(2)100×(1＋10%)＝110(万件)．答：2019年这种产品的产量应达到110万件．方法总结：增长率问题中可以设基数为a，平均变化率为x（x＞0），增长的次数为n，则增长后的结果为a(1＋x)n；而增长率为负数，即实际所求为下降率时，降低后的结果为a(1－x)n．探究点二：用一元二次方程解决累计增长率问题某工厂使用旧设备生产，每月生产收入是90万元，每月另需支付设备维护费5万元；从今年1月份起使用新设备，生产收入提高且无设备维护费，使用当月生产收入达100万元，1至3月份生产收入以相同的百分率逐月增长，累计达364万元，3月份后，每月生产收入稳定在3月份的水平．(1)求使用新设备后，2月、3月生产收入的月增长率；(2)购进新设备需一次性支付640万元，使用新设备几个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润？(累计利润是指累计生产收入减去旧设备维护费或新设备购进费)解析：(1)设2月、3月生产收入的月增长率为x，根据题意建立等量关系，即3个月的收入之和为364万元，解方程时要对结果进行合理取舍；(2)根据题意，建立不等关系：前三个月的生产收入＋以后几个月的收入－一次性支付640万元≥旧设备几个月的生产收入－每个月的维护费，然后解不等式．解：(1)设2月、3月生产收入的月增长率为x，根据题意有100＋100(1＋x)＋100(1＋x)2＝364，即25x2＋75x－16＝0，解得x1＝－3.2(舍)，x2＝0.2．∴2月、3月生产收入的月增长率为20%；(2)设m个月后（m＞3），使用新设备所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润，根据题意有364＋100(1＋20%)2(m－3)－640≥90m－5m，解得m≥12．∴使用新设备12个月后所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润．方法总结：根据实际问题中的数量关系或是题目中给出的数量关系得到方程，通过解方程解决实际问题，当方程的解不只一个时，要根据题意及实际问题确定出符合题意的解．三、板书设计一元二次方程解决平均变化率问题：1．平均增长率（下降率）问题：平均增长率问题中的数量关系+==⎧⎪⎨⎪⎩增长次数减少次数原来（1增长率）现在，原来（1-增长率）现在 2．增长率问题的综合运用教学过程中，强调解决有关增长率问题时，应考虑实际，对方程的根进行取舍．通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣．第3课时球赛问题、营销问题1．会用列一元二次方程的方法解决球赛问题、营销问题；（重点、难点）2．进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，培养学生应用数学的意识．一、情境导入某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0．3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0．1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元？二、合作探究探究点一：球赛问题九年级举行篮球赛，初赛采用单循环制（每两个班之间都进行一场比赛），据统计，比赛共进行了28场，求九年级共有多少个班．若设九年级共有x 个班，根据题意列出的方程是（） A ．x （x －1）＝28B．12x （x －1）＝28 C ．2x （x －1）＝28D ．12x （x ＋1）＝28 解析：赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），x 个班比赛总场数＝x （x －1）÷2，即可列方程求解．故选B ．方法总结：单循环比赛的场数＝队伍数量×（队伍数量－1）÷2，类似的问题有握手问题、打电话问题、数线段问题等．注意相互之间是否有重复，再考虑是否除以2，如互赠礼物时候不用除以2．探究点二：营销问题某超市将进价为40元/件的商品按定价50元/件出售时，能卖500件．已知该商品每件每涨价1元，销售量就会减少10件，为获得8000元的利润，且尽量减少库存，售价应为多少？解析：销售利润＝（每件售价－每件进价）×销售件数．若设每件涨价x元，则售价为（50＋x）元，销售量为（500－10x）件，根据等量关系列方程即可．解：设每件商品涨价x元，根据题意，得（50＋x－40）（500－10x）＝8000，即x2－40x＋300＝0．解得x1＝10，x2＝30．当x＝10时，售价为10＋50＝60（元/件），销售量为500－10×10＝400（件）．当x＝30时，售价为30＋50＝80（元/件），销售量为500－10×30＝200（件）．∵要尽量减少库存，∴售价应为60元/件．方法总结：理解商品销售量与商品价格的关系是解答本题的关键，另外，“尽量减少库存”不能忽视，它是取舍答案的一个重要依据．探究点三：其他问题【类型一】传播问题有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感．(1)求每轮传染中平均一个人传染了多少个人；(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？解析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意可知，在第一轮，有x个人被传染，此时，共有(1＋x)人患了流感；到了第二轮，患流感的(1＋x)人作为“传染源”，每个人又传染给了x个人，这样，在第二轮中新增加的患了流感的人有x(1＋x)人，根据等量关系可列一元二次方程解答．解：(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意，得1＋x＋x(1＋x)＝121，解得x1＝10，x2＝－12(不合题意，舍去)．答：每轮传染中平均一个人传染了10个人；(2)10×121＝1210(人)．答：如果不及时控制，第三轮将又有1210人被传染．方法总结：建立数学模型，利用一元二次方程来解决实际问题．读懂题意，正确的列出方程是解题的关键．【类型二】分裂增长问题月季生长速度很快，开花鲜艳诱人，且枝繁叶茂．现有一棵月季，它的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是73．求每个支干长出多少小分支？解：设每个支干长出x个小分支，根据题意得：1＋x＋x2＝73，解得x1＝8，x2＝－9(不合题意，舍去)．答：每个支干长出8个小分支．三、板书设计1．球赛问题（单循环问题）2．营销问题总价＝单价×数量利润＝售价－进价3．其他问题（传播问题、分裂增长问题）本节的学习过程中，所提供的素材都与生活密切相关，且具有一定的思考和探索的空间．而列方程解应用题，往往对于学生来说是一个颇感困难的地方．关键点在于教师通过引导与互动，一步一步将问题抽丝剥茧，引导学生综合已有知识分析问题，鼓励学生通过数学语言、有条理地表述自己的思考过程．让学生积极参与课堂，从不同角度思考问题．【素材积累】不要叹人生苦短，若把人一生的足迹连接起来，也是一条长长的路；若把人一生的光阴装订起来，也是一本厚厚的书。

2024九年级数学上册第二十四章圆周周清检测内容：24

检测内容：24.2得分________卷后分________评价________一、选择题(每小题5分，共35分)1．在直角坐标系中，圆心为坐标原点，⊙O的半径为5，则P(3，4)与⊙O的位置关系为( A )A．点P在⊙O上B．点P在⊙O外C．点P在⊙O内D．无法确定2．已知⊙O的直径等于12 cm，圆心O到直线l的距离为5 cm，则直线l与⊙O的交点个数为( C )A．0个B．1个C．2个D．无法确定3．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应当是( B )A．第①块B．第②块C．第③块D．第④块第3题图第4题图4．(泰安中考)如图，在△ABC中，AB＝6，以点A为圆心，3为半径的圆与边BC相切于点D，与AC，AB分别交于点E和点G，点F是优弧GE上一点，∠CDE＝18°，则∠GFE 的度数是( B )A．50°B．48°C．45°D．36°5．(3分)如图，点P为⊙O外一点，P A为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，∠P＝30°，OB＝3，则线段BP的长为( A )A．3 B．3 3 C．6 D．9第5题图第6题图6．如图，⊙O为△ABC的内切圆，AC＝10，AB＝8，BC＝9，点D，E分别为BC，AC 上的点，且DE为⊙O的切线，则△CDE的周长为( C )A．9 B．7 C．11 D．87．如图，在⊙O中，AB为直径，点M为AB延长线上的一点，MC与⊙O相切于点C，圆周上有一点D 与点C 分居直径AB 两侧，且使得MC ＝MD ＝AC ，连接AD .现有下列结论：①MD 与⊙O 相切；②四边形ACMD 是菱形；③AB ＝MO ；④∠ADM ＝120°.其中正确的结论有( A )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题(每小题5分，共20分)8．用反证法证明命题“若⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离为d ，且d ＞r ，则点P 在⊙O 的外部”，首先应假设__点P 在⊙O 上或⊙O 内__．9．(枣庄中考)如图，AB 是⊙O 的直径，P A 切⊙O 于点A ，线段PO 交⊙O 于点C .连接BC ，若∠P ＝36°，则∠B ＝__27°__．第9题图第10题图第11题图10．(温州中考)如图，在Rt △ABC 中，∠A 是直角，⊙O 是它的内切圆，与AB ，BC ，CA 分别切于点D ，E ，F ，若∠ACB ＝40°，则∠DOE ＝__130°__．11．如图，正方形ABCD 的边长为6，M 是AB 的中点，P 是BC 边上的动点，连接PM ，以点P 为圆心，PM 长为半径作⊙P .当⊙P 与正方形ABCD 的边相切时，BP 的长为__94或33 __．三、解答题(共45分)12．(12分)(烟台中考)如图，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°.(1)请按如下要求完成尺规作图(不写作法，保留作图痕迹).①作∠BAC 的角平分线AD ，交BC 于点D ；②作线段AD 的垂直平分线EF 与AB 相交于点O ；③以点O 为圆心，以OD 长为半径画圆，交边AB 于点M .(2)在(1)的条件下，求证：BC 是⊙O 的切线；解：(1)如图所示(2)证明：∵EF 是AD 的垂直平分线，且点O 在EF 上，∴OA ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA ，∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠OAD ＝∠CAD ，∴∠ODA ＝∠CAD ，∴OD ∥AC ，∵AC ⊥BC ，∴OD ⊥BC ，故BC 是⊙O 的切线．13．(15分)(安徽中考)如图，AB 是半圆O 的直径，C ，D 是半圆O 上不同于A ，B 的两点，AD ＝BC ，AC 与BD 相交于点F .BE 是半圆O 所在圆的切线，与AC 的延长线相交于点E .(1)求证：△CBA ≌△DAB ；(2)若BE ＝BF ，求证：AC 平分∠DAB .解：(1)证明：∵AB 是半圆O 的直径，∴∠ACB ＝∠ADB ＝90°，在Rt △CBA 与Rt △DAB 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝AD ，BA ＝AB ， ∴Rt △CBA ≌Rt △DAB (HL) (2)∵BE ＝BF ，BC ⊥EF ，∴∠E ＝∠BFE ，∵BE 是半圆O 所在圆的切线，∴∠ABE ＝90°，∴∠E ＋∠BAE ＝90°，由(1)知∠D ＝90°，∴∠DAF ＋∠AFD ＝90°，∵∠AFD ＝∠BFE ，∴∠AFD ＝∠E ，∴∠DAF ＝∠BAE ，∴AC 平分∠DAB14．(18分)如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，D 为OC 与AB 的交点，E 为线段OC 延长线上一点，且∠EAC ＝∠ABC .(1)求证：直线AE 是⊙O 的切线．(2)若D 为AB 的中点，CD ＝6，AB ＝16.①求⊙O 的半径；②求△ABC 的内心到点O 的距离．解：(1)证明：如图①，连接AO ，并延长AO 交⊙O 于点F ，连接CF .∵AF 是直径，∴∠ACF ＝90°，∴∠F ＋∠F AC ＝90°，∵∠F ＝∠ABC ，∠ABC ＝∠EAC ，∴∠EAC ＝∠F ，∴∠EAC ＋∠F AC ＝90°∴∠EAF ＝90°，且AO 是半径，∴直线AE 是⊙O 的切线(2)①如图②，连接AO ，∵D 为AB 的中点，OD 过圆心，∴OD ⊥AB ，AD ＝BD ＝12AB ＝8，∵AO 2＝AD 2＋DO 2，∴AO 2＝82＋(AO －6)2，∴AO ＝253 ，∴⊙O 的半径为253②如图②，作∠CAB 的平分线交CD 于点H ，连接BH ，过点H 作HM ⊥AC ，HN ⊥BC ，∵OD ⊥AB ，AD ＝BD ，∴AC ＝BC ，且AD ＝BD ，∴CD 平分∠ACB ，且AH 平分∠CAB ，∴点H 是△ABC 的内心，且HM ⊥AC ，HN ⊥BC ，HD ⊥AB ，∴MH ＝NH ＝DH .在Rt △ACD中，AC ＝AD 2＋CD 2 ＝82＋62 ＝10＝BC ，∵S △ABC ＝S △ACH ＋S △ABH ＋S △BCH ，∴12×16×6＝12 ×10×MH ＋12 ×16×DH ＋12 ×10×NH ，∴DH ＝83，∵OH ＝CO －CH ＝CO －(CD －DH )，∴OH ＝253 －(6－83)＝5。

【冀教版】九年级数学上册：24.2《解一元二次方程(1)》ppt课件

课堂小结
1.依据平方根的概念可解形如（ax＋b）2= c （c≥0）的一元二次方程.
2. 通过配方，把一元二次方程变形为一边为含未知数的一次式的平方，另一边是常数，当常数为非负数时，利用开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，从而求出原方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
3．解一元二次方程的基本思路：降次——把一元二次方程化为（x+h）2=k（k≥0）的形式后两边开平方，使原方程变为两个一元一次方程.
两边开平方，得 x 5 6.
所以 x1=11,x2 =-1.
(2)移项，得 x2 2x 1.
配方，得 x2 2x 12 112，即 (x 1)2 2.
两边开平方，得 x 1 2.
所以 x1=-1+ 2,x2 =-1- 2.
做一做用配方法解方程：2x2 4x 1 0.
（4）移项，得9y2-18y=4，两边同时除以9，
得y2-2y=
4 9
，两边同时加1，得y2-2y+1=94
+1，
配方得（y-1）2=
13 9
，∴y-1=
13 3
或y-1=-
13 3
，
∴y1 =1+
13 3
，y2=1-
13 .
3
九年级数学上新课标 [冀教]
第二十四章一元二次方程
学习新知
检测反馈
学习新知
一桶油漆可刷的面积为1500 dm2,张明用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子
的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
解：设其中一个盒子的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为6x2 dm2.

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周
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清2
16．(9分)如图是一个小正方体的展开图，标注了字母A的面是正方体的正面，如果正方体的左面与右面所标注代数式的值相等，求x的值．
x1＝3＋2 5，x2＝3－2 5
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清2
12．(2013·兰州)若|b－1|＋ a－4
＝0，且
一元二次方程 k x 2 ＋ a x ＋ b ＝ 0 有实数k根≤，4且则k≠k 的0 取值范围是
____________．
13．三角形一边直长角为10，另两边长是方程x2－14x＋48＝0的两个
根，则这是一个________三角形． 14．等腰△ABC中，BC＝8，AB，m＝AC2的5或长m是＝关16于x的方程x2－10x＋
m＝0的两根，则m的值为________
．
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清2
三、解答题(共44分) 15．(16分)用适当的方法解下列方程： (1)x2－9＝0； (1)x1＝3，x2＝－3
(2)3a2－6a＋1＝0； (2)a1＝3－3 6，a2＝3＋3 6 (3)(4－5x)＋(5x－4)2＝0；x1＝45，x2＝1
(4)x2－2x－2＝0(.4)x1＝1＋ 3，x2＝1－ 3
是x_＝__6_____．
10．方程(2x－1)x＝3x－5化成一般形式为2_x_2－__4_x_＋__5＝0
，
它的二次项系数是_2___________，一次项系数是__－__4____，常数项是
____5____．
11．已知(a2＋b2)(a2＋b2－1)＝6，则a2＋b2的值是__3______．
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清2
3．方程x2＋4x＝2的正根为( D )
A．2－ 6 B．2＋ 6
C．－2－ 6 D．－2＋ 6 4．下列方程中，有两个相等实数根的是( B ) A．x2－2x－1＝0 B．x2＋2x＋1＝0 C．x2－2x＋2＝0 D．x2－2x－2＝0 5．关于x的一元二次方程(a－1)x2＋x＋a2－1＝0的一个根是0，则a的值为( A ) A．－1 B．1 C．1 或－1 D.1
2
4
2
4
C．(x－p2)2＝p2－4 4q
D．(x－p2)2＝4q－4 p2
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清2
8．若a、b、c是非零实数，且a－b＋c＝0，则有一个根是1的方程
是( B )
A．ax2＋bx＋c＝0 B．ax2－bx＋c＝0
C．ax2＋bx－c＝0 D．ax2－bx－c＝0
二、填空题(每小题4分，共24分)
9．(2013·天津)一元二次方程x(x－6)＝0的两个实数根中较大的
2
周周Βιβλιοθήκη 清26．正比例函数y＝(a＋1)x的图像经过第二、四象限，若a同时满足方
程x2＋(1－2a)x＋a2＝0，则此方程的根的情况是A( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．不能确定
7．用配方法解关于x的方程x2＋px＋q＝0时，此方程可变形为( A )
A．(x＋p)2＝p2－4q B．(x＋p)2＝4q－p2
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清2
检测内容：24.1－24.2
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清2
一、选择题(每小题4分，共32分)
1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是( C )
A．x2＋x12＝0
B．ax2＋bx＋c＝0
C．(x－1)(x＋2)＝1
D．3x2－2xy－5y2＝0 2．用因式分解法解方程，方法中正确的是( A )
A．(2x－2)(3x－4)＝0，则2x－2＝0或3x－4＝0 B．(x＋3)(x－1)＝1，则x＋3＝0或x－1＝1 C．(x－2)(x－3)＝2×3，则x－2＝2或x－3＝3 D．x(x＋2)＝0，则x＋2＝0