牛顿运动定律经典临界问题培训资料

1. 如图所示，质量为 M 的木板上放着一质量为 m 的木块，木块与木板间的动摩擦因数为卩 木板与水平地面间的动摩擦因数为卩 2

,加在小板上的力 F 为多大，才能将木板从木块下抽

出

2. 如图所示，小车上放着由轻弹簧连接的质量为

m* 1kg , mB= 0.5kg 的A 、B 两物体，两物

体与小车间的最大静摩擦力分别为

4N 和1N,弹簧的劲度系数 k = 0.2N/cm 。

① 为保证两物体随车一起向右加速运动，弹簧的最大伸长是多少厘米？ ② 为使两物体随车一起向右以最大的加速度向右加速运动，弹簧的 伸长是多少厘米？

3. 一个质量为0.2 kg 的小球用细线吊在倾角 0 =53°的斜面顶端，如图

4，斜面静止时，球

紧靠在斜面上，绳与斜面平行，不计摩擦，当斜面以 求绳的拉力及斜面对小球的弹力

?

4. 如图所示，把长方体切成质量分别为 置于光滑的水平面上。 设切面是光滑的， 平力F 满足什么条件？

A

—0亠

m

m 和M 的两部分，切面与底面的夹角为0, 长方体 要使

m 和M —起在水平面上滑动， 作用在m 上的水

10 m/s 2的加速度向右做加速运动时,

卫

图3

5?—根劲度系数为k,质量不计的轻弹簧，上端固定，下端系一质量为m的物体，有一水平板将物体托住，并使弹簧处于自然长度。如图5所示。现让木板由静止开始以加速度a(a v g ) 匀加速向下移动。求经过多长时间木板开始与物体分离

6. 如图6所示，一个弹簧台秤的秤盘质量和弹簧质量都不计，盘内放一个物体P处

于静止，P的质量m=12kg弹簧的劲度系数k=300N/m。现在给P施加一个竖直向上的力F,

使P从静止开始向上做匀加速直线运动，已知在t=0.2s内F是变力，在0.2s

以后F是恒力，g=10m/s［则F的最小值是____________, F的最大值是___

7. 一弹簧秤的秤盘质量m=1. 5kg，盘内放一质量为m>=10. 5kg的物体P,弹簧质量不计,

其劲度系数为k=800N/m，系统处于静止状态，如图7所示。现给P施加一个竖直向上的

力F,使P从静止开始向上做匀加速直线运动，已知在最初0. 2s内F是

2

变化的，在0. 2s后是恒定的，求F的最大值和最小值各是多少？( g=10m/s )

8. 一小圆盘静止在桌布上，位于一方桌的水平桌面的中央?桌布的一边与桌的AB边重合，如图所示.已知盘与桌布间的动摩擦因数为口！，盘与桌面间的动摩擦因数为口2.现突然以恒

定加速度a将桌布抽离桌面，加速度方向是水平的且垂直于AB边.若圆盘最后未从桌面掉下，则加

速度a满足的条件是什么？(以g表示重力加速度)

777777

图6

图7

对A 应用牛顿第二定律

f A

kx m A

a

x = 3.33cm

3.解题方法与技巧： 当加速度a 较小时，小球与斜面体一起运动， 此时小球受重力、绳拉力 和斜面的支持力作用，绳平行于斜面，当加速度 a 足够大时，小球将“飞离”斜面，此时小

球受重力

和绳的拉力作用，绳与水平方向的夹角未知，题目中要求 的支持力，必须先求出小球离开斜面的临界加速度 零)

由 mg cot 0 =ma 所以 a °=g cot 0 =7.5 m/s 2 因为 a =10 m/s > a o

所以小球离开斜面 N =0,小球受力情况如图

T sin a =mg

所以 T = (ma)2 (mg)2 =2.83 N, N=o. 4. F (m M )gtan

M

5. t

.

2m(g a)

。

\ ka

6. 解：因为在t=0.2s 内F 是变力，在t=0.2s 以后F 是恒力，所以在 t=0.2s 时，P 离 开秤盘。此时P 受到盘的支持力为零，由于盘和弹簧的质量都不计，所以此时弹簧处于原长。 在0——0.2s 这段时间内P 向上运动的距离：

x=mg/k=0.4m

1 丄

2

2x “ / 2

因为x -at ，所以P 在这段时间的加速度 a — 20m/s 2

t

当P 开始运动时拉力最小，此时对物体 P 有N-mg+F nin =ma,又因此时 N=mg 所以有

F min =ma=240N.

1.F>( (1 i +口 2)(M+m)g

牛顿运动定律临界问题经典题目详细解答

2.(1)为保证两物体随车一起向右加速运动，且弹簧的伸长量最大, 擦力应达到最大，方向分别向右、向左。 对A B 作为整体应用牛顿第二定律

A B 两物体所受静摩

f A f B m A m B

2

2m /s

(3分)对A 应用牛顿第二定律

A kx m A a

x = 0.1m

(2)为使两物体随车一起向右以最大的加速度向右加速运动, A 、B 两物体所受静摩擦力

应达到最大，方向均向右。 对A 、B 作为整体应用牛顿第二定律

屯电

m A m B

巴m/s

a =10 m/s 2时绳的拉力及斜面

a 。.(此时，小球所受斜面支持力恰好为

5,贝U Tc os a =ma

当P 与盘分离时拉力 F 最大，F ma>=m(a+g)=360N. 7.

解：因为在t=0.2s 内F 是变力，在t=0.2s 以后

F 是恒力，所以在t=0.2s 时，P 离开秤 盘。此时P 受到盘的支持力为零，由于盘的质量 m=1.

5kg ，所以此时弹簧不能处于原长，

这与例2轻盘不同。设在 0― .2s 这段时间内P 向上运动的距离为 x,对物体P 据牛顿第二 定律可得：

F+N-m 2g=ma

对于盘和物体P 整体应用牛顿第二定律可得：

(E m b )g

k

1 2

对桌布s = 2 at

a 》(口 1 + 2 口 2) 口 1g / 口 2

令N=0,并由述二式求得 x

m 2g m i a

—，而

x

| at 2，所以求得

a=6m/s 2.

此时对盘和物体

P 整体有 当P 与盘分离时拉力 F 最大，F ma>=m(a+g)=168N. 8解：对盘在桌布上有 在桌面上有 口 2mg = ma 当P 开始运动时拉力最小, F min =(m 1+m)a=72N

.

1mg = ma ② 2 u

1 =

2 as 1 ③

2

1 =

2 a 2S 2 盘没有从桌面上掉下的条件是

S 2

W

m 2)a

对盘S 1 = 由以上各式解得

10. （2010江苏无锡模拟）如图（a）所示，质量为M=10kg 的滑块放在水平地面上，滑

块上固定一个轻细杆ABC / ANC45°。在A端固定一个质量为

n=2kg的小球，滑块与地面间的动摩擦因数为卩=0.5。现对滑块施加一个水平向右的推力F i=84N,使滑块做匀速运

动。求此时轻杆对小球的作用力F2的大小和方向。（取2

g=10m/s ）

有位同学是这样解的一一小球受到重力及杆的作用力

F2,因为是轻杆，所以F2方向沿杆向上，受力情况如图（b）所示。根据所画的平行四边形，可以求得

F a = . 2 mg=20 . 2 N

你认为上述解法是否正确？如果不正确，请说明理由，并给出正确的解答。

解析：结果不正确，杆AB对球的作用力方向不一定沿着杆的方向.由牛顿第二定律, 对整体有

F i—(1 ( M+ n)g = ( M+n)a

_ F i （M m）g _84 0.5 （10 2） 10 , 2

a= = m/s

M m 10 2

解得：F2= （mg）2—（ma）2（2一10）2一（2一2）2N 4.26 N=20.4N

tan a =巴$=5.轻杆对小球的作用力F2与水平方向夹角斜向右上。

ma

（二）、解决临界值问题的两种基本方法

1 .以物理定理、规律为依据，首先找出所研究问题的一般规律和一般解，然后分析和

讨论其特殊规律和特殊解。

2.直接分析、讨论临界状态和相应的临界值，找出相应的物理规律和物理值

【例1】质量为0.2kg的小球用细线吊在倾角为0 =60°的斜面体的顶端，斜面体静止

时，小球紧靠在斜面上，线与斜面平行，如图所示，不计摩擦，求在下列三种情况下，细线对小球的拉力（取g=10 m/s 2）（1）斜面体以2. 3 m/s2的加速度向右加速运动；（2）斜面体以4.3 m/s2,的加速度

向右加速运动；

【解析】解法1：小球与斜面体一起向右加速运动，当a 较小时，小球与斜面体间有挤

压；当a较大时，小球将飞离斜面，只受重力与绳子拉力作用。因此要先确定临界加速度

a 。（即小球即将飞离斜面，与斜面只接触无挤压时的加速度） 此时

小球受力情况如图所示， 由于小球的加速度始终与斜面体

相同，因此小球所受合外力水平向右，将小球所受力沿水平方 向和

竖直方向分解

解，根据牛顿第二定律有 T cos 0 =ma , T sin 0 =mg 联立上两式得a °=5.77m/s 2

所以小球受斜面的支持力 F N1的作用，受力分析如图所示，将 方向分解，同理有

T | cos F N1 sin ma 1, T 1 sin F N1coss mg

联立上两式得 T 1 = 2.08N, F NI = 0.4N

(1)

a=2 . 3 m/s 2

v 5.77 m/s T 1, F NI 沿水平方向和竖直

(2) 32=4 3 m/s2> 5.77 m/s 2,所以此时小球飞离斜面，设此时细线与水平方向夹角为

e °，如图4-73 所示，同理有T2 cos 0 ma2, T2 sin

联立上两式得T2 = 2.43N, e 0= arctan 1.44

解法2:设小球受斜面的支持力为F N ,线的拉力为T,

水平方向和竖直方向分解，根据牛顿第二定律有

T cos F N sin ma , T sin F N coss

联立上两式得：T= m( g sin e + a cos e ) cos

F N= m( g cos e 一a sin e )

0 mg

受力分析如图所示，将T、F N沿

mg

e

当F N= 0时，即a= g cot e= 5.77m/s 2时，小球恰好与斜面接触。所以，当a>5.77 m/s2时，小球将飞离斜面；a< 5.77 m/s，小球将对斜面有压力。

评注：解法1直接分析、讨论临界状态，计算其临界值，思路清晰。解法2首先找出所

研究问题的一般规律和一般解，然后分析和讨论其特殊规律和特殊解。本题考察了运动状态的改变与受力情况的变化，关健要明确何时有临界加速度。另外需要注意的是，当小球飞离斜面时【例2】如图所示，木块A B静止叠放在光滑水平面上，A的质量为m B的质量为2 m 现施加水平力F拉B, A、B刚好不发生相对滑动，一起沿水平面运动。若改为水平力F'拉A,使A、B也保持相对静止，一起沿水平面运动，则F'不得超过(B )

A. 2F B . F/2 C . 3F D . F/3

【解析】水平力F拉B时，A、B刚好不发生相对滑动，这实际上是将要滑动，但尚未滑动的一种临界状态，从而可知此时A、B间的摩擦力即为最大静摩擦力。

先用整体法考虑，对A、B整体：F = ( m+ 2n) a 再将A隔离可得A、B间最大静摩擦力为：f m = ma

若将F'作用在A上，隔离B可得：B能与A一起运动，而

加速度a' = f m/ (2 m

再用整体法考虑，对A、B整体：F'= (m+ 2m a',

【答案】

解以上两方程组得：治=F/3

A B不发生相对滑动的最大

由以上方程解得：F'= F/2

例2 A B两木块叠放在竖直轻弹簧上，如图所示，已知木块A、B质

量分别为0.42 kg和0.40 kg，弹簧的劲度系数k=100 N/m，若在木块A 上作用一

个竖直向上的力F,使A由静止开始以0.5 m/s2的加速度竖直向

上做匀加速运动(g=10 m/s 2)

求：使木块A竖直做匀加速运动的过程中，力F的最大值；

分析：此题难点和失分点在于能否通过对此物理过程的分析后，确定

两物体分离的临界点，即当弹簧作用下的两物体加速度、速度相同且相互

作用的弹力N =0时，恰好分离。

解题方法与技巧：

当F=0 (即不加竖直向上F力时)，设A、B叠放在弹簧上处于平衡时弹簧的压缩量为X,

kx = (rm+rm ) g x = (m+rra ) g /k

①

对A 施加F 力，分析A B 受力如图 对 A F +N- mg =n A a ② 对 B kx ' - N- mg =ma '

③ 可知，当N^0时，AB 有共同加速度a =a '，由②式知欲使 A 匀加速运动，随 N 减小F 增大。当N=0时，F 取得了最大值F m

即 F m =m （ g +a ）=4.41 N

例3 物体A 、A 和B 、B 的质量均为 m A 、A 用刚性轻杆连接，B 、B 2用轻质弹簧连接。 两个装置都放在水平的支托物上，处于平衡状态， 突然迅速地撤去支托物， 让物体下落，在

撤去支托物瞬间，A l 、A 所受合外力分别是 F A1和F A2, B 、B 2所受到的合外力分别为 F B1和F B2, 则()

A 、F AI =0，

F A2=2mg B F Ai =mg, F A2=mg,

C F AI =0， F A2=2mg

D 、F Ai =mg, F A2=mg,

解析： 杆上的力是瞬变的。

左边的两个物体，支撑的物体消失， 则同时开始做自由落体运动。 重力提供加速度。则杆对 物体就没有作用力了。

对A 和A 2来说，受到的合力就是自身的重力

mg

F A1=F A2=mg

右边的两个物体，支撑的物体消失，同样也会做自由落体。

但是对B 1来说，由于弹簧的力不会瞬变，还是有向上的弹力，所以合外力为零。

F B 1 = 0

对B 2来说，原本受到自身重力

mg 弹簧弹力 mg 和向上的支持力2mg

现在向上的支持力 2mg 消失，则还受到自身重力和弹簧弹力。

F B2=2mg

答案：B

例6:如图所示，A B 两小球分别连在弹簧两端， B 端用细线固定在

倾角为30°的光滑斜面上，若不计弹簧质量，在线被剪断瞬间，

A

B 两球的加速度分别为(

D )

A 、都等于g

2

B g 和0

2

F B 1=0，

F B2=2mg

F B 1=0， F B2=2mg

F B1=mg, F B2=mg

g 和 0 D 、0 和 M A M B 9

2 M B 2

解析：线被剪断的瞬间，弹簧的弹力不会发生瞬变，因此弹簧弹力不变， a A =0。

对AB 整体进行分析，绳子拉力 T = (m +m ) g sin30 ° = (m +m ) g /2

M B

例7：如图，质量为 m 的物体A 放置在质量为 M 的物体B 上，B 与弹簧相连，它们一起在光滑水平面上做简谐振动，

振动过程中

A B 之间无相对运动，设弹簧的劲度系数为 k ，当物体离开平衡 位置的位移

为x 时，A B 间摩擦力的大小等于(D )

A 0

B k x

C 、( — ) k x

M

当物体离开平衡位置 又已知振动过程中

AB 之间无相对运动，则 AB 之间存在静摩擦力。 AB 之间的静摩擦力提供 A 在最大位移处的回复力

因止匕a B =T / m =

M

A

M B

f =ma =( )kx

M B

x 时，F 回=kx= ( m+M a ，得到AB 整体的加速度 kx a =

M + m

D