单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义(精品说课稿)
单位圆与任意角的三角函数课件-高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册
分析：如图设角的终边与单位圆交于点，则点
, ，且 = 1。点 , 在角的终边上，
则 = 2 + 2 ，分别过点, 作轴的垂线, ，
垂足为, ，易知△ ∽△ ，所以
点 , ，那么：
三角函数
的正弦函
数
的余弦函
数
定义
记法
符号表示
点的纵坐标
=
点的横坐标
=
概念剖析：
（1）是一个任意角，也就是实数（弧度数）所以，设是一个任意角实际上就
是说明它是一个任意的实数
（2）终边与单位圆的交点 , ，实际上给出了两对对应关系
2 11
,
3
6
上的最值。
例7、比较函数值的大小
（1）下列结论正确的是（ ）
A、400 > 50
B、220 < 590
C、130 > 500
D、 −40 < 310
（2）比较下列各组数的大小
6
6
①3, 4
② ,
对 点 练 习
1、在单位圆中， = − ：（1）画出角；（2）求角的正弦函数值和余弦函数
4
值。
2、若角的终边过点
1 3
,
2 2
，求，。
3、已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，若 4, 是角终边上一
点，且 =
2 5
− ，求的值。
5
3、常见的特殊角的三角函数值
实数对应点的纵坐标，实数对应点的横坐标。
由于对于任意一个角，它的终边是唯一确定的，所以交点 , 唯一确定，也
三角函数正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式
三角函数正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式三角函数是数学中常用的一类函数，包括正弦函数和余弦函数。
正弦函数和余弦函数的定义基于三角形中的对应比例关系，而它们的诱导公式则是通过将定义域从锐角扩展到任意角来推导得出的。
下面将逐步介绍正弦函数和余弦函数的定义和诱导公式。
1.正弦函数定义：在单位圆上，以原点为中心，半径为1的圆周上任取一点P，将P点的y坐标称为该点的正弦值，记作sinθ。
当点P位于单位圆的角度θ处时，sinθ的值等于P点在y轴上的投影长度与圆的半径1之比。
因此正弦函数的定义可以表示为：sinθ = P点的纵坐标/1 = y/1 = y2.余弦函数定义：同样在单位圆上，以原点为中心，半径为1的圆周上任取一点P，将P点的x坐标称为该点的余弦值，记作cosθ。
当点P位于单位圆的角度θ处时，cosθ的值等于P点在x轴上的投影长度与圆的半径1之比。
因此余弦函数的定义可以表示为：cosθ = P点的横坐标/1 = x/1 = x正弦函数和余弦函数是周期函数，它们在定义域内的取值范围都在[-1,1]之间。
接下来介绍正弦函数和余弦函数的诱导公式：3.正弦函数的诱导公式：根据正弦函数的定义，我们可以将定义域从锐角扩展到任意角。
设θ为任意角，则θ可以被表示为θ=π-α，其中α是锐角。
根据三角函数的周期性，θ和α具有相同的正弦值，因此我们可以推导出正弦函数的诱导公式：sinθ = sin(π - α) = sinπ·cosα - cosπ·sinα但根据单位圆的性质，sinπ = 0，cosπ = -1，因此上式可以简化为：sinθ = -sinα4.余弦函数的诱导公式：同样，设θ为任意角，则θ可以被表示为θ=π-α。
根据三角函数的周期性，θ和α具有相同的余弦值，因此我们可以推导出余弦函数的诱导公式：cosθ = cos(π - α) = cosπ·cosα + sinπ·sinα但根据单位圆的性质，sinπ = 0，cosπ = -1，因此上式可以简化为：cosθ = cosα通过正弦函数和余弦函数的定义和诱导公式，我们可以在单位圆上准确地计算任意角的正弦和余弦值。
第一章44.1单位圆与任意角的正弦函数余弦函数定义教学设计高中数学新北师大版()
【基础铺垫】1．任意角的正弦、余弦函数的定义（1）单位圆的定义在直角坐标系中，以坐标原点为圆心，以单位长度为半径的圆，称为单位圆．（2）如图所示，设α是任意角，其顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆O 交于点P (u ，v )，那么：正弦函数 余弦函数 定义 点P 的纵坐标v 定义为角α的正弦函数，记作v ＝sin_α 点P 的横坐标u 定义为角α的余弦函数，记作u ＝cos_α正弦、余弦函数定义的推广:设P x ，y 是角α的终边上任意一点，P 到原点的距离r ＝|OP |＝x 2＋y 2，则sin α＝y r ，cos α＝x r. 思考1：对于任意角α，sin α，cos α都有意义吗？[提示] 由三角函数的定义可知，对于任意角α，sin α，cos α都有意义．【合作探究】所以⎩⎨⎧ x ＝55，y ＝255，于是sin α＝y ＝255， cos α＝x ＝55. 法二：在角α的终边上任取一点P (x ，y )(x >0)，则OP ＝x 2＋y 2＝x 2＋4x 2＝5|x |，又因为x >0，所以OP ＝5x .所以sin α＝y 5x ＝255，cos α＝x 5x ＝55. 【规律方法】求任意角的正弦函数、余弦函数值有两种方法：1利用单位圆中的正、余弦函数的定义.即若角α的终边与单位圆交于点P u ，v ，则v ＝sin α，u ＝cos α.2利用正弦、余弦函数定义的推广.根据初中锐角三角函数的定义，设Px ，y 是角α的终边上任意一点，P 到原点的距离r ＝|OP |＝x 2＋y 2，则sin α＝y r ，cos α＝x r .。
高中数学 必修2(北师大)1.4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义
答案：2
题型一 已知角，求三角函数值——自主完成
1．如图所示，直线 l 的倾斜角为23π，且与单位圆交于 P，Q 两点，
则点 P 的横坐标是( )
1 A.2
B．－12
3 C. 2
D．－
3 2
解析：因为 cos 23π＝－21，故选 B. 答案：B
3 2
B．－12
3
1
C. 2
D.2
解析：根据任意角的正弦定义，可得 sin α＝y＝－21. 答案：B
3．已知角 α 的终边过点(3，－4)，则 cos α＝( )
4 A.5
B．－45
3 C.5
D．－35
解析：∵x＝3，y＝－4，∴r＝5.∴cos α＝xr＝53. 答案：C
4．若锐角 β 的终边过点(1，m)，且 cos β＝ 55，则 m＝________.
4.1 单位ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ与任意角的正弦函数、余弦函数定义
[教材要点]
要点 任意角的正弦函数和余弦函数 1．给定任意角 α，角 α 的终边与单位圆的交点为 P(u，v)，点 P 的纵坐标 v、横坐标 u 都是唯一确定的，则 v＝__s_in__α___，u＝__co_s__α___.
2．利用角的终边上任意一点的坐标定义正、余弦函数
如图所示，在角 α 终边上任取一点 P(x，y)，设|OP|＝r，
y
y
x
x
则 sin α＝____r____＝__x_2_＋__y_2 _，cos α＝____r____＝___x_2_＋__y_2 .
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
41单位圆与任意角的正弦函数余弦函数定义课件高一下学期数学北师大版2
Q（x，y)
例：（2，-4）（-3，-4）（-5，12）
常见的勾股数？
位于第二象限 作相似
题型1： （求任意角的正弦函数值、余弦函数值）
练习1~2 典例1 练习1
题型2：(确定三角函数值的符号）
典例2
练习2
能力提升：
1.4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的性质
函数！
自变量：α 应变量：sin α，cosα
第4小节 正弦函数与余弦函数的概念及性质
学习目标
1.4.1 单位圆与任意角的三角函数意义
问初中三角函数怎么定义的？
A
①直角三角形 ②锐角
特殊角度的三角
E C
A
B
D
到了高中，不局限于锐角，如何推广到任意角？
1、单位圆
2、单位圆中的锐角三角函数 弧度制下常见角度的三角函数值：
结论2：
P（u，v) α -α
P1（u,-v）
②角
与角α的终边关于____原___点_____对称
结论：
补充：角
与角α
P（u，v) α
③角
与角α的终边关于____y__轴______对称
结论：
P（u，v) α
当a为第一象限角时
练习1
题型总结： 1、运用诱导公式求值 2、运用诱导公式化简
练习2：计算
练习
题型2：（求三角函数的定义域）
典例1
题型3：（判断符号求值）
典例2：（1）确定 sin105°·cos230°的符号
（2）求值：sin(-1740°)cos1470°+cos(-660°)·sin 750°
题型4：（三角函数在单位圆中的妙用）
典例3
1.4.3 诱导公式与对称
单位圆与任意角的正弦余弦函数的定义课件
对于任意一个角x，每增加2π的整数倍，其正弦、余弦
函数值均不变.所以，正弦、余弦函数值均是随角的变化 呈周期性变化的.我们把这种随自变量的变化呈周期性变 化的函数叫作周期函数.有
sin(x 2k) sin x,k Z cos(x 2k) cos x,k Z
正弦函数、余弦函数是周期函数，称 2 k(k Z, k 0) 为正弦函数、余弦函数的周期.
0
1 2
2 31
22
1
3 2
2 2
1 2
0
31 0
22
1 2
1 3 -1 3
22
2
3 -1 3
2
2
10
2
1 2
0
1 2
31
2
如图，已知角x，作出2π+x
y
P(x,y) x
O
x
终边相同的角的正弦函数值相等，
即 sin(x 2k) sin x, k Z ；
终边相同的角的余弦函数值相等， 即 cos(x 2k) cos x,k Z .
设op=r,根据三角形相似可知，
sin v y yBiblioteka r x2 y2 cos v x x
r x2 y2
. P(yu,v) P'(x, y)
O M M' x
说明：①三角函数的值与点在终边上的位置无关， 仅与角的大小有关
②上式为计算正、余弦函数值的第二种方式
当α在第一、二等象限时，sinα的符号如何？cosα呢？
在初中我们是如何定义锐角三角函数的？
P
c a
O bM
a
sin c
b
cos c
a
tan b
新知学习
任意角的正弦函数、余弦函数的定义
周期性
总结词
正弦函数和余弦函数都是周期函数，这意味 着它们的图像会重复出现。
详细描述
周期函数的定义是，如果存在一个非零常数 $T$，使得对于定义域内的所有$x$，都有 $f(x+T)=f(x)$，则称$f(x)$是周期函数， $T$是它的周期。对于正弦函数和余弦函数， 它们的周期是$2pi$。这意味着无论角度是 多少，正弦和余弦函数的值都会在一定的周 期内重复。
04
在$0^circ$到 $360^circ$之间，余弦 函数在$0^circ$、 $180^circ$处取得最大 值1和最小值-1。
正弦函数与余弦函数的比较
正弦函数和余弦函数有许多相似之处，如它们 都是周期函数，其值域也都为$[-1,1]$。
然而，它们在图像上呈现出不同的形态。正弦 函数的图像呈现正弦波的形状，而余弦函数的 图像呈现余弦波的形状。
正弦函数的周期性
正弦函数具有周期性，其周期 为2π。
在一个周期内，正弦函数呈 现出波形变化的特点，即随 着角度的增加，正弦值在-1
和1之间循环变化。
正弦函数的周期性是三角函数 的一个重要性质，在解决实际
问题中具有广泛的应用。
02
任意角的余弦函数定义
定义
1
任意角α的余弦函数定义为：cosα = x/r，其中x 是余弦函数在单位圆上对应的横坐标，r是单位圆 的半径。
乘积公式
总结词
乘积公式是正弦函数和余弦函数之间的另一种重要关 系，用于将两个角的正弦或余弦值的乘积转换为其他 角度的正弦或余弦值。
详细描述
乘积公式是三角函数中另一个重要的公式，它表示两个 角的正弦或余弦值的乘积可以通过已知的两个角的三角 函数值计算出来。具体来说，对于任意角α和β，有： sin α cos β=1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]；cos α cos β=1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]；sin α sin β=1/2[cos(αβ)-cos(α+β)]。这些公式在解决实际问题时也非常有用， 例如在信号处理和振动分析等领域。
单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义(精品说课稿)
尊敬的各位评委各位老师：大家好，我是高中数学组号考生，今天我说课的题目是《单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义》。
下面我将从说教材、说学情、说教学目标、说教学过程等几个方面来展开我的说课。
首先来说说教材。
本课是北师大版高中数学必修四第1章第4节第1课时，任意角的三角函数是本章教学内容的基本概念，是学好本章内容的关键，它是学生在学习了锐角三角函数后对任意角知识的延伸拓展。
并且，通过这部分内容的学习，可以帮助学生更加深入理解函数这一基本概念，它不仅是初中已学三角函数的推广，也是后续学习平面向量、解析几何等内容的必要准备，具有承前启后的作用。
分析完了教材，再来说说学情。
高二年级的学生，在初中已经学习了基本的锐角三角函数知识和概念，掌握了锐角三角函数的一些常见的知识和求法。
同时，学生已经具备一定的自学能力。
但由于我们的学生认识问题还不够深入，其思维能力和判断分析能力尚在培养形成之中。
鉴于此种情况，教师要充分利用他们的兴趣引导学生进入特定的教学意境，如何学好利用单位圆研究正余弦函数的定义，就是摆在师生面前的一个亟待解决的问题。
因此，本节内容的学习是学生认知发展和知识构建的一个生长点。
基于以上教材地位、学情特点以及新课标的要求，我确定了以下三维教学目标：1、理解并掌握任意角的三角函数的定义，这是本课教学的重点。
2、通过观察、类比等方法将初中时学过的锐角三角函数的概念推广到任意角的三角函数。
平面直角坐标系下用坐标比值定义的观念的转换以及利用坐标求三角函数值是本课教学的难点。
3、通过本节课的学习，激发学生学习数学的兴趣和善于发现、勇于探索的精神，体会学习的快乐。
数学课程标准倡导“合作、自主、探究”的学习方法，教学过程应重视学生的实践活动，引导学生主动地获取知识，全面提高学生的数学素养。
所以，本堂课的教学，我准备采用演示法、情境教学法、讨论分析法等。
在学法上，我将以“把学习的主动权还给学生”为指导思想，采取领会法、合作学习法、研究性学习法等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
尊敬的各位评委各位老师：
大家好，我是高中数学组号考生，今天我说课的题目是《单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义》。
下面我将从说教材、说学情、说教学目标、说教学过程等几个方面来展开我的说课。
首先来说说教材。
本课是北师大版高中数学必修四第1章第4节第1课时，任意角的三角函数是本章教学内容的基本概念，是学好本章内容的关键，它是学生在学习了锐角三角函数后对任意角知识的延伸拓展。
并且，通过这部分内容的学习，可以帮助学生更加深入理解函数这一基本概念，它不仅是初中已学三角函数的推广，也是后续学习平面向量、解析几何等内容的必要准备，具有承前启后的作用。
分析完了教材，再来说说学情。
高二年级的学生，在初中已经学习了基本的锐角三角函数知识和概念，掌握了锐角三角函数的一些常见的知识和求法。
同时，学生已经具备一定的自学能力。
但由于我们的学生认识问题还不够深入，其思维能力和判断分析能力尚在培养形成之中。
鉴于此种情况，教师要充分利用他们的兴趣引导学生进入特定的教学意境，如何学好利用单位圆研究正余弦函数的定义，就是摆在师生面前的一个亟待解决的问题。
因此，本节内容的学习是学生认知发展和知识构建的一个生长点。
基于以上教材地位、学情特点以及新课标的要求，我确定了以下三维教学目标：
1、理解并掌握任意角的三角函数的定义，这是本课教学的重点。
2、通过观察、类比等方法将初中时学过的锐角三角函数的概念推广
到任意角的三角函数。
平面直角坐标系下用坐标比值定义的观念的转换以及利用坐标求三角函数值是本课教学的难点。
3、通过本节课的学习，激发学生学习数学的兴趣和善于发现、勇于探索的精神，体会学习的快乐。
数学课程标准倡导“合作、自主、探究”的学习方法，教学过程应重视学生的实践活动，引导学生主动地获取知识，全面提高学生的数学素养。
所以，本堂课的教学，我准备采用演示法、情境教学法、讨论分析法等。
在学法上，我将以“把学习的主动权还给学生”为指导思想，采取领会法、合作学习法、研究性学习法等。
为了完成既定的学习目标，解决教学重难点，课堂教学我将按照以下几个环节展开：
环节一：激趣导入，未成曲调先有情
上课伊始，我会以复习提问方式开始的我课程，为激发学生兴趣，我设计了如下导语：
在直角三角形中，锐角的正弦、余弦、正切函数怎样表示？通过最为熟悉的直角三角形，从它的表示方法、图形特征，突出对其问题的理解，为任意角三角函数新概念的提出奠定基础。
然后再提出问题：现在要求sin250的值，怎么办？还能不能用直角三角形来求？结果显然不能，我们应该如何对初中的锐角三角函数的定义进行修改，把锐角三角函数推广到任意角三角函数呢？也就是我们今天要探究的内容，即单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义（板书）。
通过回顾以前学习过的知识而探究新知识，引发学生的认识冲
突。
并直接引出课题。
学生在教师引导带着问题去独立思考,自主学习,并通过对问题的思考提高理解能力,强化自我意识,促进由学会到会学转化,形成良好的思维品质。
环节二：引入新知，高屋建瓴勇探究
在这一环节，我继续提问引导学生：
前面我们已经把锐角推广到了任意角，锐角的三角函数概念也能推广到任意角三角函数的定义吗？如何推广？请同学们以同桌为单位分小组讨论。
随后我继续引导学生：随着角的概念的推广，研究角时多放在直角坐标系里，那么三角函数的定义能否也放到坐标系去研究呢？
随后，通过再黑板上的直角坐标系，利用数形结合的数学思想，为后续研究做准备，从而得出任意角三角函数的定义：作以坐标原点为圆心的单位圆，对于任意角a，使得a的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边与点位于交于唯一的点P（u,v），把纵坐标v 定义为a的正弦函数，记作v=sina，横坐标u定义为a的余弦函数，记作u=cosa。
此时，我再让学生观察下角度与三角函数的对应关系，可以分析出什么，继而引导得出：对于a，P的纵坐标和横坐标都是唯一确定的，即正余弦函数都是以角为自变量，单位圆上的点的坐标为函数值的函数。
最后是应用与提高，为了让学生及时熟悉定义，同时为后续学习其他三角函数性质作铺垫，我将和学生共同完成书本上的例题，并让学生思考：通过本题你有什么收获，能否将已学知识融会贯通？学生
才是学习活动的主体，让学生成为学习的研究者，不断地让学生体验到成功的喜悦，激发学生参与学习活动的热情，不仅使学生获得了知识，更培养了学生善于归纳总结思维品质。
环节三，延伸拓展，能探风雅无穷意
在这一环节，为了让同学对正余弦函数定义加深印象，我让学生小组讨论回顾本节课的重点知识点，再让学生在课外动笔写出自己对两角差的余弦函数的感受。
同时利用多媒体课件将本课内容进行串讲，加深同学们的印象及理解。
一堂成功的数学课，应当是授之以渔。
因此，课堂结束我会布置如下作业：已知角a的大小是30角，由定义求角a的正余弦函数值，这是基本题，如果不限制A的象限，sinA＝0.2求cosA，tanA的值。
拓展，如果不限制A的象限呢？可以留作课外探讨，这是提高拓展题，体现分层教学思想。
基本题面向全体，注重知识反馈，提高拓展题更注重知识的延伸性、连贯性和应用性，有能力的学生可以去探求。
最后，是我的板书设计。
好的板书能给学生美的享受，思想的启迪。
我的板书（配合手势）简洁明了，重点突出，使学生一目了然。
以上就是我说课的全部内容，感谢各位老师的耐心倾听，老师们辛苦了，谢谢！。