北京市清华大学附属中学2019_2020学年高二数学上学期期中试题(含解析)
A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等边三角形
6. 已知点 F1，F2 是椭圆 x2+2y2＝2 的两个焦点，点 P 是该椭圆上的一个动点，那么的
最小值是 （
）
A. 0
B. 1
C. 2
D.
7. 已知直线 x-y+m=0 与圆 O：x2+y2=1 相交于 A，B 两点，且△AOB 为正三角形，则实
则
,
所以一条渐近线的斜率为
,
பைடு நூலகம்
所以, 故答案为：2． 15.【答案】解：= =2sin（2x+）+1． （1）函数 f（x）图象的相邻两条对称轴的距离为； （2）∵x∈，∴2x+∈[，]， ∴当 2x+=，即 x=时，f（x）取得最大值为 3； 当 2x+=，即 x=-时，f（x）取得最大值为-1．
【解析】利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积． （1）求出函数的半周期得答案； （2）由 x 的范围求出相位的范围，进一步求得函数的最值及使函数取得最值的 x 值． 本题考查 y=Asin（ωx+φ）型函数的图象与性质，训练了倍角公式与两角和的正弦的 应用，是基础题． 16.【答案】解：（1）由余弦定理及已知得：cosB==， （2）因为 A，B 为三角形内角， 所以 sinA===，sinB===， 由正弦定理得：b===7， 又∵cosA==． ∴c2-2c-15=0，解得 c=5 （c=-3 舍）． ∴S△ABC=bc•sinA=．
19. 已知椭圆的焦点到短轴的端点的距离为，离心率为． （1）求椭圆 C 的方程； （2）过点（1，0）的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，过点 B 作平行于 x 轴的直线 BN，交直线 x=5 于点 N，求证：直线 AN 恒过定点．
2
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20. 已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，对每一个正整数 n，该数列前 n 项的最大 值记为 An，第 n 项之后各项 an+1，an+2，…的最小值记为 Bn，记 dn=An-Bn． （1）若数列{an}的通项公式为 an=，求数列{dn}的通项公式； （2）证明：“数列{an}单调递增”是“∀n∈N*，dn＜0”的充要条件； （3）若 dn=an 对任意 n∈N*恒成立，证明：数列{an}的通项公式为 an=0．
5
【解析】解：根据题意，圆 C 的圆心在直线 x-y=0 上，设圆 C 的圆心为（a，a），半径 为 r； 又由圆 C 过点（2，2）且与直线 x+y=0 相切，则有 r2=（a-2）2+（a-2）2=（）2， 解可得 a=1，即圆心的坐标为（1，1）， 则 r2=（a-2）2+（a-2）2=2， 则圆 C 的方程为（x-1）2+（y-1）2=2； 故答案为：（x-1）2+（y-1）2=2． 根据题意，设圆 C 的圆心为（a，a），半径为 r，结合题意可得 r2=（a-2）2+（a-2）2= （）2，解可得 a 的值，即可得圆心的坐标，据此求出 r 的值，由圆的标准方程即可得 答案． 本题考查直线与圆的位置关系以及圆的标准方程的计算，关键是求出圆的圆心，属于基 础题． 11.【答案】（，0）；-=1
【解析】解：由题知 O1（0，0），O2（m，0），半径分别为，2，根据两圆相交， 可得圆心距大于两圆的半径之差而小于半径之和，即＜m＜3． 又 O1A⊥O2A，所以有 m2=+=25，∴m=±5． 再根据=•AO1•AO2=O1O2•，求得 AB=2×=4， 故答案为：4． 画出草图，O1A⊥AO2，有勾股定理可得 m 的值，再用等面积法，求线段 AB 的长度． 本小题主要考查圆的标准方程、两直线的位置关系、直线和圆相交的性质等知识，属于 基础题． 14.【答案】2
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北京市清华大学附属中学 2019-2020 学年高二数学上学期期中试
题（含解析）
一、选择题（本大题共 8 小题）
1. 已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍，则椭圆的离心率等于（ ）
A.
B.
C.
D.
2. 倾斜角为 135°，在 y 轴上的截距为－1 的直线方程是(
【解析】解：=-（），设∠CAB=α∈（0，π）， 所以=-=-[]=--cos（π-α） =-（）∈． 故选：A． 利用已知条件表示的表达式，然后求解范围即可． 本题考查向量的数量积的应用，考查计算能力． 9.【答案】y=±x
【解析】解：双曲线 x2-=1 的 a=1，b=， 可得渐近线方程为 y=±x， 即有 y=±x． 故答案为：y=±x． 由双曲线的方程-=1 的渐近线方程为 y=±x，求得 a，b，即可得到渐近线方程． 本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用双曲线的性质，考查运算能力，属于基 础题． 10.【答案】（x-1）2+（y-1）2=2
数 m 的值为（ ）
A.
B.
C. 或
D. 或
8. 在△ABC 中，AB=AC=1，D 是 AC 的中点，则的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共 6 小题，共 30.0 分）
9. 双曲线 x2-=1 的渐近线方程为______．
10. 已知圆 C 的圆心在直线 x-y=0 上，过点（2，2）且与直线 x+y=0 相切，则圆 C 的方
13. 若⊙O1：x2+y2=5 与⊙O2：（x-m）2+y2=20（m∈R）相交于 A、B 两点，且两圆在点 A 处的切线互相垂直，则线段 AB 的长度是______．
14. 已知双曲线 C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1 的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A，B 两点．若＝，•＝0，则 C 的离心率
程是______．
11. 已知 l 为双曲线 C：-=1 的一条渐近线，其倾斜角为，且 C 的右焦点为（2，0），
则 C 的右顶点为______ ，C 的方程为______ ．
12. 已知圆的方程为 x2+y2+2x-8y+8=0，过点 P（1，0）作该园的一条切线，切点为 A，
那么线段 PA 的长度为______．
17. 已知的短轴长，离心率为，圆 O：x2+y2=b2． （1）求椭圆 C 和圆 O 的方程； （2）过椭圆左焦点的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，，若直线 l 于圆 O 交于 M， N 两点，求直线 l 的方程及△OAB 与△OMN 的面积之比．
18. 已知函数 f（x）=（ax+a）ex（其中 e=2.71828…），g（x）=x2+bx+2，已知 f（x） 和 g（x）在 x=0 处有相同的切线． （1）求函数 f（x）和 g（x）的解析式； （2）求函数 f（x）在区间[-3，3]上的最大值和最小值； （3）判断函数 F（x）=2f（x）-g（x）+2 的零点个数，并说明理由．
【解析】解：直线 x-y+m=0 与圆 O：x2+y2=1 相交于 A，B 两点，且△AOB 为正三角形， 则：△AOB 的边长为 1， 则：圆心（0，0）到直线 x-y+m=0 的距离 d=， 解得：m=±． 故选：D． 直接利用等边三角形的性质，进一步利用点到直线的距离公式求出结果． 本题考查的知识要点：直线与圆的位置关系的应用． 8.【答案】A
为
三、解答题（本大题共 6 小题，共 80.0 分）
15. 已知函数．
（1）求函数 f（x）图象的相邻两条对称轴的距离；
（2）求函数 f（x）在区间上的最大值与最小值，以及此时 x 的取值．
1
16. 在△ABC 中，a2+c2=b2+ac． （1）求 cosB 的值； （2）若，a=8，求 b 以及 S△ABC 的值．
【解析】解：方程表示的曲线为双曲线⇔m≠0． ∴“m＞0”是“方程表示的曲线为双曲线”的充分不必要条件． 故选：A． 方程表示的曲线为双曲线⇔m≠0．即可判断出结论． 本题考查了双曲线的标准方程、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属 于基础题． 5.【答案】B
【解析】解：由题意， |F1F2|=2，|MF1|+|MF2|=4， ∵|MF1|-|MF2|=1， ∴|MF1|=，|MF2|=， ∴|MF2|2+|F1F2|2=|MF1|2， 故选：B．
【解析】解：圆 x2+y2+2x-8y+8=0，即（x+1）2+（y-4）2=9，表示以 C（-1，4）为圆心、 半径 R=3 的圆， 再由切线长定理可得切线长 PA=， 故答案为：． 由条件求得圆的标准方程，可得圆心坐标和半径，再利用切线长定理求得切线长 PA 的 值． 本题主要考查直线和圆相切的性质，切线长定理，属于基础题 13.【答案】4
【解析】【分析】 本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，考查计算能力，是中档题． 由题意画出图形，结合已知可得 F1B⊥OA，结合双曲线的对称性可得一条渐近线方程的
倾斜角为 ，从而可得
，进而求出离心率.
6
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【解答】 解：如图，
∵=，且•=0，
∴,
∴OA⊥F1B， 则,
3
1.【答案】D
答案和解析
【解析】解：已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍，∴a=2b，椭圆的离心率， 故选 D． 根据椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍可知 a=2b，进而可求得 c 关于 a 的表达式，进而根 据求得 e． 本题主要考查了椭圆的基本性质．属基础题． 2.【答案】D
【解析】【分析】 本题考查倾斜角与斜率的关系，用斜截式求直线的方程方法，解题的关键是正确把握截 距的含义，属于基础题． 先求出直线的斜率，再利用在 y 轴上的截距是-1，用斜截式写出直线方程． 【解答】 ∵直线倾斜角是 135°， ∴直线的斜率等于-1， ∵在 y 轴上的截距是-1， 由直线方程的斜截式得： y=-x-1，亦即 x+y+1=0. 故选：D． 3.【答案】A
2019-2020学年北京市清华附中高二(下)学期期中数学试卷 (解析版)
2019-2020学年北京市清华附中高二（下）期中数学试卷一、选择题（共10小题）.1．（3分）已知集合M＝{0，x}，N＝{1，2}，若M∩N＝{2}，则M∪N＝（）A．{0，x，1，2}B．{2，0，1，2}C．{0，1，2}D．不能确定2．（3分）已知a+bi（a，b∈R）是的共轭复数，则a+b＝（）A．﹣1B．﹣C．D．13．（3分）设函数f（x）＝2x+﹣1（x＜0），则f（x）（）A．有最大值B．有最小值C．是增函数D．是减函数4．（3分）等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{a n}前6项的和为（）A．﹣24B．﹣3C．3D．85．（3分）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）A．1B．2C．3D．46．（3分）上海世博会期间，某日13时至21时累计入园人数的折线图如图所示，那么在13时～14时，14时～15时，…，20时～21时八个时段中，入园人数最多的时段是（）A．13时～14时B．16时～17时C．18时～19时D．19时～20时7．（3分）已知三棱锥S﹣ABC中，∠SAB＝∠ABC＝，SB＝4，SC＝2，AB＝2，BC＝6，则三棱锥S﹣ABC的体积是（）A．4B．6C．4D．68．（3分）设平面α与平面β相交于直线m，直线b在平面α内，直线c在平面β内，且c⊥m，则α⊥β是c⊥b的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．（3分）如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是正方形ADD1A1和ABCD 的中心，G是CC1的中点，设GF、C1E与AB所成的角分别为α、β，则α+β等于（）A．120°B．60°C．75°D．90°10．（3分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈[，π]）的部分图象如图所示，且f（x）上[0，2π]上恰有一个最大值和一个最小值，则ω的取值范围是（）A．[，）B．[，）C．（，]D．（，]二、填空题（共5小题）.11．（3分）若双曲线的一个焦点为（2，0），则b＝；其离心率为．12．（3分）点A（1，0）和点都在单位圆O上，记∠AOB＝α，则sin2α＝．13．（3分）已知O为坐标原点，A（0，3，5），B（2，2，0），C（0，5，0），直线BD ∥CA，且BD与坐标平面xOz相交于点D，则点D的坐标为．14．（3分）已知线段AB的长度为4，P为任意一点，则的最小值为．15．（3分）方程+＝﹣1的曲线即为函数y＝f（x）的图象，对于函数y＝f（x），有如下结论：①f（x）在R上单调递减；②函数F（x）＝4f（x）+3x存在零点；③函数y＝f（x）的值域是R；④f（x）的图象不经过第一象限；其中正确的命题序号为．三、解答题16．如图，在△ABC中，D为BC上一点，，BD＝2，∠ABC＝30°，∠ACB＝45°．（1）求AD的长以及∠BAD；（2）求△ABC的面积．17．设S n为等比数列{a n}的前n项和，已知满足______，求公比q以及a12+a22+…+a n2．从①a2a5＝﹣32且a3+a4＝﹣4，②a1＝1且S6＝9S3，③S2＝a3﹣1且S3＝a4﹣1这三组条件中任选一组，补充到上面问题中，并完成解答．18．如图，三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥PC，PA＝PC，AC⊥BC，AC＝2，BC＝1，点M是棱PA的中点．（1）求证：PA⊥平面PBC；（2）求直线PA与平面MBC所成角的正弦值；（3）设点N是线段BM的中点，棱PC上是否存在点F，使得NF∥平面ABC？若存在，求的值；若不存在，说明理由．19．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），过抛物线C的焦点F且垂直于x轴的直线交抛物线C于P，Q两点，|PQ|＝4．（1）求抛物线C的方程，并求其焦点F的坐标和准线l的方程；（2）过抛物线C的焦点F的直线与抛物线C交于不同的两点A，B，直线OA与准线l 交于点M．连接MF，过点F作MF的垂线与准线l交于点N．求证：O，B，N三点共线．20．已知函数，其中m∈[0，1]．（1）当m＝0时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）讨论函数f（x）的极值点的个数，并分别指出极大值点的个数和极小值点的个数；（3）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＜﹣3．21．设n为给定的大于2的正整数，集合S＝{1，2，…，n}，已知数列A n：x1，x2，…，x n满足条件：①当1≤i≤n时，x i∈S；②当1≤i＜j≤n时，x i≠x j．如果对于1≤i＜j≤n，有x i＞x j，则称（x i，x j）为数列A n的一个逆序对．记数列A n的所有逆序对的个数为T（A n）．（1）若T（A4）＝1，写出所有可能的数列A4；（2）若T（A n）＝2，求数列A n的个数；（3）对于满足条件的一切数列A n，求所有T（A n）的算术平均值．参考答案一、选择题1．（3分）已知集合M＝{0，x}，N＝{1，2}，若M∩N＝{2}，则M∪N＝（）A．{0，x，1，2}B．{2，0，1，2}C．{0，1，2}D．不能确定解：∵M∩N＝{2}，∴2∈M而M＝{0，x}则x＝2∴M∪N＝{0，5，2}故选：C．2．（3分）已知a+bi（a，b∈R）是的共轭复数，则a+b＝（）A．﹣1B．﹣C．D．1解：＝＝＝﹣i，∴a+bi＝﹣（﹣i）＝i，∴a+b＝1，故选：D．3．（3分）设函数f（x）＝2x+﹣1（x＜0），则f（x）（）A．有最大值B．有最小值C．是增函数D．是减函数解：∵x＜0，∴，当且仅当即x＝取等号故选：A．4．（3分）等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{a n}前6项的和为（）A．﹣24B．﹣3C．3D．8解：∵等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．a2，a3，a8成等比数列，∴，解得d＝﹣2，故选：A．5．（3分）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）A．1B．2C．3D．4解：四棱锥的三视图对应的直观图为：PA⊥底面ABCD，AC＝，CD＝，所以侧面中有3个直角三角形，分别为：△PAB，△PBC，故选：C．6．（3分）上海世博会期间，某日13时至21时累计入园人数的折线图如图所示，那么在13时～14时，14时～15时，…，20时～21时八个时段中，入园人数最多的时段是（）A．13时～14时B．16时～17时C．18时～19时D．19时～20时解：结合函数的图象可知，在13时～14时，14时～15时，…，20时～21时八个时段中，图象变化最快的为16到17点之间故选：B．7．（3分）已知三棱锥S﹣ABC中，∠SAB＝∠ABC＝，SB＝4，SC＝2，AB＝2，BC＝6，则三棱锥S﹣ABC的体积是（）A．4B．6C．4D．6解：如图，因为∠ABC＝，所以AC＝＝2，又因为∠SAB＝，即SA⊥AB，AB∩AC＝A，SA⊄平面ABC，所以SA⊥平面ABC，故选：C．8．（3分）设平面α与平面β相交于直线m，直线b在平面α内，直线c在平面β内，且c⊥m，则α⊥β是c⊥b的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：先看充分性当α⊥β时，因为α∩β＝m，c在β内且c⊥m，所以c⊥α再看必要性此时平面β经过平面α的斜线，不一定得到α⊥β．故必要性不能成立故选：A．9．（3分）如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是正方形ADD1A1和ABCD 的中心，G是CC1的中点，设GF、C1E与AB所成的角分别为α、β，则α+β等于（）A．120°B．60°C．75°D．90°解：建立坐标系如图，B（2，0，0），A（2，2，2），G（0，0，1），F（1，1，7），C1（0，0，7），E（1，2，1）．∴cos＜，＞＝，cosβ＝，sinβ＝，∴α+β＝90°，故选：D．10．（3分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈[，π]）的部分图象如图所示，且f（x）上[0，2π]上恰有一个最大值和一个最小值，则ω的取值范围是（）A．[，）B．[，）C．（，]D．（，]解：由题意知，f（x）＝sin（ωx+φ），∵f（0）＝，φ∈[，π]）∴φ＝，∵f（x）上[0，2π]上恰有一个最大值和一个最小值，∴≤ω＜．故选：B．二、填空题11．（3分）若双曲线的一个焦点为（2，0），则b＝；其离心率为2．解：双曲线的一个焦点为（2，0），可得1+b2＝4，解得b＝，故答案为：；2．12．（3分）点A（1，0）和点都在单位圆O上，记∠AOB＝α，则sin2α＝﹣．解：由题意可得：sinα＝，cosα＝﹣，∴sin2α＝2sinαcosα＝2××＝﹣．故答案为：﹣．13．（3分）已知O为坐标原点，A（0，3，5），B（2，2，0），C（0，5，0），直线BD ∥CA，且BD与坐标平面xOz相交于点D，则点D的坐标为（2，0，5）．解：∵O为坐标原点，A（0，3，5），B（2，2，8），C（0，5，0），直线BD∥CA，且BD与坐标平面xOz相交于点D，∵BD∥CA，∴，解得a＝2，c＝5，故答案为：（2，0，5）．14．（3分）已知线段AB的长度为4，P为任意一点，则的最小值为﹣4．解：以AB的中点为原点建立如图所示坐标系；则A（﹣2，0），B（2，0），P（x，y）；∴＝（﹣6﹣x）•（2﹣x）+（﹣y）（﹣y）＝x2+y2﹣4；故答案为：﹣8．15．（3分）方程+＝﹣1的曲线即为函数y＝f（x）的图象，对于函数y＝f（x），有如下结论：①f（x）在R上单调递减；②函数F（x）＝4f（x）+3x存在零点；③函数y＝f（x）的值域是R；④f（x）的图象不经过第一象限；其中正确的命题序号为①③④．解：根据题意画出方程+＝﹣1的曲线即为函数y＝f（x）的图象，如图所示．轨迹是两段双曲线的一部分加上一段的椭圆圆弧组成的图形．①f（x）在R上单调递减；正确．②由于4f（x）+3x＝2即f（x）＝﹣，从而图形上看，函数f（x）的图象与直线y＝﹣没有交点，故函数F（x）＝4f（x）+8x不存在零点；不正确．③函数y＝f（x）的值域是R；正确．④f（x）的图象不经过第一象限，正确．故答案为：①③④．三、解答题16．如图，在△ABC中，D为BC上一点，，BD＝2，∠ABC＝30°，∠ACB＝45°．（1）求AD的长以及∠BAD；（2）求△ABC的面积．解：（1）因为求得AD＝2，故∠ABC＝∠BAD＝30°；求得，17．设S n为等比数列{a n}的前n项和，已知满足______，求公比q以及a12+a22+…+a n2．从①a2a5＝﹣32且a3+a4＝﹣4，②a1＝1且S6＝9S3，③S2＝a3﹣1且S3＝a4﹣1这三组条件中任选一组，补充到上面问题中，并完成解答．解：若选①，则有a2a5＝a3a4＝﹣32，故有a3a3＝﹣32，a3+a4＝﹣4，解得a3＝4，a4＝﹣8，或a3＝﹣8，a4＝4，即q＝﹣2或．因为是以为首项，q6为公比的等比数列，或，a1＝﹣32，此时．因为是以为首项，q2为公比的等比数列，所以．令（**）式减（*）式，得a3＝a4﹣a3，即a4＝3a3，故q＝2．因为是以为首项，q2为公比的等比数列，所以．18．如图，三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥PC，PA＝PC，AC⊥BC，AC ＝2，BC＝1，点M是棱PA的中点．（1）求证：PA⊥平面PBC；（2）求直线PA与平面MBC所成角的正弦值；（3）设点N是线段BM的中点，棱PC上是否存在点F，使得NF∥平面ABC？若存在，求的值；若不存在，说明理由．【解答】（1）证明：∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，AC⊥BC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥平面PAC，因为PA⊥PC，PA⊥BC，BC∩PC＝C，BC，PC⊂平面PBC，（2）解：在平面PAC内，过点P作PD⊥AC，点D为垂足，过点C作直线l∥PD，∴PD⊥平面ABC，以C为原点直线CB，CA，l分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），A（0，7，0），P（0，1，1），，则，，∴，不妨设y＝1，则，故直线PA与平面MBC所成角的正弦值为．（3）解：设，λ∈（0，1），则∴，因为NF∥平面，即从而．19．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），过抛物线C的焦点F且垂直于x轴的直线交抛物线C于P，Q两点，|PQ|＝4．（1）求抛物线C的方程，并求其焦点F的坐标和准线l的方程；（2）过抛物线C的焦点F的直线与抛物线C交于不同的两点A，B，直线OA与准线l 交于点M．连接MF，过点F作MF的垂线与准线l交于点N．求证：O，B，N三点共线．解：（1）由题意可得|PQ|＝2p＝4，则p＝2，故抛物线C的方程为y2＝4x；（2）设直线AB：x＝ty+6，联立，得y2﹣4ty﹣4＝0．则△＝16t3+16＞0，法1：直线，由得，故点．直线，则点N（﹣1，y1），直线OB的斜率由得．所以O，B，N三点共线．由y1y2＝﹣4，得M（﹣1，y2）．直线，得点．由y1y2＝﹣4，得N（﹣1，y1）．直线OB的斜率由得．由y1y6＝﹣4，得k OB＝﹣y1．法3：（8）∵|PQ|＝4，∴|PF|＝2，∴2|OF|＝2，∴OF＝1，F（4，0），（2）设直线AB：x＝my+1，所以，∴直线，x＝﹣1时，，∴直线，∴，，∴k BO＝k NO∴B，O，N共线．20．已知函数，其中m∈[0，1]．（1）当m＝0时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）讨论函数f（x）的极值点的个数，并分别指出极大值点的个数和极小值点的个数；（3）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＜﹣3．解：（1）当m＝0时，f（x）＝lnx﹣2x，，f'（8）＝1﹣2＝﹣1，又因为f（1）＝﹣2，所以切线方程为：y＝﹣x﹣1．①当m＝0时，令f'（x）＝4，解得，②当0＜m＜1时，f'（x）与y＝mx2﹣2x+5同正负，又因为△＝4﹣4m＞0，所以y＝mx2﹣2x+1在R上存在两个不相等的根x3，x2，又，，所以x1＞2，x2＞0，不妨设0＜x1＜x7，③当m＝1时，恒成立，则函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，所以函数f（x）没有极值点．∴，．令，∵恒成立，∴g（m）在（0，1）上单调递增，∴g（m）＜g（1）＝﹣6成立．即f（x1）+f（x2）＜﹣3．21．设n为给定的大于2的正整数，集合S＝{1，2，…，n}，已知数列A n：x1，x2，…，x n满足条件：①当1≤i≤n时，x i∈S；②当1≤i＜j≤n时，x i≠x j．如果对于1≤i＜j≤n，有x i＞x j，则称（x i，x j）为数列A n的一个逆序对．记数列A n的所有逆序对的个数为T（A n）．（1）若T（A4）＝1，写出所有可能的数列A4；（2）若T（A n）＝2，求数列A n的个数；（3）对于满足条件的一切数列A n，求所有T（A n）的算术平均值．解：（1）A4可以是：1243，1324，2134，共3个．（2）依题意，数列A n是1，3，…，n的排列．记b n为满足T（A n）＝2的数列A n的个数．设T（A4）＝2，考虑数列A n的个数，此时A n只能为3124、1423，即此时只有两个满足题意的数列；故T（A n）＝2，考虑数列A n的个数，此时A n只能为n﹣2个，即此时只有n﹣2个满足题意的数列；所以A n和A'n中的逆序对总数为个，可将1，8，…，n的所有排列两两配对，每一对{A n，A'n}均满足：T（A n），T（A'n）的算术平均值为．故所有T（A n）的算术平均值为．。
【期中精品真题】北京市人大附中2019-2020学年数学高二上期中模拟试卷含答案
2 所以 an
d3
d0
3n 5或 an
5
（ 6 分）
2
⑵当 an
3n 5 时，数列
1
bn 是首项为 、公比为 8 的等比数列
4
所以 Sn
1
n
(1 8 )
4
18
5
当 an
5 时， bn
22
2
所以 Sn
5
22n
综上，所以 Sn
n
81 或 Sn
2019-2020 学年高二上数学期中模拟试卷含答案
全卷 150 分
时间： 100 分钟
一、 选择题（每小题 5 分，共 40 分）
1 、设 a 1 b 1, 则下列不等式中恒成立的是
()
11
A
11
B
ab
ab
2
2 、不等式 x 2 x 3 0 的解集为（
2
Cab
）
2
D a 2b
A． { x | x 3或 x 1} B． { x | 1 x 3} C． { x | x 1或 x 3} D ． { x | 3 x 1}
C1 C2 2 C2 A，1 依此类推， 在正 A2 B2C 2 内再作正 A3 B 3C 3 ，……。
A1
C2
C3
B
3
A2
记正 Ai Bi C i 的面积为 ai (i 1,2,
,n) ，
则 a1＋察站 C 与两灯塔 A 、 B 的距离分别为
300 米和 500 米，测得灯塔
3 、若命题 p 的逆命题是 q，命题 q 的否命题是 r ，则 p 是 r 的 (
)
A．逆命题
B ．逆否命题
C ．否命题 D ．以上判断都不对
高中数学必修二 第六章 章末小结 练习(含答案)
第六章 综合检测题一、选择题1．向量AB MB BO BC OM ++++=（ ） A ．AC B ．ABC ．BCD ．AM【答案】A【解析】向量AB MB BO BC OM AB BO OM MB BC AC ++++=++++=. 故选：A.2．【2019年5月10日《每日一题》必修4向量数乘运算及其几何意义】在四边形ABCD 中，2AB a b =+，4BC a b =--，53CD a b =--，则四边形ABCD 的形状是 A ．长方形 B ．平行四边形C ．菱形D ．梯形【答案】D【解析】由题意，因为2AB a b =+，4BC a b =--，53CD a b =--， ∴AD AB =+BC +24532CD a b a b a b BC =+----=， ∴AD ∥BC ，且AD≠BC ，∴四边形ABCD 为梯形，故选D ．3．在平面直角坐标系x y O 中，已知四边形CD AB 是平行四边形，()1,2AB =-，()D 2,1A =，则D C A ⋅A =（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】因为四边形CD AB 是平行四边形，所以()()()C D 1,22,13,1A =AB+A =-+=-，所以()D C 23115A ⋅A =⨯+⨯-=，故选D ．4．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144+AB ACD ．1344+AB AC【答案】A【解析】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC =++=+， 所以3144EB AB AC =-，故选A.5．在ABC ∆中，若3AB =，BC =4AC =，则AC 边上的高为 （ ）A B C ．32D ．【答案】B【解析】由题意可知，222341cos 2342A +-==⨯⨯,sin A ∴=又1··2ABC S AB AC ∆= 1sin ?·,2A AC h h =∴=.故选B.6．若平面向量a ⃗与b ⃗⃗的夹角为60°，|b ⃗⃗|=4，(a ⃗+2b ⃗⃗)•(a ⃗−3b ⃗⃗)=−72，则向量a ⃗的模为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．12 【答案】C【解析】∵(a ⃗+2b ⃗⃗)·(a ⃗−3b ⃗⃗)=−72，∴|a ⃗|2−a ⃗·b ⃗⃗−6|b ⃗⃗|2=−72，又∵a ⃗·b ⃗⃗=|a ⃗|·|b ⃗⃗|cos60∘，∴|a ⃗|2−2|a ⃗|−24=0，则|a ⃗|=6，故选C7．如图，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC AM BD λμ=+，则λμ+=（ ）A ．43B ．53C ．158D ．2【答案】B【解析】以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，设正方形边长为1， 由此，()()11,1,1,,1,12AC AM BD ⎛⎫===- ⎪⎝⎭，故11,12λμλμ=-=+， 解得415,,333λμλμ==+=.故选B. 8．已知向量a,b 满足a 1=，a b 1⋅=-，则a (2a b)⋅-= A ．4 B ．3 C ．2 D ．0【答案】B【解析】因为22(2)22||(1)213,a a b a a b a ⋅-=-⋅=--=+= 所以选B.9.（多选题）设a ，b ，c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有（ ） A.a ·c －b ·c ＝(a －b )·c ； B.(b ·c )·a －(c ·a )·b 不与c 垂直； C.|a |－|b |<|a －b |； D.(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2. 【答案】A ，C ，D【解析】根据向量积的分配律知A 正确；因为[(b ·c )·a －(c ·a )·b ]·c ＝(b ·c )·(a ·c )－(c ·a )·(b ·c )＝0，∴(b ·c )·a －(c ·a )·b 与c 垂直，B 错误；因为a ，b 不共线，所以|a |，|b |，|a －b |组成三角形三边，∴|a |－|b |<|a －b |成立，C 正确；D 正确.故正确命题的序号是A ，C ，D.10.（多选题）给出下列四个命题，其中正确的选项有（ ） A.非零向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角是30° B.若(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 为等腰三角形C.若单位向量a ，b 的夹角为120°，则当|2a ＋xb |(x ∈R )取最小值时x ＝1D.若OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，∠ABC 为锐角，则实数m 的取值范围是m ＞－34. 【答案】A ，B ，C【解析】A 中，令OA →＝a ，OB →＝b .以OA →，OB →为邻边作平行四边形OACB .∵|a |＝|b |＝|a －b |，∴四边形OACB 为菱形，∠AOB ＝60°，∠AOC ＝30°，即a 与a ＋b 的夹角是30°，故A 正确. B 中，∵(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0，∴|AB →|2＝|AC →|2，故△ABC 为等腰三角形.故B 正确.C 中，∵(2a ＋x b )2＝4a 2＋4x a ·b ＋x 2b 2＝4＋4x cos 120°＋x 2＝x 2－2x ＋4＝(x －1)2＋3，故|2a ＋x b |取最小值时x ＝1.故③正确.D 中，∵BA →＝OA →－OB →＝(3，－4)－(6，－3)＝(－3，－1)，BC →＝OC →－OB →＝(5－m ，－3－m )－(6，－3)＝(－1－m ，－m )，又∠ABC 为锐角，∴BA →·BC →＞0，即3＋3m ＋m ＞0，∴m ＞－34.又当BA →与BC →同向共线时，m ＝12，故当∠ABC 为锐角时，m 的取值范围是m ＞－34且m ≠12.故D 不正确.故选A ，B ，C. 11.（多选题）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列结论不正确的是（ ） A ．a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A B sin a B ．＝sin b A C ．a ＝sin cos b C c B + D ．cos cos sin a B b A C += 【答案】A ，B ，C【解析】由在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，知： 在A 中，由余弦定理得：a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，故A 正确； 在B 中，由正弦定理得：，∴a sin B ＝b sin A ，故B 正确；在C 中，∵a ＝sin cos b C c B +，∴由余弦定理得：a ＝b ×+c ×，整理，得2a 2＝2a 2，故C 正确；在D 中，由余弦定理得a cos B +b cos A ＝a ×+b ×＝+＝c ≠sin C ，故D 错误．故选A ，B ，C.12.（多选题）在△ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（ ） A ．b ＝7，c ＝3，C ＝30° B ．b ＝5，c ＝4，B ＝45° C ．a ＝6，b ＝3，B ＝60°D ．a ＝20，b ＝30，A ＝30°【解析】B ，C【解析】对于A ，∵b ＝7，c ＝3，C ＝30°，∴由正弦定理可得：sin B ＝＝＝＞1，无解；对于B ，b ＝5，c ＝4，B ＝45°，∴由正弦定理可得sin C ＝＝＝＜1，且c ＜b ，有一解；对于C ，∵a ＝6，b ＝3，B ＝60°，∴由正弦定理可得：sin A ＝＝＝1，A ＝90°，此时C ＝30°，有一解；对于D ，∵a ＝20，b ＝30，A ＝30°，∴由正弦定理可得：sin B ＝＝＝＜1，且b ＞a ，∴B 有两个可能值，本选项符合题意．故选B ，C ． 二、填空题13．【贵州省贵阳市第一中学2020届高三上学期第三次月考数学（理)试题】已知()1,3a =，()0,1b =-，则a b b a b ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭________． 【答案】1 【解析】2a =，1b =，所以()13,,0,122ab ab⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭， 所以13,122a bab ⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以()10111||222||a b b a b ⎛⎫⎛⎫+⋅=⨯+-⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：1. 14．在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、.若2,a b ==sin cos B B +=,，则角A 的大小为____________________. 【答案】6π【解析】由sin cos )4B B B π+=+=sin()14B π+=，所以4B π=由正弦定理sin sin a b A B=得sin 14sin 22a B Ab π===，所以A=6π或56π（舍去）、 15．如图，在ABC 中，12021BAC AB AC ∠=︒==，，，D 是边BC 上一点，2DC BD =，则AD BC = ．【答案】83-【解析】由图及题意得 ， =∴ =()()= +== .16．设1e ,2e 是两个不共线的向量, a =31e +42e ,b =1e -22e .若以a ,b 为基底表示向量1e +22e ,即1e +22e =λa +μb ,则λ= ，μ= 。
【20套试卷合集】北京市清华附中2019-2020学年数学高二上期中模拟试卷含答案
2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案一、选择题1．设两个正态分布()()21,110N μσσ>和()()22,220N μσσ>的密度函数图象如图所示，则有（ ）A ．12μμ<，12σσ<B ．12μμ<，12σσ>C ．12μμ>，12σσ<D ．12μμ>，12σσ>2．变量X 与Y 相对应的一组数据为（10,1），（11.3,2），（11.8,3），（12.5,4），（13,5）；变量U 与V 相对应的一组数据为（10,5），（11.3,4），（11.8,3），（12.5,2），（13,1），1r 表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，2r 表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则（ ）A.210r r <<B.210r r <<C.210r r <<D.21r r =3．某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是59,则（ ）A ．4=aB ．5=aC ．6=aD .7=a4．采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查，为此将他们随机编号为 1，2，3，……，960，分组后在第 一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9.抽到的 32 人中，编号落入区间[1， 450]的人做问卷 A ，编号落入区间[451，750]的人做问卷 B ，其余的人做问卷 C .则抽到的人中，做问卷 B 的人数为（ ） A ．7 B ．9 C ．10 D ．15111123411+++⋅⋅⋅+ 111124622+++⋅⋅⋅+111123410+++⋅⋅⋅+ 111124620+++⋅⋅⋅+6．从三元、光明、蒙牛三种品牌的牛奶包装袋中抽取一个样本进行质量检测，采取分层抽样的方法进行抽取，已知三元、光明、蒙牛三种品牌牛奶的总体数（袋数）是1000，2000，3000，若抽取的样本中，光明品牌的样本数是10，则样本中三元品牌和蒙牛品牌的样本之和是（ ） A ．15 B ．20 C ．25 D ．30 7．若样本数据1210,,,x x x 的标准差为2，则数据121021,21,,21x x x ---的标准差为（ ）A ．3B ．-3C ．4D ．-48．如图，在边长为3的正方形内有区域A （阴影部分所示），张明同学用随 机模拟的方法求区域A 的面积． 若每次在正方形内每次随机产生10000个点，并记录落在区域A 内的点的个数．经过多次试验，计算出落在区域A 内点的个数平均值为6600个，则区域A 的面积约为 （ ）A ．5B ．6C ．7D ．89．执行如图所示的程序框图，如果输入3x =，则输出k 的值为（ ）A.6B.8C.10D.1210．已知回归直线的斜率的估计值为1．23,样本点的中心为（4,5）,则回归直线方程为（ ）A ．523.1ˆ+=x yB ．423.1ˆ+=x yC ．23.108.0ˆ+=x yD ．08.023.1ˆ+=x y 11．袋中装有红、黄、蓝三种颜色的球各2个，无放回的从中任取3个球，则恰有两个球同色的概率为（ ） A ．15 B ．310 C ．35 D ．4512．一个物体的运动方程为21s t t =-+，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ）A ．7米/秒B ．6米/秒C ．5米/秒D ．8米/秒二、填空题13．将一颗骰子连续抛掷三次,它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为 ．14．为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间[40,80]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间[40,60)内的汽车有 辆.15．右边程序是求一个函数的函数值的程序：若执行此程序的结果为3，则输入的x 值为______16．在集合{1，2，3，4}中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量),(b a m =从所得的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，则平行四边形的面积等于2的概率为_______． 三、解答题17．某媒体对“男女延迟退休”这一公众关注的问题进行名意调查，下表是在某单位得到的数据：（Ⅰ）能否有97.5%的把握认为对这一问题的看法与性别有关？（Ⅱ）从赞同“男女延迟退休”的80人中，利用分层抽样的方法抽出8人，然后从中选出2人进行陈述发言，求事件“选出的2人中，至少有一名女士”的概率．参考公式：22()K ()()()()n ad bc a b c d a c b d -=++++，()n a b c d =+++（2）若从5班、6班的调查中各随机选取2同学进行调查，调查的4人中高考成绩没有达到实际水平的人数为ξ，求随机ξ的分布列和数学的期望值．19．已知甲箱中装有3个红球、3个黑球，乙箱中装有2个红球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同. 某商场举行有奖促销活动，设奖规则如下：每次分别从以上两个箱中各随机摸出2个球，共4个球. 若摸出4个球都是红球，则获得一等奖；摸出的球中有3个红球，则获得二等奖；摸出的球中有2个红球，则获得三等奖；其他情况不获奖. 每次摸球结束后将球放回原箱中.（1）求在1次摸奖中，获得二等奖的概率；（2）若连续摸奖2次，求获奖次数X 的分布列及数学期望()E X .20．现有编号分别为1,2,3,4,5的五道不同的政治题和编号分别为6,7,8,9的四道不同的历史题.甲同学从这九道题中一次性随机抽取两道题，每道题被抽到的概率是相等的，用符号（x ，y ）表示事件“抽到的两道题的编号分别为x ，y ，且x<y.”.(1)问有多少个基本事件，并列举出来；(2)求甲同学所抽取的两道题的编号之和小于17但不小于11的概率.21．某位同学进行寒假社会实践活动，为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析研究，他分别记录了1月11日至1月15日的白天平均气温x （°C ）与该奶茶店的这种饮料销量y （杯），得到如下数据：（1）若从这五组数据中随机抽出2组，求抽出的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；（2）请根据所给五组数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+． （参考公式：()()()121ˆˆˆniii nii x x y y ba y bx x x ==--==--∑∑，．）22．随着人们社会责任感与公众意识的不断提高，越来越多的人成为了志愿者．某创业园区对其员工是否为志愿者的情况进行了抽样调查，在随机抽取的10位员工中，有3人是志愿者．（1）在这10人中随机抽取4人填写调查问卷，求这4人中恰好有1人是志愿者的概率1P ； （2）已知该创业园区有1万多名员工，从中随机调查1人是志愿者的概率为310，那么在该创业园区随机调查4人，求其中恰有1人是志愿者的概率2P ；（3）该创业园区的A 团队有100位员工，其中有30人是志愿者．若在A 团队随机调查4人，则其中恰好有1人是志愿者的概率为3P ．试根据（1）、（2）中的1P 和2P 的值，写出1P ，2P ，3P 的大小关系（只写结果，不用说明理由）．参考答案ACACB BCBCD11．C 12．C 13．11214．80 15．4或－3 16．1317．（Ⅰ）有97．5%的把握认为对这一问题的看法与性别有关（Ⅱ）914（Ⅰ）根据题中的数据计算：22400(5017030150) 6.2580320200200k ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯因为6．25＞5．024，所以有97．5%的把握认为对这一问题的看法与性别有关 （Ⅱ）由已知得抽样比为818010=，故抽出的8人中，男士有5人，女士有3人．分别设为,,,,,1,2,3a b c d e ，选取2人共有{},a b ，{},a c ，{},a d ，{},a e ，{},1a ，{},2a ，{},3a ，{},b c ，{},b d ，{},b e ，{},1b ，{},2b ，{},3b ，{},c d ，{},c e ，{},1c ，{},2c ，{},3c ，{},d e ，{},1d ，{},2d ，{},3d ，{},1e ，{},2e ，{},3e ，{}1,2，{}1,3，{}2,328个基本事件，其中事件“选出的2人中，至少有一名女士”包含18个基本事件， 故所求概率为1892814P ==． 18．解析：（1）因为调查的50人中达到实际的水平有：36664328+++++=（人）， 所求的概率为280.5650P ==． （2）调查的4人中高考成绩没有达到实际水平的人数为ξ，则0,1,2,3ξ=当221122143243432222646417(0);(1)515C C C C C C C p p C C C C ξξ+====== 221112123243232222646431(2),(3)1030C C C C C C C p p C C C C ξξ+====== 所求的分布列为3153()0123515103030E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=19．解析：（1）设“在1次摸奖中，获得二等奖”为事件A ，则2111123223322264C C C +C C C 7()C C 30P A ==⋅．（2）设“在1次摸奖中，获奖” 为事件B ，则获得一等奖的概率为223212264C C 1=C C 30P =⋅；获得三等奖的概率为221111323322322642C C +C C C C 7=C C 15P =⋅；所以17711()30301515P B =++=．由题意可知X 的所有可能取值为0，1，2． 21116(0)(1)15225P X ==-=，12111188(1)C (1)1515225P X ==-=，211121(2)()15225P X ===． 所以X 的分布列是所以12122()01222522522515E X =⨯+⨯+⨯=． 20．解析：（1）共有36个基本事件.分别是（1,2）（1,3）（1,4) (1,5) (1,6) (1,7) (1,8) (1,9) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (2,7) (2,8) (2,9) (3,4) (3,5) (3,6) (3,7) (3,8) (3,9) (4,5) (4,6) (4,7) (4,8) (4,9) (5,6) (5,7) (5,8) (5,9) (6,7) (6,8) (6,9) (7,8) (7,9) (8,9)（2）由题知满足1117x y ≤+<的共有以下15种情况： （2,9） （3,8） （3,9） （4,7） （4,8） （4,9） （5,6） （5,7） （5,8） （5,9） （6,7） （6,8） （6,9） （7,8） （7,9）∴甲同学所抽取的两道题的编号之和小于17但不小于11的概率1553612P == 21．（1）解：设“选取的2组数据恰好是相邻2天数据”为事件A ．所有基本事件（m ，n ）（其中m ，n 为1月份的日期数）有：（11,12），（11,13），（11,14）， （11,15），（12,13），（12,14），（12,15），（13,14），（13,15），（14,15）共10种．事件A 包括的基本事件有（11,12），（12,13），（13,14），（14,15）共4种． ∴ 42()105P A ==． （2）解：由数据，求得91012118105x ++++==，2325302621255y ++++==．()()()()()()()()()()()()()()()2222291023251010252512103025111026258102125ˆ 2.1910101012101110810b --+--+--+--+--==-+-+-+-+-ˆˆ4ay bx =-=， ∴ y 关于x 的线性回归方程为ˆ 2.14yx =+． 22．（1）12；（2）0.4116；（3）132P P P >>． 解：（1）1337141012C C P C ⋅==， 所以这4人中恰好有1人是志愿者的概率为12；（2）1132437()()0.41161010P C =⋅=，所以这4人中恰好有1人是志愿者的概率为0.4116；（3）132P P P >>．2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案试题解答一、选择题 二、11．89； 12．π18； 13．2π；17．m ≠－2，m ≠－3且m ≠0；18．(1)(3)(4) 14．解：⎩⎨⎧-=-=+832543y x y x 解得⎩⎨⎧=-=21y x ，所以交点(－1，2)………………4分(1)2-=k ，直线方程为02=+y x ……………8分 (2)21=k ，直线方程为052=+-y x ……………12分 15．证明：(Ⅰ)由已知底面ABCD 是直角梯形，//AB DC ， ……………………1分又AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ……………………3分 ∴AB ∥平面PCD ……………………4分(Ⅱ)在直角梯形ABCD 中，过C 作CE AB ⊥于点E ，………………… 5分则四边形ADCE 为矩形，∴1==DC AE 又2=AB ，∴1=BE ，在BEC Rt ∆中，︒=∠45ABC ∴1==BE CE ；2=CB ，∴1==CE AD则AC =，222AC BC AB +=∴BC AC ⊥ …………………7分 又PA ⊥平面ABCD ，∴PA BC ⊥ …………………8分 又A AC PA =∴BC ⊥平面PAC ……………9分 (Ⅲ) M 是PC 中点，∴M 到面ADC 中距离是P 到面ADC 距离的一半 ……………10分111111()(11)3232212M ACD ACD V S PA -∆=⋅=⨯⨯⨯⨯=…………… 13分 16．解：182,//21-≠=∴n m m l l ，解得;42｛=-≠m n 或.{42-=≠m n ……………3分 (1)当4=m 时，直线1l 的方程是,084=++n y x 把2l 的方程写成.0284=-+y xx由已知得：.1822.564162=-==++n n n 或解得：…………7分所以，所求直线1l 的方程为.0942,01142=++=-+y x y x 或 (2)当4-=m 时，直线1l 的方程是,084=--n y x把2l 的方程写成.0284=--y x 由已知得：.1822.564162-===+-n n n 或解得：…………9分所以，所求直线1l 的方程为.01142,0942=--=+-y x y x 或…………10分19．证明：(1)如图，以等腰直角三角形的直角顶点A 为坐标原点O ，以OB 为单位长，直线OB ，OC 分别为x 轴、y 轴，建立直角坐标系，…………1分 则B (1，0)，C (0，1)，M ），（2121．…………2分 设P),00y x （，则有100=+y x ． ).,0(),0,(,,00y F x E OC PF OB PE ∴⊥⊥.)21(41,41)21(2020y MF x ME -+=+-=…………5分 ,212100y x -=-MF ME =∴ …………6分 (2)由已知，0021,211y k x k MF ME -=-=…………8分MF ME k k x y y x MF ME ⊥-=⋅∴-=-∴=+即,1,1221,10000 ……12分20．(1)解：2220700,800,300,1cos .=6022AB m BC m AC m AC BC AB C C ABC C AB BC ===+-∴==∆∴⨯⨯是的内角，3分(2)由题意可知，工厂所在的点是ABC ∆的外心，不妨设ABC ∆外接圆的半径是R ，由正弦定理知400sin 2700≈=CR ，所以加工厂与小区A 的距离约为400M ．……6分(3)设需要安装x 道隔音窗，建造y 堵隔音墙，总成本为S 万元，由题意可得：y x S 103+=……7分{{65300.5012540015384300,≥+≤≤≥∈≤⨯---≤≤≥∈y x x y Ny x y x x y N y x 即……9分其可行域如图：……11分又因为万元最小值为时，当131031,1,,y x S y x N y x +===∴∈……13分 故需要安装1道隔音窗，1堵隔音墙即可．……14分21．解：(1)点P 坐标为(1，21-)，Q (0，23)，可求得直线PQ 的方程为：023=-+y x .……3分 当1－2t ＞0，即210<<t ，点Q 在第一象限，这时直线QR 的方程为：)2(2t x t y +=-. 令x ＝0，得点的坐标为(0，2t 2＋2). ……4分)(t S S S S OKR OPQR OPQK =-=∴∆)1(22)22(21)1(232222t t t t t t -+-=⋅+-+=.…6分当1－2t ≤0，即21≥t 时，点Q 在y 轴上或第二象限，此时直线PQ 的方程为)1(1--=-x t t y .令x ＝0，得点L 的坐标为(0，t t 1+)，∴)1(21)(t t S t S OPL +==∆.……7分⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+<<-+-=∴)21(),1(21)210(),1(2)(32t t t t t t t t S ……8分(2)当210<<t 时，对于任何21021<<<t t ，有 0)]()(1)[(2)()(222121211221>++++--=-∴t t t t t t t t t S t S即)()(21t S t S >∴，知S (t )在)21,0(内是减函数. ……9分 当21≥t 时，对任何2121t t <≤，有)11)((21)11(21)()(2121212121t t t t t t t t t S t S --=-+-=- 若12121≤<≤t t ，则().]121[,),()(21上是减函数在知由此，t S t S t S > 若211t t <≤，则().),1(,),()(21上是增函数在知由此+∞<t S t S t S ……10分 又45])21()21(211[2)21(32=-+-=S ． ……11分 对任何,21≥t 时，1)1()(=≤S t S ……13分 ()),,1(]1,0(+∞∴及的单调区间是t S 但S (t )在]1,0(内是减函数，在),1(+∞内是增函数，故所求最小值为1)1(=S ……14分2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案一．选择题，在每题给出的四个选项中只有一项符合题意。
2019-2020学年度高二上学期期中考试数学试题(含答案解析)
2019-2020学年度高二上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合M={x|（x+3）（x-1）＜0}，N={x|x≤-3}，则∁R（M∪N）=（）A. {x|x≤1}B. {x|x≥1}C. {x|x<1}D. {x|x>1}2.数列-1，3，-5，7，-9，…的一个通项公式为（）A. a n=2n−1B. a n=(−1)n(1−2n)C. a n=(−1)n(2n−1)D. a n(−1)n+1(2n−1)3.不等式2x-3y+6＞0表示的平面区域在直线2x-3y+6=0的（）A. 左上方B. 左下方C. 右上方D. 右下方4.下列说法正确的是（）A. 若a<b，则1a <1bB. 若ac3>bc3，则a>bC. 若a>b，k∈N∗，则a k≤b kD. 若a>b，c>d，则a−d>b−c5.已知等比数列{a n}中，a2a3a4═1，a6a7a8=64，则a5=（）A. ±2B. −2C. 2D. 46.设M=2a（a-2），N=（a+1）（a-3），则有（）A. M>NB. M≥NC. M<ND. M≤N7.当x＞1时，不等式x+1x−1≥a恒成立，则实数a的取值范围是（）A. (−∞,2]B. [2,+∞)C. [3,+∞)D. (−∞,3]8.设{a n}是等差数列，公差为d，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（）A. d<0B. a7=0C. S9>S5D. S6和S7均为S n的最大值9.设S n为等差数列{a n}的前n项和，a4=4，S5=15，若数列{1a n a n+1}的前m项和为1011，则m=（）A. 8B. 9C. 10D. 1110.已知：x＞0，y＞0，且2x +1y=1，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（）A. (−∞,−2]∪[4,+∞)B. (−∞,−4]∪[2,+∞)C. (−2,4)D. (−4,2)二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）11.△ABC中，a=1，b=√3，∠A=30°，则∠B等于______12.点P（x，y）在不等式组{x−2≤0y−1≤0x+2y−2≥0表示的平面区域上运动，则z=x-y的最大值为______．13.在△ABC中，三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若角A、B、C成等差数列，且边a、b、c成等比数列，则△ABC的形状为______．14.对于任意实数x，不等式（a-2）x2-2（a-2）x-4＜0恒成立，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共44.0分）15.（1）解不等式2x2+x+1＞0．＜x＜2}，求a+b的值；（2）若不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|-1216.已知数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n．（1）求a n；（2）若b n=n+a n，求数列{b n}的前5项的和S5．17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c cos A，b cos B，a cos C成等差数列．（Ⅰ）求∠B；，b=√3，求△ABC的面积．（Ⅱ）若a+c=3√3218.如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过点C，已知AB=3米，AD=2米．（Ⅰ）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？（Ⅱ）当DN的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．19.已知数列{a n}的前n项和为S n，向量a⃗=（S n，2），b⃗ =(1，1−2n)满足条件a⃗ ⊥b⃗（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设c n=na n，求数列{c n}的前n项和T n．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵集合M={x|（x+3）（x-1）＜0}={x|-3＜x＜1}，N={x|x≤-3}，∴M∪N={x|x＜1}，∴∁R（M∪N）={x|x≥1}，故选：B．先求出M，再求出M∪N，再根据补集的定义求出∁R（M∪N）．本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合并集的定义和求法，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：数列-1，3，-5，7，-9，…的一个通项公式为．故选：C．其符号与绝对值分别考虑即可得出．本题考查了数列通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：画直线2x-3y+6=0，把（0，0）代入，使得2x-3y+6＞0，所以不等式2x-3y+6＞0表示的平面区域在直线2x-3+-6＞0的右下方，故选：D．根据题意取特殊点验证不等式表示的平面区域即可．本题考查了二元一次不等式表示的平面区域问题，通常以直线定界，特殊点定区域，是基础题．4.【答案】D【解析】解：A．当a=1，b=2时，满足a＜b，但不成立，故A错误，B．若ac3＞bc3，若c＜0，则a＞b不成立，故B错误，C．当k=2时，a=1，b=-2满足条件．a＜b，但a2≤b2不成立，故C错误，D．若a＞b，c＞d，则-d＞-c，则a-d＞b-c成立，故D正确故选：D．根据不等式的关系以及不等式的性质分别进行判断即可．本题主要考查命题的真假判断，结合不等式的性质分别进行判断是解决本题的关键．5.【答案】C【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2a3a4═1，a6a7a8=64，∴（q4）3=64，解得q2=2．又=1，解得a1=．则a5==2．故选：C．设等比数列{a n}的公比为q，由a2a3a4═1，a6a7a8=64，可得（q4）3=64，解得q2．又=1，解得a1．利用通项公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.【答案】A【解析】解：∵M-N═2a（a-2）-（a+1）（a-3）=（a-1）2+2＞0，∴M＞N．故选：A．比较两个数的大小，通常采用作差法，分别计算M-N的结果，判断结果的符号．本题考查了比较两数大小的方法．当a-b＞0时，a＞b，当a-b=0时，a=b，当a-b ＜0时，a＜b．7.【答案】D【解析】解：∵当x＞1时，不等式x+恒成立，∴a≤x+对一切非零实数x＞1均成立．由于x+=x-1++1≥2+1=3，当且仅当x=2时取等号，故x+的最小值等于3，∴a≤3，则实数a的取值范围是（-∞，3]．故选：D．由题意当x＞1时，不等式x+恒成立，由于x+的最小值等于3，可得a≤3，从而求得答案．本题考查查基本不等式的应用以及函数的恒成立问题，求出x+的最小值是解题的关键．8.【答案】C【解析】解：∵S5＜S6，S6=S7＞S8，∴a6＞0，a7=0，a8＜0，可得d＜0．S6和S7均为S n的最大值．S9==9a5，S5==5a3．S9-S5=9（a1+4d）-5（a1+2d）=4a1+26d=4a7+2d＜0，∴S9＜S5．因此C错误．故选：C．S5＜S6，S6=S7＞S8，可得a6＞0，a7=0，a8＜0，可得d＜0．S6和S7均为S n的最大值．作差S9-S5=4a7+2d＜0，可得S9＜S5．本题考查了等差数列的单调性、通项公式与求和公式、作差法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：S n为等差数列{a n}的前n项和，设公差为d，a4=4，S5=15，则：，解得d=1，则a n=4+（n-4）=n．由于=，则，==，解得m=10．故答案为：10．故选：C．首先求出数列的通项公式，利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法求出数列的和10.【答案】D【解析】解：∵x＞0，y＞0，且，∴x+2y=（x+2y）（）=2+++2≥8（当且仅当x=4，y=2时取到等号）．∴（x+2y）min=8．∴x+2y＞m2+2m恒成立，即m2+2m＜（x+2y）min=8，解得：-4＜m＜2．故选：D．x+2y＞m2+2m恒成立，即m2+2m＜x+2y恒成立，只需求得x+2y的最小值即可．本题考查基本不等式与函数恒成立问题，将问题转化为求x+2y的最小值是关键，考查学生分析转化与应用基本不等式的能力，属于中档题．11.【答案】60°或120°【解析】解：∵a=1，b=，∠A=30°根据正弦定理可得：∴sinB=∴∠B=60°或120°故答案为：60°或120°根据正弦定理可求出角B的正弦值，进而得到其角度值．本题主要考查正弦定理的应用．属基础题．12.【答案】2【解析】解：画可行域如图，画直线z=x-y，平移直线z=x-y过点A（0，1）时z有最小值-1；平移直线z=x-y过点B（2，0）时z有最大值2．则z=x-y的最大值为2．故答案为：2．①画可行域；②z为目标函数的纵截距；③画直线z=x-y．平移可得直线过A 或B时z有最值．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．13.【答案】等边三角形【解析】解：∵在△ABC中角A、B、C成等差数列，∴2B=A+C，由三角形内角和可得B=，又∵边a、b、c成等比数列，∴b2=ac由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB，∴ac=a2+c2-ac，即a2+c2-2ac=0，故（a-c）2=0，可得a=c，故三角形为：等边三角形，故答案为：等边三角形．由等差数列和三角形内角和可得B=，再由等比数列和余弦定理可得a=c，可得等边三角形．本题考查三角形形状的判定，涉及等差和等比数列及余弦定理，属基础题．14.【答案】（-2，2]【解析】解：当a=2时，-4＜0恒成立；当a≠2时，不等式（a-2）x2-2（a-2）x-4＜0恒成立，则，解得：-2＜a＜2；综上所述，-2＜a≤2．故答案为：（-2，2]．分a=2与a≠2讨论；在a≠2时，（a-2）x2-2（a-2）x-4＜0恒成立⇒，解之，取并即可．本题考查函数恒成立问题，对a分a=2与a≠2讨论是关键，考查分类讨论思想与等价转化思想，属于中档题．15.【答案】解：（1）不等式2x2+x+1＞0中，△=1-8=-7＜0，所以该不等式的解集为R；（2）不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|-12＜x＜2}，则该不等式对应的方程两根是-12和2，所以{2a =−12×2−ba =−12+2，解得a=-2，b=3，∴a+b=1．【解析】（1）利用判别式△＜0，得出该不等式的解集为R；（2）根据不等式的解集得出不等式对应方程的两个根，再由根与系数的关系求出a 、b 的值．本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了一元二次方程根与系数的关系应用问题．16.【答案】解：（1）由数列{a n }中，a 1=2，a n +1=2a n ．则数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列， ∴a n =2n ．（2）b n =n +a n =n +2n ．∴数列{b n }的前5项的和S 5=（1+2+3+4+5）+（2+22+……+25） =5×(1+5)2+2×(25−1)2−1=77．【解析】（1）利用等比数列的通项公式即可得出．（2）b n =n+a n =n+2n ．利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出． 本题考查了等差数列与等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】解：（Ⅰ）∵c cos A ，B cosB ，a cos C 成等差数列，∴2b cos B =c cos A +a cos C ，由正弦定理知：a =2R sin A ，c =2R sin C ，b =2R sin B ，代入上式得：2sin B cosB=sin C cos A +sin A cos C ，即2sin B cosB=sin （A +C ）． 又A +C =π-B ，∴2sin B cosB=sin （π-B ），即2sin B cosB=sin B ． 而sin B ≠0，∴cos B =12，及0＜B ＜π，得B =π3． （Ⅱ）由余弦定理得：cos B =a 2+c 2−b 22ac=12， ∴(a+c)2−2ac−b 22ac=12，又a +c =3√32，b =√3， ∴274-2ac -3=ac ，即ac =54，∴S △ABC =12ac sin B =12×54×√32=5√316．【解析】（Ⅰ）由ccosA ，BcosB ，acosC 成等差数列，可得2bcosB=ccosA+acosC ，利用正弦定理、和差公式即可得出；（II）利用余弦定理与三角形的面积计算公式即可得出．本题考查了等差数列、正弦定理、和差公式、余弦定理、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）设DN的长为x（x＞0）米，则|AN|=（x+2）米∵|DN| |AN|=|DC||AM|，∴|AM|=3(x+2)x∴S AMPN=|AN|⋅|AM|=3(x+2)2x由S AMPN＞32得3(x+2)2x＞32又x＞0得3x2-20x+12＞0解得：0＜x＜23或x＞6即DN的长取值范围是(0，23)∪(6，+∞)（Ⅱ）矩形花坛的面积为y=3(x+2)2x =3x2+12x+12x=3x+12x+12(x＞0)≥2√3x⋅12x+12=24当且仅当3x=12x，即x=2时，矩形花坛的面积最小为24平方米．【解析】（Ⅰ）设DN的长为x（x＞0）米，则|AN|=（x+2）米，表示出矩形的面积，利用矩形AMPN的面积大于32平方米，即可求得DN的取值范围．（2）化简矩形的面积，利用基本不等式，即可求得结论．本题考查根据题设关系列出函数关系式，并求出处变量的取值范围；考查利用基本不等式求最值，解题的关键是确定矩形的面积．19.【答案】解：（1）∵a⃗ ⊥b⃗ ，∴a⃗•b⃗ =S n+2-2n+1=0，∴S n=2n+1-2，当n≥2时，a n=S n-S n-1=2n，当n=1时，a1=S1=2满足上式，∴a n=2n，（2）∵c n=na n =n2n，∴T n=12+22+⋯+n−12+n2，两边同乘12，得12T n=122+223+⋯+n−12n+n2n+1，两式相减得：1 2T n=12+122+⋯12n−n2n+1=1−n+22n+1，∴T n=2−n+22n(n∈N+)．【解析】（1）根据向量的数量积和可得S n=2n+1-2，再根据数列的递推公式即可求出，（2）根据错位相减法即可求出数列{c n}的前n项和T n本题考查了向量的数量积和数列的递推公式以及错位相减法，属于中档题第11页，共11页。
北京海淀区2019-2020学年度第一学期高二期中数学复习参考试题(word版有答案)
海淀区高二期中数学复习参考试题 2019.10.25一、选择题1.若 a,b,c ∈R ，且 a>b ，则下列结论一定成立的是（ ）A ．bc ac >B ．b a 11<C ．22b a >D ．c b c a ->-2．记n S 为等差数列{n a }的前n 项和，若04=S ，55=a ，则（ ）A ．52-=n a nB ．103-=n a nC ．n n S n 822-= D ．n n S n 2212-= 3．在正方体1111D C B A ABCD -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正 切值为（ ）A ．22B ．23C ．25D ．27 4．已知{n a }为等比数列．下面结论中正确的是（ ）A ．2312...a a a +B ．2223212...a a a +C ．若31a a =，则21a a =D ．若13a a >，则 24a a > 5．已知抛物线 C ：x y 82= 的焦点为F ，准线为 l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点.若4=，则|QF |等于（ ） A.27 B.25 C.3 D.2 6．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的 中点，则⋅的值为（ ） A.2a B.221a C.241a D. 243a 7．设x x f ln )(=，b a <<0，若)(ab f p =，)2(b a f q +=，())()(21b f a f r +=，则下列关系式中正确的是( )A.p r q <=B.p r q >=C.q r p <=D. q r p >=8．已知双曲线 C ：1322=-y x ，O 为坐标原点，F 为 C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为 M 、N .若OMN ∆为直角三角形，则|MN |=（ ）A.23B.3C.32D. 4二、填空题9．若双曲线()0122>=-ab by a x 的离心率为25，则渐近线方程为_________，若4=b , 则a =_________．10．若不等式022>++bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121x x ，则=+b a _________． 11．抛物线x y 42=的焦点为F ，准线为l ，则以F 为圆心且与l 相切的圆的方程为_________．12. 已知R b a ∈,，且063=+-b a ，则ba 812+的最小值为_________． 13. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若12+=n n a S ，则=n S _________．14. 在数1和100之间插入n 个实数，使得这2+n 个数构成递增的等比数列，将这2+n 个数的乘积记作n T ，令)(lg *N n T a n n ∈=，则数列{}n a 的通项公式为_________． 三、解答题15．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且13221=+a a ，62239a a a =. （1）求数列{}n a 的通项公式.（2）设n n a a a b 32313log log log +⋅⋅⋅++=，球数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1的前n 项和.16．解关于x 的不等式()0112>--+x a ax17. 如图，⊥AE 平面ABCD ，AB AD ⊥，1==AD AB ，2==BC AE ，AD ∥BC ，CF ∥AE .（1）求证：BF ∥平面ADE ；（2）求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值；（3）若二面角F BD E --的余弦值为31，求线段CF 的长.18. 已知抛物线C ：py x 22-=经过点()1,2- （1）求抛物线C 的方程及其准线方程；（2）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线1-=y 分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点.19. 已知数列{}n a 满足121==a a ，n n n a a )1(22-+=+，()*N n ∈ （1）写出5a ，6a 的值；（2）设n n a b 2=，求{}n b 的通项公式；（3）记数列{}n a 的前项和为n S ，求数列{}182-n S 的前n 项和n T 的最小值.。
2019-2020学年北京市海淀区清华大学附属中学高二上学期期中数学试题(解析版)
2019-2020学年北京市海淀区清华大学附属中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）A B C ．12D ．13【答案】B【解析】由题意，椭圆的长轴长是短轴长的2倍，即2a b =，再根据椭圆的离心率的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，椭圆的长轴长是短轴长的2倍，即2a b =，则椭圆的离心率为c e a ====，故选B. 【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质的应用，其中解答中熟记椭圆的几何性质，合理应用,,a b c 的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2．倾斜角为135,在y 轴上的截距为1-的直线方程是 A ．10x y -+= B ．10x y --=C ．10x y +-=D ．10x y ++=【答案】D【解析】试题分析：倾斜角135θ=tan 1k θ∴==-，直线方程截距式110y x x y =--∴++=【考点】斜截式直线方程点评：直线斜率为k ，在y 轴上的截距为b ，则直线方程为y kx b =+，求直线方程最终结果整理为一般式方程3．已知直线l 过点(1,2)-且与直线2340x y -+=垂直，则l 的方程是（ ） A ．3210x y +-= B ．3270x y ++= C ．2350x y -+= D ．2380x y -+=【答案】A【解析】【详解】直线2x –3y +1=0的斜率为2,3则直线l 的斜率为3,2-所以直线l 的方程为32(1).3210.2y x x y -=-++-=即故选A4．设m 是不为零的实数，则“0m >”是“方程221x ym m-=表示的曲线为双曲线”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】 由题意得，方程221x y m m -=表示双曲线，则0m <或0m >，所以“0m >”是方程“221x y m m-=表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.5．已知椭圆24x ＋23y ＝1的两个焦点F 1，F 2，M 是椭圆上一点，且|MF 1|－|MF 2|＝1，则△MF 1F 2是() A ．钝角三角形 B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形【答案】B【解析】结合椭圆第一定义列出|MF 1|+|MF 2|＝4，联立求解|MF 1|和|MF 2|，再判断△MF 1F 2三边关系即可 【详解】由题可知121214MF MF MF MF ⎧⎪⎨+⎪⎩－＝＝，解得125232MF MF ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝，又因122F F =，2221221F F MF MF +=，所以△MF 1F 2为直角三角形答案选B 【点睛】本题考查椭圆的基本性质，结合第一定义解题往往是圆锥曲线解题优先考虑的步骤 6．已知点12,F F 是椭圆2222x y +=的左、右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么12PF PF +的最小值是（ ）A ．2B ．C ．0D ．1【答案】A【解析】椭圆2222x y +=，即为2212x y +=，则椭圆的1a b ==，则由OP 为12PF F ∆的中线，即有()1212PO PF PF =+，则122PF PF PO +=，可设(),P x y ，则2212x y +=，即有211x x PO x ==-=+≥，当0x =时，取得最小值1，则12PF PF +的最小值为2，故选A.7．已知直线0x y m -+=与圆O ：221x y +=相交于A ，B 两点，若OAB ∆为正三角形，则实数m 的值为（ ）A B ．2C D ．2【答案】D【解析】 由题意得，圆22:1O x y +=的圆心坐标为(0,0)，半径1r =.因为OAB ∆为正三角形，则圆心O 到直线0x y m -+==，即2d ==，解得=m 或m =，故选D. 8．在ABC ∆中，=1,AB AC D =是AC 的中点，则BD CD ⋅的取值范围是 A ．31(,)44- B ．1(,)4-∞C ．3(,)4-+∞D ．13(,)44【答案】A【解析】根据向量的运算得到()1··.4BD CD BC CD CD BC CD ⋅=+=+ 设BC=x,211,?cos 244x x BCD BC CD θθ-+∠==-+=()0,2x ∈,代入上式得到结果为31,44⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：A 。
北京市清华大学附属中学2020_2021学年高二数学上学期期中试题含解析
所以 ，此时 ，
又 ，此时 ，
综上可知： .
【点睛】思路点睛：求解形如 在指定区间上的值域或最值的一般步骤如下：
（1）先确定 这个整体的范围；
（2）分析 在（1）中范围下的取值情况；
（3）根据取值情况确定出值域或最值，并分析对应的 的取值.
18. 如图，在四棱锥 中，底面 是直角梯形， ， ， ， ， 平面 ， .
理由如下供参考：过 作 交 于 点，过点 作 交 于 点，连接 ，
因为 ， ，所以 ，因为 平面 ，所以 平面 ，所以 ，
又因为 ，且 ，所以 平面 ，所以 ，
所以 即为点 到直线 距离，
因为 ，所以 有最大值时 有最大值，
显然 有最大值时 与 点重合，此时 与 重合，则 ，
所以点 到直线 距离的最大值为 ，此时 与 重合.
【答案】
【解析】
由三角形的面积公式知， ,解得 ，再有余弦定理得 ，故 .
14.若椭圆 的离心率是 ，则 的值为_________.
【答案】 或
【解析】
【分析】
分焦点在 轴和 轴分类讨论，结合离心率得表达式即可求解
【详解】①当椭圆的焦点在x轴上时，由题意得 ，解得 ；
②当椭圆的焦点在y轴上时，由题意得 ，解得 .
即“ ”是“直线 的倾斜角大于 ”的充分而不必要条件，
故选A.
【点睛】本题考查了直线的斜率与倾斜角、充分必要条件，重点考查了逻辑推理能力，属基础题.
4.某校为了对初三学生的体重进行摸底调查，随机抽取了50名学生称其体重（单位：kg），将所得数据整理后画出了频率分布直方图如图所示，体重在 内适合跑步训练，体重在 内适合跳远训练，体重在 内适合投掷训练，估计该校初三学生适合参加跑步、跳远、投掷三项训练的人数之比为（）
2019-2020学年北京市中国人民大学附属中学高二上学期期中考试数学试题(解析版)
2019-2020学年北京市中国人民大学附属中学高二上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知0a b <<.下列不等式恒成立的是( ) A ．0a b +< B ．1a b< C ．1b a> D ．11a b> 【答案】B【解析】给a,b 赋值，判定选项，得答案. 【详解】因为0a b <<，所以令1,1a b =-= A 选项110a b +=-+=，错误；B 选项11ab =-<，正确； C 选项11ba=-<，错误；D 选项1111a b=-<=，错误. 故选：B 【点睛】本题考查不等式的基本性质，可以利用性质变换，也可以用赋值法直接判定，基础题. 2．等差数列{}n a 中，21a =，45a =，则公差d 等于( ) A ．2 B ．12C ．43D ．34【答案】A【解析】由等差数列的性质()m n a a m n d =+-，构建方程，解得答案.【详解】由等差数列的性质可知：422125a a d d =+=+= 所以2d =. 故选：A 【点睛】本题考查等差数列的基本性质，属于基础题.3．椭圆22:143x y C +=的焦距和离心率分别为( )A ．2和14B ．1和14C ．2和12D ．1和12【答案】C【解析】由椭圆的标准方程得,,a b c 的值，代入焦距和离心率的表达式，得答案. 【详解】因为椭圆22:143x y C +=，所以2,a b ==，所以1c =故焦距22c =，离心率12c e a ==. 故选：C 【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，属于基础题.4．等比数列{}n a 中，39a =，51a =，则6a 的值为( ) A ．13B ．13-C ．13±D ．19【答案】C【解析】由等比数列通项公式，由已知求得公比，再由等比数列的性质求得答案. 【详解】由题可知23145191a a q a a q ⎧==⎨==⎩，得211,93q q ==±，所以5613q a a ==±. 故选：C 【点睛】本题考查等比数列求项，涉及等比数列通项公式和性质的应用，属于简单题.5．若双曲线221(0)x y a a-=>的实轴长为2，则其渐近线方程为( )A．y = B．2y x =±C ．12y x =±D ．y x =±【答案】D【解析】由双曲线性质得a ，表示双曲线标准方程，表示渐近线方程即可. 【详解】因为实轴长为2，所以1a =，所以双曲线为221x y -=所以渐近线方程为y x =±. 故选：D 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，涉及实轴和求渐近线方程，属于基础题. 6．已知Rt ABC V 的斜边长为2.则下列关于ABC V 的说法中，正确的是( )A ．周长的最大值为2+B ．周长的最小值为2+C ．面积的最大值为2D ．面积的最小值为1【答案】B【解析】因为Rt ABC V ，由勾股定理可构建关系式，由基本不等式得到两直角边乘积的最大值，和周长的最小值，既得答案. 【详解】设c 为斜边，所以2224a b c +==，由基本不等式可知2242,2a b ab ab =+≥≤当且仅当a b ==所以a b +≥≥ 由面积公式112S ab =≤，故面积的最大值为1，所以C ，D 选项错误；由周长公式2C a b c =++≥，故周长的最小值为2+. 故选：B 【点睛】本题考查基本不等式在三角形的周长和面积上应用，属于中档题7．已知抛物线22(0)x py p =>的准线被双曲线22132x y -=截得的弦长为6，则该抛物线的焦点坐标是( ) A ．10,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(0,32)C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(0,2)【答案】D【解析】由抛物线的准线被双曲线截得的弦长，可表示准线与双曲线的交点坐标，代入即可得到p 值，即可表示抛物线的焦点坐标. 【详解】因为抛物线22(0)x py p =>的准线被双曲线22132x y -=截得的弦长为6所以该准线与双曲线的一个交点坐标表示为3,2p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入双曲线中2232132p ⎛⎫- ⎪⎝⎭-= 得4p =，所以焦点坐标为()0,2故选：D 【点睛】本题考查抛物线准线与双曲线的相交问题，多见于表示交点坐标，进而求参解决问题，属于中档题.8．已知平面区域330:3300x y x y y -+≥Ω+-≤≥⎪⎩，若圆()()222:(0)C x a y b r r -+-=>与x轴和直线3(1)y x =+均相切，且圆心C ∈Ω，则222ab r a b++的最小值为( ) A ．0 B 33+C ．122- D ．122【答案】C【解析】由约束条件画出可行域，为一个等边三角形，那么圆C 与x 轴和直线3(1)y x =+均相切，则圆心在NMQ ∠的角平分线MP 上移动，且b r =，代入所求关系式中，化简后令OC bk k a==转化到斜率，利用求函数最值的方式，借助双勾函数求得最小值. 【详解】做出约束条件330 :33x yx yy⎧-+≥⎪⎪Ω+-≤⎨≥⎪⎩的可行域如图MNQ△，为一个等边三角形因为3(1)y x=+就是图像中的直线MQ，又因为圆()()222:(0)C x a y b r r-+-=>与x轴和直线3(1)y x=+均相切故其圆心C应在NMQ∠的角平分线MP上移动，且b r=，所以2222221bab r ab b aa ba b a bb a+++==+++，令OCbk ka==，因为圆心C∈Ω，所以0OMk k<=或3OPk k≥=则()()() 2222211111111211212121 ab r k k ka b k k kk kk k ++--==+=+=+++-+-++-++-令())1,,131,t k t U⎡=-∈-∞-+∞⎣，则2221122ab ra b tt+=++++令2m tt=+，则由双勾函数可知(),2222,m U⎡∈-∞-+∞⎣则12222222m∈⎢+-++⎣故2221112222222ab ra b m+⎡=+∈+⎢++-++⎣即2221212,22ab ra b⎡++∈⎢+⎣⎦，所以222ab ra b++的最小值为122.故选：C【点睛】本题考查求函数最值问题，其中涉及线性规划作图分析，非线性的斜率问题，双勾函数值域，还考查了不等式的简单性质，属于难题.二、多选题9．下列结论中，所有正确的结论有( ) A ．若22a b c c>，则22a c b c ->- B ．若,,a b R +∈，则a m ab m b+>+ C ．当(0,)x π∈时 ，1sin 2sin x x+≥ D ．若*,a b R ∈，1a b +=，则114a b+≥【答案】ACD【解析】A 选项由不等式的基本性质判定； B 选项赋特值判定； C 选项由基本不等式判定； D 选项因为1a b +=，则()1111a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，化简后由基本不等式判定. 【详解】 A 选项因为22a b c c>，则a b >，不等式两边同减不等号不变，所以22a c b c ->-成立，正确；B 选项赋特值，若1,4,1a b m ===-，左边=11041a m b m +-==+-，右边=14a b =，显然左边<右边，错误；C 选项因为(0,)x π∈，则(]sin 0,1x ∈，由基本不等式可知当且仅当sin 1x =时，1sin 2sin x x+≥成立，正确； D 选项因为1a b +=，则()11112a b a b a b a b ba⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，又*,a b R ∈，所以由基本不等式11224a b a b b a +=++≥+=，当且仅当12a b ==时，取等号，正确.故选：ACD 【点睛】本题考查基本不等式的应用，主要是使用的限制和等式的转化，还考查了不等式的简单性质，属于中档题.10．已知数列{}n a ，{}n b 均为递增数列，{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 的前n 项和为n T .且满足12n n a a n ++=，12(N)nn n b b n +⋅=∈，则下列说法正确的有( )A ．101a << B．11b <<C ．22n n S T <D ．22n n S T ≥【答案】ABC【解析】数列{}n a 中12n n a a n ++=，()122122n n a a n n +++=+=+，两式相减得22n n a a +-=，所以数列{}n a 为隔项以2为公差的等差数列形式；数列{}n b 中12n n n b b +⋅=，1122,n n n b b +++⋅=，两式相除得22n nb b +=，所以数列{}n b 为隔项以2为公比的等比数列形式；A 选项中分别用1a 表示23,a a ，由数列{}n a 为递增数列，构建不等式组，解得答案，正确；B 选项中分别用1b 表示23,b b ，由数列{}n b 为递增数列，构建不等式组，解得答案，正确；因为CD 选项中只有一个正确，先利用分组求和，表示22,n n S T ，再取特值分别计算确切值，利用基本不等式比较得答案. 【详解】数列{}n a 中12n n a a n ++=，()122122n n a a n n +++=+=+，两式相减得22n n a a +-= 所以数列{}n a 为隔项以2为公差的等差数列形式； 数列{}n b 中12nn n b b +⋅=，1122,n n n b b +++⋅=，两式相除得22n nb b += 所以数列{}n b 为隔项以2为公比的等比数列形式；A 选项因为12n n a a n ++=，所以122324a a a a +=⎧⎨+=⎩即213224a a a a =-⎧⎨=-⎩，又数列{}n a 为递增数列，所以21132224a a a a a a =->⎧⎨=->⎩即112122a a a <⎧⎨-=<⎩，所以101a <<，正确；B 选项因为12nn n b b +⋅=，所以311222b b b b ⎧=⎪⎨⎪⋅=⎩即312122b b b b=⎧⎪⎨=⎪⎩，又数列{}n a 为递增数列，所以2111321121131120221122b b b b b b b b b b b b b ⎧=>⎪⎪>⎧⎪>⇒>⇒⇒<<⎨⎨<<⎩⎪⎪=>⎪⎩因为()()123421213212224n n n n n a a a a a a a a a a a a S L L L --=++++++=+++++++ ()()()221212112222222n n n n na na n a a n n n --⎛⎫⎛⎫=+⋅++⋅=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()123421213212224n n n n n b b b b b b b b b b b b T L L L --=++++++=+++++++ ()()()()12121212211212n n n b b b b --=+=-+--因为CD 选项中只有一个正确，取特值，当3n =时，2622672n S S ==⨯=()()()6121226621636372n b b b b T S T ==-+=+≥⨯=>=所以C 选项正确，D 选项错误. 故选：ABC 【点睛】本题考查数列的综合问题，涉及由递推公式确定数列关系，递增数列的性质，分组求和求前n 项和，还考查了基本不等式与数列的综合问题，属于难题.11．已知点P 是双曲线22:1169x y E -=的右支上一点，12F F 双曲线E 的左、右焦点，12PF F △的面积为20，则下列说法正确的有( )A ．点P 的横坐标为203B ．12PF F △的周长为803C ．12F PF ∠小于3π D ．12PF F △的内切圆半径为32【答案】ABCD【解析】在焦点三角形中利用1212211222tan2P P F F PF F b S c y r C V V θ=⋅==⋅⋅三种表达形式，可判定ACD 选项正确，由两点间的距离公式表示2PF ，利用双曲线的定义表示1PF ，从而表示12PF F △的周长，即可判定B 选项正确.【详解】因为双曲线22:1169x y E -=，所以1695c =+=又因为12112102022P P F P F S c y y V =⋅=⋅⋅=，所以4P y = 将其代入22:1169x y E -=得2241169x -=，即203x =，所以选项A 正确； 所以P 的坐标为20,43⎛⎫± ⎪⎝⎭，由对称性可知22220135433PF ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭, 由双曲线定义可知1213372833PF PF a =+=+=所以1212133721038033PF F C PF PF c V =++=++=，所以选项B 正确；因为122920tantan22PF F b S V θθ===，所以93tantan 2206θπ=<=， 即26θπ<，所以123F PF πθ∠=<，所以选项C 正确； 因为1212180122320PF F PF F S r C r V V =⋅⋅=⋅⋅=，所以32r =，所以选项D 正确.故选：ABCD 【点睛】本题考查双曲线的焦点三角形问题，主要涉及面积公式的变形应用和双曲线的定义使用，属于难题.三、填空题12．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若56S =-，615S =，则5a =______. 【答案】13.6【解析】在等差数列中由前n 项和公式，将已知转化为首项和公差，再带入通项公式中，求得答案. 【详解】在等差数列中()()5116115515510626616615152S a d a d S a d a d ⎧-=+⋅=+=-⎪⎪⎨-⎪=+⋅=+=⎪⎩，得1167.4a d =-⎧⎨=⎩，所以51413.6a a d =+=. 故答案为：13.6 【点睛】本题考查等差数列中知三求二，由已知转化为首项和公差，进而表示所求问题，属于简单题.13．已知双曲线22221x y a b-=的一条渐近线为2y x =，则双曲线的离心率为________.【解析】试题分析：根据双曲线的渐近线的方程知2ba=即c ==，所以此双曲线的离心率ce a==. 【考点】双曲线的标准方程、渐近线方程和离心率.14．等比数列{}n a 中，11a =，且2436a a a +=，则5a =________. 【答案】4【解析】在等比数列中，将已知转化为首项和公比求得2q ，再将其带入通项公式中，求得答案. 【详解】因为11a =，所以在等比数列中32422431116a a a a q a q a q q q +=⋅+=+=所以22q =或-3（舍），故425124a a q ===故答案为：4 【点睛】本题考查等比数列中知三求二，由已知转化为首项和公比，进而表示所求问题，属于简单题.15．已知(2,2)A --，(0,2)B ，(2,0)C ，则表示ABC V 内部区域（含边界）的不等式组为______.【答案】22020220x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩【解析】由已知点构建可行域，由两点式或点斜式表示边界直线方程，再由特殊点确定不等式组，得答案. 【详解】由已知三点可构建图像，表示ABC V 内部区域（含边界）可分别表示直线方程222:220020AB y l x y x ---=⇒-+=---；():0220BC l y x x y -=--⇒+-=；020:220222AC y l x y x ---=⇒--=--- 由于原点(0,0)O 在该区域内，故可判定该范围的不等式组：22020220x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩故答案为：22020220x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩【点睛】本题考查由线性规划的可行域逆向表示约束条件的不等式组，属于中档题.16．已知直线:L y x t =-与抛物线2:4C y x =交于,A B 两个不同点，O 为坐标原点，若3OA OB ⋅=-u u u r u u u r，则t 的值为_______. 【答案】1或3【解析】联立直线方程和抛物线方程，由韦达定理表示两根乘积的关系，因为需有两个交点需满足判别式大于零，求出一个参数的限制条件，将x ，y 的是两个乘积关系，代入已知OA OB ⋅u u u r u u u r中解得答案. 【详解】设交点()()1122,,,A x y B x y ，联立方程组24y x t y x=-⎧⎨=⎩，得()22240x t x t -++=因为()222440t t V =+->，即1t >-则1221224x x t x x t +=+⎧⎨⋅=⎩，所以()()()2121212124y y x t x t x x t x x t t ⋅=--=⋅-++=- 所以2121243OA OB x x y y t t u u u r u u u r⋅=⋅+⋅=-=-，即1t =或3，符合0>V故答案为：1或3 【点睛】本题考查直线与抛物线相交关系的问题，常见于联立方程组，表示韦达定理，根据已知向量关系构建方程解决问题，属于中档题.17．已知数列{}n a 满足21k k a a d +-=（d 为常数，1,2k n =⋯，*N n ∈，3n ≥），给出下列四个结论：①若数列{}n a 是周期数列，则周期必为2：②若0d =，则数列{}n a 必是常数列：③若0d >，则数列{}n a 是递增数列：④若0d <，则数列{}n a 是有穷数列，其中，所有错误结论的序号是________. 【答案】①②③④【解析】①当周期为2时31a a =，由21k k a a d +-=表示前三项的关系，整理证得121a a +=-，与实际矛盾，错误；②若0d =，举特例12a =，观察显然不是常数列，错误； ③赋特值1a 1,d 2==，求得2a =④赋特值111,24a d ==-，求得212a =，是无穷数列，错误.【详解】①令周期2T =，则31a a =由题可知221232a a d a a d⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，则223221a a a a -=-，即221221a a a a -=-因为()()1212222121a a a a a a a a -=-⋅+=-整理得()()121210a a a a -⋅++=，得121a a +=-，矛盾，所以错误；②若0d =，2110,k k k a a a ++-=显然，可以是，不是常数列，所以错误；③令1a 1,d 2==，由21k k a a d +-=可知2a ==当2a = ④当111,24a d ==-时，有212a ==± 当212a =，则以后各项都可以为12，是无穷数列，所以错误.故答案为：①②③④ 【点睛】本题考查数列的新定义问题，关键在于理解定义表达式，常运用赋值法处理，属于难题.18．已知椭圆2212x y +=上存在相异两点关于直线y x t =+对称，请写出两个符合条件的实数t 的值______． 【答案】0或12（答案不唯一在33t -<<内任取两个实数） 【解析】由对称性可知，线段AB 被直线y x t =+垂直平分，则AB 的中点M 在直线y x t =+上，且1AB k =-，设直线AB 的方程y x b =-+，联立直线AB 的方程和椭圆方程，由韦达定理表示中点M 的坐标，由相交于相异两点，可由判别式得到b 的取值范围，由M 在直线y x t =+上，用b 表示t ，则任取范围内两个实数即可. 【详解】设2212x y +=上存在关于直线y x t =+对称的两点()()1122,,,A x y B x y 由对称性可知，线段AB 被直线y x t =+垂直平分， 则AB 的中点()00,M x y 在直线y x t =+上，且1AB k =- 故可设直线AB 的方程为：y x b =-+联立方程：22223422012y x b x bx b x y =-+⎧⎪⇒-+-=⎨+=⎪⎩由韦达定理可知：()12121243223b x x b y y b x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=-+=⎪⎩，即中点M 的坐标为2,33b b ⎛⎫⎪⎝⎭ 由()221612220b b V=-->，得b <<因为M 在直线y x t =+上，所以233333b t t b b t =+⇒=-⇒-<<任取0t =或12（答案不唯一，在33t <<内的任意两个实数均可） 【点睛】本题考查直线与椭圆位置关系的综合应用，涉及对称性的性质，属于难题.19．已知*111()1(N )23f n n n=++++∈L L .用数学归纳法证明()22n nf >，请补全证明过程：(1)当1n =时，()1112122f =+>；(2)假设n k =时命题成立，即()22k k f >，则当1n k =+时，()()122k kf f +=+______12k +>，即当1n k =+时，命题成立.综上所述，对任意*N n ∈，都有()22nn f >成立.【答案】111121222kk k L ++++++ 【解析】由已知得1111(2)1232kk f k L L =++++++，进而()1111111112123221222k k k k k f k L L L ++=++++++++++++()1111221222k k k k f L +=++++++，既得答案.【详解】因为*111()1(N )23f n n n =++++∈L L 所以1111(2)1232nn f n L L =++++++所以当n k =时，1111(2)12322kk k f k L L =++++++>当1n k =+时，()1111111112123221222k k kk k f k L L L ++=++++++++++++ ()111112212222k k k k k f L ++=++++>++故答案为：111121222kk k L ++++++ 【点睛】本题考查数学归纳法由第k 项到k +1项，注意已知表达式的使用，属于难题.20．曲线E 是平面内到定点(1,0)A 的距离与到定直线1x =-的距离之和为8的动点P 的轨迹，则点P 的横坐标x 的取值范围是_______；曲线E 上的点到原点的最小距离是________.【答案】[]5,3- 3【解析】①由题表示曲线E 的方程，由去绝对值符号分段表示曲线方程，令0y =，得到图像的端点值，既得答案；②利用两点间的距离表示曲线E 上的点到原点的距离，结合①中的分段曲线表达式代入距离公式中，再由二次函数求得最小值. 【详解】①设动点(),P x y ，由题可得()22118x y x -+++=，所以()22181x y x -+=-+两边同时平方并化简得：221648,11680,1y x x y x x ⎧=-+≥-⎨=+<-⎩，所以0,3,10,5,1y x x y x x ==≥-⎧⎨==-<-⎩ 所以[]5,3x ∈-；②当[]13,x ∈-时，2221648o E d x y x x -=+=-+令()21648g x x x =-+，其在[]13,x ∈-上单调递减， 所以()()min 2min 16343383o E d g x g --⨯=+===当[)5,1x ∈--时，2221680o E d x y x x -=+=++显然，当4x =-时，min3o Ed -==>综上所述，曲线E 上的点到原点的最小距离是3. 【点睛】本题考查曲线与方程的综合问题，涉及不标准的抛物线方程表示，以及圆锥曲线中的距离最值问题，属于难题.四、解答题21．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已如11S =,23S =,nn S b n=. (1)求n a 和n S ；(2）证明：对任意*N n ∈，1n b ≥. 【答案】（1）1112n n n a a q --==；()()()1111221,112nnnn a q S n N q+--===-∈--（2）见解析.【解析】（1）在等比数列中，由n S 定义，表示12,a a ，从而得到公比q ，再将其带入通项公式和等比数列前n 项和公式中，求得n a 和n S ；（2）由（1）可知{}n b 的通项公式，作差讨论，得其是递增数列，表示n b 的最小值，其恰好等于1，即得证；也可以是使用求导法和数学归纳法证明. 【详解】（1）因为111a S ==，221312a S S =-=-=，所以等比数列{}n a 的公比2q =所以1112n n n a a q --==，因为1q ≠，所以()()()1111221,112nnnn a q S n N q+--===-∈--；（2）证明：由（1）可知21n n n S b n n-==所以()()11211212111nn n n n n b b n n n n ++-+---=-=++ 因为n N +∈，显然10n n b b +->，所以{}n b 是递增数列， 即min112111n b b -===，故1n b ≥.【点睛】本题考查数列的综合问题，涉及等比数列求通项公式，数列中联系函数思想证明不等式，属于较难题.22．某商家耗资4500万元购进一批VR （虚拟现实）设备，经调试后计划明年开始投入使用，由于设备损耗和维护，第一年需维修保养费用200万元，从第二年开始，每年的维修保并费用比上一年增40万元.该设备使用后，每年的总收入为2800万元. (1)求盈利额y （万元）与使用年数x 之间的函数关系式；(2)该设备使用多少年，商家的年平均盈利额最大？最大年平均盈利额是多少？ 【答案】（1）22026204500y x x =-+-；（2）15年；2020万元.【解析】（1）由等差数列求和公式表示总保养费，再由盈利额等于总收入减去总保养费再减去购买设备的资金构建关系式；（2）表示年平均盈利额的表达式，利用基本不等式求最值，得答案. 【详解】（1）由题可知每年的保养费是以200万元为首项，40万元为公差，逐年递增的等差数列形式，所以x 年的总保养费()2120040201802x x x S x x x -=+⋅=+万元，x 年的总收入为2800x 万元，所以盈利额()2228004500202620450080210x x x y x x =--=-+-+ 故关系式为22026204500y x x =-+-；（2）由（1）可知年平均盈利额220262045004500202620y x x Z x x x x-+-===--+由基本不等式可知450020600x x +≥=，当且仅当15x =时取等号， 所以450020262060026202020Z x x=--+≤-+= 故该设备使用15年，商家的年平均盈利额最大，最大年平均盈利额是2020万元. 【点睛】本题考查了函数的实际应用，根据实际构建函数模型，其中涉及等差数列求和，基本不等式求最值，属于较难题.23．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的离心率为12，过右焦点(1,0)F 作两条互相垂直的直线12,L L ，分别交椭圆E 于A B 、和C D 、四点.设AB CD 、的中点为M N 、. (1)求椭圆E 的方程；(2)直线MN 是否经过定点？若是，求出定点坐标；若否，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）直线MN 经过定点，定点坐标为4,07⎛⎫ ⎪⎝⎭，理由见解析. 【解析】忘记书写（1）根据题意确定出c 与e 的值，利用离心率公式求出a 的值，进而求出b 的值，代入椭圆方程得答案；（2）由直线AB 与CD 斜率存在，设为k ，表示出AB 方程，设出A 与B 坐标，进而表示出M 的坐标，联立直线AB 与椭圆方程，消去y 得关于x 的一元二次方程，利用韦达定理表示出M ，同理表示N ，根据M ,N 的横坐标相同求出k 的值，得到此时MN 斜率不存在，直线恒过定点；若直线MN 斜率存在，表示MN 的斜率，进而表示直线MN 的方程，令0y =，求出x 的值，得到直线MN 恒过定点；显然直线AB 或CD 斜率不存在，也成立，综上，得到直线MN 恒过定点，求出坐标即可. 【详解】（1）因为椭圆的右焦点(1,0)F ，所以1c =， 又离心率12c e a ==，所以2a =，即b =故椭圆E 的方程为22143x y +=（2）当直线AB 和CD 斜率存在时设直线AB 方程为：()1y k x =-，再设()()1122,,,A x y B x y则有中点1212,122x x x x M k ⎛++⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 联立方程()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：()22223484120k x k x k +-+-=由韦达定理得： 2122834k x x k +=+，所以M 的坐标为22243,3434k k k k⎛⎫- ⎪++⎝⎭将上式中的k 换成1k -，同理可得N 的坐标为2243,4343k k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭若222443443kk k=++，即1k=±，43,77M⎛⎫±⎪⎝⎭，此时直线MN斜率不存在，直线过定点4,07⎛⎫⎪⎝⎭；当1k≠±时，即直线MN斜率存在，则()32222422332121213443441211213443MNk kk k kk kkk kkk k-----++===⋅---++直线MN为22232144312143k ky xk k k-⎛⎫-=⋅-⎪+-+⎝⎭令0y=，得()()22222733412144437437743kkxk k k+--=+⋅=⋅=+++此时直线MN过定点4,07⎛⎫⎪⎝⎭显然当直线AB或CD斜率不存在时，直线MN就是x轴，也会过4,07⎛⎫⎪⎝⎭综上所述：直线MN经过定点，定点坐标为4,07⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题考查椭圆与直线位置关系的综合应用，求椭圆方程应由已知转化求得，几何关系证明应表示所需要证明的关系，注意运算技巧，属于难题.24．正整数数列{}n a的前n项和为n S，前n项积n T，若*N(1,2,)iiTi nS∈=L，则称数列{}n a为“Z数列”.(1)判断下列数列是否是Z数列，并说明理由；①2，2，4，8；②8，24，40，56(2)若数列{}n a是Z数列，且22a=.求3S和3T；(3)是否存在等差数列是Z 数列？请阐述理由. 【答案】(1) ①是；②不是；理由见解析；（2）33816S T =⎧⎨=⎩或331648S T =⎧⎨=⎩；（3）存在.【解析】(1)根据新定义的Z 数列，需要满足*N (1,2,)i iT i n S ∈=L ，所以分别计算两个数列的i T ，i S ，相比观察得答案； (2)由Z 数列的定义可知**2233,N N T T m n S S =∈=∈，分别表示13,a a ，由正整数数列可分别求得,m n ，即得13,a a ，从而得答案；(3) 假设存在这样的等差数列是Z 数列，且此数列是特殊的常数列，则至少三项，分别表示所以22*2222,N 3T p S a p p q T a q qS ⎧=⎪=⎧⎪⇒∈⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩，所以a 是2和3的公倍数，令1236,6,6a a a ===，显然该等差数列是Z 数列，所以存在；此后类比推理，可到n项. 【详解】(1) ①由题可知，此时有该数列满足*N (1,2,)iiT i n S ∈=L ，所以是Z 数列； ②同理可得：该数列中*33N T S ∉，所以不是Z 数列. (2) 因为数列{}n a 是Z 数列，那么()121121**123131231322,N ,N 22a a a m a a a m n a a a a a n a a a a a ⋅⎧==⎪++⎪∈∈⎨⋅⋅⋅⎪==⎪++++⎩，则1322442m a m n a m n mn ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-+⎩ 又因为数列{}n a 是正整数数列，若*1N a ∈，则11,2m a ==，所以*344424N n n a m n mn n =+-Î=-，则324n a =⎧⎨=⎩或3312n a =⎧⎨=⎩ 当1324a a =⎧⎨=⎩时，31233123816S a a a T a a a =++=⎧⎨=⋅⋅=⎩；同理当13212a a =⎧⎨=⎩时，331648S T =⎧⎨=⎩ 故33816S T =⎧⎨=⎩或331648S T =⎧⎨=⎩ (3) )假设：存在这样的等差数列是Z 数列，且此数列是特殊的常数列，则至少三项所以222*1232122222=1,,N 333T a a p S a a p T a p q a q S a T a a q S a ⎧===⎪=⎧⎪=⇒∈⎨⎨=⎩⎪===⎪⎩，所以a 是2和3的公倍数 令1236,6,6a a a ===，显然该等差数列是Z 数列，所以存在；同理，如果是四项，则需满足每项是2，3，4的公倍数，如12，12，12，12如此类推的有限等差数列，可以有无穷多个，且当为n 项时，则各项为2,3,4,n L 的公倍数故存在等差数列是Z数列.【点睛】本题考查数列的新定义问题，关键在于理解定义，充分体现数学中的转化思想，还考查了借助反证法特殊化证明命题，属于难题.。
2020-2021学年北京市清华附中高二(上)期中数学试卷
2020-2021学年北京市清华附中高二（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题；共40分）1．（4分）已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{﹣4，1，3，5}（）A．{﹣4，1}B．{1，5}C．{3，5}D．{1，3}2．（4分）若z＝1+2i+i3，则|z|＝（）A．0B．1C．D．23．（4分）“a＜﹣1”是“直线ax+y﹣3＝0的倾斜角大于”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（4分）某校为了对初三学生的体重进行摸底调查，随机抽取了50名学生的体重（kg），将所得数据整理后，体重在[45，50）内适合跑步训练，55）内适合跳远训练，体重在[55，试估计该校初三学生适合参加跑步、跳远、投掷三项训练的集训人数之比为（）A．4：3：1B．5：3：1C．5：3：2D．3：2：15．（4分）已知函数g（x）＝f（2x）﹣x2为奇函数，且f（2）＝1（﹣2）＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．26．（4分）在△ABC中，D是AB边上的中点，则＝（）A．2+B．﹣2C．2﹣D．+27．（4分）若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β（）A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一与a平行的直线8．（4分）方程（x+y+6）＝0表示的曲线是（）A．两条平行线B．一条直线和一条射线C．两条射线D．一条直线9．（4分）若函数y＝sin（ωx+）的图象向右平移个单位后与函数y＝cosωx的图象重合（）A．﹣1B．﹣2C．1D．210．（4分）已知函数f（x）＝，则f（3﹣x2）＞f（2x）的解集为（）A．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）B．（﹣3，1）C．（﹣∞，﹣1），∪（3，+∞）D．（﹣1，3）二、填空题（共5小题：共25分）11．（5分）如果直线ax+2y+3a＝0与直线3x+（a﹣1）y＝a﹣7平行，则a＝．12．（5分）直线y＝x+1与圆x2+y2+2y﹣3＝0交于A，B两点，则|AB|＝．13．（5分）在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则a＝．14．（5分）椭圆+＝1的离心率为，则m＝．15．（5分）在平面直角坐标系中，关于曲线y2＝x3﹣2x+1，下列说法中正确的有．①该曲线是有界的（即存在实数a，b，使得对于曲线上任意一点A（x，y），都有|x|≤a②该曲线不是中心对称图形；③该曲线是轴对称图形；④直线x＝m（m＞0）与该曲线至少有1个公共点．三、解答题16．（14分）已知直线l：y＝x+m与圆C：x2+y2﹣2x+4y+3＝0交于不同的两点．（Ⅰ）写出圆心坐标和半径，并求出m的取值范围；（Ⅱ）当直线l经过圆C的圆心时，求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积．17．（14分）已知函数f（x）＝2cos x（sin x﹣cos x）+1．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）当x∈[0，]时，求函数f（x）18．（14分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠ABC＝45°，DC ＝1，P A⊥平面ABCD，P A＝1．（Ⅰ）求证：AB∥平面PCD；（Ⅱ）求证：BC⊥平面P AC；（Ⅲ）若M是PC的中点，求三棱锥M﹣ACD的体积．19．（14分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱AB上的动点．（Ⅰ）求证：DA1⊥ED1；（Ⅱ）若直线DA1与平面CED1成角为45°，求的值；（Ⅲ）写出点E到直线D1C距离的最大值及此时点E的位置（结论不要求证明）．20．（14分）已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的离心率为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）已知椭圆的左顶点为A，点M在圆x2+y2＝上，直线AM与椭圆交于另一点B，且△AOB的面积是△AOM的面积的2倍21．（15分）对于4元有序实数组（a1，a2，a3，a4），若对1，2，3，4的任意一种排序i，j，k，（即i，j，k，l∈{1，2，3，4}且i，j，k，l互不相同）i a j+a j a k+a k a l≥﹣1，则称实数组（a1，a2，a3，a4）为“阳光组”．（Ⅰ）分别判断（﹣1，﹣1，1，1），（﹣，t，t，t）（t∈R，t≠0）是否为“阳光组”，说明理由．（Ⅱ）设（a1，a2，a3，a4）为“阳光组”，证明：a1a2+a2a3+a3a4+a4a1≥﹣．（Ⅲ）求最大的常数C使得对于每个“阳光组”（a1，a2，a3，a4）均有，a i a j ≥C．2020-2021学年北京市清华附中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题；共40分）1．（4分）已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{﹣4，1，3，5}（）A．{﹣4，1}B．{1，5}C．{3，5}D．{1，3}【分析】求解一元二次不等式得到集合A，再由交集运算得答案．【解答】解：集合A＝{x|x2﹣3x﹣8＜0}＝（﹣1，3），1，3，7}，则A∩B＝{1，3}，故选：D．【点评】本题考查交集及其运算，考查一元二次不等式的解法，是基础题．2．（4分）若z＝1+2i+i3，则|z|＝（）A．0B．1C．D．2【分析】根据复数的定义化简原式，并通过模长公式求解即可．【解答】解：z＝1+2i+i2＝1+2i﹣i＝8+i，∴|z|＝＝．故选：C．【点评】本题考查了复数的定义以及复数模的求法，是基础题．3．（4分）“a＜﹣1”是“直线ax+y﹣3＝0的倾斜角大于”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】设直线ax+y﹣3＝0的倾斜角为θ，tanθ＝﹣a，由直线ax+y﹣3＝0的倾斜角大于，可得﹣a＞1或﹣a＜0，解得a范围即可判断出结论．【解答】解：设直线ax+y﹣3＝0的倾斜角为θ，tanθ＝﹣a，∵直线ax+y﹣3＝0的倾斜角大于，∴﹣a＞6或﹣a＜0，解得a＜﹣1，或a＞6．∴“a＜﹣1”是“直线ax+y﹣3＝8的倾斜角大于”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．（4分）某校为了对初三学生的体重进行摸底调查，随机抽取了50名学生的体重（kg），将所得数据整理后，体重在[45，50）内适合跑步训练，55）内适合跳远训练，体重在[55，试估计该校初三学生适合参加跑步、跳远、投掷三项训练的集训人数之比为（）A．4：3：1B．5：3：1C．5：3：2D．3：2：1【分析】分别求出体重在[45，50）内的频率为0.1×5＝0.5，体重在[50，55）内频率为0.06×5＝0.30，体重在[55，60）内频率为0.02×5＝0.1，即可求得结论．【解答】解：体重在[45，50）内的频率为0.1×5＝0.5，55）内频率为3.06×5＝0.30，60）内频率为5.02×5＝0.5，∵0.5：5.3：0.4＝5：3：6故可估计跑步、跳远，故选：B．【点评】本题主要考查了频率分布直方图，同时考查了学生的读图能力，属于基础题．5．（4分）已知函数g（x）＝f（2x）﹣x2为奇函数，且f（2）＝1（﹣2）＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2【分析】根据g（x）为奇函数可得出g（﹣2）＝﹣g（2），再根据f（2）＝1即可得出f （﹣2）﹣1＝﹣1+1，从而求出f（﹣2）＝1．【解答】解：∵g（x）为奇函数，且f（2）＝1；∴g（﹣1）＝﹣g（1）；∴f（﹣4）﹣1＝﹣f（2）+1＝﹣3+1；∴f（﹣2）＝5．故选：C．【点评】考查奇函数的定义，已知函数求值的方法．6．（4分）在△ABC中，D是AB边上的中点，则＝（）A．2+B．﹣2C．2﹣D．+2【分析】利用向量加法法则直接求解．【解答】解：在△ABC中，D是AB边上的中点，则＝＝＝＝2．故选：C．【点评】本题考查向量的表示，考查向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．（4分）若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β（）A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一与a平行的直线【分析】若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，判断点B与直线a的关系，【解答】解：①点B∉直线a时，平面α∥平面β，∴a∥β或a⊂β，由线面平行性质定理；a⊂β时，故存在唯一与a平行的直线，则在平面β内不存在过B点的直线与a平行．故选：A．【点评】本题考查空间线面位置关系，关键在于点B与直线a的位置关系判断．8．（4分）方程（x+y+6）＝0表示的曲线是（）A．两条平行线B．一条直线和一条射线C．两条射线D．一条直线【分析】由原方程可得x+y﹣3＝0或x+y+6＝0且x+y﹣3≥0，结合两直线的位置关系，可得结论．【解答】解：方程（x+y+6）＝7，由于直线x+y＝3与直线x+y+6＝3平行，且直线x+y+6＝0的上方，所以x+y+4＝0且x+y﹣3≥8的解集为∅，所以方程（x+y+6）＝8表示的曲线为直线x+y﹣3＝0，故选：D．【点评】本题考查曲线与方程的关系，以及直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，是一道基础题．9．（4分）若函数y＝sin（ωx+）的图象向右平移个单位后与函数y＝cosωx的图象重合（）A．﹣1B．﹣2C．1D．2【分析】根据y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律可得y＝sin[ω（x﹣）+]的图象，再根据所得函数的图象与函数y＝cosωx的图象重合，可得﹣ω•＝2kπ+，k∈z，由此可得ω的可能值．【解答】解：函数y＝sin（ωx+）的图象向右平移，可得函数y＝sin[ω（x﹣]的图象，再根据所得函数的图象与函数y＝cosωx的图象重合，∴﹣ω•，k∈z，∴当k＝0时，ω＝﹣6，故选：A．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，利用了y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．10．（4分）已知函数f（x）＝，则f（3﹣x2）＞f（2x）的解集为（）A．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）B．（﹣3，1）C．（﹣∞，﹣1），∪（3，+∞）D．（﹣1，3）【分析】讨论x＜0，x≥0时函数f（x）的单调性，可得f（x）在R上递增，由单调性的定义，把f（3﹣x2）＞f（2x）转化为关于x的一元二次不等式求解．【解答】解：当x＜0时，f（x）＝x3是增函数，当x≥0时，f（x）＝e x递增，且8＜e0＝1，可得f（x）在R上单调递增，由f（7﹣x2）＞f（2x），可得8﹣x2＞2x，解得﹣6＜x＜1，则不等式f（3﹣x3）＞f（2x）的解集为（﹣3，5）．故选：B．【点评】本题考查分段函数的单调性的判断和运用，考查不等式的解法，是基础题．二、填空题（共5小题：共25分）11．（5分）如果直线ax+2y+3a＝0与直线3x+（a﹣1）y＝a﹣7平行，则a＝3．【分析】利用直线与直线平行的性质直接求解．【解答】解：∵直线ax+2y+3a＝6与直线3x+（a﹣1）y＝a﹣4平行，∴，解得a＝8．故答案为：3．【点评】本题考查实数值的求法，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．12．（5分）直线y＝x+1与圆x2+y2+2y﹣3＝0交于A，B两点，则|AB|＝2．【分析】求出圆的圆心与半径，通过点到直线的距离以及半径、半弦长的关系，求解即可．【解答】解：圆x2+y2+4y﹣3＝0的圆心（2，﹣1），圆心到直线的距离为：＝，所以|AB|＝2＝2．故答案为：2．【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，弦长的求法，考查计算能力．13．（5分）在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则a＝．【分析】先利用三角形面积公式求得c，最后利用三角函数的余弦定理求得a．【解答】解：∵S△ABC＝bc sin A＝∴c＝4∴a＝＝＝故答案为：【点评】本题主要考查了解三角形问题．灵活利用正弦定理和余弦定理是解决三角形边角问题的关键．14．（5分）椭圆+＝1的离心率为，则m＝3或．【分析】方程中4和m哪个大，哪个就是a2，利用离心率的定义，分0＜m＜4和m＞4两种情况求出m的值．【解答】解：方程中4和m哪个大，哪个就是a2，（ⅰ）若8＜m＜4，则a2＝2，b2＝m，∴c＝，∴e＝＝；（ⅱ）m＞4，则b2＝8，a2＝m，∴c＝，∴e＝＝ m＝；综上：m＝3或m＝，故答案为：3或．【点评】本题考查椭圆的标准方程和简单性质的应用，体现了分类讨论的数学思想．15．（5分）在平面直角坐标系中，关于曲线y2＝x3﹣2x+1，下列说法中正确的有②③．①该曲线是有界的（即存在实数a，b，使得对于曲线上任意一点A（x，y），都有|x|≤a②该曲线不是中心对称图形；③该曲线是轴对称图形；④直线x＝m（m＞0）与该曲线至少有1个公共点．【分析】①根据题意可得x3﹣2x+1≥0，解得x取值范围，进而可得出结论；②假设曲线是中心对称图形，由x∈[﹣，]∪[1，+∞），推出点P（x0，y0）的对称点的横坐标x→﹣∞，不符合题意；③将方程中y变为﹣y，观察与原方程是否相等，即可判断是否关于原点对称，进而判断③；④当m∈（，1）时，直线x＝m（m＞0）与该曲线无交点，故④错误．【解答】解：①因为y2＝x3﹣7x+1，所以x3﹣2x+1≥0，所以（x5+x﹣1）（x﹣1）≥5，解得x∈[﹣，]∪[1，所以|x|≤a不恒成立，故①错误，②假设曲线是中心对称图形，因为x∈[﹣，，+∞），所以取一点P（x0，y2），当x0→+∞，此时点P（x0，y2）的对称点的横坐标x→﹣∞，不符合x∈[﹣，]∪[1，所以假设错误，故②正确，③将方程y2＝x3﹣2x+1中的y变为﹣y时，方程变为（﹣y）7＝x3﹣2x+5，与原方程相同，所以曲线关于x轴对称，④因为x∈[﹣，]∪[1，所以当m∈（，直线x＝m（m＞0）与该曲线无交点，故④错误．故答案为：②③．【点评】本题考查曲线的方程，命题真假的判断，解题中需要掌握对称性的应用，属于中档题．三、解答题16．（14分）已知直线l：y＝x+m与圆C：x2+y2﹣2x+4y+3＝0交于不同的两点．（Ⅰ）写出圆心坐标和半径，并求出m的取值范围；（Ⅱ）当直线l经过圆C的圆心时，求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积．【分析】（Ⅰ）直接利用直线与圆相交，得到关系式，利用判别式大于0得到结果．（Ⅱ）直线AB经过圆心，进一步利用代入法求出m的值，最后确定直线的方程．【解答】解：（Ⅰ）圆C：x2+y2﹣7x+4y+3＝7化为标准方程：（x﹣1）2+（y+7）2＝2，圆心坐标（8，﹣2）．由，得：2x2+2（m+6）x+m2+4m+4＝0，∴△＝4（m+5）2﹣8（m2+4m+3）＞8，解得﹣5＜m＜﹣1．（Ⅱ）当直线l经过圆C的圆心时，﹣8＝1+m，∴直线l：y＝x﹣3．直线l与x轴的交点为（5，0），﹣3），所以，直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝【点评】本题考查的知识要点：直线与圆的位置关系的应用及相关的运算问题，属于中档题．17．（14分）已知函数f（x）＝2cos x（sin x﹣cos x）+1．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）当x∈[0，]时，求函数f（x）【分析】（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）＝2sin（2x﹣）﹣1，利用正弦函数的周期性和单调性即可得解．（Ⅱ）由题意可求范围2x﹣∈[﹣，]，利用正弦函数的性质即可求解．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）＝2cos x（sin x﹣cos x）+3＝23x+1＝sin7x﹣cos2x ＝2sin（8x﹣），所以函数f（x）的最小正周期T＝＝π，令2kπ﹣≤4x﹣，k∈Z≤x≤kπ+，可得单调递增区间为：[kπ﹣]，k∈Z．（Ⅱ）当x∈[0，]时∈[﹣，]，所以sin（2x﹣）∈[﹣，可得f（x）＝2sin（2x﹣）∈[﹣1，即函数f（x）的最大值为3．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了转化思想和函数思想的应用，属于基础题．18．（14分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠ABC＝45°，DC ＝1，P A⊥平面ABCD，P A＝1．（Ⅰ）求证：AB∥平面PCD；（Ⅱ）求证：BC⊥平面P AC；（Ⅲ）若M是PC的中点，求三棱锥M﹣ACD的体积．【分析】（Ⅰ）由已知中AB∥DC，结合线面平行的判定定理，可得AB∥平面PCD；（Ⅱ）在直角梯形ABCD中，过C作CE⊥AB于点E，由已知中DC＝1，AB＝2，我们根据勾股定理可得BC⊥AC，由P A⊥平面ABCD可得P A⊥BC，结合线面垂直的判定定理即可得到BC⊥平面P AC；（Ⅲ）若M是PC的中点，则M到面ADC的距离是P到面ADC距离，即P A的一半，根据其它已知条件计算出棱锥的底面积和高，代入棱锥体积公式，即可得到答案．【解答】证明：（Ⅰ）∵AB∥CD又∵AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD∴AB∥平面PCD（Ⅱ）在直角梯形ABCD中，过C作CE⊥AB于点E，∴AE＝DC＝1又AB＝2，∴BE＝6在Rt△BEC中，∠ABC＝45°∴CE＝BE＝1，CB＝∴AD＝CE＝4则AC＝＝，AC2+BC2＝AB3∴BC⊥AC又P A⊥平面ABCD，∴P A⊥BC．又由P A∩AC＝A∴BC⊥平面P AC（Ⅲ）∵M是PC中点，∴M到面ADC的距离是P到面ADC距离的一半∴．【点评】本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，以及几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力，考查了数形结合思想、化归转化思想、必然与或然思想；属于立体几何中的基础题型．19．（14分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱AB上的动点．（Ⅰ）求证：DA1⊥ED1；（Ⅱ）若直线DA1与平面CED1成角为45°，求的值；（Ⅲ）写出点E到直线D1C距离的最大值及此时点E的位置（结论不要求证明）．【分析】（Ⅰ）建立坐标系，求出＝（1，0，1），＝（﹣1，﹣m，1），可得•＝0，即可证明DA1⊥ED1；（Ⅱ）求出平面CED1的一个法向量，利用直线DA1与平面CED1成角为45°，可得＝，即可求的值；（Ⅲ）点E在A点处，可求点E到直线D1C距离的最大值．【解答】解：以D为坐标原点，建立如图所示的坐标系，0，0），5，0），1，6），1，0），D2（0，0，6），A1（1，3，1），m，0）（8≤m≤1）（Ⅰ）证明：＝（4，0，＝（﹣7，1）∴•＝0∴DA1⊥ED3；（4分）（Ⅱ）解：设平面CED1的一个法向量为＝（x，y，则∵＝（0，1），，m﹣6∴．取z＝1，得y＝1，得＝（4﹣m，1．∵直线DA1与平面CED3成角为45°，∴sin45°＝|cos＜，＞|＝，∴＝，解得m＝（Ⅲ）解：点E到直线D1C距离的最大值为，此时点E在A点处【点评】本题考查线线垂直，考查线面角，考查向量知识的运用，正确求向量是关键．20．（14分）已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的离心率为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）已知椭圆的左顶点为A，点M在圆x2+y2＝上，直线AM与椭圆交于另一点B，且△AOB的面积是△AOM的面积的2倍【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，即可得到椭圆方程；（Ⅱ）设直线AB的方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理，可得B的坐标，再由三角形的面积公式可得|AB|＝2|AM|，即＝2，运用向量的坐标表示，可得M的坐标，代入圆的方程，可得直线AB的斜率，即可得到所求直线方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e＝＝＝，6b＝2，则a＝2，所以椭圆的标准方程为+＝7；（Ⅱ）A（﹣2，0），与椭圆方程x8+2y2﹣2＝0联立，可得（1+8k2）x2+6k2x+8k7﹣4＝0，设A，B的横坐标分别为x4，x2，可得x1+x8＝﹣，x5x2＝，设x1＝﹣4，可得x2＝，y2＝，由△AOB的面积是△AOM的面积的2倍，设O到AB的距离为d，可得＝3，即＝2，设M（m，n），）＝2（m+2，可得m＝，n＝，由M在圆x3+y2＝上，可得m2+n2＝，即为28k4+k8﹣2＝0，解得k＝±，则直线AB的方程为y＝x+1或y＝﹣．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，以及直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题．21．（15分）对于4元有序实数组（a1，a2，a3，a4），若对1，2，3，4的任意一种排序i，j，k，（即i，j，k，l∈{1，2，3，4}且i，j，k，l互不相同）i a j+a j a k+a k a l≥﹣1，则称实数组（a1，a2，a3，a4）为“阳光组”．（Ⅰ）分别判断（﹣1，﹣1，1，1），（﹣，t，t，t）（t∈R，t≠0）是否为“阳光组”，说明理由．（Ⅱ）设（a1，a2，a3，a4）为“阳光组”，证明：a1a2+a2a3+a3a4+a4a1≥﹣．（Ⅲ）求最大的常数C使得对于每个“阳光组”（a1，a2，a3，a4）均有，a i a j ≥C．【分析】（Ⅰ）根据“阳光组”的定义即可判断；（Ⅱ）根据“阳光组”的定义可得a1a2+a2a3+a3a4≥﹣1，a1a2+a1a4+a2a3≥﹣1，a1a2+a1a4+a3a4≥﹣1，a2a3+a3a4+a4a1≥﹣1，不等式相加即可证明；（Ⅲ）a a i a j＝a1a2+a1a3+a1a4+a2a3+a2a4+a3a4，再利用“阳光组”的定义可得a1a2+a1a3+a2a4≥﹣1，a2a3+a3a4+a1a4≥﹣1，即可得C≤﹣2，即可求最大的常数C．【解答】解：（Ⅰ）①（﹣1，﹣1，2，当i＝3，j＝2，l＝6时，a i a j+a j a k+a k a l≥a2a3+a7a4+a1a3＝﹣3，不满足“阳光组”条件；②（﹣，t，t，t），是，a1a2＝﹣，a1a5＝﹣，a3a4＝﹣，a2a3＝t3，a2a4＝t2，a3a4＝t7，a i a j+a j a k+a k a l≥2t2﹣或t2﹣5，均满足a i a j+a j a k+a k a l≥﹣1，满足“阳光组”条件；（Ⅱ）根据“阳光组”条件，a1a2+a2a3+a5a4≥﹣1，a4a2+a1a4+a2a3≥﹣4，a1a2+a4a4+a3a4≥﹣1，a2a3+a3a4+a3a1≥﹣1，将以上四个不等式相加得：3（a1a2+a8a3+a3a7+a4a1）≥﹣6，故a1a2+a6a3+a3a2+a4a1≥﹣；（Ⅲ）a i a j＝a1a2+a8a3+a1a3+a2a3+a5a4+a3a8＝（a1a2+a7a3+a2a7）+（a2a3+a3a4+a1a6）≥（﹣1）+（﹣1）＝﹣7，故C＝﹣2．【点评】本题的关键点是理解“阳光组”的定义，4元有序实数组（a1，a2，a3，a4），均有a i a j+a j a k+a k a l≥﹣1，对于后面的问题利用定义解决即可．。