2.2.1对数与对数运算(一)
2.2.1 对数及对数运算(1)
• 截止到 截止到1999年底，我们人口约13亿，如 年底，我们人口约 亿 年底 思 考 果今后能将人口年平均均增长率控制在 1%，那么经过 年后，我国人口数最多 年后， ，那么经过20年后 为多少（精确到亿） 为多少（精确到亿）？
y = 13 ×1.01
x
问：哪一年的人口数可 达到18亿 达到 亿，20亿，30亿？ 亿 亿
例1、 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： 、 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
讲 解 例 题
（1）5 = 625 ⇒ log 5 625 = 4 ） 1 1 −6 = −6 （2） 2 = ⇒ log 2 ） 64 m 64
4
1 = 5.13 ⇒ log 1 5.13 = m （3） 3 ） 3
1 （4）log1 16 = −4 ⇒ = 16 ） 2 2 -2 lg （5） 0.01= −2 ⇒ 10 = 0.01 ）
（6）ln10 = 2.30= 10
例2 求出下列各式中 x 值：
2 （1）log64 x = − ） 3
（2） ）
log x 8 = 6
y x 当 = 18 ,有 ＝ ×1.01 ,求 时 18 13
x
一般地， 一般地，如果a = N ( a > 0, 且a ≠ 1) 叫做以a为底 那么数 x叫做以 为底 的对数， 叫做以 为底N的对数， 对数定义 其中a叫做对数 记作 x = log a N ，其中 叫做对数 底数， 叫做真数。 叫做真数 的底数，N叫做真数。式子log a N 叫做对数式 对数式. 叫做对数式
x
所 上 问 中 由 ＝ ×1.01 , 以 面 题 ， 18 13
对数的运算及对数函数
§2.2.1 对数与对数运算（一）¤知识要点：1. 定义：一般地，如果x a N =(0,1)a a >≠，那么数 x 叫做以a 为底 N 的对数（logarithm ）.记作 log a x N =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数2. 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm ），并把常用对数10log N 简记为lg N 在科学技术中常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数，并把自然对数log e N 简记作ln N3. 根据对数的定义，得到对数与指数间的互化关系：当0,1a a >≠时，log b a N b a N =⇔=.4. 负数与零没有对数；log 10a =， log 1a a = ，log a a N N = ¤例题精讲：【例1】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：（1）712128-=； （2）327a =； （3）1100.1-=； （4）12log 325=-； （5）lg0.0013=-； （6）ln100=4.606.【例2】计算下列各式的值：（1）lg0.001； （2）4log 8； （3）.第14练 §2.2.1 对数与对数运算（一）※基础达标1．log (0,1,0)b N a b b N =>≠>对应的指数式是（ ）. A. b a N = B. a b N = C. N a b = D. N b a = 2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ）. A. 01ln10e ==与 B. 1()381118log 223-==-与 C. 123log 9293==与 D. 17log 7177==与 3．设lg 525x =，则x 的值等于（ ）.A. 10B. 0.01C. 100D. 10004．设13log 82x=，则底数x 的值等于（ ）. A. 2 B. 12 C. 4 D. 145．已知432log [log (log )]0x =，那么12x -等于（ ）.A.13 B. C. D. 6．若21log 3x =，则x = ； 若log 32x =-，则x = .7．计算：= ； 6lg 0.1= .※能力提高8．求下列各式的值：（1）8； （2）9log9．求下列各式中x 的取值范围：（1）1log (3)x x -+； （2）12log (32)x x -+.※探究创新10．（1）设log 2a m =，log 3a n =，求2m n a +的值.（2）设{0,1,2}A =,{log 1,log 2,}a a B a =，且A B =，求a 的值.第15讲 §2.2.1 对数与对数运算（二）¤知识要点：1. 对数的运算法则：log ()log log a a a M N M N =+，log log log aa a MM N N=-，log log n a a M n M =，其中0,1a a >≠且，0,0,M N n R >>∈. 三条法则是有力的解题工具，能化简与求值复杂的对数式.2. 对数的换底公式log log log b a b N N a =. 如果令b =N ，则得到了对数的倒数公式1log log a b b a=. 同样，也可以推导出一些对数恒等式，如log log n n a a N N =，log log m n a a nN N m=，log log log 1a b c b c a =等. ¤例题精讲：【例2】若2510a b ==，则11a b+= .【例4】（1）化简：532111log 7log 7log 7++； （2）设23420052006log 3log 4log 5log 2006log 4m ⋅⋅⋅=，求实数m 的值.第15练 §2.2.1 对数与对数运算（二）※基础达标 1．）. A. 1B. －1C. 2D. －2 2．25log ()a -（a ≠0）化简得结果是（ ）.A. －aB. a 2C. ｜a ｜D. a3．化简3log 1的结果是（ ）. A.12B. 1C. 24．已知32()log f x x =, 则(8)f 的值等于（ ）. A. 1 B. 2 C. 8 D. 125．化简3458log 4log 5log 8log 9⋅⋅⋅的结果是 （ ）.A .1 B.32C. 2D.3 6．计算2(lg5)lg 2lg50+⋅＝ .7．若3a ＝2，则log 38－2log 36＝ .第16讲 §2.2.2 对数函数及其性质（一）¤知识要点：1. 定义：一般地，当a ＞0且a ≠1时，函数a y=log x 叫做对数函数(logarithmic function). 自变量是x ； 函数的定义域是（0，+∞）.2. 由2log y x =与12log y x =的图象，可以归纳出对数函数的性质：定义域为(0,)+∞，值域为R ；当1x =时，0y =，即图象过定点(1,0)；当01a <<时，在(0,)+∞上递减，当1a >时，在(0,)+∞上递增.¤例题精讲：【例1】比较大小：（1）0.9log 0.8，0.9log 0.7，0.8log 0.9； （2）3log 2，2log 3，41log 3.【例2】求下列函数的定义域：（1）y =（2）y =【例4】求不等式log (27)log (41)(0,1)a a x x a a +>->≠且中x 的取值范围.第16练 §2.2.2 对数函数及其性质（一）※基础达标1．下列各式错误的是（ ）.A. 0.80.733>B. 0.10.10.750.75-<C. 0..50..5log 0.4log 0.6>D. lg1.6lg1.4>.2．当01a <<时,在同一坐标系中,函数log x a y a y x -==与的图象是（ ）.AC3．下列函数中哪个与函数y =x 是同一个函数（ ）A.log (0,1)a xy aa a =>≠ B. y =2x xC. log (0,1)x a y a a a =>≠D. y4．函数y ）.A. (1,)+∞B. (,2)-∞C. (2,)+∞D. (1,2] 5．若log 9log 90m n <<，那么,m n 满足的条件是（ ）.A. 1 m n >>B. 1n m >>C. 01n m <<<D. 01m n <<<6．函数y = . （用区间表示）7．比较两个对数值的大小：ln7 ln12 ； 0.5log 0.7 0.5log 0.8. ※能力提高8．求下列函数的定义域：（1） ()()3log 1f x x =++； （2）y =9．已知函数2()3log ,[1,4]f x x x =+∈，22()()[()]g x f x f x =-，求： （1）()f x 的值域； （2）()g x 的最大值及相应x 的值.第17讲 §2.2.2 对数函数及其性质（二）¤知识要点：1. 当一个函数是一一映射时, 可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量, 而把这个函数的自变量新的函数的因变量. 我们称这两个函数为反函数（inverse function ）. 互为反函数的两个函数的图象关于直线y x =对称.2. 函数(0,1)x y a a a =>≠与对数函数log (0,1)a y x a a =>≠互为反函数.3. 复合函数(())y f x ϕ=的单调性研究，口诀是“同增异减”，即两个函数同增或同减，复合后结果为增函数；若两个函数一增一减，则复合后结果为减函数. 研究复合函数单调性的具体步骤是：（i ）求定义域；（ii ）拆分函数；（iii ）分别求(),()y f u u x ϕ==的单调性；（iv ）按“同增异减”得出复合函数的单调性.¤例题精讲：【例1】讨论函数0.3log (32)y x =-的单调性.【例2】（05年山东卷.文2）下列大小关系正确的是（ ）. A. 30.440.43log 0.3<< B. 30.440.4log 0.33<< C. 30.44log 0.30.43<< D. 0.434log 0.330.4<<第17练 §2.2.2 对数函数及其性质（二）※基础达标 1．函数1lg1xy x+=－的图象关于（ ）. A. y 轴对称 B. x 轴对称 C. 原点对称D. 直线y ＝x 对称2．函数212log (617)y x x =-+的值域是（ ）.A. RB. [8,)+∞C. (,3]-∞-D. [3,)+∞3．（07年全国卷.文理8）设1a >，函数()log a f x x =在区间[]2a a ，上的最大值与最小值之差为12，则a =（ ）.A.2B. 2C. 22D. 44．图中的曲线是log a y x =的图象，已知a 的值为2，43，310，15，则相应曲线1234,,,C C C C 的a 依次为（ ）.A.2，43，15，310 B. 2，43，310，15 C. 15，310，43，2 D. 43，2，310，155．下列函数中，在(0,2)上为增函数的是（ ）. A. 12log (1)y x =+ B. 22log 1y x =- C. 21log y x= D.20.2log (4)y x =-6． 函数2()lg(1)f x x x =+-是 函数. （填“奇”、“偶”或“非奇非偶”）7．函数x y a =的反函数的图象过点(9,2)，则a 的值为 . ※能力提高8．已知6()log ,(0,1)a f x a a x b=>≠-，讨论()f x 的单调性.0 x C 1C 2C 4C 3 1y第18讲 §2.3 幂函数¤学习目标：通过实例，了解幂函数的概念；结合函数y=x, y=x 2, y=x 3, y =1/x , y=x 1/2 的图像，了解它们的变化情况.知识要点：1. 幂函数的基本形式是y x α=，其中x 是自变量，α是常数. 要求掌握y x =，2y x =，3y x =，1/2y x =，1y x -=这五个常用幂函数的图象. 2. 观察出幂函数的共性，总结如下：（1）当0α>时，图象过定点(0,0),(1,1)；在(0,)+∞上是增函数.（2）当0α<时，图象过定点(1,1)；在(0,)+∞上是减函数；在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近.3. 幂函数y x α=的图象，在第一象限内，直线1x =的右侧，图象由下至上，指数α由小到大. y 轴和直线1x =之间，图象由上至下，指数α由小到大.¤例题精讲：【例1】已知幂函数()y f x =的图象过点(27,3)，试讨论其单调性.解：设y x α=，代入点(27,3)，得327α=，解得13α=，所以13y x =，在R 上单调递增.【例2】已知幂函数6()m y x m Z -=∈与2()m y x m Z -=∈的图象都与x 、y 轴都没有公共点，且2()m y x m Z -=∈的图象关于y 轴对称，求m 的值．解：∵ 幂函数图象与x 、y 轴都没有公共点，∴{6020m m -<-<，解得26m <<.又 ∵ 2()m y x m Z -=∈的图象关于y 轴对称， ∴ 2m -为偶数，即得4m =. 【例3】幂函数m y x =与n y x =在第一象限内的图象如图所示，则（ ）. A ．101n m -<<<< B ．1,01n m <-<< C ．10,1n m -<<> D ．1,1n m <->解：由幂函数图象在第一象限内的分布规律，观察第一象限内直线1x =的右侧，图象由下至上，依次是n y x =，1y x -=，0y x =，m y x =，1y x =，所以有101n m <-<<<. 选B.点评：观察第一象限内直线1x =的右侧，结合所记忆的分布规律. 注意比较两个隐含的图象1y x =与0y x =.【例4】本市某区大力开展民心工程，近几年来对全区2a m 的老房子进行平改坡（“平改坡”是指在建筑结构许可条件下，将多层住宅平屋面改建成坡屋顶，并对外墙面进行整修粉饰，达到改善住宅性能和建筑物外观视觉效果的房屋修缮行为），且每年平改坡面积的百分比相等. 若改造到面积的一半时，所用时间需10年. 已知到今年为止，平改坡剩余面积为原来的22. （1）求每年平改坡的百分比；（2）问到今年为止，该平改坡工程已进行了多少年？ （3）若通过技术创新，至少保留24a m 的老房子开辟新的改造途径. 今后最多还需平改坡多少年？ 解：（1）设每年平改坡的百分比为(01)x x <<，则101(1)2a x a -=，即11011()2x -=，解得11011()0.0670 6.702x =-≈=%.（2）设到今年为止，该工程已经进行了n 年，则2(1)2na x a -=，即110211()()22n=，解得n =5.所以，到今年为止，该工程已经进行了5年.（3）设今后最多还需平改坡m 年，则 51(1)4m a x a +-=，即521011()()22m +=，解得m =15. 所以，今后最多还需平改坡15年.点评：以房屋改造为背景，从中抽象出函数模型，结合两组改造数据及要求，通过三个等式求得具有实际意义的底数或指数. 体现了代入法、方程思想等数学方法的运用.第18练 §2.3 幂函数※基础达标1．如果幂函数()f x x α=的图象经过点2(2,)2，则(4)f 的值等于（ ）. A. 16 B. 2 C. 116 D. 122．下列函数在区间(0,3)上是增函数的是（ ）.A. 1y x =B. 12y x = C. 1()3x y = D. 2215y x x =--3．设120.7a =，120.8b =，c 3log 0.7=，则（ ）.A. c <b <aB. c <a <bC. a <b <cD. b <a <c4．如图的曲线是幂函数n y x =在第一象限内的图象. 已知n 分别取2±，12±四个值，与曲线1c 、2c 、3c 、4c 相应的n 依次为（ ）.A ．112,,,222-- B. 112,,2,22--C. 11,2,2,22--D. 112,,,222--5．下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是（ ）.A.12y x =B. 4y x =C. 2y x -=D.13y x = 6．幂函数()y f x =的图象过点1(4,)2，则(8)f 的值为 . 7．比较下列各组数的大小： 32(2)a + 32a ； 223(5)a -+ 235-； 0.50.4 0.40.5.※能力提高8．幂函数273235()(1)t t f x t t x +-=-+是偶函数，且在(0,)+∞上为增函数，求函数解析式.9．1992年底世界人口达到54.8亿，若人口的平均增长率为x %，2008年底世界人口数为y （亿）.（1）写出1993年底、1994年底、2000年底的世界人口数； （2）求2008年底的世界人口数y 与x 的函数解析式. 如果要使2008年的人口数不超过66.8亿，试求人口的年平均增长率应控制在多少以内？※探究创新4251c 4c 3c 2c 110．请把相应的幂函数图象代号填入表格.① 23y x =； ② 2y x -=；③ 12y x =； ④ 1y x -=； ⑤ 13y x =；⑥ 43y x =；⑦ 12y x -=；⑧ 53y x =. 第19讲 第二章 基本初等函数（Ⅰ） 复习¤学习目标：理解掌握指数函数、对数函数和幂函数的性质、图象及运算性质. 突出联系与转化、分类与讨论、数与形结合等重要的数学思想、能力. 通过对指数函数、对数函数等具体函数的研究，加深对函数概念的理解.¤例题精讲：【例1】若()(0,1)x f x a a a =>≠且，则1212()()()22x x f x f x f ++≤. 证明：121212122()()()222x x x x f x f x x x a a f a++++-=-0==≥. ∴ 1212()()()22x x f x f x f ++≤. （注：此性质为函数的凹凸性） 【例2】已知函数2()(0,0)1bxf x b a ax =≠>+.（1）判断()f x 的奇偶性； （2）若3211(1),log (4)log 422f a b =-=，求a ，b 的值.解：（1）()f x 定义域为R ，2()()1bxf x f x ax --==-+，故()f x 是奇函数.（2）由1(1)12b f a ==+，则210a b -+=.又log 3(4a -b )=1，即4a -b =3.由{21043a b a b -+=-=得a =1，b =1.【例3】（01天津卷.19）设a ＞0， ()x xe af x a e =+是R 上的偶函数.（1）求a 的值； （2）证明()f x 在(0,)+∞上是增函数．解：（1）∵ ()x xe af x a e =+是R 上的偶函数，∴ ()()0f x f x --=.∴ 110()()x x x x x x e a e a a e a e a e a e a a ---+--=⇒-+-10()()0x x a e e a-=⇒--=.e x －e -x 不可能恒为“0”， ∴ 当1a－a ＝0时等式恒成立， ∴a ＝1．（2）在(0,)+∞上任取x 1＜x 2，1212121212111()()()()x x x x x x x x e f x f x e e e a e e e e -=+--=-+-12121()(1)x x x x e e e e =--∵ e ＞1，x 1＜x 2， ∴ 121x x e e >>， ∴12x x e e ＞1，121212()(1)x x x x x x e e e e e e --＜0，∴ 12()()0f x f x -<， ∴ ()f x 是在(0,)+∞上的增函数．点评：本题主要考查了函数的奇偶性以及单调性的基础知识．此题中的函数，也可以看成指数函数xy a =与x a y a x =+的复合，可以进一步变式探讨x ay a x=+的单调性. 【例4】已知1992年底世界人口达到54.8亿.（1）若人口的平均增长率为1.2%，写出经过t 年后的世界人口数y （亿）与t 的函数解析式；（2）若人口的平均增长率为x %，写出2010年底世界人口数为y （亿）与x 的函数解析式. 如果要使2010年的人口数不超过66.8亿，试求人口的年平均增长率应控制在多少以内？解：（1）经过t 年后的世界人口数为 *54.8(1 1.2)54.8 1.012,t t y t N =⨯+%=⨯∈.（2）2010年底的世界人口数y 与x 的函数解析式为 1854.8(1)y x =⨯+%. 由1854.8(1)y x =⨯+%≤66.8， 解得1866.8100(1) 1.154.8x ≤⨯-≈. 所以，人口的年平均增长率应控制在1.1%以内.点评：解应用题应先建立数学模型，再用数学知识解决，然后回到实际问题，给出答案. 此题由增长率的知识，可以得到指数型或幂型函数，并得到关于增长率的简单不等式，解决实际中增长率控制问题.第19练 第二章 基本初等函数（Ⅰ） 复习※基础达标 1．（06年全国卷II.文2理1）已知集合{}2{|3},|log 1M x x N x x =<=>，则M N =（ ）.A. ∅B. {}|03x x <<C. {}|13x x <<D. {}|23x x << 2．（08年北京卷.文2）若372log πlog 6log 0.8a b c ===，，，则（ ）.A. a b c >>B. b a c >>C. c a b >>D. b c a >>3.（05年福建卷）函数()x b f x a -=的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是（ ）. A. 1,0a b >< B. 1,0a b >> C. 01,0a b <<> D. 01,0a b <<<4．（06年广东卷）函数23()lg(31)1x f x x x=++-的定义域是（ ）.A.1(,)3-+∞B. 1(,1)3-C. 11(,)33-D. 1(,)3-∞-5．（06年陕西卷）设函数()log ()(0,1)a f x x b a a =+>≠的图像过点(2,1)，其反函数的图像过点(2,8)，则a b +等于（ ）.A. 3B. 4C. 5D. 66．（06年辽宁卷.文14理13）设,0(),0x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩，则1(())2g g = .7．如图所示，曲线是幂函数y x α=在第一象限内的图象，已知α分别取11,1,,22-四个值，则相应图象依次为 .※能力提高8．已知定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数. 求,a b 的值.9．已知函数y =24log log 42x x(2≤x ≤4). （1）求输入x =234时对应的y 值； （2）令2log t x =，求y 关于t 的函数关系式及t 的范围.※探究创新10．设121()log 1axf x x -=-为奇函数，a 为常数. （1）求a 的值； （2）证明()f x 在区间（1，＋∞）内单调递增；（3）若对于区间[3,4]上的每一个x 值，不等式()f x >1()2x m +恒成立，求实数m 的取值范围．。
2.2.1对数与对数运算(1)课件
练习
求下列各式中的x 1 (1) log 4 x 2 3 (2) log x 27 4 (3) log 5 (lg x) 1
x2
x 81
x 10
5
拓展提高
1.(1)若 log(x 1) (3 x)有意义，则x的取值
1 x 3且x 范围 _____________ 2
x
引例2. 2009年临沂河东区国民经济生产总值为a 亿元,如果平均每年增长率为8.2%,问经过 多少年后国民生产总值是2009年的2倍？
解：
a(1+8.2%)x=2a 1.082x=2
x=?
已知 2 = 128 求 x?
x
已知 1.082 2
x
求
x?
上述问题，实质就是已知 底数 和 幂 的值， 求 指数 .
2
(2)若(lg x) 2lg x 3 0, 则x
1 或1000 10 _____
2 (3)若 lห้องสมุดไป่ตู้g 2 log 1 (log 2 x) 0, 求x ____ 2
１．关系：
指数式
底数对底数
指数对以a为底N的对数
ab=N
b = log a N
幂值对真数
对数的概念 x 一般地，如果 N (a 0, 且a 1), a 那么数x叫做以a为底N的对数， 记作 x log a N , 其中a叫做对数的底数， 叫做真数 N
指数式 a N x log a N
x
幂底数 指数 幂
a 对数底数 a 0, 且a 1时 x 对数 xR
引例1：
1.如果我们拿出一张纸对折，纸就变成了两 层，再对折，就变成了四层，继续对折……
2.2.1对数与对数运算 第一课时
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典例精析
演练广场
考题赏析
2．2 2．2.1
对数函数 对数与对数运算
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想一想： 1． 一般地， 如果 ax＝N(a>0， a≠1)， 且 那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数， 记作 x＝logaN， 其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数． 2．对数 loga N(a＞0，且 a≠1)具有下列简单性质： (1)零和负数没有对数，即 N＞0； (2)1 的对数为零，即 loga1＝0； (3)底的对数等于 1，即 logaa＝1. 3．常用对数：通常我们将以 10 为底的对数叫做常用对数．记作 lg_N. 4．自然对数：以 e 为底的对数称为自然对数．记作 ln_N. 5．对数与指数间的关系：当 a＞0，a≠1 时，ax＝N⇔x＝logaN. 6．对数恒等式：alogaN＝N.
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变式训练 11：已知 loga2＝m，loga3＝n，求 a2m
解：∵loga2＝m，loga3＝n ∴am＝2，an＝3 ＋ ∴a2m 3n＝a2m·3n＝22×33＝108. a
＋ 3n
的值．
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要点突破
典例精析
演练广场
考题赏析
对数的性质 【例 2】 求下列各式中 x 的值． (1)log2(log5x)＝0； (2)log3(lg x)＝1； 1 (3)log( 2－1) ＝x. 3＋2 2
教学反思2.2.1对数与对数运算
2.2.1对数与对数运算（1）教学反思从课前预习、课堂教学效果和课后作业反馈情况来看，本节课课堂教学目标基本达到，许多同学都能熟练地掌握指数式与对数式的互换，课堂上归纳的常用对数运算性质学生也能熟练地使用，但是个别同学对于对数符号和解方程还存在问题，已在课后抽时间自行解决了。
（一）亮点1.师生高度重视，课堂氛围融洽本次上公开课的班级是新高一年级的一个班级，刚进入高中不到两个月时间，本次公开课是学生进入高中后首次到录播室上课，大家都非常重视，同学们都穿上了校服，我也穿了正装，显得比较正式，课堂氛围比较融洽，回答问题比较积极。
2.真实情境引入，真实活动体验数学是真实的，数学是有用的，数学是简洁的。
前面学习指数函数的时候，刚好和同学们一起探究了新冠病毒的传染系数R0的大小，并建立了指数函数的模型，今天作为新课案例引入时让大家都能有一个熟悉的指数函数模型，通过指数式巧妙地引入对数式，进一步强化指数函数的概念和计算的同时，让学生自然而然地体验到了对数的发生，新冠病毒又是生活情境中的热点问题，大家都具有真实的生活经验和认知，从而减少学习新知的陌生感，迅速引入今天的对数学习。
3.信息技术融入，提高课堂效益使用Focusky动画演示大师制作课件，这是一款不同于PPT的演示软件，更加凸显知识点与知识点之间的逻辑结构，所有知识呈现在同一张幕布上，能让学生在学习时有全局意识，借助多媒体教学能节约部分板书的时间，让重点更加突出，提高课堂学习的效益。
在课件制作中，还遵循了数学的简洁性原则，去掉了不必要的动画、干扰讯息，制作的课件给人以清新感，呈现出数学的简洁美。
4.数学自然而然发生，逻辑思维流畅对数与指数的发生发展已经历经了几百年的积淀，要想把这些数学史和内容用几节课讲授出来是困难的，但是数学课不能让学生直接记住一些结论，光学会怎么用，数学课必须要让学生经历数学知识发生、发展的过程，让学生去体验、经历数学逻辑推理的过程，这样才会加深数学的理解，感受到数学对于社会的促进作用，体验到数学的内在美。
第2章2.2.1对数与对数运算第1课时
课 堂 . 互 动 探 究
子实质相同而形式不同，互为逆运算． 3．并非任何指数式都可以直接化为对数式，如(－ 3)2＝ 9 就不能直接写成 log(－ 3)9，只有符合 a>0， a≠ 1 且 N>0 时， 才有 ax＝ N⇔ x＝ logaN.
菜 单
配人教A版数学 · 必修1
课 堂 . 互 动 探 究
(3)∵ex＝2，∴x＝ln2.
【答案】 (1)log23 (2)lg5 (3)ln2
菜
单
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对数的性质
课 前 . 自 主 导 学
阅读教材 P62 最后一自然段至 P63 的有关内容， 完成下列 问题． 1．对数与指数间的关系
课 后 . 巩 固 验 收
菜
单
配人教A版数学 · 必修1
课 前 . 自 主 导 学
2．常用对数与自然对数
10为底 的对数叫做常用对数，记为 lgN. 通常我们将以________
在科学技术中常使用以无理数 e＝2.718 28„为底的对数， 以 e 为底的对数称为自然对数，并记为______. lnN
课 后 . 巩 固 验 收
菜 单
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课 前 . 自 主 导 学
课 后 . 巩 固 验 收
课 堂 . 互 动 探 究
3．是否任何一个指数式都可以直接化为对数式？
菜
单
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【探究提示】
课 前 . 自 主 导 学
1．设经过 x 年，我国的 GDP 可在 2012 年的基础上翻 一番，由题意可知(1＋ 7.8%)x＝ 2，∴ x＝ log1.0782≈ 9. 2．在关系式 ax＝ N 中，已知 a 和 x 求 N 的运算称为求 幂运算；而如果已知 a 和 N，求 x，就是对数运算．两个式
2.2.1对数与对数运算(必修一优秀课件)
课 堂 互 动 探 究
【解析】选B.由对数定义可知(1)(2)(4)均正确，而(3)中
对数的底数不等于1.
基 础 自 主 演 练 课 后 巩 固 作 业
课 前 新 知 初 探
2.(2011·海口高一检测)设a>0,a≠1,x∈R,下列结论错误的 是( ) (B)logax2=2logax (D)logaa=1
2
(3)lg 0.01 2
1 4 解：(1)( ) 16 2
(4)ln10 2.303
(2)27 128
(3)10 0.01
2
(4)e2.303 10
求下列各式的值 （1）log0.5 1 （4） log3 243 （5） lg 4 64 （6）log
2
log （2） 9 81
是2010年的2倍？
a 1 8%
x=
x
2a
x 2 即 1.08
小结：
这是已知底数和幂的值，求指数的问题。 即指数式ab=N中，已知a 和N，求b的问题。
这里( a 0且a 1 ）
你能看得出来吗？怎样求呢？
对数的定义
如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对
特的方法构造出对数方法。1614年6月在爱丁堡出版的
第一本对数专著》《奇妙的对数表的描述》中阐明了 对数原理，后人称为纳皮尔对数。
假设2010年我国的国民生产总值为a亿元，如果每年 平均增长8%，那么经过多少年后国民生产总值
是2010年的2倍？
假设2010年我国的国民生产总值为a亿元，如果每年
平均增长8%，那么经过多少年后国民生产总值
（3）log25 625 解： （1）log0.5 1
2.2.1对数与对数运算
2.2.1对数与对数运算(第一课时)教学目标：（1）掌握对数的概念与指、对数之间的关系； （2）自然对数和常用对数； （3）掌握对数式与指数式的互化； （4）掌握对数的基本运算性质. 教学重点： 对数概念的理解，对数式与指数式的相互转化. 教学难点： 对数概念的理解． 教学过程 （一）对数的概念若N a x =)1,0(≠>a a ，则x 叫做以．a 为底．．N 的对数（Logarithm ）， 记作：N x a log =其中a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式 说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ○2 x N N a a x =⇔=log ；并解决问题3 ○3 注意对数的书写格式． （二）对数的性质（1）负数和零没有对数；N >0； （2）1的对数是零：01log =a ； （3）底数的对数是1：1log =a a ； （4）对数恒等式：N a Na=log；（5）n a n a =log ． （三）两种特殊的对数：常用对数：以10为底的对数叫作常用对数，并把记作10log lg N N 记为； 自然对数：以无理数2.71828为底的对数叫自然对数，并把e log ln N N 记为； （四）应用举例例1将下列指数式写成对数式,对数式写成指数式： （1）54=625; （2）2-6=641; （3）(31)m =5.73; (4)log 2116=-4; (5)lg0.01=-2; (6)ln10=2.303. 例2求下列各式中x 的值:（1） l og 64x=32-; （2）log x 8=6; （3）lg100=x; （4）-lne 2=x. 变式训练：①log 4x=21;②log x 27=43;③log 5（log 10x ）=1. 例3以下四个命题中,属于真命题的是（ ）（1）若log 5x=3,则x=15 （2）若log 25x=21,则x=5 （3）若log x 5=0,则x=5 （4）若log 5x=－3,则x=1251A.（2）（3）B.（1）（3）C.（2）（4）D.（3）（4） 答案：C例4对于a ＞0,a≠1,下列结论正确的是（ ）（1）若M=N,则log a M=log a N （2）若log a M=log a N,则M=N （3）若log a M 2=log a N 2,则M=N（4）若M=N,则log a M 2=log a N 2A.（1）（3）B.（2）（4）C.（2）D.（1）（2）（4） 答案：C（五）（做一做）练习： 1.求下列各式的值：51log 25（） 212l o g 16（） 3l g 100（） l g 0.00（4） 2.求下列各式的值15log 15(1) 0.4l o g 1(2) 9l o g 81(3) 2.5log 6.25(4) 7l o g 343(5) 3log 243(6) （七）作业布置书本64页练习1，2，3，4 1.把下列各题的指数式写成对数式:(1)42＝16;（2）30=1;（3）4x ＝2;（4）2x ＝0.5;(5)54=625;(6)3-2=91;(7)(41)-2=16. 2.把下列各题的对数式写成指数式:(1)ｘ＝log 527;(2)ｘ＝log 87;(3)ｘ＝log 43;(4)ｘ＝log 731; (5)log 216=4;(6)log 3127=-3;(7)logx3=6;(8)log x 64=-6;(9)log 2128=7;(10)log 327=a. 3.求下列各式中x 的值:(1)log 8x=32 ; (2)log x 27=43; (3)log 2（log 5x ）=1; (4)log 3（lgx ）=0. 4.计算(1)求log 84的值;(2)已知log a 2=m,log a 3=n,求a2m +n的值.第二课时教学目标掌握对数运算的性质 会利用指数运算公式进行推导 会运用运算性质进行化简求值 教学重点对数运算性质 教学难点利用运算性质化简、求值 教学过程（1）正因数积的对数等于同一底数各个因数的对数的和，即log a （MN ）=log a M+log a N ．注：M ＞0，N ＞0；a ＞0且a ≠1．（2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数．例题 lg20-lg2=？例1 计算：（3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数．即log a （N ）n =n ·log a N ．（4）正数的正的方根的对数等于被开方数的对数除以根指数．即总结:对数的运算性质：如果0,0,10>>≠>N M a a 且则 （1）N M MN a a a log log )(log += （2）N M N Ma a alog log log -=（3）N n N a n a log )(log ⋅=例2 用log a x ，log a y ，log a z 表示下列各式：解：（注意（3）的第二步不要丢掉小括号．） 例3 计算：解：（生板书）（1）log 2（47×25）=log 247+log 225=7log 24+5log 22=7×2+5×1=19．第三课时教学目标掌握换底公式的内容，会对换底公式进行推导 教学重点换底公式及其应用 教学难点换底公式的递推公式 教学过程 换底公式:a b a log Nlog N (a,b 0,a,b 1,N 0)log b=>≠> 1. 证明：abb c c a log log log =（由脱对数→取对数引导学生证明） 证明：设x b a =l o g ，则b a x =两边取c 为底的对数，得：b a x b ac c c x c log log log log =⇒= a b x c c log log =∴，即abb c c a l o g l o g l o g =注：公式成立的条件：1,0,0,1,0≠>>≠>c c b a a ； 2. 由换底公式可推出下面两个常用公式：（1）ab b a log 1log =（2）b n m b a m a n log log =例题解析例题1：求32log 9log 278⋅的值； 分析：利用换底公式统一底数； 解法（1）：原式=9103lg 32lg 52lg 33lg 227lg 32lg 8lg 9lg =⋅=⋅ 解法（2）：原式=9103log 3533log 227log 32log 8log 9log 222222=⋅=⋅ 例题2：求证：z z y x y x log log log =⋅分析（1）：注意到等式右边是以x 为底数的对数，故将z y log 化成以x 为底的对数；证明：z yzy z y x x x x y x log log log log log log =⋅=⋅ 分析（2）：换成常用对数注：在具体解题过程中，不仅能正用换底公式，还要能逆用换底公式，如：z xzx log lg lg =就是换底公式的逆用； 例题3.已知518,9log 18==b a ，求45log 36的值（用a ，b 表示）分析：已知对数和幂的底数都是18，所以先将需求值的对数化为与已知对数同底后再求解；解：b a ==5log ,9log 1818 ，一定要求a -=12log 18aba -+=++==22log 15log 9log 36log 45log 45log 181818181836 强化练习（1）50lg 2lg 5lg 2⋅+（2）91log 81log 251log 532⋅⋅ （3）)8log 4log 2)(log 5log 25log 125(log 125255842++++ （4）已知a =27log 12，试用a 表示16log 6； 归纳小结，强化思想1.对数运算性质2.换底公式：abb c c a log log log = 3.两个常用公式：（1）ab b a log 1log =（2）b n m b a m a n log log =作业布置 1、补充：（1）12527lg81lg 6log 2+⋅ （2）41log3log 8log 2914+- （3）已知514,7log 14==b a ，求28log 35 巩固提高练习2.计算下列各式的值 例2.已知lg2=a ,lg3=b ,请用a ,b 表示下列各式的值()252log 4⋅()31log 6()32log 5()8271log 9log 32⋅。
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2.2.1对数与对数运算（一）
（一）教学目标
1．知识技能：
①理解对数的概念，了解对数与指数的关系；
②理解和掌握对数的性质；
③掌握对数式与指数式的关系.
2.过程与方法：
通过与指数式的比较，引出对数定义与性质.
3．情感、态度、价值观
（1）学会对数式与指数式的互化，从而培养学生的类比、分析、归纳能力.
（2）通过对数的运算法则的学习，培养学生的严谨的思维品质.
（3）在学习过程中培养学生探究的意识.
（4）让学生理解平均之间的内在联系，培养分析、解决问题的能力.（二）教学重点、难点
（1）重点：对数式与指数式的互化及对数的性质
（2）难点：推导对数性质的
（三）教学方法
启发式
启发学生从指数运算的需求中，提出本节的研究对象——对数，从而由指数
与对数的关系认识对数，并掌握指数式与对数式的互化、而且要明确对数运算是
指数运算的逆运算.
引导学生在指数式与对数式的互化过程中，加深对于定义的理解，为下一节
学习对数的运算性质打好基础.
（四）教学过程
教学
环节
教学内容师生互动设计意图
提出问题
1．提出问题
（P
72
思考题）13 1.01x
y=⨯中，哪一
年的人口数要达到10亿、20亿、30
亿……，该如何解决？
即：
182030
1.01, 1.01, 1.01,
131313
x x x
===
在个式子中，x分别等于多少？
象上面的式子，已知底数和幂的值，
求指数，这就是我们这节课所要学习的
对数（引出对数的概念）.
老师提出问题，
学生思考回答.
启发学生从指数运算
的需求中，提出本节的研
究对象——对数，
由实际
问题引入，激
发学生的学
习积极性.
概念形成
合作探究：若1.01x=
13
18，则x称作
是以1.01为底的
13
18的对数.你能否据此
给出一个一般性的结论？
一般地，如果a x=N（a＞0，且a≠1），
那么数x叫做以a为底N的对数，记作
x=log
a
N，其中a叫做对数的底数，N叫
做真数.
举例：如：2
4
416,2log16
==
则，读
作2是以4为底，16的对数.
1
2
42
=，则
4
1
log2
2
=，读作
1
2
是以
4为底2的对数.
合作探究
师：适时归纳总结，引
出对数的定义并板书.
让学生
经历从“特
殊一一般”，
培养学生
“合情推
理”能力，
有利于培养
学生的创造
能力．
概念深化1. 对数式与指数式的互化
在对数的概念中，要注意：
（1）底数的限制a＞0，且a≠1
（2）log
x
a
a N N x
=⇔=
指数式⇔对数式
掌握指数式与对数式
的互化、而且要明确对数
运算是指数运算的逆运
算.
通过本
环节的教
学，培养学
生的用联系
的关点观察
幂底数←a →对数底数指 数←x →对数幂 ←N→真数
说明：对数式log a N 可看作一记号，表示底为a （a ＞0，且a ≠1），幂为N 的指数工表示方程x a N =（a ＞0，且
a ≠1）的解. 也可以看作一种运算，即
已知底为a （a ＞0，且a ≠1）幂为N ，求幂指数的运算. 因此，对数式log a N 又可看幂运算的逆运算.
2. 对数的性质：
提问：因为a ＞0，a ≠1时，
log x N a a N x =⇔=
则 由１、a 0=1 ２、a 1=a 如何转化为对数式
②负数和零有没有对数？ ③根据对数的定义，log a N a =？ （以上三题由学生先独立思考，再
问题.
② ∵a＞0，且
备选例题
例1 将下列指数式与对数式进行互化.
（1）64)4
1
(=x
（2）5
15
2
1=
-
（3）327log 3
1-= （4）664log -=x
【分析】利用a x = N ⇔x = log a N ，将（1）（2）化为对数式，（3）（4）化为指数式.
【解析】（1）∵64)4
1(=x ，∴x =4
1log 64
（2）∵5
15
2
1
=
-
，∴2
15
1log 5
-
= （3）∵327log 3
1-=，∴27)3
1(3=-
（4）∵log x 64 = –6，∴x －6 = 64.
【小结】对数的定义是对数形式与指数形式互化的依据，同时，教材的“思考”说明了这一点. 在处理对数式与指数式互化问题时，依据对数的定义a b =
N ⇔b = log a N 进行转换即可.
例2 求下列各式中的x . （1）3
2log 8-=x ； （2）4
327log =x ； （3）0)(log log 52=x ； 【解析】（1）由3
2log 8-=x 得3
23
3
2
)
2(8
-
-==x = 2–2，即4
1=x .
（2）由4
3
27log =x ，得343
327==x ，
∴813)
3(4343===
x .
（3）由log 2 (log 5x ) = 0得log 5x = 20 = 1. ∴x = 5.
【小结】（1）对数式与指数式的互化是求真数、底数的重要手段.
（2）第（3）也可用对数性质求解.如（3）题由log 2(log 5x ) = 0及对数性质log a 1=0.
知log 5x = 1，又log 55 = 1. ∴x = 5.。