初中八年级数学竞赛培优讲义全套专题18 直角三角形_答案

专题18 直角三角形

例1 （1）12或30；6或30； 提示：()2

2125x x ++=，得3x =；由()2

2251x x +=+，得12x =， （2）103 提示：作DE ⊥AB 于E ，设CD =x ，则BE =13-5=8，DE =x ，BD =12-x ，由()2

22812x x +=-， 得103

x =

． 例2 B 提示：过B 作BD ⊥AC 延长线于D 点，设CD =x ，BD =y ，可求得：x =y ，则∠BCD =45°，故∠BCA =135°．

例3 ∠ACB =75°

提示：过C 作CQ ⊥AP 于Q ，连接BQ ，则AQ =BQ =CQ ． 例4 提示：过E 作EG ⊥AB 于G ，先证明Rt △EAG ≌Rt △ABC ，再证明△EFG ≌△DF A ． 例5 连接AC

∵AD =DC ，∠ADC =60°，

∴△ADC 是等边三角形，DC =CA =AD ，

以BC 为边向四边形外作等边三角形BCE ，即BC =BE =CE ， 则∠BCE =∠EBC =∠CEB =60°， ∴∠ABE =∠ABC +∠EBC =90°，

连接AE ，则22222AE AB BE AB BC =+=+，

易证△BDC ≌△EAC ，得BD =AE ，故222BD AB BC =+． 例6 过A 作AE ⊥BC 于E ，

设DE =x ，BD =u ，DC =v ，AD =t ，则

()()2

2

22222AE b v x c u x t x =--=-+=-，

故2222t b v ux =-+，2222t c u ux =--，

消去x 得2

2

2b u c v t uv u v +=

-+，即2

2

2b BD c CD

AD BD DC a

+=-?． A 级

1．14 2．3 3．135°

4．261 提示：延长AD 至E ，使DE =AD ，连接BE ，则△ACD ≌△EBD ，∴BE =AC =13，AE =12，又AB =5，则∠BAD =90°，

5．D 6．C 7．C 8．B 9．提示：△ADC ≌△BEA ，∠BPQ =60°． 10．（1）（2）略 （3）提示：AB ，AP ，BP ，CP ，之间的关系是22AP AB BP CP -=? 11．提示：满足提议的点有4个，作别分别为：816254525451,

,,,,,,15555552????????

-- ? ? ? ? ? ?????????

； 12．10． B 级

1．

60

13

2．135° 提示：将△P AC 绕A 点顺时针旋转90°， 3．32或42 提示：分类讨论。 4．B 5．D

6．C 提示：设直角三角形两直角边长为a ，b （a ≤b ），则2212

a b a b k ab +++=?（a ，b ，k 均为正整数），化简得：(ka -4)(ka -b )=8，∴4148ka kb -=??

-=?或42

44

ka kb -=??-=?，解得（k ，a ，b ）=（1，5，12）或（2，

E C

A

D

B

E

A

B

C

D

3，4）或（1，6，8）． 7．

169

4

提示：连接AD ，由△ADE ≌△CDF ，得ED =DF ，AE =CF =5，AF =BE =12，2213EF AE AF =

+=．

8．提示：延长ED 至G ，使DG =ED ，连接CG ，FG ，则BE =CG ，EF =FG ． 9．解：设此直角三角形的斜边为c ，两直角边分别为a ，b ，面积为S ，则： 2

22612

a b c a b a b c a b c S ab ≤<<+??

++=???+=?

?=??①②③为整数④

由①②得：2

由②得：()2

226a b c +=-，把③④代入上式得：3c =9-S ， 即6<3c <9，而S 为整数，从而3c =7或8，

若3c =7，则S =2，代入②、④得：

11

=

3a b +，ab =4，次方程1．一副三角板，按图11-2-1所示

方式叠在一起，则图中α∠的度数是（）．

A ．75°

B ．60°

C ．65°

D ．55°

2．如图11-2-2所示，在△ABC 中，∠ABC =∠C =∠BDC ，∠A =∠ABD ，则∠A 的度数为（） A ．36°B ．72°C ．108°D ．144°

α

D

C

A

B

3．我们知道：等腰三角形的两个底角相等，已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（）．

A ．40°

B ．100°

C ．40°或100°

D ．70°或50°

4．（1）在△ABC 中，若∠A ﹕∠B ﹕∠C =2 ﹕3 ﹕4，则∠A =，∠B =，∠C =． （2）在△ABC 中，若11

23

A B C ∠=

∠=∠，则∠C =． （3）若三角形的三个外角的比是2﹕3﹕4，则这个三角形按角分是三角形．

5．已知：如图11-2-3所示，CE ⊥AB 于点E ，AD ⊥BC 于点D ，∠A =30°，则∠C 的度数为． 6．已知：如图11-2-4所示，一轮船在海上往东行驶，在A 处测得灯塔C 位于北偏东60°，在B 处

图11—2—1 图11—2—2

测得灯塔C 位于北偏东25°，则∠ACB =．

E

D

A B

C

25°

60°

C

A

B

7．如图11-2-5所示，已知∠EGF =∠E +∠F ，求∠A +∠B +∠C +∠D 的度数．

P

H

E

B

F

A

D

C

8．（1）已知，如图11-2-6所示，AD 是高，AE 是∠BAC 的平分线，是说明：1

()2

DAE C B ∠=

∠-∠． E D

B

A

C

（2）如图11-2-7所示，在△ABC 中，已知三条角平分线AD 、BE 、CF 相交于点I ，

IH ⊥BC ，垂足为H ，∠BID 与∠HIC 是否相等？并说明理由．

H

E

F

I

D B

A

C

能力提升

9．在三角形中，最大角α的取值范围是（）．

A ．090α?<

B ．60180α?<

C ．6090α?≤

D ．60180α?≤

图11—2—3图11—2—4

图11—2—5

图11—2—6

图11—2—7

10．直角三角形中两锐角平分线所成的角的度数是（）． A ．45°B ．135°C ．45°或135°D ．都不对

11．如图11-2-8所示，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，则∠A 与∠1+

∠2之间有一种数量关系始终保持不变，那么，你发现的规律是（）．

A ．12A ∠=∠+∠

B ．1

(12)2

A ∠=∠+∠

C ．1(212)3A ∠=∠+∠

D ．2

(12)3

A ∠=∠+∠

12．已知△ABC 的三个内角为∠A 、∠B 、∠C ，且A B α=∠+∠，B C β=∠+∠，

A C γ=∠+∠，则,,αβγ中，锐角的个数最多为（）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

13．在△ABC 中，BC 边不动，点A 竖直向上运动，∠A 越来越小，∠B 、∠C 越来越大，若

∠A 减少α，∠B 增加β，∠C 增加γ，则,,αβγ三者之间的关系是．

14．在△ABC 中，高BD 、CE 所在的直线相交于点H ，且点H 与点B 、C 不重合，∠A =50°，则∠

BHC =．

15．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰成20°角，则这个三角形的顶角是．

16．如图11-2-9所示，在△ABC 中，A 1B 平分∠ABC ，A 1C 平分∠ACD ，A 2B 平分∠A 1BD ，A 2C 平

分∠A 1CD ，A 3B 平分∠A 2BD ，A 3C 平分∠A 2CD ，若∠A =64°，则∠A 3=；依此类推，若∠A =α，∠A n =．

A 3

A 2A 1

A

B

C

D

17．（1）如图11-2-10所示，在△ABC 中，∠ABC 的n 等分线与∠ACB 的n 等分线分别交于G 1，G 2，

G 3，…，G n-1，试猜想：∠BG n-1C 与∠A 的数量关系．（其中n 是不小于2的整数）．首先得到：当n =2时，如图（a ）所示，∠BG 1C =，当n =3时，如图（b ）所示，∠BG 2C =，…，如图（c ）所示，猜想∠BG n-1C=．

图11—2—8

2

1A

B

C

E D

图11—2—9

G 1

A

B

C

A

G 2

G 1

B

C A

G n -1G 2

G 1

B

C P

A

B

C

D

（2）如图（d ）所示，在四边形ABCD 中，BP 、CP 仍然是∠ABC ，∠BCD 的角平分线，则

∠P 与∠A 、∠D 之间的数量关系为．

18．如图11-2-11所示，在△ABC 中，AD ⊥BC ，AE 平分∠BAC ，AG ⊥AE ，CG 是△ABC 的外角∠

ACF 的平分线，若∠G -∠DAE =60°，则∠ACB =．

D

E D A

B

F

C

19．阅读材料：如图11-2-12所示，AD 与CB 相交于O 点，在△AOB 和△COD 中，∠A +∠B + ∠AOB =180°，∠C +∠D +∠COD =180°，∠AOB =∠COD ，所以∠A +∠B =∠C +∠D ． 图形类似数字“8”，所以我们称之为“8”字形． 根据上述材料解决下列问题：

如图11-2-13所示，BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ，∠A =48°，∠C =46°，BE 与AD 相交于点G ，BC 与DE 相交于点H ．

（1）仔细观察图11-2-13中有个“8”字形． （2）求∠BED 的度数．

（3）试探究∠A ，∠E ，∠C 之间的关系．（直接写出结论）

图11—2—10

……

（a ）（b ）（c ）（d ）

图11—2—11

O

A

B

C

D

H

G

E

O

A

B

C

D

20．如图11-2-14所示，已知射线OM 与射线ON 互相垂直，B 、A 分别为OM 、ON 上一动点， （1）若∠ABM ，∠BAN 的平分线交于点C ．问：点B 、A 在OM 、ON 上运动过程中，∠C 的度数是

否改变？若不变，直接写出结论；若改变，说明理由．

（2）如图11-2-15所示，若∠ABO 、∠BAN 的平分线所在的直线相交于点C ，其他条件不变，（1）

中的结论是否成立？若成立，求出其值；若不成立，说明理由．

C

N

O

M

A

B

C

D

N

O

M

A

B

21．如图11-2-16所示，在△ADE 和△ABC 中，∠EAD =∠AED =∠BAC =∠BCA =45°， ∠BAD =∠BCF ．

（1）求∠ECF +∠DAC +∠ECA 的度数；

（2）判断ED 与FC 的位置关系，并对你的结论加以证明．

图11—2—12图11—2—13

图11—2—14图11—2—15

F

E

C

B

A

D

22．如图11-2-17（a ）所示，在平面直角坐标系中，△DEQ 的一个顶点在x 轴的负半轴上，边DQ

交x 轴于点C ，且CE 平分∠DEQ ，过点D 作直线交x 轴于点B ，交y 轴于点A ，使∠ADE =∠BDC ，已知(,0)C m ，(,0)E n ，其中m ，n 满足3(4)0m n -++=． （1）求点C 、E 的坐标．

（2）若∠ABC =30°，求∠Q 的度数．

（3）如图11-2-17（b ）所示，在平面直角坐标系中，若直线AB 绕点D 旋转，过D 作DH ⊥AB ，交

x 轴于点G ，交y 轴于点H ，直线AB 绕点D 转动时，下列结论：①∠Q 的大小不变；②Q

OHD

∠∠的值不变．选择一个正确的结论，求其值，并证明你的结论．

H

G Q

E C y

x

O A

B

D

中考链接

图11—2—16

Q

E C y x

O

A

B

D

（a ）（b ）

图11-2-17

23．（2011·四川绵阳）将一副常规三角尺按图11-2-18所示方式放置，则图中∠AOB 的度数为

A ．75°

B ．95°

C ．105°

D ．120°

24．一副三角板叠在一起按图11-2-19所示方式放置，最小锐角的顶点D 恰好放在等腰直角三角板的斜边AB 上，BC 与DE 交于点M .如果∠ADF =100°，那么∠BMD 为度.

O

B

A

巅峰突破

25．如图11-2-20所示，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠DAF =1

3DBA ∠，1

3

EBG EBA ∠=

∠，则射线AF 与BG （）

A ．平行

B ．延长后相交

C ．反向延长后相交

D ．可能平行也可能相交

26．如图11-2-21所示，DC 平分∠ADB ，EC 平分∠AEB ，若A α∠=，B β∠=，则∠C =．（用,αβ表示）

G

F

C

E

D

A

B

C

A

D

B

E

图11—2—18图11—2—19

图11—2—20图11—2—21

（2）如下图所示，过点G 作GM ⊥BC 于M ，连接HF . ∵AD ∥BC ，∴∠AHF =∠MFH .

∵EH ∥FG ，∴∠EHF =∠GFH .∴∠AHE =∠MFG . 又∵∠A =∠GMF =90°，EH =GF ， ∴△AHE ≌△MFG .∴GM =AE =2. ∵BC =12，BF =a ，∴FC =12－a . ∴1

122

GFC S FC GM a ?=

=-.

(3)△GFC 的面积不能等于2.

∵点H 在AD 上，∴菱形边上EH 的最大值为

22237EH AE AD =+=.

∴BF 的最大值为221.

又因为12GFC S a ?=-的值随着a 的增大而减小， 所以GFC S ?的最小值为12221-.

又∵122212->，∴△GFC 的面积不能等于2.

第三节 梯形

基础演练

1.C ；

2.B ；

3.C ；

4.D ；

5.B ；

6.①②③

能力提升

7.D ； 8.B ； 9.A ； 10.B ； 11.32

12.如下图所示，作DE ∥AC ，交BC 的延长线于E ，则四边形AQCED 为平行四边形，∴AD =CE . ∵AC ⊥BD ，∴∠BDE =90°.

∴梯形的中位线长()()111

222

AD BC CE BC BE =

+=+=. ∵222291215BE BD DE =

+=+=.

∴梯形的中位线1

157.52

=

?=.

13.(1)如下图所示，把等腰梯形的两腰分别延长后可得一个边长为2的等边三角形.

所以它可以由一个边长为2的等边三角形，沿着中位线的位置形剪一刀而得.

（2）四种.分别用3，4，5个小梯形拼出较大的等腰梯形. ①3个梯形，周长为11cm ，如下图所示；

②4个梯形，周长为10cm ，如下图所示；

③5个梯形，周长为17cm，如下图所示；

④5个梯形，周长为11cm，如下图所示；

14.（1）∵AB∥DF，∴∠1=∠ADF.

∴∠1=∠2，∴∠2=∠ADF.∴EA=ED.

又AC=DF，∴EC=EF.

∴△EAD及△ECF均是等腰三角形，且顶角为对顶角，由三角形内角和定理知∠ADF=∠DFC，∴AD∥CF.又∵CF＜AD，∴四边形ADCF是梯形，

∵AC=DF，∴ADCF是等腰梯形.

(2)四边形ADCF的周长=AD+DC+CF+AF.①

∵△ADC的周长=AD+DC+AC=16（厘米）.②

AF=3（厘米）.③FC=AC－3.④

将②，③，④代入①得：

四边形ADCF的周长=AD+DC+(AC－3)+AF=(AD+DC+AC)－3+3=16（厘米）.

15.(1)解：∵∠BCD=75°，AD∥BC，

∴∠ADC=105°.

由等边△DCE可知∠CDE=60°，故∠ADE=45°.

由AB⊥BC，AD∥BC，可得∠DAB=90°，

∴∠AED=45°.

（2）证明：如图（a）所示，由（1）知∠AED=45°，

∴AD=AE，故点A在线段DE的垂直平分线上.

由△DCE是等边三角形得CD=CE，故点C也在线段DE的垂直平分线上.

连接AC，∵∠AED=45°，∴∠BAC=45°.

又AB⊥BC，∴∠ACB=45°.∴BA=BC.

（3）如图（b）所示，∵∠FBC=30°，∴∠ABF=60°.

连接AF，BF，AD的延长线相交于点G，

∵∠FBC=30°，∠DCB=75°，

∴∠BFC =75°，故BC =BF .

由（2）知：BA =BC ，故BA =BF ， ∵∠ABF =60°，∴AB =BF =F A ， 又∵AD ∥BC ，AB ⊥BC ， ∴∠F AG =∠G =30°，∴FG =F A =FB . ∵∠G =∠FBC =30°，∠DFG =∠CFB ，FB =FG ， ∴△BCF ≌△GDF .

∴DF =CF ，即点F 是线段CD 的中点.∴

1DF

FC

=.

16.（1）证明：∵EF 将矩形ABCD 分成面积相等的两部分， ∴

()()11

22

x AF m n x n AF m +=-+-. ∴222AF n x =-.∴AF n x =-.

又∵EC BC BE n x =-=-，∴AF EC =. （2）当直线'

E E 经过原矩形顶点D 时，如图

∵'DC B C m ==，''

EC E B ∥，∴'

DE E E =.

∴''

2EC E B =.即()2n x x -=，

∴23n x =.∴:2:3x n =. 17.（1）NE =MB 且NE ⊥MB . （2）成立.

理由：如下图所示，连接AE .

∵E 为CD 中点，AB =BC =

1

2

CD ，∴AB=EC . 又AB ∥CD ，即AB ∥CE ， ∴四边形ABCE 为平行四边形. ∵∠C =90°，∴四边形ABCE 为矩形. 又AB =BC ，∴四边形ABCE 为正方形. ∴AE =AB .∵等腰直角三角形AMN 中， ∴AN =AM ，∠NAM =90°. ∴∠1+∠2=90°.

又∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3.

∴△NAE ≌△MAB .∴NE =MB . 延长NE 、BM 交于点F .

由△NAE ≌△MAB 可得，∠AEN =∠ABM . ∴∠4=∠6.

∵∠5=∠6，∴∠4=∠5.

又∠EMF =∠BMC ，∴∠EFB =∠C =90°. ∴BM ⊥NE.

中考链接

18.（1）设AB =10x km ，则AD =5x km ，CD =2x km ， ∵四边形ABCD 是等腰梯形，∴BC =AD =5x km ， ∴AD +CD +CB =12x km ，

∴外环公路的总长和市区公路长的比为12x ：10x =6：5；

（2）由（1）可知，市区公路的长为10x km ，外环公路的总长为12x km ，由题意得：

10121

408010

x x =+.解这个方程得1x =.∴1010x =. 答：市区公路的长为10km. 19.（1）略

（2）解：如下图所示，作BH ⊥AD ，CK ⊥AD ， 则有BC =HK ，

∵∠BAD =45°，∴∠HAB =∠KDC=45°, ∴22AB BH AH =

=，

同理：22CD CK KD =

=，

∵()

2

ABCD AD BC HB

S +=

梯形，AB a =，

∴2222222

22

2

ABCD

a BC a a aBC S ???+ ? ?+??=

=梯形，

而234ABE DCF

S S a ??==，∴2223224

a aBC a +=?， ∴622

BC a -=

巅峰突破

20.(1)10； 33.

（2）如下图(a)、（b ）所示.

①∵△BEF 与梯形ABCD 等高，梯形ABCD 的高3DN =

，

∴11

3322

BEF S BF x ?=

?=，即32y x =； ②∵

L S BE BF y =+，L

k BE BF

=+（k 为常数），

∴ky S =.∴

3

332kx =.∴6

k x

=. ∴06,04k x <≤≤≤，k 为整数，∴1,2,3x =. 即BF 的长为：1cm 、2cm 、3cm.

21.（1）略.

(2)解：如下图所示，延长CD 和BE 的延长线交于H ，

∵BF⊥CD，∠BEC=90°，∴∠HEC=90°，

∴∠EBF+∠H=∠ECH+∠H=90°，

∴∠EBF=∠ECH，

∵BE=CE，∠BEC=∠CEH，∴△BEG≌△CEH（ASA），

∴EG=EH，BG=CH=DH+CD，

∵△BAE≌△CDE，∴∠AEB=∠GED，∠HED=∠AEB.∴∠GED=∠HED，∵ED=ED，∴△GED≌△HED（SAS），

∴DG=DH，∴BG=DG+CD，

∵DG=2cm，BG=6cm，

∴CD=BG－DG=4（cm）

第四节线段中点的应用

基础演练

1. C；

2.C；

3.B；

4.C

5.如下图所示，连接CM，AM，

∵∠DAB=∠BCD=90°,M为BD中点，

∴CM=1

2

BD=AM.∴△AMC为等腰三角形.

∵N为AC中点，∴MN⊥AC.

6.如下图所示，连接PR、PQ，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC，∠A=∠B=∠C=60°.

∵△MPS是等边三角形，

∴PS=PM，∠MPS=60°.

∵P为AB的中点，Q为AC的中点，R为BC的中点，

∴

11

,

22

PQ BC PR AC

∥∥.∴PQ=PR.

∴

∴∠APQ=∠BPR=60°，∴∠RPQ=180°－2×60°=60°.

又∵∠QPS=∠MPS－∠MPQ=60°－∠MPQ，

∠RPM=∠RPQ－∠MPQ=60°－∠MPQ，

∴∠QPS=∠RPM.∴△PRM≌△PQS.

∴PM=QS.

7.△AGD是直角三角形

如下图所示，连接BD，取BD的中点H，连接HF、HE，

∵F是AD的中点，

∴HF∥AB，HE=1

2

AB.∴∠1=∠3.

同理，HE∥CD，HE=1

2

CD.∴∠2=∠EFC.

∵AB=CD，∴H F=HE，

∴∠1=∠2，∵∠EFC=60°.

∴∠3=∠EFC=∠AFG=60°.

∴△AGF是等边三角形.

∴AF=GF.∴GF=FD.∴∠FGD=∠FDG=30°. ∴∠AGD=90°.即△AGD是直角三角形.

能力提升

8.

2012

12 9.

3964

10.∵点E 、F 分别是AD 、AB 的中点， ∴EF ∥BD ，∴EF =

1

2

BD ，∴∠FCD =∠CFE ， 在△ABC 中，∠ACB =90°. ∵E 是AD 的中点，∴CE =

1

2

AD . ∵AD =BD ，∴EF =CE .∴∠ECF =∠CFE .

∴∠FCD =∠ECF .即CF 是∠ECB 的平分线.

11.如下图所示，取AD 中点G ，连接EG 、FG ， ∵E 是AC 的中点，∴EG 是△ACD 的中位线. ∴EG =

12CD .同理可证：FG =12

AB . 在△EFG 中，EF EG FG >-.∴()1

2

EF CD AB >

-.

12.∵点E 、F 、G 分别是BC 、AB 、AC 的中点， ∴FG ∥BC ，FE ∥AC ，FE =

1

2

AC .∴FG ∥ED . ∵FE ∥AC ，DG 与AC 是相交的，

∴DG 与EF 不平行.∴四边形EFGD 是梯形. ∵AD 是三角形的高，∴△ADC 是直角三角形. ∵DG 是斜边上的中线，∴DG =

12

AC . ∴DG =EF .∴梯形EFGD 是等腰梯形.

13.（1）如图（a ）所示，连接CF ，线段CF 与FE 之间数量关系是2CE FE =；

（2）（1）中的结论仍然成立.

如图（b ）所示，连接CF ，延长EF 交CB 于点G ，

①先送2根，再送4根，二次共走行驶：

()()10001002110040025200+?++?=米；

②先送4根，再送2根，二次共行驶：

()()10003002130020025600+?++?=米；

（2）两次各送3根时，所行路程为

()()10002002120030025400+?++?=米.

故先送2根所行驶路程最短，最短总行程为：

()()()()()100010021100400215004002

19004002230040019000+?++?++?++?++=米

故所用最少油费为19000100019mn mn ÷=元

例 6 如图所示，在△ABC 中，∠C =90°，BC =5，AB =13.点P 到BC ，CA ，AB 的距离分别为

123,,d d d ，连接P A ，PB ，PC ，由三角形的面积公式知：1231111

512135122222

d d d ?+?+?=??.

即 1235121360d d d ++=.显然有()()12312312355121313d d d d d d d d d ++≤++≤++.

故

()12360

1213

d d d ≤++≤. 当230d d ==时，有12312d d d ++=，即123d d d ++取最大值时，P 与A 重合；当120

d d ==时，有12360

13

d d d +++=

，即123d d d ++取最小值时，P 与C 重合.

A 级 1.27 原式=(

)()

2

222

327a b c a b c ++-++≤

2.6

3.15° 提示：()()()39023266

A A

B B

C αααα?

-+-+-++=≤

()

27090156

6

A B C ??

?-++=

== 4. 122c a -<

<- 提示：,b a c a c b =----<，∴2,2c

a c a

>->-，又把b a c =--代入b c >中，得a c c --<，∴

12c a <-.故1

22

c a -<<-. 5.D 6.B 7.A 8.B 9.设

123

234

x y z k ---===，则21,32,43x k y k z k =+=-+=+.

∴,,x y z 均为非负实数. ∴210

3204k+30

k k +≥??

-+≥??≥?

，解得：1223k -≤≤.

故()()()3453214325431426x y z k k k k ω=++=++-+++=+. ∴1214261426142623k -

?+≤+≤?+，即119353

ω≤≤， 所以ω的最小值是19，最大值是1

353

.

10.20套. 1800元.提示：设生产L 型号的童装套数为x ，则生产M 型号的童装为()50x -套，所得利润()453050151500S x x x =+-=+.

由()()0.50.950380.25026x x x x +-≤???+-≤??

得17.520x ≤≤，18,19,20x =.

11.最小表面积的打包方式为2×3.最小表面积为179522

mm ，图略. B 级 1.27 当2,25b a ==时，a b +的值最大. 2.102 提示：()1998,19980m n n n =--≥. 3.1157 提示：5864,,8525

b b b

a c d =

==. 4.B ，D ，E 93.62百元

5.13800元 提示：设由甲库调运x 吨粮食到B 市，总运费为y 元，则

()()()()

56600680096002138000600y x x x x x x =+-+-++=+≤≤

6.C 提示：

a b c d

a b c d a b c d a b c d a b c d

+++<++++++++++++

a b c d M a b a b c d c d

<

+++++++. 故12M <<.