概率算法统计
复数、算法、统计
1.复数32(1)i i +=（ ）
B.－2 C ．2i D.2i -
2.若复数(a 2-3a+2)+(a-1)i 是纯虚数，则实数a 的值为（ ） B.2 或2
3.复数11
212i i +
-+-的虚部是（ ） A ．15i B ．15 C ．15i - D ．15
-
4.在复平面内，复数sin 2cos2z i =+对应的点位于
（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
5.若复数z 满足(2)z i z =- (i 是虚数单位)，则z= ．
6.右图中的程序框图. 若输入m =4,n =6, 则输出 a = ,i =___.
(注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“：=”)
7.某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松
树苗的数量为（ ）
A ．30
B ．25
C ．20
D ．15 8.为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量。产品数量的分组区间为：[)[)[)[)[)95,85,85,75,75,65,65,55,55,45，由此得到频率分布直方图如右图，则这20名工人中一天生产该产品数量在[)75,55的人数是 _.
9.从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则
这100人成绩的标准差为（ ）
A ．3
B ．
2105 C ．3 D ．8
5
技巧点拨
1.（文2理2）已知),(2R b a i b i
i
a ∈+=+，其中i 为虚数单位，则=+
b a
（A ）-1 （B ）1 （C ）2 （D ）3 *2.（理5）已知随机变量ξ服从正态分布),0(2σN ，若023.0)2(=>ξP ，则=≤≤-)22(ξP （A ） （B ） （C ） （D ）
3.（文6） 在某项体育比赛中一位同学被评委所打出的分数如
下：90 89 90 95 93 94 93；去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值
为和方差分别为
（A ） 92，2 （B ）92 ， （C ） 93，2 （D ）93， 4.（理6）样本中共有五个个体，其值分别为3,2,1,0,a ，若该样本的平均值为
1，则样本方差为
题
第8文理13
（A ）
56 （B ）5
6
（C ）2 （D ）2 5.（文13）执行所示流程框图，若输入4x =，则输出y 的值为____． 6.（理13）执行所示程序框图，若输入10=x ，则输出y 的值为 .
概率
习题演练
1.在平面直角坐标系中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域， E 是到原点的距离不大于1 的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率__ ．
2.三人独立破译同一份密码，已知三人各自译出密码的概率分别为111
,,543
，且他们是否破译出密
码互不影响。（Ⅰ）求恰有二人破译出密码的概率；（Ⅱ）“密码被破译”与“密码未被破译”的概率那个大说明理由。
3.某初级中学共有学生2000名,各年级男、女生人数如下表. 已知在全校学生中随机抽取1名,抽到初二年级女生的概率是 .
（Ⅰ）求x 的值；
（Ⅱ）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生, 问应在初三年级抽取多少名 （Ⅲ）已知245,245≥≥z y ，求初三年级中女生比男生多的概率.
（下为理科题目）
4.某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度启动的项目，则重点项目A 和一般项目B 至少有一个被选中的不同选法种数是( C )
A ．15
B ．45
C ．60
D ．75
名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是 ( C )
A ．2686C A
B ．2283
C A C ．2286C A
D ．2285C A
6.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面。不同的安排方法共有（ A ）
A. 20种
B. 30种
C. 40种
D. 60种
7.如图，一环形花坛分成A B C D ，，，四块，现有4种不同的花供选种，要求在每
块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ B ）
A ．96
B ．84
C ．60
D ．48 8.()()3
4
121x x +-展开式中x 的系数为___2___。
D B
C A
9.(1＋3x )6(1＋4
1x
)10展开式中的常数项为（ D ） A ．1 B ．46 C ．4245 D ．4246
10.若231n
x x ?
?+ ??
?展开式的各项系数之和为32，则n = 5 ，其展开式中的常数项为10 ．
11.若(x-2)5=a 5x 5+ a 4x 4+a 3x 3+a 2x 2+a 1x+a 0,则a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=____31___.(用数字作答)
12.甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是121
,,.352
（I ）现3人各投篮1次，求3人都没有投
进的概率；（II ）用ξ表示投篮3次的进球数，求随机变量ξ的概率分布及数学期望.E ξ
解: (Ⅰ)∴ P(A) = P(A 1－A 2－A 3－)=P(A 1－)·P(A 2－)·P(A 3－) ==(1－13)(1－25)(1－12)=15
(Ⅱ)ξ的可能值有0,1,2,3), ξ~ B(3, 25), P(ξ=k)=C 3k (25)k (35)3－k (k=0,1,2,3) , E ξ=np = 3×2
5
= 65
. 13.某项考试按科目A 、科目B 依次进行，只有当科目A 成绩合格时，才可继续参加科目B 的考试.已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书.现某人参加这项考试，
科目A 每次考试成绩合格的概率均为23，科目B 每次考试成绩合格的概率均为1
2
.假设各次考试成
绩合格与否均互不影响.（Ⅰ）求他不需要补考就可获得证书的概率；（Ⅱ）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求ξ的数学期望E ξ.
答： (Ⅰ) 13.(Ⅱ) 8
3
.
14.某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核。（I ）求从甲、乙两组各抽取的人数； （II ）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（III ）记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望。
分析：（II ） 1146210815C C P C ?==（III ）ξ的可能取值为0，1，2，3；123421
1056
(0)75C C P C C ξ==?=，1112146342212110510528(1)75C C C C C P C C C C ξ==?+?=
，21
622110510
(3)75C C P C C ξ==?=
31
(2)1(0)(1)(3)75
P P P P ξξξξ==-=-=-==
15.甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A B C D ，，，四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率；（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；
（Ⅲ）设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A 岗位服务的人数，求ξ的分布列．
ξ
1 3
人不在同一岗位服务的概率是9
()1()10
P E P E =-=．（Ⅲ）随机变量ξ可能取的值为1，2．事件“2ξ=”
是指有两人同时参加A 岗位服务，则23
5334541
(2)4
C A P C A ξ===．所以3(1)1(2)4P P ξξ==-==，ξ的分
布列是 技巧点拨
1.（文19）一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4， （Ⅰ）从袋中随机取出两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
（Ⅱ）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，
该球的编号为n ，求2n m +＜的概率。
*2.（理20）某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A 、B 、C 、D 四个问题，规则如下：
①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A 、B 、C 、D 分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分
②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；
③每位参加者按问题A 、B 、C 、D 顺序作答，直至答题结束.
假设甲同学对问题A 、B 、C 、D 回答正确的概率依次为4
1
,31,21,43，且各题回答正确与否相互之
间没有影响.（Ⅰ）求甲同学能进入下一轮的概率；（Ⅱ）用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求ξ的分布列和数学期望E ξ.
概率计算方法全攻略
概率计算方法全攻略 在新课标实施以来，中考数学试题中加大了统计与概率部分的考查，体现了“学以致用”这一理念. 计算简单事件发生的概率是重点，现对概率计算方法阐述如下: 一.公式法 P(随机事件)= 的结果数 随机事件所有可能出现果数 随机事件可能出现的结.其中P(必然事件)=1,P （不可能事件） =0；0 统计与概率经典例题（含答案及解析） 1．（本题8分）为了解学区九年级学生对数学知识的掌握情况，在一次数学检测中，从学区2000名九年级考生中随机抽取部分学生的数学成绩进行调查，并将调查结果绘制成如下图表： ⑴表中a和b所表示的数分别为：a= .，b= .； ⑵请在图中补全频数分布直方图； ⑶如果把成绩在70分以上（含70分）定为合格，那么该学区2000名九年级考生数学成绩为合格的学生约有多少名？ 2．为鼓励创业，市政府制定了小型企业的优惠政策，许多小型企业应运而生，某镇统 计了该镇1﹣5月新注册小型企业的数量，并将结果绘制成如下两种不完整的统计图： （1）某镇今年1﹣5月新注册小型企业一共有家．请将折线统计图补充完整； （2）该镇今年3月新注册的小型企业中，只有2家是餐饮企业，现从3月新注册的小 型企业中随机抽取2家企业了解其经营状况，请用列表或画树状图的方法求出所抽取的 2家企业恰好都是餐饮企业的概率． 3．（12分）一个不透明的口袋装有若干个红、黄、蓝、绿四种颜色的小球，小球除颜 色外完全相同，为估计该口袋中四种颜色的小球数量，每次从口袋中随机摸出一球记下 颜色并放回，重复多次试验，汇总实验结果绘制如图不完整的条形统计图和扇形统计图． 根据以上信息解答下列问题： （1）求实验总次数，并补全条形统计图； （2）扇形统计图中，摸到黄色小球次数所在扇形的圆心角度数为多少度？ （3）已知该口袋中有10个红球，请你根据实验结果估计口袋中绿球的数量．4．（本题10分）某校为了解2014年八年级学生课外书籍借阅情况，从中随机抽取了40名学生课外书籍借阅情况，将统计结果列出如下的表格，并绘制成如图所示的扇形统计图，其中科普类册数占这40名学生借阅总册数的40%． 类别科普类教辅类文艺类其他册数（本）128 80 m 48 （1）求表格中字母m的值及扇形统计图中“教辅类”所对应的圆心角a的度数； （2）该校2014年八年级有500名学生，请你估计该年级学生共借阅教辅类书籍约多少本？ 5．（10分）将如图所示的版面数字分别是1，2，3，4的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上（“A”看做是“1”）。 （1）从中随机抽出一张牌，牌面数字是偶数的概率是；（3分） （2）从中随机抽出两张牌，两张牌面数字的和是5的概率是；（3分）（3）先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树形图的方法求组成的 常见大题： 1. 全概率公式和贝叶斯公式问题 B 看做“结果”，有多个“原因或者条件 i A ”可以导致 B 这个“结果”发生，考虑结果B 发生的概率，或者求在B 发生的条件下，源于某个原因i A 的概率问题 全概率公式： ()()() 1B |n i i i P B P A P A ==∑ 贝叶斯公式： 1(|)()() ()()n i i i j j j P A B P A P B A P A P B A ==∑｜｜ 一（12分）今有四个口袋，它们是甲、乙、丙、丁，每个口袋中都装有a 只红球和b 只白球。先从甲口袋中任取一只球放入乙口袋，再从乙口袋中任取一只球放入丙口袋，然后再从丙口袋中任取一只球放入丁口袋，最后从丁口袋中任取一球，问取到红球的概率为多少？ 解 i B 表示从第i 个口袋放入第1+i 个口袋红球，4,3,2,1=i i A 表示从第i 个口袋中任取一个球为红球， 2分 则 b a a B P += )(1， 2分 )()()()()(1111111B A P B P B A P B P A P += 111++++++++= b a a b a b b a a b a a b a a += 2分 依次类推 2分 b a a A P i += )( 二（10分）袋中装有m 只正品硬币，n 只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽），在袋中任取一只，将它投掷r 次，已知每次都出现国徽，问这只硬币是次品的概率为多少？ 、解 记B ={取到次品}，B ={取到正品}，A ={将硬币投掷r 次每次都出现国徽} 则()(),n m P B P B m n m n = = ++，()1P A B =，()1 2r P A B =―—５分 ()()1()212()()()()12 r r r n P B P A B n m n P B A n m n m P B P A B P B P A B m n m n ?+===++?+?++ 三、（10分）一批产品共100件，其中有4件次品，其余皆为正品。现在每次从中任 取一件产品进行检验，检验后放回，连续检验3次，如果发现有次品，则认为这批产品不合格。在检验时，一件正品被误判为次品的概率为0.05，而一件次品被误判为正品的概率为0.01。（1）求任取一件产品被检验为正品的概率；（2）求这批产品被检验为合格品的概率。 解 设 A 表示“任取一件产品被检验为正品”， B 表示“任取一件产品是正品”，则 ()96100P B = ，()4 100 P B =，()|0.95P A B =，()|0.01P A B = （1）由全概率公式得 ()()()()()||0.9124P A P B P A B P B P A B =+= （2）这批产品被检验为合格品的概率为 ()3 3 0.91240.7596p P A ===???? 四、在电报通讯中不断发出信号‘0’和‘1’，统计资料表明，发出‘0’和‘1’的概 率分别为0.6和0.4，由于存在干扰，发出‘0’时，分别以概率0.7和0.1接收到‘0’和‘1’，以0.2的概率收为模糊信号‘x ’；发出‘1’时，分别以概率0.85和0.05收到‘1’和‘0’，以概率0.1收到模糊信号‘x ’。 （1）求收到模糊信号‘x ’的概率； （2）当收到模糊信号‘x ’时，以译成哪个信号为好？为什么？ 解 设i A =“发出信号i ”)1,0(=i ， i B =“收到信号i ”),1,0(x i =。由题意知 6.0)(0=A P ， 4.0)(1=A P ， 2.0)|(0=A B P x ， 1.0)|(1=A B P x 。 （1）由全概率公式得 ) ()|()()|()(1100A P A B P A P A B P B P x x x += 4分 16.04.01.06.02.0=?+?=。 2分 （2）由贝叶斯公式得 75.016 .06 .02.0)()()|()|(000=?== x x x B P A P A B P B A P ， 3分 25 .075.01)|(1)|(01=-=-=x x B A P B A P 3分 §8 主成分分析的应用 主成分分析的基本思想是通过构造原变量的适当的线性组合，以产生一系列互不相关的新变量，从中选出少数几个新变量并使它们尽可能多地包含原变量的信息（降维），从而使得用这几个新变量替代原变量分析问题成为可能。即在尽可能少丢失信息的前提下从所研究的m 个变量中求出几个新变量，它们能综合原有变量的信息，相互之间又尽可能不含重复信息，用这几个新变量进行统计分析（例如回归分析、判别分析、聚类分析等等）仍能达到我们的目的。 设有n 个样品，m 个变量（指标）的数据矩阵 (1)1112 1(2)21222()12m m n m n n n nm x x x x x x x x X x x x x ??? ?? ? ? ? ?== ? ? ? ? ????? 寻找k 个新变量12,,,()k y y y k m ≤ ，使得 1、1122,(1,2,,)l l l lm m y a x a x a x l k =+++= 2、12,,k y y y 彼此不相关 这便是主成分分析。主成分的系数向量12(,,,)l l l lm a a a a = 的分量lj a 刻划出第j 个变量关于第l 个主成分的重要性。 可以证明，若12(,,,)T m x x x x = 为m 维随机向量，它的协方差矩阵V 的m 个特征值为 120m λλλ≥≥≥≥ ，相应的标准正交化的特征向量为12,,,m u u u ，则 12(,,,)T m x x x x = 的第i 主成分为(1,2,,)T i i y u x i m == 。 称1 / m i j j λλ =∑为主成分(1,2,,)T i i y u x i m == 的贡献率， 1 1 /k m j j j j λλ ==∑∑为主成分 12,,k y y y 的累计贡献率，它表达了前k 个主成分中包含原变量12,,,m x x x 的信息量大 小，通常取k 使累计贡献率在85%以上即可。当然这不是一个绝对不变的标准，可以根据实 际效果作取舍，例如当后面几个主成分的贡献率较接近时，只选取其中一个就不公平了，若都选入又达不到简化变量的目的，那时常常将它们一同割舍。 计算步骤如下： 1、由已知的原始数据矩阵n m X ?计算样本均值向量12?(,,,)T m x x x x μ== ； 其中1 1(1,2,,)n i ij j x x i m n ===∑ 《概率与统计》的认识及教学建议 《概率与统计》的认识及教学建议 一、增加本章内容的背景与作用 在全日制普通高级中学《教学大纲》中，增加概率与统计的初步知识是高中数学教学内容改革的重要组成部分。 《高中数学课程标准》的框架设想中指出，中学的概率与统计的教学，是中国数学教学的弱点，现在正在大力弥补。由于概率、总体、样本等的概念很复杂，对高中学生来说难以严格地说清楚，所以新教材中采用描述方法来说明。由于概率统计知识与日常生活、自然知识、社会生产实践的联系紧密，而日常生活中许多事件的发生往往是随机发生的，这与中学数学中长期占统治地位的确定性数学研究的对象有很大的不同，但它在数学众多分支中别具一格，与众不同。教材中按排概率与统计的教学内容主要是培养学生的随机观念，弄清随机变量的取值规律是用概率和分布刻划的，会用随机观点处理随机现象，知道统计结果是概率地呈现的，可以有误差。这样可使学生感觉到确定性和随机性数学思维方法的本质区别。 高中概率与统计内容教学的线索应该是：提出问题、收集资料、整理资料、解释资料、研究资料特征，做出统计判断，要使学生经历这样的全过程。数据处理需要学生参与。数据处理和概率的教学，主要依靠编制事例，提出课题，进行实际问题的处理。 在本章的第二部分“统计”中，教材选择了数理统计中最基本的问题来介绍这门学科的思想和方法。 第一个问题，就是采集样本。有样本才能作统计推断。抽样方法就是介绍怎样科学、合理公正地采集样本，教材介绍了简单随机抽样是最基本的抽样方法。 第二个问题，就是从样本中分布估计总体的分布。教材首先介绍了总体分布的意义，并且实际例子介绍了用样本的频率分布估计总体分布。 第三个问题，就是假设检验。教材利用线性回归的内容，介绍了相关系数的假设检验，通过具体的操作方法，介绍了假设检验的基本思想。首先作出一个统计假设，在此假设下某些随机事件是否发生，从此来判断事先所作的统计假设：拒绝这个假设，还是接受这个假设。这种处理的方法，避免了对假设检验的理论上的论述，使学生更容易理解和掌握，降低了这部分内容的理论难度，这是教材体现大纲中所要求的数学教学内容应是在理论上、方法上、思想上是最基本的指导思想。教材还借此介绍了在实践和理论中均占有重要地位的呈正态分布的总体一些基本知识。并且教材中还介绍了变量间的相关关系的一种最简单的模型——一元相关系及其研究它们的回归分析的思想与方法，这是随机变量知识的进一步发展和应用，综合地体现了前几节知识的应用，从抽样获得数据，而这些数据都是带有一定随机性的变量，到概率地呈现回归直线，再对数据的线性进行假设检查，这是综合运用前面知识解决一个简单的实际问题，使学生初步体会统计知识的实用价值，并使学生的应用能力和动手能力得到锻炼。 二、本章结构、内容及课时安排 概率计算方法全攻略 概率计算方法全攻略 在新课标实施以来，中考数学试题中加大了 统计与概率部分的考查，体现了“学以致用”这一理念. 计算简单事件发生的概率是重点，现对概率计算方法阐述如下: 一.公式法 P(随机事件)=的结果数 随机事件所有可能出现果数随机事件可能出现的结.其中P(必然事件)=1,P （不可能事件）=0；0 解析：⑴设蓝球个数为x 个 . 由题意得2 1122=++x ∴x=1 答：蓝球有1个 （2）树状图 如下： ∴ 两次摸到都是白球的概率 =6 112 2=. 说明:解有关的概率问题首先弄清：①需要关注的是发生哪个或哪些结果. ②无论哪种都是机会均等的 . 本题是考查用树状图来求概率的方法,这种方法比较直观,把所有可能的结果都一一罗列出来,便于计算结果. 四.列表法 例4 (07山西)如图3，有四张编号为1，2，3，4的卡 片，卡片的背面完全相同．现将它们搅匀并正面朝下放置在桌面上． （1）从中随机抽取一张，抽到的卡片是眼睛的黄白2蓝白2白1蓝黄白1蓝黄白2 第十三章概率与统计本章知识结构图 统计 随机抽样 抽签法 随机数表法 简单随机抽样 系统抽样 分层抽样 共同特点：抽样 过程中每个个体 被抽到的可能性 （概率）相等用样本估计总体 样本频率分布 估计总体 总体密度曲线 频率分布表和频率分布直方图 茎叶图 样本数字特征 估计总体 众数、中位数、平均数 方差、标准差 变量间的相关关系 两个变量的 线性相关 散点图回归直线 正态分布 列联表（2×2）独立性分析 概率 概率的基本性质互斥事件对立事件 古典概型 几何概型 条件概率 事件的独立性 用随机模拟法求概率 常用的分布及 期望、方差 随机变量 两点分布 X～B(1，p) E(X)＝p，D(X)＝p(1－p) 二项分布 X～B(n，p) E(X)＝np，D(X)＝np(1－p) X～H(N，M，n) E(X)＝n M N D(X)＝ nM N? ? ? ? 1－ M N N－n N－1 n次独立重复试验恰好 发生k次的概率为 P n(k)＝C k n p k(1－p)n－k 超几何分布 若Y＝aX＋b，则 E(Y)＝aE(X)＋b D(Y)＝a2D(X) P(A＋B)＝P(A)＋P(B) P(?A)＝1－P(A) P(A B)＝P(A)·P(B) P(B | A)＝ P(A B) P(A) 第一节 概率及其计算 考纲解读 1.了解随机事件发生的不确定性、频率的稳定性、概率的意义、频率与概率的区别。 2.了解两个互斥事件的概率的加法公式。 3.掌握古典概型及其概率计算公式。 4.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率。 5.了解几何概型的意义。 命题趋势探究 1.本部分为高考必考内容，在选择题、填空题和解答题中都有渗透。 2.命题设置以两种概型的概率计算及运用互斥、对立事件的概率公式为核心内容，题型及分值稳定，难度中等或中等以下。 知识点精讲 一、必然事件、不可能事件、随机事件 在一定条件下： ①必然要发生的事件叫必然事件； ②一定不发生的事件叫不可能事件； ③可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。 二、概率 在相同条件下，做次重复实验，事件A 发生次，测得A 发生的频率为，当很大时，A 发生的频率总是在某个常数附近摆动，随着的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做A 的概率，记作。对于必然事件A ，；对于不可能事件A ，=0. 三、基本事件和基本事件空间 在一次实验中，不可能再分的事件称为基本事件，所有基本事件组成的集合称为基本事件空间。 四、两个基本概型的概率公式 1、古典概型 条件：1、基本事件空间含有限个基本事件 2、每个基本事件发生的可能性相同 ()(A) = ()A card P A card = Ω包含基本事件数基本事件总数 2、几何概型 条件：每个事件都可以看作某几何区域Ω的子集A ，A 的几何度量（长度、面积、体积或时间）记为 A μ. 第一章随机事件和概率 （1）排列组合公式 )! ( ! n m m P n m- =从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 )! (! ! n m n m C n m- =从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 （2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。 （3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个） 顺序问题 （4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。 （5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用ω来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示。 一个事件就是由Ω中的部分点（基本事件ω）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是Ω的子集。 Ω为必然事件，?为不可能事件。 不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。 （6）事件的关系与运算①关系： 如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：B A? 如果同时有B A?，A B?，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。 A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。 属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者B A，它表示A发生而B不发生的事件。 A、B同时发生：A B，或者AB。A B=?，则表示A与B不可能同时发生，称 事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 Ω-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。它表示A不发生的 高中数学统计与概率知识点（文） 第一部分:统计 一、什么是众数。 一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数。 众数的特点。 ①众数在一组数据中出现的次数最多；②众数反映了一组数据的集中趋势，当众数出现的次数越多，它就越能代表这组数据的整体状况，并且它能比较直观地了解到一组数据的大致情况。但是，当一组数据大小不同，差异又很大时，就很难判断众数的准确值了。此外，当一组数据的那个众数出现的次数不具明显优势时，用它来反映一组数据的典型水平是不大可靠的。 3.众数与平均数的区别。 众数表示一组数据中出现次数最多的那个数据；平均数是一组数据中表示平均每份的数量。 二、.中位数的概念。 一组数据按大小顺序排列，位于最中间的一个数据(当有偶数个数据时，为最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。 三 .众数、中位数及平均数的求法。 ①众数由所给数据可直接求出;②求中位数时，首先要先排序(从小到大或从大到小)，然后根据数据的个数，当数据为奇数个时，最中间的一个数就是中位数;当数据为偶数个时，最中间两个数的平均数就是中位数。③求平均数时，就用各数据的总和除以数据的个数，得数就是这组数据的平均数。 四、中位数与众数的特点。 ⑴中位数是一组数据中唯一的，可能是这组数据中的数据，也可能不是这组数据中的数据； ⑵求中位数时，先将数据有小到大顺序排列，若这组数据是奇数个，则中间的数据是中位数；若这组数据是偶数个时，则中间的两个数据的平均数是中位数； ⑶中位数的单位与数据的单位相同； ⑷众数考察的是一组数据中出现的频数； ⑸众数的大小只与这组数的个别数据有关，它一定是一组数据中的某个数据，其单位与数据的单位相同； （6）众数可能是一个或多个甚至没有； （7）平均数、众数和中位数都是描述一组数据集中趋势的量。 全：遗传概率的计算方法（高中生物） 概率是对某一可能发生事件的估计，是指总事件与特定事件的比例，其范围介于0和1之间。相关概率计算方法介绍如下： 一、某一事件出现的概率计算法 例题1：杂合子（Aa）自交，求自交后代某一个体是杂合体的概率。 解析：对此问题首先必须明确该个体是已知表现型还是未知表现型。（1）若该个体表现型为显性性状，它的基因型有两种可能：AA和Aa。且比例为1∶2，所以它为杂合子的概率为2/3。（2）若该个体为未知表现型，那么该个体基因型为AA、Aa和aa，且比例为1∶2∶1，因此它为杂合子的概率为1/2。正确答案：2/3或1/2 二、亲代的基因型在未肯定的情况下，其后代某一性状发生的概率计算法 例题2：一对夫妇均正常，且他们的双亲也都正常，但双方都有一白化病的兄弟，求他们婚后生白化病孩子的概率是多少？ 解析：（1）首先确定该夫妇的基因型及其概率？由前面例题1的分析可推知该夫妇均为Aa的概率为2/3，AA的概率为1/3。（2）假设该夫妇为Aa，后代患病的概率为1/4。（3）最后将该夫妇均为Aa的概率（2/3×2/3）与假设该夫妇均为Aa情况下生白化病患者的概率1/4相乘，其乘积1/9，即为该夫妇后代中出现白化病患者的概率。正确答案：1/9 三、利用不完全数学归纳法 例题3：自交系第一代基因型为Aa的玉米，自花传粉，逐代自交，到自交系第n代时，其杂合子的几率为。 解析：第一代 Aa 第二代 1AA 2Aa 1aa 杂合体几率为 1/2 第三代纯 1AA 2Aa 1aa 纯杂合体几率为（1/2）2 第n代杂合体几率为（1/2）n-1 正确答案：杂合体几率为（1/2）n-1 四、利用棋盘法 例题4：人类多指基因（T）是正常指（t）的显性，白化基因（a）是正常（A）的隐性，都在常染色体上，而且都是独立遗传。一个家庭中，父亲是多指，母亲正常，他们有一个白化病和正常指的的孩子，则生下一个孩子只患有一种病和患有两种病以及患病的概率分别是（） A.1/2、1/8、5/8 B.3/4、1/4、5/8 C.1/4、1/4、1/2 D.1/4，1/8，1/2 解析：据题意分析，先推导出双亲的基因型为TtAa（父），ttAa（母）。然后画棋盘如下： 概率计算方法 概率计算方法 在新课标实施以来，中考数学试题中加大了统计与概率部分的考查，体现了“学以致用”这一理念. 计算简单事件发生的概率是重点，现对概率计算方法阐述如下: 一.公式法 P(随机事件)=的结果数 随机事件所有可能出现果数 随机事件可能出现的结.其中P(必然事件)=1,P （不可能事件）=0；0 摸一个球，请用画树状图法，求两次摸到都是白球的概率. 解析：⑴设蓝球个数为x 个 . 由题意得2 1 1 22=++x ∴x=1 答：蓝球有1个 （2）树状图如下： ∴ 两次摸到都是白球的概率 =6 1 122=. 说明:解有关的概率问题首先弄清：①需要关注的是发生哪个或哪些结果.②无论哪种都是机会均等的. 本题是考查用树状图来求概率的方法,这种方法比较直观,把所有可能的结果都一一罗列出来,便于计算结果. 黄 白2白1蓝 黄白1蓝黄白2 四.列表法 例4 (07山西)如图3，有四张编号为1，2，3，4的卡片，卡片的背面完全相同．现将它们搅匀并正面朝下放置在桌面上． （1）从中随机抽取一 张，抽到的卡片是眼睛的概率是多少？ （2）从四张卡片中随机抽取一张贴在如图4所示的大头娃娃的左眼处，然后再随机抽取一张贴在大头娃娃的右眼处，用树状图或列表法求贴法正确的概率． 1 2 3 图 图3 §7 消费分布规律的分类 为研究辽宁、浙江、河南、甘肃、青海5省份在某年城镇居民生活消费的分布规律，需要用调查资料对这5个省分类.数据见下表： 其中，X 1：人均粮食支出； X 2：人均副食品支出； X 3：人均烟、酒、茶支出； X 4：人均其它副食品支出； X 5：人均衣着商品支出； X 6：人均日用品支出； X 7：人均燃料支出； X 8：人均非商品支出. 在科学研究、生产实践、社会生活中，经常会遇到分类的问题.例如，在考古学中，要将某些古生物化石进行科学的分类；在生物学中，要根据各生物体的综合特征进行分类；在经济学中，要考虑哪些经济指标反映的是同一种经济特征；在产品质量管理中，要根据各产品的某些重要指标而将其分为一等品，二等品等等. 这些问题可以用聚类分析方法来解决. 聚类分析的研究内容包括两个方面，一是对样品进行分类，称为Q 型聚类法，使用的统计量是样品间的距离；二是对变量进行分类，称为R 型聚类法，使用的统计量是变量间的相似系数. 设共有n 个样品，每个样品i x 有p 个变量，它们的观测值可以表示为 n i x x x x pi i i i ,,2,1),,,,(21 == 一、样品间的距离 下面介绍在聚类分析中常用的几种定义样品i x 与样品j x 间的距离. 1、 Minkowski 距离 m m p k kj ki j i x x x x d 11 ][),(∑=-= 2、绝对值距离 ∑=-=p k kj ki j i x x x x d 1),( 3、欧氏距离 21 21][),(∑=-=p k kj ki j i x x x x d 二、变量间的相似系数 相似系数越接近1，说明变量间的关联程度越好.常用的变量间的相似系数有 1、 夹角余弦 “统计与概率”的教学与复习策略 一、统计与概率的主要内容 包括数据的收集、整理、描述和分析，对简单随机现象的认识，对简单随机事件发生可能性的刻画，以及利用数据说理或做出决策等。 二、统计与概率的教学要求 初中阶段关于“统计与概率”的教学，主要是培养学生的统计观念，即：能从统计的角度思考与数据信息有关的问题；能通过收集数据、描述数据、分析数据的过程作出合理的决策；能对数据的来源、处理数据的方法、以及由此得到的结果进行合理的质疑。 三、统计与概率的知识点 （一）统计的知识点 1、总体、个体、样本 2、众数、中位数、平均数、加权平均数 3、极差、方差、标准差 4、频数、频率、统计图（扇形统计图、条形统计图、折线统计图、频数分布直方图、频数分布折线图） （二）统计的考查内容要求 1、从事收集、整理、描述和数据分析的活动，能用计算器处理较为复杂的统计数据。 2、通过丰富的实例，感受抽样的必要性，能指出总体、个体、样本，体会不同的抽样方法可能得到不同的结果。 3、会用扇形统计图表示数据。 4、在具体情境中理解并会计算加权平均数；根据具体问题，能选择合适的统计量表示数据的集中程度。 5、探索如何表示一组数据的离散程度；会计算极差和方差，并会用它们表示数据的离散程度。 6、通过实例理解频数、频率的概念，了解频数分布的意义和作用，会列频数分布表，画频数分布直方图和频数折线图，并能解决简单的实际问题。 7、通过实例体会用样本估计总体的思想，能用样本的平均数、方差来估计总体的平均数和方差。 8、根据统计结果作出合理的判断和预测，体会统计对决策的作用，能比较清晰地表达自己的观点，并进行交流。 9、认识到统计在社会生活及科学领域的应用，并能解决一些简单的实际问题 （三）概率的知识点 1、必然事件、不可能事件、随机事件 2、概率、会用列举法计算简单事件发生的概率。 （四）概率的考查内容要求 1、在具体情境中了解概率的意义，运用列举法（包括列表、画树形图）计算简单事件发生的概率。 2、通过实验获得事件发生的频率；知道大量重复实验时，频率可作为事件发生的概率的估计值。 3、通过实例进一步丰富对概率的认识，并能解决一些简单的实际问题。 四、近几年潍坊市“统计与概率”中考题回顾分析 （一）极差、平均数、中位数、众数、方差 8．(2007年)某校初三共有四个班，在一次英语测试中四个班的平均分与各班参加人数如下表： 则本校初三参加这次英语测试的所有学生的平均分为（）（保留3个有效数字） A．83.1 B．83.2 C．83.4 D．82.5 6．（2011年）某市2011年5月1日一10日十天的空气污染指数的数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物)： 61，75．70，56．81，91，92，91，75．81． 高中数学概率统计知识 点总结 标准化工作室编码[XX968T-XX89628-XJ668-XT689N] 高中数学概率统计知识点总结 一、抽样方法 1．简单随机抽样 2．简单随机抽样常用的方法：（1）抽签法；⑵随机数表法。 3．系统抽样：K （抽样距离）=N （总体规模）/n （样本规模） 4．分层抽样： 二、样本估计总体的方式 1、用样本的频率分布估计总体分布 （1）频率分布直方图的画法；（2）频率的算法；（3）频率分布折线图；（4）总体密度曲线；（5）茎叶图。 茎叶图又称“枝叶图”，它的思路是将数组中的数按位数进行比较，将数的大小基本不变或变化不大的位作为一个主干（茎），将变化大的位的数作为分枝（叶），列在主干的后面，这样就可以清楚地看到每个主干后面的几个数，每个数具体是多少。 2、用样本的数字特征估计总体的数字特征 （1）众数、中位数、平均数的算法；（2）标准差、方差公式。 3、样本均值：n x x x x n +++= 21 4、．样本标准差：n x x x x x x s s n 2 22212)()()(-++-+-== 三、两个变量的线性相关 1、正相关 2、负相关 正相关：自变量增加，因变量也同时增加（即单调递增） 负相关：自变量增长，因变量减少(即单调递减) 四、概率的基本概念 （1）必然事件（2）不可能事件（3）确定事件（4）随机事件 （5）频数与频率（6）频率与概率的区别与联系 必然事件和不可能事件统称为确定事件 1他们都是统计系统各元件发生的可能性大小； 2、频率一般是大概统计数据经验值，概率是系统固有的准确值； 3频率是近似值，概率是准确值 概率流程图的数学计算:瀑布算法、圆桌算法、混合算法 概率流程图的数学计算：瀑布算法、圆桌算法、混合算法解析 攻击判定流程研究：瀑布算法、圆桌算法、混合算法解析 攻击判定流程几乎是所有包含战斗玩法的游戏都无法绕过的一块内容，常见的攻击判定流程有瀑布算法、圆桌算法以及混合算法三种。本文简述了这三种判定流程的特征，以实例对比分析了瀑布算法与圆桌算法各自的优点，以期为后续其他战斗数值设计内容的论述提供一定的基础。 攻击判定流程概述 自此开始正文内容的叙述——让我们直接代入一个实例： 在一款游戏中，攻击方有命中率和暴击率两个攻击属性，而防守方有闪避率、招架率和格挡率三个防御属性。于是相应的，一次攻击有可能产生6种判定结果：未命中、普通命中、闪避、招架、格挡和暴击。当采用不同的判定流程进行攻击结算时，6种判定结果出现的频率会截然不同。 1. 瀑布算法 顾名思义，在瀑布算法中，各事件的判定顺序如同瀑布一般自上而下。如果“水流”在某个位置被截断，则后面的流程都将不再继续进行。据我所知，瀑布算法是大多数游戏所采用的攻击判定算法。 上述实例若采用瀑布算法，则会以如下方式进行判定： 瀑布算法流程图 由此我们可以得出： 先判定攻方是否命中再判定是否被守方闪避再判定是否被守方招架再判断是否被守方格挡最后判定该次攻击是否为暴击 瀑布算法特征1：多次掷骰，一次掷骰只判定单个事件的发生与否 瀑布算法特征2：后置判定依赖于前置判定的通过 注：有的游戏会将命中和闪避合并在一次掷骰中判定，这意味着将攻方命中率与守方闪避率合并计算出实际击中概率后再进行掷骰判定，仍是瀑布算法 我们再代入一些具体的数值，设攻守双方角色的面板属性如下： 攻方命中率=90% 攻方暴击率=25% 守方闪避率=20% 守方招架率=15% 守方格挡率=30% 按照上述的流程判定，6种判定结果将会按如下的概率分布： 实际未命中概率=1-命中率=1-90%=10% 实际闪避概率=命中率*闪避率=90%*20%=18% 实际招架概率=命中率*（1-闪避率）*招架率=90%*(1-20%）*15%=10.8% 实际格挡概率=命中率*（1-闪避率）*（1-招架率）*格挡率 =90%*(1-20%)*(1-15%)*30%=18.36% 实际暴击概率=命中率*（1-闪避率）*（1-招架率）*（1-格挡率）*暴击率 =90%*(1-20%)*(1-15%)*(1-30%)*25%=10.71% 实际普通命中概率=命中率*（1-闪避率）*（1-招架率）*（1-格挡率）*（1-暴击率）=90%*(1-20%)*(1-15%)*(1-30%)*(1-25%)=32.13% 瀑布算法的判定结果分布 由此我们可以得出： l 瀑布算法特征3：各事件出现的概率符合经典的概率计算方法 l 瀑布算法特征4：掷骰轮次越偏后的属性衰减程度越大，但不会出现无效的属性 2.圆桌算法 将所有可能出现的事件集合抽象成一个圆桌桌面，便是圆桌算法这一称呼的由来。圆桌算法的实质，是将所有可能发生的事件状态按优先级依次放上桌面，直至所有事件被放完或 第一章 算法 统计 概率 一、填空题 1、为了抽查某城市汽车尾气排放执行情况，在该城市的主干道上采取抽取车牌末位数字为8 的汽车检查，这种抽样方式是 2、利用简单随机抽样的方法，从n 个个体(n >13)中抽取13个个体，若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为 3 1 ，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为 3、条件语句表达的算法结构为 4、如下是一个程序操作流程图： 按照这个工序流程图，致废品产生。 5现用直径等于2cm 公共点的概率为 6、如右流程图中，若输入a ,b 的值为 7、已知x 、y 之间的一组数据如下： 则线性回归方程bx a y +=? 8、已知一组数1，2，3，4，a 的方差为9、对于一元n 次多项式，)(x a x f n n =一次式的反复计算，用秦九韶算法求011 1)(a x a x a x a x f n n n n +++=-- ，当0x x =时的值可以减少运算次数， 做加法和乘法的次数分别为 10、从5张800元、3张600元、2张400元的奥运会门票中任取2张，则所取门票价格相同的概率为 11、在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1671人，经过计算63.272=χ，根据这一 数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是 （填“有关”“无关”）。 12、满足方程组),,(79,17, 35N z y x z m y m x m ∈?? ? ??+=+=+=的最小正整数m= 13、在光明中学举行的电脑知识竞赛中，将九年级的两个班的学生成绩（得分均为整数）进行整理后分成五组，绘制出如下的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五的频率分别为0.30，0.15，0.10，0.05，第二小组的频数是40，则这两个班参赛的学生人数为 ，这两个班参赛学生的平均成绩大约为 。 14、设有关于x 的一元二次方程x 2+2ax +b 2=0，若a 是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b 是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实数根的概率为 ；若a 是从区间[0,3]内任取的一个数，b 是从区间 [0,2]内任取的一个数，则上述方程有实根的概率为 二、解答题 15、箱子中装有6张卡片，分别写有1到6这6个整数. 从箱子中任意取出一张卡片，记下它的读数x ，然后放回箱子，第二次再从箱子中取出一张卡片，记下它的读数y ，试求： （Ⅰ）x y +是5的倍数的概率；（Ⅱ）x y ?是3的倍数的概率；（Ⅲ）,x y 中至少有一个5或6的概率。 16、下表为某体育训练队跳高成绩的分布，共有队员40人，成绩分为1～5五个档次，例如表中所示跳高成绩为4分，跳远成绩为2分的队员为5人。将全部队员的姓名卡混合在一起，任取一张，该卡片队员的跳高成绩为x ，跳远成绩为y ，设x ，y 为随即变量（注：没有相同姓名的队员）（1）求4x =的概率及3x ≥且5y =的概率；（2）求m n +的值；若y 的数学期望为105 40 ，求m ，n 的值. 算法、统计和概率知识点汇总 1.在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤. 2.程序框图又称流程图 ，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形. 3.算法的基本逻辑结构是顺序结构、条件结构和循环结构. 4.当型循环结构：当给定的条件成立时，执行循环体，执行完毕后，再判断条件是否成立，如果仍然成立，再执行循环体，直到条件不成立时离开循环结构. 5.直到型循环结构：先执行一次循环体，然后判断给定的条件是否成立，如果不成立，则继续执行循环体，直到给定的条件成立时离开循环结构. 6.当型循环程序和直到型循环程序 7．输入语句的一般形式： INPUT “提示内容”；变量；其中 “提示内容”可省略. 提示内容 与变量之间用分号“；”隔开，若输入多个变量，变量与变量之间用逗号“，”隔开. 8.输出语句的一般形式： PRINT “提示内容”；表达式；其中 “提示内容”可省略. 9.赋值语句的一般形式： 变量＝表达式. 赋值号左边只能是变量. 在表达式中x a a c b a x ,,),(,33+÷应分别写成： 另11,,1,,\or a aMODb b a ->=分别表示： 10.辗转相除法（至整除为止）和更相减损术（至被减数与差相等为止）. 11.1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++L =(...( a n x+a n-1)x+a n-2)x+...+a 1)x+a 0 用秦九韶算法求一个n 次多项式当0x x =时的值时，令0n v a =， 反复执行的公式是10(1,2,,) k k n k v v x a k n --=+=L .最多做n 次乘法和n 次加法。 12.进位制概念：进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值.可使用数字符号的个数称为基数.基数为n 则称n 进位制，简称n 进制.现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0-9进行记数。对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示。比如：十进数57，可以用二进制表示为111001，也可以用八进制表示为71、用十六进制表示为39，它们所代表的数值都是一样的. 而表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如111001(2)表示二进制数,34(5)表示5进制数. ()0111011a k a k a k a a a a a n n n n k n n +?++?+?=---ΛΛ 化十进制为k 进制用除k 取余法. 13.质数（素数）、二分法. 14.随机抽样主要有简单随机抽样、系统抽样、分层抽样。其中最常用的简单随机抽样有两种：抽签法、随机数法；随机数法可采用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样. 15.一般地,设一个总体有N 个个体, 从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本（n ≤N ）, 如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等, 则这种抽样方法叫做简单随机抽样. 16.系统抽样的步骤：①编号；②均匀分段（确定分段间隔）；③ 确定起始个体编号l ；④按事先约定的规则抽取样本. 17.分层抽样的步骤：①分层；②按比例确定各层抽取的个体的个数；③各层抽样（方法可以不同）；④汇合成样本. 18.频率分布直方图中纵轴的意义：组距 频率，小长方形的面积表示什么？ 19.极差、组距、组数、频数、频率、频率分布折线图、总体密度曲线、茎叶图. 20.在频率分布直方图中如何求众数、中位数和平均数？标准差和方差如何计算？ 21.相关关系是一种不确定关系，而函数关系是一种确定关系. 22.相关系数：[]75.0,1--∈r 称负相关很强； []1,75.0∈r 称正相关很强； []25.0,25.0-∈r 称相关性较弱；()()75.0,30.030.0,75.0?--∈r 称相关性一般. 23.线性回归直线a x b y ???+=过定点 ()y x ,.()y x ,叫做样本点的中心.截距a ?和斜率b ?是使 ()()21,αββα--=∑=i i n i x y Q 取最小值时βα、的值. WHILE 条件 THEN 循环体 WEND DO 循环体 LOOP UNTIL 条件统计概率经典例题(含(答案)和解析)
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n Pm ?
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（1）排列 组合公式
n Cm ?
m! (m ? n)!
从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。
m! 从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。 n!(m ? n)!
（2）加法 和乘法原 理
加法原理（两种方法均能完成此事） ：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方法可由 n 种 方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事） ：m×n 某件事由两个步骤来完成， 第一个步骤可由 m 种方法完成， 第二个步骤可由 n 种 方法来完成，则这件事可由 m×n 种方法来完成。 重复排列和非重复排列（有序） 对立事件（至少有一个） 顺序问题 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但 在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。 试验的可能结果称为随机事件。 在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如 下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 ? 来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 ? 表示。 一个事件就是由 ? 中的部分点（基本事件 ? ）组成的集合。通常用大写字母 A， B，C，…表示事件，它们是 ? 的子集。 ? 为必然事件，? 为不可能事件。 不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理， 必然事件（Ω ）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。 ①关系： 如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分， （A 发生必有事件 B 发生） ：
（3）一些 常见排列 （4）随机 试验和随 机事件
（5）基本 事件、样本 空间和事 件
（6）事件 的关系与 运算
A? B
如果同时有 A ? B ， B ? A ，则称事件 A 与事件 B 等价，或称 A 等于 B：A=B。 A、B 中至少有一个发生的事件：A ? B，或者 A+B。 属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件，称为 A 与 B 的差，记为 A-B，也可表 示为 A-AB 或者 A B ，它表示 A 发生而 B 不发生的事件。
1 / 33算法统计概率
算法统计和概率知识点汇总