上海交通大学 2011-2期末 高数试卷(a类)
15.计算曲面积分 x 2 dydz y 2 dzdx z 3dxdy ，其中 为圆锥面 : z x 2 y 2
（ 0 z 1 ）的下侧。 六、 （第 16 题 8 分，第 17 题 10 分，共 18 分） 注：下列 16(A)、16(B)二题中任选 1 题，且只能选 1 题，2 题都做不得分。 1 n ( 1) cos( ) n ( x 2)n 的收敛域。 16. (A) 求幂级数 n n 1 16. (B) 求函数项级数 17. (1) 证明函数 f ( x )
2011 级高等数学第二学期期末试卷（A 类）
一、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分） 1. 设函数 f ( x, y) 可微，且存在唯一驻点 M 0 ( x0 , y0 ) ，则 （A） M 0 一定是 f ( x, y) 的极值点； （ ）
（B） M 0 一定是 f ( x, y) 的最值点； （ ）
（ （C） 1 ； （D） 1。 （
）
1 4. 设级数 an 条件收敛，则幂级数 (an ) x n 的收敛半径 R 为： n n 1 n 1
）
（A） R 1 ； （B） R 1 ； （C） R 1 ； （D） R 无法确定。 5. 下列命题中，正确的命题个数为： （ u u (1)设正项级数 un 收敛，且 lim n 1 存在，则 lim n 1 1 ； n u n u n 1 n n (2)设 f ( x) x sin x ，则 (1)n f (
D
7. 椭球面 S : x 2 y z k（常数 k 0 ） 外侧的一组法向量为：
2 2 2
。
8. 微分方程 (2 x
y x )dx dy 0 的通解为：__________________。 2 2 1 x y 1 x2 y 2
9. 设 为球面: x 2 y 2 z 2 1 ,则第一类曲面积分 x(4 x z )dS __________。 10.设 f ( x) x12e3 x ,则 f (2012) (0) _____________(答案中用阶乘数 “ k !” 表示） 。
四、 （每小题 8 分，共 16 分） 12.计算重积分 (2 x 2 z 2 )dV ，其中区域 在球面 x 2 y 2 z 2 1 内，及圆锥面
z x 2 y 2 下，即 {( x, y, z) | z x 2 y 2 , x 2 y 2 z 2 1} 。 11.设 F (u, v) 具有连续的偏导数，且 Fu (1, 2) Fv (1, 2) 0 。若 z z ( x, y) 是由方程
F ( x 2 y, x 2 yz ) 0 确定的隐函数，满足 z (1,1) 2 ，求梯度 grad z |( 1,1) 。
x n (1 x ) 的收敛域。 2 n 1 ) n 1 n (1 x
2x 的麦克劳林级数展开式为； (1 x 2 )2
n 1
f ( x ) ( 1)n 1 2nx 2 n 1 , x ( 1,1) ；
1 2 3 4 （2）求级数 2 3 4 ... 的和。 4 4 4 4 七、 （本题 10 分） 注：下列 18(A)、18(B)二题中任选 1 题，且只能选 1 题，2 题都做不得分。 u 1 n 18.(A) 已知 u0 x0 1 ， n ， xn xn 1 un ， n 1, 2,... ， un 1 2 n 2
n 1
）
) 绝对收敛； n (3)如果 f ( x) 在区间 (a, b) 内有任意阶导数，则对 x, x0 (a, b) 有：
f ( x)
1
（A）0 ；
（B）1；
f ( n ) ( x0 ) ( x x0 )n 。 n! n 0 （C）2； （D）3。
二、填空题（每小题 3 分，共 15 分) 6. 设区域 D 由闭曲线 | x | | y | 1 围成，则 ( x y )3 dxdy _______________
13.计算曲线积分 ( x y )ds ，其中 C 是星形线：
2 2 C
2 x3
2 y3
1。
五、 （第 14 题 8 分，第 15 题 10 分，共 18 分） 14.计算曲线积分
L
xydx ( y 2 x)dy ，其中 L 为圆 x 2 y 2 1 ，方向顺时针。 2 2 x y 1
(1) 证明： lim xn 存在；
n
(2) 求 lim xn 。
n
18.(B) 证明函数项级数 x n
n 1
ln x 1 1 | ln ln | x
在区间 (0,1) 内一致收敛。
2
（C） M 0 一定不是 f ( x, y) 的最值点； （D）以上结论（A,B,C）都不对。 2. 设三重积分 xyz 2 e xyz dV I1 ， xyz 2 e xyz dV I 2 则
0 x 1 0 y 1 0 z 1 0 x 1 0 y 1 1 z 0
（A） I1 I 2 ； （C） I1 I 2 ；
（B） I1 I 2 ； （D）以上结论（A,B,C）都不对。
L
3. 若对 R 2 上的任何逐段光滑闭曲线 L ,都有 ( ye xy xy) dx ( xexy x2 ) dy 0 , 则有
1 1 （A） ； （B） ； 2 2
上海交大高等数学高数(上)期末试卷分析与解答
(C) f ( x) 在点 x0 取极大值；
(D) f ( x) 在点 x0 某邻域单调增加。
【分析】典型题型 表面上条件稍复杂，但容易先推出二阶导数的
情况，从而得到结论
【解】由 f ′′′( x0 ) = 0 , f (4)( x0 ) > 0 导出 f ′′( x) 在 x0 取得最小值，在
x0 的邻域 f ′′( x) ≥ 0 ⇒ f ′( x) 单调增加，在 x0 左负右正，从而 f ( x) 在 x0 取极小值，故选 A。
【解】对变上限积分求导前，需要把积分号内的 x 移到积分号外
或者变换到积分限
f (x) = xli→m0 α xβ
xl= i→m0 x∫ 0sinαx sxinβ(t 2 )dt
lim
x→0
∫
sin x sin(t 2
0
α xβ −1
)dt
sin(sin2 x)cos x
x2
= xli→m= 0 α (β − 1)xβ −2 xl= i→m0 α (β − 1)xβ −2 1
(B) I1 < I3 < I2 ；
(C) I2 < I1 < I3 ；
(D) I3 < I1 < I2 。
【分析】基本题型 虽然几个积分形式似乎不是很简单，当利用
对称性后就十分容易比较了
π
π
【解】= I1 = 0 ， I2 ∫−2π cos4 x dx > 0 ， I3 = −∫−2π cos4 xdx < 0 ，
【分析】基本题型 利用乘法求导法则，注意其中的多项式是含有 因子 x，解此题的方法很多 【解】改= 写 f ( x) x[e2012x ( x + 1)( x + 2) ⋅ ⋅ ⋅ ( x + 2012)] ，于是 = f ′(0) [e2012x ( x + 1) ⋅ ⋅ ⋅ ( x + 2012) + x[= **]′ |x=0 2012!
上海交通大学第一学期高数a类期末考试题及答案解析
上海交通大学第一学期高数a类期末考试题及答案解析一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 已知 x=0 是 f\left( x \right) =\frac{x+b\ln\left( 1+x \right)}{ax-\sin x} 的可去间断点，则 a,b 的取值范围是（）解：2. 下列反常积分中，收敛的是（）解：3. 设函数 f(x) 在区间 [-a,a] 上二阶可导，且 f\left( x \right) >0,f'\left( x \right) >0,f''\left( x \right) <0 ，下列函数中，在区间 [-a,a] 上恒正、单调递减且为下凸函数的是（）解：4. 积分 \int_0^{\pi}{|\sin \left( 4x+1 \right)|\mathrm{d}x}= （）解：5. 设函数 f(x) 在 R 上连续， g\left( x \right)=\int_0^{x^2}{\mathrm{e}^{-t^2}\mathrm{d}t} .对于两个命题：①若 f(x) 为偶函数，则 F\left( x \right)=\int_0^x{f\left( t \right) g\left( t \right)\mathrm{d}t} 为奇函数；②若 f(x) 为单调递增函数，则 G\left( x \right)=\int_0^x{\left( f\left( x \right) -f\left( t \right) \right) g\left( t \right) \mathrm{d}t} 存在极小值.下列选项正确的是（）解：二、填空题（每小题3分，共15分）6. 设 f\left( x \right) =x\mathrm{e}^x, 则曲线 y=f(x) 的拐点是_____________.解：7. 直线 L_1:\frac{x-1}{-1}=\frac{y}{-4}=\frac{z+3}{1} 和 L_2:\frac{x}{2}=\frac{y+2}{-2}=\frac{z}{-1} 的夹角为_____________.解：8. 设函数 f\left( x \right) =\mathrm{arctan} x ，常数a>0 ，若 f\left( a \right) -f\left( 0 \right)=f'\left( \xi \right) a\,\,, 则 \underset{a\rightarrow 0^+}{\lim}\frac{\xi ^2}{a^2}= _____________.解：9. 极坐标曲线 r=2cos3\theta 上对应于\theta=\frac{5}{6}\pi 的点处的切线方程为_____________.解：10. 一阶常微分方程 y'\left( x \right) =\frac{y}{x+y^2} 的通解为_____________.解：视为关于 x 的一阶线性微分方程，然后利用公式直接求解即可：\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=\frac{x}{y}+y\Rightarr ow x=y^2+Cy三、（本大题共8分）11. 设 y=y(x) 是由方程 y^3-2x\int_0^y{\sin^2t\mathrm{d}t=x+\pi ^3} 所确定的可导函数，求\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\mid_{x=0}^{} .解：。
2011-2012(2)期末考试试卷(A)(高等数学)
u(x,
y)
，
f
,
可导，且
(u)
1，
g
连续，
y
证明： g( y)
z x
g(x)
z y
0
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1. xoy 平面上的曲线 x y 2 1 绕 x 轴旋转一周所得旋转曲面方程为____ 。
2.
若
1
dx
1
xf
(
y)dy
1,
则
1 f (1 x)dx
0
0
0
。
3. 曲面 z e z 2xy 3 在点(1,2,0) 处的一个法线向量与oy 轴正向的夹角成钝角，则它与ox 轴正 向夹角的余弦cos ______。
。 。
二、解答下列各题(每小题 8 分,，总计 80 分)
1.
求过两直线 பைடு நூலகம்1
:
x2
y 2
z 1 1
与
l
2
:
x 1 2
y 0
z
2 1
的平面方程，并求两直线的夹角。
2.
设u
f (x 2 , xy, x
y) ，
f
具有连续的二阶偏导，求
u x
,
2u xy
。
3.
求曲线
2
x2 3x 2
3y2 y
z 2
9. 求 y 2 y 3y (2x 1)e x 的通解。
10. 设 f (x) 可导，且 f ( ) 1 ，又 y(sin x f (x)) dx f (x)dy 在右半平面与路径无关，求 f (x) 。
L
x
三 证明题（本题 8 分）
设 z f (u),由u (u)
高等数学考试试卷四套【上海交通大学】
（C） a 9 ， b 12 ；
（D） a 9 ， b 12 。
2. 设 x 0 时， ln cos x axk ，则常数 a 和 k 的值分别为
（）
（A） a 1 ， k 2 ； 2
（B） a 1 ， k 2； 2
（C） a 1 ， k 1； 2
（D） a 1 ， k 1。 2
11.
用极限定义证明：
lim
x1
2
arctan 1 x2
x
。
12.
求
lim
xln
ln ln
x1 x1
。
x0
13. 求 lim x0
1 x2 sin2 x tan2 x 。
x2 ln2 1 x
四、（每小题 8 分，共 16 分）
14. 已知 f x
e
x
,
1 2
x2
1
，求证：
（1）当 x 1,0 时， ex 1 x2 1 ；
2
（2）若函数 g x 在 R 上可导，且 g x f x ，则 g 0 1。
2
上海交通大学《高等数学》考试试卷 二
一、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分） 1. 当 x 0 时，与 x 等价的无穷小量是
[
x ] 是取整函数），
g
x
x, 0,
x 1， x 1
则方程 g( f (x)) 0 的解集为：___________________。
7. lim( 1 1 1 1 )
。
n n2 1 n2 2 n2 3
D_2011-2012-高一下期末-交大附中
B
） A、充分非必要条件 C、充要条件 B、必要非充分条件 D、既非充分也非必要条件。
16、若函数 f ( x) sin(x ) ( 0, | | 如图所 示，则有（ A、 1 C、
1 2
2
y
)的部分图象
5
4
3
2
1
1
C
）
-2
3
B、 1 D、
解：（ 1） a1 2 ，
b1 a1
21（本大题 10 分）已知函数 f ( x) 3 sin( 2 x ) 2 sin 2 ( x ) 6 12 （1）求函数 f ( x) 的最小正周期； （2）求使函数 f ( x) 取得最大值的 x 集合。 解: (1) f ( x) 3 sin( 2 x ) 2 sin 2 ( x ) 6 12
1 1 5 2 ， 2 2 2 1 又 an 1 3an 1 ， bn an ， 2 1 1 1 bn 1 an 1 3an 1 3(an ) 3bn ， 2 2 2 5 所以，数列 {bn } 是一个以 为首项，3 为公比的等比数列。 2 --------- 6 分 5 1 1 5 （ 2）由（ 1）得 bn 3n 1 ， 由 bn an ，得 an 3n 1 ， 2 2 2 2 5 n 1 1 an 3 （ n N* ） 。 2 2 --------- 10 分
三．解答题： （ 10 分 +10 分 +10 分 +12 分） 19、 （本大题 10 分）在△ABC 中，a，b，c 分别是三个内角 A，B，C 的对边， 若 a=2， C ， cos 20、 （本大题 10 分）
高数上海交大试卷
《高等数学》第二学期期末考试参考标准一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 设xoy 平面上区域(){}22,|1,D x y xy y x =+≤≥，1D 是D 在第一象限的部分，则32(sin sin )Dxy x y dxdy +⎰⎰等于 （ ）（A ）122sin sin D x ydxdy ⎰⎰； （B ）132D xy dxdy ⎰⎰；（C ）1324(sin sin )D xy x y dxdy +⎰⎰； （D ）0.解 32(sin sin )Dxy x y dxdy +⎰⎰32sin sin DDxy dxdy x ydxdy =+⎰⎰⎰⎰122sin sin D x ydxdy =⎰⎰答案：A 2. 设(){}222,,|1x y z xy z Ω=++≤，则三重积分xe dv Ω=⎰⎰⎰ （ ）（A ）2π； （B ）π； （C ）32π； （D ）2π. 解1 43xe dv dv πΩΩ>=⎰⎰⎰⎰⎰⎰，排除答案A 、B ；猜：C 或D||:1 2.718x e →，34/ 1.12523ππ=，42/ 1.53ππ= 答案：D解2 222111x xy z x e dv dxe dydz -Ω+≤-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰121(1)xe x dx π-=-⎰1202(1)x e x dx π=-⎰ 1024x xe dx ππ=-+⎰ 244(1)2e e ππππ=-+--=答案：D解3 xze dv e dv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰21cos 2000sin d d ed ππρϕθϕρϕρ=⎰⎰⎰1cos 2002sin d ed πρϕπϕρϕρ=⎰⎰1cos 2cos 220022[sin sin ]d e d e d ππρϕρϕππρρϕϕρϕϕ-=+⎰⎰⎰1cos cos 20022[||]d e e πϕρϕρϕϕπϕπϕπρρρ=-====-+⎰104(1)2e d ρπρρπ=-=⎰答案：D3. 设F yi zj xk =++,则 rot F = （ ）（A ）i j k ++； （B ）()i j k -++； （C ）i j k -+； （D ）i j k -+-.解 (1,1,1)ij k rot F x y z yzx∂∂∂==---∂∂∂ 答案：B 4. 幂级数211nn x n ∞=-∑在收敛域[1,1)-上的和函数()s x = （ ）（A ）ln(1)x -； （B ）ln(1)x --； （C ）ln(1)x x--； （D ）ln(1)x x --. 解 12022211()11xn n n n n n x x x x x dx n n ∞∞∞--=====--∑∑∑⎰01()ln(1)1xx dx x x x==---⎰ 答案：D5. 设函数1,02()45,2x f x x x ππππ⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩展开成正弦级数，其和函数1()sin n n s x b nx ∞==∑，则9()2s π-= （ ） （A ）1-； （B ）2-； （C ）1； （D ）2. 解 913()()()22222s s s πππ+-=-=-=-=- 答案：B二、填空题（每小题3分，共15分）6. 设uz =+则()div grad u = . 解 ()div grad u div =x yx y=++++22==7. 设()f x 是连续函数，2222222()()x y z t F t f x y z dv ++≤=++⎰⎰⎰，()F t '= .解 220()22()tF t f d πρρρ=⋅⋅⎰，()F t '=()224t f t π8. 设C 为曲线cos ,sin ,t t t x e t y e t z e ===上对应于t 从0变到2的这段弧，则曲线积分2221Cds x y z=++⎰. 解=⎰该积分==⎰)21e --9. 全微分方程(1)()0y x y dx e x dy +-++=的通解为 . 解1 (1)()0y x y dx e x dy +-++=⇒ (1)()0y x dx ydx xdy e dy -+++=⇒ 2(1)()()()02y x d d xy d e -++=⇒ 通解：2(1)2y x xy e C -++=解2 (,)(0,0)(1)()x y y u x y dx e x dy =+-++⎰00(1)()xyy x dx e x dy =-++⎰⎰2(1)12y x xy e -=++-⇒ 通解：2(1)12y x xy e C -++-=10.级数n ∞=∑的敛散性为 .解112n nu u +===，收敛三、计算下列各题（第1小题6分，第2小题8分, 共14分）11. 设z 是方程zx y z e +-=所确定的,x y 的隐函数，求2zx y∂∂∂.解1111z z z x e e ∂=-=∂--+， 1111z z z y e e∂=-=∂--+ 2223(1)1()1(1)(1)(1)z z z y y y z z z z e e z z e x y e e e e '+∂'==-=-=-∂∂++++12. 计算曲面22z y x =-夹在圆柱面221x y +=和229x y +=之间部分的面积.解=I 2219x y ≤+≤=⎰⎰2301d πθ=⎰⎰3232112(14)|12r π=⋅+3322(375)6π=-四、计算下列各题（每小题10分，共30分）13. 计算曲线积分sin 1()()2y Cx e dy y dx +--⎰，其中C 是位于第一象限中的直线1x y +=与位于第二象限中的圆弧221x y +=构成的曲线，方向从A (1,0)经过B (0,1)，再到C (1,0)-.解 L ：0y =，方向从(1,0)-到(1,0)， 并记C L +所围区域为D ，则所求曲线积分 C LLI +=-⎰⎰11122Ddxdy dx -=-⎰⎰⎰1122ππ=+-=14. 试求参数λ，使当曲线C 落在区域(){},|0D x y y =>时，曲线积分222222()()Cx x x y dx x y dy y y λλ+-+⎰ 与路径无关，并求2(,)22222(0,1)(,)()().x y x x u x y x y dx x y dy y yλλ=+-+⎰解 记()22x P x y yλ=+，()2222x Q x y yλ=-+，则()()12222222xy x y x x y P yyλλλ-+-+∂=∂()()122322222x x y x xyQxyλλλ-+++∂=-∂P Qy x∂∂=⇒∂∂ 22232()20xy x x y x λλ+++=12λ⇒=-解1 ()u u y x ϕ∂=⇒=+∂2u y ∂=∂ 及 ()0,101u u =⇒=- 解2 2(,)(0,1)(,)x y u x y =-⎰100yxdy =+⎰⎰1=15. 求22xzdydz yzdzdx z dxdy ∑+-⎰⎰，其中∑为z =与z =所围立体表面的外侧.解 记∑所围立体为Ω，则22xzdydz yzdzdx z dxdy zdxdydz ∑Ω+-=⎰⎰⎰⎰⎰222222228x y z x y z zdzdxdy dxdy +≤+≤-=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰22202(8)8z z dz z dz πππ=⋅+⋅-=⎰⎰五、（本题10分） 16. 将函数243()232x f x x x -=--展开为1x -的幂级数. 解 4321()(21)(2)212x f x x x x x -==++-+- 212(1)3(1)1x x =+-+-- 2112(1)31(1)13x x =⋅----+ 0022(1)(1)33nnn n n x x ∞∞==⎛⎫=---- ⎪⎝⎭∑∑ ()()1021113n n nn x +∞=⎡⎤⎛⎫=---⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑，02x <<六、（本题8分）17. 设()2(1)()(1)!nnn f x x n ∞=-=-∑，求()0(1)n n f ∞=∑.解 ()()()()011!nn n f f x x n ∞==-∑()()()11!kk fk -=，()0,1,2,k =()()101(1)!kn n k f e k ∞∞-==-==∑∑七、（本题8分）18. 设()f x 在(1,1)-内具有三阶连续导数，且(0)0f '''≠，证明：级数111{[()()]2(0)}n n f f f n n∞='---∑绝对收敛.证明 ()()()202'0lim x f x f x f x x→---()()()32'0limx f x f x xf x →---=()()()22'0lim3x f x f x f x →''+--=()()lim6x f x f x x →''''--=()()()0'''0lim063x f x f x f →''''''+-==>()()112'0'''0lim 03n n f f f f n n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦→=>故由级数201k n∞=∑收敛，可知级数111{[()()]2(0)}n n f f f n n ∞='---∑绝对收敛.。
11-高数期末(1)试题答案
Dxz={(x,z)|0≤z≤H,-R≤x≤R}. 于是有
1
x2
dS y2 z2
1 Dxz R 2 z 2
1
(x)2 R2 x2
dxdz
H dz 0 R2 z2
R R
R dx
R2 x2
[1 R
arctan
z R
]0H
[R arcsin
x R
0
h
r
3 dr
2
h2 4
2
h
2
12. 设一个密度均匀的半球体占有空间区域 : x2 y2 z2 R2 , z 0, 试求该半球体质心的坐标.
解：因为密度均匀，故该半球体对 z 轴对称，可知质心在 z 轴上，故有 x y 0 ， 所以只要计算 z .
运用球面坐标有
M(2,-1,-1)；直线
l
的对称式方程为
x 0
y 1
z 1
，
知方向向量 s=(0,-1,-1)，故平面
方程：y-z=0，从而平面
与该球面的交线为
( y
x z
2)
2
0
(
y
1)
2
(z 1)2
6
，
于是该交线向 xOy 面的投影柱面为
(x-2)2+2(y+1)2=6，从而投影曲线为
f
(x
1) x
f
y(x
1 )(x x
1) x
f
2xf
y(x2
2011-2012学年第一学期高等数学A试卷(A卷)答案
一、单选题(每小题3分，共15分)(要求把答案填在答题纸上)
1．设 ，则当 时，有（B）
（A） 与 是等价无穷小；（B） 与 同阶但非是等价无穷小；
（C） 是比 高阶的无穷小；（D） 是比 低阶的无穷小.
2.函数 在 可导，且 ，则 （D）
（A） ；（B）2；（C） ；（D）－2.
3. 是曲线 有拐点 的（D）
（A）充分而非必要条件；（B）必要而非充分条件；
（C）充分必要条件；（D）既非充分又非必要.
4.设 ，则 （C）
（A） ；（B） ；
（C） ；（D） .
5． 等于(B)
（A） ；（B） ；（C） ；（D） .
二、填空(每小题3分，共15分)(要求把答案填在答题纸上)
故所求面积为
……………8分
四、（共14分）求函数 的定义域，单调区间，极值，凹凸性，拐点，渐近线，并画出草图.
解：（1）定义域：
由于 是偶函数，它的图形关于 轴对称，因此可以只讨论 上该函数的图形------------------------------------(2分)
（2） ，得水平渐近线 ，-------------(3分)
（3） ，由 得 -------------(5分)
，由 得 -------------(7分)
（4）列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:
0
0
－
－
-
-
-
0
+
极大
拐点
所以，函数的单调递增区间为 ,单调递减区间为 ；
极大值为 ；
凹区间为 ， ；凸区间为 ；
2011学年第二学期高三数学区期末统测试卷理科答案
即 AB 2 OM 成立 ②当切线 l 的斜率不存在时， A( 2, 2), B ( 2, 2)或A( 2, 2), B ( 2, 2) 此时 AB 2 2, OM
2 ，即 AB 2 OM 成立-------------------10 分
（3）由条件可知：两条渐近线分别为 l1 : 2 x y 0; l2 : 2 x y 0 -------------------11 分 设双曲线 C 上的点 P ( x0 , y0 ) ，
因为平面 CDE 平面 CD1O ，所以 m n 0 ，得 2 -------------------14 分
5 17 16 5 17 x 8 1 5 17 x 21．解： （1） x 2 2 x 2 --------2 分 2 2 0 x 2 0 x 2 4 x 1 2 x 3 -------------4 分 2 x 4
若 b1 b2 b3 bn0 ，则 a b1 a b2 a b3 a bn0 即对数列 bn 中的任意一项 bi (1 i n0 )
a bi b1 (n0 i )d bn0 1i bn -------------------6 分
12． 9 15．A
13．
81 2
17．C
14． 0, a b 18．D
2
2
16．B
19．解： （1）由正弦定理
c a sin C a 2a 2 5 -------------------4 分 ,得 c sin C sin A sin A
（2）由余弦定理，得 cos A
上海交通大学·2002_年第一学期高等数学期末试题(A卷)(附参考答案)
试题照登上海交通大学·高等数学期末试题(A 卷)(附参考答案)2002年第一学期一、选择题(每题3分,共15分,每题选项仅有一项符合要求,把所选项前的字母填入括号内)1.f (x )在a 连续,且lim x ※a f (x )-f (a )(x -a )m =c >0,其中m 是偶数,则(B ……………………………)A .a 是f (x )的极大值点; B .a 是f (x )的极小值点;C .a 不是f (x )的极大值点;D .不能判别a 是否f (x )的极值点.2.f (x ),g (x )均为恒不为零的可微函数,且f ′(x )g (x )-g ′(x )f (x )>0,则当x >a 时,成立不等式(A ……………………………………………………………………………………………………)A .f (x )g (a )>f (a )g (x );B .f (x )g (x )>f (a )g (a );C .f (a )g (x )>f (x )g (a );D .f (a )g (a )>f (x )g (x ).3.函数f (x )=lim n ※∞n 1+x 2n 在(-∞,+∞))连续且(C ………………………………………………)A .处处可导; B .仅有一个不可导点;C .仅有二个不可导点;D .至少有三个不可导点.4.∫1-11+x sin 2x 1+x 2dx =(B ………………………………………………………………………………)A .π4 B .π2 C .π D .0.5.微分方程y ″-2y ′=xe 2x 的特解形式可设为(C ……………………………………………………)A .(ax +b )e 2x ;B .x (ax +b );C .x (ax +b )e 2x ;D .axe 2x .二、填空题(每小题3分,共15分,把答案填在题中横线上)1.f (x )=ln (1+ax b ), x ≥0,e x 2-1sin2x, x <0在x =0可导,则a =12,b =1.2.设函数y =y (x )由方程y =∫2x +y 0sin t 2dt -∫x 20e -t dt (其中x >0)所确定,则其导数dy dx =2sin (x +y )2-2xe -x 1-sin (2x +y )23.∫20x 44-x 2dx =2π.4.x ※0时,∫x 30sin 3tdt 是βχα的等价无穷小,则α= 4 β= 34 .5.f (x )为连续函数,F (x )=∫2x0f (x +t )dt ,则F ′(x )=3f (3x )-f (x ).三、计算下列积分(18分)1.∫x (e x2x x 122-12+12(6分)63Vol .6,No ,4Dec .,2003 高等数学研究STUDIES IN COLLECE MATHEMATICS2.∫π0dx 2+cos x =23arctan x 3|+∞0=π33.∫+∞2dx x 4x 2-1=12arcsin 15四、解下列方程(14分)1.(x y -x 2)y ′=y 2 e y x =cy2.y ″+2y ′+2y =4e x sin x 通解为y =12e x (sin x -cos x )+c 1e -x cos x +c 2e -x sin x 五、(14分)1.设f (x )=ln x -2x 2∫e 1f (x )xdx ,求f (x ). f (x )=ln x -e -2x 22.设f 2(x )=2∫x 0f (t )1+f ′2(t )dt -2x ,求f (x ). f (x )=1-e x六、应用题(18分)1.求心脏线r =a (1+cos θ)(a >0)上对应0≤θ≤π2的孤线段的长度,且求该弧段与射线θ=0及θ=π2所围图形绕极轴旋转所得旋转体的体积.V =52πa 32.(8分)D 是由抛物线y =2x (2-x )与x 轴所围成的区域,直线y =kx 交区域D 分为面积相等的两部分,求k 的值。