24.1旋转(3)图形的变换与坐标
B1由点A绕原点顺时针旋转得到，故B1(1,3) B2由点A绕原点逆时针旋转得到，故B2(-1,-3)
B2
课堂小结:
1、本节课我学会了……
２、我的体会是……
5、画出⊿ABC，A（2，1），B（4，0），C（5，2）沿y 轴
对折后的⊿A ’ B’ C ’，并观察对应顶点又有什么样的变化？
Y
C’
AC
A’
B’ 0
B
X
规律（4）：对应点关于 y 轴对称。即对应点的 横坐标互为相反数、纵坐标相等
6.如果将⊿AOB缩小，原点为位似中心变成⊿COD， 它们的相似比是多少？对应点的坐标有什么变化？
3：
将⊿AOB向上或向下移动几个单位长度， 你能探索出图形上下移动的规律吗？
Y
4A
0
2
4B
X
-5
规律:（ 2）上下移动时，横坐标不变,纵坐标上加下减.
4、将⊿AOB沿着x轴对折，得到⊿A ’ OB， 画图并说明对应顶点有什么变化？
Y
A
O
B
X
A’
规律（3）：对应点关于x轴对称。即对应点的 横坐标相等、纵坐标互为相反数
24.1旋转（3） 图形的变换与坐标
1、如果是⊿AOB 向右移动3个单位长度，得到 ⊿A ’O’ B ’ ，各顶点的坐标又有什么变化？你能 用自已的语言归纳这个规律吗？
Y
A
A’
0
பைடு நூலகம்
O’ B B’ X
规律(1)左右移动时，横坐标左减右加，纵坐标不变：
2、你能画图说明⊿AOB向左移动时，对应点的坐标 又有什么规律吗？
Y
A
6
C
2
D 0
2
B
6
X
规律（5）： 横坐标和纵坐标都缩小相同的倍数
B（－1，2） C（－2，－1） D（1，－2）
（－b,a) （－b,a)
绕原点按逆时针方向旋转180度，得到的点 的坐标为（-a,-b),即两点关于原点对称。 绕原点按逆时针方向旋转270度，得到的点 的坐标为（b,-a)。
1.矩形公园ABCD的长宽分别是6 千米, 4千米 ,
以公园中心为原点建立坐标系, 写出各顶点的坐标.
找出各点的关系
y
解: 公园各顶点坐标为A( 3 , 2), B( -3 , 2 ),C( -3 , -2 ), D( 3 , -2 ) .
点A与点 D关于X轴对称 横坐标相同,
纵坐标互为相反数
B ( -3 , 2)
A ( 3, 2 )
点A与点 B关于Y轴对称 纵坐标相同,
1
横坐标互为相反数
01
点A与点 C关于原点对称 横坐标、纵坐标
C (-3, -2 )
均互为相反数
x
D ( 3 , -2)
练习：
(3，-2) (-2，3) (-3，2) (2，3）
将点(a,b)顺时针旋转90°（即逆时针旋转270度）， 得到的点的坐标是（b,-a)
图形的变换与坐标ppt
平移：
(x,y) (x +a,y+b)
沿x轴方向平移|a|个单位: 若a>0,则向右平移；若a<0,则向左平移 沿y轴方向平移|b|个单位: 若b>0,则向上平移；若b<0,则向下平移
y
纵坐标
5
4
不变, 横
3
坐标变成
2
原来的2
1
0 –1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10x
倍,会得 到什么？
–2
–3
–4
A (x,y) (- x, y)
关于y轴对称；
B (x,y) (x, - y)
关于x 轴对称；
8y
原7 图形被横向、纵向各 拉6 伸2倍
5
4 3 2 1
0123 –1
4 5 6 7 8 9 10
–2
–3 原图形的形状没变， –4 面积是原来的4倍。
横坐标与 纵坐标同 时乘以2， 所得图案 又会发生 什么变化?
1234
– 2
(x,y)(x-2, y )
– 2
–3
–3
–
–
4
4
与左图三角形相比，右图 中的三角形发生了怎样变 化。
右图中的直角三角 形顶点的坐标发生 怎样变化。
8y
7 延伸
6
5
4 3 2 1
0123 –1
4 5 6 7 8 9 10
–2 –3 –4
如果横坐 标乘以２ 再减去1 ， 纵坐标不 变，那么 x所得图案 会发生什 么变化?
伸缩：
(x,y)
01
(m x, ny)
02
沿x轴方向伸缩m倍:
《旋转作图与坐标系中的旋转变换》PPT课件 人教版九年级数学上册
转后点D与点 B 重合.
设点E的对应点为点E'. 因为旋转后的图形与旋转前的
图形全等，所以∠ABE'=∠ADE=90°，BE'=DE.
因此，在CB的延长线上取点E'，使BE'=DE，则
△ABE'为旋转后的图形.
A
D
A
D
E
E
B
C
E′ B
C
E点的对应点E′，还可以用其他方法确定吗？
方法一：由∠EAE′=90°，
知识点一 用旋转的知识作图
例 如图，E是正方形ABCD中CD边上任意
一点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，
画出旋转后的图形.
A
D
想一想：本题中作图
E
的关键是什么？
确定点E的对应点E' B
C
解：因为点A是旋转中心，所以它的对应点是 点A .
正方形ABCD中，AD＝AB，∠DAB＝90°，所以旋
旋转180° 后的图形 如图所示.
A'
A
B
4. 如图，△ABC中，∠C=90°. （1）将△ABC绕点B逆时针旋转 B
90°，画出旋转后的三角形；
（2）若BC=3，AC=4，点A旋转后
的对应点为A，求A'A的长.
C
A
【教材P63习题23.1 第9题】
解：(1)△A'BC'即为所求.
(2)∵△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4.
R·九年级上册
23.1 图形的旋转
第2课时 旋转作图与 坐标系中的旋转变换
复习回顾
定义
在一个平面图形绕平面内某一点O转动 一个角度，叫做图形的旋转.
2023-2024学年沪科版九年级数学下册教学设计：24.1 旋转 (3份打包)
2023-2024学年沪科版九年级数学下册教学设计：24.1 旋转 (3份打包)一. 教材分析旋转是沪科版九年级数学下册第24章的内容，本节内容是在学生已经掌握了平移、轴对称等知识的基础上进行学习的。
旋转是平面几何中的一个重要概念，它是一种基本的变换方式，与实际生活密切相关。
本节内容通过讲解旋转变换的定义、性质和应用，使学生能够理解和掌握旋转变换，并能够运用旋转变换解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对平面几何的概念和性质有一定的了解。
但是，对于旋转变换的理解和运用还需要进一步的引导和培养。
因此，在教学过程中，需要通过具体的实例和问题，引导学生理解和掌握旋转变换的概念和性质，并能够运用旋转变换解决实际问题。
三. 教学目标1.理解旋转变换的定义和性质。
2.掌握旋转变换的应用方法。
3.能够运用旋转变换解决实际问题。
四. 教学重难点1.旋转变换的定义和性质。
2.旋转变换的应用方法。
五. 教学方法1.讲授法：通过讲解旋转变换的定义和性质，使学生理解和掌握旋转变换。
2.实例法：通过具体的实例和问题，引导学生理解和掌握旋转变换的应用方法。
3.练习法：通过课堂练习和课后作业，巩固学生对旋转变换的理解和掌握。
六. 教学准备1.教学课件：制作旋转变换的教学课件，包括旋转变换的定义、性质和应用等方面的内容。
2.实例和问题：准备一些具体的实例和问题，用于引导学生理解和掌握旋转变换的应用方法。
3.练习题：准备一些练习题，用于巩固学生对旋转变换的理解和掌握。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个具体的实例，如把一个图形绕某一点旋转一定的角度，使学生对旋转变换有一个直观的认识。
提问学生：这个图形发生了什么变化？这种变化叫做什么？引导学生思考和回答，引出本节课的主题——旋转变换。
2.呈现（10分钟）讲解旋转变换的定义和性质。
旋转变换是指在平面内，把一个图形绕某一点旋转一定的角度，得到另一个图形的变换。
2021年沪科版九年级数学下册第二十四章《图形在坐标系中的变换》公开课课件
3，2)
9．如图，点 B 在 x 轴上，∠ABO＝90°，∠A＝30°， OA＝4，将△OAB 绕点 O 按顺时针方向旋转 120°得到 △OA′B′，则点 A′的坐标是 ( B )
A ． (2 ， － 2 2 ) B ． (2 ， － 2 3 ) C ． (2 2 ， － 2) D．(2 3，－2)
第三题图) 图）
第四题
4．(5 分)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(3，
4)，将 OA 绕坐标原点 O 逆时针旋转 90°到 OA′，则点 A′的 坐标是__(－4，3)__．中的每个小方格都是边长为 1 个 单位的正方形，Rt△ABC 的顶点均在格点上，在建立平面直 角坐标系后，点 A 的坐标为(－6，1)，点 B 的坐标为(－3， 1)，点 C 的坐标为(－3，3)．
【综合运用】 13．(16 分)(1)在平面直角坐标系中，将点 A(－3，4)， 向右平移 5 个单位到点 A1，再将点 A1 绕坐标 原点顺时针 旋转 90°到点 A2，直接写出点 A1， A2 的坐标； (2)在平面直角坐标系中，将第二象限内的点 B(a，b)向 右平移 m 个单位到第一象限点 B1，再将点 B1 绕坐标原点顺 时针旋转 90°到点 B2，直接写出点 B1，B2 的坐标； (3)在平面直角坐标系中，将点 P(c，d)沿水平方向平移 n 个单位到点 P1，再将点 P1 绕坐标原点顺时针旋转 90°到点 P2，直接写出点 P2 的坐标．
将 Rt△ABC 绕点 B 顺时针旋转 90°得到 Rt△A1B1C1， 试在图上画出 Rt△A1B1C1.
解：
6．(10 分)如图是某设计师在方格纸中设计的图案的一 部分，请你帮他完成余下的工作：
作出关于直线 AB 对称的图形，再将你作出的图形连同 原图形绕点 O 逆时针旋转 90°，作出旋转后的图形．
初中数学图形的坐标与变换知识点归纳
初中数学图形的坐标与变换知识点归纳初中数学中，图形的坐标与变换是一个重要且基础的知识点。
它涉及到平面直角坐标系、图形的平移、旋转、翻转等概念和运算。
下面，我们将对初中数学中相关的知识点进行归纳，帮助大家更好地理解和掌握这些内容。
1. 平面直角坐标系平面直角坐标系是研究平面上点的位置关系的工具。
它由两条互相垂直的数轴（x轴和y轴）组成，原点为坐标原点，分别与x轴和y轴的正方向上的单位长度为1的线段为坐标轴。
2. 点的坐标表示在平面直角坐标系中，每个点都可以表示为一个有序数对(x, y)，其中x表示点在x轴上的坐标，y表示点在y轴上的坐标。
这种用数对表示点的方法称为点的坐标。
3. 图形的平移平移是指图形在平面上沿着一定的方向移动一定的距离，但形状和大小保持不变。
平移可以用坐标表示，对于平移向量(a, b)，图形上的每个点(x, y)移动到新位置(x+a, y+b)。
4. 图形的旋转旋转是指图形绕一个固定点旋转一定的角度。
对于顺时针旋转θ度的情况，图形上的每个点(x, y)绕旋转中心点O旋转θ度后的新位置为(x', y')，通过一定的数学公式可以得到旋转后的新坐标。
5. 图形的翻转翻转是指图形相对于某个轴对称的操作。
包括水平翻转和垂直翻转两种情况。
水平翻转是指图形相对于x轴对称，垂直翻转是指图形相对于y轴对称。
翻转后图形上的每个点(x, y)的新坐标可以通过一定的变换公式得到。
6. 点的对称性在平面直角坐标系中，点的对称性也是一个重要的概念。
对称点是指两个在坐标系中关于某个点对称的点，就是它们关于这个点的连线的中点。
7. 图形的对称性除了点的对称性，图形的对称性也是一种重要的性质。
图形如果存在一个中心对称轴，当图形上的每一个点关于该对称轴与对应的对称点重合时，我们说图形具有中心对称性。
如果一个图形既有中心对称性，又有轴对称性，则称为既有中心对称性又有轴对称性。
通过对初中数学中图形的坐标与变换知识点的归纳，我们可以更好地理解和应用这些知识，解决与图形相关的问题。
九年级数学上册教学课件《旋转作图与坐标系中的旋转变换》
你能总结出旋转作图的一般步骤吗？
（1）分析图形，找出构成图形的关键点；（2）确定三，找到关 键点的对应点；（4）顺次连接各对应点.
知识点2
用旋转的知识设计图形
运用旋转作图应满足三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角，而旋转中心、旋转角固定下来，对应点就自然而然地固定下来．因此，选择不同的旋转中心、不同的旋转角会作出不同效果的图案.
【教材P62练习】
把一个三角形进行旋转:(1)选择不同的旋转中心、不同的旋转角，看看旋转的效果;(2)改变三角形的形状，看看旋转的效果.
解：(1)如图,旋转中心不变，改变旋转角.
旋转角不变,改变旋转中心(答案不唯一)
【教材P62练习】
把一个三角形进行旋转:(1)选择不同的旋转中心、不同的旋转角，看看旋转的效果;(2)改变三角形的形状，看看旋转的效果.
解：(2)如图,旋转中心不变，改变旋转角.
旋转角不变,改变旋转中心(答案不唯一)
旋转作图
旋转中心旋转方向旋转角
顺时针逆时针
1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题.
B
3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A= 40°，以直角顶点C为旋转中心，将△ABC旋 转到△A′B′C的位置，其中A′、B′分别是A、 B的对应点，且点B在斜边A′B′上，直角边C A′交AB于点D，则旋转角等于（ ） A.70° B.80° C.60° D.50°
B
4. 如图，△ABC中，∠C=90°， ∠B=40°，点D在边BC上，BD=2CD．△ABC绕着点D顺时针旋转一定角度后，点B恰好落在初始△ABC的边上，求旋转角α（0°＜α＜180°）的度数.
解：有两种情况：①点B落在AB上，如B′，∵DB=DB′， ∴∠BDB′=180-∠B-∠BB′D =180°-40°-40°=100°， 即α=100°.②点B落在AC上，如B″，在Rt△DCB″中， ∵B″D=BD=2CD，∴∠DB″C=30°， ∴∠B″DC=60°，∴∠BDB″=120°， 即α=120°.综上所述：α的度数为100°或120°.
沪科版九年级数学下册课件24.1.3 在平面直角坐标系中对图形进行旋转变换
新知探究
运动美
新知探究
运动美
新知探究
课堂小结
旋转 的应
用
平面 直角 坐标 系内 的旋 转变
换
动态 图形 的操 作与 图案 设计
特征
作图
分析 图案 设计 设计 方法
P (x，y)关于原点的对 称点为P′(-x，-y).
作出关于原点对称的图 形，先求出对称点的坐 标再描点画图.
分清基本图形
知道形成过程
解析：(1)因为点P(2，－3)与点P′关于原点对称，所以点P′的坐标是 P′(－2，3)． (2)因为点P(2，n)与点Q(m，－3)关于原点对称，所以m＝－2，n＝3， 则(m＋n)2020＝(－2＋3)2020＝1. (3)因为点M(3，－5)绕原点旋转180°后到达的位置与原来的点关于原 点对称，所以到达的位置是(－3，5)．
3.若点A(m,-2),B(1,n)关于原点对称,则m=___-1__,n=___2__ .
课堂小测
4.在如图所示编号为①、②、③、④的四个三角形中，关于y 轴对称的两个三角形的编号为①与②；关于坐标原点O对称 的两个三角形的编号为_①__与__③___.
y 5
4
②3 ①
2
1
-5 -4 -3 -2 -1 O -1 -2
新知探究
例1 填空： (1)在平面直角坐标系中，点P(2，－3)关于原点对称的点P′的 坐标是_(_－__2_，__3_) ． (2)点P(2，n)与点Q(m，－3)关于原点对称，则(m＋n)2020＝ ____1____． (3)点M(3，－5)绕原点旋转180°后到达的位置是_(_－__3_，__5_) ．
③ -3
-4 -5
1 2 3 4 5x
坐标变换与旋转
坐标变换与旋转坐标变换和旋转是计算机图形学中非常重要的概念。
它们在图像处理、计算机视觉和游戏开发等领域都有广泛的应用。
本文将介绍坐标变换和旋转的基本原理以及在计算机图形学中的应用。
一、坐标变换坐标变换是指将一个坐标系中的点转换到另一个坐标系中的过程。
在计算机图形学中，通常使用齐次坐标来表示点的坐标。
齐次坐标是一种用于简化坐标变换计算的方式。
坐标变换的基本操作包括平移、缩放和旋转。
其中平移是将点沿着某个方向移动一定的距离，缩放是改变点的大小，而旋转是将点绕某个中心旋转一定的角度。
二、旋转旋转是指将点绕某个中心按照一定的角度进行旋转的操作。
在计算机图形学中，常用的旋转方式有二维旋转和三维旋转。
1. 二维旋转二维旋转是将点绕着一个固定的中心点进行旋转的操作。
假设中心点的坐标为(xc, yc)，旋转角度为θ，点的坐标为(x, y)，那么经过旋转后的坐标可以通过以下公式计算得到：x' = (x - xc) * cos(θ) - (y - yc) * sin(θ) + xcy' = (x - xc) * sin(θ) + (y - yc) * cos(θ) + yc2. 三维旋转三维旋转是将点绕着一个固定的轴进行旋转的操作。
在三维空间中，通常使用欧拉角或四元数来表示旋转。
欧拉角是一种用于描述三维空间中旋转的坐标系统。
它包括绕x轴旋转的角度α、绕y轴旋转的角度β和绕z轴旋转的角度γ。
通过欧拉角可以得到旋转矩阵，然后将点坐标与旋转矩阵相乘即可得到旋转后的坐标。
三、应用坐标变换和旋转在计算机图形学中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 三维建模与渲染在三维建模和渲染中，坐标变换和旋转被用来实现对模型的自由变换和旋转操作。
通过控制坐标变换和旋转参数，可以实现模型在三维空间中的移动、旋转和缩放，从而实现真实感的渲染效果。
2. 计算机动画在计算机动画中，坐标变换和旋转被广泛用于实现物体在动画中的移动和旋转效果。
坐标变换与旋转
坐标变换与旋转在计算机图形学和几何学领域，坐标变换和旋转是非常重要的概念。
通过对坐标系统进行变换和旋转操作，我们可以实现对图形的平移、旋转、缩放和扭曲等变换，从而得到想要的效果。
一、坐标变换1. 平移变换平移变换是将坐标系统在平面上按照指定的位移量进行移动的操作。
通过平移变换，我们可以将图形在平面上沿指定的方向进行移动，而不改变其形状和大小。
平移变换通常用一个二维向量来表示，其中向量的两个分量分别表示在x轴和y轴上的平移量。
2. 缩放变换缩放变换是将图形在平面上按照指定的比例进行放大或缩小的操作。
通过缩放变换，我们可以改变图形的大小，同时保持其形状不变。
缩放变换通常用一个二维向量来表示，其中向量的两个分量分别表示在x 轴和y轴上的缩放比例。
3. 扭曲变换扭曲变换是将图形在平面上按照指定的变换矩阵进行扭曲的操作。
通过扭曲变换，我们可以实现图形在平面上的形状变换，包括旋转、拉伸和错切等。
扭曲变换通常使用一个二维变换矩阵来表示，其中矩阵的元素表示了图形在进行扭曲变换时的各种变化。
二、旋转操作旋转操作是将图形在平面上按照指定的角度进行旋转的操作。
通过旋转操作，我们可以改变图形在平面上的朝向和角度，从而实现不同的视觉效果。
旋转操作通常使用一个旋转矩阵来表示，其中旋转矩阵的元素通过余弦和正弦函数的计算得到。
三、应用场景1. 计算机图形学在计算机图形学中，坐标变换和旋转是非常重要的操作。
通过对图形进行坐标变换和旋转，可以实现三维图形的显示和交互效果，从而呈现出真实世界的虚拟场景。
同时，在计算机游戏开发和动画制作中，坐标变换和旋转也被广泛应用。
2. 机器人和自动化控制在机器人和自动化控制领域，坐标变换和旋转是实现精准定位和控制的重要工具。
通过对坐标系统进行变换和旋转，可以实现机器人的精准定位和轨迹规划，从而实现各种复杂的自动化任务。
3. 地理信息系统在地理信息系统中，坐标变换和旋转被用于地理空间数据的处理和分析。
沪科版九年级下册数学：24.1 旋转
转90°，画出旋转后得 到的△A1B1C1
y
C
A B
0
x
复习引入
讲授新课
当堂练习
课堂小结
本节课你有哪些收获？
1.先设计一个基本图形（或花纹），然后 通过轴对称、旋转、平移等变换，设计1—2 个图案。 2.请你利用所学知识为学校设计校徽、或者 运动会的会徽、或者黑板报的一组花边。
y
2
旋转中心，逆时针方向旋转
180°后的图形△A2B2C2 .
1
A
B
C
-2
-1 o
1
2x
1、确定旋转中心、旋转方向和旋转角
2、确定原图形的关键点
-1
3、将关键点沿指定的方向旋转指定的角度 4、按原图形的顺序依次连接各对应点
-2
复习引入
讲授新课
当堂练习
课堂小结
在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是
这里，把（x，y）变换成（x， y）的变换叫做恒等变换.
复习引入
讲授新课
当堂练习
课堂小结
利用平移，轴对称，旋转可以将一个图形作一种或几种变换， 可以进行图案设计。
平移 轴对称
复习引入
讲授新课
当堂练习
课堂小结
中心对称（旋转180度） 先轴对称，再旋转180度
复习引入
讲授新课
当堂练习
课堂小结
在平面直角坐标系 中，△ABC的三个顶点 坐标为 ：A（1，2）， B（4，1），C（4，5）
1
A
B
C
-2
-1 o
1
2x
1、确定旋转中心、旋转方向和旋转角
2、确定原图形的关键点
-1