2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(10-平面向量)
高考专题---平面向量-2018年高考数学(理)---精校解析 Word版
母题五 平面向量【母题原题1】【2018上海卷，8】在平面直角坐标系中，已知点A （-1，0），B （2，0），E ，F 是y 轴上的两个动点，且||=2，则⋅的最小值为______.【答案】3-【解析】依题意设(0,),(0,)E a F b 不妨设a b >，则||2,(1,),(2,),2a b AE a BF b a b -===-=+所以22(1,)(2,)22(2)22(1)3AE BF a b ab b b b b b ⋅=⋅-=-+=-++=+-=+-，故所求最小值为3-.【母题原题2】【2017上海卷，7】如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为________【答案】【母题原题3】【2016上海卷，14】如图，在平面直角坐标系中，O 为正八边形的中心，.任取不同的两点，点P 满足0i j OP OA OA ++=，则点P 落在第一象限的概率是_____________.【答案】528【名师点睛】本题主要考查古典概型概率的计算.解答本题时，关键在于能够准确地确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数，利用概率的计算公式求解.本题能较好地考查考生的数学应用意识、基本运算求解能力、数形结合思想等.【命题意图】考查平面向量的基础知识、基本运算、基本应用；考查运算求解能力以及运用数形结合思想分析与解决问题的能力；考查转化与化归思想的应用.【命题规律】平面向量的数量积、模、夹角是高考考查的重点、热点，往往以选择题或填空题的形式出现.常常以平面图形为载体，考查数量积、夹角、垂直的条件等问题；也易同三角函数、解析几何、不等式等知识相结合，以工具的形式出现．浙江卷涉及模的最值问题考查最多.【答题模板】基于平面向量的双重性，解答平面向量最值问题：一般可以从两个角度进行思考：一是利用其“形”的特征，将其转化为平面几何的有关知识进行解决；二是利用其“数”的特征，通过坐标转化为代数中的有关问题进行解决．【方法总结】1.平面向量数量积的计算方法①已知向量a ，b 的模及夹角θ，利用公式a·b ＝|a ||b|cos θ求解； ②已知向量a ，b 的坐标，利用数量积的坐标形式求解．(2)对于向量数量积与线性运算的综合运算问题，可先利用数量积的运算律化简，再进行运算． 2.向量数量积的性质（1）如果e 是单位向量，则a ·e ＝e ·a . （2）a ⊥b ⇔a ·b ＝0.（3）a ·a ＝|a |2，|a （4）cos θ＝||||⋅a ba b .(θ为a 与b 的夹角)（5）|a ·b |≤|a ||b |.3.利用向量夹角公式、模公式，可将有关角度问题、线段长问题转化为向量的数量积来解决．同时应注意： (1)两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角．(2)两向量夹角的范围为[0，π]，特别当两向量共线且同向时，其夹角为0，共线且反向时，其夹角为π. (3)在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范围．1．【上海市虹口区2018届高三下学期教学质量监控（二模）】在中，，点、是线段的三等分点，点在线段上运动且满足k ⋅=，当⋅取得最小值时，实数的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】2．【上海市黄浦区2018届高三4月模拟（二模）】在给出的下列命题中，是假命题的是（ ） A. 设是同一平面上的四个不同的点，若，则点必共线 B. 若向量是平面上的两个不平行的向量，则平面上的任一向量都可以表示为，且表示方法是唯一的 C. 已知平面向量满足，且，则是等边三角形D. 在平面上的所有向量中，不存在这样的四个互不相等的非零向量，使得其中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直 【答案】D【解析】由 则点必共线，故A正确；由平面向量基本定理可知B 正确；由可知为的外心，由可知为的重心，故为的中心，即是等边三角形，故C 正确；故选D.3．【2017-2018上海市杨浦区高三数学一模】设A 、B 、C 、D 是半径为1的球面上的四个不同点，且满足0AB AC ⋅= ， 0AC AD ⋅= ， 0AD AB ⋅=，用1S 、2S 、3S 分别表示ABC ∆、ACD ∆、ABD ∆的面积，则123S S S ++的最大值是（ ） A.12B. 2C. 4D. 8 【答案】B点睛：本题考查球的内接多面体及基本不等式求最值问题，能够把几何体扩展为长方体，推知多面体的外接球是同一个球，是解答本题的关键．4．【上海市松江、闵行区2018届高三下学期质量监控（二模）】已知向量、的夹角为，，，若，则实数的值为___________.【答案】【解析】由题意可得：，且，则：，据此有：，解得：.5．【上海市普陀区2018届高三下学期质量调研（二模）】点1F ， 2F 分别是椭圆22:12x C y +=的左、右两焦点，点N 为椭圆C 的上顶点，若动点M 满足： 2122MN MF MF =⋅ ，则122MF MF +的最大值为__________.【答案】6【解析】设()00,m x y ，由2212x y +=，得()()()120,1,1,0,1,0N F F -，则由2122MN MF MF =⋅ ，可得()222200001222x y x y +-=-+，化为()2214x y ++=，可设002{ 21x sin y sin αα==-，()()12=2cos 1,21,24cos 2,42MF sin MF sin αααα--=+- ， ()1226cos 1,63MF MF sin αα+=+-，122MF MF +==== 6122MF MF +的最大值为66.【方法点睛】本题主要考查椭圆的简单性质，平面向量的数量积公式，以及三角函数求最值问题，属于难题. 求最值问题常见方法有①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求最值；②图象法；③不等式法；④单调性法；⑤换元法：常用代数或三角代换法，用换元法求值域时需认真分析换元参数的范围变化,利用三角换元后往往利用辅助角公式结合三角函数的单调性求解.6．【上海市黄浦区2018届高三4月模拟（二模）】已知向量在向量方向上的投影为，且，则=_______．(结果用数值表示) 【答案】【解析】由题向量在向量方向上的投影为，即即答案为-6.7．【上海市十二校2018届高三联考】在ABC ∆中， 120BAC ︒∠=， 2AB =， 1AC =，D 为线段BC上任一点（包含端点），则AD BC ⋅ 的最大值为________【答案】2∴cos 75AD BC AD BC ADB k ⋅=⨯⨯∠=-，分类讨论：①k =0时,D 与B 重合,由余弦定理得cosABC ∠==， 5AD BC ⋅=- ； ②01k < 时， 5752k -<- ；∴52AD BC -⋅； 则AD BC ⋅的取值范围为[−5,2].其最大值为2.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 8．【上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试】在ABC 中,边上的中垂线分别交于点若,则_______【答案】4【解析】设，则，，又，即，故答案为.9．【上海市浦东新区2018届高三数学一模】已知向量()1,2a =-， ()3,4b =，则向量a在向量b的方向上的投影为________ 【答案】-110．【上海市交通大学附属中学2018届高三上学期开学摸底考试】如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱， AB 是一条侧棱， ()1,2,,16i P i =⋯是上、下底面上其余十六个点，则()1,2,,16i AB AP i ⋅=⋯ 的不同值的个数为__________．【答案】2【解析】 由题意得， i i AP AB BP =+,则()2i i i AB AP AB AB BP AB AB BP ⋅=⋅+=+⋅ ,因为i AB BP ⊥ ，所以21i AB APAB ⋅== ， 所以()1,2,,8i AB AP i ⋅=的不同的值的个数为1.11．【2016-2017年上海市闵行区高三4月质量调研考试（二模）】已知定点()1,1A ，动点P 在圆221x y +=上，点P 关于直线y x =的对称点为P '，向量AQ OP O '=，是坐标原点，则PQ 的取值范围是 .【答案】12．【2016-2017年上海市普陀区高三下学期质量调研（二模）】在△ABC 中， D 、E 分别是AB 、AC 的中点， M 是直线DE 上的动点.若△ABC 的面积为1，则2M B M C B C⋅+ 的最小值为 .【解析】因为D、E分别是AB、AC的中点，且M是直线DE上的动点，所以M到直线BC的距离等于A到直线BC的距离的一半，所以1122MBC ABCS S==，则11sin22MBCS MB MC BMC=∠=，所以1sinMB MCBMC=∠，则c o sc o ss i nB M CM B M C M B M C B M CB M C∠⋅=∠=∠，由余弦定理，得当1cos2BMC∠>时，0y'<，当1cos2BMC∠<时，0y'>，即当1cos2BMC∠=时，2cossinBMCyBMC-∠=∠。
2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全08-13
2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全 （08三角函数 三角恒等变换）一、选择题1．（2018北京文）在平面坐标系中，AB ，CD ，EF ，GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边， 若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是（ ） A ．AB B ．CD C ．EF D ．GH 1．【答案】C【解析】由下图可得，有向线段OM 为余弦线，有向 线段MP 为正弦线，有向线段AT 为正切线．2．（2018天津文）将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数（ ）（A ）在区间[,]44ππ- 上单调递增 （B ）在区间[,0]4π上单调递减（C ）在区间[,]42ππ上单调递增（D ）在区间[,]2ππ 上单调递减2．【答案】A【解析】由函数sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象平移变换的性质可知：将sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度之后的解析式为：sin 2sin 2105y x x ⎡ππ⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．则函数的单调递增区间满足：()22222k x k k πππ-≤≤π+∈Z ， 即()44k x k k πππ-≤≤π+∈Z ， 令0k =可得函数的一个单调递增区间为,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，选项A 正确，B 错误；函数的单调递减区间满足：()322222k x k k πππ+≤≤π+∈Z ，即()344k x k k πππ+≤≤π+∈Z ，令0k =可得函数的一个单调递减区间为3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，选项C ，D 错误；故选A ．3．（2018天津理）将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数 （ ）(A)在区间35[,]44ππ上单调递增 (B)在区间3[,]4ππ上单调递减 (C)在区间53[,]42ππ上单调递增(D)在区间3[,2]2ππ上单调递减3．【答案】A【解析】由函数图象平移变换的性质可知：将πsin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π10个单位长度之后的解析式为：sin 2sin210ππ5y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则函数的单调递增区间满足：()2π22π2ππ2k x k k -≤≤+∈Z ， 即()ππ4π4πk x k k -≤≤+∈Z ， 令1k =可得一个单调递增区间为3π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，函数的单调递减区间满足：()3π2π22π2π2k x k k +≤≤+∈Z ，即()3πππ4π4k x k k +≤≤+∈Z ，令1k =可得一个单调递减区间为5π7π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选A ．4．（2018全国新课标Ⅰ文）已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为44、答案：B解答：222()2cos (1cos )23cos 1f x x x x =--+=+， ∴最小正周期为π，最大值为4.5．（2018全国新课标Ⅱ文）若()cos sin f x x x =-在[0,]a 是减函数，则a 的最大值是（ ）A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π5．【答案】C【解析】因为()cos sin 2cos 4f x x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，所以由0224k x k π+π≤+≤π+π，()k ∈Z得32244k x k ππ-+π≤≤+π，()k ∈Z ，因此[]30,,44a ππ⎡⎤⊂-⎢⎥⎣⎦，04a 3π∴<≤，从而a 的最大值为43π，故选C ．6．（2018全国新课标Ⅱ理）若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数，则a 的最大值是（ ）A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π6．【答案】A【解析】因为()cos sin 2cos 4f x x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭错误!未找到引用源。
2018全国各地高考数学试题汇编附解析
2018全国各地高考数学试题汇编（附解析）2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ1．已知集合{0,1,2,8}B=-，那么A B=▲．A=，{1,1,6,8}[答案]{1，8}2．若复数z满足i12iz⋅=+，其中i是虚数单位，则z的实部为▲．[答案]23．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为▲．[答案]904．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为▲．[答案]85．函数()f x=的定义域为▲．[答案][)∞+，26．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 ▲ ． [答案]1037．已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是 ▲ ． [答案]6-π8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(c,0)F 到一条渐近线，则其离心率的值是 ▲ ． [答案]29．函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ，且在区间(2,2]-上，cos ,02,2()1||,20,2x x f x x x π⎧<⎪⎪=⎨⎪+<⎪⎩≤-≤ 则((15))f f 的值为 ▲ ．[答案]2210．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ▲ ．[答案]3411．若函数32()21()f x x ax a =-+∈R 在(0,)+∞内有且只有一个零点，则()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为 ▲ ． [答案]-312．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为 ▲ ． [答案]313．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 与点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为 ▲ ． [答案]914．已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}n B x x n ==∈N ．将A B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为 ▲ ． [答案]2715．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥． 求证：（1）11AB A B C 平面∥； （2）111ABB A A BC ⊥平面平面．[答案]16．已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+=． （1）求cos2α的值； （2）求tan()αβ-的值． [答案]17．某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．先规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP△，要求,A B 均在线段MN上，,C D均在圆弧上．设OC与MN所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD和CDP△的面积，并确定sinθ的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．[答案]18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △，求直线l 的方程．[答案]19．记(),()f x g x ''分别为函数(),()f x g x 的导函数．若存在0x ∈R ，满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”．（1）证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”； （2）若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”，求实数a 的值；（3）已知函数2()f x x a =-+，e ()x b g x x=．对任意0a >，判断是否存在0b >，使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”，并说明理由． [答案]20．设{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为1b ，公比为q 的等比数列．（1）设110,1,2a b q ===，若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立，求d 的取值范围；（2）若*110,,a b m q =>∈∈N ，证明：存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+均成立，并求d 的取值范围（用1,,b m q 表示）． [答案]2018 年普通高等学校招生全国统一考试（全国I卷）文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
高考(2018)数学(理)真题分类解析：专题12-平面向量
专题 平面向量考纲解读明方向分析解读 1.从“方向”与“大小”两个方面理解平面向量的概念.2.结合图形理解向量的线性运算,熟练掌握平行四边形法则与三角形法则.3.向量共线的条件要结合向量数乘的意义去理解,并能灵活应用.4.向量的概念与运算是必考内容.5.本节在高考中主要考查平面向量的线性运握求向量坐标的方法,掌握平面向量的坐标运算.3.能够根据平面向量的坐标运算解决向量的共线、解三角形等有关问题.4.用坐标表示的平面向量共线的条件是高考考查的重点,分值约为5分,属中低档题.求向量长度的方法.3.会用向量数量积的运算求向量夹角,判断或证明向量垂直.4.利用数形结合的方法和函数的思想解决最值等综合问题.2018年高考全景展示1．【2018年浙江卷】已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2−4e·b+3=0，则|a−b|的最小值是A. −1B. +1C. 2D. 2−【答案】A【解析】分析:先确定向量所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.详解：设，则由得，由得因此的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.点睛：以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法.2．【2018年理数天津卷】如图，在平面四边形ABCD中，，，，. 若点E为边CD上的动点，则的最小值为A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由题意建立平面直角坐标系，然后结合点的坐标得到数量积的坐标表示，最后结合二次函数的性质整理计算即可求得最终结果.详解：建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，点在上，则，设，则：，即，据此可得：，且：，，由数量积的坐标运算法则可得：，整理可得：，结合二次函数的性质可知，当时，取得最小值.本题选择A选项.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．3．【2018年理新课标I卷】设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】D详解：根据题意，过点（–2，0）且斜率为的直线方程为，与抛物线方程联立，消元整理得：，解得，又，所以，从而可以求得，故选D.点睛：该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程组，消元化简求解，从而确定出，之后借助于抛物线的方程求得，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点M、N的坐标，应用韦达定理得到结果.4．【2018年理新课标I卷】在△中，为边上的中线，为的中点，则A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.详解：根据向量的运算法则，可得，所以，故选A.点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.5．【2018年理数全国卷II】已知向量，满足，，则A. 4B. 3C. 2D. 0【答案】B【解析】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.详解：因为所以选B.点睛：向量加减乘：6．【2018年江苏卷】在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若，则点A的横坐标为________．【答案】3【解析】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果.详解：设，则由圆心为中点得易得，与联立解得点D的横坐标所以.所以，由得或，因为，所以点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.7．【2018年全国卷Ⅲ理】已知向量，，．若，则________．【答案】【解析】分析：由两向量共线的坐标关系计算即可。
2018年全国各地高考数学分类汇编word版含答案10-解析几何
2018年全国各地高考数学分类汇编word版含答案10-解析几何一、选择题（共12小题；共60分）1. 设P是椭圆x25+y23=1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为( )A. 2√2B. 2√3C. 2√5D. 4√22. 已知椭圆C：x2a2+y24=1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为( )A. 13B. 12C. √22D. 2√233. 直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x−2)2+y2=2上，则△ABP面积的取值范围是( )A. [2,6]B. [4,8]C. [√2,3√2]D. [2√2,3√2]4. 在平面直角坐标系中，记d为点P(cosθ,sinθ)到直线x−my−2=0的距离．当θ，m变化时，d的最大值为( )A. 1B. 2C. 3D. 45. 已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60∘，则C的离心率为( )A. 1−√32B. 2−√3 C. √3−12D. √3−16. 双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√3，则其渐近线方程为( )A. y=±√2xB. y=±√3xC. y=±√22x D. y=±√32x7. 已知双曲线C：x23−y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则∣MN∣=( )A. 32B. 3C. 2√3D. 48. 设抛物线C:y2=4x的焦点为F，过点(−2,0)且斜率为23的直线与C交于M，N两点，则FM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 5B. 6C. 7D. 89. 已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√2，则点(4,0)到C的渐近线的距离为( )A. √2B. 2C. 3√22D. 2√210. 设F1，F2是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P．若∣PF1∣=√6∣OP∣，则C的离心率为( )A. √5B. 2C. √3D. √211. 已知双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A ，B 两点．设 A ，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为 d 1 和 d 2，且 d 1+d 2=6，则双曲线的方程为 ( ) A. x 24−y 212=1B. x 212−y 24=1C. x 23−y 29=1D. x 29−y 23=112. 已知 F 1，F 2 是椭圆 C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 的左，右焦点，A 是 C 的左顶点，点 P 在过 A 且斜率为 √36 的直线上，△PF 1F 2 为等腰三角形，∠F 1F 2P =120∘，则 C 的离心率为 ( )A. 23B. 12 C. 13 D. 14二、填空题（共12小题；共60分） 13. 若双曲线x 2a2−y 24=1(a >0) 的离心率为 √52，则 a = ．14. 直线 y =x +1 与圆 x 2+y 2+2y −3=0 交于 A ，B 两点，则 ∣AB∣= ．15. 在平面直角坐标系 xOy 中，A 为直线 l:y =2x 上在第一象限内的点，B (5,0)，以 AB 为直径的圆 C 与直线 l 交于另一点 D ．若 AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则点 A 的横坐标为 ． 16. 在平面直角坐标系中，经过三点 (0,0)，(1,1)，(2,0) 的圆的方程为 ．17. 已知点 M (−1,1) 和抛物线 C ：y 2=4x ，过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A ，B 两点．若∠AMB =90∘，则 k = ．18. 在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的右焦点 F (c,0) 到一条渐近线的距离为 √32c ，则其离心率的值为 ．19. 已知直线 l 过点 (1,0) 且垂直于 x 轴．若 l 被抛物线 y 2=4ax 截得的线段长为 4，则抛物线的焦点坐标为 ．20. 已知圆 x 2+y 2−2x =0 的圆心为 C ，直线 {x =−1+√22t,y =3−√22t（t 为参数）与该圆相交于 A ，B 两点，则 △ABC 的面积为 ．21. 在极坐标系中，直线 ρcosθ+ρsinθ=a (a >0) 与圆 ρ=2cosθ 相切，则 a = ．22. 已知实数 x 1，x 2，y 1，y 2 满足：x 12+y 12=1，x 22+y 22=1，x 1x 2+y 1y 2=12，则11√2222的最大值为 ．23. 已知点 P (0,1)，椭圆 x 24+y 2=m (m >1) 上两点 A ，B 满足 AP⃗⃗⃗⃗⃗ =2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则当 m = 时，点 B 横坐标的绝对值最大．24. 已知椭圆 M:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，双曲线 N:x 2m 2−y 2n 2=1．若双曲线 N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 M 的离心率为 ；双曲线 N 的离心率为 ．三、解答题（共16小题；共208分）25. 设抛物线 C:y 2=4x 的焦点为 F ，过 F 且斜率为 k (k >0) 的直线 l 与 C 交于 A ，B 两点，∣AB ∣=8．（1）求 l 的方程； （2）求过点 A ，B 且与 C 的准线相切的圆的方程．26. 设抛物线 C:y 2=4x 的焦点为 F ，过 F 且斜率为 k (k >0) 的直线 l 与 C 交于 A ，B 两点，∣AB∣=8． （1）求 l 的方程； （2）求过点 A ，B 且与 C 的准线相切的圆的方程．27. 如图，已知点 P 是 y 轴左侧（不含 y 轴）一点，抛物线 C:y 2=4x 上存在不同的两点 A ，B 满足 PA ，PB 的中点均在 C 上．（1）设 AB 中点为 M ，证明：PM 垂直于 y 轴； （2）若 P 是半椭圆 x 2+y 24=1(x <0) 上的动点，求 △PAB 面积的取值范围．28. 在平面直角坐标系 xOy 中，⊙O 的参数方程为 {x =cosθ,y =sinθ（θ 为参数），过点 (0,−√2) 且倾斜角为 α 的直线 l 与 ⊙O 交于 A ，B 两点． （1）求 α 的取值范围； （2）求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程．29. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 1 的方程为 y =k∣x∣+2．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 2 的极坐标方程为 ρ2+2ρcosθ−3=0． （1）求 C 2 的直角坐标方程；（2）若 C 1 与 C 2 有且仅有三个公共点，求 C 1 的方程．30. 在极坐标系中，直线 l 的方程为 ρsin (π6−θ)=2，曲线 C 的方程为 ρ=4cosθ，求直线 l 被曲线C 截得的弦长．31. 已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C:x 24+y 23=1 交于 A ，B 两点．线段 AB 的中点为 M (1,m )(m >0)．（1）证明：k <−12；（2）设 F 为 C 的右焦点，P 为 C 上一点，且 FP⃗⃗⃗⃗⃗ +FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ．证明：2∣FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=∣FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣+∣FB⃗⃗⃗⃗⃗ ∣．32. 设椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0) 的右顶点为 A ，上顶点为 B ．已知椭圆的离心率为 √53，∣AB ∣=√13．（1）求椭圆的方程；（2）设直线 l:y =kx (k <0) 与椭圆交于 P ，Q 两点，l 与直线 AB 交于点 M ，且点 P ，M 均在第四象限．若 △BPM 的面积是 △BPQ 面积的 2 倍，求 k 的值．33. 已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C ：x 24+y 23=1 交于 A ，B 两点，线段 AB 的中点为 M (1,m )(m >0)．（1）证明：k <−12；（2）设 F 为 C 的右焦点，P 为 C 上一点，且 FP ⃗⃗⃗⃗⃗ +FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ．证明：∣∣FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣，∣∣FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣，∣∣FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 成等差数列，并求该数列的公差．34. 设椭圆 x 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0) 的左焦点为 F ，上顶点为 B ．已知椭圆的离心率为 √53，点 A 的坐标为 (b,0)，且 ∣FB ∣⋅∣AB ∣=6√2． （1）求椭圆的方程；（2）设直线 l ：y =kx (k >0) 与椭圆在第一象限的交点为 P ，且 l 与直线 AB 交于点 Q ．若∣AQ∣∣PQ∣=5√24sin∠AOQ （O 为原点），求 k 的值．35. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 过点 (√3,12)，焦点为 F 1(−√3,0)，F 2(√3,0)，圆 O 的直径为 F 1F 2．（1）求椭圆 C 及圆 O 的方程；（2）设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P ． ①若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 P 的坐标；②直线 l 与椭圆 C 交于 A ，B 两点．若 △OAB 的面积为2√67，求直线 l 的方程．36. 设常数 t >2．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 F (2,0)，直线 l:x =t ，曲线 Γ:y 2=8x (0≤x ≤t,y ≥0)．l 与 x 轴交于点 A 、与 Γ 交于点 B ．P ，Q 分别是曲线 Γ 与线段 AB 上的动点．（1）用 t 表示点 B 到点 F 的距离；（2）设 t =3，∣FQ∣∣=2，线段 OQ 的中点在直线 FP 上，求 △AQP 的面积； （3）设 t =8，是否存在以 FP ，FQ 为邻边的矩形 FPEQ ，使得点 E 在 Γ 上?若存在，求点 P 的坐标；若不存在，说明理由．37. 设椭圆 C:x 22+y 2=1 的右焦点为 F ，过 F 的直线 l 与 C 交于 A ，B 两点，点 M 的坐标为 (2,0)．（1）当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程； （2）设 O 为坐标原点，证明：∠OMA =∠OMB ．38. 设抛物线 C:y 2=2x ，点 A (2,0)，B (−2,0)，过点 A 的直线 l 与 C 交于 M ，N 两点．（1）当 l 与 x 轴垂直时，求直线 BM 的方程； （2）证明：∠ABM =∠ABN ．39. 已知抛物线 C:y 2=2px 经过点 P (1,2)．过点 Q (0,1) 的直线 l 与抛物线 C 有两个不同的交点 A ，B ，且直线 PA 交 y 轴于 M ，直线 PB 交 y 轴于 N ． （1）求直线 l 的斜率的取值范围；（2）设 O 为原点，QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λQO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，QN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μQO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求证：1λ+1μ为定值．40. 已知椭圆 M:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0) 的离心率为 √63，焦距为 2√2，斜率为 k 的直线 l 与椭圆 M有两个不同的交点 A ，B ． （1）求椭圆 M 的方程；（2）若 k =1，求 ∣AB∣ 的最大值；（3）设 P (−2,0)，直线 PA 与椭圆 M 的另一个交点为 C ，直线 PB 与椭圆 M 的另一个交点为D ．若 C ，D 和点 Q (−74,14) 共线，求 k ．答案第一部分 1. C 2. C 3. A 4. C 5. D 6. A 7. B 8. D 9. D 10. C 11. C 12. D第二部分13. 4 14. 2√2 15. 316. x 2+y 2−2x =0 17. 2 18. 2 19. (1,0) 20. 12 21. 1+√2 22. √3+√2 23. 5 24. √3−1，2 第三部分25. （1） 由题意得 F (1,0)，l 的方程为 y =k (x −1)(k >0)． 设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，由 {y =k (x −1),y 2=4x 得 k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0．Δ=16k 2+16>0，故 x 1+x 2=2k 2+4k 2．所以 ∣AB ∣=∣AF ∣+∣BF ∣=(x 1+1)+(x 2+1)=4k 2+4k 2．由题设知4k 2+4k 2=8，解得 k =−1（舍去），k =1．因此 l 的方程为 y =x −1．（2） 由（1）得 AB 的中点坐标为 (3,2)，所以 AB 的垂直平分线方程为 y −2=−(x −3)，即 y =−x +5．设所求圆的圆心坐标为 (x 0,y 0)，则{y 0=−x 0+5,(x 0+1)2=(y 0−x 0+1)22+16.解得 {x 0=3,y 0=2 或 {x 0=11,y 0=−6. 因此所求圆的方程为 (x −3)2+(y −2)2=16 或 (x −11)2+(y +6)2=144． 26. （1） 由题意得 F (1,0)，l 的方程为 y =k (x −1)(k >0)， 设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，由 {y =k (x −1),y 2=4x 得 k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0，Δ=16k 2+16=0，故 x 1+x 2=2k 2+4k 2，所以 ∣AB∣=∣AF∣+∣BF∣=(x 1+1)+(x 2+1)=4k 2+4k 2，由题设知4k 2+4k 2=8，解得 k =−1（舍去），k =1，因此 l 的方程为 y =x −1．（2） 由（1）得 AB 的中点坐标为 (3,2)，所以 AB 的垂直平分线方程为 y −2=−(x −3)，即 y =−x +5． 设所求圆的圆心坐标为 (x 0,y 0)，则 {y 0=−x 0+5,(x 0+1)2=(y 0−x 0+1)22+16. 解得 {x 0=3,y 0=2 或 {x 0=11,y 0=−6.因此所求圆的方程为 (x −3)2+(y −2)2=16 或 (x −11)2+(y +6)2=144．27. （1） 设 P (x 0,y 0)，A (14y 12,y 1)，B (14y 22,y 2)．因为 PA ，PB 的中点在抛物线上，所以 y 1，y 2 为方程 (y+y 02)2=4⋅14y 2+x 02即 y 2−2y 0y +8x 0−y 02=0的两个不同的实数根． 所以 y 1+y 2=2y 0．因此，PM 垂直于 y 轴．（2） 由（Ⅰ）可知 {y 1+y 2=2y 0,y 1y 2=8x 0−y 02,所以 ∣PM ∣=18(y 12+y 22)−x 0=34y 02−3x 0，∣y 1−y 2∣=2√2(y 02−4x 0)．因此，△PAB 的面积 S △PAB =12∣PM ∣⋅∣y 1−y 2∣=3√24(y 02−4x 0)32．因为 x 02+y 024=1(x 0<0)，所以 y 02−4x 0=−4x 02−4x 0+4∈[4,5]．因此，△PAB 面积的取值范围是 [6√2,15√104]．28. （1） ⊙O 的直角坐标方程为 x 2+y 2=1． 当 α=π2 时，l 与 ⊙O 交于两点．当 α≠π2 时，记 tanα=k ，则 l 的方程为 y =kx −√2．l 与 ⊙O 交于两点当且仅当 ∣∣∣√2√1+k 2∣∣∣<1，解得 k <−1 或 k >1， 即 α∈(π4,π2) 或 α∈(π2,3π4)．综上，α 的取值范围是 (π4,3π4)．（2） l 的参数方程为 {x =tcosα,y =−√2+tsinα（t 为参数，π4<α<3π4）．设 A ，B ，P 对应的参数分别为 t A ，t B ，t P ，则 t P =t A +t B 2，且 t A ，t B 满足 t 2−2√2tsinα+1=0．于是 t A +t B =2√2sinα，t P =√2sinα．又点 P 的坐标 (x,y ) 满足 {x =t P cosα,y =−√2+t P sinα,所以点 P 的轨迹的参数方程是 {x =√22sin2α,y =−√22−√22cos2α（α 为参数，π4<α<3π4）．29. （1） 由 x =ρcosθ，y =ρsinθ 得 C 2 的直角坐标方程为 (x +1)2+y 2=4． （2） 由（1）知 C 2 是圆心为 A (−1,0)，半径为 2 的圆． 由题设知，C 1 是过点 B (0,2) 且关于 y 轴对称的两条射线． 记 y 轴右边的射线为 l 1，y 轴左边的射线为 l 2．由于 B 在圆 C 2 的外面，故 C 1 与 C 2 有且仅有三个公共点等价于 l 1 与 C 2 只有一个公共点且 l 2 与 C 2 有两个公共点，或 l 2 与 C 2 只有一个公共点且 l 1 与 C 2 有两个公共点． 当 l 1 与 C 2 只有一个公共点时，A 到 l 1 所在直线的距离为 2，2=2，故 k =−43 或 k =0，经检验，当 k =0 时，l 1 与 C 2 没有公共点；当 k =−43 时，l 1 与 C 2 只有一个公共点，l 2 与 C 2 有两个公共点，当 l 2 与 C 2 只有一个公共点时，A 到 l 2 所在直线的距离为 2，√k 2+1=2，故 k =0 或 k =43．经检验，当 k =0 时，l 1 与 C 2 没有公共点；当 k =43时，l 2 与 C 2 没有公共点， 综上，所求 C 1 的方程为 y =−43∣x∣+2．30. 因为曲线 C 的极坐标方程为 ρ=4cosθ， 所以曲线 C 是圆心为 (2,0)，直径为 4 的圆．因为直线 l 的极坐标方程为 ρsin (π6−θ)=2，则直线 l 过 A (4,0)，倾斜角为 π6， 所以 A 为直线 l 与圆 C 的一个交点． 设另一个交点为 B ，则 ∠OAB =π6． 连接 OB ．因为 OA 为直径，从而 ∠OBA =π2，所以 AB =4cos π6=2√3．因此，直线 l 被曲线 C 截得的弦长为 2√3． 31. （1） 设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则 x 124+y 123=1，x 224+y 223=1，两式相减，并由 y 1−y 2x 1−x 2=k 得x 1+x 24+y 1+y 23⋅k =0．由题设知x 1+x 22=1，y 1+y 22=m ，于是 k =−34m ．由题设得 0<m <32，故 k <−12．（2） 由题意得 F (1,0)．设 P (x 3,y 3)，则 (x 3−1,y 3)+(x 1−1,y 1)+(x 2−1,y 2)=(0,0)． 由（1）及题设得 x 3=3−(x 1+x 2)=1，y 3=−(y 1+y 2)=−2m <0．又点 P 在 C 上，所以 m =34，从而 P (1,−32)，∣FP⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=32． 于是 ∣FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=√(x 1−1)2+y 12=√(x 1−1)2+3(1−x 124)=2−x 12．同理 ∣FB⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=2−x 22． 所以 FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4−12(x 1+x 2)=3． 故 2∣FP⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=∣FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣+∣FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣． 32. （1） 设椭圆的焦距为 2c ，由已知得 c 2a 2=59，又由 a 2=b 2+c 2，可得 2a =3b ，由 ∣AB ∣=√a 2+b 2=√13，从而 a =3，b =2， 所以椭圆的方程为x 29+y 24=1．（2） 设点 P 的坐标为 (x 1,y 1)，点 M 的坐标为 (x 2,y 2)， 由题意，x 2>x 1>0， 点 Q 的坐标为 (−x 1,−y 1)，由 △BPM 的面积是 △BPQ 面积的 2 倍，可得 ∣PM ∣=2∣PQ ∣， 从而 x 2−x 1=2[x 1−(−x 1)]，即 x 2=5x 1． 易知直线 AB 的方程为 2x +3y =6，由方程组 {2x +3y =6,y =kx消去 y ，可得 x 2=63k+2．由方程组 {x 29+y 24=1,y =kx消去 y ，可得 x 1=2．由 x 2=5x 1，可得 √9k 2+4=5(3k +2)，两边平方，整理得 18k 2+25k +8=0，解得 k =−89 或 k =−12．当 k =−89 时，x 2=−9<0，不合题意，舍去； 当 k =−12 时，x 2=12，x 1=125，符合题意．所以 k 的值为 −12．33. （1） 设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则 x 124+y 123=1，x 224+y 223=1．两式相减，并由 y 1−y2x 1−x 2=k 得x 1+x 24+y 1+y 23⋅k =0．由题设知x 1+x 22=1，y 1+y 22=m ，于是 k =−34m . ⋯⋯①由题设得 0<m <32，故 k <−12．（2） 由题意得 F (1,0)，设 P (x 3,y 3)，则 (x 3−1,y 3)+(x 1−1,y 1)+(x 2−1,y 2)=(0,0)． 由（1）及题设得 x 3=3−(x 1+x 2)=1，y 3=−(y 1+y 2)=−2m <0，又点 P 在 C 上，所以 m =34，从而 P (1,−32)，∣∣FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=32． 于是 ∣∣FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=√(x 1−1)2+y 12=√(x 1−1)2+3(1−x 124)=2−x 12．同理 ∣∣FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=2−x 22．所以 ∣∣FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+∣∣FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=4−12(x 1+x 2)=3．故 2∣∣FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=∣∣FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+∣∣FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣，即 ∣∣FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣，∣∣FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣，∣∣FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 成等差数列．设该数列的公差为 d ，则 2∣d ∣=∣∣∣∣∣FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣−∣∣FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣∣∣∣=12∣x 1−x 2∣=12√(x 1+x 2)2−4x 1x 2. ⋯⋯② 将 m =34 代入 ① 得 k =−1．所以 l 的方程为 y =−x +74，代入 C 的方程，并整理得 7x 2−14x +14=0．故 x 1+x 2=2，x 1x 2=128，代入 ② 解得 ∣d ∣=3√2128． 所以该数列的公差为3√2128或 −3√2128． 34. （1） 设椭圆的焦距为 2c ，由已知知 c 2a 2=59，又由 a 2=b 2+c 2，可得 2a =3b ．由已知可得，∣FB ∣=a ，∣AB ∣=√2b ，由 ∣FB ∣⋅∣AB ∣=6√2，可得 ab =6，从而 a =3，b =2． 所以，椭圆的方程为 x 29+y 24=1．（2） 设点 P 的坐标为 (x 1,y 1)，点 Q 的坐标为 (x 2,y 2)． 由已知有 y 1>y 2>0，故 ∣PQ ∣sin∠AOQ =y 1−y 2． 又因为 ∣AQ ∣=y 2sin∠OAB，而 ∠OAB =π4，故 ∣AQ ∣=√2y 2．由∣AQ∣∣PQ∣=5√24sin∠AOQ ，可得 5y 1=9y 2．由方程组 {y =kx,x 29+y 24=1消去 x ，可得 y 1=√9k 2+4．易知直线 AB 的方程为 x +y–2=0，由方程组 {y =kx,x +y −2=0消去 x ，可得 y 2=2k k+1． 由 5y 1=9y 2，可得 5(k +1)=3√9k 2+4，两边平方，整理得 56k 2−50k +11=0，解得 k =12 或 k =1128．所以，k 的值为 12 或 1128．35. （1） 因为椭圆 C 的焦点为 F 1(−√3,0)，F 2(√3,0)，可设椭圆 C 的方程为 x 2a +y 2b =1(a >b >0)．又点 (√3,12) 在椭圆 C 上，所以 {3a 2+14b 2=1,a 2−b 2=3,解得 {a 2=4,b 2=1. 因此，椭圆 C 的方程为 x 24+y 2=1．因为圆 O 的直径为 F 1F 2，所以其方程为 x 2+y 2=3．（2） ①设直线 l 与圆 O 相切于 P (x 0,y 0)(x 0>0,y 0>0)，则 x 02+y 02=3， 所以直线 l 的方程为 y =−x 0y 0(x −x 0)+y 0，即 y =−x 0y 0x +3y 0． 由 {x 24+y 2=1,y =−x 0y 0x +3y 0, 消去 y ，得 (4x 02+y 02)x 2−24x 0x +36−4y 02=0.(∗)因为直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，所以 Δ=(−24x 0)2−4(4x 02+y 02)(36−4y 02)=48y 02(x 02−2)=0．因为 x 0,y 0>0，所以 x 0=√2，y 0=1．因此，点 P 的坐标为 (√2,1)．②因为三角形 OAB 的面积为2√67， 所以 12AB ⋅OP =2√67，从而 AB =4√27． 设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，由 (∗) 得 x 1,2=24x 0±√48y 02(x 02−2)2(4x 02+y 02)， 所以AB 2=(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=(1+x 02y 02)⋅48y 02(x 02−2)(4x 02+y 02)2.因为 x 02+y 02=3，所以 AB 2=16(x 02−2)(x 02+1)2=3249，即 2x 04−45x 02+100=0，解得 x 02=52（x 02=20 舍去），则 y 02=12， 因此 P 的坐标为 (√102,√22)． 综上，直线 l 的方程为 y =−√5x +3√2．36. （1） 由题意 B(t,√8t)，∣BF∣=√(t −2)2+8t =t +2．（2） 由 ∣FA∣=1，∣FQ∣∣=2，可得 ∣AQ∣∣=√3， 所以 Q(3,√3)，设线段 OQ 的中点为 M ，则 M (32,√32)， 由题意有 k MF =k PF ，设 P (y 028,y 0)，则 √32−12=y0y 028−2， 解得 y 0=4√33，于是 P (23,4√33)， 所以 S △AQP =12⋅∣AQ∣∣⋅(3−23)=76√3． （3） 设有在 P (y 028,y 0)，Q (8,a )，使得以 FQ ，FP 为邻边的矩形 FPEQ ，中的点 E 在 Γ 上， 则 FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(y 028−2,y 0)⋅(6,a )=0， 得 34y 02−12+ay 0=0, ⋯⋯① 由 FP ⃗⃗⃗⃗⃗ +FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =FE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得 E (y 028+6,a +y 0)，代入 y 2=8x 得 a 2+2ay 0=48, ⋯⋯② 结合 ①② 得 5y 04+224y 02−768=0，解得 y 02=165，因为 y 0≥0，所以 y 0=4√55，求得 x 0=25， 所以 P (25,4√55)． 37. （1） 由已知得 F (1,0)，l 的方程为 x =1．由已知可得，点 A 的坐标为 (1,√22) 或 (1,−√22)． 所以 AM 的方程为 y =−√22x +√2 或 y =√22x −√2．（2） 当 l 与 x 轴重合时，∠OMA =∠OMB =0∘，当 l 与 x 轴垂直时，OM 为 AB 的垂直平分线，所以 ∠OMA =∠OMB ．当 l 与 x 轴不重合也不垂直时，设 l 的方程为 y =k (x −1)(k ≠0)，A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)， 则 x 1<√2，x 2<√2，直线 MA ，MB 的斜率之和为 k MA +k MB =y 1x1−2+y 2x 2−2， 由 y 1=kx 1−k ，y 2=kx 2−k 得 k MA +k MB =2kx 1x 2−3k (x 1+x 2)+4k (x 1−2)(x 2−2)． 将 y =k (x −1) 代入x 22+y 2=1 得 (2k 2+1)x 2−4k 2x +2k 2−2=0， 所以，x 1+x 2=4k 22k 2+1，x 1x 2=2k 2−22k 2+1，则 2kx 1x 2−3k (x 1+x 2)+4k =4k 3−4k−12k 3+8k 3+4k 2k 2+1=0． 从而 k MA +k MB =0，故 MA ，MB 的倾斜角互补，所以 ∠OMA =∠OMB ．综上，∠OMA =∠OMB ． 38. （1） 当 l 与 x 轴垂直时，l 的方程为 x =2，可得 M 的坐标为 (2,2) 或 (2,−2)． 所以直线 BM 的方程为 y =12x +1 或 y =−12x −1． （2） 当 l 与 x 轴垂直时，AB 为 MN 的垂直平分线，所以 ∠ABM =∠ABN ．当 l 与 x 轴不垂直时，设 l 的方程为 y =k (x −2)(k ≠0)，M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，则 x 1>0，x 2>0．由 {y =k (x −2),y 2=2x,得 ky 2−2y −4k =0， 可知 y 1+y 2=2k ，y 1y 2=−4．直线 BM ，BN 的斜率之和为k BM +k BN =y 1x 1+2+y 2x 2+2=x 2y 1+x 1y 2+2(y 1+y 2)(x 1+2)(x 2+2). ⋯⋯① 将 x 1=y 1k +2，x 2=y 2k +2 及 y 1+y 2，y 1y 2 的表达式代入 ① 式分子， 可得x 2y 1+x 1y 2+2(y 1+y 2)=2y 1y 2+4k (y 1+y 2)k =−8+8k =0.所以 k BM +k BN =0，可知 BM ，BN 的倾斜角互补，所以 ∠ABM +∠ABN ．综上，∠ABM =∠ABN ．39. （1） 把点 P (1,2) 代入 y 2=2px ，得 p =2，所以 y 2=4x ，设 l:y =kx +1，显然 k ≠0，联立 {y =kx +1,y 2=4x,ky 2−4y +4=0，由题意有 Δ>0，即 16−4k ⋅4>0，解得 k <1，所以 k 的取值范围是 k <1 且 k ≠0．（2） 设 M (x M ,y M )，N (x N ,y N )， 由 QM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λQO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 有 (x M ,y M −1)=λ(0,−1)， 所以 λ=1−y M ，同理 μ=1−y N ，设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，由（1）有 {y 1+y 2=4k ,y 1y 2=4k ,直线 PA 的方程为y −2=y 1−2x 1−1(x −1)=y 1−2y 124−1(x −1)=4y 1+2(x −1),令 x =0，得 y M =2y 1y 1+2， 同理有 y N =2y 2y2+2，1λ+1μ=11−y M +11−y N =2+y 12−y 1+2+y 22−y 2=8−2y 1y 24−2(y 1+y 2)+y 1y 2=8−8k 4−8k +4k =2,所以 1λ+1μ为定值 2． 40. （1） 由 {c a =√63,2c =2√2,a 2−b 2=c 2 解得 {a =√3,b =1,c =√2. 则椭圆 M 的方程为 x 23+y 2=1．（2） k =1 时，设 l 方程为 y =x +n ，联立 {y =x +n,x 23+y 2=1 消 y 得 4x 2+6nx +3n 2−3=0，设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则 {x 1+x 2=−3n 2,x 1x 2=3n 2−34.由 Δ>0 得 −2<n <2，∣AB∣=√1+k 2∣x 1−x 2∣=√62⋅√4−n 2. 当 n =0 时，∣AB∣ 最大值为 √6．（3） PA 直线的斜率 k PA =y 1x1+2，PA 直线的方程 y =y 1x 1+2(x +2)，联立 {y =y 1x 1+2(x +2),x 23+y 2=1, 消 y 得 (x 12+4x 1+4+3y 12)x 2+12y 12x +(12y 12−3x 12−12x 1−12)=0， 又 x 123+y 12=1 代入上式得 (4x 1+7)x 2+(12−4x 12)x −(7x 12+12x 1)=0， 设 C (x C ,y C )，由 x 1⋅x C =−(7x 12+12x 1)4x 1+7 得 x C =−(7x 1+12)4x 1+7，y C =y 1x 1+2(x C +2)=y 14x 1+7， 则 C (−(7x 1+12)4x 1+7,y14x 1+7)， 同理 D (−(7x 2+12)4x 2+7,y 24x 2+7)，又 Q (−74,14)，QC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(14(4x 1+7),4y 1−4x 1−74(4x 1+7))，QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(14(4x 2+7),4y 2−4x 2−74(4x 2+7))， 由 C ，D ，Q 三点共线，知 QC⃗⃗⃗⃗⃗ 与 QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线， 于是 14(4x 2+7)×4y 1−4x 1−74(4x 1+7)=14(4x 1+7)×4y 2−4x 2−74(4x 2+7)， 整理得 x 1−x 2=y 1−y 2，则 k =y 2−y 1x 2−x 1=1．。
2018全国卷高考复习平面向量(知识总结+题型)
第一部分平面向量的概念及线性运算向量a( a z 0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数入，使得bi a.【基础练习】1. 判断正误（在括号内打或“X”）⑴零向量与任意向量平行.（）（2）若a// b, b// c,贝U a// c.（）⑶向量云B与向量6D是共线向量，贝y A B, C, D四点在一条直线上.（）（4）当两个非零向量a, b共线时，一定有b=入a,反之成立.（）⑸在厶ABC中, D是BC中点，则A D= 2（心A B.（）2. 给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若③向量ABW BA相等.则所有正确命题的序号是（）A.①B.③C.①③D.①②3.(2017•枣庄模拟）设D ABC所在平面内一点，K D= —4A C若目C= X D C X€ R), 则X =()A.2B.3C. —2D. —34.(2015 •全国n卷）设向量a, b不平行，向量入a+ b与a+ 2b平行，则实数X =5.（必修4P92A12改编）已知？ABCD勺对角线AC和BD相交于Q且OA= a,O B= b,则张 _____ BC= ______ (用a, b 表示).1 26.（2017 •嘉兴七校联考）设D, E分别是△ ABC的边AB BC上的点，AD= -AB BE=§BC若DE= 入l AB+ 入2AC 入 1 , 入2为实数）,贝V 入 1 = _____________ , 入2= _______________ .考点一平面向量的概念【例1】下列命题中，不正确的是 _________ （填序号）.①若I a| = |b| ,则a= b；②若A, B, C, D是不共线的四点，贝厂’AB=承”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；③若a= b, b= c,贝V a= c.【训练1】下列命题中，正确的是 _________ （填序号）.①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小解析①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；②不正确，若a与b中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；a, b都是单位向量，则a= b；考点三共线向量定理及其应用【例3】 设两个非零向量a 与b 不共线.(1)若 AB= a + b , BC= 2a + 8b , CD= 3( a — b ).求证：A, B , ⑵ 试确定实数k ,使ka + b 和a + kb 共线.【训练 3】已知向量 AB= a + 3b , BC= 5a + 3b , CD=- 3a + 3b ，则( )A.AB, C 三点共线 B.A, B, D 三点共线 C.A, C D 三点共线D.B, C, D 三点共线第二部分平面向量基本定理与坐标表示1. 平面向量的基本定理如果e 1, e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 对实数入1,入2,使a =入e+入2e 2.其中，不共线的向量 e 1, e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2. 平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解3. 平面向量的坐标运算(1) 向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设 a =(X 1, y” , b = (X 2, y 2)，贝U③正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小 答案③考点二平面向量的线性运算1【例2】(2017 •潍坊模拟)在厶ABC 中, P , Q 分别是AB BC 的三等分点，且 AP= 3AB BQ= 13BC 若AB= a , AC= b ,则 PQ=( )311 A ・3a +3b 1 1B. — 3a +3b 1 1 C.J a -3b1 1 D. - 3a — 3b【训练2】(1)如图，正方形 ABCDK 点 E 是DC 的中点, 靠近B 点的三等分点，那么 EF 等于(A .^AB ^2D 三点共线;a ,有且只有-点F 是BC 的一个A BC.a+ b= (x i + X2, y土y) , a—b= (x i—X2, y i—y2), X a=(入x i, hy , | a| = ：x1+y?.(2) 向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标②设A(x i，y i)，B(x?，y?)，则AB= (x? —X i，y?—y i)，| AB = : (x?—X i)?+( y? —y i) 24. 平面向量共线的坐标表示设a= (x i, y i) , b= (x?, y?)，贝y a// b? x i y? —x?y i = o.【基础练习】i.(?0i7 •东阳月考)已知向量a= (2 , 4) , b= ( —1 , 1),则2a+ b 等于()A.(5 , 7)B.(5 , 9)C.(3 ,7)D.(3 , 9)2.(20i5 -全国I卷)已知点A(0 , i), B(3 , 2),向量AC= ( —4, —3),则向量BC=( )A.( —7,—4)B.(7 ,4)C.( —1,4)D.(i ,4)3.(20i6 -全国n卷)已知向量a= (m4) , b= (3 , —2)，且a / b,则m=4.(必修4Pi0iA3改编)已知？ABCD勺顶点A—i, —2),耳3 , —i) , C(5 , 6),则顶点D的坐标为考点一平面向量基本定理及其应用【例1】(2014 •全国I卷)设D, E, F分别为△ ABC的三边BC CA AB的中点，贝U EB+ F C= ( )A.ADB.[A DC.1B CD. BC >4【训练1】如图，已知AB= a , AC= b , BD= 3DC用a , b表示AD则AD= __ .a DC"考点二平面向量的坐标运算【例2】(1)已知向量a = (5 , 2) , b= ( —4, —3) , c= (x , y),若3a—2b+ c = 0,则c =( ) A.( —23 , —12) B.(23 , 12)C.(7 , 0)D.( —7 , 0)【训练2】(1)已知点A— 1 , 5)和向量a= (2, 3),若AB= 3a ,则点B的坐标为()A.(7 , 4)B.(7 , 14)C.(5 , 4)D.(5 , 14)⑵(2015 •江苏卷)已知向量a= (2 , 1), b= (1 , —2).若na+ nb= (9 , —8)( m n € R),则m—n的值为_________ .考点三平面向量共线的坐标表示【例3】(1)已知平面向量a= (1 , 2), b= ( — 2 , m,且a / b,贝U 2a+ 3b= ___________(2)(必修4P101练习7改编)已知A (2 , 3) , B (4 , — 3)，点P 在线段AB 的延长线上，且| AFf =|| Bp ，则点P 的坐标为 ____________单位向量是()⑵若三点A (1 , - 5),政a , — 2) , q — 2, - 1)共线，则实数a 的值为 _____________ .第三部分 平面向量的数量积及其应用1. 平面向量数量积的有关概念⑴ 向量的夹角：已知两个非零向量a 和b ,记O A a , O B- b ,则/ AOB- 0 (0 ° < 0 < 180°)叫做向量a 与b 的夹角.⑵ 数量积的定义：已知两个非零向量a 与b ,它们的夹角为 0，则数量| a || b |cos 0叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a • b ,即a • b = | a || b |cos ___ 0,规定零向量与任一向量的数量积为0，即0 • a = 0.⑶数量积几何意义：数量积a • b 等于a 的长度| a |与b 在a 的方向上的投影| b |cos 0的乘积. 2. 平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a = (x i , y i ), b = (X 2, y 2), 0为向量a , b 的夹角.⑴ 数量积：a • b = | a || b |cos 0 = X 1X 2+ y i y 2.(2) 模：| a | = , a • a = , x i + y i . 亠宀 a • bX 1X 2+ y i y 2(3) 夹角：C0S 0= 1 冲=——2222.丨 a ll b | 寸x i + y i •寸X 2 + y 2⑷ 两非零向量 a 丄b 的充要条件：a • b = 0? X 1X 2+ y i y 2= 0.(5)| a • b | <| a || b |(当且仅当 a // b 时等号成立)？ | X 1X 2+ yyl w 寸x ；+ y ： • p x 2+ y 2. 3. 平面向量数量积的运算律：(1) a - b = b • a (交换律).(2)入a • b = X (a • b ) = a •(入b )(结合律).(3)( a + b ) - c = a - c + b - c (分配律). 【基础练习】1. (2015 •全国 n 卷)向量 a = (1 , — 1), b = ( — 1, 2)，则(2a + b ) - a 等于( )A. — 1B.0C.1D.22. (2017 •湖州模拟)已知向量a , b ,其中|a | = 3, | b | = 2，且(a — b )丄a ，则向量a 和b 的 夹角是 ________ .2 n3. (2016 •石家庄模拟)已知平面向量a , b 的夹角为, |a | = 2,|b | = 1，则| a + b | = ________ .【训练3】 (1)(2017 •浙江三市十二校联考)已知点A (1 , 3) , B (4 , — 1)，则与AB 同方向的3-4-- D4 - 53 - 5-3 - 5 -4 -4 - 5-3 - 5A35. (必修4P104例1改编)已知I a| = 5, | b| = 4, a与b的夹角0 = 120°,则向量b在向量a方向上的投影为 _________ .6. _______________________________________ (2017 •瑞安一中检测)已知a , b , c 是同一平面内的三个向量，其中 a = (1 , 2) , |b | = 1, 且a + b 与a — 2b 垂直，则向量 a • b =； a 与b 的夹角0的余弦值为 ________________________________ .【考点突破】考点一平面向量的数量积及在平面几何中的应用(用已知表示未知) 【例1】(1)(2015 •四川卷)设四边形ABCD 为平行四边形, 足B M= 3^C 6N = 2hf c 则 AM ・ NM 等于（ ） A.20B. 15C.9D.6⑵(2016 •天津卷)已知△ ABC 是边长为1的等边三角形，点连接DE 并延长到点F ,使得DE= 2EF,则AF • BC 的值为(【训练1】(1)(2017 •义乌市调研)在Rt △ ABC 中 , / A = 90° , AB= AC= 2,点D 为AC 的中 点，点E 满足1BE= 3B C 则尺E ・E3D= _____⑵(2017 •宁波质检)已有正方形 ABC 啲边长为1,点E 是AB 边上的动点，贝U 0E- CB 勺值为 ________ ； 6E - [5C 的最大值为 ______ . 考点二平面向量的夹角与垂直【例2】(1)(2016 •全国n 卷)已知向量a = (1 , m ) , b = (3 , — 2),且(a + b )丄b ,则 作( )A. — 8B. — 6C.6D.8⑵ 若向量a = (k , 3), b = (1 , 4), c = (2, 1),已知2a — 3b 与c 的夹角为钝角，贝U k 的取值 范围是_______________ .【训练2】(1)(2016 •全国川卷)已知向量BA= 1 ,右3 , BC= , 2 ,则/ ABC=()A.30 °B.45 °C.60°D.120°2 2 2(2)(2016 •全国I 卷)设向量 a = (m 1) , b = (1 , 2),且 |a + b | = | a | + | b | ,贝 Um ^ .考点三平面向量的模及其应用n【例3】(2017 •云南统一检测)已知平面向量a 与b 的夹角等于—,若|a | = 2 , | b | = 3,则 |2a — 3b | =()| AB = 6, |AD | = 4，若点 M N 满D, E 分别是边AB BC 的中点,11A . —8B.81。
2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(10 平面向量)
2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（10平面向量）一、选择题1．（2018浙江）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π 3，向量b 满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是（ ）A1 BC ．2D ．21.答案：A解答：设(1,0)e =，(,)b x y =，则222430430b e b x y x -⋅+=⇒+-+=22(2)1x y ⇒-+=如图所示，a OA =，b OB =，（其中A 为射线OA 上动点，B 为圆C 上动点，3AOx π∠=.）∴min11a bCD -=-=.（其中CD OA ⊥.）2．（2018天津文）在如图的平面图形中， 已知 1.2,120OM ON MON ==∠=,2,2,BM MA CN NA ==则·BC OM 的值为（ ）（A ）15- （B ）9- （C ）6- （D ）02．【答案】C【解析】如图所示，连结MN ，由2BM MA =，2CN NA = 可知点M ，N 分别为线段AB ，AC 上靠近点A 的三等分点，则()33BC MN ON OM ==-，由题意可知：2211OM ==，12cos1201OM ON ⋅=⨯⨯︒=-， 结合数量积的运算法则可得：()2333336BC OM ON OM OM ON OM OM ⋅=-⋅=⋅-=--=-．故选C ．3．（2018天津理）如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==.若点E 为边CD 上的动点，则⋅uu u r uurAE BE 的最小值为 （ ）(A) 2116 (B) 32 (C) 2516(D) 33．【答案】A【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则10,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，B ⎫⎪⎪⎝⎭，30,2C ⎛⎫⎪⎝⎭，D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，点E 在CD 上，则()01DE DC λλ=≤≤，设(),E x y ，则：32x y λ⎛⎫⎫= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即32x y λ⎧⎪+=⎨=⎪⎪⎪⎩，据此可得32E λ⎫⎪⎪⎝⎭，且33122AE λ⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭，332BE λ⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭，由数量积的坐标运算法则可得：3331222AE BE λλ⎛⎛⎫⋅=-+⨯+ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝， 整理可得：()()23422014AE BE λλλ⋅=-+≤≤，结合二次函数的性质可知，当14λ=时，AE BE ⋅取得最小值2116，故选A ．4．（2018全国新课标Ⅰ文、理）在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =（ ）A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC +D ．1344AB AC +4．答案：A解答：由题可知11131[()]22244EB EA AB AD AB AB AC AB AB AC =+=-+=-++=-.5．（2018全国新课标Ⅱ文、理）已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b （ ）A ．4B ．3C ．2D ．0 5．【答案】B【解析】因为()()222221213⋅-=-⋅=--=+=a a b a a b a ，所以选B ．二、填空1．（2018北京文）设向量()10=,a ，()1,m =-b ，若()m ⊥-a a b ，则m =_________． 1．【答案】1-【解析】()10=Q ,a ，()1m =-,b ，()()()011m m m m m ∴-=--=+-,,,a b ， 由()m ⊥-a a b 得，()0m ⋅-=a a b ，()10m m ∴⋅-=+=a a b ，即1m =-．2. （2018上海）在平面直角坐标系中，已知点A （-1，0），B （2，0），E ，F 是y 轴上的两个动点，且|EF |=2，则AE ·BF 的最小值为______3．（2018江苏）在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为 ▲ ．3．【答案】3【解析】设()(),20A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭， 易得()()():520C x x a y y a --+-=，与2y x =联立解得点D 的横坐标1D x =，所以()1,2D ．所以()5,2AB a a =--，51,22a CD a +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 由0AB CD ⋅=得()()()5512202a a a a +⎛⎫--+--= ⎪⎝⎭，2230a a --=，3a =或1a =-，因为0a >，所以3a =．4．（2018全国新课标Ⅲ文、理）已知向量(1,2)=a ，(2,2)=-b ，(1,)λ=c ．若()2+c a b ，则λ=________． 4．答案：12解答：2(4,2)a b +=，∵//(2)c a b +，∴1240λ⨯-⨯=，解得12λ=.三、解答题。
2018年全国各地高考数学分类试题答案及详细解析
2018年全国各地高考数学分类试题答案及详细解析第一节 集合一、选择题：1．（2018北京文）已知集合{}2A x x =<，{}–2,0,1,2B =，则A B =（ ）A ．{}0,1B ．{}–1,0,1C ．{}–2,0,1,2D ．{}–1,0,1,21．【答案】A【解析】2x <，22x ∴-<<，因此{}(){}2,0,1,22,20,1A B =--=，故选A ． 2．（2018北京理）已知集合A ={x ||x |<2}，B ={–2，0，1，2}，则A B =（ ）（A ）{0，1} （B ）{–1，0，1} （C ）{–2，0，1，2} （D ）{–1，0，1，2} 2．【答案】A【解析】2x <，22x ∴-<<，因此{}(){}2,0,1,22,20,1A B =--=，故选A ．3．（2018浙江）已知全集U ={1，2，3，4，5}，A ={1，3}，则=U A （ ） A ．∅ B ．{1，3} C ．{2，4，5} D ．{1，2，3，4，5}3.答案：C解答：由题意知U C A ={2,4,5}. 4．（2018天津文）设集合{1,2,3,4}A =，{1,0,2,3}B =-，{|12}C x x =∈-≤<R ，则()A B C =（ ）（A ）{1,1}- （B ）{0,1} （C ）{1,0,1}- （D ）{2,3,4} 4．【答案】C【解析】由并集的定义可得{}1,0,1,2,3,4A B =-，结合交集的定义可知：(){}1,0,1A B C =-．故选C ．5 （2018天津理）设全集为R ，集合{02}A x x =<<，{1}B x x =≥，则()=R A B （ ）(A) {01}x x <≤ (B) {01}x x << (C) {12}x x ≤< (D) {02}x x <<5．【答案】B【解析】由题意可得{}1Bx x =<R ，结合交集的定义可得(){}01A Bx =<<R ，故选B ．6．（2018全国新课标Ⅰ文）已知集合{}02A =，，{}21012B =--，，，，，则A B =（ ）A ．{}02，B ．{}12，C ．{}0D ．{}21012--，，，， 6．答案：A解答：{0,2}A B ⋂=，故选A.7．（2018全国新课标Ⅰ理）已知集合{}220A x x x =-->，则A =R（ ）A ．{}12x x -<<B ．{}12x x -≤≤C ．}{}{|1|2x x x x <->D ．}{}{|1|2x x x x ≤-≥7. 答案：B解答：{|2A x x =>或1}x <-，则{|12}R C A x x =-≤≤.8．（2018全国新课标Ⅱ文）已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，则AB =（ ）A ．{}3B ．{}5C ．{}3,5D ．{}1,2,3,4,5,78．【答案】C【解析】{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，{}3,5A B ∴=，故选C ．9．（2018全国新课标Ⅱ理）已知集合(){}223A x y x y x y =+∈∈Z Z ，≤，，，则A 中元素的个数为 （ ）A ．9B ．8C ．5D ．49．【答案】A【解析】223x y +≤，23x ∴≤，x ∈Z ，1x ∴=-，0，1， 当1x =-时，1y =-，0，1；当0x =时，1y =-，0，1； 当1x =-时，1y =-，0，1；所以共有9个，故选A ．10．（2018全国新课标Ⅲ文、理）已知集合{}|10A x x =-≥，{}012B =，，，则A B =（ ）A ．{}0B ．{}1C ．{}12，D ．{}012，，10.答案：C解答：∵{|10}{|1}A x x x x =-≥=≥，{0,1,2}B =，∴{1,2}A B =.故选C.二、填空题：1．（2018江苏）已知集合{0,1,2,8}A =，{1,1,6,8}B =-，那么A B = ▲ ．1．【答案】{}1,8【解析】由题设和交集的定义可知，{}1,8A B =．第二节 常用逻辑用语一.选择题：1．（2018北京文）设a ，b ，c ，d 是非零实数，则“ad bc =”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 1．【答案】B【解析】当4a =，1b =，1c =，14d =时，a ，b ，c ，d 不成等比数列，所以不是充分条件；当a ，b ，c ，d 成等比数列时，则ad bc =，所以是必要条件．综上所述，“ad bc =”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的必要不充分条件．故选B ．2．（2018北京理）设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件 2．【答案】C【解析】2222223333699+6a b a b a b a b a a b b a a b b -=+⇔-=+⇔-⋅+=⋅+，因为a ，b 均为单位向量，所以2222699+6=0a a b b a a b b a b a b -⋅+=⋅+⇔⋅⇔⊥， 即“33a b a b -=+”是“a b ⊥”的充分必要条件．故选C ．3．（2018浙江）已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3．.答案：A解答：若“//m n ”，平面外一条直线与平面内一条直线平行，可得线面平行，所以“//m α”；当“//m α”时，m 不一定与n 平行，所以“//m n ”是“//m α”的充分不必要条件.4. （2018上海）已知a R ∈，则“1a ﹥”是“1a1﹤”的（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件答案：A知识点：一元二次不等式及其解法 考查能力：运算求解能力解析：1a 1﹤→a>1或a<0，由子集推导关系可知选择A 。
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2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全
（10平面向量）
一、选择题
1．（2018浙江）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e
的夹角为π 3，向量b 满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是（ ）
A ．3−1
B ．3+1
C ．2
D ．2−3
1.答案：A 解答：设(1,0)e =r ，(,)b x y =r ， 则222430430b e b x y x -⋅+=⇒+-+=r r r 22(2)1x y ⇒-+= 如图所示，a OA =r u u u r ，b OB =r u u u r ，（其中A 为射线OA 上动点，B 为圆C 上动点，3AOx π∠=.） ∴min
131a b CD -=-=-r r .（其中CD OA ⊥.）
2．（2018天津文）在如图的平面图形中，
已知 1.2,120OM ON MON ==∠=o , 2,2,BM MA CN NA ==u u u u r u u u r u u u r u u u r 则·BC OM u u u r u u u u r 的值为（ ）
（A ）15- （B ）9- （C ）6- （D ）0
2．【答案】C 【解析】如图所示，连结MN ，由2BM MA =u u u u r u u u r ，2CN NA =u u u r u u u r 可知点M ，N 分别为线段AB ，AC 上靠近点A 的三等分点，则()33BC MN ON OM ==-u u u r u u u u r u u u r u u u u r ，
由题意可知：2211OM ==u u u u r ，12cos1201OM ON ⋅=⨯⨯︒=-u u u u r u u u r ，
结合数量积的运算法则可得： ()
2333336BC OM ON OM OM ON OM OM ⋅=-⋅=⋅-=--=-u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r ．故选C ．
3．（2018天津理）如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，
1AB AD ==. 若点E 为边CD 上的动点，则⋅uu u r uur AE BE 的最小值为 （ ） (A) 2116 (B) 32 (C) 2516 (D) 3 3．【答案】A 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系， 则10,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，3,02B ⎛
⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，30,2C ⎛⎫
⎪⎝⎭，3,02D ⎛⎫
-
⎪ ⎪⎝⎭
，
点E 在CD 上，则()01DE DC λλ=≤≤u u u r u u u r ，设(),E x y ，则：
333,,222x y λ
⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即3
3
223
2x y λ
λ
⎧
⎪
+=⎨=⎪⎪⎪⎩，
据此可得333,222E λλ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，且
3331,2222AE λλ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭u u u r
，
333,22BE λλ⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭
u u u r ，
由数量积的坐标运算法则可得：
3333313
222222AE BE λλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=--+⨯
+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r ，
整理可得：()()23
422014AE BE λλλ⋅=-+≤≤u u u r u u u r ，
结合二次函数的性质可知，当1
4λ=时，AE BE ⋅u u u r u u u r 取得最小值21
16，故选A ．
4．（2018全国新课标Ⅰ文、理）在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u r （ ）
A ．3144A
B A
C -u u u r u u u r B ．1344AB AC -u
u u r u u u r C ．3144AB AC +u
u u r u u
u r D ．1344AB AC +u
u u r u
u u r
4．答案：A
解答：
由题可知11131[()]22244EB EA AB AD AB AB AC AB AB AC =+=-+=-++=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
.
5．（2018全国新课标Ⅱ文、理）已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b （ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．0
5．【答案】B
【解析】因为()()
222221213⋅-=-⋅=--=+=a a b a a b a ，所以选B ．
二、填空
1．（2018北京文）设向量()10=,
a ，()1,m =-
b ，若()m ⊥-a a b ，则m =_________． 1．【答案】1-
【解析】()10=Q ,
a ，()1m =-,
b ，()()()011m m m m m ∴-=--=+-,,,a b ， 由()m ⊥-a a b 得，()0m ⋅-=a a b ，()10m m ∴⋅-=+=a a b ，即1m =-．
2. （2018上海）在平面直角坐标系中，已知点A （-1，0），B （2，0），E ，F 是y 轴上的两个动点，且|EF u u v |=2，则AE u u u v ·BF u u u v 的最小值为______
3．（2018江苏）在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=u u u r u u u r ，则点A 的横坐标为 ▲ ．
3．【答案】3
【解析】设()(),20A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,2a C a +⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 易得()()():520C x x a y y a --+-=，与2y x =联立解得点D 的横坐标1D x =，所以
()1,2D ．所以()5,2AB a a =--u u u r ，51,22a CD a +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ， 由0AB CD ⋅=u u u r u u u r 得()()()5512202a a a a +⎛⎫--+--= ⎪⎝⎭
， 2230a a --=，3a =或1a =-，因为0a >，所以3a =．
4．（2018全国新课标Ⅲ文、理）已知向量(1,2)=a ，(2,2)=-b ，(1,)λ=c ．若()2+c a b P ，则
λ=________．
4．答案：
12
解答：2(4,2)a b +=r r ，∵//(2)c a b +r r r ，∴1240λ⨯-⨯=，解得12λ=.
三、解答题。