自动控制原理第三章2_高阶系统
A2 e nt sin n 1 2 t
n 1 2
1 2
A3e p3t
式中： tg 1
三阶系统单位阶跃响应
[分析]：三阶系统的单位阶跃响应由三部分组成：稳态项，共轭 复极点形成的振荡分量，实极点构成的衰减指数项分量。
p3
影响瞬态特性的有两个因素：第一是 n ，它表示 p3和 p1 , p2 的相对位置。当 1 时，表示 p3 离虚轴 p1 , p2 离虚轴近，系统的瞬态特性主要由 p1 , p2 决定， 远， 呈二阶系统的特性。反之，当 1 时，表示 p3 离虚轴近， p1 , p2 离虚轴远，系统的瞬态特性主要由 p3决定，呈一阶 系统的特性。第二个因素是阻尼系数 ，同前。如下图所示：
高阶系统分析，单位阶跃响应
c(t ) a0 a j e
j 1
n1
p jt
l e
l 1
n2
l nl t
cos nl 1 l t l e
2 l 1
n2
l nl t
sin nl 1 l t
2
可见，c(t)不仅与 p j , l ,nl （闭环极点）有关，而且与系数 a j , l , l 有关（这些系数都与闭环零、极点有关）。所以，高 阶系统的单位阶跃响应取决于闭环系统的零、极点分布。 [定性分析]： 对于闭环极点全部位于s左半平面的高阶系统（否则系统不 稳定），极点为实数（指数衰减项）和共轭复数（衰减正弦项） 的衰减快慢取决于极点离虚轴的距离。远，衰减的快；近，衰 减的慢。所以，近极点对瞬态响应影响大。
c(t )
1
2
0.1
0
nt
表示无 p3 极点，由图 图中， 可见，加入极点 p3 后，当 不变 时，超调量下降了，但调节时间增 加了。
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
高阶系统分析
二、高阶系统分析
m m1 b s b s 高阶系统的传递函数为：(s) m n m1 n1 ... b0 , m n an s an1s ... a0 m 写成零极点形式： k g ( s zi ) i 1 ( s) n , n1 2n2 n, m n n 2 2 ( s p ) ( s 2 s j l nl nl )
1 2
j 1
l 1
其单位阶跃响应函数为： 2 n1 n2 a ( s ) 1 1 a j l nl l nl l C ( s ) ( s) 0 l 2 s s j 1 s p j l 1 s 2 2 l nl s nl
2
p2
p3
n 1 2
p1
n 0
n阶跃响应的表达式和曲线： n 2 p3 1 1 C (s) (s) 2 2 s ( s 2 n s n )(s p3 ) s A3 1 A1s A2 2 2 s s 2 n s n s p3 p3 A1, A2 , A3 与 , n , 式中： （实极点与共轭极点的位置关 n 系）有关。 A1e nt sin( n 1 2 t ) c(t ) 1 1 2
高阶系统分析，主导极点
系数 a j , l , l 取决于零、极点分布。有以下几种情况： 若极点远离原点，则系数小；
极点靠近一个零点，远离其他极点和零点，系数小；
极点远离零点，又接近原点或其他极点，系数大。
衰减慢且系数大的项在瞬态过程中起主导作用。
[主导极点]：满足下列条件的极点称为主导极点。
高阶系统分析(了解)
一、典型三阶系统的瞬态响应
n 2 传递函数：( s) 2 ，当 0 1时，极 2 ( s 2 n s n )(Ts 1) 点分布如下：
p1 n j n 1 , p2 n j n
2
1 1 , p3 T
存在一对离虚轴最近的共轭极点；
附近无零点； 其他极点距虚轴的距离是它的5倍以上。
主导极点及应用
主导极点在c(t)中的对应项衰减最慢，系数最大，系统的瞬 态性能指标主要由它决定。具有主导极点的高阶系统可近似为 二阶系统。 [例如]： p1, 2 1 n1 j n1 1 1 j d 为某高阶系统 的主导极点，则单位阶跃响应近似为：
2
c(t ) a0 et (1 cosd t 1 sin d t )
利用主导极点的概念可以对高阶系统的特性做近似的估计分析。 高阶系统近似简化原则： 在近似前后，确保输出稳态值不变； 在近似前后，瞬态过程基本相差不大。
n 2 (s z) 例如：( s) 2 2 ( s 2 n s n )(s p) z p 5以及 5 如果：
2 s 0
n z 1 z 而 lim s 2 2 s ( s 2 n s n ) p p
2 s 0
小结
零、极点位置对高阶系统单位阶跃响应曲线的影响情况。 极点位置决定衰减快慢，零点和极点同时决定各项系数的 大小 主导极点 高阶系统简化为二阶系统的原则
z p
jd
n
n
n
z n 则： ( s ) 2 p ( s 2 2 n s n )
2
jd
说明：假设输入为单位阶跃函数，则化简前后的稳态值如下
n (s z) 1 z lim s 2 s ( s 2 n s n 2 )(s p) p
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自动控制原理 第三章(二,三)
非单位反馈系统图 非单位反馈系统图偏差 e(t) ： e(t)= r(t)-b(t)，其确定 ， 的关系为 的关系为： E ( s ) 终值定理 1
R( s )
=
lim f (t ) = lim sF ( s ) t → ∞ s → H(s) 0
1 + G( s ) H ( s )
稳态误差的一般计算式
k =1
r
+ ∑Ck e−ζ kωnkt sin( ωnk 1 − ζ 2 × t)
(t ≥ 0)
由此可见， 由此可见 ， 高阶系统的时域响应是由稳态值和一些 惯性环节及振荡环节的瞬态响应分量所组成。 惯性环节及振荡环节的瞬态响应分量所组成。
C(s) =
C(t) = Α0 + ∑Αi e Α q Α
k nk
各瞬态分量在过渡过程中所起作用的大小， 各瞬态分量在过渡过程中所起作用的大小，将取 决于它们的指数 P 、 ζ kωnk的值和相应项的系 i 的大小。如果系统所有极点都分布在S 数 Αi 、 Bk 、 Ck 的大小。如果系统所有极点都分布在S 平面的左半部分，即所有极点均具有负实部，那么， 平面的左半部分，即所有极点均具有负实部，那么， 趋于无穷大时，式中的指数项都趋于零， 当t趋于无穷大时，式中的指数项都趋于零，系统的响 应达到稳态值。 应达到稳态值。 由式可以看出，在瞬态过程中， 由式可以看出，在瞬态过程中，某衰减项的指 的值越大，则该项衰减越快，反之亦然。 数 P 或 ζ kωnk的值越大，则该项衰减越快，反之亦然。 i 就是系统的极点到虚轴的距离，因此， 而 P 和 ζ kωnk就是系统的极点到虚轴的距离，因此， i 如果分布在S平面左半部分的极点离虚轴越远， 如果分布在S平面左半部分的极点离虚轴越远，则它对 应的分量衰减越快。显然， 应的分量衰减越快。显然，对系统过渡过程影响最大 的，是那些离虚轴最近的极点。 是那些离虚轴最近的极点。
自动控制原理第三章(胡寿松)
11
成都信息工程学院控制工程系
第一章 自动控制的一般概念
注意：
1．不同性质的控制系统，对稳定性、准 确性和快速性要求各有侧重。 2．系统的稳定性、准确性、快速性相互 制约，应根据实际需求合理选择。
12
成都信息工程学院控制工程系
第三章 线性系统的时域分析法
延迟时间td:响应曲线第一次到达终值一半所需的 时间。
调节时间ts：响应曲线开始进入并保持在误差带内所需的 最小时间，误差带通常取 5 % h ( )或 2 % h ( )
h(t)
1.0
误 差 带 5%或 2%
0.5
td
h()
0
tr tp ts
16
成都信息工程学院控制工程系
第三章 线性系统的时域分析法
超调量σ%：响应曲线超出稳态值的最大偏差与稳态值 之比。即：
快速性：输出量产生偏差时，系统消除这种偏差的快 慢程度。快速性表征系统的动态性能。一般用过渡过 程的时间来表示，如：上升时间、峰值时间、调节 时间等。
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第一章 自动控制的一般概念
准确性：是衡量控制系统控制精度的重要标志。一般 用被控量的稳态值与期望值之间的误差（称为稳态误 差）表示。
成都信息工程学院控制工程系
3
第一章 自动控制的一般概念
⑴阶跃函数
Step Signal 5 4 3 2 1 0 -1 -1 0 1 2 3 4 t 5 r(t)
函数表达式：
当A=1时称为单位阶跃信号。
阶跃信号：含宽频带谐波分量，产生容易，是最常 用系统性能测试信号。
4
成都信息工程学院控制工程系
第一章 自动控制的一般概念
自动控制原理第三章
5
3-2 一阶系统的时域分析
用一阶微分方程描述的控制系统
3-2-1 一阶系统数学描述 RC电路 其微分方程为： 电路， 例如 RC电路，其微分方程为：
R + r(t) _ I
1 Cs
+ C c(t) _ C(s)
ɺ T c+c = r
其中：c(t) 为电路输出电压， 其中： 为电路输出电压， R(s) UR r(t) 为电路输入电压， 为电路输入电压， T=RC为时间常数 为时间常数 由原理图得系统结构图。 由原理图得系统结构图。 R(s) 当初始条件为零时，其传递函数为: 当初始条件为零时，其传递函数为 C ( s) 1 = Φ ( s) = 一阶惯性环节 R(s) Ts + 1
t − 1 2 c (t ) = t − Tt + T 2 1 − e T 2
误差： 误差：
(t ≥ 0)
t − e (t ) = r (t ) − c (t ) = Tt − T 1 − e T 2
(t ≥ 0)
跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。 跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。 因此，一阶系统不能跟踪加速度输入。 因此，一阶系统不能跟踪加速度输入。
1 R
-
1 Ts
C(s)
6
3-2-2 一阶系统单位阶跃响应 系统输入： 系统输入：R(s ) = 1 系统输出： 系统输出：C ( s ) = Φ ( s ) R( s ) = 1 ⋅ 1 Ts + 1 s 1 T = − s Ts + 1 变换， Λ−1变换，得：h( t ) = 1 − e ,t ≥ 0 阶跃响应的特点： 阶跃响应的特点： 1 1) 在 t=0 时的斜率最大，为： 时的斜率最大，
3-2 一阶系统的时域分析
用一阶微分方程描述的控制系统
3-2-1 一阶系统数学描述 RC电路 其微分方程为： 电路， 例如 RC电路，其微分方程为：
R + r(t) _ I
1 Cs
+ C c(t) _ C(s)
ɺ T c+c = r
其中：c(t) 为电路输出电压， 其中： 为电路输出电压， R(s) UR r(t) 为电路输入电压， 为电路输入电压， T=RC为时间常数 为时间常数 由原理图得系统结构图。 由原理图得系统结构图。 R(s) 当初始条件为零时，其传递函数为: 当初始条件为零时，其传递函数为 C ( s) 1 = Φ ( s) = 一阶惯性环节 R(s) Ts + 1
t − 1 2 c (t ) = t − Tt + T 2 1 − e T 2
误差： 误差：
(t ≥ 0)
t − e (t ) = r (t ) − c (t ) = Tt − T 1 − e T 2
(t ≥ 0)
跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。 跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。 因此，一阶系统不能跟踪加速度输入。 因此，一阶系统不能跟踪加速度输入。
1 R
-
1 Ts
C(s)
6
3-2-2 一阶系统单位阶跃响应 系统输入： 系统输入：R(s ) = 1 系统输出： 系统输出：C ( s ) = Φ ( s ) R( s ) = 1 ⋅ 1 Ts + 1 s 1 T = − s Ts + 1 变换， Λ−1变换，得：h( t ) = 1 − e ,t ≥ 0 阶跃响应的特点： 阶跃响应的特点： 1 1) 在 t=0 时的斜率最大，为： 时的斜率最大，
自动控制原理第三章 二阶系统PPT
tr t p
ts
t
第一节 系统的时域性能指标
2．抗扰性能指标
（1）动态降落 如果控制系统在稳态运行中受到扰 c(t) △cmax ±5% 动作用 , 经历一段动态过程后又能达到新 系 统 输 出 C∞1 的 最大降落 的稳态。可用抗扰性能指标来描述系统 值。 的抗扰性能. 0 t tν （2）恢复时间 系统输出恢复到与误差带范围所需的 根据系统在负载扰动之后的典型过 时间。 度过程定义抗扰性能指标: 返回
n n
ωdtr+β=0,π,2π…
第三节 二阶系统性能分析
2. 峰值时间tp -ζ ω t t -ωne e ω sin( ωdtp+β)] 2 ζ cos( ω t + β ) [ nβ 1ζ c(t)=1Sin( ω t+ ) = 1-ζ2 d p d 2
n p
n
1-ζ =0 dc(tp) =0 则 根据定义有 -ζ ω n sin(ωdtp+β)=0 1-ζ2 cos(ωdtp+β) dt
第三节 二阶系统性能分析
1. ζ >1 过阻尼
两个不相等 S1.2 = - ζ ω n ±ω n ζ 2 -1 的负实数根 A1 A2 A3 ωn C(s)= = + S S-S1 S-S2 S(S-S1)(S-S2) 拉氏反变换
c(t)=A1+A2es1t+A3es2t
系统输出随时间单调上升，无振荡和 超调，输出响应最终趋于稳态值1。
c(t)=t-T+Te-t/T
可知: 系统输入信号导数的输出响应，等 于该输入信号输出响应的导数；根据一种 典型信号的响应，就可推知于其它。
第二节 一阶系统性能分析
自动控制原理-第3章
响应曲线如图3-2所示。图中
为输出的稳态值。
第三章 线性系统的时域分析 法
图 3-2 动态性能指标
第三章 线性系统的时域分析 法
动态性能指标通常有以下几种:
延迟时间td: 指响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间
上升时间tr: 若阶跃响应不超过稳态值, 上升时间指响应曲线从 稳态值的10%上升到90%所需的时间; 对于有振荡的系统, 上升时 间定义为响应从零第一次上升到稳态值所需的时间。上升时间越 短, 响应速度越快。
可由下式确定: (3.8)
振荡次数N: 在0≤t≤ts内, 阶跃响应曲线穿越稳态值c(∞)次 一半称为振荡次数。
上述动态性能指标中, 常用的指标有tr、ts和σp。上升时间tr 价系统的响应速度; σp评价系统的运行平稳性或阻尼程度; ts是同
时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。 应当指出, 除简单的一 、二阶系统外, 要精确给出这些指标的解析表达式是很困难的。
中可以看出, 随着阻尼比ζ的减小, 阶跃响应的振荡程度加剧。 ζ =0时是等幅振荡, ζ≥1时是无振荡的单调上升曲线, 其中临界阻尼 对应的过渡过程时间最短。 在欠阻尼的状态下, 当0.4＜ζ＜0.8时过
渡过程时间比临界阻尼时更短, 而且振荡也不严重。 因此在 控制工程中, 除了那些不允许产生超调和振荡的情况外, 通常都希
第三章 线性系统的时域分析法 4. 脉冲函数 脉冲函数(见图3-1(d))的时域表达式为
(3.4)
式中,h称为脉冲宽度, 脉冲的面积为1。若对脉冲的宽度取趋于 零的极限, 则有
(3.5) 及
(3.6)
称此函数为理想脉冲函数, 又称δ函数(见图3-1(e))。
第三章 线性系统的时域分析 法
自动控制原理第三节2_高阶系统
例如：(s)
(s2
n2(s z) 2 ns n2 )(s
p)
如果： z 5以及 p 5
n
n
z p
则：
(s)
p(s2
z n 2 2 ns n2 )
n
j d jd
说明：假设输入为单位阶跃函数，则化简前后的稳态值如下
lim s 1 s (s2
s0
n2(s z) 2 ns n2 )(s
[例如]： p1,2 1 n1 jn1
1
2 1
jd
为某高阶系统
的主导极点，则单位阶跃响应近似为：
c(t) a0 et (1 cosdt 1 sin dt)
利用主导极点的概念可以对高阶系统的特性做近似的估计分析。 高阶系统近似简化原则： 在近似前后，确保输出稳态值不变；
在近似前后，瞬态过程基本相差不大。
阶系统的单位阶跃响应取决于闭环系统的零、极点分布。
[定性分析]：
对于闭环极点全部位于s左半平面的高阶系统（否则系统不 稳定），极点为实数（指数衰减项）和共轭复数（衰减正弦项） 的衰减快慢取决于极点离虚轴的距离。远，衰减的快；近，衰 减的慢。所以，近极点对瞬态响应影响大。
高阶系统分析，主导极点
系数 a j , l , l 取决于零、极点分布。有以下几种情况： 若极点远离原点，则系数小； 极点靠近一个零点，远离其他极点和零点，系数小； 极点远离零点，又接近原点或其他极点，系数大。
C(s)
(s)
1 s
(s2
n2 p3 2 ns n2 )(s
p3 )
1 s
1 s
s2
A1s A2
2 ns n2
s
A3 p3
式中：A1, A2 , A3 系）有关。
《自动控制原理(第4版)》第3章
（2）单调上升的指数曲线； （3）当t=T时，y=0.632；
（4）曲线的初始斜率为1/T。
性能：
（1）超调量 不存在(0) 。
（2）ts=3T 或4T。
11
2、单位斜坡响应
t
y(t) (t T ) Te T t 0
y(t)的特点： （1）由动态分量和稳态分量两部分组成。 （2）输入与输出之间存在跟踪误差，且误差 值等于系统时
r
B eknkt k
cos
k 1
1 2nkt
r k 1
Ck knk Bk 1 2nkt
e knkt
sin
1 2nkt
37
y(t)分析： 1.闭环极点在s的左半平面上，则对应的动态分量，当时间趋于
无穷时都趋于0，系统输出等于稳态分量值。----系统是稳定的。 2.动态分量哀减的快慢，取决于闭环极点的大小，
间常数“T”。
12
3、单位抛物线响应
y(t)的特点：
y(t)
1
t
2
Tt
T
2
(1
t
eT
)
t0
2
输入与输出之间存在误差为无穷大，这意味着一阶系
统是不能跟踪单位抛物线输入信号的。
4、单位脉冲响应
t
y(t) Te T t 0
当 t 时， y() 0
13
对一阶系统典型输入响应的两点说明： 1、输入信号为单位抛物线信号时，输出无法跟踪输入 2、三种响应之间的关系：
n2
ss
n2
p1 s
p2
y t
1 2
1
2
e
1
2 1 nt
2 1
e
2 1 nt
自动控制原理第三章2高阶系统
PID控制器的优化设计
通过优化算法，对PID控制器进行优 化设计。
高阶系统的状态反馈设计
状态反馈的设计原则
根据高阶系统的状态变量，设计状态反馈控 制器。
状态反馈的极点配置
通过配置状态反馈控制器的极点，实现系统 性能的优化。
状态反馈的鲁棒性分析
分析状态反馈控制器对系统参数变化的鲁棒 性。
状态反馈的优化设计
高阶系统的优化设计
通过优化算法，如遗传算法、粒子群算法等 ，对高阶系统进行优化设计。
高阶系统的PID控制设计
PID控制器的参数整定
根据高阶系统的特性，整定PID控制 器的比例、积分和微分参数。
PID控制器的稳定性分析
通过分析PID控制器的极点和零点， 判断系统的稳定性。
PID控制器的抗干扰能力
考虑PID控制器对外部干扰的抑制能 力，提高系统的鲁棒性。
通过研究高阶系统的 特性，可以提高对复 杂系统的理解和控制 能力。
高阶系统在飞行器控 制、机器人导航等领 域有重要应用。
高阶系统在自动控制中的应用
在复杂工业过程中， 高阶系统是常见的被 控对象，如多变量控 制系统。
通过研究高阶系统的 特性，可以提高对复 杂系统的理解和控制 能力。
高阶系统在飞行器控 制、机器人导航等领 域有重要应用。
缺点
对于高阶系统，根轨迹分析可能比较复杂，计算量大。
高阶系统的状态空间分析
状态空间分析是在状态空间中对系统进行分析的方法 ，通过建立系统的状态方程和输出方程来描述系统的
动态行为。
输入 标题
描述
状态空间分析通过求解状态方程和输出方程来得到系 统的状态响应和输出响应，可以全面了解系统的动态 性能和稳定性。
CATALOGUE
自动控制原理第三章一二阶系统的暂态响应解析
典型二阶系 统标准形式
闭环传函： 开环传函：
2 n Wk (s) （ s s 2n）
重要
：阻尼比
n ：自然频率(无阻尼振荡频率)
第三章 自动控制系统的时域分析
2018年10月21日
2.典型二阶系统的单位阶跃响应
2 2 s 2 s 特征方程： n n s p1 s p2 0
得 T=0.1（s），取5%误差带 得调节时间 ts = 3T = 0.3 (s)
2018年10月21日
第三章 自动控制系统的时域分析
（2）求满足ts (5%) 0.1（s）的反馈系数值。
假设反馈系数 Kt(Kt>0)，那么同样可由结构图写出闭 环传递函数
100 1/ Kt K s WB ( s) 100 0.01 1 Kt s 1 Ts 1 s Kt
第三章 自动控制系统的时域分析
A ， 0 t ( 0) xr (t ) 0， t 0，t ( 0)
当A=1时，称为单位脉冲函数（t）
1 X r ( s) L[lim ] 1
0
脉冲信号或实际脉冲信号
2018年10月21日
当输入信号突然跳变时，输出量还处在原有的平衡状态，这 样就出现了偏差，这个偏差控制输出量达到新的平衡，这就是 一个调节过程。
Ｘr(t)
1
Ｘc(t)
1 2
实际 理想的 调节过程
1
0
2018年10月21日
t
0
t
第三章 自动控制系统的时域分析
Ｘc(t)
1
实际
2
1
理想的 调节过程
0 整个调节过程分为两个阶段:
自动控制原理第3章总结
一阶系统特点：
1. 响应曲线在[0，） 的时间区间中始终不会超过其稳态值，把这样的响
应称为非周期响应。无振荡 2.一阶系统的单位阶跃响应是一条初始值为0，以指数规律上升到终值1的
曲线。 3. ※实验中求取时间常数的方法--输出响应为0.632时对应的时间。 4.一阶系统可以跟踪单位阶跃信号，因为无稳态误差。
Td
n
2 1 2
ln( 1 )
p
2 (ln 1 )2
p
ts
3.5
n
ts
4.4
n
2.2 1 2
N
, 0.02
1.75 1 2
N
, 0.05
3-3 二阶系统的时域分析
3.3.4 二阶系统的动态性能指标 总结：
c(t) 1
1
1 2
ent
sin(dt ), t
0
c(t)
% e 1 2 100%
n s1j
j
j n 1 2
s1
0
s2
s1,2 j n (d) 0
0
j n 1 2
n
s2
s1,2 n j n 1 2
(e) 1 0
j
s1
s2
0
s1,2 n n 2 1 (c) 1
j
s1
s2
0
s1,2 n n 2 1
(f ) 1
3-3 二阶系统的时域分析来自s2 2n s n2 R C
2L
3-3 二阶系统的时域分析
3.3.1 二阶系统的数学模型
标准化二阶系统的结构图为：
R(s)
+﹣
n2
C(s)
s(s+2ξn)
n2