山东省济南市2019届高三上学期期末考试数学(文)试卷+Word版含解析
山东省济南市2019-2020学年高三上学期期末数学试题
高三年级学习质量评估数学试题 参考公式：锥体的体积公式：13V Sh =（其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|60}A x x x =--≤，{|10}B x x =-<，则AB =（ ） A. (,3]-∞ B. (,2]-∞ C. (,1)-∞ D. [2,1)-2.若复数z 满足(1)2z i i +=-（其中i 为虚数单位），则z 的共轭复数是（ ） A. 1i - B. 1i + C. 1i -- D. 1i -+ 3.设x ∈R ，则“24x >”是“lg(||1)0x ->”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知函数ln ,0(),0e x x x x f x x x >⎧⎪=⎨≤⎪⎩则函数()1y f x =-的图象大致是（ ） A. B.C. D.5.若抛物线22y px =(0)p >焦点到准线的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，且8AB =，则弦AB 的中点到y 轴的距离为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 6 6.已知函数21()lg(1)2f x x x =+++，则1(ln 5)ln 5f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A. 0 B. 12C. 1D. 2 7.考古发现，在埃及金字塔内有一组神秘的数字142857，因为1428572285714⨯=，1428573428571⨯=，…所以这组数字又叫走马灯数.该组数字还有如下规律：142857999+=，571428999+=，…若从1，4，2，8，5，7这6个数字中任意取出3个数字构成一个三位数x ，则999x -的结果恰好是剩下3个数字构成的一个三位数的概率为（ ）A. 45B. 35C. 25D. 3108.若F 为双曲线22:145x y C 的左焦点，过原点的直线l 与双曲线C 的左右两支分别交于A ，B 两点，则14||||FA FB -的取值范围是（ ） A. 11,45⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. 11,55⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 1,04⎛⎤- ⎥⎝⎦D. 11,45⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、多项选择题本题:共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.习总书记讲到：“广大人民群众坚持爱国奉献,无怨无悔,让我感到千千万万普通人最伟大,同时让我感到幸福都是奋斗出来的”.某企业2019年12个月的收入与支出数据的折线图如下：已知：利润=收入-支出,根据该折线图,下列说法正确的是（ ）A. 该企业2019年1月至6月的总利润低于2019年7月至12月的总利润B. 该企业2019年第一季度的利润约是60万元C. 该企业2019年4月至7月的月利润持续增长D. 该企业2019年11月份的月利润最大10.声音是由物体振动产生的声波,其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数sin y A t ω=,我们听到的声音是由纯音合成的,称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数()1sin sin 22f x x x =+,则下列结论正确的是（ ）A. 2π是()f x 的一个周期B. ()f x 在0,2π上有3个零点C. ()f x 的最大值为334 D. ()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 11.给定两个不共线的空间向量a 与b ，定义叉乘运算：a b ⨯.规定：①a b ⨯为同时与a ，b 垂直的向量；②a ，b ，a b ⨯三个向量构成右手系（如图1）；③sin ,a b a b a b ⨯=.如图2，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，14AA =，则下列结论正确的是（ ）A. 1AB AD AA ⨯=B. AB AD AD AB ⨯=⨯C. 111()AB AD AA AB AA AD AA +⨯=⨯+⨯D. 长方体1111ABCD A B C D -的体积1()V AB AD CC =⨯⋅。
2019-2020学年山东省济南市高三(上)期末数学试卷(含解析)
2019-2020学年山东省济南市高三（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ＝{x|x 2−x −6≤0}，B ＝{x|x −1<0}，则A ∪B ＝（ ） A.(−∞, 3]B.(−∞, 2]C.(−∞, 1)D.[−2, 1)2.若复数z 满足z(1+i)＝−2i （其中i 为虚数单位），则z 的共轭复数是（ ） A.1−iB.1+iC.−1−iD.−1+i3.设x ∈R ，则“2x >4”是“lg(|x|−1)>0”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知函数f(x)={xlnx,x >0x e,x ≤0 则函数y ＝f(1−x)的图象大致是（ ）A. B. C. D.5.若抛物线y 2＝2px(p >0)的焦点到准线的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，且|AB|＝8，则弦AB 的中点到y 轴的距离为（ ） A.2B.3C.4D.66.已知函数f(x)=lg(√x 2+1+x)+12，则f(ln5)+f(ln 15)=() A.0B.12C.1D.27.考古发现，在埃及金字塔内有一组神秘的数字142857，因为142857×2＝285714，142857×3＝428571，…所以这组数字又叫走马灯数．该组数字还有如下规律：142+857＝999，571+428＝999，…若从1，4，2，8，5，7这6个数字中任意取出3个数字构成一个三位数x ，则999−x 的结果恰好是剩下3个数字构成的一个三位数的概率为（ ） A.45B.35C.25D.3108.若F 为双曲线C:x 24−y 25=1的左焦点，过原点的直线l 与双曲线C 的左右两支分别交于A ，B 两点，则1|FA|−4|FB|的取值范围是（ ）A.[14,15]B.[−15,15]C.(−14,0]D.[−14,15]二、多项选择题本题：共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.习总书记讲到：“广大人民群众坚持爱国奉献，无怨无悔，让我感到千千万万普通人最伟大，同时让我感到幸福都是奋斗出来的”．某企业2019年12个月的收入与支出数据的折线图如下：已知：利润＝收入-支出，根据该折线图，下列说法正确的是（ ） A.该企业2019年1月至6月的总利润低于2019年7月至12月的总利润 B.该企业2019年第一季度的利润约是60万元 C.该企业2019年4月至7月的月利润持续增长 D.该企业2019年11月份的月利润最大10.声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是函数y ＝Asinωt ，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数f(x)=sinx +12sin2x ，则下列结论正确的是（ ） A.2π是f(x)的一个周期 B.f(x)在[0, 2π]上有3个零点 C.f(x)的最大值为3√34D.f(x)在[0,π2]上是增函数11.给定两个不共线的空间向量a →与b →，定义叉乘运算：a →×b →．规定：①a →×b →为同时与a →，b →垂直的向量；②a →，b →，a →×b →三个向量构成右手系（如图1）；③|a →×b →|=|a →||b →|sin <a →,b →>．如图2，在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝2，AA 1＝4，则下列结论正确的是（ ） A.AB →×AD →=AA 1→B.AB →×AD →=AD →×AB →C.(AB →+AD →)×AA 1→=AB →×AA 1→+AD →×AA 1→D.长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的体积V =(AB →×AD →)⋅CC 1→12.若实数a ，b 满足2a +3a =3b +2b ，则下列关系式中可能成立的是（ ） A.0<a <b <1 B.b <a <0C.1<a <bD.a =b三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.(2x −y)5的展开式中，含x 3y 2项的系数为________．（用数字作答）． 14.已知sin(α−π3)=−3cos(α−π6)，则tan2α＝________15.平行四边形ABCD 中，M 为CD 的中点，点N 满足BN →=2NC →，若AB →=λAM →+μAN →，则λ+μ的值为________．16.如图，矩形ABCD 中，AB =2√3，AD ＝2，Q 为BC 的中点，点M ，N 分别在线段AB ，CD 上运动（其中M 不与A ，B 重合，N 不与C ，D 重合），且MN // AD ，沿MN 将△DMN 折起，得到三棱锥D −MNQ ，则三棱锥D −MNQ 体积的最大值为________；当三棱锥D −MNQ 体积最大时，其外接球的表面积的值为________．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在①b 2+√2ac =a 2+c 2，②acosB ＝bsinA ，③sinB +cosB =√2这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A =π3，b =√2，求△ABC 的面积．18.如图，五面体ABCDEF 中，正方形ABCD 的边长为2√2，AB ＝2EF ，EF // 平面ABCD ，点P 在线段DE 上，且DP ＝2PE ，Q 为BC 的中点．（1）求证：BE // 平面APQ ；（2）已知AE ⊥平面ABCD ，且AE ＝2，求二面角P −AF −E 的余弦值．19.数学家也有一些美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想：F n =22n+1(n ∈N)是质数.1732年，瑞士数学家欧拉算出F 5＝641×6700417，该数不是质数．已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝log 2(F n −1)−1(n ∈N +) （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若b n ＝(n +1)log 2a n+1，设为数列{2b n}的前n 项和，求出T n ，并证明：对任意n ∈N +，1≤T n <2．20.截止到2018年末，我国公路总里程达到484.65万公里，其中高速公路达到14.26万公里，规模居世界第一．与此同时，行车安全问题也成为管理部门关注的重点．如图是某部门公布的一年内道路交通事故成因分析，由图可知，超速驾驶已经成为交通事故的一个主要因素．研究表明，急刹车时的停车距离等于反应距离与制动距离的和，下表是根据某部门的调查结果整理所得的数据(v 表示行车速度，单位：km/ℎ；d 1，d 2分别表示反应距离和制动距离，单位：m) 道路交通事故成因分析 v 64 72 80 89 97 105 113 121 128 135 d 113.415.216.718.620.121.923.525.326.828.5（1）从一年内发生的道路交通事故中随机抽出3起进行分析研究，求其中恰好有1起属于超速驾驶的概率（用频率代替概率）；（2）已知d 2与v 的平方成正比，且当行车速度为100km/ℎ时，制动距离为65m ．(i)由表中数据可知，d 1与v 之间具有线性相关关系，请建立d 1与v 之间的回归方程，并估计车速为110km/ℎ时的停车距离；(ii)我国《道路交通安全法》规定：车速超过100km/ℎ时，应该与同车道前车保持100m 以上的距离，请解释一下上述规定的合理性．参考数据：∑=i=110 vi 1004，∑=i=110 (d1)i 210，∑(i=110 vi d 1)i =22187.3，∑=i=110 vi 2106054，1103352524≈0.21参考公式：对于一组数据(x 1, y 1)，(x 2, y 2)，…，(x n , y n )，其回归直线y =b x +a 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：b =∑ n i=1(x i −x ¯)(y i −y ¯)∑ n i=1(x i −x ¯)2，a =y ¯−b x ¯．21.已知F1，F2分别为椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，P为C上的动点，其中P到F1的最短距离为1，且当△PF1F2的面积最大时，△PF1F2恰好为等边三角形．（1）求椭圆C的标准方程；（2）以椭圆长轴为直径的圆叫做椭圆的“外切圆”，记椭圆C的外切圆为E．(i)求圆E的方程；(ii)在平面内是否存在定点Q，使得以PQ为直径的圆与E相切，若存在求出定点Q的坐标；若不存在，请说明理由22.已知函数f(x)=lnxx +k的极大值为1+ee，其中e＝2.71828…为自然对数的底数．（1）求实数k的值；（2）若函数g(x)=e x−ax，对任意x∈(0, +∞)，g(x)≥af(x)恒成立．(i)求实数a的取值范围；(ii)证明：x2f(x)>asinx+x2−1．2019-2020学年山东省济南市高三（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ＝{x|x 2−x −6≤0}，B ＝{x|x −1<0}，则A ∪B ＝（ ） A.(−∞, 3] B.(−∞, 2] C.(−∞, 1) D.[−2, 1)【解答】∵集合A ＝{x|x 2−x −6≤0}＝{x|−2≤x ≤3}， B ＝{x|x −1<0}＝{x|x <1}， ∴A ∪B ＝{x|x ≤3}＝(−∞, 3]．2.若复数z 满足z(1+i)＝−2i （其中i 为虚数单位），则z 的共轭复数是（ ） A.1−i B.1+i C.−1−i D.−1+i【解答】∵z(1+i)＝−2i ，∴z =−2i1+i =−2i(1−i)(1+i)(1−i)=−1−i ， 则z ¯=−1+i ．3.设x ∈R ，则“2x >4”是“lg(|x|−1)>0”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解答】设x ∈R ，则“2x >4”⇒“lg(|x|−1)>0”，“lg(|x|−1)>0”⇒“x >2或x <−2”⇒“2x >4或2x <14”， ∴“2x >4”是“lg(|x|−1)>0”的充分不必要条件．4.已知函数f(x)={xlnx,x >0x ex ,x ≤0 则函数y ＝f(1−x)的图象大致是（ ）A. B.C. D.【解答】当x >0时，f(x)＝xlnx ，则令f′(x)＝lnx +1＝0，解得x =1e ，所以当0<x <1e 时，f(x)单调递减，x >1e 时，f(x)单调递增，当x ≤0时，f(x)=xe x ，则令f′(x)＝e −x −1≥0，所以当x ≤0时，f(x)单调递增， 作出函数f(x)的图象如图：又因为f(1−x)的图象时将f(x)图象先关于y 轴对称，再向左移动一个单位得到的， 故根据f(x)图象可值f(1−x)图象为5.若抛物线y 2＝2px(p >0)的焦点到准线的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，且|AB|＝8，则弦AB 的中点到y 轴的距离为（ ） A.2 B.3 C.4 D.6【解答】抛物线y 2＝2px(p >0)的焦点到准线的距离为2，可得p ＝2，抛物线方程为：y 2＝4x ， 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，根据抛物线定义，x 1+x 2+p ＝8， 所以x 1+x 2＝6，∵AB 的中点的横坐标为：3，中点到y 轴的距离为3，6.已知函数f(x)=lg(√x 2+1+x)+12，则f(ln5)+f(ln 15)=() A.0 B.12C.1D.2【解答】根据题意，函数f(x)=lg(√x 2+1+x)+12，则f(−x)＝lg(√x 2+1−x)+12=−lg(√x 2+1−x)+12，则f(x)+f(−x)＝1，则有f(ln5)+f(ln 15)=f(ln5)+f(−ln5)＝1；7.考古发现，在埃及金字塔内有一组神秘的数字142857，因为142857×2＝285714，142857×3＝428571，…所以这组数字又叫走马灯数．该组数字还有如下规律：142+857＝999，571+428＝999，…若从1，4，2，8，5，7这6个数字中任意取出3个数字构成一个三位数x ，则999−x 的结果恰好是剩下3个数字构成的一个三位数的概率为（ ）A.45 B.35C.25D.310【解答】根据题意，从1，4，2，8，5，7这6个数字中任意取出3个数字构成一个三位数x ，共有A3#/DEL/#6#/DEL/#=6×5×4＝120种．又因为从1，4，2，8，5，7这6个数字中：1+8＝9，2+7＝9，4+5＝9，共3组．所以要使6个数字中任意取出3个数字构成一个三位数x ，999−x 的结果恰好是剩下3个数字构成的一个三位数，则每次抽取只能抽取一组数字中的一个， 所以共有∁61∁41∁21=6×4×2＝48种， 故P =48120=25． 8.若F 为双曲线C:x 24−y 25=1的左焦点，过原点的直线l 与双曲线C 的左右两支分别交于A ，B 两点，则1|FA|−4|FB|的取值范围是（ ） A.[14,15] B.[−15,15]C.(−14,0]D.[−14,15]【解答】 双曲线C:x 24−y 25=1的a ＝2，b =√5，c ＝3，设|AF|＝m ，|FB|＝n ，F ′为双曲线的右焦点，连接BF ′，AF ′，由对称性可得四边形AFBF ′为平行四边形，可得|BF ′|＝|AF|＝m ，可得n −m ＝2a ＝4，n ＝m +4， 且m ≥c −a ＝1，则1|FA|−4|FB|=1m −44+m ，设f(m)=1m −44+m ，m ≥1， f′(m)=−1m 2+4(4+m)2=(m−4)(3m+4)m 2(4+m)2，当m >4时，f′(m)>0，f(m)递增，1≤m <4时，f′(m)<0，f(m)递减， 可得f(m)在m ＝4处取得极小值，且为最小值−14， 当m ＝1时，f(1)=15，当m →+∞时，f(m)→0， 则f(m)∈[−14, 15]， 故选：D ．二、多项选择题本题：共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.习总书记讲到：“广大人民群众坚持爱国奉献，无怨无悔，让我感到千千万万普通人最伟大，同时让我感到幸福都是奋斗出来的”．某企业2019年12个月的收入与支出数据的折线图如下：已知：利润＝收入-支出，根据该折线图，下列说法正确的是（）A.该企业2019年1月至6月的总利润低于2019年7月至12月的总利润B.该企业2019年第一季度的利润约是60万元C.该企业2019年4月至7月的月利润持续增长D.该企业2019年11月份的月利润最大【解答】由企业2019年12个月的收入与支出数据的折线图，得：在A中，该企业2019年1月至6月的总利润约为：x1＝(30+40+35+30+50+60)−(20+25+10+20+22+30)＝118，该企业2019年7月至12月的总利润约为：(80+75+75+80+90+80)−(28+22+30+40+45+50)＝265，∴该企业2019年1月至6月的总利润低于2019年7月至12月的总利润，故A正确；在B中，该企业2019年第一季度的利润约约是：(30+40+35)−(20+25+10)＝50万元，故B错误；在C中，该企业2019年4月至7月的月利润分别为（单位：万元）：10，28，30，52，∴该企业2019年4月至7月的月利润持续增长，故C正确；在D中，该企业2019年7月和8月的月利润比11月份的月利润大，故D错误．10.声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是函数y＝Asinωt，我们sin2x，听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数f(x)=sinx+12则下列结论正确的是（）A.2π是f(x)的一个周期B.f(x)在[0, 2π]上有3个零点C.f(x)的最大值为3√34D.f(x)在[0,π2]上是增函数【解答】∵y ＝sinx 的周期为2π，y =12sin2x 的周期为π，∴f(x)=sinx +12sin2x 的周期为2π，故A 正确； 由f(x)=sinx +12sin2x =0，得sinx +sinxcosx ＝0，得sinx ＝0或cosx ＝−1， ∵x ∈[0, 2π]，∴x ＝0，x ＝π，x ＝2π，则f(x)在[0, 2π]上有3个零点，故B 正确； 函数f(x)=sinx +12sin2x 的最大值在[0, π2]上取得，由f′(x)＝cosx +cos2x ＝2cos 2x +cosx −1＝0，可得cosx =12，当x ∈(0, π3)时，cosx 单调递减，原函数单调递增，当x ∈(π3, π2)时，cosx 单调递减，原函数单调递减，则当x =π3时，原函数求得最大值为sin π3+12sin 2π3=3√34，故C 正确； ∵f(π4)＝sin π4+12sin π2=√2+12>1，f(π2)＝sin π2+12sinπ=1，∴f(x)在[0,π2]上不是增函数，故D 错误．11.给定两个不共线的空间向量a →与b →，定义叉乘运算：a →×b →．规定：①a →×b →为同时与a →，b →垂直的向量；②a →，b →，a →×b →三个向量构成右手系（如图1）；③|a →×b →|=|a →||b →|sin <a →,b →>．如图2，在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝2，AA 1＝4，则下列结论正确的是（ ）A.AB →×AD →=AA 1→B.AB →×AD →=AD →×AB →C.(AB →+AD →)×AA 1→=AB →×AA 1→+AD →×AA 1→D.长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的体积V =(AB →×AD →)⋅CC 1→【解答】∵|AB →×AD →|=|AB →||AD →|sin90=2×2×1=4，且AA 1→分别与AB →AD →垂直，∴AB →×AD →=AA 1→，故A 正确；由题意，AB →×AD →=AA 1→，AD →×AB →=A 1A →，故B 错误；∵AB →+AD →=AC →，∴|(AB →+AD →)×AA 1→|=|AC →×AA 1→|=2√2×4×1=8√2，且(AB →+AD →)×AA 1→与DB →共线同向，∵|AB →×AA 1→|=2×4×1=8，AB →×AA 1→与DA →共线同向，|AD →×AA 1→|=2×4×1=8，AD →×AA 1→与DB →共线同向，∴|AB →×AA 1→+AD →×AA 1→|=8√2，且AB →×AA 1→+AD →×AA 1→与DB →共线同向，故C 正确； (AB →×AD →)⋅CC 1→=|AB →||AD →|×|CC 1→|×sin90×cos0=2×2×4＝16，故D 成立． 12.若实数a ，b 满足2a +3a =3b +2b ，则下列关系式中可能成立的是() A.0<a <b <1 B.b <a <0 C.1<a <bD.a =b【解答】解：由2a +3a =3b +2b ，设f(x)=2x +3x ，g(x)=3x +2x ，易知f(x)，g(x)是单调递增函数， 画出f(x)，g(x)的图象如图：根据图象可知：当x =0，1时，f(x)=g(x)， 0<a <b <1，f(a)=g(b)可能成立，故A 正确；当b <a <0时，因为f(x)≤g(x)，所以f(a)=g(b)可能成立，B 正确； 当a =b 时，显然成立，故D 正确；当1<a <b 时，因为f(a)<g(b)，所以不可能成立，故C 错误. 故选ABD .三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.(2x −y)5的展开式中，含x 3y 2项的系数为________．（用数字作答）． 【解答】二项式(2x −y)5的展开式的通项为T r+1＝25−r (−1)r C 5r x 5−r y r ， 令r ＝2，可得含x 3y 2的项的系数是23C 52＝8014.已知sin(α−π3)=−3cos(α−π6)，则tan2α＝________ 【解答】由于sin(α−π3)=−3cos(α−π6)，所以：12sinα−√32cosα=−3√32cosα−32sinα，整理得：√3cosα=−2sinα， 所以：tanα=−√32， 则：tan2α=2tanα1−tan 2α=−4√3，15.平行四边形ABCD 中，M 为CD 的中点，点N 满足BN →=2NC →，若AB →=λAM →+μAN →，则λ+μ的值为________． 【解答】平行四边形ABCD 中，M 为CD 的中点，点N 满足BN →=2NC →， 所以AB →=λAM →+μAN →=λ(AD →+12AB →)+μ(AB →+23AD →)， =(λ+23μ)AD →+(12λ+μ)AB →，则根据平面向量基本定理可得，{λ+2μ3=01=12λ+μ ，解可得，λ＝−1，μ=32， 则λ+μ=12，16.如图，矩形ABCD 中，AB =2√3，AD ＝2，Q 为BC 的中点，点M ，N 分别在线段AB ，CD 上运动（其中M 不与A ，B 重合，N 不与C ，D 重合），且MN // AD ，沿MN 将△DMN 折起，得到三棱锥D −MNQ ，则三棱锥D −MNQ 体积的最大值为________；当三棱锥D −MNQ 体积最大时，其外接球的表面积的值为________．【解答】设MB ＝t ，则AM ＝DN ＝2√3−t ，∵沿MN 将△DMN 折起，当DN ⊥平面MNQ 时，三棱锥D −MNQ 的体积最大， 此时V D−MNQ =13×12×MN ×MB ×t =13t(2√3−t)=−13t 2+2√33t ， ∴当t =√3时，V D−MNQ 取最大值，最大值为1，此时MB =√3，DN =√3，∴MQ ＝NQ ＝2，∴△MNQ 为等边三角形，∴当三棱锥D −MNQ 体积最大时，三棱锥D −MNQ 是正三棱柱的一部分，如图所示：则三棱柱MNQ−EDF的外接球即是三棱锥D−MNQ的外接球，设点G，H分别是上下地面正三角形的中心，∴线段GH的中点即是三棱柱MNQ−EDF的外接球的球心O，∴OH=12DN=√32又，∴△MNQ是边长为2的等边三角形，∴HQ=2√33，∴三棱柱MNQ−EDF的外接球的半径R＝OQ=√OH2+HQ2=5√36，∴三棱锥D−MNQ的外接球的表面积为4πR2=25π3，故答案为：1；25π3．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在①b2+√2ac=a2+c2，②acosB＝bsinA，③sinB+cosB=√2这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=π3，b=√2，求△ABC的面积．【解答】取②acosB＝bsinA，由正弦定理可得：sinAacosB＝sinBsinA≠0，∴tanB＝1，B∈(0, π)，∴B=π4．∴C＝π−A−B=5π12，sinC＝sin(π3+π4)=√32×√22+12×√22=√6+√24．由正弦定理可得：asinπ3=√2sinπ4，解得a=√3．∴△ABC的面积S=12×√3×√2×√6+√24=3+√34．18.如图，五面体ABCDEF中，正方形ABCD的边长为2√2，AB＝2EF，EF // 平面ABCD，点P在线段DE上，且DP＝2PE，Q为BC的中点．（1）求证：BE // 平面APQ ；（2）已知AE ⊥平面ABCD ，且AE ＝2，求二面角P −AF −E 的余弦值． 【解答】连结BD ，交AQ 于点M ，连结PM ，∵△BMQ ∼△DMA ，BQ =12AD ，∴BM =12DM ， ∵EP =12DP ，∴PM // BE ， ∵PM ⊂平面APQ ，BE ⊄平面APQ ， ∴BE // 平面APQ ．以A 为坐标原点，分别以AB →,AD →,AE →为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系， 则A(0, 0, 0)，C(2√2, √2, 0)，D(0, 2√2, 0)，E(0, 0, 2)，F(√2, 0, 2)， 设P(x, y, z)，∵DP ＝2PE ，∴DP →=23DE →，则(x, y −2√2, z)=23(0, −2√2, 2)，则P(0, 2√23, 43)，∴AP→=(0, 2√23, 43)， 设平面AFP 的法向量为n →=(x, y, z)， ∵AF →=(√2, 0, 2)，∴{AF →⋅n →=√2x +2z =0AP →⋅n →=2√23y +43z =0 ，取x =√2，则n →=(√2,√2,−1)， 平面AEF 的法向量m →=(0, 1, 0)， 设二面角P −AF −E 的平面角为θ， 则cosθ=|n →⋅m →||n →|⋅|m →|=√105． ∴二面角P −AF −E 的余弦值为√105．19.数学家也有一些美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想：F n=22n+1(n∈N)是质数.1732年，瑞士数学家欧拉算出F5＝641×6700417，该数不是质数．已知S n为数列{a n}的前n项和，且S n＝log2(F n−1)−1(n∈N+)（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝(n+1)log2a n+1，设为数列{2b n}的前n项和，求出T n，并证明：对任意n∈N+，1≤T n< 2．【解答】S n＝log2(F n−1)−1＝log222n−1＝2n−1，当n＝1时，a1＝S1＝1，n≥2时，a n＝S n−S n−1＝2n−1−2n−1+1＝2n−1，对n＝1也成立，则a n＝2n−1，n∈N∗；b n＝(n+1)log2a n+1＝(n+1)log22n＝n(n+1)，2 b n =2n(n+1)=2(1n−1n+1)，则T n＝2(1−12+12−13+⋯+1n−1n+1)＝2(1−1n+1)，由于2(1−1n+1)随着n的增大而增大，可得T1≤T n<2，即对任意n∈N+，1≤T n<2．20.截止到2018年末，我国公路总里程达到484.65万公里，其中高速公路达到14.26万公里，规模居世界第一．与此同时，行车安全问题也成为管理部门关注的重点．如图是某部门公布的一年内道路交通事故成因分析，由图可知，超速驾驶已经成为交通事故的一个主要因素．研究表明，急刹车时的停车距离等于反应距离与制动距离的和，下表是根据某部门的调查结果整理所得的数据(v表示行车速度，单位：km/ℎ；d1，d2分别表示反应距离和制动距离，单位：m)道路交通事故成因分析（1）从一年内发生的道路交通事故中随机抽出3起进行分析研究，求其中恰好有1起属于超速驾驶的概率（用频率代替概率）；（2）已知d 2与v 的平方成正比，且当行车速度为100km/ℎ时，制动距离为65m ．(i)由表中数据可知，d 1与v 之间具有线性相关关系，请建立d 1与v 之间的回归方程，并估计车速为110km/ℎ时的停车距离；(ii)我国《道路交通安全法》规定：车速超过100km/ℎ时，应该与同车道前车保持100m 以上的距离，请解释一下上述规定的合理性．参考数据：∑=i=110 vi 1004，∑=i=110 (d1)i 210，∑(i=110 vi d 1)i =22187.3，∑=i=110 vi 2106054，1103352524≈0.21参考公式：对于一组数据(x 1, y 1)，(x 2, y 2)，…，(x n , y n )，其回归直线y =b x +a 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：b =∑ n i=1(x i −x ¯)(y i −y ¯)∑ n i=1(x i −x ¯)2，a =y ¯−b x ¯．【解答】由题意知，P i =C 3i ⋅(15)i ⋅(1−15)3−i ， 故所求的概率为P 1=C 31⋅15⋅(45)2=48125；由d 2与v 的平方成正比，设d 2＝kv 2，当行车速度为v ＝100km/ℎ时，制动距离为d 2＝65m ； 即k ⋅1002＝65，解得k ＝0.0065， 所以d 2＝0.0065v 2；(i)由d 1与v 之间具有线性相关关系，且v ¯=110∑ 10i=1v i=110×1004＝100.4，d 1¯=110∑ 10i=1(d 1)i =110×210＝21；又∑(i=110 vi d 1)i =22187.3，∑=i=110 vi 2106054，1103352524≈0.21， 所以b =∑ n i=1(x i −x ¯)(y i −y ¯)∑ n i=1(x i −x ¯)2=∑ 10i=1v i ⋅(d 1)i −10v ¯⋅d i ¯∑)i=110 (vi 2−10v ¯2=22187.3−10×100.4×21106054−10×100.4=1103352524≈0.21，a =d 1¯−b v ¯=21−0.21×100.4＝−0.084， 所以d 1与v 间的回归方程为d 1̂=0.21v −0.084； v ＝110时，d 1̂=0.21×110−0.084＝23.016． d 2＝0.0065×1102＝78.65，所以估计车速为110km/ℎ时的停车距离为d ＝23.016+78.65＝101.666≈102(m)；(ii)v ＝100时，d 1̂=0.21×100−0.084＝20.916． d 2＝0.0065×1002＝65，车速为100km/ℎ时的停车距离为d ＝20.916+65＝85.916≈86(m)； 车速超过100km/ℎ时，考虑到车速增加后刹车距离也随着增大， 要保证行车安全，车辆应该与同车道前车保持在100m 以上的距离．21.已知F 1，F 2分别为椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，P 为C 上的动点，其中P 到F 1的最短距离为1，且当△PF 1F 2的面积最大时，△PF 1F 2恰好为等边三角形． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）以椭圆长轴为直径的圆叫做椭圆的“外切圆”，记椭圆C 的外切圆为E ． (i)求圆E 的方程；(ii)在平面内是否存在定点Q ，使得以PQ 为直径的圆与E 相切，若存在求出定点Q 的坐标；若不存在，请说明理由 【解答】由题意可得：a −c ＝1，面积最大时P 为短轴的顶点，再由△PF 1F 2恰好为等边三角形，可得b =√32⋅2c ，a 2＝b 2+c 2， 解得：a 2＝4，b 2＝3， 所以椭圆的标准方程为：x 24+y 23=1；(i)由（1）得圆E 的圆心坐标为(0, 0)，半径为a ＝2， 所以圆E 的方程为：x 2+y 2＝4； (ii)解法一：假设存在满足条件的定点Q ，由题意可知定点Q 必在x 轴上，设Q(m, 0)，P(x 0, y 0)，则x 024+y 023=1，由(i)可知，圆E 的圆心为坐标原点O ，半径为2，设以PQ 为直径的圆的圆心为G ，半径为r ，则G 为线段PQ 的中点， r =|PQ|2，即G(x 0+m 2, y 02)，r =12√(x 0−m)2+y 02，因为圆E 与圆G 相切，则|OG|＝2−r ，所以√(x 0+m 2)2+y 024=2−12√(x 0−m)2+y 02，其中y 02＝3−34x 02，两边平方并整理得：4−mx 0＝2√(x 0−m)2+y 02，化简得(m 2−1)(x 02−4)＝0，上式对任意x 0∈[−2, 2]恒成立， 故m 2−1＝0，解得m ＝±1，所以，当定点Q 恰好为椭圆的焦点时，符合题意．解法二：存在满足条件的定点Q，由题意可知，定点Q必在x轴上，设Q(m, 0)，P(x0, y0)，则x024+y023=1，由(i)可知，圆E的圆心为坐标原点O，半径为2，设以PQ为直径的圆的圆心为G，半径为r，则G为线段PQ的中点，则r=|PQ|2，即G(x0+m2, y02)，r=12√(x0−m)2+y02，因为圆E与圆G相切，则|OG|＝2−r，所以√(x0+m2)2+y024=2−12√(x0−m)2+y02，整理得√(x0+m)2+y02+√(x0−m)2+y02=4，设Q′(−m, 0)，则|PQ′|+|PQ|＝4，又因为P在椭圆x 24+y23=1上，设F1，F2分别为椭圆的左右焦点，|PF1|+|PF2|＝4，故Q，Q′分别与F1，F2重合，所以当定点Q恰好为椭圆的C的焦点时，符合题意．解法三：假设存在满足条件的定点Q，由题意可知定点Q必在x轴上，由(i)可知，圆E的圆心为坐标原点O，半径为2，设以PQ为直径的圆的圆心为G，半径为r，则G为线段PQ的中点，则r=|PQ|2，因为圆E与圆G相切，则|OG|＝2−r，即|OG|＝2−|PQ|2，所以2|OG|+|PQ|＝4，设Q′为Q关于原点对称点，则OG恰好为△QQ′P的中位线，所以2|OG|＝|PQ′|，所以|PQ′|+|PQ|＝4，下同解法二；解法四：假设存在满足条件的定点Q，设M(m, n)，P(x0, y0)，则x024+y023=1由(i)可知，圆E的圆心为坐标原点O，半径为2，设以PQ为直径的圆的圆心为G，半径为r，则G为线段PQ的中点，则r=|PQ|2，即G(x0+m2, y0+n2)，r=12√(x0−m)2+(y0−n)2，因为圆E与圆G相切，则|OG|＝2−r，所以√(x0+m)24+(y0+n)24=2−12√(x0−m)2+(y0−n)2整理得√(x0+m)2+(y0+n)2+√(x0−m)2+(y0−n)2=4，设Q(−m, −n)，因此|PQ′|+|PQ|＝4，下同解法一．22.已知函数f(x)=lnxx +k的极大值为1+ee，其中e＝2.71828…为自然对数的底数．（1）求实数k的值；（2）若函数g(x)=e x−ax，对任意x∈(0, +∞)，g(x)≥af(x)恒成立．(i)求实数a的取值范围；(ii)证明：x2f(x)>asinx+x2−1．【解答】f′(x)=1−lnxx2，x>0，当x∈(0, e)时，f′(x)>0，f(x)递增；当x∈(e, +∞)时，f′(x)<0，f(x)递减；所以f(x)的极大值为f(e)=1e +k=1e+1，故k＝1；(i)根据题意，任意x∈(0, +∞)，g(x)≥af(x)，即e x−ax ≥alnxx+a，化简得xe x−alnx−ax−a≥0，令ℎ(x)＝xe x−alnx−ax−a，x>0，ℎ(x)＝e lnx e x−alnx−ax−a＝e lnx+x−a(lnx+x)−a，令lnx+x＝t，t∈R，设H(t)＝e t−at−a，H′(t)＝e t−a，只需H(t)≥0，t∈R，当a<0时，当t<0时，H(t)<1−at−a，所以H(1a −1)<1−a(1a−1)−a＝0，不成立；当a＝0时，H(t)≥0显然成立；当a>0时，由H′(t)＝e t−a，当t∈(−∞, lna)，H(t)递减，t∈(lna, +∞)，H(t)递增，H(t)的最小值为H(lna)＝a−alna−a＝−alna，由H(lna)＝−alna≥0，得0<a≤1，综上0≤a≤1；(ii)证明：要证x2f(x)>asinx+x2−1，只需证明x2(lnxx+1)>asinx+x2+1，化简得xlnx+1>asinx，只需证lnx+1x >asinxx，设F(x)＝lnx+1x，G(x)＝x−sinx，由F′(x)=1x −1x2=x−1x2，当x∈(0, 1)时，F(x)递减；x∈(1, +∞)时，F(x)递增；所以F(x)≥F(1)＝1，由G′(x)＝1−cosx≥0，G(x)在(0, +∞)递增，故G(x)>G(0)＝0，得x>sinx，又由(i)0≤a≤1，所以asinxx<1，所以F(x)>asinxx成立，故原命题成立．。
济南市2019届高三上学期期末考试试题(数学文)
高三年级学习质量评估文科数学试题本试卷共6页，23题(含选考题)，全卷满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
参考公式：锥体的体积公式：13V Sh =(其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高) 球体的体积公式：343V R π=(其中R 为球体的半径)一、选择题：本题共12小题，每小题5分。
共60分。
在每小题给出的四个选项中。
只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}{}1,11,A x x B x A B =>-=-≤≤⋂=则 A ．{}01，B. {}1x x >-C ．{}11x x -<≤D ．{}11x x -≤≤2．已知复数z 满足2z z i +⋅=(其中i 为虚数单位)，则z 的虚部为 A. 1- B ．1 C ．i - D ．i3．已知等差数列{}n a 的前n 项和S n ，若2358,25a a S +==，则该数列的公差为 A.－2B ．2C.－3D ．34．已知实数,x y 满足约束条件0,33,20,x x y z x y y ≥⎧⎪+≤=+⎨⎪≥⎩则的最大值是A.0B.1C.5D.65．已知命题p ：关于m 的不等式2log m <1的解集为{}2m m <；函数q ：函数()321f x x x =+-在区间（0，1）内有零点．下列命题为真命题的是 A. p q ∧B ．()p q ∧⌝C. ()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝6．如图，在△ABC 中，90,2C AC BC ∠===o，三角形内的空白部分由三个半径均为1的扇形构成，向△ABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为 A.8πB ．4π C. 18π-D ．14π-7.已知双曲线2221y x b-=，其焦点到渐近线的距离为2，则该双曲线的离心率为A.2B.3C.2D.58．函数()2ln 8x y x =-的图象大致为9．为了得到函数2cos 2y x =的图象，可以将函数cos 23sin 2y x x =-的图象A.向左平移6π个单位长度 B.向右平移6π个单位长度 C.向左平移3π个单位长度D. 向右平移3π个单位长度10．如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是 A. 18π B. 21π C. 27π D. 36π11.执行如图所示的程序框图，若输入的,,a b c 依次为()()()sin cos sin sin ,sin ,cos 42αααππαααα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，其中，，则输出的x 为A ．()cos cos ααB ．()sin sin αα C ．()cos sin αα D ．()sin cos αα12.我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中记录了一个由正整数构成的三角形数表，我们通常称之为杨辉三角.以下数表的构造思路就来源于杨辉三角.从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数a ，则a 的值为 A. 100820182⨯B ．100920182⨯C. 100820202⨯D ．100920202⨯二、填空题：本题共4小题，每小题5分。
2019年山东省济南市高三(上)期末数学试卷
2019年山东省济南市高三（上）期末数学试卷一、选择题（共8题，每题5分）1．（2019秋•济南期末）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≤0}，B＝{x|x﹣1＜0}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，3]B．（﹣∞，2]C．（﹣∞，1）D．[﹣2，1）2．（2019秋•济南期末）若复数z满足z（1+i）＝﹣2i（其中i为虚数单位），则z的共轭复数是（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i 3．（2019秋•济南期末）设x∈R，则“2x＞4”是“lg（|x|﹣1）＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（2019秋•济南期末）已知函数则函数y＝f（1﹣x）的图象大致是（）A．B．C．D．5．（2019秋•济南期末）若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点到准线的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝8，则弦AB的中点到y轴的距离为（）A．2B．3C．4D．66．（2019秋•济南期末）已知函数，则＝（）A．0B．C．1D．27．（2019秋•济南期末）考古发现，在埃及金字塔内有一组神秘的数字142857，因为142857×2＝285714，142857×3＝428571，…所以这组数字又叫走马灯数．该组数字还有如下规律：142+857＝999，571+428＝999，…若从1，4，2，8，5，7这6个数字中任意取出3个数字构成一个三位数x，则999﹣x的结果恰好是剩下3个数字构成的一个三位数的概率为（）A．B．C．D．8．（2019秋•济南期末）若F为双曲线的左焦点，过原点的直线l与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，则﹣的取值范围是（）A．B．C．D．二．多选题（共4小题）9．（2019秋•济南期末）习总书记讲到：“广大人民群众坚持爱国奉献，无怨无悔，让我感到千千万万普通人最伟大，同时让我感到幸福都是奋斗出来的”．某企业2019年12个月的收入与支出数据的折线图如下：已知：利润＝收入﹣支出，根据该折线图，下列说法正确的是（）A．该企业2019年1月至6月的总利润低于2019年7月至12月的总利润B．该企业2019年第一季度的利润约是60万元C．该企业2019年4月至7月的月利润持续增长D．该企业2019年11月份的月利润最大10．（2019秋•济南期末）声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是函数y＝A sinωt，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是（）A．2π是f（x）的一个周期B．f（x）在[0，2π]上有3个零点C．f（x）的最大值为D．f（x）在上是增函数11．（2019秋•济南期末）给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算：．规定：①为同时与，垂直的向量；②，，三个向量构成右手系（如图1）；③．如图2，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝4，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积12．（2019秋•济南期末）若实数a，b满足2a+3a＝3b+2b，则下列关系式中可能成立的是（）A．0＜a＜b＜1B．b＜a＜0C．1＜a＜b D．a＝b三．填空题（共14小题）13．（2019秋•济南期末）（2x﹣y）5的展开式中，含x3y2项的系数为80．（用数字作答）．14．（2019秋•济南期末）已知，则tan2α＝﹣4 15．（2019秋•济南期末）平行四边形ABCD中，M为CD的中点，点N满足，若，则λ+μ的值为．16．（2019秋•济南期末）如图，矩形ABCD中，，AD＝2，Q为BC的中点，点M，N分别在线段AB，CD上运动（其中M不与A，B重合，N不与C，D重合），且MN∥AD，沿MN将△DMN折起，得到三棱锥D﹣MNQ，则三棱锥D﹣MNQ体积的最大值为1；当三棱锥D﹣MNQ体积最大时，其外接球的表面积的值为．四、解答题（共6题，共计70分）17．（2019秋•济南期末）在①，②a cos B＝b sin A，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，求△ABC的面积．18．（2019秋•济南期末）如图，五面体ABCDEF中，正方形ABCD的边长为，AB＝2EF，EF∥平面ABCD，点P在线段DE上，且DP＝2PE，Q为BC的中点．（1）求证：BE∥平面APQ；（2）已知AE⊥平面ABCD，且AE＝2，求二面角P﹣AF﹣E的余弦值．19．（2019秋•济南期末）数学家也有一些美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想：（n∈N）是质数.1732年，瑞士数学家欧拉算出F5＝641×6700417，该数不是质数．已知S n为数列{a n}的前n项和，且S n＝log2（F n﹣1）﹣1（n∈N+）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝（n+1）log2a n+1，设为数列的前n项和，求出T n，并证明：对任意n∈N+，1≤T n＜2．20．（2019秋•济南期末）截止到2018年末，我国公路总里程达到484.65万公里，其中高速公路达到14.26万公里，规模居世界第一．与此同时，行车安全问题也成为管理部门关注的重点．如图是某部门公布的一年内道路交通事故成因分析，由图可知，超速驾驶已经成为交通事故的一个主要因素．研究表明，急刹车时的停车距离等于反应距离与制动距离的和，下表是根据某部门的调查结果整理所得的数据（v表示行车速度，单位：km/h；d1，d2分别表示反应距离和制动距离，单位：m）道路交通事故成因分析v6472808997105113121128135 d113.415.216.718.620.121.923.525.326.828.5（1）从一年内发生的道路交通事故中随机抽出3起进行分析研究，求其中恰好有1起属于超速驾驶的概率（用频率代替概率）；（2）已知d2与v的平方成正比，且当行车速度为100km/h时，制动距离为65m．（i）由表中数据可知，d1与v之间具有线性相关关系，请建立d1与v之间的回归方程，并估计车速为110km/h时的停车距离；（ii）我国《道路交通安全法》规定：车速超过100km/h时，应该与同车道前车保持100m 以上的距离，请解释一下上述规定的合理性．参考数据：，，，，参考公式：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．21．（2019秋•济南期末）已知F1，F2分别为椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，P为C上的动点，其中P到F1的最短距离为1，且当△PF1F2的面积最大时，△PF1F2恰好为等边三角形．（1）求椭圆C的标准方程；（2）以椭圆长轴为直径的圆叫做椭圆的“外切圆”，记椭圆C的外切圆为E．（i）求圆E的方程；（ii）在平面内是否存在定点Q，使得以PQ为直径的圆与E相切，若存在求出定点Q的坐标；若不存在，请说明理由22．（2019秋•济南期末）已知函数的极大值为，其中e＝2.71828…为自然对数的底数．（1）求实数k的值；（2）若函数，对任意x∈（0，+∞），g（x）≥af（x）恒成立．（i）求实数a的取值范围；（ii）证明：x2f（x）＞a sin x+x2﹣1．。
山东省济南市中学2019年高三数学文上学期期末试题含解析
山东省济南市中学2019年高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图，给出的是的值的一个程序框图，框内应填入的条件是（）A、 B、 C、 D、参考答案：A略2. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（）．A．B．C．D．参考答案：A∵是定义在上的奇函数，当时，，∴当时，，当时，，当时，，∴不等式的解集为．故选．3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16π﹣B．16π﹣C．8π﹣D．8π﹣参考答案：D【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为一个半圆柱挖取一个倒立的四棱锥．【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个半圆柱挖取一个倒立的四棱锥．∴该几何体的体积V=﹣=8π﹣．故选：D．4. 设随机变量服从正态分布N(3，4)，若，则实数a的值为A. B. C. D．参考答案：A略5. 含有三个实数的集合可表示为{a,，1}，也可表示为{a2, a+b,0}，则a2011+b2011的值为（）A．0 B．1 C．－1 D．±1参考答案：C6. 已知集合，，，则P的真子集共有（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个参考答案：B【分析】先求得两个集合的交集，然后计算出真子集的个数.【详解】依题意，其真子集为，只有一个真子集，故选B.【点睛】本小题主要考查两个集合交集的运算，考查真子集的个数，属于基础题.7. （5分）（2015?嘉兴二模）在△ABC中，“sinA＞cosB”是“△ABC为锐角三角形”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：简易逻辑．【分析】：根据充分条件和必要条件的定义结算三角函数的性质进行判断即可．解：若B为钝角，A为锐角，则sinA＞0，cosB＜0，则满足sinA＞cosB，但△ABC为锐角三角形不成立，若△ABC为锐角三角形，则A，B，π﹣A﹣B都是锐角，即π﹣A﹣B＜，即A+B＞，B＞﹣A，则cosB＜cos（﹣A），即cosB＜sinA，故“sinA＞cosB”是“△ABC为锐角三角形”的必要不充分条件，故选：B【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据三角形的性质是解决本题的关键．8. 右图是函数y＝A sin(ωx＋φ)(，)图像的一部分．为了得到这个函数的图像，只要将y＝sin x(x∈R)的图像上所有的点（）A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变.B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变.C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变.D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变.参考答案：A9. 已知集合,集合,则（）A． B．C． D．参考答案：D试题分析：因,则,故,故应选D.考点：不等式的解法与集合的运算.10. 已知向量，，则下列向量中与垂直的是（）A． B． C．D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 某次测量发现一组数据具有较强的相关性，并计算得，其中数据因书写不清，只记得是任意一个值，则该数据对应的残差的绝对值不大于１的概率为___．（残差=真实值-预测值）参考答案：12. 已知A（﹣1，4），B（3，﹣2），以AB为直径的圆的标准方程为．参考答案：（x﹣1）2+（y﹣1）2=13【考点】J1：圆的标准方程．【分析】因为线段AB为所求圆的直径，所以利用中点坐标公式求出线段AB的中点即为所求圆的圆心坐标，再利用两点间的距离公式求出圆心C与点A之间的距离即为所求圆的半径，根据求出的圆心坐标与半径写出圆的标准方程即可．【解答】解：设圆心为C，∵A（﹣1，4），B（3，﹣2），∴圆心C的坐标为（1，1）；∴|AC|==，即圆的半径r=，则以线段AB为直径的圆的方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=13．故答案为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=13．【点评】此题考查了中点坐标公式，两点间的距离公式以及圆的标准方程，解答本题的关键是灵活运用已知条件确定圆心坐标及圆的半径．同时要求学生会根据圆心与半径写出圆的标准方程．13. 已知G为△ABC的重心，令，，过点G的直线分别交AB、AC于P、Q两点，且，，则= ．参考答案：3考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：显然，根据G点为重心，从而可以用表示，而和共线，从而，而已知，从而会最后得到关于的式子：，从而得到，两式联立消去x即可求出答案．解答：解：如图，=；∴；G为△ABC的重心；∴，；∴；整理得，；∴；消去x得，；∴．故答案为：3．点评：考查向量加法、减法的几何意义，共线向量基本定理，重心的性质：重心到顶点距离是它到对边中点距离的2倍，以及向量加法的平行四边形法则，向量的加法、减法运算，平面向量基本定理．14. 已知定义在R上的函数对任意的都满足，当时，，若函数只有4个零点，则取值范围是．参考答案：15. 四边形ABCD中，∠BAC=90°，BD+CD=2，则它的面积最大值等于．参考答案：【考点】三角形中的几何计算．【分析】由题意，当D在BC的正上方时S△DBC面积最大，A为BC的正下方时S△ABC面积最大，设BC为2x，可求DH=，S四边形ABCD=x2+x，设x=sinθ，则利用三角函数恒等变换的应用化简可得S四边形= [1+sin（2θ﹣）]，利用正弦函数的性质即可求得S四边形的最大值．【解答】解：∵∠BAC=90°，BD+CD=2，∴D在以BC为焦点的椭圆上运动，A在以BC为直径的圆上运动，∴当D在BC的正上方时S△DBC面积最大，A为BC的正下方时S△ABC面积最大，此时，设BC 为2x，则DH=，∴S四边形ABCD=S△BCD+S ABC=x+=x2+x，设x=sinθ，则=cosθ，∴S四边形=sin2θ+sinθcosθ=（2sin2θ+2sinθcosθ）=（1﹣cos2θ+sin2θ）=[1+sin（2θ﹣）]，∴当sin（2θ﹣）=1时，即θ=时，S四边形取得最大值，最大值为：．故答案为：．16. 在三角形中，已知的面积为，则的长为_ 参考答案：略17. 已知函数f（x）的定义域为R，若存在常数m＞0，对任意x∈R，有|f（x）|≤m|x|，则称函数f（x）为F﹣函数．给出下列函数：①f（x）=x2；②f（x）=；③f（x）=2x；④f（x）=sin2x．其中是F﹣函数的序号为．参考答案：②④【考点】绝对值不等式；函数的值域．【专题】计算题；新定义．【分析】本题是一个新定义的题目，故依照定义的所给的规则对所四个函数进行逐一验证，选出正确的即可．【解答】解：对于①，|f（x）|＜m|x|，显然不成立，故其不是F﹣函数．对于②f（x）=，|f（x）|==≤1×|x|，故函数f（x）为F﹣函数．对于③f（x）=2x ，|f（x）|＜m|x|，显然不成立，故其不是F函数．对于④f（x）=sin2x，由于|f（x）|=|sin2x|≤|2x|=2|x|，故函数f（x）为F﹣函数．故答案为②④．【点评】本题考查根据所给的新定义来验证函数是否满足定义中的规则，是函数知识的给定应用题，综合性较强，做题时要注意运用所深知识灵活变化进行证明，属于中档题，属于创新型题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2019届山东省济南市高三上学期期末考试数学(文)试题(解析版)
2019届山东省济南市高三上学期期末考试数学（文）试题一、单选题1. 已知集合, , 则( )A. B.C. D.【答案】C【解析】利用交集概念与运算直接求解即可.【详解】∵集合, ,∴故选：C【点睛】本题考查交集的概念及运算, 属于基础题.2．已知复数满足（其中为虚数单位）, 则的虚部为( )A. -1B. 1C.D.【答案】A【解析】利用复数的乘除运算化简复数z, 结合虚部概念得到答案.【详解】由z（1+i）＝2, 得,∴复数z的虚部是﹣1.故选：A.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算, 考查了复数的基本概念, 是基础题.3．已知等差数列的前项和为, 若, , 则该数列的公差为( )A. -2B. 2C. -3D. 3【答案】B【解析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出.【详解】由题意可得: 5 d＝25,解得d＝2.故选：B.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式, 考查了推理能力与计算能力, 属于基础题.4．已知实数, 满足约束条件则的最大值是( )A. 0B. 1C. 5D. 6【答案】D【解析】由约束条件作出可行域, 化目标函数为直线方程的斜截式, 由直线方程可知, 要使z最大, 则直线在y轴上的截距最大, 结合可行域可知当直线z＝x+2y过点A时z 最大, 求出A的坐标, 代入z＝x+2y得答案.【详解】解: 画出约束条件表示的平面区域, 如图所示；由解得A（0, 3）,此时直线y x z在y轴上的截距最大,所以目标函数z＝x+2y的最大值为zmax＝0+2×3＝6.故选：D.【点睛】本题考查了简单的线性规划, 考查数形结合的思想, 解答的关键是正确作出可行域, 是中档题.5．已知命题关于的不等式的解集为；命题函数在区间内有零点, 下列命题为真命题的是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】先判断命题p, q的真假, 结合真值表可得结果.【详解】关于的不等式的解集为, 故命题p为假命题,由函数可得: 即,结合零点存在定理可知在区间内有零点, 故命题求为真命题.∴p∧q为假, 为假, 为真, 为假,故选：C.【点睛】本题考查的知识点是复合命题的真假, 其中判断出命题p与q的真假是解答本题的关键.6．如图, 在中, , , 三角形内的空白部分由三个半径均为1的扇形构成, 向内随机投掷一点, 则该点落在阴影部分的概率为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意, 概率符合几何概型, 所以只要求出阴影部分的面积, 根据三角形的内角和得到空白部分的面积是以1为半径的半圆的面积, 由几何概型的概率公式可求.【详解】由题意, 题目符合几何概型,中, , , , 所以三角形为直角三角形, 面积为, 阴影部分的面积为：三角形面积圆面积＝2 ,所以点落在阴影部分的概率为；故选: D.【点睛】本题考查了几何概型的概率求法；关键明确概率模型, 然后求出满足条件的事件的集合, 由概率公式解答.7．已知双曲线, 其焦点到渐近线的距离为2, 则该双曲线的离心率为( )A. B. C. 2 D.【答案】D【解析】由焦点到条渐近线的距离, 可得b＝1, 求出c, 即可求出双曲线的离心率.【详解】解: 双曲线的焦点到条渐近线的距离等于 b.∵双曲线的焦点到条渐近线的距离为2,∴b＝2, 又a∴c＝,∴e．故选: D.【点睛】本题考查双曲线的性质, 考查学生的计算能力, 求出双曲线的焦点到条渐近线的距离等于b是关键.8. 函数的图象大致为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】利用函数的奇偶性, 极限, 特值点逐一判断即可.【详解】由函数为偶函数, 排除B选项,当x 时, , 排除A选项,当x= 时, , 排除C选项,故选：D【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手: （1）从函数的定义域, 判断图象的左右位置；从函数的值域, 判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性, 判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性, 判断图象的对称性；（4）从函数的特征点, 排除不合要求的图象. 9．为了得到函数的图象, 可以将函数的图象( )A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】B【解析】利用函数y＝Acos（ωx+φ）的图象变换规律, 得出结论.【详解】解：为了得到函数的图象, 可以将函数向右平移个单位长度,故选：B.【点睛】本题主要考查函数y＝Acos（ωx+φ）的图象变换规律, 属于基础题.10．如图, 网络纸上小正方形的边长为1, 粗实线画出的某几何体的三视图, 则该几何体的体积是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】根据三视图知几何体是组合体: 下面是圆锥、上面是四分之一球, 根据图中数据, 代入体积公式求值即可.【详解】解: 根据三视图知几何体是组合体,下面是圆锥、上面是四分之一球,圆锥的底面半径为3, 高为3；球的半径为3,∴该几何体的体积V ,故选：A.【点睛】本题考查由三视图求几何体的体积, 以及几何体的体积公式, 考查空间想象能力, 三视图正确复原几何体是解题的关键.11．执行如图所示的程序框图, 若输入的, , 依次为, , , 其中, 则输出的为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由框图可知程序的功能是输出三者中的最大者, 比较大小即可.【详解】由程序框图可知a、b、c中的最大数用变量x表示并输出,∵∴，又在R上为减函数, 在上为增函数,∴＜, ＜故最大值为, 输出的为故选：C【点睛】本题主要考查了选择结构. 算法是新课程中的新增加的内容, 也必然是新高考中的一个热点, 应高度重视. 程序填空也是重要的考试题型, 这种题考试的重点有: ①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出.12．我国南宋数学杨家辉所著的《详解九章算法》一书中记录了一个由正整数构成的三角形数表, 我们通常称之为杨辉三角.以下数表的构造思路就来源于杨辉三角.从第二行起, 每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和, 表中最后一行仅有一个数, 则的值为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】根据每一行的第一个数的变化规律即可得到结果.【详解】解: 第一行第一个数为: ；第二行第一个数为: ；第三行第一个数为: ；第四行第一个数为: ；，第n行第一个数为: ；一共有1010行,∴第1010行仅有一个数: ；故选：C.【点睛】本题考查了由数表探究数列规律的问题, 考查学生分析解决问题的能力, 属于中档题.二、填空题13. 已知向量, 为单位向量, 若与的夹角为, 则__________.【答案】1【解析】根据条件可以得到, 这样便可求出的值, 从而得出的值.【详解】解: 根据条件, , ；∴1-1+1＝1；∴．故答案为: .【点睛】本考查单位向量的概念, 向量数量积的运算及其计算公式, 求向量的长度的方法: 求.14．过圆内一点作直线, 则直线被圆所截得的最短弦长为__________．【答案】【解析】化已知圆为标准方程, 得到圆心C（1, 0）, 半径r＝2, 利用垂径定理结合题意, 即可求出最短弦长.【详解】圆方程可化为（x﹣1）2+y2＝4,∴圆心C（1, 0）, 半径r＝2, ,当截得的弦长最短时, CP⊥l, 即P为弦的中点,∴最短弦长为故答案为: .【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系, 最短弦长问题, 考查数形结合思想, 属于基础题. 15．在正方形中, 点, 分别为, 的中点, 将四边形沿翻折, 使得平面平面, 则异面直线与所成角的余弦值为__________．【答案】【解析】连接FC, 与DE交于O点, 取BE中点为N, 连接ON, CN, 易得ON∥BD, 故∠CON 就是异面直线与所成角, 在等腰三角形CON中, 求底角的余弦值即可.【详解】连接FC, 与DE交于O点, 取BE中点为N,连接ON, CN, 易得ON∥BD∴∠CON就是异面直线与所成角设正方形的边长为2,OC= , ON= , CN=∴cos∠CON==故答案为:【点睛】本题主要考查异面直线所成的角问题,难度一般. 求异面直线所成角的步骤:1平移,将两条异面直线平移成相交直线. 2定角,根据异面直线所成角的定义找出所成角. 3求角,在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函数求角. 4结论.16．若函数与的图象交点的横坐标之和为2, 则的值为__________．【答案】1【解析】根据函数的对称性得出直线过曲线的对称中心, 从而得出m的值.【详解】解: ∵y= 的图象均关于点（1, 0）对称,∴函数的图象关于点（1, 0）对称, 且在上单调递增,∵函数与的图象交点的横坐标之和为2,∴直线y＝经过点（1, 0）,∴m＝1.故选：1.【点睛】本题考查了函数对称性的判断与应用, 属于中档题.三、解答题17. 已知的内角, , 的对边分别为, , , 且.（1）求角的大小；（2）若, , 边的中点为, 求的长.【答案】（1）（2）【解析】（1）由及正弦定理得, 从而得到角的大小；（2）利用可得, 进而利用余弦定理可得, 再利用余弦定理可得BD.【详解】（1）由及正弦定理得: ,又, 所以,因为所以,因为, 所以.（2）由余弦定理得,所以, 所以,因为，所以,所以.【点睛】本题主要考查了正弦定理, 余弦定理的综合应用, 解题时注意分析角的范围.对于余弦定理一定要熟记两种形式: （1）；（2）.另外, 在解与三角形、三角函数有关的问题时, 还要记住, , 等特殊角的三角函数值, 以便在解题中直接应用. 18．如图, 在三棱锥中, 是边长为2的等边三角形, .（1）求证: ；（2）若, , 为线段上一点, 且, 求三棱锥的体积.【答案】（1）详见解析（2）【解析】（1）取中点, 连接, , 先证明, , 可得平面, 即可得证；（2）利用等积法即可得到结果.【详解】（1）证明: 取中点, 连接, ,因为, 所以,因为为等边三角形, 所以,又因为, 所以平面,因为平面, 所以.（2）因为, 所以,又因为, , 所以平面,因为为边长为2的等边三角形, 所以,因为，所以.【点睛】等积法: 等积法包括等面积法和等体积法. 等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到, 利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高, 特别是在求三角形的高和三棱锥的高时, 这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高, 而通过直接计算得到高的数值.19. 某企业生产了一种新产品, 在推广期邀请了100位客户试用该产品, 每人一台.试用一个月之后进行回访, 由客户先对产品性能作出“满意”或“不满意”的评价, 再让客户决定对性能满意对性能不满意合计是否购买该试用产品（不购买则可以免费退货, 购买则仅需付成本价）.经统计,决定退货的客户人数是总人数的一半,“对性能满意”的客户比“对性能不满意”的客户多10人,“对性能不满意”的客户中恰有选择了退货.（1）请完成下面的列联表, 并判断是否有的把握认为“客户购买产品与对产品性能满意之间有关”.购买产品不购买产品合计（2）企业为了改进产品性能, 现从“对性能不满意”的客户中按是否购买产品进行分层抽样, 随机抽取6位客户进行座谈.座谈后安排了抽奖环节, 共有4张奖券, 奖券上分别印有200元、400元、600元和800元字样, 抽到奖券可获得相应奖金.6位客户有放回的进行抽取, 每人随机抽取一张奖券, 求6位客户中购买产品的客户人均所得奖金不少于500元的概率.附：, 其中0.1500.1000.0500.0250.0102.072 2.7063.841 5.024 6.635【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】(1) 根据题意填写列联表, 由表中数据计算观测值, 对照临界值得出结论；(2)利用古典概型概率公式即可得到结果.【详解】（1）设“对性能不满意”的客户中购买产品的人数为,对性能满意对性能不满意合计则退货的人数为,由此可列出下表购买产品50不购买产品50合计100因为, 所以；填写列联表如下:对性能满意对性能不满意合计购买产品351550不购买产品203050合计5545100所以.所以, 有的把握认为“客户购买产品与对产品性能满意之间有关”. （2）由题意知：参加座谈的购买产品的人数为2, 退货的人数为4. “购买产品的客户抽取奖券”的基本事件有:, , , , , , , , , , , , , , , , 共有16个基本事件:设事件“购买产品的客户人均所得奖金不少于500元”,则事件包含的基本事件有:, , , , , , , , , , 共有10个基本事件：则.所以, 购买产品的客户人均所得奖金不少于500元的概率是.【点睛】本题考查了独立性检验和列举法求古典概型的概率问题, 是基础题.20．已知椭圆过点, 左焦点为.（1）求椭圆的方程；（2）已知直线与椭圆有两个不同的交点, , 点, 记直线, 的斜率分别为, , 求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】(1)由题意布列a, b的方程组, 解之即可得到椭圆的方程；（2）联立直线与椭圆方程可得, 利用韦达定理表示, 利用二次函数的性质即可得到结果.【详解】（1）因为左焦点为, 所以,因为过点, 所以,解之得, , 所以椭圆方程为.（2）设, ,联立方程, 得,由,，，，，所以,因为, 所以,所以取值范围为.【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法: (1)几何法, 若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义, 则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法, 若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系, 则可首先建立目标函数, 再求这个函数的最值. 在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑: ①利用判别式来构造不等关系, 从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式, 从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法, 确定参数的取值范围.21. 已知函数.（1）若曲线在点处切线的斜率为1, 求实数的值；（2）当时, 恒成立, 求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】(1)求出, 令x=1,即可解出实数的值；（2）时, 恒成立转化为求函数最小值大于零即可.【详解】（1）,因为, 所以；（2）, 设,设, 设,注意到, ,（ⅰ）当时, 在上恒成立,所以在上恒成立, 所以在上是增函数,所以, 所以在上恒成立,所以在上是增函数,所以在上恒成立, 符合题意；（ⅱ）当时, , , 所以, 使得,当时, , 所以, 所以在上是减函数,所以在上是减函数,所以, 所以在上是减函数,所以, 不符合题意；综上所述: .【点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题, 首先要构造函数, 利用导数研究函数的单调性, 求出最值, 进而得出相应的含参不等式, 从而求出参数的取值范围；也可分离变量, 构造函数, 直接把问题转化为函数的最值问题.22．在平面直角坐标系中, 以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线的极坐标方程为, 直线的参数方程为（为参数）, 其中, 直线与曲线相交于, 两点.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若点满足, 求的值.【答案】（1）（2）【解析】（1）利用, 把极坐标方程化为直角坐标方程；（2）将直线的参数方程（为参数）代入, 得: ,利用韦达定理表示条件, 解方程即可得到结果.【详解】（1）由题意, 曲线的极坐标方程可化为: ,由得曲线的直角坐标方程为: .（2）将直线的参数方程（为参数）代入,得：，设, 对应的参数分别为, , 则, ,所以，解得或（舍）,所以.【点睛】利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题经过点P(x0, y0), 倾斜角为α的直线l的参数方程为 (t为参数). 若A, B为直线l上两点, 其对应的参数分别为, 线段AB的中点为M, 点M所对应的参数为, 则以下结论在解题中经常用到:(1) ；(2) ；(3) ；(4) .23. 已知函数.（1）当时, 求不等式的解集；（2）若对任意的恒成立, 求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）当a＝2时, 分类讨论求得不等式的解集；（2）对任意的恒成立即, 数形结合即可得到结果．【详解】（1）当时, , 即当时, 不等式等价于: ,解得, 所以；当时, 不等式等价于: ,解得, 所以；当时, 不等式等价于: ,解得, 所以；所以, 不等式的解集为.（2）由题意知, 当时, , 即恒成立,根据函数的图像易知,解得, 的取值范围为.【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法, 一是运用零点分区间讨论, 二是利用绝对值的几何意义求解. 法一是运用分类讨论思想, 法二是运用数形结合思想, 将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透, 解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用.。
2019年济南市高三数学上期末第一次模拟试卷附答案
2019年济南市高三数学上期末第一次模拟试卷附答案一、选择题1．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为（ ）A ．65B ．184C ．183D ．1762．设,x y 满足约束条件330280440x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，则3z x y =+的最大值是（ ）A ．9B ．8C ．3D ．43．已知x ，y 满足2303301x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，z ＝2x +y 的最大值为m ，若正数a ，b 满足a +b ＝m ，则14a b +的最小值为（ ） A ．3B ．32C ．2D ．52 4．在R 上定义运算：A ()1B A B =-，若不等式()x a -()1x a +<对任意的实数x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．11a -<< B ．02a << C ．1322a -<< D ．3122a -<< 5．已知数列{}n a 的首项110,211n n n a a a a +==++，则20a =（ ）A ．99B ．101C ．399D ．4016．设变量,x y 、满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．97．数列{}n a 中，对于任意,m n N *∈，恒有m n m n a a a +=+，若118a =，则7a 等于( ) A ．712 B ．714 C ．74 D ．78 8．若直线2y x =上存在点(,)x y 满足30,230,,x y x y x m +-≤⎧⎪--≥⎨⎪≥⎩则实数m 的最大值为A ．2-B ．1-C ．1D ．39．设实数,x y满足242210x yx yx-≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩，则1yx+的最大值是（）A．-1B．12C．1D．3210．设,x y满足约束条件0,20,240,x yx yx y-≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则2z x y=+的最大值为（）A．2B．3C．12D．1311．在等差数列{}n a中，n S表示{}n a的前n项和，若363a a+=，则8S的值为（）A．3B．8C．12D．2412．已知x，y均为正实数，且111226x y+=++，则x y+的最小值为（）A．20B．24C．28D．32二、填空题13．等比数列{}n a的首项为1a，公比为q，1lim2nnS→∞=，则首项1a的取值范围是____________．14．如图，在ABCV中，,43C BCπ==时，点D在边AC上，AD DB=，DE AB⊥，E为垂足若22DE=，则cos A=__________15．设0a>，若对于任意满足8m n+=的正数m，n，都有1141a m n++≤，则a的取值范围是______.16．若x，y满足约束条件13x yx yxy-≥-⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则2z x y=-的最大值是__________．17．已知x y 、满足约束条件1{1,22x y x y x y +≥-≥--≤若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为7，则34a b+的最小值为_______． 18．若关于 x 的不等式 ()2221x ax -< 的解集中的整数恰有 3 个，则实数 a 的取值范围是________________．19．已知a b c R ∈、、，c 为实常数，则不等式的性质“a b a c b c >⇐+>+”可以用一个函数在R 上的单调性来解析，这个函数的解析式是()f x =_________20．设等比数列{}n a 满足a 1 + a 2 = –1, a 1 – a 3 = –3，则a 4 = ___________．三、解答题21．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）求角B 的大小；（2）若D 为AC 的中点，且1BD =，求ABC S ∆的最大值.22．如图，在四边形ABCD 中，7,2,AC CD AD ==2.3ADC π∠=（1）求CAD ∠的正弦值；（2）若2BAC CAD ∠=∠，且△ABC 的面积是△ACD 面积的4倍，求AB 的长.23．已知数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +=+-，n n b a n =+.（1）求证：数列{}n b 是等比数列;（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .24．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知2446,10a a S +==．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式;（Ⅱ）令2n n n b a =⋅*()n N ∈,求数列{}n b 的前n 项和n T ．25．设ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2cos cos cos c C a B b A =+. （1）求角C .（2）若ABC V 的面积为S ，且224()S b a c =--，2a =，求S .26．已知{}n a 是递增数列，其前n 项和为n S ，11a >，且10(21)(2)n n n S a a =++，*n ∈N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ；（Ⅱ）是否存在*,,m n k N ∈使得2()m n k a a a +=成立？若存在，写出一组符合条件的,,m n k 的值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）设32n n n b a -=-，若对于任意的*n N ∈，不等式12111(1)(1)(1)n b b b ≤+++L m 的最大值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】分析：将原问题转化为等差数列的问题，然后结合等差数列相关公式整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可得，8个孩子所得的棉花构成公差为17的等差数列，且前8项和为996， 设首项为1a ，结合等差数列前n 项和公式有：811878828179962S a d a ⨯=+=+⨯=， 解得：165a =，则81765717184a a d =+=+⨯=.即第八个孩子分得斤数为184.本题选择B 选项.点睛：本题主要考查等差数列前n 项和公式，等差数列的应用，等差数列的通项公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．A解析：A【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标还是在点()3,2C 处取得最大值，其最大值为max 33329z x y =+=+⨯=.本题选择A 选项.3．B解析：B【解析】【分析】作出可行域，求出m ，然后用“1”的代换配凑出基本不等式的定值，从而用基本不等式求得最小值．【详解】作出可行域，如图ABC ∆内部（含边界），作直线:20l x y +=，平移该直线，当直线l 过点(3,0)A 时，2x y +取得最大值6，所以6m =．1411414143()()(5)(5)6662b a b a a b a b a b a b a b +=++=++≥+⨯=，当且仅当4b a a b =，即12,33a b ==时等号成立，即14a b+的最小值为32． 故选：B.【点睛】 本题考查简单的线性规划，考查用基本不等式求最值，解题关键是用“1”的代换凑配出基本不等式的定值，从而用基本不等式求得最小值．4．C解析：C【解析】【分析】根据新运算的定义, ()x a -()x a +22x x a a =-++-,即求221x x a a -++-<恒成立,整理后利用判别式求出a 范围即可【详解】 Q A ()1B A B =-∴()x a -()x a +()()()()22=11x a x a x a x a x x a a --+=--+-=-++-⎡⎤⎣⎦ Q ()x a -()1x a +<对于任意的实数x ∈R 恒成立,221x x a a ∴-++-<,即2210x x a a -++--<恒成立,()()2214110a a ∴∆=-⨯-⨯--<,1322a ∴-<< 故选：C【点睛】本题考查新定义运算,考查一元二次不等式中的恒成立问题, 当x ∈R 时,利用判别式是解题关键5．C解析：C【解析】【分析】【详解】 由1211n n n a a a +=++，可得)211111111n n n n a a a a +++=+++=，， {}+1n a 是以1为公差，以1为首项的等差数列. 21,1n n a n a n +==-，即220201399a =-=.故选C.6．D解析：D【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩的可行域，如图，画出可行域ABC ∆，(2,0)A ，(1,1)B ，(3,3)C ，平移直线2z x y =+，由图可知，直线2z x y =+经过(3,3)C 时目标函数2z x y =+有最大值，2z x y =+的最大值为9.故选D.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.7．D解析：D【解析】 因为11,8m n m n a a a a +=+=,所以2112,4a a == 42122a a ==,3123,8a a a =+= 73478a a a =+=.选D. 8．B解析：B【解析】【分析】首先画出可行域，然后结合交点坐标平移直线即可确定实数m 的最大值.【详解】不等式组表示的平面区域如下图所示，由2230y x x y =⎧⎨--=⎩，得：12x y =-⎧⎨=-⎩， 即C 点坐标为（－1，－2），平移直线x ＝m ，移到C 点或C 点的左边时，直线2y x =上存在点(,)x y 在平面区域内， 所以，m ≤－1，即实数m 的最大值为－1.【点睛】本题主要考查线性规划及其应用，属于中等题.9．D解析：D【解析】【分析】 由约束条件确定可行域，由1y x+的几何意义，即可行域内的动点与定点P （0，-1）连线的斜率求得答案．【详解】 由约束条件242210x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩，作出可行域如图，联立10220x x y -=⎧⎨+-=⎩，解得A （112，）， 1y x+的几何意义为可行域内的动点与定点P （0，-1）连线的斜率， 由图可知，113212PA k +==最大． 故答案为32． 【点睛】 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题型．10．C解析：C【解析】【分析】 由约束条件可得可行域，将问题变成1122y x z =-+在y 轴截距最大问题的求解；通过平移直线可确定最大值取得的点，代入可得结果.【详解】由约束条件可得可行域如下图所示：当2z x y =+取最大值时，1122y x z =-+在y 轴截距最大 平移直线12y x =-，可知当直线1122y x z =-+过图中A 点时，在y 轴截距最大 由240y x x y =⎧⎨--=⎩得：()4,4A max 42412z ∴=+⨯= 故选：C【点睛】本题考查线性规划中最值问题的求解，关键是能够将问题转化为直线在y 轴截距最值问题的求解，属于常考题型.11．C解析：C【解析】【分析】由题意可知，利用等差数列的性质，得18363a a a a +=+=，在利用等差数列的前n 项和公式，即可求解，得到答案。
山东省济南市2019届高三上学期期末考试数学(理)试题(C卷)Word版含答案
山东省济南市2019届高三上学期期末考试数学（理）试题（C 卷）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、若集合2{|540}A x x x =++<，集合{|2}B x x =<-，则()R A C B 等于（ ）A ．(2,1)--B ．[2,4)-C ．[2,1)--D ．φ2、复数2(1)21i z i -+=+的实部为（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．03、从高一某班学号为150的50名学生中随机选取5名同学参加数学测试，采用系统抽样的方法，则所选5名学生的学号可能是（ ）A ．2,11,23,34,45B ．5,16,27,38,49C ．3,13,25,37,47D ．4,13,22,31,404、已知()f x 是奇函数，当0x >时，()21x a f x x +=⋅-，若()324f -=，则a 等于（ ） A ．-3 B ．-2 C ．-1 D ．05、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A ．43π B ．53π C ．223π+ D ．243π+6、若函数()2sin(2)()2f x x πϕϕ=+<的图像向右平移6π个单位后经过点(,12π， 则ϕ 等于（ ）A ．12π-B ．6π-C ．0D ．6π 7、已知命题:(2,2),126p x x x ∃∈--++≥，则下列叙述正确的是（ ）A ．p ⌝为：:(2,2),126p x x x ∃∈--++<B ．p ⌝为：:(2,2),126p x x x ∀∈--++≥C ．p ⌝为：:(,2)(2,),126p x x x ∀∈-∞-+∞-++<D ．p ⌝是真命题8、若实数,x y 满足不等式组202240250x y y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-+≤⎩，且3()2(1)x a y -++的最大值为5，则a 等于（ ）A ．-2B ．-1C ．2D ．19、从焦点为F 的抛物线22(0)y px p =>上取一点000(,)()2p A x y x >做其准线的垂线，垂足为B ，若4,AF B =到直线AF的距离为 ）A ．22y x =B ．23y x =C ．24y x =D ．26y x =10、已知函数()xf x e =，函数()5,44,4x ex xg x e x -≤⎧=⎨>⎩，对任意的[1,](1)x m m ∈>，都有()(2)f x g x -≤，则m 的取值范围是（ ）A ．(1,22ln 2]+B ．7(1,2ln 2]2+C ．[ln 2,2)D ．7(2,2ln 2)2+第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..11、已知向量(3,),(1,2)a m b ==-，若2a b b ⋅=，则m =12、5(3)(1x +的展开式中常数项为 14、如图是一个程序框图，则输出的n 的值是15、已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为(,0)F c ， 圆222:()F x c y c -+=，直线l 与双曲线C 的一条渐近线垂直且在x 轴上 的截距为23a ，若圆F 被直线l，则双曲线的离心率为16、若函数()()ln ()f x x b x b R =-∈在区间[1,]e 上单调递增，则实数b 的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16、（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,,2sin cos ,a b c A a B b ==（1）若2c =，求sin C ；（2）求ABC ∆面积的最大值.17、（本小题满分12分）如图，在梯形ABCD 中，0//,,60AB CD AD DC CB a ABC ===∠=，平面ACFE ⊥平面ABCD ，四边形ACFE 是矩形.（1）求证：BC ⊥平面ACFE ；（2）若A D A E =，求平面BDF 与平面ACFE 所成角的正弦值.18、（本小题满分12分）已知对边数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12,,n n S a +成等差数列()n N *∈.（1）求a 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）若21(1)log ()n n n b an a a +=-，求数列1{}nb 的前n 项和n T .19、（本小题满分12分）某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选试题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成，规定：至少正确完成其中2道题的便可通过，已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是23，且每题正确完成与否互不影响.（1）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望；（2）请分析比较甲、乙两人谁面试通过的可能性大？20、（本小题满分12分）已知函数()ln f x ax x =-，函数()31,3g x bx bx a R =-∈且0b ≠. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若1a =，且对任意的1(1,2)x ∈，总存在2(1,2)x ∈，使()()120f x g x +=成立，求实数b 的取值范围.22、（本小题满分12分）已知11(,0),(,0)F c F c -分别是椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>的左右焦点，点P 点， 且212123,2a PF F F PF PF ⊥-=. （1）求椭圆G 方程； （2）直线l 与椭圆G 交于两个不同的点,M N ，①若直线l 的斜率为1，且不经过椭圆G 上的点(4,)C n ，其中0n >，求证：直线CM 与CN 关于直线4x =对称.②若直线l 过2F ，点B 是椭圆G 的是上顶点，是否存在直线l ，使得2BF M ∆与2BF N ∆的面积的比值为2？如果存在，求出直线l 的方程；如果不存在，说明理由.。
2019年山东省济南市高三(上)期末数学试卷答案解析
2019年山东省济南市高三（上）期末数学试卷答案解析一、选择题（共8题，每题5分）1．（2019秋•济南期末）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≤0}，B＝{x|x﹣1＜0}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，3]B．（﹣∞，2]C．（﹣∞，1）D．[﹣2，1）【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣x﹣6≤0}＝{x|﹣2≤x≤3}，B＝{x|x﹣1＜0}＝{x|x＜1}，∴A∪B＝{x|x≤3}＝（﹣∞，3]．故选：A．2．（2019秋•济南期末）若复数z满足z（1+i）＝﹣2i（其中i为虚数单位），则z的共轭复数是（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i【解答】解：∵z（1+i）＝﹣2i，∴z＝，则．故选：D．3．（2019秋•济南期末）设x∈R，则“2x＞4”是“lg（|x|﹣1）＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：设x∈R，则“2x＞4”⇒“lg（|x|﹣1）＞0”，“lg（|x|﹣1）＞0”⇒“x＞2或x＜﹣2”⇒“2x＞4或”，∴“2x＞4”是“lg（|x|﹣1）＞0”的充分不必要条件．故选：A．4．（2019秋•济南期末）已知函数则函数y＝f（1﹣x）的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：当x＞0时，f（x）＝xlnx，则令f′（x）＝lnx+1＝0，解得x＝，所以当0＜x＜时，f（x）单调递减，x＞时，f（x）单调递增，当x≤0时，f（x）＝，则令f′（x）＝e﹣x﹣1≥0，所以当x≤0时，f（x）单调递增，作出函数f（x）的图象如图：又因为f（1﹣x）的图象时将f（x）图象先关于y轴对称，再向左移动一个单位得到的，故根据f（x）图象可值f（1﹣x）图象为故选：B．5．（2019秋•济南期末）若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点到准线的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝8，则弦AB的中点到y轴的距离为（）A．2B．3C．4D．6【解答】解：抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点到准线的距离为2，可得p＝2，抛物线方程为：y2＝4x，设A（x1，y1），B（x2，y2），根据抛物线定义，x1+x2+p＝8，所以x1+x2＝6，∵AB的中点的横坐标为：3，中点到y轴的距离为3，故选：B．6．（2019秋•济南期末）已知函数，则＝（）A．0B．C．1D．2【解答】解：根据题意，函数，则f（﹣x）＝lg（﹣x）+＝﹣lg（﹣x）+，则f（x）+f（﹣x）＝1，则有＝f（ln5）+f（﹣ln5）＝1；故选：C．7．（2019秋•济南期末）考古发现，在埃及金字塔内有一组神秘的数字142857，因为142857×2＝285714，142857×3＝428571，…所以这组数字又叫走马灯数．该组数字还有如下规律：142+857＝999，571+428＝999，…若从1，4，2，8，5，7这6个数字中任意取出3个数字构成一个三位数x，则999﹣x的结果恰好是剩下3个数字构成的一个三位数的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，从1，4，2，8，5，7这6个数字中任意取出3个数字构成一个三位数x，共有＝6×5×4＝120种．又因为从1，4，2，8，5，7这6个数字中：1+8＝9，2+7＝9，4+5＝9，共3组．所以要使6个数字中任意取出3个数字构成一个三位数x，999﹣x的结果恰好是剩下3个数字构成的一个三位数，则每次抽取只能抽取一组数字中的一个，所以共有＝6×4×2＝48种，故．故选：C．8．（2019秋•济南期末）若F为双曲线的左焦点，过原点的直线l与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，则﹣的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线的a＝2，b＝，c＝3，设|AF|＝m，|FB|＝n，F'为双曲线的右焦点，连接BF'，AF'，由对称性可得四边形AFBF'为平行四边形，可得|BF'|＝|AF|＝m，可得n﹣m＝2a＝4，n＝m+4，且m≥c﹣a＝1，则﹣＝﹣，设f（m）＝﹣，m≥1，f′（m）＝﹣+＝，当m＞4时，f′（m）＞0，f（m）递增，1≤m＜4时，f′（m）＜0，f（m）递减，可得f（m）在m＝4处取得极小值，且为最小值﹣，当m＝1时，f（1）＝，当m→+∞时，f（m）→0，则f（m）∈[﹣，]，故选：D．二．多选题（共4小题）9．（2019秋•济南期末）习总书记讲到：“广大人民群众坚持爱国奉献，无怨无悔，让我感到千千万万普通人最伟大，同时让我感到幸福都是奋斗出来的”．某企业2019年12个月的收入与支出数据的折线图如下：已知：利润＝收入﹣支出，根据该折线图，下列说法正确的是（）A．该企业2019年1月至6月的总利润低于2019年7月至12月的总利润B．该企业2019年第一季度的利润约是60万元C．该企业2019年4月至7月的月利润持续增长D．该企业2019年11月份的月利润最大【解答】解：由企业2019年12个月的收入与支出数据的折线图，得：在A中，该企业2019年1月至6月的总利润约为：x1＝（30+40+35+30+50+60）﹣（20+25+10+20+22+30）＝118，该企业2019年7月至12月的总利润约为：（80+75+75+80+90+80）﹣（28+22+30+40+45+50）＝265，∴该企业2019年1月至6月的总利润低于2019年7月至12月的总利润，故A正确；在B中，该企业2019年第一季度的利润约约是：（30+40+35）﹣（20+25+10）＝50万元，故B错误；在C中，该企业2019年4月至7月的月利润分别为（单位：万元）：10，28，30，52，∴该企业2019年4月至7月的月利润持续增长，故C正确；在D中，该企业2019年7月和8月的月利润比11月份的月利润大，故D错误．故选：AC．10．（2019秋•济南期末）声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是函数y＝A sinωt，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是（）A．2π是f（x）的一个周期B．f（x）在[0，2π]上有3个零点C．f（x）的最大值为D．f（x）在上是增函数【解答】解：∵y＝sin x的周期为2π，y＝的周期为π，∴的周期为2π，故A正确；由＝0，得sin x+sin x cos x＝0，得sin x＝0或cos x＝﹣1，∵x∈[0，2π]，∴x＝0，x＝π，x＝2π，则f（x）在[0，2π]上有3个零点，故B正确；函数的最大值在[0，]上取得，由f′（x）＝cos x+cos2x＝2cos2x+cos x﹣1＝0，可得cos x＝，当x∈（0，）时，cos x 单调递减，原函数单调递增，当x∈（，）时，cos x单调递减，原函数单调递减，则当x＝时，原函数求得最大值为sin+＝，故C正确；∵f（）＝sin+＝＞1，f（）＝sin＝1，∴f（x）在上不是增函数，故D错误．故选：ABC．11．（2019秋•济南期末）给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算：．规定：①为同时与，垂直的向量；②，，三个向量构成右手系（如图1）；③．如图2，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝4，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积【解答】解：∵，且分别与垂直，∴，故A正确；由题意，，，故B错误；∵，∴＝，且与共线同向，∵，与共线同向，，与共线同向，∴||＝，且与共线同向，故C正确；＝＝2×2×4＝16，故D成立．故选：ACD．12．（2019秋•济南期末）若实数a，b满足2a+3a＝3b+2b，则下列关系式中可能成立的是（）A．0＜a＜b＜1B．b＜a＜0C．1＜a＜b D．a＝b【解答】解：由2a+3a＝3b+2b，设f（x）＝2x+3x，g（x）＝3x+2x，易知f（x），g（x）是递增函数，画出f（x），g（x）的图象如下：绿色，蓝色的分别是f（x），g（x）的图象，根据图象可知：当x＝0，1时，f（x）＝g（x），0＜a＜b＜1，f（a）＝f（b）可能成立；故A正确；当b＜a＜0时，因为f（x）≤g（x），所以f（a）＝f（b）可能成立，B正确；当a＝b时，显然成立，当1＜a＜b时，因为f（a）＜g（b），所以不可能成立，故选：ABD．三．填空题（共14小题）13．（2019秋•济南期末）（2x﹣y）5的展开式中，含x3y2项的系数为80．（用数字作答）．【解答】解：二项式（2x﹣y）5的展开式的通项为T r+1＝25﹣r（﹣1）r C5r x5﹣r y r，令r＝2，可得含x3y2的项的系数是23C52＝80故答案为：80．14．（2019秋•济南期末）已知，则tan2α＝﹣4【解答】解：由于，所以：，整理得：，所以：tan，则：＝﹣4，故答案为：﹣4．15．（2019秋•济南期末）平行四边形ABCD中，M为CD的中点，点N满足，若，则λ+μ的值为．【解答】解：平行四边形ABCD中，M为CD的中点，点N满足，所以＝+μ（），＝+（），则根据平面向量基本定理可得，，解可得，λ＝﹣1，μ＝，则λ+μ＝，故答案为：．16．（2019秋•济南期末）如图，矩形ABCD中，，AD＝2，Q为BC的中点，点M，N分别在线段AB，CD上运动（其中M不与A，B重合，N不与C，D重合），且MN∥AD，沿MN将△DMN折起，得到三棱锥D﹣MNQ，则三棱锥D﹣MNQ体积的最大值为1；当三棱锥D﹣MNQ体积最大时，其外接球的表面积的值为．【解答】解：设MB＝t，则AM＝DN＝2﹣t，∵沿MN将△DMN折起，当DN⊥平面MNQ时，三棱锥D﹣MNQ的体积最大，此时V D﹣MNQ＝＝＝﹣，∴当t＝时，V D﹣MNQ取最大值，最大值为1，此时MB＝，DN＝，∴MQ＝NQ＝2，∴△MNQ为等边三角形，∴当三棱锥D﹣MNQ体积最大时，三棱锥D﹣MNQ是正三棱柱的一部分，如图所示：则三棱柱MNQ﹣EDF的外接球即是三棱锥D﹣MNQ的外接球，设点G，H分别是上下地面正三角形的中心，∴线段GH的中点即是三棱柱MNQ﹣EDF的外接球的球心O，∴OH＝又，∴△MNQ是边长为2的等边三角形，∴HQ＝，∴三棱柱MNQ﹣EDF的外接球的半径R＝OQ＝＝，∴三棱锥D﹣MNQ的外接球的表面积为4πR2＝，故答案为：1；．四、解答题（共6题，共计70分）17．（2019秋•济南期末）在①，②a cos B＝b sin A，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，求△ABC的面积．【解答】解：取②a cos B＝b sin A，由正弦定理可得：sin Aa cos B＝sin B sin A≠0，∴tan B＝1，B∈（0，π），∴B＝．∴C＝π﹣A﹣B＝，sin C＝sin（+）＝+＝．由正弦定理可得：＝，解得a＝．∴△ABC的面积S＝×＝．18．（2019秋•济南期末）如图，五面体ABCDEF中，正方形ABCD的边长为，AB＝2EF，EF∥平面ABCD，点P在线段DE上，且DP＝2PE，Q为BC的中点．（1）求证：BE∥平面APQ；（2）已知AE⊥平面ABCD，且AE＝2，求二面角P﹣AF﹣E的余弦值．【解答】解：（1）连结BD，交AQ于点M，连结PM，∵△BMQ～△DMA，BQ＝，∴BM＝，∵EP＝，∴PM∥BE，∵PM⊂平面APQ，BE⊄平面APQ，∴BE∥平面APQ．（2）解：以A为坐标原点，分别以为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），C（，，0），D（0，2，0），E（0，0，2），F（，0，2），设P（x，y，z），∵DP＝2PE，∴＝，则（x，y﹣2，z）＝（0，﹣2，2），则P（0，，），∴＝（0，，），设平面AFP的法向量为＝（x，y，z），∵＝（，0，2），∴，取x＝，则＝（），平面AEF的法向量＝（0，1，0），设二面角P﹣AF﹣E的平面角为θ，则cosθ＝＝．∴二面角P﹣AF﹣E的余弦值为．19．（2019秋•济南期末）数学家也有一些美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想：（n∈N）是质数.1732年，瑞士数学家欧拉算出F5＝641×6700417，该数不是质数．已知S n为数列{a n}的前n项和，且S n＝log2（F n﹣1）﹣1（n∈N+）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝（n+1）log2a n+1，设为数列的前n项和，求出T n，并证明：对任意n∈N+，1≤T n＜2．【解答】解：（1）S n＝log2（F n﹣1）﹣1＝log22﹣1＝2n﹣1，当n＝1时，a1＝S1＝1，n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2n﹣1﹣2n﹣1+1＝2n﹣1，对n＝1也成立，则a n＝2n﹣1，n∈N*；（2）b n＝（n+1）log2a n+1＝（n+1）log22n＝n（n+1），＝＝2（﹣），则T n＝2（1﹣+﹣+…+﹣）＝2（1﹣），由于2（1﹣）随着n的增大而增大，可得T1≤T n＜2，即对任意n∈N+，1≤T n＜2．20．（2019秋•济南期末）截止到2018年末，我国公路总里程达到484.65万公里，其中高速公路达到14.26万公里，规模居世界第一．与此同时，行车安全问题也成为管理部门关注的重点．如图是某部门公布的一年内道路交通事故成因分析，由图可知，超速驾驶已经成为交通事故的一个主要因素．研究表明，急刹车时的停车距离等于反应距离与制动距离的和，下表是根据某部门的调查结果整理所得的数据（v表示行车速度，单位：km/h；d1，d2分别表示反应距离和制动距离，单位：m）道路交通事故成因分析v6472808997105113121128135 d113.415.216.718.620.121.923.525.326.828.5（1）从一年内发生的道路交通事故中随机抽出3起进行分析研究，求其中恰好有1起属于超速驾驶的概率（用频率代替概率）；（2）已知d2与v的平方成正比，且当行车速度为100km/h时，制动距离为65m．（i）由表中数据可知，d1与v之间具有线性相关关系，请建立d1与v之间的回归方程，并估计车速为110km/h时的停车距离；（ii）我国《道路交通安全法》规定：车速超过100km/h时，应该与同车道前车保持100m 以上的距离，请解释一下上述规定的合理性．参考数据：，，，，参考公式：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．【解答】解：（1）由题意知，P i＝••，故所求的概率为P1＝••＝；（2）由d2与v的平方成正比，设d2＝kv2，当行车速度为v＝100km/h时，制动距离为d2＝65m；即k•1002＝65，解得k＝0.0065，所以d2＝0.0065v2；（i）由d1与v之间具有线性相关关系，且＝v i＝×1004＝100.4，＝（d1）i＝×210＝21；又，，，所以＝＝＝≈0.21，＝﹣＝21﹣0.21×100.4＝﹣0.084，所以d1与v间的回归方程为＝0.21v﹣0.084；v＝110时，＝0.21×110﹣0.084＝23.016．d2＝0.0065×1102＝78.65，所以估计车速为110km/h时的停车距离为d＝23.016+78.65＝101.666≈102（m）；（ii）v＝100时，＝0.21×100﹣0.084＝20.916．d2＝0.0065×1002＝65，车速为100km/h时的停车距离为d＝20.916+65＝85.916≈86（m）；车速超过100km/h时，考虑到车速增加后刹车距离也随着增大，要保证行车安全，车辆应该与同车道前车保持在100m以上的距离．21．（2019秋•济南期末）已知F1，F2分别为椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，P为C上的动点，其中P到F1的最短距离为1，且当△PF1F2的面积最大时，△PF1F2恰好为等边三角形．（1）求椭圆C的标准方程；（2）以椭圆长轴为直径的圆叫做椭圆的“外切圆”，记椭圆C的外切圆为E．（i）求圆E的方程；（ii）在平面内是否存在定点Q，使得以PQ为直径的圆与E相切，若存在求出定点Q的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）由题意可得：a﹣c＝1，面积最大时P为短轴的顶点，再由△PF1F2恰好为等边三角形，可得b＝，a2＝b2+c2，解得：a2＝4，b2＝3，所以椭圆的标准方程为：+＝1；（2）（i）由（1）得圆E的圆心坐标为（0，0），半径为a＝2，所以圆E的方程为：x2+y2＝4；（ii）解法一：假设存在满足条件的定点Q，由题意可知定点Q必在x轴上，设Q（m，0），P（x0，y0），则，由（i）可知，圆E的圆心为坐标原点O，半径为2，设以PQ为直径的圆的圆心为G，半径为r，则G为线段PQ的中点，r＝，即G（，），r＝，因为圆E与圆G相切，则|OG|＝2﹣r，所以＝2﹣，其中y02＝3﹣x02，两边平方并整理得：4﹣mx0＝2，化简得（m2﹣1）（x02﹣4）＝0，上式对任意x0∈[﹣2，2]恒成立，故m2﹣1＝0，解得m＝±1，所以，当定点Q恰好为椭圆的焦点时，符合题意．解法二：存在满足条件的定点Q，由题意可知，定点Q必在x轴上，设Q（m，0），P（x0，y0），则，由（i）可知，圆E的圆心为坐标原点O，半径为2，设以PQ为直径的圆的圆心为G，半径为r，则G为线段PQ的中点，则r＝，即G（，），r＝，因为圆E与圆G相切，则|OG|＝2﹣r，所以＝2﹣，整理得，设Q′（﹣m，0），则|PQ′|+|PQ|＝4，又因为P在椭圆上，设F1，F2分别为椭圆的左右焦点，|PF1|+|PF2|＝4，故Q，Q′分别与F1，F2重合，所以当定点Q恰好为椭圆的C的焦点时，符合题意．解法三：假设存在满足条件的定点Q，由题意可知定点Q必在x轴上，由（i）可知，圆E的圆心为坐标原点O，半径为2，设以PQ为直径的圆的圆心为G，半径为r，则G为线段PQ的中点，则r＝，因为圆E与圆G相切，则|OG|＝2﹣r，即|OG|＝2﹣，所以2|OG|+|PQ|＝4，设Q′为Q关于原点对称点，则OG恰好为△QQ′P的中位线，所以2|OG|＝|PQ′|，所以|PQ′|+|PQ|＝4，下同解法二；解法四：假设存在满足条件的定点Q，设M（m，n），P（x0，y0），则由（i）可知，圆E的圆心为坐标原点O，半径为2，设以PQ为直径的圆的圆心为G，半径为r，则G为线段PQ的中点，则r＝，即G （，），r＝，因为圆E与圆G相切，则|OG|＝2﹣r，所以＝2﹣，整理得+＝4，设Q（﹣m，﹣n），因此|PQ′|+|PQ|＝4，下同解法一．22．（2019秋•济南期末）已知函数的极大值为，其中e＝2.71828…为自然对数的底数．（1）求实数k的值；（2）若函数，对任意x∈（0，+∞），g（x）≥af（x）恒成立．（i）求实数a的取值范围；（ii）证明：x2f（x）＞a sin x+x2﹣1．【解答】解：（1）f'（x）＝，x＞0，当x∈（0，e）时，f'（x）＞0，f（x）递增；当x∈（e，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）递减；所以f（x）的极大值为f（e）＝，故k＝1；（2）（i）根据题意，任意x∈（0，+∞），g（x）≥af（x），即，化简得xe x﹣alnx﹣ax﹣a≥0，令h（x）＝xe x﹣alnx﹣ax﹣a，x＞0，h（x）＝e lnx e x﹣alnx﹣ax﹣a＝e lnx+x﹣a（lnx+x）﹣a，令lnx+x＝t，t∈R，设H（t）＝e t﹣at﹣a，H'（t）＝e t﹣a，只需H（t）≥0，t∈R，当a＜0时，当t＜0时，H（t）＜1﹣at﹣a，所以H（）＜1﹣a（﹣1）﹣a＝0，不成立；当a＝0时，H（t）≥0显然成立；当a＞0时，由H'（t）＝e t﹣a，当t∈（﹣∞，lna），H（t）递减，t∈（lna，+∞），H（t）递增，H（t）的最小值为H（lna）＝a﹣alna﹣a＝﹣alna，由H（lna）＝﹣alna≥0，得0＜a≤1，综上0≤a≤1；（ii）证明：要证x2f（x）＞a sin x+x2﹣1，只需证明，化简得xlnx+1＞a sin x，只需证，设F（x）＝lnx+，G（x）＝x﹣sin x，由F'（x）＝，当x∈（0，1）时，F（x）递减；x∈（1，+∞）时，F（x）递增；所以F（x）≥F（1）＝1，由G'（x）＝1﹣cos x≥0，G（x）在（0，+∞）递增，故G（x）＞G（0）＝0，得x＞sin x，又由（i）0≤a≤1，所以，所以F（x）＞成立，故原命题成立．。
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高三年级学习质量评估文科数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则( )A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用交集概念与运算直接求解即可.【详解】∵集合，，∴故选：C【点睛】本题考查交集的概念及运算，属于基础题.2.已知复数满足（其中为虚数单位），则的虚部为( )A. -1B. 1C.D.【答案】A【解析】【分析】利用复数的乘除运算化简复数z，结合虚部概念得到答案.【详解】由z（1+i）＝2，得，∴复数z的虚部是﹣1．故选：A．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3.已知等差数列的前项和为，若，，则该数列的公差为( )A. -2B. 2C. -3D. 3【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【详解】由题意可得：5d＝25，解得d＝2．故选：B．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.已知实数，满足约束条件则的最大值是( )A. 0B. 1C. 5D. 6【答案】D【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由直线方程可知，要使z最大，则直线在y轴上的截距最大，结合可行域可知当直线z＝x+2y过点A时z最大，求出A的坐标，代入z＝x+2y得答案．【详解】解：画出约束条件表示的平面区域，如图所示；由解得A（0，3），此时直线y x z在y轴上的截距最大，所以目标函数z＝x+2y的最大值为z max＝0+2×3＝6．故选：D．【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查数形结合的思想，解答的关键是正确作出可行域，是中档题．5.已知命题关于的不等式的解集为；命题函数在区间内有零点，下列命题为真命题的是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先判断命题p，q的真假，结合真值表可得结果.【详解】关于的不等式的解集为，故命题p为假命题，由函数可得：即，结合零点存在定理可知在区间内有零点，故命题求为真命题.∴p∧q为假，为假，为真，为假，故选：C．【点睛】本题考查的知识点是复合命题的真假，其中判断出命题p与q的真假是解答本题的关键．6.如图，在中，，，三角形内的空白部分由三个半径均为1的扇形构成，向内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意，概率符合几何概型，所以只要求出阴影部分的面积，根据三角形的内角和得到空白部分的面积是以1为半径的半圆的面积，由几何概型的概率公式可求．【详解】由题意，题目符合几何概型，中，，，，所以三角形为直角三角形，面积为，阴影部分的面积为：三角形面积圆面积＝2，所以点落在阴影部分的概率为；故选：D．【点睛】本题考查了几何概型的概率求法；关键明确概率模型，然后求出满足条件的事件的集合，由概率公式解答．7.已知双曲线，其焦点到渐近线的距离为2，则该双曲线的离心率为( )A. B. C. 2 D.【答案】D【解析】【分析】由焦点到条渐近线的距离，可得b＝1，求出c，即可求出双曲线的离心率．【详解】解：双曲线的焦点到条渐近线的距离等于b．∵双曲线的焦点到条渐近线的距离为2，∴b＝2，又a∴c＝，∴e．故选：D．【点睛】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，求出双曲线的焦点到条渐近线的距离等于b是关键．8.函数的图象大致为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用函数的奇偶性，极限，特值点逐一判断即可.【详解】由函数为偶函数，排除B选项，当x时，，排除A选项，当x=时，，排除C选项，故选：D【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.9.为了得到函数的图象，可以将函数的图象( )A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】B【解析】【分析】利用函数y＝A cos（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【详解】解：为了得到函数的图象，可以将函数向右平移个单位长度，故选：B．【点睛】本题主要考查函数y＝A cos（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．10.如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的某几何体的三视图，则该几何体的体积是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据三视图知几何体是组合体：下面是圆锥、上面是四分之一球，根据图中数据，代入体积公式求值即可．【详解】解：根据三视图知几何体是组合体，下面是圆锥、上面是四分之一球，圆锥的底面半径为3，高为3；球的半径为3，∴该几何体的体积V，故选：A．【点睛】本题考查由三视图求几何体的体积，以及几何体的体积公式，考查空间想象能力，三视图正确复原几何体是解题的关键．11.执行如图所示的程序框图，若输入的，，依次为，，，其中，则输出的为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由框图可知程序的功能是输出三者中的最大者，比较大小即可.【详解】由程序框图可知a、b、c中的最大数用变量x表示并输出，∵∴，又在R上为减函数，在上为增函数，∴＜，＜故最大值为，输出的为故选：C【点睛】本题主要考查了选择结构．算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．12.我国南宋数学杨家辉所著的《详解九章算法》一书中记录了一个由正整数构成的三角形数表，我们通常称之为杨辉三角.以下数表的构造思路就来源于杨辉三角.从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则的值为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据每一行的第一个数的变化规律即可得到结果.【详解】解：第一行第一个数为：；第二行第一个数为：；第三行第一个数为：；第四行第一个数为：；，第n行第一个数为：；一共有1010行，∴第1010行仅有一个数：；故选：C．【点睛】本题考查了由数表探究数列规律的问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量，为单位向量，若与的夹角为，则__________．【答案】1【解析】【分析】根据条件可以得到，这样便可求出的值，从而得出的值．【详解】解：根据条件，，；∴1-1+1＝1；∴．故答案为：．【点睛】本考查单位向量的概念，向量数量积的运算及其计算公式，求向量的长度的方法：求．14.过圆内一点作直线，则直线被圆所截得的最短弦长为__________．【答案】【解析】【分析】化已知圆为标准方程，得到圆心C（1，0），半径r＝2，利用垂径定理结合题意，即可求出最短弦长．【详解】圆方程可化为（x﹣1）2+y2＝4，∴圆心C（1，0），半径r＝2，，当截得的弦长最短时，CP⊥l，即P为弦的中点，∴最短弦长为故答案为：．【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，最短弦长问题，考查数形结合思想，属于基础题．15.在正方形中，点，分别为，的中点，将四边形沿翻折，使得平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为__________．【答案】【解析】【分析】连接FC，与DE交于O点，取BE中点为N，连接ON，CN，易得ON∥BD，故∠CON就是异面直线与所成角，在等腰三角形CON中，求底角的余弦值即可.【详解】连接FC，与DE交于O点，取BE中点为N，连接ON，CN，易得ON∥BD∴∠CON就是异面直线与所成角设正方形的边长为2，OC=，ON=，CN=∴cos∠CON==故答案为：【点睛】本题主要考查异面直线所成的角问题,难度一般．求异面直线所成角的步骤:1平移,将两条异面直线平移成相交直线．2定角,根据异面直线所成角的定义找出所成角．3求角,在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函数求角．4结论．16.若函数与的图象交点的横坐标之和为2，则的值为__________．【答案】1 【解析】 【分析】根据函数的对称性得出直线过曲线的对称中心，从而得出m 的值．【详解】解：∵y=的图象均关于点（1，0）对称，∴函数的图象关于点（1，0）对称，且在上单调递增，∵函数与的图象交点的横坐标之和为2，∴直线y ＝经过点（1，0），∴m ＝1． 故选：1．【点睛】本题考查了函数对称性的判断与应用，属于中档题．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知的内角，，的对边分别为，，，且.（1）求角的大小；（2）若，，边的中点为，求的长.【答案】（1）（2）【解析】 【分析】（1）由及正弦定理得，从而得到角的大小；（2）利用可得，进而利用余弦定理可得，再利用余弦定理可得BD.【详解】（1）由及正弦定理得：，又，所以，因为所以，因为，所以.（2）由余弦定理得，所以，所以，因为，所以，所以.【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理的综合应用，解题时注意分析角的范围.对于余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2）.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还要记住，，等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.18.如图，在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，.（1）求证：；（2）若，，为线段上一点，且，求三棱锥的体积.【答案】（1）详见解析（2）【解析】【分析】（1）先证明，，可得平面，即可得证；（2）利用等积法即可得到结果.【详解】（1）证明：取中点，连接，，因为，所以，因为为等边三角形，所以，又因为，所以平面，因为平面，所以.（2）因为，所以，又因为，，所以平面，因为为边长为2的等边三角形，所以，因为，所以.【点睛】等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．19.某企业生产了一种新产品，在推广期邀请了100位客户试用该产品，每人一台.试用一个月之后进行回访，由客户先对产品性能作出“满意”或“不满意”的评价，再让客户决定是否购买该试用产品（不购买则可以免费退货，购买则仅需付成本价）.经统计，决定退货的客户人数总人数的一半，“对性能满意”的客户比“对性能不满意”的客户多10人，“对性能不满意”的客户中恰有选择了退货.（1）请完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为“客户购买产品与对产品性能满意之间有关”.对性能满意对性能不满意合计购买产品不购买产品合计（2）企业为了改进产品性能，现从“对性能不满意”的客户中按是否购买产品进行分层抽样，随机抽取6位客户进行座谈.座谈后安排了抽奖环节，共有4张奖券，奖券上分别印有200元、400元、600元和800元字样，抽到奖券可获得相应奖金.6位客户有放回的进行抽取，每人随机抽取一张奖券，求6位客户中购买产品的客户人均所得奖金不少于500元的概率.附：，其中0.150 0.100 0.050 0.025 0.0102.072 2.7063.841 5.024 6.635【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】【分析】(1)根据题意填写列联表，由表中数据计算观测值，对照临界值得出结论；(2)利用古典概型概率公式即可得到结果.【详解】（1）设“对性能不满意”的客户中购买产品的人数为，则退货的人数为，由此可列出下表对性能满意对性能不满意合计购买产品50不购买产品50合计100因为，所以；填写列联表如下：对性能满意对性能不满意合计购买产品35 15 50不购买产品20 30 50合计55 45 100所以.所以，有的把握认为“客户购买产品与对产品性能满意之间有关”.（2）由题意知：参加座谈的购买产品的人数为2，退货的人数为4.“购买产品的客户抽取奖券”的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，共有16个基本事件：设事件“购买产品的客户人均所得奖金不少于500元”，则事件包含的基本事件有：，，，，，，，，，，共有10个基本事件：则.所以，购买产品的客户人均所得奖金不少于500元的概率是.【点睛】本题考查了独立性检验和列举法求古典概型的概率问题，是基础题．20.已知椭圆过点，左焦点为.（1）求椭圆的方程；（2）已知直线与椭圆有两个不同的交点，，点，记直线，的斜率分别为，，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)由题意布列a，b的方程组，解之即可得到椭圆的方程；（2）联立直线与椭圆方程可得，利用韦达定理表示，利用二次函数的性质即可得到结果.【详解】（1）因为左焦点为，所以，因为过点，所以，解之得，，所以椭圆方程为.（2）设，，联立方程，得，由，，，，，所以，因为，所以，所以取值范围为.【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．21.已知函数.（1）若曲线在点处切线的斜率为1，求实数的值；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)求出，令x=1,即可解出实数的值；（2）时，恒成立转化为求函数最小值大于零即可.【详解】（1），因为，所以；（2），设，设，设，注意到，，（ⅰ）当时，在上恒成立，所以在上恒成立，所以在上是增函数，所以，所以在上恒成立，所以在上是增函数，所以在上恒成立，符合题意；（ⅱ）当时，，，所以，使得，当时，，所以，所以在上是减函数，所以在上是减函数，所以，所以在上是减函数，所以，不符合题意；综上所述：.【点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数），其中，直线与曲线相交于，两点.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若点满足，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用，把极坐标方程化为直角坐标方程；（2）将直线的参数方程（为参数）代入，得：，利用韦达定理表示条件，解方程即可得到结果.【详解】（1）由题意，曲线的极坐标方程可化为：，由得曲线的直角坐标方程为：.（2）将直线的参数方程（为参数）代入，得：，设，对应的参数分别为，，则，，所以，解得或（舍），所以.【点睛】利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为，则以下结论在解题中经常用到：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ．23.已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若对任意的恒成立，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）当a＝2时，分类讨论求得不等式的解集；（2）对任意的恒成立即，数形结合即可得到结果．【详解】（1）当时，，即当时，不等式等价于：，解得，所以；当时，不等式等价于：，解得，所以；当时，不等式等价于：，解得，所以；所以，不等式的解集为.（2）由题意知，当时，，即恒成立，根据函数的图像易知，解得，的取值范围为.【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用.。