【教育专用】专题10 导数的基本运算-2018年高考数学(文)母题题源系列(天津专版)

母题十 导数的基本运算【母题原题1】【2018天津，文10】已知函数()()e ln ,xf x x f x ='为()f x 的导函数，则()1f '的值为__________． 【答案】e【解析】试题分析：首先求导函数，然后结合导函数的运算法则整理计算即可求得最终结果．试题解析：由函数的解析式可得：()11e ln e e ln x xx f x x x x x ⎛⎫'=⨯+⨯=+ ⎪⎝⎭， 则()111e ln1e 1f ⎛⎫'=⨯+= ⎪⎝⎭．即()1f '的值为e ．【名师点睛】本题主要考查导数的运算法则，基本初等函数的导数公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．【母题原题2】【2017天津，文10】已知a ∈R ，设函数()ln f x ax x =-的图象在点（1，(1)f ）处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为 ． 【答案】1()()000y y f x x x '-=-．注意：求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过点P 的切线的不同,谨记，有切点直接带入切点，没切点设切点，建立方程组求切点．【母题原题3】【2016天津，文10】已知函数()(2+1),()x f x x e f x '=为()f x 的导函数，则(0)f '的值为__________． 【答案】3 【解析】()(2+3),(0) 3.x f x x e f ''=∴=【名师点睛】求函数的导数的方法(1)连乘积的形式：先展开化为多项式的形式，再求导； (2)根式形式：先化为分数指数幂，再求导；(3)复杂公式：通过分子上凑分母，化为简单分式的和、差，再求导； (4)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导；(5)不能直接求导的：适当恒等变形，转化为能求导的形式再求导．【母题原题4】【2015天津，文11】已知函数()()ln ,0,f x ax x x =∈+∞ ,其中a 为实数,()f x '为()f x 的导函数,若()13f '= ,则a 的值为 ．【答案】3【解析】因为()()1ln f x a x '=+ ,所以()13f a '==． 【考点定位】本题主要考查导数的运算法则．【名师点睛】本题考查内容单一,求出()()1ln f x a x '=+由,再由()13f '=可直接求得a 的值,因此可以说本题是一道基础题,但要注意运算的准确性,由于填空题没有中间分,一步出错,就得零分,故运算要特别细心．【命题意图】主要考查导数的运算、导数的几何意义，考查代数式化简与变形能力、运算求解能力，运用数形结合、分类讨论的思想方法分析与解决问题能力．【命题规律】导数的基本运算几乎是每年高考的必考内容，考查题型以选择题、填空题，有时出现在解答题的第(1)问中，难度偏小，属中低档题．常见的命题角度有：(1)求导函数值；(2)求切线方程；(3)求参数的值． 【答题模板】解答本类题目，以2018年高考题为例，一般考虑如下两步： 第一步：求导数得()11e ln e e ln xxx f x x x x x ⎛⎫'=⨯+⨯=+ ⎪⎝⎭，第二步：把1x =代入上式，得()111e ln1e 1f ⎛⎫'=⨯+= ⎪⎝⎭，即()1f '的值为e ．【方法总结】一、导数的代数意义及其几何意义1．代数意义：函数y =f （x ）在x =x 0处的瞬时变化率0000()()limlim x x f x x f x yxx ∆→∆→+∆-∆=∆∆叫做y =f （x ）在0x x =处导数，记作0000000()()()|,()limlim x x x x f x x f x yf x y f x x x=∆→∆→+∆-∆'''==∆∆或即2．几何意义：函数f （x ）在点0x 处的导数0()f x '的几何意义是在曲线y =f （x ）上点00(,())x f x 处的切线的斜率．相应地，切线方程为'000()()()y f x f x x x -=-． 二、导数的四则运算1．熟记基本初等函数的导数公式 2．导数的运算法则（1）''[()]()cf x cf x =；（2）[]'''()()()()f x g x f x g x ±=±；（3）[]'''()()()()()()f x g x f x g x f x g x ⋅=±；（4）[]'''2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦． 3．函数求导应先注意函数的定义域．4．对复杂函数求导时应注意先对函数进行化简．1．【2018陕西咸阳5月模拟】已知是函数的导函数，且对任意的实数都有（是自然对数的底数），，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【名师点睛】本题需要构造函数，一般：（1）条件含有，就构造,（2）若，就构造，（3），就构造，（4）就构造，等便于给出导数时联想构造函数．2．【2018重庆三模】设函数的导函数记为，若，则A． -1 B． C． 1 D． 3【答案】D【名师点睛】该题涉及到的知识点有正余弦的求导公式，同角三角函数关系式，还有就是函数在某点处的导数就是导函数在相应的点处的函数值，利用公式求得结果．3．【2018辽宁丹东二模】已知函数在处取极值10，则A． 4或 B． 4或 C． 4 D．【答案】C【解析】分析：根据函数的极值点和极值得到关于的方程组，解方程组并进行验证可得所求．详解：∵，∴．由题意得，即，解得或．当时，，故函数单调递增，无极值．不符合题意．∴．故选C．【名师点睛】（1）导函数的零点并不一定就是函数的极值点，所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是函数的极值点．（2）对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件，因此在根据函数的极值点或极值求得参数的值后需要进行验证，舍掉不符合题意的值．4．【2018河南豫南九校模拟】已知函数是函数的导函数，（其中为自然对数的底数），对任意实数，都有，则不等式的解集为（）A． B． C． D．【名师点睛】解抽象不等式的常用方法是构造函数后利用函数的单调性求解，其中如何构造函数是解题的难点，在本题中根据含有的不等式，并结合导数的求导法则构造出函数是关键．5．【2018吉林四平模拟】已知函数()y f x =在()0+∞，上非负且可导，满足，()()21xf x f x x x +≤-+-',若0a b <<,则下列结论正确的是( )A ． ()()af b bf a ≤B ． ()()af b bf a ≥C ． ()()af a f b ≤D ． ()()bf b f a ≤【答案】A【解析】因为()()21xf x f x x x +≤-+-' ()'0,xf x ⎡⎤∴<∴⎣⎦函数()()F x xf x =在()0,+∞上递减，又0a b <<且()f x 非负，于是有()()0af a bf b >≥，①22110a b>>， ② ①②两式相乘得()()()()0f a f b af b bf a ab>≥→<，根据“或”命题成立的条件可得()()af b bf a ≤成立，故选A ．【方法点睛】本题主要考查抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题．求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数．本题通过观察四个选项，联想到函数()()F x xf x =，再结合条件判断出其单调性，进而得出正确结论．6．【2018江西模拟】已知函数()()2ln f x x x f a =+',且()11f =-则实数a 等于( )A ． 12-或1 B ． 12C ． 1D ． 2 【答案】C【解析】取1x =得()()1ln11f f a =+=-'，则()/1f a =-，取0x a =>得()()12f a af a a=+''，则2210a a --=，解得1a =或12a =-（舍去），故选C 7．【2018天津二模】已知函数，为的导函数，则_______．【答案】【名师点睛】考查基本初等函数和商的导数的求导公式，已知函数求值的方法．8．【2018天津静海一中模拟】已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．【答案】3【解析】()()1ln f x a x '=+， ()13f a '==． 9．【2018天津上学期期末考试】已知函数()ln xf x x=， ()'f x 为()f x 的导函数，则()'1f 的值为__________． 【答案】1【解析】∵()ln x f x x =，∴()221ln 1ln x xxx f x x x⋅--=='，∴()11f '=．答案：1 10．【2018天津一中期中考试】已知函数 ()()()21221f x f x x f =++'，则 ()2f '的值为__________． 【答案】-6【解析】分析：函数表达式中有两个参数()()1,'1f f ，因此需要构建()()1,'1f f 的方程组求出它们的值后才能求()'2f 的值．详解：令1x =，则()()1'12f f +=-①．又()()'2'12f x f x =+，故令1x =得()'12f =-，由①得()10f =，故()222f x x x =-+，()'42f x x =-+，所以()'26f =-．填6-．【名师点睛】本题考查函数解析式的求法，因原函数中含有特定导数值，故常利用导函数构建与特定导数值相关的方程或方程组，解出它们的值即可． 11．【2018天津一中月考五】已知在平面直角坐标系中，曲线在处的切线过原点，则__________．【答案】【名师点睛】用导数的几何意义求曲线方程时，注意“在点P 处的切线”和“过点P 的切线”的区别，其中“在点P 处的切线”的含义是点P 在曲线上，同时点P 又是切点，求“过点P 的切线”时要转化为另一种情况处理．12．【2018河南新乡三模】已知函数，在区间上任取一个实数，则的概率为__________． 【答案】 【解析】分析：由,可得，利用几何概型概率公式可得结果．详解：，由，可得，的概率为，故答案为．【名师点睛】本题題主要考查“长度型”的几何概型，属于中档题． 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与长度有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总长度以及事件的长度．13．【2018河南豫南九校模拟】若，则__________．【答案】6 【解析】由题得，所以故填6．14．【2018河北省衡水金卷调研卷（五）】已知函数()()()513f x x x =-+,()f x '为()f x 的导函数，则()f x '的展开式中2x 项的系数是__________． 【答案】-540【方法点晴】本题主要考查导数的求导法则以及二项展开式定理的通项与系数，属于简单题． 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1r n r r r n T C a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用． 15．【2018河南焦作四模】已知()()'1ln f f x x x x=+，则()'1f =__________．【答案】12． 【解析】 因为()()2'11ln f f x x x '=+-，令1x =，得()()11'1f f ='-，解得()1'12f =． 16．【2018吉林四平模拟】等比数列{}n a 中， 182,4a a ==,函数()()()()128f x x x a x a x a =--⋯-，则()0f '=__________．【答案】122 【解析】函数()()()()128...f x x x a x a x a=---， ()()()()128'...f x x a x a x a =---()()()128...'x x a x a x a ⎡⎤+---⎣⎦，则()()441212818'0...82f a a a a a =⋅===，故答案为122．17．【2018海南二模】已知函数()f x 的导函数为()'f x ，且满足关系式()()3'2ln f x xf x =+，则()'1f 的值等于__________．【答案】1418．【2018安徽黄山一模】已知()()31303f x x xf =+',则()1f '＝_________． 【答案】1【解析】由题意可得 ：()()2'3'0f x x f =+，令0x =可得：()()()2'003'0,'00f f f =+∴=，则：()()()321,','113f x x f x x f =∴==．。