9-4 静电场的环路定理 电势能
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9-5-静电场的环路定理解析
•电势是标量，有正有负； •电势的单位：伏特 1V=1J.C-1； •电势具有相对意义，它决定于电势零点的选择。 在理论计算中，通常选择无穷远处的电势为零；
•在实际工作中，通常选择地面的电势为零。 •但是对于“无限大”或“无限长”的带电体， 只能在有限的范围内选取某点为电势的零点。
3、电势差
在静电场中，任意两点A和点B之间的电势之差， 称为电势差，也叫电压。
步骤：
(1)先算场强 (2)选择合适的路径L
(3) 积分(计算)
•2、利用点电荷的电势公式和电势的叠加原理
dq dV
4 0r
dq
V 4 0r
要求电荷的分布区域是已知的；
当电荷分布在有限的区域内，可以选择无穷
远点作为电势的零点的；而当激发电场的电荷分
布延伸到无穷远时，只能根据具体问题的性质，
在场中选择某点为电势的零点。
E
1
4 0
Q r2
er
B
Q
rB
r
rA
dr C r
A
dl
er
E
dW
1
4 0
Qq0 r2
er
dl
1
4 0
Qq0 r2
dr
rB
W
Qq0
dr Qq0 ( 1 1 )
rA 40r 2
40 rA rB
在点电荷的静电场中，电场力对试验电荷所作
的功与其移动时起始位置与终了位置有关，与
其所经历的路径无关。
V
p 3xy
Ey
y
4 0
x2 y2 5/2
-q
+q
电偶极子的延长线上 y 0
2p 1
E x 4 0 x 3
•在实际工作中，通常选择地面的电势为零。 •但是对于“无限大”或“无限长”的带电体， 只能在有限的范围内选取某点为电势的零点。
3、电势差
在静电场中，任意两点A和点B之间的电势之差， 称为电势差，也叫电压。
步骤：
(1)先算场强 (2)选择合适的路径L
(3) 积分(计算)
•2、利用点电荷的电势公式和电势的叠加原理
dq dV
4 0r
dq
V 4 0r
要求电荷的分布区域是已知的；
当电荷分布在有限的区域内，可以选择无穷
远点作为电势的零点的；而当激发电场的电荷分
布延伸到无穷远时，只能根据具体问题的性质，
在场中选择某点为电势的零点。
E
1
4 0
Q r2
er
B
Q
rB
r
rA
dr C r
A
dl
er
E
dW
1
4 0
Qq0 r2
er
dl
1
4 0
Qq0 r2
dr
rB
W
Qq0
dr Qq0 ( 1 1 )
rA 40r 2
40 rA rB
在点电荷的静电场中，电场力对试验电荷所作
的功与其移动时起始位置与终了位置有关，与
其所经历的路径无关。
V
p 3xy
Ey
y
4 0
x2 y2 5/2
-q
+q
电偶极子的延长线上 y 0
2p 1
E x 4 0 x 3
静电场的环路定理 电势
(8-22)
静电场的环路定理 电势
式中，Uab为静电场中任意两点 a、b间的电势差，也称为电压.式（ 8-22）表明，静电场中a、b两点的 电势之差等于把单位正电荷从a点沿 任意路径移到b点电场力所做的功.电 势差是绝对的.
静电场的环路定理 电势
四、 电势的计算 1. 点电荷电场的电势
设在真空中有一点电荷q，其周围的电场分布为
(8- 21)
式（8-21
a的电势在数值上等
于把单位正电荷从a点沿任意路径移到无限远电场力所做的功.在
许多实际问题中，也常选地球为电势零点.
电势是标量，在国际单位制中，电势的单位为伏特（V）.
静电场的环路定理 电势
2. 电势差
从电场力做功的角度引入电势能的概念，由式(8-19) 和式(8-20)可以看出，电势能Wa不仅与a点的电场性质有 关，还与试验电荷q0有关，因而不能用来描述电场中某场 点的性质.但是，人们发现电势能与试验电荷q0的比值与试 验电荷q0无关，仅与a点电场的性质有关.因此，用电势描 述电场的能量特征.a、b两点的电势分别用Va、Vb表示.由 式（8-18），定义
dW=F·dl=q0E·dl=q0Edlcosθ
静电场的环路定理 电势
式中，θ为E与dl的夹角.由图8-20可以看出，元位移dl在电场力 方向的投影为dlcosθ=dr，则元功可写成
静电场的环路定理 电势
既然每个点电荷的电场力对q0所做 的功都与路径无关，那么它们的代数和 也必然与路径无关.由此可以得到以下结 论：在任意带电体的电场中，电场力对 试验电荷q0所做的功只与试验电荷q0及 其始末位置有关，而与路径无关.
静电场的环路定理 电势
2. 电势叠加原理
设场源电荷是由分布在有限区域内的点电荷系q1、q2、q3、 …、qn组成，根据场强叠加原理，任一点P处的场强等于各个点电 荷在该点产生场强的矢量和，即
静电场的环路定理 电势
式中，Uab为静电场中任意两点 a、b间的电势差，也称为电压.式（ 8-22）表明，静电场中a、b两点的 电势之差等于把单位正电荷从a点沿 任意路径移到b点电场力所做的功.电 势差是绝对的.
静电场的环路定理 电势
四、 电势的计算 1. 点电荷电场的电势
设在真空中有一点电荷q，其周围的电场分布为
(8- 21)
式（8-21
a的电势在数值上等
于把单位正电荷从a点沿任意路径移到无限远电场力所做的功.在
许多实际问题中，也常选地球为电势零点.
电势是标量，在国际单位制中，电势的单位为伏特（V）.
静电场的环路定理 电势
2. 电势差
从电场力做功的角度引入电势能的概念，由式(8-19) 和式(8-20)可以看出，电势能Wa不仅与a点的电场性质有 关，还与试验电荷q0有关，因而不能用来描述电场中某场 点的性质.但是，人们发现电势能与试验电荷q0的比值与试 验电荷q0无关，仅与a点电场的性质有关.因此，用电势描 述电场的能量特征.a、b两点的电势分别用Va、Vb表示.由 式（8-18），定义
dW=F·dl=q0E·dl=q0Edlcosθ
静电场的环路定理 电势
式中，θ为E与dl的夹角.由图8-20可以看出，元位移dl在电场力 方向的投影为dlcosθ=dr，则元功可写成
静电场的环路定理 电势
既然每个点电荷的电场力对q0所做 的功都与路径无关，那么它们的代数和 也必然与路径无关.由此可以得到以下结 论：在任意带电体的电场中，电场力对 试验电荷q0所做的功只与试验电荷q0及 其始末位置有关，而与路径无关.
静电场的环路定理 电势
2. 电势叠加原理
设场源电荷是由分布在有限区域内的点电荷系q1、q2、q3、 …、qn组成，根据场强叠加原理，任一点P处的场强等于各个点电 荷在该点产生场强的矢量和，即
静电场的环路定理
例3、求均匀带电球面电场中电势的分布，已知 ，q 、求均匀带电球面电场中电势的分布，已知R 微元法) 微元法 解: 方法一 叠加法 (微元法
dq = σdS = σ 2πR2 sinθdθ π 任一圆环 dS = 2 RsinθRdθ
dq 1 σ 2πR sinθdθ du = = 4πε0l 4πε0 l
B A
1 1 dr = ( − ) 2 4πε0r 4πε0 RA RB RA
q
q
2.如图已知 、-q、R 如图已知+q 如图已知 、 移至c ①求单位正电荷沿odc 移至 ，电场力所作的功 求单位正电荷沿
d q −q A = uo − uc = 0−( ) + oc 4πε0 3R 4πε0R a b c q 0 +q −q = 6 0R πε R R R
方法二
定义法
∞ P
q 4 0r2 πε
由高斯定理求出场强分布 E =
r>R r<R
r r 由定义 u = ∫ E • dl
r<R R r r ∞r r u = ∫ E • dl + ∫ E • dl
r R
0
r>R
R
dθ
O∞θຫໍສະໝຸດ lP= 0+ ∫
∞
q
4 0r πε R q = 4 0R πε
dr 2
u= ∫
r r uP = ∫ E • dl
P
∞
♠由点电荷电势公式，利用电势叠加原理计算 由点电荷电势公式，
求电偶极子电场中任一点P的电势 例1 、求电偶极子电场中任一点 的电势
Y
由叠加原理
q(r2 − r1) uP = u1 + u2 = − = 4πε0r1 4πε0r2 4πε0r1r2 q q
静电场的环路定理静电场力的功电势能
静电场力的功
02
电场力的定义
电场力是电荷在电场中受到的 力，其大小和方向由电场强度
和电荷的乘积决定。
电场力的大小为 F=qE，其 中 F 是电场力，q 是电荷量，
E 是电场强度。
电场力的方向与电场强度的方 向相同，即由正电荷指向负电
荷。
电场力做功的计算
电场力做功可以通过积分计算，即 W=∫F·dr，其中 W 是电场力做的功， F 是电场力，dr 是位移矢量。
在匀强电场中，电场力做功可以通过 W=qEd计算，其中 W 是电场力做 的功，q 是电荷量，E 是电场强度，d 是位移。
在非匀强电场中，需要计算电场力在路径上的积分来计算电场力做的功。
电场力做功的特点
01
电场力做功与路径无关，只与初末位置的电势差有关。
02
电场力做功是标量，没有方向。
03
电场力做功的过程是能量转化的过程，可以转化为其他形式 的能量。
电势能
03
电势能的定义
电势能是指电荷在电场中由于位置差 异而具有的能量。
电势能是电荷与电场共同具有的能量， 其大小由电场强度和电荷量共同决定。
电势能是相对的，与零电势点的选择 有关。
电势能的变化规律
1
电场力做功与路径无关，只与初末位置有关。
2
电场力做正功，电势能减少；电场力做负功，电 势能增加。
3
静电力做功与电荷的运动路径无关，只与初末位 置有关。
电势能与电场力的关系
01
电场力做功等于电势能的减少量。
02
电势能的变化量等于电场力做的功。
03 电势能与电场力做功的关系是能量守恒定律在静 电场中的具体表现。
THANKS.
静电场的环路定理、静 电场力的功、电势能
静电场环路定理
视dq为点电荷 dq
dU
4 0
dq U dU
Q 4 0r
4、电势迭加原理
r
L
s
V
dl
4 0r dS
4 0r dV
4 0r
dq
r P
Q
电场中任意一点的电势，等于各带电体单独存在
时在该点产生的电势的代数和
n
U ui
i 1
U
P
P
E
P
dl
E
dl
E
r
dr
பைடு நூலகம் q
4 0
1 r r2
dr
1
4 0
q r
例2 、求电偶极子电场中任一点P的电势
由叠加原理
Y
uP
u1
u2
q
4 0r1
q
4 0r2
q(r2 r1 )
4 0r1r2
P( x, y)
r l r2 r1 l cos
28.8 102V
q1
q2
O
r
q4
q3
②将 q0 1.0 109 c 从 0 电场力所作的功
A0 q0 (u u0 ) q0 (0 28.8 102 ) 28.8 107 J
③求该过程中电势能的改变
A0 W W0 28.8 107 0 电势能
x2
u
q
qx
E 4 0 ( x 2 R2 )32
qxdx
Edx
xp
静电场的环路定理 电势
· · a O
2
均匀带电球体内、外的场强： E内 r 3 0 均匀带电球体内某点的电势
2 腔内电势: U ( r ) U 1 U 2 [( 3 R12 r 2 ) ( 3 R2 r 2 )] 6 0
对O2点，r a, r 0
U r
(2) 点电荷系的电势
qi UA i 4 π ε0 ri
推广：
E Ei
A
U Ui
i
r1
q1
r2 ri
qi
rN
qN
电势叠加原理 （标量叠加）
q2
§3-1-4 静电场的环路定理 电势
(3) 有限连续带电体
【方法一】微元分割＋积分法
Q
dq
e
带电体
r
A
UA ? dU 4 0 r
但在工程技术中，取大地、仪器外壳等为电势零点； （2）电场的电势分布确定后，电场力做功
W AB q0 (U A U B )
§3-1-4 静电场的环路定理 电势
2、电势的计算 (1) 点电荷的电势
q
+
A
积分至无穷远
r
E
q U (r ) 4πε0 r
§3-1-4 静电场的环路定理 电势
3 解：取如图所示C点(0,3R/2) 0, R r 2 根据对称性 U B U C O A x C 补上下半球面成为完整球面后 y B Q R U A 4 0 R 0 R U U UC AC A 3 0 Q 2R UC 4 0 ( 3 R / 2) 3 0 1 R 再由根据对称性 U AB U AC U AC 2 6 0
电势能 电势
B r R
r
37.
讨论： 讨论：
q
4πε0R 结论 V = q 4πε0r
(r < R)
V
Q 4πε0 R
(r ≥ R) (记住 记住) 记住
Q 4πε 0 r
o a. r < R 等势体 ； r >> R“点电荷” 点电荷”
电势分布？(设V∞= 0 ) 电势分布？ 设 Ⅰ法 叠加法
利用上述结论 V = ∑Vi
v E
v v q0 ( ∫ E ⋅ dl +
ABC
v v v v ∫ E⋅ dl ) = q0 ∫ E⋅ dl =0
L CDA
即
v v v 的环流为零） ∫ E⋅ dl = 0 （ E 的环流为零）
l
说明：静电力 保守力， 说明：静电力——保守力，静电场 保守力 静电场——保守场 保守场
29 .
三. 电势能
q dl 任取点电荷 dq = o 2πR dq dV = 4πε0r 积分中： 与 积分中：r与d q 选取无关 常量
b. 线积分法 利用P.159例1结论 例 结论 利用 积分路径 P
x轴 轴
R
P
x
x
无穷远
35.
讨论 结论
V=
q 4πε0 x + R
2 2
记住） （记住）
q 4 πε0 R
V
q 4πε0 x2 + R2
a. E 的分布函数已知, 用线 积分法较方便
R
rA
r r
rB
b. 选径向为积分路径 v v v v 则 dl = dr er ⋅ dr = dr oA B R r c. 对球面内一点B : 分段积分 dr A v R ∞ v ∞ VB = ∫ E ⋅ dl = ∫ E1 ⋅ dr + ∫ E2 ⋅ dr
r
37.
讨论： 讨论：
q
4πε0R 结论 V = q 4πε0r
(r < R)
V
Q 4πε0 R
(r ≥ R) (记住 记住) 记住
Q 4πε 0 r
o a. r < R 等势体 ； r >> R“点电荷” 点电荷”
电势分布？(设V∞= 0 ) 电势分布？ 设 Ⅰ法 叠加法
利用上述结论 V = ∑Vi
v E
v v q0 ( ∫ E ⋅ dl +
ABC
v v v v ∫ E⋅ dl ) = q0 ∫ E⋅ dl =0
L CDA
即
v v v 的环流为零） ∫ E⋅ dl = 0 （ E 的环流为零）
l
说明：静电力 保守力， 说明：静电力——保守力，静电场 保守力 静电场——保守场 保守场
29 .
三. 电势能
q dl 任取点电荷 dq = o 2πR dq dV = 4πε0r 积分中： 与 积分中：r与d q 选取无关 常量
b. 线积分法 利用P.159例1结论 例 结论 利用 积分路径 P
x轴 轴
R
P
x
x
无穷远
35.
讨论 结论
V=
q 4πε0 x + R
2 2
记住） （记住）
q 4 πε0 R
V
q 4πε0 x2 + R2
a. E 的分布函数已知, 用线 积分法较方便
R
rA
r r
rB
b. 选径向为积分路径 v v v v 则 dl = dr er ⋅ dr = dr oA B R r c. 对球面内一点B : 分段积分 dr A v R ∞ v ∞ VB = ∫ E ⋅ dl = ∫ E1 ⋅ dr + ∫ E2 ⋅ dr
09-4静电场的环路定理和电势
P
r0
2 π 0r
dr
r
o VA 0 P r r0
2 π0
ln
r0 r
r
关于静电场的实验定律和定理的关系： 静电场 静止电荷
库仑定律
F12 q1q 2 4 π 0 r12
2
激发
高斯定理
e 12
1 E dS
S
0 （ S 内）
qi
平方反比律
-15
J C
1.6 10
-19
5 10 V
4
计算一个电子伏特（eV）的能量
一个电子在电场中经过电势差为1V的两点时，电 场力对它做的功
W qU
1.60 10
19
C 1V 1.60 10
19
J
一个电子伏特的能量
电子伏特是近代物理学中能量单位，虽然它也出现 “伏特”这个名称，但它并非电压的单位，而是能量 的单位
A B
A
AB两点之间的电势差等于场强由A点到B点的线积分
把电荷q从A点移动到B点，电场力做的功 B B WAB qE dl q E dl qU AB
A A
Wba 8 10
15
J
Wab qU ab q(Va Vb )
Vb 8 10
在负电荷形成的电场中，任 一点的电势均为负，且离点 电荷越远的点，电势越高
A A2 A3 1
点电荷系电场的电势 V A E dl
A
q1
q2 r2
r1
E3
场强的叠加原理
r0
2 π 0r
dr
r
o VA 0 P r r0
2 π0
ln
r0 r
r
关于静电场的实验定律和定理的关系： 静电场 静止电荷
库仑定律
F12 q1q 2 4 π 0 r12
2
激发
高斯定理
e 12
1 E dS
S
0 （ S 内）
qi
平方反比律
-15
J C
1.6 10
-19
5 10 V
4
计算一个电子伏特（eV）的能量
一个电子在电场中经过电势差为1V的两点时，电 场力对它做的功
W qU
1.60 10
19
C 1V 1.60 10
19
J
一个电子伏特的能量
电子伏特是近代物理学中能量单位，虽然它也出现 “伏特”这个名称，但它并非电压的单位，而是能量 的单位
A B
A
AB两点之间的电势差等于场强由A点到B点的线积分
把电荷q从A点移动到B点，电场力做的功 B B WAB qE dl q E dl qU AB
A A
Wba 8 10
15
J
Wab qU ab q(Va Vb )
Vb 8 10
在负电荷形成的电场中，任 一点的电势均为负，且离点 电荷越远的点，电势越高
A A2 A3 1
点电荷系电场的电势 V A E dl
A
q1
q2 r2
r1
E3
场强的叠加原理
高等物理静电场环路定理
a
a 20
V Edl Edr pp
p
R
z
1q
y
4 0 r
xz
2 ) 定义法:
1
Vp
4 0r
dq
q
qx
x 40(R2x2)3/2dx
q 4
0
1 (R2 x2)1/2
x
o q
4 0 R2 x2
特例:
★若x = 0，
得：Vp
q
40R
W A B q 0 A B E d l E p A E p B ( E p B E p A )
试探电荷q o 在电场中某一点的静电势能在数值上等于 把试探电荷q o 由该点移到零势能点静电力所作的功。 若选 B 点为电势能零点，则
B
E P A q 0A E d l q 0A B E d l
E内 0
p
R
q
z
x
z
4 0 R2 x2
V 0
场强分布
电势分布
q
例题2均匀带电球面内外的电势分布。带电量为Q，球面半径为R
。
解∶由高斯定理得：
p
E外
1 4 0
Q r2
1 V
40
dV
r
1）对球内的一点P，其电势为:
r
r dWFdlq0Edl
Q
p
VEdr drrC
q0Q
1 (1)
20 20
4 0 r ra
2、电势、电势差 ：
V dV （1）、定义：
电势的物理意义：
大学物理10.4静电场的环路定理电势能.ppt
q1
q2
qi qn
带电体对q0 做功与路径无关 结论 静电场力做功只与始末位置有关，与路径无关，所以静 电力是保守力，静电场是保守力场。
二、静电场的环路定理
在静电场中，沿闭合路径移动q0，电场力做功
b
Aab q0E dl
L1
q0 由 a 点经 L1 到 达 b 点所做的功
b
a
a(L1) q0E dl b(L2 ) q0E dl
验一个电场不是静电场。 b c d a
E dl a E dl b E dl c E dl d E dl
b
d
a E1dl c E2dl
E1ab E2 cd 0 不是静电场
a
b
E
d
c
(2) 环路定理表明静电场电力线不能闭合（无旋场）。 (3) 静电场是无旋场，可引进电势能。
单个点电荷产生的电场rrqq4barrd1200???0al?dbabaqel????11400barrqq???lr?d?rqqbarr?4300???balbrardl?rd?qe??q0点电荷对q0做功与路径无关dr?l??drr?cosd?rl?r?r?d?r?dr?rr????0al?balqe?bqe?dbabaqel????012d?neel??????????01020alal?al?dddbbnlqelqel????????????????结论静电场力做功只与始末位置有关与路径无关所以静电力是保守力静电场是保守力场
例 如图所示, 在带电量为 Q 的点电荷所产生的静电场中，
有一带电量为 q 的点电荷
求 q 在 a 点和 b 点的电势能
解 • 选无穷远为电势能零点
Q
qQ 1
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ADC ABC
q0 E dl q0
q0 ( E dl
ABC
l
E dl ) 0
CDA
B
D
C
E
E dl 0
A
结论：沿闭合路径一 周，电场力作功为零.
静电场是保守场
4
第九章 静电场
9-4 静电场的环路定理
电势能
三
电势能
静电场是保守场， B 静电场力是保守力. EpB 静电场力所做的功就 E 等于电荷电势能增量 A EpA 的负值. WAB EpA EpB ( EpB EpA )
q0
q
rA
A
1
9-4 静电场的环路定理
电势能
qq0 dW dr 2 4πε0 r
qq0 rB dr W rA r 2 4πε0 qq0 1 1 ( ) 4πε0 rA rB
B
l dr d
rB
E
r
er
结论: W仅与q0的始末 位置有关，与路径无关.
第九章 静电场
q0
q
rA
9-4 静电场的环路定理
电势能
一
静电场力所做的功
B
l dr d
点电荷的电场 dW q0 E dl qq0 e dl 2 r 4πε0 r er dl dl cosθ dr qq0 dW dr 2 4πε0 r
第九章 静电场
rB
E
r
er
电场力做正功，电势能减少.
第九章 静电场
5
9-4 静电场的环路定理
电势能Βιβλιοθήκη AB q0 E dl EpA EpB ( EpB EpA )
令
E pB 0
AB
B
EpB
E pA
q0 E dl
A EpA
E
试验电荷q0在电场中某点的电势能，在 数值上等于把它从该点移到零势能处静电场 力所作的功.
第九章 静电场
6
A
2
9-4 静电场的环路定理
电势能
任意带电体的电场（点电荷的组合） E Ei i W q0 E dl q0 Ei dl
l
i
l
结论：静电场力做功，与路径无关.
第九章 静电场
3
9-4 静电场的环路定理
电势能
二
静电场的环路定理
E dl
q0 E dl q0
q0 ( E dl
ABC
l
E dl ) 0
CDA
B
D
C
E
E dl 0
A
结论：沿闭合路径一 周，电场力作功为零.
静电场是保守场
4
第九章 静电场
9-4 静电场的环路定理
电势能
三
电势能
静电场是保守场， B 静电场力是保守力. EpB 静电场力所做的功就 E 等于电荷电势能增量 A EpA 的负值. WAB EpA EpB ( EpB EpA )
q0
q
rA
A
1
9-4 静电场的环路定理
电势能
qq0 dW dr 2 4πε0 r
qq0 rB dr W rA r 2 4πε0 qq0 1 1 ( ) 4πε0 rA rB
B
l dr d
rB
E
r
er
结论: W仅与q0的始末 位置有关，与路径无关.
第九章 静电场
q0
q
rA
9-4 静电场的环路定理
电势能
一
静电场力所做的功
B
l dr d
点电荷的电场 dW q0 E dl qq0 e dl 2 r 4πε0 r er dl dl cosθ dr qq0 dW dr 2 4πε0 r
第九章 静电场
rB
E
r
er
电场力做正功，电势能减少.
第九章 静电场
5
9-4 静电场的环路定理
电势能Βιβλιοθήκη AB q0 E dl EpA EpB ( EpB EpA )
令
E pB 0
AB
B
EpB
E pA
q0 E dl
A EpA
E
试验电荷q0在电场中某点的电势能，在 数值上等于把它从该点移到零势能处静电场 力所作的功.
第九章 静电场
6
A
2
9-4 静电场的环路定理
电势能
任意带电体的电场（点电荷的组合） E Ei i W q0 E dl q0 Ei dl
l
i
l
结论：静电场力做功，与路径无关.
第九章 静电场
3
9-4 静电场的环路定理
电势能
二
静电场的环路定理
E dl