计算机图形学重点答案整理

习题解答第2章2．如果线段端点坐标值不是整数，采用DDA 算法产生的直线和将端点坐标值先取整再用Bresenham 算法产生的直线是否完全相同?为什么?能否扩充整数Bresenham 算法使之能处理当线段端点坐标值不是整数的情况(比端点坐标先取整数产生的直线更精确)。

如果线段端点坐标值不是整数，DDA 算法和Bresenham 算法产生的直线不完全相同。

DDA 算法是在直线附近寻找最靠近直线的象素点。

而端点坐标值先取整再用Bresenham 算法，因为端点坐标值先取整，与原直线相比，可能会改变直线的斜率。

因此两种算法相比，前者比后者更精确。

可以将整数Bresenham 算法扩充为实数Bresenham 算法。

算法中的变量都应采用实数类型，在绘制时再对实数坐标值取整数，这样做比端点坐标先取整数产生的直线更精确，具体算法如下：}9．多边形扫描转换的活跃边表算法如何处理给出顶点序列连成多边形时各边有相交的情况?如何处理多边形内部又有多边形空洞的情况?请举例说明。

当各边有相交的情况，在进行完1x x m←+步骤之后，可能破坏了AET 表中各项x 坐标的递增次序，故应按x 坐标递增重新排序，正常填充。

当多边形内部又有多边形空洞的情况，依据区域的奇偶性质，以及局部极大局部极小的特点，正常填充。

10．设五边形的五个顶点是(10．5，10．5)，(15，5)，(12，5)，(8，2．5)，(4，5．5)，要利用使用活跃边表的扫描转换算法进行填充，写出应填写的ET 表，写出活跃边表的变化情况。

自相交多边形带有空洞的多边形e 1e 5e 2e 3e 463 24 5 6 7 8 9 ET ：Y 吊桶表AET 指针 ∧初始化扫描线10 扫描线3e e 扫描线4 扫描线5扫描线6扫描线7扫描线8扫描线9扫描线11∧扫描线12第3章1.平面图形可以对两个坐标轴或原点做反射，这称为对称变换。

平面内任意点),(y x 对x 轴反射变到),(y x -，对原点反射变到),(y x --，写出实现上述三种变换的变换矩阵，并说明这三种反射变换是否可以看作是比例变换或者旋转变换。

对x 轴反射S(1,-1)是比例变换100(1)(1)010(1,1)001p x y xy p S ⎡⎤⎢⎥'''==-=⋅-⎢⎥⎢⎥⎣⎦对y 轴反射S(-1,1)是比例变换100(1)(1)010(1,1)001p x y xy p S -⎡⎤⎢⎥'''===⋅-⎢⎥⎢⎥⎣⎦对原点反射S(-1,-1)是比例变换也是旋转变换100(1)(1)010(1,1)001p x y xy p S -⎡⎤⎢⎥'''==-=⋅--⎢⎥⎢⎥⎣⎦或者cos180sin1800(1)(1)sin180cos1800(180)001p x y xy p R ︒︒⎡⎤⎢⎥'''==-︒︒=⋅︒⎢⎥⎢⎥⎣⎦2.写出完成如下平面图形变换的变换矩阵；(1) 保持点（5，10）固定，x 方向放大3倍，y 方向放大2倍。

(2) 绕坐标原点顺时针旋转︒90。

(3) 对直线x y =成轴对称。

(4) 对直线x y -=成轴对称。

(5) 沿与水平方向成θ角的方向扩大1S 倍，沿与水平方向成θ+︒90角的方向扩大2S 倍。

(6) 对于平面上任意一点),(00y x 成为中心对称。

(7) 对平面上任意一条方程为0=++C By Ax 的直线成轴对称。

(1)300(5,10)(3,2)(5,10)02010101T S T ⎡⎤⎢⎥--⋅⋅--=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦(2)cos(90)sin(90)0010(90)sin(90)cos(90)010*******R -︒-︒-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-︒=--︒-︒=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(3)002222100010(45)(1,1)(45)001001002222001001001001R S R ⎡⎤⎤-⎢⎥⎥⎢⎥⎥-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥︒⋅-⋅-︒=-⋅⋅=⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(4)002222100010(45)(1,1)(45)00100100001001001001R S R ⎡⎤⎤-⎢⎥⎥⎢⎥⎥-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥︒⋅-⋅-︒=⋅-⋅=-⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(5)1122221212221212cos()sin()000cos()sin()0()(,)()sin()cos()000sin()cos()0001001001cos sin ()cos sin 0()cos sin sin cos 0001S R S S S R S S S S S S S S S θθθθθθθθθθθθθθθθθθ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⋅⋅=---⋅⋅-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⋅+⋅-⎢=-⋅+⋅⎣⎤⎥⎢⎥⎢⎥⎦当S 1=S 2时，111100()(,)()0001S R S S S R S θθ⎡⎤⎢⎥-⋅⋅=⎢⎥⎢⎥⎣⎦11221212cos()sin()000()(,)sin()cos()000001001cos sin 0sin cos 0001S R S S S S S S S S θθθθθθθθθ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⋅⋅=-⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⋅⋅⎡⎤⎢⎥=-⋅⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦11221212cos()sin()000()(,)sin()cos()000001001cos sin 0sin cos 0001S R S S S S S S S S θθθθθθθθθ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⋅⋅=-⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⋅⋅⎡⎤⎢⎥=-⋅⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦(6)00000100100100100(,)(1,1)(,)01001001001010011221T x y S T x y x y x y x y --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⋅--⋅=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦(7)当0A ≠时，(,0)(())(1,1)(())(,0)00100100100010001000100010100101C B B CT R arctg S R arctg T A A A AC A ⋅-⋅-⋅--⋅-⎤⎡⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥-⎡⎤⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦2222222222222222012020221CA B A AB A B A B AB A B A B A B AC BC A B A B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎡⎤--⎢⎥++⎢⎥-⎢⎥=-⎢⎥++⎢⎥⎢⎥--⎢⎥++⎣⎦当0,0A B =≠时，方程退化为0By C +=，即C y B=-(0,)(1,1)(0,)1001001000100100100010101100010201C C T S T B B C C B B CB ⋅-⋅-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦当0B≠时，(0,)(())(1,1)(())(0,)00 100100100 010********00101001001C A A CT R arctg S R arctg TB B B BCB⋅--⋅-⋅-⋅-⎡⎤⎤⎡⎤⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦22222222222222220122221CBB A ABA B A BAB A BA B A BAC BCA B A B⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎡⎤--⎢⎥++⎢⎥-⎢⎥=-⎢⎥++⎢⎥⎢⎥--⎢⎥++⎣⎦当0,0B A=≠时，方程退化为0Ax C+=，即CxA=-(,0)(1,1)(,0)1001001000100100100010101100010201C C T S T A A C C A A C A ⋅-⋅-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦4.举例说明由平移、比例或旋转构成的组合变换一般不能交换变换的次序，说明什么情况下可以交换次序。

平移与比例不能交换变换的次序1000000(,)(,)0100000100110010000(,)(,)00010000111x x x y x y y y x y x x y y xx x y x y yy x yx y S S T T T S S S S S T T T S T S S S S S S T T T S S T T T T ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⋅==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⋅==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦平移与旋转不能交换变换的次序100cos sin 0cos sin 0(,)()010sin cos 0sin cos 01001cos sin sin cos 1cos sin 0100cos sin ()(,)sin cos 0010011x y x y x y x y x y x yT T T R T T T T T T R T T T T T θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⋅=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⋅=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦0sin cos 01xyT T θθ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦当x y S S ≠时，比例与旋转不能交换变换的次序 当x y S S =时，比例与旋转可以交换变换的次序00cos sin 0cos sin 0(,)()00sin cos 0sin cos 0001001001cos sin 000cos sin 0()(,)sin cos 000sin co 001001x x x x y y yy x x y x y y xy S S S S S S R S S S S S S R S S S S S S θθθθθθθθθθθθθθθθθ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⋅=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⋅=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦s 0001θ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦若组合变换由一系列比例和旋转变换组成，且比例变换中x y S S =，则可以交换变换次序。

若组合变换是连续的平移、比例或旋转变换，则可以交换变换次序。

(,)(,)(,)(,)(,)(,)()()()x y x y x x y y x y x y x x y y T T T T T T T T S S S S S S S S θθθθ''''⋅=++''''⋅=⋅⋅''⋅=+T T T S S S R R R9.给出三维空间中通过原点和点),,(111z y x 的一条直线，试用下面提示的三种不同方法把这条直线旋转到正的z 轴上，说明求出的三个变换矩阵可能不同，但就完成要求变换的效果看是相同的。