新课标高中数学必修二综合试题及答案
(人教版B版2017课标)高中数学必修第二册 全册综合测试卷二(附答案)
（人教版B 版2017课标）高中数学必修第二册 全册综合测试卷二（附答案）第四章综合测试一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知函数()3x y f =的定义域为[1,1]-，则函数()3log y f x =的定义域为（ ） A .[1,1]-B .1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .[1,2]D .2.已知函数1()2)2f x x =+，则1(lg 2)lg 2f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A .1-B .0C .1D .2 3.设函数2()log f x x =，若(1)2f a +＜，则实数a 的取值范围为（ ） A .(1,3)-B .(,3)-∞C .(,1)-∞D .(1,1)-4.已知函数2||()e x f x x =+，若()2a f =，121log 4b f ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，2log c f ⎛= ⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ） A .a b c ＞＞B .a c b ＞＞C .b a ＞＞cD .c a b ＞＞5.已知(31)4,1,()log ,1aa x a x f x x x -+⎧=⎨⎩＜≥，是R 上的减函数，那么实数a 的取值范围是（ ）A .(0,1)B .11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭C .10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D .11,93⎛⎫ ⎪⎝⎭6.已知,(1,)m n ∈+∞，且m n ＞，若26log log 13m n n m +=，则函数2()m nf x x =的图像为（ ）ABCD7.给出下列命题：①函数e e 2x xy -+=为偶函数；②函数e 1e 1x x y -=+在x ∈R 上单调递增；③函数lg y x =在区间(0,)+∞上单调递减；④函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与3log y x =-的图像关于直线y x =对称。
其中正确命题的个数是（ ） A .1B .2C .3D .48.设函数()2ln 1y x x =-+，则下列命题中不正确的是（ ） A .函数的定义域为RB .函数是增函数C .函数的图像关于直线12x =对称D .函数的值域是3ln ,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭9.某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到100℃，水温()y ℃与时间(min)t 近似满足一次函数关系；②用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度()y ℃与时间(min)t 近似满足函数关系式101802t ay b -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（,a b 为常数）.通常这种热饮在40℃时，口感最佳，某天室温为20℃，冲泡热饮的部分数据如图所示，那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为（ ）A .35minB .30minC .25minD .20min10.已知函数22log ,02,()43,2,x x f x x x x ⎧⎪=⎨-+-⎪⎩＜≤＞若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（ ） A .[2,3]B .(2,3)C .[2,3)D .(2,3]二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分） 11.给出下列结论，其中正确的结论是（ ） A .函数2112x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的最大值为12B .已知函数log (2)a y ax =-（0a ＞且1a ≠）在(0,1)上是减函数，则实数a 的取值范围是(1,2)C .在同一平面直角坐标系中，函数2x y =与2log y x =的图像关于直线y x =对称D .已知定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞内有1 010个零点，则函数()f x 的零点个数为2 02112.定义“正对数”：0,01,ln ln , 1.x x x x +⎧=⎨⎩＜＜≥若0a ＞，0b ＞，则下列结论中正确的是（ ）A .()ln ln b a b a ++=B .ln ()ln ln ab a b +++=+C .ln ()ln ln a b a b +++++≥D .ln ()ln ln ln 2a b a b ++++++≤三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上）13.已知()y f x =为定义在R 上的奇函数，且当0x ＞时，()e 1x f x =+，则(ln2)f -的值为________.14.某新能源汽车公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2018年（记为第1年）全年投入研发资金5 300万元，在此基础上，以后每年投入的研发资金比上一年增长8%，则该公司全年投入的研发资金开始超过7 000万元的年份是________年.（参考数据：lg1.080.03≈，lg5.30.72≈，lg70.85≈）15.已知函数()log (1)a f x x =-+（0a ＞且1a ≠）在[2,0]-上的值域是[1,0]-.若函数()3x m g x a +=-的图像不经过第一象限，则m 的取值范围为________.16.若不等式()21212xxm m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＜对一切(,1]x ∈-∞-恒成立，则实数m 的取值范围是________.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）（1()231251log 227-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭的值；（2）计算：1324lg 2493-18.（12分）已知幂函数()221()1m f x m m x --=--⋅在(0,)+∞上单调递增，函数()22x x m g x =+. （1）求实数m 的值，并简要说明函数()g x 的单调性； （2）若不等式(13)(1)0g t g t -++≥恒成立，求实数t 的取值范围.19.（12分）目前，我国一些高耗能低效产业（煤炭、钢铁、有色金属、炼化等）的产能过剩将严重影响生态文明建设，“去产能”将是一项重大任务.某企业从2018年开始，每年的产能比上一年减少的百分比为(01)x x ＜＜. （1）设n 年后（2018年记为第1年）年产能为2017年的a 倍，请用a ，n 表示x ； （2）若10%x =，则至少要到哪一年才能使年产能不超过2017年的25%？（参考数据：lg20.301≈，lg30.477≈）20.（12分）已知函数2()lg 2lg(10)3f x x a x =-+，1,10100x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （1）当1a =时，求函数()f x 的值域；（2）若函数()y f x =的最小值记为()m a ，求()m a 的最大值.21.（12分）已知函数()log a f x x b =+（其中,a b 均为常数，0a ＞且1a ≠）的图像经过点()2,5与点()8,7.（1）求,a b 的值；（2）设函数2()x x g x b a +=-，若对任意的1[1,4]x ∈，存在[]220,log 5x ∈，使得()()12f x g x m =+成立，求实数m 的取值范围.22.（12分）已知函数()4()log 41()x f x kx k =++∈R 是偶函数. （1）求k 的值；（2）设44()log 23x g x a a ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，若函数()f x 与()g x 的图像有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围； （3）若函数[]1()22()421,0,log 3f x xx h x m x +=+⋅-∈，是否存在实数()h x 使得最小值为0，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.第四章综合测试答案解析一、 1.【答案】D【解析】由[1,1]x ∈-，得13,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以31log ,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以x ∈.2.【答案】C1()2)2f x x =-+，11()()2)2)2)2)122f x f x x x x x ∴+-=+++=++22lg(144)1lg111x x =+-+=+=，1(lg 2)lg (lg 2)(lg 2)12f f f f ⎛⎫∴+=+-= ⎪⎝⎭.3.【答案】A 【解析】函数2()log f x x =在定义域内单调递增，2(4)log 42f ==，∴不等式(1)2f a +＜等价于014a +＜＜，解得13a -＜＜，故选A .4.【答案】C【解析】2||2||()()e e ()x x f x x x f x --=-+=+=知函数()f x 为偶函数，且在(0,)+∞为增函数，()02(1)a f f ==，121log (2)4b f f ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，211log 22f f f c ⎛⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎭⎝⎝⎭=⎝⎭，所以1(2)(1)2f f f ⎛⎫⎪⎝⎭＞＞，即b a c ＞＞.5.【答案】B【解析】由题意得310,3140,01,a a a a -⎧⎪-+⎨⎪⎩＜≥＜＜解得1173a ≤＜，故选B .6.【答案】A【解析】由题意，得26log log 2log 6log 13m m n n n m n m +=+=，令log (1)m t n t =<，则6213t t +=，解得12t =或6t =（舍去），所以n =21m n=，所以2()mn f x x =的图像即为()f x x =的图像，故选A .7.【答案】C【解析】由e e ()()2x x f x f x -+-==，知e 2e x xy -+=为偶函数，因此①正确；由11e e 221111e e e x x x x x y -+-===-+++知1e e 1x x y -=+在R 上单调递增，因此②正确；当0x ＞时，lg lg y x x ==，它在(0,)+∞上是增函数，因此③错误；由313log log y x x =-=知13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与3log y x =-的图像关于直线y x =对称，因此④正确，故选C .8.【答案】B【解析】A 中命题正确，22131024x x x ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭＞恒成立，∴函数的定义域为R ；B 中命题错误，函数()2ln 1y x x =-+在12x ＞时是增函数，在12x ＜时是减函数；C 中命题正确，函数的图像关于直线12x =对称：D 中命题正确，由221331244x x x ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭≥可得()23ln 1ln 4y x x =-+≥，∴函数的值域为3ln ,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故选B .9.【答案】C【解析】由题图知，当05t ≤＜时，函数图像是一条线段，当5t ≥时，因为函数的解析式为101802t a y b -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以将(5,100)和(15,60)代入解析式，得5101510110080,216080,2aa b b --⎧⎛⎫⎪=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪⎛⎫⎪=+ ⎪⎪⎝⎭⎩解得5,20,a b =⎧⎨=⎩故函数的解析式为51018020,52t y t -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭≥.令40y =，解得25t =，所以最少需要的时间为25min . 10.B 根据已知画出函数()f x 的草图如下。
高中数学必修第二册第十章综合测试03含答案解析
加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！第十章综合测试一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1.袋中装有除颜色外完全相同的3个红球、2个白球、l 个黑球，从中随机摸出2个球，则与事件“至少有1个白球”互斥但不对立的事件是（ ） A .没有白球B .有2个白球C .红、黑球各1个D .至少有1个红球2.甲、乙、丙三位同学站成一排照相，则甲、丙相邻的概率为（ ） A .16B .15C .23D .133.若事件A 和B 是互斥事件，且()0.1P A =，则()P B 的取值范围是（ ） A .[]0,0.9B .[]0.1,0.9C .[)0,0.9D .[]0,14.从装有除颜色外完全相同的2个红球和2个白球的口袋中任取2个球，则下列每对事件中，互斥事件的对数是（ ）①“至少有1个白球”与“都是白球”； ②“至少有1个白球”与“至少有1个红球”； ③“至少有1个白球”与“恰有2个白球”； ④“至少有1个白球”与“都是红球”。
新教材高中数学全册综合检测新人教A版选择性必修第二册
全册综合检测A 卷——基本知能盘查卷 (时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列数中，是数列{n (n ＋1)}中的一项的是( ) A ．380 B ．29 C ．32 D ．23解析：选A 令380＝n (n ＋1)，即n 2＋n －380＝0， 解得n ＝19或n ＝－20(舍去)， 所以380是{n (n ＋1)}的第19项． 同理，可检验B 、C 、D 不是该数列中的项．2．曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为( ) A ．(1－e)x －y ＋1＝0 B ．(1－e)x －y －1＝0 C ．(e －1)x －y ＋1＝0D ．(e －1)x －y －1＝0解析：选C 由于y ′＝e －1x，所以y ′| x ＝1＝e －1，故曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为y －e ＝(e －1)(x －1)，即(e －1)x －y ＋1＝0.3．已知等比数列{a n }的公比为－2，且S n 为其前n 项和，则S 4S 2等于( ) A ．－5 B ．－3 C ．5 D ．3解析：选C 由题意可得，S 4S 2＝a 1[1－－24]1－－2a 1[1－－22]1－－2＝1＋(－2)2＝5. 4．若函数f (x )＝a e x－sin x 在x ＝0处有极值，则a 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．e 解析：选C f ′(x )＝a e x－cos x ，若函数f (x )＝a e x－sin x 在x ＝0处有极值， 则f ′(0)＝a －1＝0，解得a ＝1， 经检验a ＝1符合题意，故选C.5．设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如图所示，则其导函数y ＝f ′(x )的图象可能为( )解析：选D 由函数y ＝f (x )的图象知，当x <0时，f (x )单调递减；当x >0时，f (x )先递增，再递减，最后再递增，分析知y ＝f ′(x )的图象可能为D.6．在等比数列{a n }中，a n >0，且a 2＝1－a 1，a 4＝9－a 3，则a 4＋a 5的值为( ) A ．16 B ．27 C ．36D ．81解析：选B 设等比数列{a n }的公比为q ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝1，q 2a 1＋a 2＝9，∴q 2＝9.∵a n >0，∴q ＝3，∴a 4＋a 5＝q (a 3＋a 4)＝3×9＝27.故选B.7．若函数f (x )＝13x 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b 2x 2＋2bx 在区间[－3,1]上不单调，则f (x )在R 上的极小值为( )A ．2b －43B ．32b －23C ．0D ．b 2－16b 3解析：选A 由题意，得f ′(x )＝(x －b )(x －2)． 因为f (x )在区间[－3,1]上不单调，所以－3<b <1. 由f ′(x )>0，得x >2或x <b ； 由f ′(x )<0，得b <x <2，所以f (x )的极小值为f (2)＝2b －43.故选A.8．用长为90 cm ，宽为48 cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个大小相同的小正方形，然后把四边翻折90°角，再焊接而成(如图)，当容器的体积最大时，该容器的高为( )A ．8 cmB ．9 cmC ．10 cmD ．12 cm解析：选C 设容器的高为x cm ，容器的体积为V (x ) cm 3，则容器的长为(90－2x ) cm ，宽为(48－2x ) cm ，所以容器的体积V (x )＝x (90－2x )(48－2x )＝4x 3－276x 2＋4 320x (0＜x ＜24)，V ′(x )＝12x 2－552x ＋4 320＝12(x 2－46x ＋360)．由V ′(x )＞0，得0＜x ＜10；由V ′(x )＜0，得10＜x ＜24，所以V (x )在(0,10)上单调递增，在(10,24)上单调递减，故容器的体积V (x )最大时，该容器的高为10 cm.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．已知首项为正数，公差不为0的等差数列{a n }，其前n 项和为S n ，则下列命题中正确的是( )A ．若S 10＝0，则S 2＋S 8＝0B ．若S 4＝S 12，则使S n ＞0的n 的最大值为15C ．若S 15＞0，S 16＜0，则{S n }中S 8最大D ．若S 7＜S 8，则S 8＜S 9解析：选BC 对于A ，若S 10＝0，则S 10＝a 1＋a 10×102＝0，则a 1＋a 10＝0，即2a 1＋9d ＝0，则S 2＋S 8＝(2a 1＋d )＋(8a 1＋28d )＝10a 1＋29d ≠0，A 不正确；对于B ，若S 4＝S 12，则S 12－S 4＝0，即a 5＋a 6＋…＋a 11＋a 12＝4(a 8＋a 9)＝0，由于a 1＞0，则a 8＞0，a 9＜0，则有S 15＝15a 1＋a 152＝15a 8＞0，S 16＝16a 1＋a 162＝16a 8＋a 92＝0，故使S n ＞0的n 的最大值为15，B 正确；对于C ，若S 15＞0，S 16＜0，则S 15＝15a 1＋a 152＝15a 8＞0，S 16＝16a 1＋a 162＝16a 8＋a 92＜0，则有a 8＞0，a 9＜0，则{S n }中S 8最大，C 正确；对于D ，若S 7＜S 8，即a 8＝S 8－S 7＞0，而S 9－S 8＝a 9，不能确定其符号，D 错误．故选B 、C.10．设函数f (x )＝2x＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝2为f (x )的极小值点C ．f (x )的最大值为1＋ln 2D ．f (x )的最小值为1＋ln 2 解析：选BD ∵f (x )＝2x＋ln x ，∴f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2x2(x ＞0)，由f ′(x )＝0得x ＝2.当x ∈(0,2)时，f ′(x )＜0，f (x )为减函数； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )为增函数， ∴x ＝2为f (x )的极小值点，f (x )无极大值点， 且f (x )的极小值也是最小值，为1＋ln 2，无最大值． 故选B 、D.11．已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，前n 项和为S n .若对任意的n ∈N *，都有S n≥S 3，则a 6a 5的值可能为( )A ．2B ．53 C.32 D ．43解析：选ABC 设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，∵数列{a n }是公差不为0的等差数列，前n 项和为S n ，对任意的n ∈N *，都有S n ≥S 3，∴⎩⎪⎨⎪⎧S 1≥S 3，S 2≥S 3，S 4≥S 3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1≥3a 1＋3×22d ，2a 1＋d ≥3a 1＋3×22d ，4a 1＋4×32d ≥3a 1＋3×22d ，∴－3d ≤a 1≤－2d (d ＞0)， ∴代入选项知，当a 6a 5＝a 1＋5da 1＋4d＝2时，a 1＝－3d 成立；当a 6a 5＝a 1＋5d a 1＋4d ＝53时，a 1＝－52d 成立；当a 6a 5＝a 1＋5d a 1＋4d ＝32时，a 1＝－2d 成立；当a 6a 5＝a 1＋5da 1＋4d＝43时，a 1＝－d 不成立．故选A 、B 、C. 12．已知函数f (x )及其导数f ′(x )，若存在x 0使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”．给出下列四个函数，其中有“巧值点”的函数是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝e －xC ．f (x )＝ln xD ．f (x )＝tan x解析：选AC 对于A ，若f (x )＝x 2，则f ′(x )＝2x .令x 2＝2x ，得x ＝0或x ＝2，这个方程显然有解，故A 符合要求；对于B ，若f (x )＝e －x，则f ′(x )＝－e －x，即e －x＝－e －x，此方程无解，B 不符合要求；对于C ，若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝1x .若ln x ＝1x，利用数形结合法可知该方程存在实数解，C 符合要求；对于D ，若f (x )＝tan x ，则f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝1cos 2x.令f (x )＝f ′(x )，可得sin x cos x ＝1，即sin 2x ＝2，无解，D 不符合要求．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. 解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.答案：⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥214．函数f (x )＝x －a ln x (a >0)的极小值为________． 解析：因为f (x )＝x －a ln x (a >0)，所以f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ax(a >0)． 由f ′(x )＝0，解得x ＝a . 当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a . 答案：a －a ln a15．曲线y ＝sin x x在点M (π，0)处的切线方程为________．解析：因为y ′＝cos x ·x －sin xx 2，所以所求切线的斜率为k ＝y ′| x ＝π＝πcos π－sin ππ2＝－1π.由于切点坐标为(π，0)，故切线方程为y ＝－1π(x －π)， 即x ＋πy －π＝0. 答案：x ＋πy －π＝016．数列{a n }的前n 项和S n 满足a 2＝2，S n ＝12n 2＋An ，则A ＝________，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和T n ＝________.解析：∵a 2＝S 2－S 1＝(2＋2A )－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋A ＝2，∴A ＝12.∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n 2＋12n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n －12＋12n －1＝n .当n ＝1时，a 1＝S 1＝1满足上式，∴a n ＝n . ∴1a n a n ＋1＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1， ∴T n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.答案：12 nn ＋1四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知数列{a n }满足a 1＝1，且na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2＋2n . (1)求a 2，a 3；(2)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，并求{a n }的通项公式．解：(1)由已知，得a 2－2a 1＝4，则a 2＝2a 1＋4，又a 1＝1，所以a 2＝6.由2a 3－3a 2＝12，得2a 3＝12＋3a 2，所以a 3＝15.(2)证明：由已知na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2＋2n ，得na n ＋1－n ＋1a n n n ＋1＝2，即a n ＋1n ＋1－a nn ＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项a 11＝1，公差d ＝2的等差数列．则a nn ＝1＋2(n －1)＝2n －1，所以a n ＝2n2－n .18．(12分)设函数f (x )＝x e a －x＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝(e －1)x ＋4.(1)求a ，b 的值； (2)求f (x )的单调区间． 解：(1)因为f (x )＝x e a －x＋bx ， 所以f ′(x )＝(1－x )ea －x＋b .依题设，得⎩⎪⎨⎪⎧f 2＝2e ＋2，f ′2＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1，解得a ＝2，b ＝e. (2)由(1)知f (x )＝x e 2－x＋e x .由f ′(x )＝e2－x(1－x ＋e x －1)及e2－x＞0知，f ′(x )与1－x ＋e x －1同号．令g (x )＝1－x ＋ex －1，则g ′(x )＝－1＋ex －1，所以当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )＜0，g (x )在区间(－∞，1)上单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＞0，g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增．所以g (1)＝1是g (x )在区间(－∞，＋∞)上的最小值． 所以g (x )＞0，x ∈(－∞，＋∞)． 所以f ′(x )＞0，x ∈(－∞，＋∞)，所以f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间． 19．(12分)已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)由题设知a 1a 4＝a 2a 3＝8， 又a 1＋a 4＝9，可解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 4＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，a 4＝1(舍去)．设等比数列{a n }的公比为q ， 由a 4＝a 1q 3得q ＝2， 故a n ＝a 1qn －1＝2n －1，n ∈N *.(2)S n ＝a 11－q n 1－q＝2n－1，又b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n －1S n ＋1， 所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 1－1S 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 2－1S 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S n －1S n ＋1 ＝1S 1－1S n ＋1＝1－12n ＋1－1，n ∈N *. 20．(12分)已知函数f (x )＝1＋1x ＋ln x ＋ln x x.(1)判断函数f (x )的单调性；(2)记g (x )＝2ex －1x e x ＋1，试证明：当x >1时，f (x )>(e ＋1)g (x )．解：(1)由题意，得f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x －ln xx 2.令φ(x )＝x －ln x ，则φ′(x )＝1－1x ＝x －1x.当x >1时，φ′(x )>0，φ(x )单调递增， 当0<x <1时，φ′(x )<0，φ(x )单调递减，∴φ(x )≥φ(1)＝1>0，∴f ′(x )>0， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增．(2)证明：由(1)知f (x )为(0，＋∞)上的增函数， 故当x >1时，f (x )>f (1)＝2，故f xe ＋1>2e ＋1. g ′(x )＝2ex －1x e x ＋1－x e x ＋1′·e x －1x e x ＋12＝2ex －11－e x x e x＋12.∵x >1，∴1－e x<0，∴g ′(x )<0， 即g (x )在(1，＋∞)上是减函数， ∴当x >1时，g (x )<g (1)＝2e ＋1.∴f xe ＋1>2e ＋1>g (x )，即f (x )>(e ＋1)g (x )． 21．(12分)已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝2⎝⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a2，a 3＋a 4＝32⎝⎛⎭⎪⎫1a 3＋1a 4. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a 2n ＋log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)设等比数列{a n }的公比为q (q ＞0)， 则a n ＝a 1qn －1，且a n ＞0.由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 1q ，a 1q 2＋a 1q 3＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1q 2＋1a 1q 3，化简得⎩⎪⎨⎪⎧a 21q q ＋1＝2q ＋1，a 21q5q ＋1＝32q ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 21q ＝2，a 21q 5＝32.又∵a 1＞0，q ＞0，∴a 1＝1，q ＝2， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(2)由(1)知b n ＝a 2n ＋log 2a n ＝4n －1＋n －1，∴T n ＝(1＋4＋42＋…＋4n －1)＋(0＋1＋2＋3＋…＋n －1)＝4n－14－1＋nn －12＝4n－13＋n n －12.22．(12分)已知函数f (x )＝ln x －x 2＋ax ，a ∈R.(1)证明：ln x ≤x －1；(2)若a ≥1，讨论函数f (x )的零点个数． 解：(1)证明：令g (x )＝ln x －x ＋1(x ＞0)， 则g (1)＝0，g ′(x )＝1x －1＝1－xx，∴当x ∈(0,1)时，g ′(x )＞0，函数g (x )单调递增； 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＜0，函数g (x )单调递减． ∴当x ＝1时，函数g (x )取得极大值也是最大值， ∴g (x )≤g (1)＝0，即ln x ≤x －1.(2)f ′(x )＝1x －2x ＋a ＝－2x 2＋ax ＋1x，x ＞0.令－2x 2＋ax ＋1＝0， 解得x 0＝a ＋a 2＋84(负值舍去)，在(0，x 0)上，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增，在(x 0，＋∞)上，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减．∴f (x )max ＝f (x 0)．当a ＝1时，x 0＝1，f (x )max ＝f (1)＝0，此时函数f (x )只有一个零点x ＝1.当a ＞1时，f (1)＝a －1＞0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝ln 12a －14a 2＋12＜12a －1－14a 2＋12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －122－14＜0，f (2a )＝ln 2a －2a 2＜2a －1－2a 2＝－2⎝⎛⎭⎪⎫a －122－12＜0. ∴函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，1和区间(1,2a )上各有一个零点． 综上可得，当a ＝1时，函数f (x )只有一个零点x ＝1； 当a ＞1时，函数f (x )有两个零点．B 卷——高考能力达标卷 (时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知{a n }为等比数列且a n >0，a 2·a 4＋2a 3·a 5＋a 4·a 6＝25，则a 3＋a 5等于( ) A ．5 B ．10 C ．15 D ．20解析：选A 由等比数列的性质知a 2·a 4＝a 23，a 4·a 6＝a 25，所以a 23＋2a 3·a 5＋a 25＝25，即(a 3＋a 5)2＝25.又a n >0，所以a 3＋a 5>0，所以a 3＋a 5＝5.2．函数f (x )＝2x ＋1x，x ∈(0,5]的最小值为( )A ．2B ．3 C.174 D ．22＋12解析：选B 由f ′(x )＝1x －1x2＝x 32－1x 2＝0，得x ＝1，当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈(1,5]时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．∴当x ＝1时，f (x )取得最小值，且最小值为f (1)＝3.3．已知{a n }是等比数列，a 4·a 7＝－512，a 3＋a 8＝124，且公比为整数，则公比q 为( ) A ．2 B ．－2 C ．1 D ．－1解析：选 B 根据等比数列的性质可得a 4·a 7＝a 3·a 8＝－512.又a 3＋a 8＝124，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝－4，a 8＝128或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝128，a 8＝－4.因为公比为整数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝－4，a 8＝128，所以q 5＝a 8a 3＝－32，所以q ＝－2.4．设函数f (x )＝x (x ＋k )(x ＋2k )(x －3k )，且f ′(0)＝6，则k ＝( ) A ．0 B ．－1 C ．3 D ．－6解析：选 B ∵f (x )＝x (x ＋k )(x ＋2k )(x －3k )＝(x 2－3kx )(x 2＋3kx ＋2k 2)，∴f ′(x )＝(2x －3k )(x 2＋3kx ＋2k 2)＋(x 2－3kx )(2x ＋3k )，∴f ′(0)＝－3k ×2k 2＝－6k 3＝6，解得k ＝－1.故选B.5．设曲线y ＝ln xx ＋1在点(1,0)处的切线与直线x －ay ＋1＝0垂直，则a ＝( )A ．－12B ．12C ．－2D ．2解析：选 A 由题意得，y ′＝ln x ′x ＋1－ln xx ＋1′x ＋12＝1＋1x －ln x x ＋12(x >0)．∵曲线在点(1,0)处的切线与直线x －ay ＋1＝0垂直，∴2－ln 14＝－a ，解得a ＝－12，故选A. 6．已知递增的等比数列{a n }中，a 2＝6，a 1＋1，a 2＋2，a 3成等差数列，则该数列的前6项和S 6等于( )A ．93B ．189 C.18916D ．378解析：选B 设数列{a n }的公比为q ，由题意可知，q >1， 且2(a 2＋2)＝a 1＋1＋a 3， 即2×(6＋2)＝6q＋1＋6q ，整理可得2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫q ＝12舍去，则a 1＝62＝3， ∴数列{a n }的前6项和S 6＝3×1－261－2＝189.7．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为( )A ．65B ．176C ．183D ．184解析：选D 根据题意可得每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列{a n }，其中d ＝17，n ＝8，S 8＝996.由等差数列前n 项和公式可得8a 1＋8×72×17＝996，解得a 1＝65.由等差数列通项公式得a 8＝65＋(8－1)×17＝184.8．已知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )为f (x )的导函数，且满足f (x )＜－xf ′(x )，则不等式f (x ＋1)＞(x －1)·f (x 2－1)的解集是( )A ．(0,1)B ．(2，＋∞)C ．(1,2)D ．(1，＋∞) 解析：选B 构造函数y ＝xf (x )，x ∈(0，＋∞)， 则y ′＝f (x )＋xf ′(x )＜0，所以函数y ＝xf (x )的图象在(0，＋∞)上单调递减． 又因为f (x ＋1)＞(x －1)f (x 2－1)， 所以(x ＋1)f (x ＋1)＞(x 2－1)f (x 2－1)， 所以x ＋1＜x 2－1，解得x ＞2或x ＜－1(舍去)．所以不等式f (x ＋1)＞(x －1)f (x 2－1)的解集是(2，＋∞)．故选B.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．已知等比数列{a n }的各项均为正数，且3a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则下列说法正确的是( )A ．a 1＞0B ．q ＞0 C.a 3a 2＝3或－1D ．a 6a 4＝9解析：选ABD 设等比数列{a n }的公比为q ，由题意得2×12a 3＝3a 1＋2a 2，即a 1q 2＝3a 1＋2a 1q .因为数列{a n }的各项均为正数，所以a 1＞0，且q ＞0，故A 、B 正确；由q 2－2q －3＝0，解得q ＝3或q ＝－1(舍)，所以a 3a 2＝q ＝3，a 6a 4＝q 2＝9，故C 错误，D 正确，故选A 、B 、D.10．设函数f (x )＝x 3－12x ＋b ，则下列结论正确的是( ) A ．函数f (x )在(－∞，－1)上单调递增 B ．函数f (x )在(－∞，－1)上单调递减C ．若b ＝－6，则函数f (x )的图象在点(－2，f (－2))处的切线方程为y ＝10D ．若b ＝0，则函数f (x )的图象与直线y ＝10有三个公共点解析：选CD 对于选项A ，B ，根据函数f (x )＝x 3－12x ＋b ，可得f ′(x )＝3x 2－12.令3x 2－12＝0，得x ＝－2或x ＝2，故函数f (x )在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递增，在(－2,2)上单调递减，所以选项A ，B 都不正确；对于选项C ，当b ＝－6时，f ′(－2)＝0，f (－2)＝10，故函数f (x )的图象在点(－2，f (－2))处的切线方程为y ＝10，选项C 正确；对于选项D ，当b ＝0时，f (x )的极大值为f (－2)＝16，极小值为f (2)＝－16，故直线y ＝10与函数f (x )的图象有三个公共点，选项D 正确．故选C 、D.11．设等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，并且满足条件a 1>1，a 7·a 8>1，a 7－1a 8－1<0.则下列结论正确的是( )A ．0<q <1B ．a 7·a 9>1C ．S n 的最大值为S 9D ．T n 的最大值为T 7解析：选AD ∵a 1>1，a 7·a 8>1，a 7－1a 8－1<0， ∴a 7>1，a 8<1，∴0<q <1，故A 正确；a 7a 9＝a 28<1，故B 错误；∵a 1>1,0<q <1，∴数列为递减数列，∴S n 无最大值，故C 错误； 又a 7>1，a 8<1，∴T 7是数列{T n }中的最大项，故D 正确．故选A 、D.12．已知函数f (x )＝x ln x ＋12x 2，x 0是函数f (x )的极值点，则下列选项正确的是( )A ．0<x 0<1eB ．x 0>1eC ．f (x 0)＋x 0<0D ．f (x 0)＋x 0>0解析：选AC 因为f (x )＝x ln x ＋12x 2，所以f ′(x )＝ln x ＋1＋x ，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝1e >0，又当x →0时，f ′(x )→－∞，所以0<x 0<1e ，故A 正确，B 错误；f (x 0)＋x 0＝x 0ln x 0＋12x 20＋x 0＝x 0ln x 0＋12x 0＋1＝x 0ln x 0＋x 0＋1－12x 0＝－12x 20<0，故C 正确，D 错误．综上所述，选A 、C.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n ＋1＝2a n a n ＋1，则a 6＝________. 解析：将a n －a n ＋1＝2a n a n ＋1两边同时除以a n a n ＋1，得1a n ＋1－1a n＝2.所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝1为首项，2为公差的等差数列，所以1a 6＝1＋5×2＝11，即a 6＝111.答案：11114．已知函数y ＝f (x )对任意的x ∈R 都有f (1－x )－2f (x )＝x 2－1，则f (－1)＝________，曲线y ＝f (x )在点(－1，f (－1))处的切线方程为________．解析：由条件得⎩⎪⎨⎪⎧f1－x －2f x ＝x 2－1，f x －2f 1－x ＝1－x2－1，解得f (x )＝－x 2＋23x ＋23.所以f (－1)＝－1，f ′(x )＝－2x ＋23，所以f ′(－1)＝83，所以曲线y ＝f (x )在点(－1，f (－1))处的切线方程为y ＋1＝83(x ＋1)，即8x －3y ＋5＝0.答案：－1 8x －3y ＋5＝015．已知函数y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *.若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．解析：∵y ′＝2x ，∴y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )．又该切线与x 轴的交点为(a k ＋1,0)，∴a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是首项a 1＝16，公比q ＝12的等比数列，∴a 3＝4，a 5＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝21.答案：2116．函数f (x )＝e x(x －a e x)恰有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，则实数a 的取值范围是________．解析：∵函数f (x )＝e x(x －a e x)， ∴f ′(x )＝(x ＋1－2a e x)e x . ∵函数f (x )恰有两个极值点x 1，x 2，∴x 1，x 2是方程f ′(x )＝0的两个不相等的实数根． 令x ＋1－2a e x＝0，且a ≠0， ∴x ＋12a＝e x. 设y 1＝x ＋12a(a ≠0)， y 2＝e x ，在同一坐标系内画出两个函数的图象，如图所示．要使这两个函数有两个不同的交点，应满足12a ＞1，解得0＜a ＜12，故实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知等差数列{a n }单调递减，且a 3＝1，a 2a 4＝34.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)判断数列{a 1a n }是否为等差数列．若是，求出公差；若不是，请说明理由． 解：(1)由题意知，a 2＋a 4＝2a 3＝2. 又a 2a 4＝34，数列{a n }单调递减，∴a 4＝12，a 2＝32.∴公差d ＝a 4－a 22＝－12，a 1＝a 2－d ＝2.∴a n ＝2＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12n ＋52. (2)由(1)知a 1a n ＝2a n ，则当n ≥2时，2a n －2a n －1＝2(a n －a n －1)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1.当n ＝1时，2a 1＝4，∴数列{a 1a n }是首项为4，公差为－1的等差数列．18．(12分)设函数f (x )＝ax －bx，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明曲线f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12.又因为f ′(x )＝a ＋b x2，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，所以f (x )＝x －3x.(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线y ＝f (x )上任一点，由y ′＝1＋3x2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋3x20(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x20(x －x 0)． 令x ＝0，得y ＝－6x 0，所以切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x ，得y ＝x＝2x 0，所以切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0和y ＝x 所围成的三角形的面积S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和y ＝x 所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.19．(12分)在①q ·d ＝1，②a 2＋b 3＝0，③S 2＝T 2这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的λ存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由．若S n 是公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和，T n 是公比为q 的等比数列{b n }的前n 项和，________，a 1＝1，S 5＝25，a 2＝b 2，是否存在正数λ，使得λ|T n |＜12?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解：∵S 5＝25＝5a 3，∴a 3＝5，∴a 2＝a 1＋a 32＝1＋52＝3，∴b 2＝a 2＝3.∴d ＝a 2－a 1＝3－1＝2.若选①，∵q ·d ＝1，∴q ＝1d ＝12，∴b 1＝3×2＝6，∴T n ＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n .由λ|T n |＜12得λ≤1，又λ＞0，∴λ的取值范围为(0,1]． 若选②，∵a 2＋b 3＝0，∴b 3＝－a 2＝－3， ∴q ＝－1，b 1＝－3，∴当n 为偶数时，T n ＝0，则λ＞0；当n 为奇数时，T n ＝－3，由λ|T n |＜12得λ＜4. 综上，λ的取值范围为(0,4)．若选③，由S 2＝T 2得b 1＝a 1＋a 2－b 2＝1＋3－3＝1，∴q ＝b 2b 1＝3，∴T n ＝1－3n 1－3＝3n－12.∵T n 单调递增，没有最大值， ∴不存在正数λ，使λ|T n |＜12.20．(12分)某个体户计划经销A ，B 两种商品，据调查统计，当投资额为x (x ≥0)万元时，在经销A ，B 商品中所获得的收益分别为f (x )万元与g (x )万元，其中f (x )＝a (x －1)＋2，g (x )＝6ln(x ＋b )，a >0，b >0.已知投资额为0时收益为0.(1)求a ，b 的值；(2)如果该个体户准备投入5万元经销这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益．解：(1)由投资额为0时收益为0， 可知f (0)＝－a ＋2＝0，g (0)＝6ln b ＝0， 解得a ＝2，b ＝1.(2)由(1)可得f (x )＝2x ，g (x )＝6ln(x ＋1)． 设投入经销B 商品的资金为x 万元(0≤x ≤5)， 则投入经销A 商品的资金为(5－x )万元． 设所获得的收益为S (x )万元，则S (x )＝2(5－x )＋6ln(x ＋1)＝6ln(x ＋1)－2x ＋10(0≤x ≤5)．x ＋1当0≤x <2时，S ′(x )>0，函数S (x )单调递增； 当2<x ≤5时，S ′(x )<0，函数S (x )单调递减． 所以当x ＝2时，函数S (x )取得极大值，也是最大值，S (x )max ＝S (2)＝6ln 3＋6(万元)．当投入经销A 商品3万元，B 商品2万元时，可获得最大收益，收益的最大值为6ln 3＋6万元．21．(12分)已知等差数列{a n }是单调增数列，且a 2，a 3是方程x 2－8x ＋15＝0的两个根． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝3a n ＋13a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ， 因为a 2，a 3是方程x 2－8x ＋15＝0的两个根，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 3＝8，a 2a 3＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，a 3＝5或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，a 3＝3.又等差数列{a n }是单调增数列， 所以a 2<a 3，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，a 3＝5，所以d ＝a 3－a 2＝2，故数列{a n }的通项公式为a n ＝a 2＋(n －2)d ＝3＋2(n －2)＝2n －1.(2)由(1)可得b n ＝3a n ＋13a n ＝32n －1＋13·(2n －1)，所以S n ＝(3＋33＋35＋…＋32n －1)＋13[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＝31－9n1－9＋13·n 1＋2n －12＝32n ＋18＋n 23－38.22．(12分)已知函数f (x )＝2ln x －x 2＋ax (a ∈R)． (1)当a ＝2时，求f (x )的图象在x ＝1处的切线方程；(2)若函数g (x )＝f (x )－ax ＋m 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个不同的零点，求实数m 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝2ln x －x 2＋2x ，f ′(x )＝2x－2x ＋2，则k ＝f ′(1)＝2.∵f (1)＝1，∴切点坐标为(1,1)．∴切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1. (2)由题意得，g (x )＝2ln x －x 2＋m ， 则g ′(x )＝2x－2x ＝－2x ＋1x －1x.⎣⎦e 当1e ≤x <1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增； 当1<x ≤e 时，g ′(x )<0，g (x )单调递减．故g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有最大值g (1)＝m －1. 又g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝m －2－1e 2，g (e)＝m ＋2－e 2，g (e)－g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝4－e 2＋1e 2<0，则g (e)<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ， ∴g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最小值是g (e)． g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个不同的零点的条件是⎩⎪⎨⎪⎧g 1＝m －1>0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝m －2－1e 2≤0，解得1<m ≤2＋1e2， ∴实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤1，2＋1e 2.。
新课标高中数学必修二综合试题及答案
高中新课标数学必修②测试卷(4)班别 _____ 姓名 ____________ 座号 ____ 分数______一. 选择题 （每小题4分，共48分）1. 直线0x a ++=（a 为实常数）的倾斜角的大小是（ D ）.A.030 B. 060 C. 0120 D. 0150 2. 到直线3410x y --=的距离为2的直线方程是（ B ）.A. 34110x y --=B. 34110x y --=或3490x y -+=C. 3490x y -+=D. 34110x y -+= 或 3490x y --= 3. 下列说法正确的是（ C ）.A. 经过定点0P （0x ，0y ）的直线都可以用方程00()y y k x x -=-表示.B. 经过不同两点1P （1x ，1y ），2P （2x ，2y ）的直线都可以用方程112121y y x x y y x x --=--表示.C. 经过定点0P （0，b ）且斜率存在的直线都可以用方程y kx b =+表示.D. 不过原点的直线都可以用方程1x ya b+=表示. 4. 无论m 为何值，直线1(2)y m x +=-总过一个定点，其中m R ∈，该定点坐标为（ D ）. A.（1，2-） B.（1-，2） C.（2-，1-） D.（2，1-） 5. 若直线1l ：()34350m x y m +++-=与2l ：()2580x m y ++-=平行，则m 的值为（ A ）.A. 7-B. 17--或C. 6-D. 133-6. 一条直线与一个平面内的（ D ）都垂直，则该直线与此平面垂直.A. 无数条直线B. 两条直线C. 两条平行直线D.两条相交直线 7. 下列四个命题中错误的个数是（ B ）. ① 垂直于同一条直线的两条直线相互平行 ② 垂直于同一个平面的两条直线相互平行③ 垂直于同一条直线的两个平面相互平行 ④ 垂直于同一个平面的两个平面相互垂直A. 1B. 2C. 3D. 48. 半径为R 的球内接一个正方体，则该正方体的体积是（ C ）.A. 3B.343R π3D. 39R 9. 下列命题中错误的是（ B ）. A. 若//,,m n n m βα⊥⊂，则αβ⊥B. 若α⊥β，a ⊂α，则a ⊥βC. 若α⊥γ，β⊥γ，l αβ=，则l ⊥γD. 若α⊥β，aβ=AB ，a //α，a⊥AB ，则a ⊥β10. P 为ABC 所在平面外一点，PB PC =，P 在平面ABC 上的射影必在ABC 的（ A ）.A. BC 边的垂直平分线上B. BC 边的高线上C. BC 边的中线上D. BAC ∠的角平分线上11. 圆1C ：222880x y x y +++-=与圆2C 224420x y x y +-+-=的位置关系是（ A ）. A. 相交 B. 外切 C. 内切 D. 相离 12. 直线()110a x y +++=与圆2220x y x +-=相切，则a 的值为（ C ）.A. 1，1-B. 2-C. 1-D. 1 二. 填空题（每小题4分，共20分）1. 圆224460x y x y +-++=截直线50x y --=所得的弦长为， 2. 过点（1，2）且与直线210x y +-=平行的直线的方程是 250x y +-= 3. 过点A （0，1），B （2，0）的直线的方程为 220x y +-= .4. 已知各面均为等边三角形的四面体的棱长 为2，则它的表面积是5. 如图，在正方体111ABCD A B C D -中，异面 直线1A D 与1D C 所成的角为 060 度；直线1A D 与平面11AB C D 所成的角为 030 度.三. 解答题（第1、2题各9分，第3题14分，共1. 求经过两条直线1l ：3420x y +-=与2l ：220x y ++=的交点P ，且垂直于直线3l ：210x y --=直线l 的方程.1解：由3420220x y x y +-=⎧⎨++=⎩ 解得22x y =-⎧⎨=⎩∴ 点P 的坐标是（2-，2） ∵ 所求直线l 与3l 垂直，∴ 设直线l 的方程为 20x y C ++= 把点P 的坐标代入得 ()2220C ⨯-++= ，得2C =∴ 所求直线l 的方程为 220x y ++= 2. 已知圆心为C 的圆经过点A （0，6-），B （1，5-），且圆心在直线l ：10x y -+=上，求圆心为C的圆的标准方程. 解：因为A （0，6-），B （1，5-），所以线段AB 的中点D 的坐标为111,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线AB 的斜率 ()56110AB k ---==-，因此线段AB 的垂直平分线'l 的方程是11122y x ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭， 即 50x y ++=圆心C 的坐标是方程组 5010x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，的解.解此方程组，得 32x y =-⎧⎨=-⎩，所以圆心C 的坐标是（3-，2-）. 圆心为C 的圆的半径长所以，圆心为C 的圆的标准方程是3. 如图：在三棱锥S ABC -中，已知点D 、E 、F 分别为棱AC 、SA 、SC 的中点. ①求证：EF ∥平面ABC .②若SA SC =，BA BC =，求证：平面SBD ⊥平面ABC . 解：①证明：∵EF 是SAC 的中位线，∴EF ∥AC ，B又∵EF ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴EF ∥平面ABC .②证明：∵SA SC =,AD DC = ∴SD ⊥AC ， ∵BA BC =,AD DC = ∴BD ⊥AC ,又∵SD ⊂平面SBD ，BD ⊂平面SBD ，SD DB D =，∴AC ⊥平面SBD ， 又∵AC ⊂平面ABC ， ∴平面SBD ⊥平面ABC .。
(人教版新课标)高中数学必修2所有课时练习(含答案可编辑)
第一章空间几何体课时作业（一）棱柱、棱锥、棱台的结构特征姓名______________ 班级_________学号__________一、选择题(每小题5分，共20分)1.从长方体的一个顶点出发的三条棱上各取一点E，F，G，过此三点作长方体的截面，那么截去的几何体是()A．三棱柱B．三棱锥C．四棱柱D．四棱锥答案： B2．下列说法中正确的是()①一个棱柱至少有五个面；②用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台；③棱台的侧面是等腰梯形；④棱柱的侧面是平行四边形．A．①④B．②③C．①③D．②④解析：因为棱柱有两个底面，因此棱柱的面数由侧面个数决定，而侧面个数与底面多边形的边数相等，故面数最少的棱柱为三棱柱，有五个面，①正确；②中的截面与底面不一定平行，故②不正确；由于棱台是由棱锥截来的，而棱锥的所有侧棱不一定相等，所以棱台的侧棱不一定都相等，即不一定是等腰梯形，③不正确；由棱柱的定义知④正确，故选A.答案： A3．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有()A．20 B．15C．12 D．10解析：正五棱柱任意不相邻的两条侧棱可确定一个平面，每个平面可得到正五棱柱的两条对角线，五个平面共可得到10条对角线，故选D.答案： D4.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“△”的面的方位是()A．南B．北C．西D．下解析：将所给图形还原为正方体，如图所示，最上面为△，最左面为东，最里面为上，将正方体旋转后让东面指向东，让“上”面向上可知“△”的方位为北．故选B.答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5.如图，正方形ABCD中，E，F分别为CD，BC的中点，沿AE，AF，EF将其折成一个多面体，则此多面体是________．解析：此多面体由四个面构成，故为三棱锥，也叫四面体．答案：三棱锥(也可答四面体)6．下列命题中，真命题有________．①棱柱的侧面都是平行四边形；②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共点；③棱台的侧面有的是平行四边形，有的是梯形；④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点；⑤多面体至少有四个面．解析：棱柱是由一个平面多边形沿某一方向平移而形成的几何体，因而侧面是平行四边形，故①对．棱锥是由棱柱的一个底面收缩为一个点而得到的几何体，因而其侧面均是三角形，且所有侧面都有一个公共点，故②对．棱台是棱锥被平行于底面的平面所截后，截面与底面之间的部分，因而其侧面均是梯形，且所有的侧棱延长后均相交于一点(即原棱锥的顶点)，故③错④对．⑤显然正确．因而真命题有①②④⑤.答案：①②④⑤三、解答题(每小题10分，共20分)7．(1)如图所示的几何体是不是棱台？为什么？(2)如图所示的几何体是不是锥体？为什么？解析：(1)①②③都不是棱台．因为①和③都不是由棱锥所截得的，故①③都不是棱台；虽然②是由棱锥所截得的，但截面不和底面平行，故不是棱台．只有用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分才是棱台．(2)都不是．棱锥定义中要求各侧面有一个公共顶点．图①中侧面ABC与CDE没有公共顶点，故该几何体不是锥体；图②中侧面ABE与面CDF没有公共点，故该几何体不是锥体．8．判断下列语句的对错．(1)一个棱锥至少有四个面；(2)如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等；(3)五棱锥只有五条棱；(4)用与底面平行的平面去截三棱锥，得到的截面三角形和底面三角形相似．解析：(1)正确．(2)不正确．四棱锥的底面是正方形，它的侧棱可以相等，也可以不相等．(3)不正确．五棱锥除了五条侧棱外，还有五条底边，故共有10条棱．(4)正确．尖子生题库☆☆☆9．(10分)在如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，请连接三条线，把它分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．解析：如图，连接A1B，BC1，A1C，则三棱柱ABC－A1B1C1被分成三部分，形成三个三棱锥，分别是A1－ABC，A1－BB1C1，A1－BCC1.课时作业（二）圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征简单组合体的结构特征姓名______________ 班级_________学号__________一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列四种说法①在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线相互平行．其中正确的是()A．①②B．②③C．①③D．②④解析：①所取的两点与圆柱的轴OO′的连线所构成的四边形不一定是矩形，若不是矩形，则与圆柱母线定义不符．③所取两点连线的延长线不一定与轴交于一点，不符合圆台母线的定义．②④符合圆锥、圆柱母线的定义及性质．故选D.答案： D2．下图是由选项中的哪个图形旋转得到的()解析：该组合体上部是圆锥，下部是圆台，由旋转体定义知，上部由直角三角形的直角边为轴旋转形成，下部由直角梯形垂直于底边的腰为轴旋转形成．故选A.答案： A3.如图所示为一个空间几何体的竖直截面图形，那么这个空间几何体自上而下可能是()A．梯形、正方形B．圆台、正方形C．圆台、圆柱D．梯形、圆柱解析：空间几何体不是平面几何图形，所以应该排除A、B、D.答案： C4．如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是()A．该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体B．该几何体有12条棱、6个顶点C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形D．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形解析：该几何体用平面ABCD可分割成两个四棱锥，因此它是这两个四棱锥的组合体，因而四边形ABCD是它的一个截面而不是一个面．故选D.答案： D二、填空题(每小题5分，共10分)5．有下列说法：①与定点的距离等于定长的点的集合是球面；②球面上三个不同的点，一定都能确定一个圆；③一个平面与球相交，其截面是一个圆面．其中正确说法的个数为________．解析：命题①②都对，命题③中一个平面与球相交，其截面是一个圆面，③对．答案： 36．下面几何体的截面一定是圆面的是________．(填正确序号)①圆柱②圆锥③球④圆台答案：③三、解答题(每小题10分，共20分)7．如图所示几何体可看作由什么图形旋转360°得到？画出平面图形和旋转轴．解析：先画出几何体的轴，然后再观察寻找平面图形．旋转前的平面图形如下：8．如图所示的几何体是否为台体？为什么？尖子生题库☆☆☆9．(10分)一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2，求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．解析：(1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示)．由已知可得上底一半O1A＝2 cm，下底一半OB＝5 cm.又因为腰长为12 cm，所以高AM＝122－(5－2)2＝315(cm)．(2)如图所示，延长BA ，OO 1，CD ，交于点S ，设截得此圆台的圆锥的母线长为l ，则由△SAO 1∽△SBO 可得l －12l ＝25，解得l ＝20 cm.即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.课时作业（三） 中心投影与平行投影空间几何体的三视图姓名______________ 班级_________学号__________一、选择题(每小题5分，共20分) 1．下列说法正确的是( ) A ．矩形的平行投影一定是矩形 B ．梯形的平行投影一定是梯形C ．两条相交直线的平行投影可能平行D ．若一条线段的平行投影是一条线段，则中点的平行投影仍为这条线段投影的中点 解析： 对于A ，矩形的平行投影可以是线段、矩形、平行四边形，主要与矩形的放置及投影面的位置有关；同理，对于B ，梯形的平行投影可以是梯形或线段；对于C ，平行投影把两条相交直线投射成两条相交直线或一条直线；D 正确。
新人教版(2019A版)高中数学必修第二册综合测试卷(含答案解析)
新人教版(2019A 版)高中数学必修第二册综合测试卷(时间:120分钟 分值:150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)1.若复数z =2i3-i ,则z 的共轭复数z =( ) A.-15-35I B.-15+35I C.15+35I D.15-35i 答案:A2.某公司生产三种型号的轿车,其中型号Ⅰ的轿车的月产量为 1 200辆,型号Ⅱ的轿车的月产量为6 000辆,型号Ⅲ的轿车的月产量为2 000辆,现用分层抽样的方法抽取92辆车进行检验,则型号Ⅲ的轿车应抽取( )A.12辆B.36辆C.20辆D.60辆答案:C3.2010-2018年之间,受益于基础设施建设对光纤产品的需求,以及个人计算机及智能手机的下一代规格升级,电动汽车及物联网等新机遇,连接器行业发展较快.2010-2018年全球连接器营收情况如图所示,根据折线图,下列结论正确的个数为 ( )①每年的营收额逐年增长;②营收额增长最快的一年为2013-2014年;③2010-2018年的营收额增长率约为40%;④2014-2018年每年的营收额相对于2010-2014年每年的营收额,变化比较平稳.A.1B.2C.3D.4答案:C4.已知小张每次射击命中十环的概率都为40%,现采用随机模拟的方法估计小张三次射击恰有两次命中十环的概率,先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定2,4,6,8表示命中十环,0,1,3,5,7,9表示未命中十环,再以每三个随机数为一组,代表三次射击的结果,经随机模拟产生了如下20组随机数:321 421 292 925 274 632 800 478 598 663 531 297 396 021 506 318 230 113 507 965据此估计,小张三次射击恰有两次命中十环的概率约为( )A.0.25B.0.3C.0.35D.0.4答案:B5.盒子中有若干个大小和质地完全相同的红球和黄球,从中任意取出2个球,都是红球的概率为328,都是黄球的概率为514,则从盒子中任意取出2个球,恰好是同一颜色的概率为( )A.1328B.57C.1528D.37 答案:A6.某校篮球运动员进行投篮练习,若他前一球投进,则后一球投进的概率为34;若他前一球投不进,则后一球投进的概率为14.若他第1球投进的概率为34,则他第3球投进的概率为( ) A.34 B.58 C.116 D.916 答案:D7.已知数据x 1,x 2,x 3的中位数为k ,众数为m ,平均数为n ,方差为p ,下列说法中,错误的是( )A.数据2x 1,2x 2,2x 3的中位数为2kB.数据2x 1,2x 2,2x 3的众数为2mC.数据2x 1,2x 2,2x 3的平均数为2nD.数据2x 1,2x 2,2x 3的方差为2p答案:D8.一个圆柱的轴截面是正方形,如果这个圆柱的侧面积与一个球的表面积相等,那么圆柱的体积与球的体积之比为( )A.1∶3B.3∶1C.2∶3D.3∶2答案:D二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.如图,已知点O 为正六边形ABCDEF 的中心,下列结论中正确的是( )A.OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0B.(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ -AF ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(EF ⃗⃗⃗⃗⃗ -DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0C.(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ )·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ D.|OF ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -CB⃗⃗⃗⃗⃗ | 答案:BC10.在发生公共卫生事件期间,有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天,每天新增疑似病例不超过7人”.过去10日,甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下,一定符合该标志的是( )甲地:中位数为2,极差为5;乙地:总体平均数为2,众数为2;丙地:总体平均数为1,总体方差大于0;丁地:总体平均数为2,总体方差为3.A.甲地B.乙地C.丙地D.丁地答案:AD11.如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,以下四个选项正确的是( )A.D1C∥平面A1ABB1B.A1D1与平面BCD1相交C.AD⊥平面D1DBD.平面BCD1⊥平面A1ABB1答案:AD12.在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若b=c cos A,A的平分线交BC于点D,AD=1,cos A=18,以下结论正确的是()A.AC=34B.AB=8C.CDBD =1 8D.△ABD的面积为3√74答案:ACD三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中的横线上)13.已知a=(1,-1),b=(λ,1),若a与b的夹角为钝角,则实数λ的取值范围是(-∞,-1)∪(-1,1).14.从分别写有1,2,3,4,5的五张质地相同的卡片中,任取两张,这两.张卡片上的数字之差的绝对值等于1的概率为2515.(本题第一空2分,第二空3分)随机抽取100名学生,测得他们的身高(单位:cm),按照身高依次分成六组:[155,160),[160,165), [165,170),[170,175),[175,180),[180,185),并得到样本身高的频率分布直方图如图所示,则频率分布直方图中的x的值为0.06;若将身高区间[170,175),[175,180),[180,185)依次记为A,B,C三组,并用分层抽样的方法从这三组中抽取6人,则从A,B,C三组中依次抽取的人数为3,2,1.16.如图所示,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形, PA⊥平面ABC,PA=2 AB.则下列命题中正确的有②④.(填序号)①PB⊥AD;②平面PAB⊥平面PAE;③BC∥平面PAE;④直线PD 与平面ABC所成的角为45°.四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)17.(10分)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别为A1B,AC的中点.(1)证明:EF∥平面A1C1D;(2)求三棱锥C-A1C1D的体积.(1)证明:如图,连接BD.因为四边形ABCD为正方形,所以BD交AC于点F,且F为BD的中点.因为E为A1B的中点,所以EF∥A1D.因为EF⊄平面A1C1D,A1D⊂平面A1C1D,所以EF∥平面A1C1D.(2)解:三棱锥C-A1C1D的体积V=V棱锥A1-CC1D =13S△CC1D·A1D1=13×12×2×2×2=43.18.(12分)从含有两件正品a 1,a 2和一件次品b 1的三件产品中,每次任取一件,每次取出后不放回,连续取两次.(1)写出所有可能的结果组成的样本空间.(2)求取出的两件产品中,恰有一件次品的概率.解:(1)每次取出一个,取后不放回地连续取两次,其所有可能的结果有6个,即Ω={(a 1,a 2),(a 1,b 1),(a 2,a 1),(a 2,b 1),(b 1,a 1),(b 1,a 2)},其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品,右边的字母表示第2次取出的产品.(2)用A 表示事件“取出的两件产品中,恰好有一件次品”,则A ={(a 1,b 1),(a 2,b 1),(b 1,a 1),(b 1,a 2)},所以P (A )=46=23. 19.(12分)某居民小区为了提高小区居民的读书兴趣,特举办读书活动,准备进一定量的书籍丰富小区图书站.由于不同年龄段需看不同类型的书籍,为了合理配备资源,现对小区内读书者进行年龄调查, 随机抽取了一天中40名读书者进行调查,将他们的年龄分成6段:[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80],得到的频率分布直方图如图所示.(1)估计在这40名读书者中年龄分布在区间[40,70)上的人数;(2)求这40名读书者年龄的平均数和中位数;(3)从年龄在区间[20,40)上的读书者中任选两名,求这两名读书者年龄在区间[30,40)上的人数恰为1的概率.解:(1)由频率分布直方图知,年龄在区间[40,70)上的频率为(0.020+0.030+0.025)×10=0.75.所以40名读书者中年龄分布在区间[40,70)上的人数为40×0.75=30.(2)40名读书者年龄的平均数为25×0.05+35×0.1+45×0.2+55×0.3+ 65×0.25+75×0.1=54.设40名读书者年龄的中位数为x,0.05+0.1+0.2+(x-50)×0.03=0.5,解得x=55,即40名读书者年龄的中位数为55岁.(3)年龄在区间[20,30)上的读书者有2人,分别记为a,b,年龄在区间[30,40)上的读书者有4人,分别记为A,B,C,D.从上述6人中选出2人,有如下样本点:(a,b),(a,A),(a,B),(a,C),(a,D),(b,A),(b,B),(b,C),(b,D),(A,B), (A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),共15个,记选取的两名读书者中恰好有1人年龄在区间[30,40)上为事件A,则事件A包含8个样本点:(a,A),(a,B),(a,C),(a,D),(b,A),(b,B),(b,C), (b,D),故P(A)=8.1520.(12分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设△ABC的面积为S,已知3c2=16S+3(b2-a2).(1)求tan B 的值;(2)若S =42,a =10,求b 的值.解:(1)因为3c 2=16S +3(b 2-a 2),所以3(c 2+a 2-b 2)=16S ,即3×2ac cos B =16×12ac sin B , 所以3cos B =4sin B ,即tan B =34. (2)由(1)可得sin B =35,cos B =45, 所以S =12ac sin B =12×10c ×35=3c =42, 所以c =14.由余弦定理可得,45=100+196-b 22×10×14,整理可得,b =6√2.21.(12分)已知向量a ,b 满足|a |=|b |=1,|xa +b |=√3|a -xb |(x >0,x ∈R).(1)求a ·b 关于x 的解析式f (x );(2)求向量a 与b 夹角的最大值;(3)若a 与b 平行,且方向相同,试求x 的值. 解:(1)由题意得|xa +b |2=3|a -xb |2,即x 2a 2+2xa ·b +b 2=3a 2-6xa ·b +3x 2b 2. 因为|a |=|b |=1,所以8xa ·b =2x 2+2, 所以a ·b =x 2+14x (x >0),即f (x )=14(x +1x ) (x >0). (2)设向量a 与b 夹角为θ,则cos θ=a ·b |a ||b |=f (x )=14[(√x -√x )2+2], 当√x =√x ,即x =1时,cos θ有最小值12.因为0≤θ≤π,所以θmax =π3. (3)因为a 与b 平行,且方向相同,|a |=|b |=1,所以a =b ,所以a ·b =14(x +1x )=1, 解得x =2±√3.22.(12分)如图,在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 为菱形,AA 1⊥平面ABCD ,AC 与BD 交于点O ,∠BAD =60°,AB =2,AA 1=√6.(1)证明:平面A 1BD ⊥平面ACC 1A 1;(2)求二面角A -A 1C -B 的大小.(1)证明:由AA 1⊥平面ABCD ,得AA 1⊥BD ,AA 1⊥AC. 因为四边形ABCD 为菱形,所以AC ⊥BD.因为AC ∩AA 1=A ,所以BD ⊥平面ACC 1A 1.因为BD ⊂平面A 1BD ,所以平面A 1BD ⊥平面ACC 1A 1.(2)解:如图,过点O 作OE ⊥A 1C 于点E ,连接BE ,DE. 由(1)知BD ⊥平面ACC 1A 1,所以BD ⊥A 1C.因为OE ⊥A 1C ,OE ∩BD =O ,所以A 1C ⊥平面BDE ,所以A 1C ⊥BE. 因为OE ⊥A 1C ,BE ⊥A 1C ,所以∠OEB 为二面角A -A 1C -B 的平面角. 因为△ABD 为等边三角形且O 为BD 中点, 所以OB =12AB =1,OA =OC =√32AB =√3. 因为AA 1⊥AC ,所以A 1C =√AA 12+AC 2=3√2. 因为△A 1AC ∽△OEC ,所以OE AA 1=OC A 1C ,所以OE =OC ·AA 1A 1C =√3×√63√2=1. 在△OEB 中,OB ⊥OE ,所以tan ∠OEB =OBOE =1,即∠OEB =45°. 综上,二面角A -A 1C -B 的大小为45°.。
新教材人教A版高中数学必修第二册全册各章综合测验汇总(共五套,附解析)
高中数学必修第二册全册各章测验汇总章末质量检测(一) 平面向量及其应用 ............................................................................... 1 章末质量检测(二) 复数 ....................................................................................................... 8 章末质量检测(三) 立体几何初步 ..................................................................................... 14 章末质量检测(四) 统计 ..................................................................................................... 23 章末质量检测(五)概率 (32)章末质量检测(一) 平面向量及其应用一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如图，在⊙O 中，向量OB →，OC →，AO →是( ) A ．有相同起点的向量 B ．共线向量 C ．模相等的向量 D ．相等的向量解析：由图可知OB →，OC →，AO →是模相等的向量，其模均等于圆的半径，故选C. 答案：C2．若A (2，－1)，B (4,2)，C (1,5)，则AB →＋2BC →等于( ) A ．5 B ．(－1,5) C ．(6,1) D ．(－4,9)解析：AB →＝(2,3)，BC →＝(－3,3)，∴AB →＋2BC →＝(2,3)＋2(－3,3)＝(－4,9)． 答案：D3．设向量a ，b 均为单位向量，且|a ＋b |＝1，则a 与b 的夹角θ为( ) A.π3 B.π2 C.2π3 D.3π4解析：因为|a ＋b |＝1，所以|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝1，所以cos θ＝－12.又θ∈[0，π]，所以θ＝2π3.答案：C4．若A (x ，－1)，B (1,3)，C (2,5)三点共线，则x 的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3解析：AB →∥BC →，(1－x,4)∥(1,2)，2(1－x )＝4，x ＝－1，故选B. 答案：B5．已知向量a ，b 满足a ＋b ＝(1,3)，a －b ＝(3，－3)，则a ，b 的坐标分别为( ) A ．(4,0)，(－2,6) B ．(－2,6)，(4,0) C ．(2,0)，(－1,3) D ．(－1,3)，(2,0)解析：由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，3，a －b ＝3，－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，0，b ＝－1，3.答案：C6．若a ＝(5，x )，|a |＝13，则x ＝( ) A ．±5 B．±10 C ．±12 D．±13解析：由题意得|a |＝52＋x 2＝13， 所以52＋x 2＝132，解得x ＝±12. 答案：C7．如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，选定一点C ，测出AC的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A ，B 两点的距离为( ) A ．50 2 m B ．50 3 m C ．25 2 m D.2522m解析：由正弦定理得AB ＝AC ·sin∠ACB sin B＝50×2212＝502(m)．答案：A8．已知平面内四边形ABCD 和点O ，若OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，且a ＋c ＝b＋d ，则四边形ABCD 为( )A ．菱形B ．梯形C ．矩形D ．平行四边形 解析：由题意知a －b ＝d －c ， ∴BA →＝CD →，∴四边形ABCD 为平行四边形，故选D. 答案：D9．某人在无风条件下骑自行车的速度为v 1，风速为v 2(|v 1|>|v 2|)，则逆风行驶的速度的大小为( )A ．v 1－v 2B ．v 1＋v 2C ．|v 1|－|v 2| D.v 1v 2解析：题目要求的是速度的大小，即向量的大小，而不是求速度，速度是向量，速度的大小是实数，故逆风行驶的速度大小为|v 1|－|v 2|.答案：C10．已知O 为坐标原点，点A 的坐标为(2,1)，向量AB →＝(－1,1)，则(OA →＋OB →)·(OA→－OB →)等于( )A ．－4B ．－2C ．0D ．2解析：因为O 为坐标原点，点A 的坐标为(2,1)， 向量AB →＝(－1,1)， 所以OB →＝OA →＋AB →＝(2,1)＋(－1,1)＝(1,2)， 所以(OA →＋OB →)·(OA →－OB →)＝OA →2－OB →2＝(22＋12)－(12＋22) ＝5－5＝0.故选C. 答案：C11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝ac，(b ＋c ＋a )(b＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形 解析：∵sin A sin B ＝a c ，∴a b ＝ac，∴b ＝c .又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3，∴△ABC 是等边三角形．答案：C12．在△ABC 中，若|AB →|＝1，|AC →|＝3，|AB →＋AC →|＝|BC →|，则AB →·BC→|BC →|＝( )A ．－32 B ．－12C.12D.32解析：由向量的平行四边形法则，知当|AB →＋AC →|＝|BC →|时，∠A ＝90°.又|AB →|＝1，|AC →|＝3，故∠B ＝60°，∠C ＝30°，|BC →|＝2，所以AB →·BC →|BC →|＝|AB →||BC →|cos 120°|BC →|＝－12.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知A ，B ，C 是不共线的三点，向量m 与向量AB →是平行向量，与BC 是共线向量，则m ＝________.解析：∵A ，B ，C 不共线，∴AB →与BC →不共线．又m 与AB →，BC →都共线，∴m ＝0. 答案：014．若向量OA →＝(1，－3)，|OA →|＝|OB →|，OA →·OB →＝0，则|AB →|＝________. 解析：方法一：设OB →＝(x ，y )，由|OA →|＝|OB →|知x 2＋y 2＝10，又OA →·OB →＝x －3y＝0，所以x ＝3，y ＝1或x ＝－3，y ＝－1.当x ＝3，y ＝1时，|AB →|＝25；当x ＝－3，y ＝－1时，|AB →|＝2 5.故|AB →|＝2 5.方法二：由几何意义知，|AB →|就是以OA →，OB →为邻边的正方形的对角线长，又|OA →|＝10，所以|AB →|＝10×2＝2 5.答案：2 515．给出以下命题：①若a ≠0，则对任一非零向量b 都有a·b ≠0； ②若a ·b ＝0，则a 与b 中至少有一个为0； ③a 与b 是两个单位向量，则a 2＝b 2. 其中正确命题的序号是________．解析：上述三个命题中只有③正确，因为|a |＝|b |＝1，所以a 2＝|a |2＝1，b 2＝|b |2＝1，故a 2＝b 2.当非零向量a ，b 垂直时，有a·b ＝0，显然①②错误．答案：③16．用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10 N ，则每根绳子的拉力大小为________N.解析：如图，由题意得，∠AOC ＝∠COB ＝60°，|OC →|＝10，则|OA →|＝|OB →|＝10，即每根绳子的拉力大小为10 N.答案：10三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)如图所示，已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OE →＝e ，OF →＝f ，试用a ，b ，c ，d ，e ，f 表示：(1)AD →－AB →； (2)AB →＋CF →； (3)EF →－CF →.解析：(1)因为OB →＝b ，OD →＝d ， 所以AD →－AB →＝BD →＝OD →－OB →＝d －b . (2)因为OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OF →＝f ， 所以AB →＋CF →＝(OB →－OA →)＋(OF →－OC →)＝b ＋f －a －c . (3)EF →－CF →＝EF →＋FC →＝EC →＝OC →－OE →＝c －e .18．(12分)已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为60°，c ＝5a ＋3b ，d ＝3a ＋k b ，当实数k 为何值时，(1)c ∥d ；(2)c ⊥d .解析：由题意得a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝2×3×12＝3.(1)当c ∥d ，c ＝λd ，则5a ＋3b ＝λ(3a ＋k b )． ∴3λ＝5，且kλ＝3，∴k ＝95.(2)当c ⊥d 时，c ·d ＝0，则(5a ＋3b )·(3a ＋k b )＝0. ∴15a 2＋3k b 2＋(9＋5k )a ·b ＝0， ∴k ＝－2914.19．(12分)已知向量a ＝(1,3)，b ＝(m,2)，c ＝(3,4)，且(a －3b )⊥c . (1)求实数m 的值； (2)求向量a 与b 的夹角θ.解析：(1)因为a ＝(1,3)，b ＝(m,2)，c ＝(3,4)， 所以a －3b ＝(1,3)－(3m,6)＝(1－3m ，－3)．因为(a －3b )⊥c ，所以(a －3b )·c ＝(1－3m ，－3)·(3,4) ＝3(1－3m )＋(－3)×4 ＝－9m －9＝0， 解得m ＝－1.(2)由(1)知a ＝(1,3)，b ＝(－1,2)， 所以a ·b ＝5，所以cos θ＝a ·b |a ||b |＝510×5＝22.因为θ∈[0，π]，所以θ＝π4.20．(12分)已知向量a ＝(1,3)，b ＝(2，－2)． (1)设c ＝2a ＋b ，求(b －a )·c ； (2)求向量a 在b 方向上的投影．解析：(1)由a ＝(1,3)，b ＝(2，－2)，可得c ＝(2,6)＋(2，－2)＝(4,4)，b －a＝(1，－5)，则(b －a )·c ＝4－20＝－16.(2)向量a 在b 方向上的投影为a ·b |b |＝－422＝－ 2. 21．(12分)已知O ，A ，B 是平面上不共线的三点，直线AB 上有一点C ，满足2AC→＋CB →＝0，(1)用OA →，OB →表示OC →；(2)若点D 是OB 的中点，证明四边形OCAD 是梯形． 解析：(1)因为2AC →＋CB →＝0， 所以2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝0， 2OC →－2OA →＋OB →－OC →＝0， 所以OC →＝2OA →－OB →.(2)证明：如图， DA →＝DO →＋OA →＝－12OB →＋OA →＝12(2OA →－OB →)．故DA →＝12OC →.故四边形OCAD 为梯形．22．(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知(a －3b )·cos C＝c (3cos B －cos A )．(1)求sin B sin A的值；(2)若c ＝7a ，求角C 的大小．解析：(1)由正弦定理得，(sin A －3sin B )cos C ＝sin C (3cos B －cos A )， ∴sin A cos C ＋cos A sin C ＝3sin C cos B ＋3cos C sin B ， 即sin(A ＋C )＝3sin(C ＋B )，即sin B ＝3sin A ，∴sin Bsin A＝3.(2)由(1)知b ＝3a ，∵c ＝7a ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋9a 2－7a 22×a ×3a ＝3a 26a 2＝12，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.章末质量检测(二) 复数一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．复数i －i 2的实部为( ) A ．0 B ．1 C ．i D ．－2 解析：i －i 2＝1＋i. 答案：B2．用C ，R 和I 分别表示复数集、实数集和虚数集，那么有( ) A ．C ＝R ∩I B ．R ∩I ＝{0}C ．R ＝C ∩ID ．R ∩I ＝∅解析：由复数的概念可知R ⊂C ，I ⊂C ，R ∩I ＝∅. 答案：D3．下列说法正确的是( )A ．如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等B ．a i 是纯虚数(a ∈R )C ．如果复数x ＋y i(x ，y ∈R )是实数，那么x ＝0，y ＝0D ．复数a ＋b i(a ，b ∈R )不是实数解析：两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，则它们的实部、虚部分别相等，所以A 正确；B 中，当a ＝0时，a i ＝0是实数，所以B 不正确；要使复数x ＋y i(x ，y ∈R )是实数，则只需y ＝0，所以C 不正确；D 中，当b ＝0时，复数a ＋b i 是实数，所以D 不正确．答案：A4．复数z ＝－1－2i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：由题意得复数z 的实部为－1，虚部为－2，因此在复平面内对应的点为(－1，－2)，位于第三象限．答案：C5．设z 1＝3－4i ，z 2＝－2＋3i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 解析：z 1－z 2＝5－7i. 答案：D6．复数1－7i 1＋i 的虚部为( )A ．0 B. 2 C ．4 D ．－4 解析：∵1－7i1＋i＝1－7i 1－i 1＋i1－i ＝－6－8i2＝－3－4i ，∴复数1－7i1＋i 的虚部为－4，选D.答案：D7．复数z ＝(a 2－2a －3)＋(a ＋1)i 为纯虚数，实数a 的值是( ) A ．－1 B ．3C ．1D ．－1或3解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －3＝0，a ＋1≠0，解得a ＝3.故选B.答案：B8．已知z－1＋i ＝2＋i ，则复数z ＝( )A ．－1＋3iB ．1－3iC ．3＋iD ．3－i解析：由题意知z －＝(1＋i)(2＋i)＝2－1＋3i ＝1＋3i ，从而z ＝1－3i ，选B. 答案：B9．已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－3,1)B ．(－1,3)C ．(1，＋∞) D．(－∞，－3)解析：由已知可得复数z 在复平面内对应的点的坐标为(m ＋3，m －1)，且该点在第四象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3>0，m －1<0，解得－3<m <1.答案：A10．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上所对应的点分别为A ，B ，C ，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：依题意3－4i ＝λ(－1＋2i)＋μ(1－i)＝μ－λ＋(2λ－μ)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧μ－λ＝32λ－μ＝－4，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1μ＝2，∴λ＋μ＝1.答案：A11．复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )满足条件|z －4i|＝|z ＋2|，则|2x＋4y|的最小值为( )A ．2B ．4C ．4 2D ．16解析：由|z －4i|＝|z ＋2|得x ＋2y ＝3. 则2x＋4y≥22x ＋2y＝2·23＝4 2.12．已知f (n )＝i n －i －n (i 2＝－1，n ∈N )，集合{f (n )}的元素个数是( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．无数个 解析：f (0)＝i 0－i 0＝0，f (1)＝i －i －1＝i －1i＝2i ，f (2)＝i 2－i －2＝0， f (3)＝i 3－i －3＝－2i.∴{f (n )}＝{0，－2i,2i}． 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．若复数z ＝(m －1)＋(m ＋2)i 对应的点在直线y ＝2x 上，则实数m 的值是________．解析：由已知得2(m －1)－(m ＋2)＝0，∴m ＝4. 答案：414．设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 是虚数单位)，则z 的实部是________． 解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则i(z ＋1)＝i(a ＋1＋b i)＝－b ＋(a ＋1)i ＝－3＋2i ， 所以a ＝1，b ＝3，复数z 的实部是1. 答案：115．在复平面内，复数1＋i 与－1＋3i 分别对应向量OA →和OB →，其中O 为坐标原点，则|AB →|＝________.解析：∵AB →＝(－1＋3i)－(1＋i)＝－2＋2i ， ∴|AB →|＝2 2. 答案：2 216．设i 是虚数单位，若复数a －103－i(a ∈R )是纯虚数，则a 的值为________． 解析：先利用复数的运算法则将复数化为x ＋y i(x ，y ∈R )的形式，再由纯虚数的定义求a .因为a －103－i ＝a －103＋i 3－i 3＋i＝a －103＋i10＝(a －3)－i ，由纯虚数的定义，知a －3＝0，所以a ＝3.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)实数m 为何值时，复数z ＝m ＋6m －1＋(m 2＋5m －6)i 是实数？ 解析：复数z 为实数，则虚部为0，由于实部是分式，因此要求分式有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m －6＝0，m ≠1，解得m ＝－6.所以当m ＝－6时，复数z 是实数． 18．(12分)计算⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋2i ·i 100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 52－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 220.解析：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋2i ·i 100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 52－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 220＝[(1＋2i)·1＋(－i)5]2－i 10＝(1＋i)2－i 10＝1＋2i.19．(12分)复数z ＝(a 2＋1)＋a i(a ∈R )对应的点在第几象限？复数z 对应的点的轨迹方程是什么？解析：因为a 2＋1≥1>0，复数z ＝(a 2＋1)＋a i 对应的点为(a 2＋1，a )，所以z 对应的点在第一、四象限或实轴的正半轴上．设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2＋1，y ＝a ，消去a 可得x ＝y 2＋1，所以复数z 对应的点的轨迹方程是y 2＝x －1.20．(12分)设复数z 1＝(a 2－4sin 2θ)＋(1＋2cos θ)i ，a ∈R ，θ∈(0，π)，z 2在复平面内对应的点在第一象限，且z 22＝－3＋4i.(1)求z 2及|z 2|；(2)若z 1＝z 2，求θ与a 的值．解析：(1)设z 2＝m ＋n i(m ，n ∈R )，则z 22＝(m ＋n i)2＝m 2－n 2＋2mn i ＝－3＋4i ，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－n 2＝－3，2mn ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－2，所以z 2＝1＋2i 或z 2＝－1－2i.又因为z 2在复平面内对应的点在第一象限，所以z 2＝－1－2i 应舍去， 故z 2＝1＋2i ，|z 2|＝ 5.(2)由(1)知(a 2－4sin 2θ)＋(1＋2cos θ)i ＝1＋2i ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4sin 2θ＝1，1＋2cos θ＝2，解得cos θ＝12，因为θ∈(0，π)，所以θ＝π3，所以a 2＝1＋4sin 2θ＝1＋4×34＝4，a ＝±2.综上，θ＝π3，a ＝±2.21．(12分)虚数z 满足|z |＝1，z 2＋2z ＋1z<0，求z .解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，y ≠0)，∴x 2＋y 2＝1.则z 2＋2z ＋1z ＝(x ＋y i)2＋2(x ＋y i)＋1x ＋y i ＝(x 2－y 2＋3x )＋y (2x ＋1)i.∵y ≠0，z 2＋2z ＋1z<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋1＝0，x 2－y 2＋3x <0，①②又x 2＋y 2＝1.③ 由①②③得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝±32.∴z ＝－12±32i.22．(12分)已知复数z 1＝i(1－i)3. (1)求|z 1|；(2)若|z |＝1，求|z －z 1|的最大值．解析：(1)|z 1|＝|i(1－i)3|＝|2－2i|＝22＋－22＝2 2.(2)如图所示，由|z |＝1可知，z 在复平面内对应的点的轨迹是半径为1，圆心为O (0,0)的圆，而z 1对应着坐标系中的点Z 1(2，－2)．所以|z－z1|的最大值可以看成是点Z1(2，－2)到圆上的点的距离的最大值．由图知|z－z1|max＝|z1|＋r(r为圆的半径)＝22＋1.章末质量检测(三) 立体几何初步一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列结论正确的是( )A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：A错误．如图1所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥．B错误．如图2，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边所在直线，所得的几何体都不是圆锥．C错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．D正确．答案：D2．关于直观图画法的说法中，不正确的是( )A．原图形中平行于x轴的线段，其对应线段仍平行于x′轴，其长度不变B．原图形中平行于y轴的线段，其对应线段仍平行于y′轴，其长度不变C．画与坐标系xOy对应的坐标系x′O′y′时，∠x′O′y′可画成135°D．作直观图时，由于选轴不同，所画直观图可能不同解析：根据斜二测画法的规则可知B不正确．答案：B3．若圆柱的轴截面是一个正方形，其面积为4S，则它的一个底面面积是( )A ．4SB ．4πSC ．πSD ．2πS解析：由题意知圆柱的母线长为底面圆的直径2R ， 则2R ·2R ＝4S ，得R 2＝S .所以底面面积为πR 2＝πS . 答案：C4．如果一个正四面体(各个面都是正三角形)的体积为9 cm 3，则其表面积为( ) A ．18 3 cm 2B ．18 cm 2C ．12 3 cm 2D ．12 cm 2解析：设正四面体的棱长为a cm ，则底面积为34a 2 cm 2，易求得高为63a cm ，则体积为13×34a 2×63a ＝212a 3＝9，解得a ＝32，所以其表面积为4×34a 2＝183(cm 2)．答案：A5．一个四面体共一个顶点的三条棱两两互相垂直，其长分别为1，6，3，其四面体的四个顶点在一个球面上，则这个球的表面积为( )A ．16π B．32π C ．36π D．64π解析：将四面体可补形为长方体，此长方体的对角线即为球的直径，而长方体的对角线长为12＋62＋32＝4，即球的半径为2，故这个球的表面积为4πr 2＝16π.答案：A6．若平面α∥平面β，直线a ∥平面α，点B 在平面β内，则在平面β内且过点B 的所有直线中( )A ．不一定存在与a 平行的直线B ．只有两条与a 平行的直线C ．存在无数条与a 平行的直线D ．存在唯一与a 平行的直线解析：当直线a ⊂平面β，且点B 在直线a 上时，在平面β内且过点B 的所有直线中不存在与a 平行的直线．故选A.答案：A7．若α∥β，A ∈α，C ∈α，B ∈β，D ∈β，且AB ＋CD ＝28，AB 、CD 在β内的射影长分别为9和5，则AB 、CD 的长分别为( )A ．16和12B ．15和13C ．17和11D ．18和10解析：如图，作AM ⊥β，CN ⊥β，垂足分别为M 、N ，设AB ＝x ，则CD ＝28－x ，BM ＝9，ND ＝5，∴x 2－81＝(28－x )2－25， ∴x ＝15,28－x ＝13. 答案：B 8.如图，在棱长为4的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是A 1B 1上一点，且PB 1＝14A 1B 1，则多面体P －BCC 1B 1的体积为( )A.83B.163 C ．4 D ．5解析：V 多面体P －BCC 1B 1＝13S 正方形BCC 1B 1·PB 1＝13×42×1＝163.答案：B9．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为A 1B 1的中点，AB ＝BC ＝BB 1＝2，AC ＝25，则异面直线BD 与AC 所成的角为( )A ．30° B．45° C ．60° D．90°解析：如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，则AC∥A1C1∥DE，则∠BDE即为异面直线BD与AC所成的角(或其补角)．由条件可知BD＝DE＝EB＝5，所以∠BDE＝60°，故选C.答案：C10．如图，在三棱锥P－ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是( )A．AP⊥PB，AP⊥PCB．AP⊥PB，BC⊥PBC．平面BCP⊥平面PAC，BC⊥PCD．AP⊥平面PBC解析：A中，因为AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC，故A正确；C中，因为平面BCP⊥平面PAC，BC⊥PC，所以BC⊥平面APC，AP⊂平面APC，所以AP⊥BC，故C正确；D中，由A知D正确；B中条件不能判断出AP⊥BC，故选B.答案：B11．在等腰Rt△ABC中，AB＝BC＝1，M为AC的中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角C－BM－A的大小为( )A．30° B．60°C．90° D．120°解析：如图所示，由AB＝BC＝1，∠A′BC＝90°，得A′C＝ 2.∵M为A′C的中点，∴MC＝AM＝22，且CM⊥BM，AM⊥BM，∴∠CMA为二面角C－BM－A的平面角．∵AC ＝1，MC ＝AM ＝22，∴∠CMA ＝90°. 答案：C12．在矩形ABCD 中，若AB ＝3，BC ＝4，PA ⊥平面AC ，且PA ＝1，则点P 到对角线BD 的距离为( )A.292 B.135C.175D.1195 解析：如图，过点A 作AE ⊥BD 于E ，连接PE . ∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥BD ，∴BD ⊥平面PAE ，∴BD ⊥PE . ∵AE ＝AB ·AD BD ＝125，PA ＝1， ∴PE ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1252＝135.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．正方形ABCD 绕对角线AC 所在直线旋转一周所得组合体的结构特征是________． 解析：由圆锥的定义知是两个同底的圆锥形成的组合体． 答案：两个同底的圆锥组合体14．若某空间几何体的直观图如图所示，则该几何体的表面积是________． 解析：根据直观图可知该几何体是横着放的直三棱柱，所以S 侧＝(1＋2＋3)×2＝2＋2＋6， S 底＝12×1×2＝22， 故S 表＝2＋2＋6＋2×22＝2＋22＋ 6.答案：2＋22＋ 615．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．解析：∵EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面AB 1C ＝AC ，∴EF ∥AC ，∴F 为DC 中点．故EF ＝12AC ＝ 2.答案： 216．矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝1，则PC 与平面ABCD所成的角是________．解析：tan∠PCA ＝PA AC＝13＝33，∴∠PCA ＝30°. 答案：30°三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)如图是由正方形ABCE 和正三角形CDE 所组成的平面图形，试画出其水平放置的直观图．解析：(1)以AB 所在的直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图(1)，再建立坐标系x ′O ′y ′，使两轴的夹角为45°，如图(2)．(2)以O ′为中点，在x ′轴上截取A ′B ′＝AB ，分别过A ′，B ′作y ′轴的平行线，截取A ′E ′＝12AE ，B ′C ′＝12BC .在y ′轴上截取O ′D ′＝12OD .(3)连接E ′D ′，E ′C ′，C ′D ′，并擦去作为辅助线的坐标轴，就得到所求的直观图，如图(3)．18．(12分)如图，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，连接A ′C ′，A ′D ，A ′B ，BD ，BC ′，C ′D ，得到一个三棱锥．求：(1)三棱锥A ′－BC ′D 的表面积与正方体表面积的比值； (2)三棱锥A ′－BC ′D 的体积．解析：(1)∵ABCD －A ′B ′C ′D ′是正方体， ∴A ′B ＝A ′C ′＝A ′D ＝BC ′＝BD ＝C ′D ＝2a ，∴三棱锥A ′－BC ′D 的表面积为4×12×2a ×32×2a ＝23a 2.而正方体的表面积为6a 2，故三棱锥A ′－BC ′D 的表面积与正方体表面积的比值为23a 26a 2＝33. (2)三棱锥A ′－ABD ，C ′－BCD ，D －A ′D ′C ′，B －A ′B ′C ′是完全一样的． 故V 三棱锥A ′－BC ′D ＝V 正方体－4V 三棱锥A ′－ABD ＝a 3－4×13×12a 2×a ＝a33.19．(12分)如图，四边形ABCD 与四边形ADEF 都为平行四边形，M ，N ，G 分别是AB ，AD ，EF 的中点．求证：(1)BE ∥平面DMF ； (2)平面BDE ∥平面MNG .证明：(1)设DF 与GN 交于点O ，连接AE ，则AE 必过点O ，且O 为AE 的中点，连接MO ，则MO 为△ABE 的中位线，所以BE ∥MO .因为BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N，G分别为AD，EF的中点，四边形ADEF为平行四边形，所以DE∥GN.因为DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.因为M为AB的中点，N为AD的中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN.因为BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，所以BD∥平面MNG.因为DE∩BD＝D，BD，DE⊂平面BDE，所以平面BDE∥平面MNG.20．(12分)S是Rt△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.证明：(1)如图所示，取AB的中点E，连接SE，DE，在Rt△ABC中，D、E分别为AC、AB的中点，∴DE∥BC，∴DE⊥AB，∵SA＝SB，∴△SAB为等腰三角形，∴SE⊥AB.又SE∩DE＝E，∴AB⊥平面SDE.又SD⊂平面SDE，∴AB⊥SD.在△SAC中，SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.又AC∩AB＝A，∴SD⊥平面ABC.(2)由于AB＝BC，则BD⊥AC，由(1)可知，SD⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，∴SD⊥BD，又SD∩AC＝D，∴BD⊥平面SAC.21．(12分)如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，点E是AB的中点．(1)求证：OE∥平面BCC1B1；(2)若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC.证明：(1)连接BC1，因为侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，所以O为AC1的中点，又因为E是AB的中点，所以OE∥BC1，因为OE⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，所以OE∥平面BCC1B1.(2)因为侧面AA1C1C是菱形，所以AC1⊥A1C，因为AC1⊥A1B，A1C∩A1B＝A1，A1C⊂平面A1BC，A1B⊂平面A1BC，所以AC1⊥平面A1BC，因为BC⊂平面A1BC，所以AC1⊥BC.22．(12分)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点，连接ED，EC，EB和DB.(1)求证：平面EDB⊥平面EBC；(2)求二面角E－DB－C的正切值．解析：(1)证明：在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点．所以△DD1E为等腰直角三角形，∠D1ED＝45°.同理∠C1EC＝45°.所以∠DEC＝90°，即DE⊥EC.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，BC⊥平面D1DCC1，又DE⊂平面D1DCC1，所以BC⊥DE.又EC∩BC＝C，所以DE⊥平面EBC.因为DE⊂平面DEB，所以平面DEB⊥平面EBC.(2)如图所示，过E在平面D1DCC1中作EO⊥DC于O.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，因为平面ABCD⊥平面D1DCC1，且交线为DC，所以EO⊥面ABCD.过O在平面DBC中作OF⊥DB于F，连接EF，所以EF⊥BD.∠EFO为二面角E－DB－C的平面角．利用平面几何知识可得OF＝15，又OE＝1，所以tan∠EFO＝ 5.章末质量检测(四) 统计一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．从某年级500名学生中抽取60名学生进行体重的统计分析，下列说法正确的是( )A．500名学生是总体B．每个被抽查的学生是样本C．抽取的60名学生的体重是一个样本D．抽取的60名学生是样本容量解析：A×总体应为500名学生的体重B×样本应为每个被抽查的学生的体重C√抽取的60名学生的体重构成了总体的一个样本D×样本容量为60，不能带有单位2．某班对八校联考成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将70个同学按01,02,03，…，70进行编号，然后从随机数表第9行第9列的数开始向右读，则选出的第7个个体是( )(注：如表为随机数表的第8行和第9行)63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54A ．07B ．44C ．15D ．51解析：找到第9行第9列数开始向右读，符合条件的是29,64,56,07,52,42,44，故选出的第7个个体是44.答案：B3．对于数据3,3,2,3,6,3,10,3,6,3,2，有以下结论： ①这组数据的众数是3.②这组数据的众数与中位数的数值不等． ③这组数据的中位数与平均数的数值相等． ④这组数据的平均数与众数的数值相等． 其中正确的结论有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析：由题意知，众数与中位数都是3，平均数为4.只有①正确，故选A. 答案：A4．某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3 500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现在按1100的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为( )A ．8B ．11C ．16D ．10解析：若设高三学生数为x ，则高一学生数为x 2，高二学生数为x2＋300，所以有x＋x 2＋x 2＋300＝3 500，解得x ＝1 600.故高一学生数为800，因此应抽取的高一学生数为800100＝8.答案：A5．在样本频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个长方形的面积和的25，且样本容量为140，则中间一组的频数为( )A ．28B ．40C ．56D ．60解析：设中间一组的频数为x ，则其他8组的频数和为52x ，所以x ＋52x ＝140，解得x ＝40.答案：B6．某校共有学生2 000名，各年级男、女生人数如表所示：一年级二年级三年级女生373380y男生377370z现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为( )A．24 B．18C．16 D．12解析：一年级的学生人数为373＋377＝750，二年级的学生人数为380＋370＝750，于是三年级的学生人数为2 000－750－750＝500，那么三年级应抽取的人数为500×642 000＝16.故选C.答案：C7．某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个．命中个数的茎叶图如下图，则下面结论中错误的一个是( )A．甲的极差是29 B．乙的众数是21C．甲罚球命中率比乙高 D．甲的中位数是24解析：甲的极差是37－8＝29；乙的众数显然是21；甲的平均数显然高于乙，即C成立；甲的中位数应该是23.答案：D8．为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )A ．1B ．8C ．12D ．18解析：由图知，样本总数为N ＝200.16＋0.24＝50.设第三组中有疗效的人数为x ，则6＋x 50＝0.36，解得x ＝12. 答案：C9．一组数据的方差为s 2，平均数为x ，将这组数据中的每一个数都乘以2，所得的一组新数据的方差和平均数为( )A.12s 2，12x B ．2s 2,2x C ．4s 2,2x D ．s 2，x解析：将一组数据的每一个数都乘以a ，则新数据组的方差为原来数据组方差的a 2倍，平均数为原来数据组的a 倍．故答案选C.答案：C10.某超市连锁店统计了城市甲、乙的各16台自动售货机在12：00至13：00间的销售金额，并用茎叶图表示如图，则可估计有( )A ．甲城市销售额多，乙城市销售额不够稳定B ．甲城市销售额多，乙城市销售额稳定C ．乙城市销售额多，甲城市销售额稳定D ．乙城市销售额多，甲城市销售额不够稳定解析：十位数字是3,4,5时乙城市的销售额明显多于甲，估计乙城市销售额多，甲的数字过于分散，不够稳定，故选D.答案：D11．在某次测量中得到的A 样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B 样本数据恰好是A 样本数据都加上2所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是( )A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差解析：设A 样本数据为x i ，根据题意可知B 样本数据为x i ＋2，则依据统计知识可知A ，B 两样本中的众数、平均数和中位数都相差2，只有方差相同，即标准差相同．答案：D12．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：则7个剩余分数的方差为( ) A.1169 B.367 C ．36 D.677解析：由题图可知去掉的两个数是87,99，所以87＋90×2＋91×2＋94＋90＋x＝91×7，解得x ＝4.故s 2＝17[(87－91)2＋(90－91)2×2＋(91－91)2×2＋(94－91)2×2]＝367.故选B. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上) 13．将一个容量为m 的样本分成3组，已知第一组频数为8，第二、三组的频率为0.15和0.45，则m ＝________.解析：由题意知第一组的频率为 1－(0.15＋0.45)＝0.4， 所以8m＝0.4，所以m ＝20.答案：2014．某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上(包括50岁)的人，用分层抽样的方法从中抽20人，各年龄段分别抽取的人数为________．解析：由于样本容量与总体个体数之比为20100＝15，故各年龄段抽取的人数依次为45×15＝9(人)，25×15＝5(人)，20－9－5＝6(人)．答案：9,5,615．某市高三数学抽样考试中，对90分以上(含90分)的成绩进行统计，其频率分布图如图所示，若130～140分数段的人数为90人，则90～100分数段的人数为________．解析：由频率分布图知，设90～100分数段的人数为x ，则0.40x ＝0.0590，所以x＝720.答案：72016．设样本数据x 1，x 2，…，x 2017的方差是4，若y i ＝2x i －1(i ＝1,2，…，2 017)，则y 1，y 2，…，y 2017的方差为________．解析：本题考查数据的方差．由题意得D (y i )＝D (2x i －1)＝D (2x i )＝4D (x i )＝4×4＝16.答案：16三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)某总体共有60个个体，并且编号为00,01，…，59.现需从中抽取一个容量为8的样本，请从随机数表的倒数第5行(下表为随机数表的最后5行)第11列的1开始．依次向下读数，到最后一行后向右，直到取足样本为止(大于59及与前面重复的数字跳过)，求抽取样本的号码．95 33 95 22 00 18 74 72 00 18 38 79 58 69 32 81 76 80 26 92 82 80 84 25 39 90 84 60 79 80 24 36 59 87 38 82 07 53 89 35 56 35 23 79 18 05 98 90 07 35 46 40 62 98 80 54 97 20 56 95 15 74 80 08 32 16 46 70 50 80 67 72 16 42 79 20 31 89 03 43 38 46 82 68 72 32 14 82 99 70 80 60 47 18 97 63 49 30 21 30 71 59 73 05 50 08 22 23 71 77 91 01 93 20 49 82 96 59 26 94 66 39 67 98 60解析：由随机数表法可得依次的读数为：18,24,54,38,08,22,23,0118．(12分)某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加了其中一组．在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%.登山组的职工占参加活动总人数的14，且该组中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%，为了了解各组不同的年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本．试确定：(1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例； (2)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．解析：(1)设登山组人数为x ，游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a ，b ，c ，则有x ·40%＋3xb 4x ＝47.5%，x ·10%＋3xc4x＝10%.解得b ＝50%，c ＝10%. 故a ＝1－50%－10%＝40%.即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40%,50%,10%.(2)游泳组中，抽取的青年人数为200×34×40%＝60；抽取的中年人数为200×34×50%＝75；抽取的老年人数为200×34×10%＝15.19．(12分)已知一组数据按从小到大的顺序排列为－1，0,4，x,7,14，中位数为5，求这组数据的平均数与方差．解析：由于数据－1,0,4，x,7,14的中位数为5，所以4＋x2＝5，x ＝6.设这组数据的平均数为x －，方差为s 2，由题意得 x －＝16×(－1＋0＋4＋6＋7＋14)＝5，s 2＝16×[(－1－5)2＋(0－5)2＋(4－5)2＋(6－5)2＋(7－5)2＋(14－5)2]＝743. 20．(12分)为了了解小学生的体能情况，抽取了某校一个年级的部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将取得数据整理后，画出频率分布直方图(如图)．已知图中从左到右前三个小组频率分别为0.1,0.3,0.4，第一小组的频数为5.(1)求第四小组的频率；(2)参加这次测试的学生有多少人；(3)若次数在75次以上(含75次)为达标，试估计该年级学生跳绳测试的达标率是多少．解析：(1)由累积频率为1知，第四小组的频率为1－0.1－0.3－0.4＝0.2. (2)设参加这次测试的学生有x 人，则0.1x ＝5， 所以x ＝50.即参加这次测试的学生有50人． (3)达标率为0.3＋0.4＋0.2＝90%，所以估计该年级学生跳绳测试的达标率为90%.21．(12分)市体校准备挑选一名跳高运动员参加全市中学生运动会，对跳高运动队的甲、乙两名运动员进行了8次选拔比赛．他们的成绩(单位：m)如下：甲：1.70 1.65 1.68 1.69 1.72 1.73 1.68 1.67乙：1.60 1.73 1.72 1.61 1.62 1.71 1.70 1.75(1)甲、乙两名运动员的跳高平均成绩分别是多少？(2)哪位运动员的成绩更为稳定？(3)若预测跳过1.65 m就很可能获得冠军，该校为了获得冠军，可能选哪名运动员参赛？若预测跳过1.70 m才能得冠军呢？解析：(1)甲的平均成绩为：(1.70＋1.65＋1.68＋1.69＋1.72＋1.73＋1.68＋1.67)÷8＝1.69 m，乙的平均成绩为：(1.60＋1.73＋1.72＋1.61＋1.62＋1.71＋1.70＋1.75)÷8＝1.68 m；(2)根据方差公式可得：甲的方差为0.0006，乙的方差为0.00315∵0.0006＜0.00315∴甲的成绩更为稳定；(3)若跳过1.65 m就很可能获得冠军，甲成绩均过1.65米，乙3次未过1.65米，因此选甲；若预测跳过1.70 m才能得冠军，甲成绩过1.70米3次，乙过1.70米5次，因此选乙．22．(12分)某中学高一女生共有450人，为了了解高一女生的身高(单位：cm)情况，随机抽取部分高一女生测量身高，所得数据整理后列出频率分布表如下：(1)(2)画出频率分布直方图；(3)估计该校高一女生身高在[149.5,165.5]范围内的有多少人？解析：(1)由题意得M＝80.16＝50，落在区间[165.5,169.5]内的数据频数m＝50－(8＋6＋14＋10＋8)＝4，。
新课标版数学必修二(A版)综合卷2高考调研精讲精练
模块综合测试卷(二)第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分)1．直线3x＋3y－1＝0的倾斜角为()A．60°B．30°C．120°D．150°答案 C2．设E，F，G分别为四面体ABCD的棱BC，CD，DA的中点，则此四面体中与过E，F，G的截面平行的棱有()A．0条B．1条C．2条D．3条答案 C3．直线3x＋4y－13＝0与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的位置关系是()A．相离B．相交C．相切D．无法判定答案 C4．已知A(0，8)，B(－4，0)，C(m，－4)三点共线，则实数m的值是()A．－6 B．－2C．2 D．6答案 A5．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面．下列命题中正确的是() A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βB．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m∥α，m∥β，则α∥β答案 B6．下列说法中正确的个数有()①两平面平行，夹在两平面间的平行线段相等；②两平面平行，夹在两平面间的相等的线段平行；③两条直线被三个平行平面所截，截得的线段对应成比例；④如果夹在两平面间的三条平行线段相等，那么这两个平面平行．A．1个B．2个C．3个D．4个答案 B7．若a>0，b<0，c<0，则直线ax ＋by ＋c ＝0必不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 B8．直线l 1过A(3，0)，直线l 2过B(0，4)，且l 1∥l 2，用d 表示l 1与l 2间的距离，则( ) A ．d ≥5 B ．3≤d ≤5 C ．0≤d ≤5 D ．0<d ≤5 答案 D9．若圆心在x 轴上，半径为5的圆C 位于y 轴左侧，且与直线x ＋2y ＝0相切，则圆C 的方程是( )A ．(x －5)2＋y 2＝5B ．(x ＋5)2＋y 2＝5C ．(x －5)2＋y 2＝5D ．(x ＋5)2＋y 2＝5 答案 D10．直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN|≥23，则k 的取值范围是( ) A ．[－34，0]B ．(－∞，－34]∪[0，＋∞)C ．[－33，33] D ．[－23，0]答案 A11．在正方体ABCD －A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E 、交CC′于F ，则以下结论中错误的是( )A ．四边形BFD′E 一定是平行四边形B ．四边形BFD′E 有可能是正方形C ．四边形BFD′E 有可能是菱形D ．四边形BFD′E 在底面投影一定是正方形 答案 B12.如图所示，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面△ABC 中，∠A ＝90°，且BC 1⊥AC ，过C 1作C 1H ⊥底面ABC ，垂足为H ，则点H 在( ) A ．直线AC 上 B ．直线AB 上 C ．直线BC 上 D ．△ABC 内部答案 B第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.如图所示，ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝a3，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________．答案22 3 a14．与直线2x＋3y＋5＝0平行，且在两坐标轴上截距的和为6的直线方程是________．答案10x＋15y－36＝015．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是________cm3.答案14416.如图所示，在三棱锥P－ABC中，面PAC⊥面ABC，∠ABC＝90°，PA＝PC＝32，BA ＝BC＝2，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积为________．答案81 4π解析如图，取AC中点O，连接BO，PO.∵BA＝BC＝2，∠ABC＝90°.∴AC＝22，且O为△ABC的外心．∵PA＝PC，O为AC中点，∴PO⊥AC.又∵面PAC⊥面ABC，面PAC∩面ABC＝AC，∴PO ⊥面ABC.∴三棱锥P －ABC 外接球球心G 在PO 上，且为△PAC 的外心． 在△PAC 中，PO ＝4，∴sin ∠PAO＝PO PA ＝223，2R ＝PC sin ∠PAO ＝32223＝92，R ＝94，S ＝4πR 2＝814π.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(本小题满分10分)如图所示，已知A(1，3)，B(－1，－1)，C(2，1)．求△ABC 的BC 边上的高所在的直线方程．解析 如图，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，k BC ＝1－（－1）2－（－1）＝23，∵AD ⊥BC ，∴k AD ·k BC＝－1，∴k AD ＝－32.故BC 边上的高AD 所在直线斜率为－32，且过点A(1，3)．∴直线方程为y －3＝－32(x －1), 即3x ＋2y －9＝0.18．(本小题满分12分)如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 分别是AD 1，BD 上的点，且AP ＝BQ ，求证：PQ ∥平面DCC 1D 1.证明 连接AQ 并延长交DC 于点E ，连接D 1E ，如图． 在正方体AC 1中，AD 1＝BD ， 又∵AP ＝BQ ，∴PD 1＝DQ. ∵AB ∥CD ，∴AQ QE ＝BQ QD ＝APPD 1，∴PQ ∥D 1E.又∵PQ ⊄平面DCC 1D 1，D 1E ⊂平面DCC 1D 1.∴PQ ∥平面DCC 1D 1.19．(本小题满分12分)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9内有一点P(2，2)，过点P 作直线l 交圆C 于A ，B 两点．(1)当直线l 过圆心C 时，求直线l 的方程； (2)当直线l 的倾斜角为45°时，求弦AB 的长． 解析 由题意得，圆C 的圆心C(1，0)，半径r ＝3. (1)当l 过圆心C 时，k ＝k CP ＝2－02－1＝2.∴l 方程为y －0＝2(x －1)，即2x －y －2＝0. (2)当l 倾斜角为45°时，k ＝1，此时直线方程为：y －2＝x －2，即x －y ＝0. 圆心C 到直线l 的距离d ＝|1－0|2＝22.∴|AB|＝2r 2－d 2＝29－12＝34. 20．(本小题满分12分)直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求a 的值； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围． 解析 (1)若l 在两坐标轴上截距相等，则a ≠－1.①当2－a ＝0，即a ＝2时，直线过原点，横纵截距离均为0，满足题意． ②当2－a ≠0时，将直线方程化为截距式，l ：x 2－a a ＋1＋y2－a＝1.∴2－a a ＋1＝2－a ，即a ＝0. 综上：a ＝0或a ＝2.(2)直线l 过定点(1，－3)，∴l 不经过第二象限，只需k ≥0，即－(a ＋1)≥0，∴a ≤－1.21．(本小题满分12分)如图，在三棱锥A －BCD 中，AB ⊥面BCD ，P 为BD 上一点，AB ＝CD ＝1，BC ＝ 3.(1)当BD等于多少时，面ABC⊥面ACD?(2)在(1)的条件下，若三棱锥D－APC的体积等于39时，求CP的长．解析(1)在平面ABC内过点B作BE⊥AC交AC于点E，若面ABC⊥面ACD，则BE⊥面ACD，又AD⊂面ACD，∴BE⊥AD，∵AB⊥面BCD，CD⊂面BCD，∴AB⊥CD，∵AB⊂面ABC，BE⊂面ABC，AB∩BE＝B，∴DC⊥面ABC.又BC⊂面ABC，∴DC⊥BC，即∠BCD＝90°，∵CD＝1，BC＝3，∴BD＝2.即当BD＝2时，面ABC⊥ACD.(2)由(1)可知∠BCD＝90°，∠BDC＝60°，∴S△PCD＝12DC·DPsin60°＝34DP，∵AB⊥面BCD，∴V D－APC＝V A－DPC＝13AB·S△DPC＝312DP＝39，∴DP＝43，∴在△PCD中，CP2＝DC2＋DP2－2DC·DPcos60°＝139，∴CP＝133.22.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2.以BD的中点O为球心、BD为直径的球面交PD于点M.(1)求证：平面ABM⊥平面PCD；(2)求直线PC与平面ABM所成的角的正切值；(3)求点O到平面ABM的距离．解析(1)证明：∵M点在以BD为直径的圆上，∴BM⊥MD，即BM⊥PD.∵PA ⊥面ABCD ，AB ⊂面ABCD ，∴PA ⊥AB. ∵底面ABCD 为矩形，∴AB ⊥AD.又PA ∩AD ＝A.∴AB ⊥面PAD ，又PD ⊂面PAD ， ∴AB ⊥PD.又∵AB ∩BM ＝B ，∴PD ⊥面ABM ，PD ⊂面PCD. ∴平面ABM ⊥平面PCD.(2)如图，过M 点作MN ∥CD 交PC 于点N ，连接BN. ∵AB ∥CD ，MN ∥CD ， ∴AB ∥MN.∴PC 与平面ABM 的交点为N.由(1)知PD ⊥面ABM ，∴MN 即为PN 在平面ABM 上的射影，∴∠PNM 即为PC 与平面ABM 所成角，且∠PNM ＝∠PCD. ∴tan ∠PNM ＝tan ∠PCD ＝PDDC＝2 2.∴直线PC 与平面ABM 所成角的正切值为2 2.(3)∵O 为BD 的中点，∴O 到平面ABM 的距离为D 到平面ABM 距离的一半，由(1)知，PD ⊥面ABM 于点M ，∴DM 即为点D 到平面ABM 的距离．在Rt △PAD 中，PA ＝AD ＝4.PD ⊥AM.∴M 为PD 中点，∴DM ＝12PD ＝2 2.∴O 到平面ABM 的距离为 2.。
2021-2022学年新教材人教A版高中数学必修第二册全册各章章末综合测验含答案解析
人教A 版必修第二册各章综合测验第六章平面向量及其应用 ............................................................................................... 1 第七章复数 ..................................................................................................................... 14 第八章立体几何初步 ..................................................................................................... 22 第九章统计 ..................................................................................................................... 36 第十章概率 (49)第六章平面向量及其应用(120分钟 150分)一、单选题(每小题5分，共40分)1．在△ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB → ＝( ) A ．2CD → ＋CA → B ．CD → －2CA →C ．2CD → －CA → D ．CD → ＋2CA→ 【解析】选C.在△ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB → ＝CD → ＋DB → ＝CD → ＋AD → ＝CD → ＋(AC → ＋CD → )＝2CD → －CA → .2．已知向量a ＝(1，1)，b ＝(0，2)，且λa ＋μb ＝(2，8)，则λ－μ＝( ) A ．5 B ．－5 C ．1 D ．－1 【解析】选D.因为a ＝(1，1)，b ＝(0，2)， 所以λa ＋μb ＝(λ，λ＋2μ)， 因为λa ＋μb ＝(2，8)，所以(λ，λ＋2μ)＝(2，8)，所以λ＝2，μ＝3， 所以λ－μ＝－1.3．向量a ＝(1，0)，b ＝(2，1)，c ＝(x ，1)，若3a －b 与c 共线，则x ＝( ) A ．1 B ．－3 C ．－2 D ．－1【解析】选D.向量a ＝(1，0)，b ＝(2，1)，c ＝(x ，1)，则3a －b ＝(1，－1)，又3a －b 与c 共线，则1×1－(－1)·x＝0，解得x ＝－1.4．(2021·宁波高一检测)平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2，0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于( )A ． 3B ．2 3C ．4D ．12 【解析】选B.因为a ＝(2，0)，|b |＝1 所以|a |＝2，a·b ＝2×1×cos 60°＝1 所以|a ＋2b |＝a 2＋4a·b ＋4b 2 ＝2 35．在△ABC 中，B ＝45°，C ＝60°，c ＝1，则最短边长为( ) A ．62 B ．63 C ．12 D ．32【解析】选B.A ＝180°－(60°＋45°)＝75°， 故最短边为b ，由正弦定理可得b sin B ＝csin C， 即b ＝c sin B sin C ＝1×sin 45°sin 60° ＝63. 6．如图所示，下列结论正确的是( )①PQ → ＝32 a ＋32 b ；②PT → ＝32 a －b ；③PS → ＝32 a －12 b ；④PR → ＝32a ＋b .A ．①② B．③④ C．①③ D．②④【解析】选C.①根据向量的加法法则，得PQ → ＝32 a ＋32b ，故①正确；②根据向量的减法法则，得PT → ＝32 a －32 b ，故②错误；③PS → ＝PQ → ＋QS → ＝32 a ＋32 b －2b ＝32 a －12 b ，故③正确；④PR → ＝PQ → ＋QR →＝32 a ＋32 b －b ＝32 a ＋ 12b ，故④错误． 7．已知三个力f 1＝(－2，－1)，f 2＝(－3，2)，f 3＝(7，－3)同时作用于某物体上一点，为使该物体保持平衡，需再加上一个力f 4，则f 4＝( ) A ．(－2，－2) B ．(2，－2) C ．(－1，2)D ．(－2，2)【解析】选D.由物理知识，知物体平衡，则所受合力为H ，所以f 1＋f 2＋f 3＋f 4＝0，故f 4＝－(f 1＋f 2＋f 3)＝(－2，2).8．(2021·济宁高一检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若 tan C ＝7 ，cos A ＝528 ，b ＝3 2 ，则△ABC 的面积为( ) A ．37B ．372C ．374D ．378【解析】选B.因为tan C ＝sin C cos C ＝7 且sin 2C ＋cos 2C ＝1，解得sin C ＝144，cos C ＝24 .又cos A ＝528 ，所以sin A ＝1－cos 2A ＝148 ，故sin B ＝sin [π－(A ＋C)]＝sin (A ＋C) ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝378. 因为a sin A ＝b sin B ，b ＝3 2 ，故a ＝b sin A sin B ＝2，S △ABC ＝12 ×ab sin C＝12 ×2×3 2 ×144 ＝372.二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)9．对于任意的平面向量a ，b ，c ，下列说法正确的是( ) A ．若a ∥b 且b ∥c ，则a ∥c B ．(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·cC ．若a ·b ＝a ·c ，且a ≠0，则b ＝cD ．(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )【解析】选BD.a ∥b 且b ∥c ，当b 为零向量时，则a 与c 不一定共线，即A 错误；由向量乘法的分配律可得：(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ，即B 正确； 因为a ·b ＝a ·c ，则a·(b ＋c )＝0， 又a ≠0，则b ＝c 或a ⊥(b ＋c )，即C 错误；向量加法满足结合律，即：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )，即D 正确．10．(2021·青岛高一检测)已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|c |＝1，若a ·b ＝12，则(a －b )·(2b －c )的值可能为( ) A ．－2 B ．3－ 3 C ．0D ．－ 2【解析】选ACD.|a|＝|b|＝|c|＝1，a ·b ＝12 ，则cos θ＝12 ，θ＝60°，所以|b －a|＝a 2＋b 2－2a·b ＝1，则(a －b )·(2b －c )＝2a·b －a·c －2b 2＋b·c ＝1－2＋c·(b －a )＝－1＋cos α，其中α为c 与b －a 的夹角，且α∈[0，π]，因为cos α∈[－1，1]， 所以cos α－1∈[－2，0].11.(2021·南通高一检测)如图，B 是AC 的中点，BE → ＝2OB → ，P 是平行四边形BCDE 内(含边界)的一点，且OP → ＝xOA → ＋yOB → ()x ，y∈R ，则下列结论正确的为( )A ．当x ＝0时，y∈[]2，3B ．当P 是线段CE 的中点时，x ＝－12 ，y ＝52C ．若x ＋y 为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段D ．x －y 的最大值为－1【解析】选BCD.当x ＝0时，OP → ＝yOB → ，则P 在线段BE 上，故1≤y≤3，故A错．当P 是线段CE 的中点时，OP → ＝OE → ＋EP → ＝3OB → ＋12 (EB → ＋BC → )＝3OB→ ＋12 (－2OB → ＋AB →) ＝－12 OA → ＋52OB →，故B 对．x ＋y 为定值1时，A ，B ，P 三点共线，又P 是平行四边形BCDE 内(含边界)的一点，故P 的轨迹是线段，故C 对．如图，过P 作PM∥AO，交OE 于M ，作PN∥OE，交AO 的延长线于N ，则：OP → ＝ON → ＋OM → ；又OP → ＝xOA → ＋yOB → ；所以x≤0，y≤1；由图形看出，当P 与B 重合时，OP →＝0·OA → ＋1·OB → ；此时x 取最大值0，y 取最小值1；所以x －y 取最大值－1，故D 正确． 12．(2021·怀化高一检测)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，cos 2A－cos2B－cos2C＝cosA cos B＋cos C－cos 2B且c＝ 3 ，则下列结论中正确的是( )A．C＝π3B．C＝2π3C．△ABC面积的最大值为3 4D．△ABC面积的最大值为33 4【解析】选BC.因为cos2A－cos2B－cos2C＝cosAcos B＋cos C－cos 2B，所以(1－sin2A)－(1－sin2B)－(1－sin2C)＝cosA cos B－cos (A＋B)－(1－2sin2B)，所以sinA sin B＋sin2B＋sin2A－sin2C＝0，由正弦定理可得ab＋b2＋a2－c2＝0，可得cosC＝－12，可得C＝2π3，故A错误；B正确；又c＝ 3 ，可得3＝a2＋b2＋ab≥2ab＋ab，解得ab≤1，当且仅当a＝b＝1时取等号，所以S△ABC ＝12ab sin C≤12×1×32＝34，故C正确；D错误．三、填空题(每小题5分，共20分)13．已知a＝(2，－2)，b＝(x，2)，若a·b＝6，则x＝____________．【解析】因为a＝(2，－2)，b＝(x，2)，所以a·b＝2x－4，又因为a·b＝6，所以2x－4＝6，解得x＝5.答案：514．在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边．若2a sin B ＝ 3 b ，b ＋c ＝5，bc ＝6，则a ＝__________． 【解析】因为2a sin B ＝ 3 b ， 所以2sin A sin B ＝ 3 sin B. 所以sin A ＝32， 因为△ABC 为锐角三角形， 所以cos A ＝12 ，因为bc ＝6，b ＋c ＝5， 所以b ＝2，c ＝3或b ＝3，c ＝2.所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝22＋32－2×6×12 ＝7，所以a ＝7 .答案：715．在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD＝60°，E 为CD 的中点．若AD → ·EB → ＝2，则AB → 的模为__________．【解析】因为在平行四边形ABCD 中，EB → ＝EC → ＋CB → ＝12 DC → －BC → ，又DC → ＝AB → ，BC → ＝AD → ， 所以EB → ＝12AB → －AD → ，所以AD → ·EB → ＝AD → ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →－AD → ＝12 AB → ·AD → －AD → 2＝12 |AB → ||AD→ |cos 60°－|AD → |2＝14 |AB → |－1＝2，所以|AB → |＝12. 答案：1216．(2021·天津高一检测)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若m ＝()b －c ，a －b ，n ＝()sin C ，sin A ＋sin B ，且m ⊥n ，则A ＝________；若△ABC 的面积为2 3 ，则△ABC 的周长的最小值为____________．【解析】由条件可知m ·n ＝()b －c sin C ＋()a －b ()sin A ＋sin B ＝0， 由正弦定理可得()b －c c ＋()a －b ()a ＋b ＝0， 所以bc －c 2＋a 2－b 2＝0即bc ＝b 2＋c 2－a 2， cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12 ，因为0<A<π，所以A ＝π3； S ＝12 bc sin A ＝34 bc ＝2 3 ，解得bc ＝8， a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝b 2＋c 2－bc≥2bc－bc ＝8即a≥2 2 ，当b ＝c ＝2 2 时，等号成立，b ＋c≥2bc ＝4 2 ，当b ＝c 时等号成立， 所以a ＋b ＋c≥2 2 ＋4 2 ＝6 2 ， 当b ＝c 时，a ＋b ＋c 时取得最小值6 2 . 答案：π3 6 2四、解答题(共70分)17．(10分)在平面直角坐标系中，已知A(1，0)，B(0，1)，C(2，5)，求： (1)2AB → ＋AC → 的模；(2)cos ∠BAC. 【解析】(1)如图，AB →＝(－1，1)，AC → ＝(1，5)，故2AB → ＋AC → ＝(－2，2)＋(1，5)＝(－1，7)， 故|2AB → ＋AC → |＝ （－1）2＋72＝5 2 ； (2)cos ∠BAC＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝（－1，1）·（1，5）1＋1 1＋52＝－1＋5 2×26＝2 1313. 18．(12分)如图所示，梯形ABCD 中，AB∥CD，且AB ＝2CD ，M ，N 分别是DC 和AB 的中点，若AB → ＝a ，AD → ＝b ，试用a ，b 表示DC → ，BC → ，MN →.【解析】由题意知四边形ANCD 是平行四边形． 则DC → ＝AN →＝12 AB → ＝12a ，BC →＝NC → －NB → ＝AD → －12 AB → ＝b －12 a ，MN → ＝CN → －CM → ＝－AD →－12 CD →＝－AD → －12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12AB →＝14a －b .19．(12分)如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求sin α的值．【解析】(1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos ∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784，解得BC＝28.所以渔船甲的速度为BC2＝14(海里/时).(2)在△ABC中，AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，由正弦定理，得ABsin α＝BCsin 120°，所以sin α＝AB sin 120°BC＝12×3228＝3314.20．(12分)(2020·新高考全国Ⅰ卷)在①ac＝ 3 ，②c sin A＝3，③c＝ 3 b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A＝ 3sin B，C＝π6，________？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】选条件①ac＝ 3 .在△ABC中，sin A＝ 3 sin B，即b＝33a，ac＝ 3 ，所以c＝3a，cos C＝a2＋b2－c22ab＝a2＋a23－3a223a23＝32，所以a＝ 3 ，b＝1，c＝1. 选条件②c sin A＝3.在△ABC中，c sin A＝a sin C＝a sin π6＝3，所以a＝6.因为sin A＝ 3 sin B，即a＝ 3 b，所以b＝2 3 ，cos C＝a2＋b2－c22ab＝36＋12－c22×6×23＝32，所以c＝2 3 ，选条件③c＝ 3 b.由sin A＝ 3 sin B可得a＝ 3 b，又c＝ 3 b，所以cos C＝a2＋b2－c22ab＝36≠cosπ6，与已知条件C＝π6相矛盾，所以问题中的三角形不存在．21．(12分)设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足a2＋c2－b2＝ 3 ac.(1)求角B的大小；(2)若2b cos A＝ 3 (c cos A＋a cos C)，BC边上的中线AM的长为7 ，求△ABC【解析】(1)由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32 ，因为B 是三角形的内角，所以B ＝π6. (2)由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝csin C ，代入2b cos A ＝ 3 (c cos A ＋a cos C)，可得2sin B cos A ＝ 3 (sin C cos A ＋sin A cos C)， 即2sin B cos A ＝ 3 sin B ， 因为sin B≠0，所以cos A ＝32， 所以A ＝π6， 于是C ＝π－A －B ＝2π3.设AC ＝m ，则BC ＝m ，AB ＝ 3 m ，CM ＝12m ，由余弦定理可知AM 2＝CM 2＋AC 2－2CM·AC·cos 2π3，即(7 )2＝14 m 2＋m 2－2·12 m·m·(－12 )＝74m 2，解得m ＝2. 于是S △ABC ＝12 CA·CB sin 2π3 ＝12 ×2×2×32＝ 3 .22．(12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sinA ＋C2＝(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围． 【解析】(1)由题设及正弦定理得sin A sinA ＋C2＝sin B sin A. 因为sin A≠0，所以sinA ＋C2＝sin B. 由A ＋B ＋C ＝180°，可得sin A ＋C 2 ＝cos B2， 故cos B 2 ＝2sin B 2 cos B2.因为cos B 2 ≠0，故sin B 2 ＝12 ，因此B ＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝12 ac sin B ＝34 a. 由正弦定理得a ＝c sin A sin C ＝sin （120°－C ）sin C ＝32tan C ＋12. 由于△ABC 为锐角三角形， 故0°<A<90°，0°<C<90°， 由(1)知A ＋C ＝120°，所以30°<C<90°，tan C ＞33 ，故12 <a<2，从而38 <S △ABC <32. 因此，△ABC 面积的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫38，32 .第七章复数(120分钟 150分)一、单选题(每小题5分，共40分) 1．i 是虚数单位，则i1＋i的虚部是( ) A ．12 iB ．－12 iC ．12D ．－12【解析】选C.i 1＋i ＝i （1－i ）（1＋i ）（1－i ） ＝1＋i 2 ＝12 ＋12i. 2．若(x －i)i ＝y ＋2i ，x ，y∈R ，则复数x ＋yi ＝( ) A ．－2＋i B ．1－2i C ．2＋iD ．1＋2i【解析】选C.(x －i)i ＝y ＋2i 即xi ＋1＝y ＋2i ，故y ＝1，x ＝2， 所以复数x ＋yi ＝2＋i.3．设z 1＝－3＋4i ，z 2＝2－3i ，其中i 为虚数单位，则z 1＋z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【解析】选B.因为z 1＝－3＋4i ，z 2＝2－3i ， 所以z 1＋z 2＝－3＋4i ＋2－3i ＝－1＋i ，所以z 1＋z 2在复平面内对应的点为(－1，1)，位于第二象限．4．(2021·舟山高一检测)已知z1＋i＝2＋i ，则复数z ＝( )A ．1＋3iB ．1－3iC ．3＋iD ．3－i【解析】选B.由题意，复数z1＋i＝2＋i ，可得z ＝(2＋i)(1＋i)＝1＋3i ，所以z ＝1－3i.5．如图，在复平面内，向量OP → 对应的复数是1－i ，将OP → 向左平移一个单位后得到00O P ，则P 0对应的复数为( )A.1－iB ．1－2iC ．－1－iD ．－i【解析】选 D.要求P 0对应的复数，根据题意，只需知道0OP ，而0000OP OO O P ＝＋，从而可求P 0对应的复数．因为00O P ＝OP → ，0OO 对应的复数是－1，所以P 0对应的复数，即0OP 对应的复数是－1＋(1－i)＝－i.6．已知a ，b∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋bi 互为共轭复数，则(a ＋bi)2＝( ) A ．5－4i B ．5＋4i C ．3－4iD ．3＋4i【解析】选D.由a －i 与2＋bi 互为共轭复数，可得a ＝2，b ＝1.所以(a ＋bi)2＝(2＋i)2＝4＋4i －1＝3＋4i.7．如果一个复数和它的模的和为5＋ 3 i ，那么这个复数是( ) A ．115B ． 3 iC ．115 ＋ 3 iD ．115＋2 3 i【解析】选C.设这个复数为a ＋bi(a ，b∈R ). 由题意得a ＋bi ＋a 2＋b 2 ＝5＋ 3 i ，即a ＋a 2＋b 2 ＋bi ＝5＋ 3 i ，由复数相等可得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋a 2＋b 2＝5，b ＝3， 解得⎩⎨⎧a ＝115，b ＝3，所以复数为115＋ 3 i.8．设复数z ＝cos x ＋isin x ，则函数f(x)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪z ＋1z 的部分图象可能是( )【解析】选A.f(x)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos x ＋isin x ＋1cos x ＋isin x ＝2|cos x|，所以f(x)的图象为A.二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分) 9．已知复数z ＝21－i，则下列结论正确的是( ) A ．z 的虚部为iB ．|z|2＝2C ．z 2为纯虚数D ．z ＝－1＋i【解析】选BC.因为复数z ＝21－i ＝2（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝1＋i ，则z 的虚部为1，A 不正确．|z|2＝2，B 正确．z 2＝(1＋i)2＝2i 为纯虚数，C 正确．z ＝1－i ，D 不正确．10．已知i 为虚数单位，复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝2－i ，且|z 1|＝|z 2|，则实数a 的值不能为( )A ．1B ．－1C ． 2D ．－ 2【解析】选CD.因为复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝2－i ，且|z 1|＝|z 2|，所以a 2＋4＝4＋1，解得a ＝±1.11．已知z 1与z 2是共轭虚数，有下列4个命题，其中一定正确的有( ) A ．z 21 <|z 2|2B ．z 1z 2＝|z 1z 2|C ．z 1＋z 2∈RD ．z 1z 2∈R 【解析】选BC.z 1与z 2是共轭虚数，设z 1＝a ＋bi ，z 2＝a －bi(a ，b∈R ，b≠0). A ．z 21 ＝a 2－b 2＋2abi ，|z 2|2＝a 2＋b 2，虚数不能比较大小，因此不正确； B ．z 1z 2＝|z 1z 2|＝a 2＋b 2，正确； C ．z 1＋z 2＝2a∈R ，正确；D ．z 1z 2 ＝a ＋bi a －bi ＝（a ＋bi ）2（a －bi ）（a ＋bi ） ＝a 2－b 2a 2＋b 2 ＋2ab a 2＋b 2 i 不一定是实数，因此不一定正确．12．设i 为虚数单位，复数z ＝(a ＋i)(1＋2i)，则下列命题正确的是( ) A ．若z 为纯虚数，则实数a 的值为2B ．若z 在复平面内对应的点在第三象限，则实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2C ．实数a ＝－12 是z ＝z (z 为z 的共轭复数)的充要条件D ．若z ＋|z|＝x ＋5i(x∈R )，则实数a 的值为2 【解析】选ACD ．z ＝(a ＋i)(1＋2i)＝a －2＋(1＋2a)i ， 所以选项A ：z 为纯虚数，有⎩⎨⎧a －2＝0，1＋2a≠0可得a ＝2，故正确；选项B ：z 在复平面内对应的点在第三象限，有⎩⎨⎧a －2<0，1＋2a<0 解得a<－12 ，故错误；选项C ：a ＝－12 时z ＝z ＝－52 ；z ＝z 时1＋2a ＝0即a ＝－12 ，它们互为充要条件，故正确；选项D ：z ＋|z|＝x ＋5i(x∈R )时，有1＋2a ＝5即a ＝2，故正确． 三、填空题(每小题5分，共20分)13．i 是虚数单位，复数6＋7i1＋2i＝________． 【解析】6＋7i 1＋2i ＝（6＋7i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ） ＝（6＋14）－5i 12－（2i ）2 ＝20－5i5 ＝4－i.答案：4－i 14．若1＋ai1－i＝2－i(其中i 是虚数单位)，则实数a ＝________. 【解析】因为1＋ai1－i＝2－i ，所以1＋ai ＝(1－i)(2－i)＝1－3i ，所以a ＝－3. 答案：－315．已知复数z ＝(2a ＋i)(1－bi)的实部为2，其中a ，b 为正实数，则4a ＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 1－b 的最小值为________． 【解析】因为复数z ＝(2a ＋i)(1－bi)＝2a ＋b ＋(1－2ab)i 的实部为2，其中a ，b 为正实数，所以2a ＋b ＝2，所以4a＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12 1－b ＝22a ＋2b －1≥222a ·2b －1 ＝222a ＋b －1 ＝2 2 .当且仅当a ＝14 ，b ＝32 时取等号．答案：2 216．已知2＋i ，2－i 是实系数一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0在复数范围内的两个根，则p ＝________，q ＝________．【解析】由题意得(2＋i)＋(2－i)＝－p ，(2＋i)(2－i)＝q ，所以p ＝－4，q ＝5.答案：－4 5 四、解答题(共70分)17．(10分)计算：(1)（2＋i ）（1－i ）21－2i；(2)4＋5i（5－4i ）（1－i ）. 【解析】(1)（2＋i ）（1－i ）21－2i ＝（2＋i ）（－2i ）1－2i＝2（1－2i ）1－2i＝2.(2)4＋5i （5－4i ）（1－i ） ＝（5－4i ）i （5－4i ）（1－i ） ＝i1－i ＝i （1＋i ）（1－i ）（1＋i ） ＝i －12 ＝－12 ＋12i. 18．(12分)设复数z ＝(a 2＋a －2)＋(a 2－7a ＋6)i ，其中a∈R ，当a 取何值时，(1)z∈R ；(2)z 是纯虚数；(3)z 是零． 【解析】(1)z∈R ，只需a 2－7a ＋6＝0， 所以a ＝1或a ＝6.(2)z 是纯虚数，只需⎩⎨⎧a 2＋a －2＝0，a 2－7a ＋6≠0，所以a ＝－2.(3)因为z ＝0，所以⎩⎨⎧a 2＋a －2＝0，a 2－7a ＋6＝0，所以a ＝1.19．(12分)已知z 1＝m 2＋1m ＋1 i ，z 2＝(2m －3)＋12i ，m∈R ，i 为虚数单位，且z 1＋z 2是纯虚数． (1)求实数m 的值； (2)求z 1·z 2的值．【解析】(1)z 1＋z 2＝(m 2＋2m －3)＋(1m ＋1 ＋12)i ，因为z 1＋z 2是纯虚数所以⎩⎨⎧m 2＋2m －3＝01m ＋1＋12≠0解得m ＝1.(2)由(1)知z 1＝1＋12 i ，z 2＝－1＋12 i ，所以z 2＝－1－12i ，所以z 1·z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12i ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－12i＝－1－12 i －12 i ＋14 ＝－34－i.20．(12分)已知复数z 1＝m ＋(m 2－2m)i ，z 2＝1＋(－m 2＋3m －1)i ，其中x∈R . (1)若复数z 1为实数，求m 的值； (2)求|z 1＋z 2|的最小值．【解析】(1)由复数z 1为实数，则m 2－2m ＝0，解得m ＝2或m ＝0. (2)因为z 1＋z 2＝(m ＋1)＋(m －1)i ， 所以|z 1＋z 2|＝（m ＋1）2＋（m －1）2 ＝2m 2＋2 ，当m ＝0时，故|z 1＋z 2|的最小值为 2 . 21．(12分)已知x 2－(3－2i)x －6i ＝0. (1)若x∈R ，求x 的值； (2)若x∈C ，求x 的值． 【解析】(1)x∈R 时，由方程得(x 2－3x)＋(2x －6)i ＝0. 则⎩⎨⎧x 2－3x ＝0，2x －6＝0， 得x ＝3. (2)x∈C 时，设x ＝a ＋bi(a ，b∈R )，代入方程整理，得(a 2－b 2－3a －2b)＋(2ab －3b ＋2a －6)i ＝0.则⎩⎨⎧a 2－b 2－3a －2b ＝0，2ab －3b ＋2a －6＝0， 得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝－2 或⎩⎨⎧a ＝3，b ＝0.故x ＝3或x ＝－2i.22．(12分)若z∈C ，4z ＋2z ＝3 3 ＋i ，ω＝sin θ－icos θ(θ为实数)，i 为虚数单位． (1)求复数z ；(2)求|z －ω|的取值范围．【解析】(1)设z ＝a ＋bi(a ，b∈R )，则z ＝a －bi ， 所以4(a ＋bi)＋2(a －bi)＝3 3 ＋i ， 即6a ＋2bi ＝3 3 ＋i ，所以⎩⎨⎧6a ＝33，2b ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝12，所以z ＝32 ＋12i. (2)|z －ω|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪32＋12i －（sin θ－icos θ）＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫32－sin θ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋cos θi＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－sin θ2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋cos θ2＝2－3sin θ＋cos θ ＝2－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6 .因为－1≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6 ≤1，所以0≤2－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6 ≤4，所以0≤|z－ω|≤2，故|z －ω|的取值范围是[0，2].第八章立体几何初步(120分钟 150分)一、单选题(每小题5分，共40分)1．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱的中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的几何体的体积是( ) A ．23 B ．76 C ．45 D ．56【解析】选D.棱长为1的正方体的体积为1，8个三棱锥的体积为8×13 ×12 ×12×12 ×12 ＝16 ，所以剩下的几何体的体积为1－16 ＝56. 2．如图，α∩β＝l ，A ，B∈α，C∈β，C ∉l ，直线AB∩l＝M ，过A ，B ，C 三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过( )A ．点AB ．点BC ．点C 但不通过点MD ．点C 和点M【解析】选D.通过A ，B ，C 三点的平面γ，即通过直线AB 与点C 的平面，因为M∈AB，所以M∈γ，而C∈γ，又M∈β，C∈β，所以γ和β的交线必通过点C 和点M.3．已知水平放置的△ABC，按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC 的面积是( )A. 3 B ．2 2 C ．32 D ．34【解析】选A.由斜二测画法的原则可得，BC＝B′C′＝2，AO＝2A′O′＝2×3 2＝ 3 ，由图易得AO⊥BC，所以S△ABC ＝12×2× 3 ＝ 3 .4．如图所示的粮仓可近似为一个圆锥和圆台的组合体，且圆锥的底面圆与圆台的较大底面圆重合．已知圆台的较小底面圆的半径为1，圆锥与圆台的高分别为5 －1和3，则此组合体的外接球的表面积是( )A．16π B．20π C．24π D．28π【解析】选B.设外接球半径为R，球心为O，圆台较小底面圆的圆心为O1，则：OO21＋12＝R2，而OO1＝ 5 ＋2－R，故R2＝1＋( 5 ＋2－R)2，所以R＝ 5 ，所以S＝4πR2＝20π.5．如图所示，正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，将此正方形沿EF 折成直二面角后，异面直线AF与BE所成角的余弦值为( )A.22B． 3 C．12D．32【解析】选C.过点F作FH∥DC，交BC于H，过点A作AG⊥EF，交EF于G，连接GH，AH，则∠AFH为异面直线AF与BE所成的角．设正方形ABCD的边长为2，在△AGH中，AH＝52＋24＝ 3 ，在△AFH中，AF＝1，FH＝2，AH＝ 3 ，所以cos ∠AFH＝12 .6．用m，n表示两条不同的直线，α表示平面，则下列命题正确的是( ) A．若m∥n，n⊂α，则m∥αB．若m∥α，n⊂α，则m∥nC．若m⊥n，n⊂α，则m⊥αD．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n【解析】选D.若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，故排除A；若m∥α，n⊂α，则m∥n或m，n异面，故排除B；若m⊥n，n⊂α，则不能得出m⊥α，例如，m⊥n，n⊂α，m⊂α，则m与α不垂直，故排除C.7．在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【解析】选B.作AE⊥BD，交BD于E，因为平面ABD⊥平面BCD，所以AE⊥面BCD，BC⊂面BCD.所以AE⊥BC，而DA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以DA⊥BC，又因为AE∩AD＝A，所以BC⊥面ABD，而AB⊂面ABD，所以BC⊥AB即△ABC为直角三角形．8．如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝ 2 ，BD⊥CD.将四边形ABCD 沿对角线BD折成四面体A′BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是( )A.A′C⊥BDB．∠BA′C＝90°C．CA′与平面A′BD所成的角为30°D．四面体A′BCD的体积为1 3【解析】选B.若A成立可得BD⊥A′D，产生矛盾，故A不正确；由题设知：△BA′D为等腰Rt△，CD⊥平面A′BD，得BA′⊥平面A′CD，于是B正确；由CA′与平面A′BD所成的角为∠CA′D＝45°知C不正确；VA′BCD ＝VCA′BD＝16，D不正确．二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)9．等腰直角三角形直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积不可能是( )A． 2 π B．(1＋ 2 )πC．2 2 π D．(2＋ 2 π)【解析】选CD.若绕一条直角边旋转一周时，则圆锥的底面半径为1，高为1，所以母线长l＝ 2 ，这时表面积为12×2π·1·l＋π·12＝(1＋ 2 )π；若绕斜边旋转一周时，旋转体为两个倒立圆锥对底组合在一起，且由题意底面半径为2 2，两个圆锥的母线长都为1，所以表面积S＝2×12×2π·22×1＝ 2 π，综上所述该几何体的表面积为 2 π或(1＋ 2 )π.故选项CD符合题意．10.如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则下列说法正确的是( )A．A1M∥D1PB．A1M∥B1QC．A1M∥平面DCC1D1D．A1M∥平面D1PQB1【解析】选ACD.连接PM，因为M、P为AB、CD的中点，故PM平行且等于AD.由题意知AD平行且等于A1D1，故PM平行且等于A1D1，所以PMA1D1为平行四边形，所以A1M∥D1P.故A正确；显然A1M与B1Q为异面直线，故B错误；由A知A1M∥D1P，由于D1P既在平面DCC1D1内，又在平面D1PQB1内，且A1M即不在平面DCC1D1内，又不在平面D1PQB1内，故C，D正确．11．正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点．则( )A.直线D1D与直线AF垂直B．直线A1G与平面AEF平行C．平面AEF截正方体所得的截面面积为9 8D．点C与点G到平面AEF的距离相等【解析】选BC.取DD1中点M，则AM为AF在平面AA1D1D上的射影，因为AM与DD1不垂直，所以AF与DD1不垂直，故A选项错误；因为A1G∥D1F，A1G⊄平面AEFD1，所以A1G∥平面AEFD1，故B选项正确；平面AEF截正方体所得截面为等腰梯形AEFD1，易知梯形面积为98，故C选项正确；假设C与G到平面AEF的距离相等，即平面AEF将CG平分，则平面AEF必过CG中点，连接CG交EF于H，而H不是CG中点，则假设不成立．故D选项错误．12．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法正确的是( )A.在棱AD上存在点M，使AD⊥平面PMBB．异面直线AD与PB所成的角为90°C．二面角PBCA的大小为45°D．BD⊥平面PAC【解析】选ABC.如图所示，A.取AD的中点M，连接PM，BM，连接对角线AC，BD 相交于点O.因为侧面PAD为正三角形，所以PM⊥AD.又底面ABCD为菱形，∠DAB＝60°，所以△ABD 是等边三角形． 所以AD⊥BM.又PM∩BM＝M. 所以AD⊥平面PMB ，因此A 正确． B ．由A 可得：AD⊥平面PMB ，所以AD⊥PB，所以异面直线AD 与PB 所成的角为90°，正确． C ．因为平面PBC∩平面ABCD ＝BC ，BC∥AD， 所以BC⊥平面PBM ，所以BC⊥PB，BC⊥BM. 所以∠PBM 是二面角PBCA 的平面角， 设AB ＝1，则BM ＝32 ＝PM ，在Rt△PBM 中，tan ∠PBM＝PMBM＝1， 所以∠PBM＝45°，因此正确． D ．因为BD 与PA 不垂直，所以BD 与平面PAC 不垂直，因此D 错误． 三、填空题(每小题5分，共20分)13．在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，点P 是棱CC 1上一点，记三棱柱ABC A 1B 1C 1与四棱锥PABB 1A 1的体积分别为V 1与V 2，则V 2V 1＝________．【解析】设AB ＝a ，在△ABC 中AB 边所对的高为b ，三棱柱ABC A 1B 1C 1的高为h ， 则V 1＝12 abh ，V 2＝13 ×ah·b，所以V 2V 1 ＝13abh 12abh ＝23.答案：2314．如图(1)所示，一个装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为 1 cm 和半径为3 cm 的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图(2)水平放置时，液面高度为20 cm ；当这个几何体如图(3)水平放置时，液面高度为28 cm ，则这个简单几何体的总高度为________cm.【解析】设上、下圆柱的半径分别是r cm ，R cm ，高分别是h cm ，H cm.由水的体积不变得πR 2H ＋πr 2(20－H)＝πr 2h ＋πR 2(28－h)，又r ＝1，R ＝3，故H ＋h ＝29.即这个简单几何体的总高度为29 cm. 答案：2915．如图所示，ABCDA 1B 1C 1D 1是长方体，AA 1＝a ，∠BAB 1＝∠B 1A 1C 1＝30°，则AB 与A 1C 1所成的角为________，AA 1与B 1C 所成的角为________．【解析】长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，∠BAB 1＝∠B 1A 1C 1＝30°，因为AB∥A 1B 1，A 1B 1与A 1C 1所成的角，就是AB 与A 1C 1所成的角， 所以AB 与A 1C 1所成的角为30°，因为AA 1∥BB 1，BB 1与B 1C 所成的角就是AA 1与B 1C 所成的角，连接AC ，则AC∥A 1C 1， 所以∠BAC＝30°，因为AA 1＝a ，∠BAB 1＝30°，所以AB ＝ 3 a ，所以BC ＝a ，所以∠BB 1C ＝45°， 所以AA 1与B 1C 所成的角为45°. 答案：30° 45°16．在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是AB，A1B1的中点，P在AD上，若平面CMN⊥平面A1BP，则ADAP＝________．【解析】因为M，N分别是AB，A1B1的中点，所以AA1∥MN.根据正方体的性质可得MN⊥面ABCD，即可得MN⊥PB.当P为AD中点时，CM⊥PB，又CM∩MN＝M.所以PB⊥面NMC，即可得平面CMN⊥平面A1BP.则ADAP＝2.答案：2四、解答题(共70分)17．(10分)某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图所示，墩的上半部分是正四棱锥PEFGH，下半部分是长方体ABCDEFGH.长方体的长、宽、高分别是40 cm、40 cm、20 cm，正四棱锥PEFGH的高为60 cm.(1)求该安全标识墩的体积；(2)求该安全标识墩的侧面积．【解析】(1)该安全标识墩的体积V＝VPEFGH ＋VABCDEFGH＝13×402×60＋402×20＝64000 cm3.(2)如图，连接EG，HF交于点O，连接PO，结合图象可知OP＝60 cm，OG＝12EG＝20 2 cm，可得PG＝602＋（202）2＝2011 cm.于是四棱锥PEFGH的侧面积S1＝4×12×40×（2011）2－202＝1 60010 cm2，四棱柱EFGHABCD的侧面积S2＝4×40×20＝3 200 cm2，故该安全标识墩的侧面积S＝S1＋S2＝1 600(10 ＋2) cm2.18．(12分)如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝ 2 ，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，O为AD中点．(1)求证：PO⊥平面ABCD；(2)求这个四棱锥的体积．【解析】(1)在△PAD中PA＝PD，O为AD中点，所以PO⊥AD.又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD，所以PO⊥平面ABCD.(2)因为PA＝PD＝ 2 ，AO＝1，所以PO＝AP2－AO2＝2－1 ＝1所以V＝13×PO×S四边形ABCD＝13×1×⎝⎛⎭⎪⎫1＋22×1＝12.19．(12分)如图所示，在四棱锥PABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA⊥PD，底面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD＝90°，AD＝3BC，O是AD上一点．(1)若CD∥平面PBO，试指出点O的位置；(2)求证：平面PAB⊥平面PCD.【解析】(1)因为CD∥平面PBO，CD⊂平面ABCD，且平面ABCD∩平面PBO＝BO，所以BO∥CD.又BC∥AD，所以四边形BCDO为平行四边形，则BC＝DO，而AD＝3BC，所以AD＝3OD，即点O是靠近点D的线段AD的一个三等分点．(2)因为侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂底面ABCD，且AB⊥AD，所以AB⊥平面PAD.又PD⊂平面PAD，所以AB⊥PD.又PA⊥PD，AB∩PA＝A，AB，PA⊂平面PAB，所以PD⊥平面PAB.又PD⊂平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD.20．(12分)如图，三棱柱ABCA1B1C1的侧面BCC1B1是平行四边形，BC1⊥C1C，平面A1C1CA⊥平面BCC1B1，且P，E，F分别是AB，BC，A1B1的中点．(1)求证：BC1⊥平面A1C1CA；(2)求证：平面EFP⊥平面BCC1B1 .【证明】(1)因为平面A1C1CA⊥平面BCC1B1，平面A1C1C A∩平面BCC1B1＝CC1，BC1⊥C1C，所以BC1⊥平面A1C1CA.(2)因为P，E，F分别是AB，BC，A1B1的中点．所以PF∥AA1，PE∥AC，因为PF∩PE＝P，AA1∩AC＝A，所以平面EFP∥平面A1C1 CA，因为平面A1C1CA⊥平面BCC1B1，所以平面EFP⊥平面BCC1B1 .21．(12分)如图①，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝π2，AB＝BC＝12AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到图②中△A1BE的位置，得到四棱锥A1BCDE.(1)证明：CD⊥平面A1OC；(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1BCDE的体积为36 2 ，求a的值．【解析】(1)在图①中因为AB＝BC＝12AD＝a，E是AD的中点，∠BAD＝π2，所以BE⊥AC.即在图②中，BE⊥A1O，BE⊥OC，又A1O∩OC＝O，从而BE⊥平面A1OC.因为BC＝12AD＝ED，所以四边形BCDE为平行四边形，所以CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC.(2)由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，且平面A1BE∩平面BCDE＝BE，又由(1)可得A1O⊥BE，所以A1O⊥平面BCDE.即A1O是四棱锥A1BCDE的高．由图①知，A1O＝22AB＝22a，平行四边形BCDE的面积S＝BC·AB＝a2，从而四棱锥A1BCDE的体积为V＝13S·A1O＝13×a2×22a＝26a3.由26a3＝36 2 ，得a＝6.22．(12分)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝π3，△PAD是等边三角形，F为AD的中点，PD⊥BF.(1)求证：AD⊥PB；(2)若E在线段BC上，且EC＝14BC，能否在棱PC上找到一点G，使平面DEG⊥平面ABCD？若存在，求出三棱锥DCEG的体积；若不存在，请说明理由．【解析】(1)连接PF，因为△PAD是等边三角形，所以PF⊥AD.因为底面ABCD是菱形，∠BAD＝π3，所以BF⊥AD.又PF∩BF＝F，所以AD⊥平面BFP，又PB⊂平面BFP，所以AD⊥PB.(2)能在棱PC 上找到一点G ，使平面DEG⊥平面ABCD. 由(1)知AD⊥BF，因为PD⊥BF，AD∩PD＝D ， 所以BF⊥平面PAD. 又BF ⊂平面ABCD ， 所以平面ABCD⊥平面PAD ，又平面ABCD∩平面PAD ＝AD ，且PF⊥AD， 所以PF⊥平面ABCD.连接CF 交DE 于点H ，过H 作HG∥PF 交PC 于G ，所以GH⊥平面ABCD. 又GH ⊂平面DEG ， 所以平面DEG⊥平面ABCD. 因为AD ∥BC，所以△DFH∽△ECH， 所以CH HF ＝CE DF ＝12 ，所以CG GP ＝CH HF ＝12 ，所以GH ＝13 PF ＝33 ，所以V DCEG ＝V GCDE ＝13 S △CDE ·GH＝13 ×12 DC·CE·sin π3 ·GH＝112.第九章统计(120分钟150分)一、单选题(每小题5分，共40分)1．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n＝( ) A．9 B．10 C．12 D．13【解析】选D.n＝3＋120×360＋80×360＝13.2．某校有住宿的男生400人，住宿的女生600人，为了解住宿生每天运动时间，通过分层随机抽样的方法抽到100名学生，其中男生、女生每天运动时间的平均值分别为100分钟、80分钟．结合此数据，请你估计该校全体住宿学生每天运动时间的平均值为( )A．98分钟 B．90分钟 C．88分钟 D．85分钟【解析】选 C.由分层抽样的性质可得抽取男生100×400400＋600＝40人，女生100×600400＋600＝60人，则样本中学生每天运动时间的平均值x＝40×100＋60×80100＝88(分钟)，故可估计该校全体住宿学生每天运动时间的平均值为88分钟．3．若样本1＋x1，1＋x2，1＋x3，…，1＋xn的平均数是10，方差为2，则对于样本2＋2x1，2＋2x2，2＋2x3，…，2＋2xn，下列结论正确的是( )A．平均数为20，方差为4 B．平均数为11，方差为4 C．平均数为21，方差为8 D．平均数为20，方差为8【解析】选D.样本1＋x1，1＋x2，1＋x3，…，1＋xn的平均数是10，方差为2，所以样本2＋2x1，2＋2x2，2＋2x3，…，2＋2xn的平均数为2×10＝20，方差为22×2＝8.4．某工厂12名工人的保底月薪如下表所示，第80百分位是( )工人保底月薪工人保底月薪1 2 890 7 2 8502 2 860 83 1303 3 050 9 2 8804 2 940 10 3 3255 2 755 11 2 9206 2 710 12 2 950A.3 050 B．2 950 C．3 130 D．3 325【解析】选A.把这组数据从小到大排序：2 710，2 755，2 850，2 860，2 880，2 890，2 920，2 940，2 950，3 050，3 130，3 325，所以i＝n×p%＝12×80%＝9.6，所以第80百分位是3 050.5．某市在“一带一路”国际合作高峰论坛前夕，在全市高中学生中进行“我和‘一带一路’”的学习征文，收到的稿件经分类统计，得到如图所示的扇形统计图．又已知全市高一年级共交稿2000份，则高三年级的交稿数为( )A.2 800 B．3 000 C．3 200 D．3 400【解析】选D.高一年级交稿2 000份，在总交稿数中占比80360＝29，所以总交稿数为2 000÷29＝9 000，高二年级交稿数占总交稿数的144360＝25，所以高三年级交稿数占总交稿数的1－2 9－25＝1745，所以高三年级交稿数为9 000×1745＝3 400.6．一般来说，一个班级的学生学号是从1开始的连续正整数，在一次课上，老师随机叫起班上8名学生，记录下他们的学号是：3，21，17，19，36，8，32，24，则该班学生总数最可能为( )A.39人B．49人C.59人D．超过59人【解析】选A.因为随机抽样中，每个个体被抽到的机会都是均等的，所以1～10，11～20，21～30，31～40，…，每组抽取的人数，理论上应均等；又所抽取的学生的学号按从小到大顺序排列为3，8，17，19，21，24，32，36，恰好使1～10，11～20，21～30，31～40四组中各有两个，因此该班学生总数应为40左右．7．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20，25)上为一等品，在区间[10，15)和[25，30)为二等品，在区间[10，15)和[30，35)为三等品．用频率估计概率，现从这批产品中随机抽取1件，则其为三等品的概率是( )A.0.03 B．0.05C.0.15 D．0.25【解析】选D.在区间[10，15)和[30，35)为三等品，由频率分布直方图得在区间[10，15)和[30，35)的频率为(0.02＋0.03)×5＝0.25，所以从这批产品中随机抽取1件，其为三等品的概率是0.25.8．“一世”又叫“一代”．东汉·王充《论衡·宜汉篇》：“且孔子所谓一世，三十年也”，清代·段玉裁《说文解字注》：“三十年为一世，按父子相继曰世”．而当代中国学者测算“一代”平均为25年．另根据国际一家研究机构的研究报告显示，全球家族企业的平均寿命其实只有26年，约占总量的28%的家族企业只能传到第二代，约占总量的14%的家族企业只能传到第三代，约占总量4%的家族企业可以传到第四代甚至更久远(为了研究方便，超过四代的可忽略不计).根据该研究机构的研究报告，可以估计该机构所认为的“一代”大约为( )A.23年 B．22年 C．21年 D．20年【解析】选B.设“一代”为x年，由题意得：企业寿命的频率分布表为：又因为全球家族企业的平均寿命其实只有26年，所以家族企业的平均寿命为：0.54×0.5x＋0.28×1.5x＋0.14×2.5x＋0.04×3.5x＝26，解得x≈22.二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)9．某旅行社调查了所在城市20户家庭2020年的旅行费用，汇总得到如下表格：则这20户家庭该年的旅行费用的( )A.众数是1.4 B．中位数是1.5C.中位数是1.6 D．众数是1.62【解析】选AB.依题意可得这组数据分别为：1.2，1.2，1.2，1.2，1.4，1.4，1.4，1.4，1.4，1.4，1.6，1.6，1.6，1.8，1.8，1.8，1.8，1.8，2，2；故众数为：1.4，中位数为：1.5.10．某学校对甲、乙两个班级的某次成绩进行统计分析，制成了如图的条形图与扇形图，则下列说法不正确的是( )A.甲班成绩优良人数超过了乙班成绩优良人数B.甲班平均成绩高于乙班平均成绩C.甲班学生比乙班学生发挥稳定D.甲班不及格率高于乙班不及格率【解析】选ABC.A.因为每个班的总人数不确定，故无法比较；B.甲班及格人数占比80%，乙班及格人数占比90%，故甲班平均成绩显然高于乙班平均成绩；C.无法确定甲班和乙班学生成绩的方差，故错误；D.甲班不及格率为20%，乙班不及格率为10%，故D 正确．11．某班统计一次数学测验的平均分与方差，计算完毕才发现有位同学的分数还未录入，只好重算一次．已知原平均分和原方差分别为x ，s 2，新平均分和新方差分别为x 1，s 21 ，若此同学的得分恰好为x ，则( ) A.x ＝x 1 B ．s 2<s 21 C.s 2>s 21D ．s 2＝s 21【解析】选AC.设这个班有n 个同学，分数分别是a 1，a 2，a 3，…，a n ，假设第i 个同学的成绩没录入，这一次计算时，总分是()n －1 x ，方差为s 2＝1n －1。
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综合测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.对于数列1,37,314,321,…,398是这个数列的()A.不在此数列中B.第13项C.第14项D.第15项答案:D2.已知等差数列{a n},且a1+a2+a3+a4=10,a13+a14+a15+a16=70,则前16项的和等于()A.140B.160C.180D.200解析:∵a1+a2+a3+a4+a13+a14+a15+a16=4(a1+a16)=80,∴a1+a16=20.∴所求和为=160.答案:B3.若函数f(x)=x3-f'(1)·x2-x,则f'(3)的值为()A.0B.-1C.8D.-8解析:f'(x)=x2-2f'(1)·x-1,则f'(1)=12-2f'(1)·1-1,得f'(1)=0.故f'(x)=x2-1,从而f'(3)=8.答案:C4.设等比数列{a n}的前6项和S6=6,且1-为a1,a3的等差中项,则a7+a8+a9=()A.-2B.8C.10D.14解析:由题意得2-a2=a1+a3,∴a1+a2+a3=2,又S6=6,∴a4+a5+a6=4.又{a n}为等比数列,∴S3,S6-S3,S9-S6为等比数列,∴42=2(S9-S6),∴S9-S6=8,即a7+a8+a9=8.答案:B5.两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n,T n,且,则=()A. B.C. D.解析:.答案:D6.若函数f(x)=x3-ax2+ax在区间(0,1)上有极大值,在区间(1,2)上有微小值,则实数a的取值范围是()A. B.C.(-∞,0)∪(1,+∞)D.解析:f'(x)=x2-2ax+a,由题意知,f'(x)=0在区间(0,1),(1,2)上都有根,则f'(0)>0,f'(1)<0,f'(2)>0,即解得1<a<.故选A.答案:A7.设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf'(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是()A.(-∞,-1)∪(0,1)B.(-1,0)∪(1,+∞)C.(-∞,-1)∪(-1,0)D.(0,1)∪(1,+∞)解析:设F(x)=,x>0,则F'(x)=<0,∴F(x)=在区间(0,+∞)上单调递减.∵f(x)为奇函数,且f(-1)=0,∴f(1)=0,于是F(1)=0.∴在区间(0,1)上,F(x)>0;在区间(1,+∞)上,F(x)<0,即当0<x<1时,f(x)>0;当x>1时,f(x)<0.又f(x)为奇函数,∴当x∈(-∞,-1)时,f(x)>0;当x∈(-1,0)时,f(x)<0.综上可知,f(x)>0的解集为(-∞,-1)∪(0,1).故选A.答案:A8.已知函数f(x)=-1+ln x,若存在x0>0,使得f(x0)≤0有解,则实数a的取值范围是()A.(2,+∞)B.(-∞,3)C.(-∞,1]D.[3,+∞)解析:函数f(x)的定义域是(0,+∞),不等式-1+ln x≤0有解,即a≤x-x ln x在区间(0,+∞)上有解.设h(x)=x-x ln x,则h'(x)=1-(ln x+1)=-ln x.令h'(x)=0,可得x=1.由h(x)的单调性可得,当x=1时,函数h(x)=x-x ln x取得最大值1.要使不等式a≤x-x ln x在(0,+∞)上有解,只要a小于等于h(x)的最大值,即a≤1.所以选C.答案:C二、选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,公差d≠0,且≤1.记b1=S2,b n+1=S2n+2-S2n,n∈N*,则下列等式肯定成立的是()A.2a4=a2+a6B.2b4=b2+b6C.=a2a8D.=b2b8解析:A.由等差数列的性质可知2a4=a2+a6,故A肯定成立;B.b4=S8-S6=a7+a8,b2=S4-S2=a3+a4,b6=S12-S10=a11+a12,又由题意可得2(a7+a8)=a3+a4+a11+a12,所以2b4=b2+b6,故B肯定成立;C.=a2a8⇔(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d),整理可得a1=d,故C可能成立;D.b8=S16-S14=a15+a16,当=b2b8时,(a7+a8)2=(a3+a4)(a15+a16),即(2a1+13d)2=(2a1+5d)·(2a1+29d),得2a1=3d,这与已知≤1冲突,故D不行能成立.答案:AB10.下列函数中,存在极值点的是()A.y=2|x|B.y=-2x3-xC.y=x ln xD.y=x sin x解析:对于A,x=0是函数的微小值点;对于B,y'=-6x2-1<0恒成立,函数在R上单调递减,所以函数无极值点;对于C,y'=1+ln x.令y'=0,解得x=.当x∈时,y'<0,函数单调递减;当x∈时,y'>0,函数单调递增.所以x=是函数的微小值点;对于D,y'=sin x+x cos x.当x∈时,y'<0,函数单调递减;当x∈时,y'>0,函数单调递增.又当x=0时,y'=0,所以x=0是函数的微小值点.故选ACD.答案:ACD11.已知函数y=m e x的图象与直线y=x+2m有两个交点,则实数m的取值可以是()A.-1B.1C.2D.3解析:设f(x)=m e x-x-2m,则f'(x)=m e x-1.要使函数y=m e x的图象与直线y=x+2m有两个交点,需f(x)有两个零点.当m≤0时,f'(x)=m e x-1<0,函数f(x)在R上单调递减,不行能有两个零点,不符合题意,舍去.当m>0时,由f'(x)=0得x=ln.当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减,且f(0)=-m<0.所以f≤f(0)<0.又当x➝-∞,f(x)➝+∞,x➝+∞时,f(x)➝+∞,所以当m>0时,函数f(x)有两个零点,即函数y=m e x的图象与直线y=x+2m有两个交点,视察各选项,知m的取值可以是1,2,3.故选BCD.答案:BCD12.已知函数f(x)=,则下列说法正确的是()A.f(x)的定义域是(0,+∞)B.当x∈(0,1)时,f(x)的图象位于x轴下方C.f(x)存在单调递增区间D.f(x)有且仅有两个极值点解析:∵f(x)=,∴ln x≠0,∴x>0,且x≠1,即f(x)的定义域为(0,1)∪(1,+∞).故A错误;当x∈(0,1)时,ln x<0,∴f(x)<0.故B正确;由f(x)=,得f'(x)=.当0<x<1时,f'(x)<0,∴f(x)在区间(0,1)上单调递减.设g(x)=x ln x-1,则g'(x)=ln x+1.当x>1时,g'(x)>0,则g(x)在区间(1,+∞)上单调递增.又g(1)=-1<0,g(2)=2ln2-1>0,∴存在x0∈(1,2)使g(x0)=0,即f'(x0)=0.∴当1<x<x0时,g(x)<0,即f'(x)<0,当x>x0时,g(x)>0,即f'(x)>0,∴f(x)在区间(0,1)和(1,x0)上单调递减,在区间(x0,+∞)上单调递增,x=x0为f(x)唯一的一个极值点.故C正确,D错误.故选BC.答案:BC三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案写在题中的横线上)13.若等差数列{a n}满意a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当n=时,{a n}的前n项和最大.解析:∵a7+a8+a9=3a8>0,∴a8>0.∵a7+a10=a8+a9<0,∴a9<-a8<0.∴数列{a n}的前8项和最大.答案:814.已知周长为20 cm的矩形,绕一条边旋转成一个圆柱,则该圆柱体积的最大值为cm3. 解析:设矩形相邻两边长分别为x(0<x<10)cm,(10-x)cm,绕长为(10-x)cm的一边旋转得到的圆柱的体积V(x)=πx2(10-x)=10πx2-πx3,则V'(x)=20πx-3πx2.令V'(x)=0,解得x=0(舍去)或x=.当x∈时,V'(x)>0,V(x)在区间上单调递增;当x∈时,V'(x)<0,V(x)在区间上单调递减,因此当x=时,V(x)取得最大值为cm3.答案:15.设直线y=m与曲线C:y=x(x-2)2的三个交点分别为A(a,m),B(b,m),C(c,m),其中a<b<c,则实数m 的取值范围是,a2+b2+c2的值为.解析:设f(x)=x(x-2)2,则f'(x)=3x2-8x+4.令f'(x)=0,解得x=或x=2.由f(x)的单调性,得f(x)的极大值为f,微小值为f(2)=0.若直线y=m与曲线C:y=x(x-2)2有三个交点,则0<m<,即m的取值范围为.设g(x)=f(x)-m=x(x-2)2-m=x3-4x2+4x-m.若直线y=m与曲线C:y=x(x-2)2有三个交点,且其坐标分别为A(a,m),B(b,m),C(c,m),则方程x3-4x2+4x-m=0有三个根,分别为a,b,c,即x3-4x2+4x-m=(x-a)(x-b)(x-c)=x3-(a+b+c)x2+(ab+ac+bc)x-abc.故a+b+c=4,ab+bc+ac=4,于是a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ac)=8.答案:816.数列{a n}满意:na n+2+(n+1)a n=(2n+1)·a n+1-1,a1=1,a2=6,令c n=a n cos ,数列{c n}的前n项和为S n,则S4n=.解析:∵na n+2+(n+1)a n=(2n+1)a n+1-1,∴na n+2-na n+1=(n+1)a n+1-(n+1)a n-1,∴.∴=1-,,,……(n≥2).上述n-1个式子相加得5-=1-,即a n+1-a n=4n+1(n≥2).又当n=1时,a2-a1=4×1+1=5也成立,∴a n+1-a n=4n+1.∴a2-a1=4×1+1,a3-a2=4×2+1,a4-a3=4×3+1,……a n-a n-1=4(n-1)+1(n≥2),上述n-1个式子相加得a n-1=(n-1)(2n+1),即a n=n(2n-1)(n≥2).又当n=1时,a1=1×(2×1-1)=1也成立,∴a n=n(2n-1).∵c n=a n cos,∴c4k-3+c4k-2+c4k-1+c4k=0-(4k-2)(8k-5)+0+4k(8k-1)=32k-10(k∈N*).∴S4n=(c1+c2+c3+c4)+(c5+c6+c7+c8)+…+(c4n-3+c4n-2+c4n-1+c4n)=(32×1-10)+(32×2-10)+…+(32n-10)=16n2+6n.答案:16n2+6n四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知{a n}是等差数列,{b n}是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.(1)求{a n}的通项公式;(2)记c n=a n+b n,求数列{c n}的前n项和.解:(1)设等比数列{b n}的公比为q.则q==3,于是b1==1,b4=b3q=9×3=27.设等差数列{a n}的公差为d.已知a1=b1=1,a14=b4=27,由a14=a1+13d,得d==2.∴a n=a1+(n-1)d=2n-1.(2)由(1)知a n=2n-1,b n=3n-1,∴c n=a n+b n=(2n-1)+3n-1.∴{c n}的前n项和S n=1+3+…+(2n-1)+1+3+…+3n-1==n2+.18.(12分)已知在等差数列{a n}中,a1=-60,a17=-12,求数列{|a n|}的前n项和.解:由a1=-60,a17=-12知,等差数列{a n}的公差d==3.所以a n=a1+(n-1)d=-60+(n-1)×3=3n-63.由a n≤0,即3n-63≤0,得n≤21,即{a n}中前20项是负数,从第21项起为非负数.设S n和S n'分别表示{a n}和{|a n|}的前n项和.当n≤20时,S n'=-S n=-=-n2+n.当n>20时,S n'=-S20+(S n-S20)=S n-2S20=-60n+-2n2-n+1260.综上,S n'=19.(12分)已知函数f(x)=x3-2ax2+bx+c,(1)当c=0时,f(x)在点P(1,3)处的切线平行于直线y=x+2,求a,b的值;(2)若f(x)在点A(-1,8),B(3,-24)处有极值,求f(x)的解析式.解:(1)当c=0时,f(x)=x3-2ax2+bx,则f'(x)=3x2-4ax+b.由题意得f(1)=3,f'(1)=1,即解得(2)因为f(x)=x3-2ax2+bx+c,所以f'(x)=3x2-4ax+b.由题意知-1,3是方程3x2-4ax+b=0的两根,所以解得a=,b=-9.由f(-1)=-1-2a-b+c=8,a=,b=-9,可得c=3,所以f(x)=x3-3x2-9x+3.检验知,符合题意.20.(12分)已知成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{b n}中的b3,b4,b5.(1)求数列{b n}的通项公式;(2)数列{b n}的前n项和为S n,求证:数列是等比数列.(1)解:设成等差数列的三个正数分别为a-d,a,a+d.依题意得a-d+a+a+d=15,解得a=5.所以数列{b n}中的b3,b4,b5依次为7-d,10,18+d.依题意得(7-d)(18+d)=100,解得d=2或d=-13(舍去).故数列{b n}是第3项为5,公比为2的等比数列.所以其通项公式为b n=b3·q n-3=5·2n-3.(2)证明:数列{b n}的前n项和S n==5·2n-2-,即S n+=5·2n-2.所以S1+=2.因此是以为首项,2为公比的等比数列.21.(12分)设函数f(x)=a2ln x-x2+ax(a>0).(1)求f(x)的单调区间;(2)求全部使e-1≤f(x)≤e2对x∈[1,e]恒成立的a的值.(注:e为自然对数的底数)解:(1)函数f(x)=a2ln x-x2+ax(a>0)的定义域为(0,+∞),导数f'(x)=-2x+a=-.由于a>0,故当x∈(0,a)时,f'(x)>0,于是f(x)的单调递增区间为(0,a);当x∈(a,+∞)时,f'(x)<0,于是f(x)的单调递减区间为(a,+∞).(2)由题意得f(1)=a-1≥e-1,则a≥e.由(1)知f(x)在区间[1,e]上单调递增,要使e-1≤f(x)≤e2对x∈[1,e]恒成立,只需解得a=e.因此当a=e时,e-1≤f(x)≤e2对x∈[1,e]恒成立.22.(12分)已知函数f(x)=ln x-f'(1)·x+ln ,g(x)=-f(x).(注:e为自然对数的底数)(1)求f(x)的单调区间;(2)设函数h(x)=x2-x+m,若存在x1∈(0,1],对随意的x2∈[1,2],总有g(x1)≥h(x2)成立,求实数m的取值范围.解:(1)∵f'(x)=-f'(1),∴f'(1)=1-f'(1).∴f'(1)=.∴f(x)=ln x-x+ln.∴f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=.∵当0<x<2时,f'(x)>0;当x>2时,f'(x)<0,∴函数f(x)的单调递增区间为(0,2),单调递减区间为(2,+∞).(2)∵g(x)=2x--ln x-ln,∴g(x)的定义域为(0,+∞),g'(x)=2-.∵2x2-x+2=2>0,∴当x∈(0,1]时,g'(x)>0,函数g(x)在区间(0,1]上单调递增.∴函数g(x)在区间(0,1]上的最大值为g(1)=ln2-1.∵h(x)=x2-x+m=+m-,∴h(x)在区间[1,2]上的最大值为h(2)=2+m.而“存在x1∈(0,1],对随意的x2∈[1,2],总有g(x1)≥h(x2)成立”等价于“g(x)在区间(0,1]上的最大值不小于h(x)在区间[1,2]上的最大值”.∴ln2-1≥2+m,解得m≤ln2-3.因此实数m的取值范围为(-∞,ln2-3].11。
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高中新课标数学必修②测试卷(4)
班别 _____ 姓名 ____________ 座号 ____ 分数______
一. 选择题 （每小题4分，共48分）
1. 直线0x a +=（a 为实常数）的倾斜角的大小是（ D ）. A.0
30 B. 0
60 C. 0
120 D. 0
150 2. 到直线3410x y --=的距离为2的直线方程是（ B ）.
A. 34110x y --=
B. 34110x y --=或3490x y -+=
C. 3490x y -+=
D. 34110x y -+= 或 3490x y --= 3. 下列说法正确的是（ C ）.
A. 经过定点0P （0x ，0y ）的直线都可以用方程00()y y k x x -=-表示.
B. 经过不同两点1P （1x ，1y ），2P （2x ，2y ）的直线都可以用方程11
2121
y y x x y y x x --=
--表示.
C. 经过定点0P （0，b ）且斜率存在的直线都可以用方程y kx b =+表示.
D. 不过原点的直线都可以用方程
1x y
a b
+=表示. 4. 无论m 为何值，直线1(2)y m x +=-总过一个定点，其中m R ∈，该定点坐标为（ D ）. A.（1，2-） B.（1-，2） C.（2-，1-） D.（2，1-）
5. 若直线1l ：()34350m x y m +++-=与2l ：()2580x m y ++-=平行，则m 的值为（ A ）.
A. 7-
B. 17--或
C. 6-
D. 13
3
-
6. 一条直线与一个平面内的（ D ）都垂直，则该直线与此平面垂直. A. 无数条直线 B. 两条直线 C. 两条平行直线 D.两条相交直线
7. 下列四个命题中错误的个数是（ B ）.
① 垂直于同一条直线的两条直线相互平行 ② 垂直于同一个平面的两条直线相互平行 ③ 垂直于同一条直线的两个平面相互平行 ④ 垂直于同一个平面的两个平面相互垂直
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
8. 半径为R 的球内接一个正方体，则该正方体的体积是（ C ）.
A. 3
B. 3
43
R π
3
3
R 9. 下列命题中错误的是（ B ）.
A. 若//,,m n n m βα⊥⊂，则αβ⊥
B. 若α⊥β，a ⊂α，则a ⊥β
C. 若α⊥γ，β⊥γ，l αβ= ，则l ⊥γ
D. 若α⊥β，a β=AB ，a //α，a ⊥AB ，则a ⊥β
10. P 为ABC 所在平面外一点，PB PC =，P 在平面ABC 上的射影必在ABC 的（ A ）.
A. BC 边的垂直平分线上
B. BC 边的高线上
C. BC 边的中线上
D. BAC ∠的角平分线上
11. 圆1C ：222880x y x y +++-=与圆2C 22
4420x y x y +-+-=的位置关系是（ A ）.
A. 相交
B. 外切
C. 内切
D. 相离
12. 直线()110a x y +++=与圆2220x y x +-=相切，则a 的值为（ C ）. A. 1，1- B. 2- C. 1- D. 1 二. 填空题（每小题4分，共20分）
1. 圆22
4460x y x y +-++=截直线50x y --=所得的弦长为
， 2. 过点（1，2）且与直线210x y +-=平行的直线的方程是 250x y +-= 3. 过点A （0，1），B （2，0）的直线的方程为 220x y +-= . 4. 已知各面均为等边三角形的四面体的棱长 为2，则它的表面积是
5. 如图，在正方体111ABCD A BC D -中，异面 直线1A D 与1D C 所成的角为 0
60 度；直线
C
C 1
1A D 与平面11AB C D 所成的角为 030 度.
三. 解答题（第1、2题各9分，第3题14分，共32分）
1. 求经过两条直线1l ：3420x y +-=与2l ：220x y ++=的交点P ，且垂直于直线3l ：
210x y --=直线l 的方程.
解：由3420220x y x y +-=⎧⎨
++=⎩ 解得2
2
x y =-⎧⎨=⎩
∴ 点P 的坐标是（2-，2） ∵ 所求直线l 与3l 垂直，
∴ 设直线l 的方程为 20x y C ++=
把点P 的坐标代入得 ()2220C ⨯-++= ，得2C = ∴ 所求直线l 的方程为 220x y ++=
2. 已知圆心为C 的圆经过点A （0，6-），B （1，5-），且圆心在直线l ：10x y -+=上，求圆心为C 的圆的标准方程.
解：因为A （0，6-），B （1，5-），所以线段AB 的中点D 的坐标为1
11,22⎛⎫-
⎪⎝⎭
， 直线AB 的斜率 ()
56110
AB k ---=
=-，
因此线段AB 的垂直平分线'
l 的方程是 11122y x ⎛
⎫+
=-- ⎪⎝
⎭， 即 50x y ++=
圆心C 的坐标是方程组 50
10x y x y ++=⎧⎨-+=⎩
，的解.
解此方程组，得 3
2
x y =-⎧⎨
=-⎩，
所以圆心C 的坐标是（3-，2-）. 圆心为C 的圆的半径长
5r AC ===
所以，圆心为C 的圆的标准方程是
()
()2
2
3225x y +++=
3. 如图：在三棱锥S ABC -中，已知点D 、E 、F 分别为棱AC 、SA 、SC 的中点.
①求证：EF ∥平面ABC .
②若SA SC =，BA BC =，求证：平面SBD ⊥平面ABC . 解：①证明：∵EF 是SAC 的中位线， ∴EF ∥AC ，
又∵EF ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， ∴EF ∥平面ABC .
②证明：∵SA SC =,AD DC = ∴SD ⊥AC ， ∵BA BC =,AD DC = ∴BD ⊥AC ,
又∵SD ⊂平面SBD ，BD ⊂平面SBD ，SD DB D = ， ∴AC ⊥平面SBD ， 又∵AC ⊂平面ABC ， ∴平面SBD ⊥平面ABC .
B。