第3讲 解析几何中的综合问题

第3讲 解析几何中的综合问题【自主学习】第3讲 解析几何中的综合问题(本讲对应学生用书第51~56页)自主学习 回归教材1. (选修2-1 P37习题10改编)已知椭圆22x a +22y b =1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，短轴的一个顶点为P ，若∠F 1PF 2为钝角，则椭圆离心率的取值范围为 .【答案】12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ 【解析】由题意知，P 21F +P 22F <F 122F ，即2a 2<(2c )2，所以c a>，即椭圆的离心率e的取值范围为1⎫⎪⎪⎝⎭.2. (选修2-1 P73复习题12改编)已知直线y =ax +1与双曲线3x 2-y 2=1相交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆经过原点，则实数a = . 【答案】±1【解析】将y =ax +1代入3x 2-y 2=1，得(3-a 2)x 2-2ax -2=0，则Δ=4a 2+24-8a 2>0，即a 2<6且a 2≠3.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2). 因为OA⊥OB，则 OA ·OB =0，即x 1x 2+y 1y 2=0，即x 1x 2+(ax 1+1)(ax 2+1)=0，即(1+a 2)x 1x 2+a (x 1+x 2)+1=0，即(1+a 2)22-3a +a ·223-a a +1=0，解得a 2=1，满足a 2<6且a 2≠3，所以a =±1.3. (选修2-1 P58习题6改编)已知点P在抛物线x2=4y上运动，F为抛物线的焦点，点A的坐标为(2，3)，则PA+PF取得最小值时点P的坐标为.【答案】(2，1)【解析】因为抛物线上的点P到焦点F的距离等于点P到准线y=-1的距离PP'(P'是点P 在准线上的射影).又因为22<4×3，所以点A(2，3)在抛物线的上方，故PA+PF=AP+PP'≥AP'，当且仅当A，P，P'共线时，等号成立，此时PA⊥x轴，(PA+PF)min=AP'=3-(-1)=4，点P的坐标为(2，1).4. (选修2-1 P73复习题6改编)若椭圆210x+2ym=1与双曲线x2-2yb=1有相同的焦点，且椭圆与双曲线交于点P⎫⎪⎪⎝⎭y，则m+b= .【答案】9【解析】因为双曲线x2-2yb=1的焦点在x210x+2ym=1的焦点也在x轴上，半焦距为2210-111910-19⎧⎪=+⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩m bymyb，，，解得m=1，b=8，所以m+b=9.5. (选修2-1 P66复习题16改编)若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A，B两点，M为AB的中点，直线OM(O为坐标原点)的斜率为，且OA⊥OB，则椭圆的方程为.【答案】x2+(4-2y2=1【解析】联立2211+=⎧⎨+=⎩x yax by，，消去y，得(a+b)x2-2bx+b-1=0，当Δ>0时，可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=2+ba b，x1·x2=-1+ba b，弦AB的中点M的坐标为⎛⎫⎪++⎝⎭b aa b a b，，所以OM的斜率为ab=2，即b①.又OA⊥OB，即OA·OB=0，所以x1x2+y1y2=0，而x1x2+y1y2=x1x2+(1-x1)(1-x2)=2x1x2-(x1+x2)+1=1-2+a b，从而1-2+a b=0，所以a+b=2 ②.联立①②，解得a，bΔ>0，所以椭圆的方程为x2+(4-2y2=1.【要点导学】要点导学各个击破解析几何中的范围与最值问题例1 如图，已知椭圆C：22xa+22yb=1(a>b>0)的离心率为12，其左焦点到点P(2，1)的距离为.不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分.(例1)(1) 求椭圆C 的方程；(2) 求△ABP面积取最大值时直线l 的方程.【分析】(1) 题目中给出了椭圆离心率和左焦点到点P(2，1)，列出两个方程，解方程组确定椭圆方程中a ，b 的值，写出椭圆方程.(2) 利用OP 平分AB 确定直线的斜率和纵截距之间的关系，使用参数表示△ABP的面积，确定这个面积取得最大值的条件，从而得到所求的直线方程.【解答】(1) 设椭圆左焦点为F(-c ，0)，则由题意得：12==⎪⎩c a ，12.=⎧⎨=⎩c a ，解得由a 2=b 2+c 2，得b 2=3，所以椭圆C 的方程为24x +23y =1.(2) 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M.当直线AB 与x 轴垂直时，若OP 平分线段AB ，则直线AB 的方程为x =0，与不过原点的条件不符，舍去.故斜率存在，可设直线AB 的方程为y =kx +m (m ≠0)，由223412=+⎧⎨+=⎩y kx m x y ，，消去y ，整理得(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2-12=0， ①其中Δ=64k 2m 2-4(3+4k 2)(4m 2-12)>0，且12221228-344-1234⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩km x x k m x x k ，，所以线段AB 的中点M22433434⎛⎫- ⎪++⎝⎭kmm k k ，. 因为点M 在直线OP 上，所以2×2334+m k =2-434+km k .由m ≠0，得k =-32.此时方程①为3x 2-3mx +m 2-3=0，则Δ=3(12-m 2)>0，12212-33+=⎧⎪⎨=⎪⎩x x m m x x ，，所以·|x 1-x 2|=设点P 到直线AB 的距离为d ，则d. 设△ABP的面积为S ，则S=12AB·d=.其中m ∈(-2令u (m )=(12-m 2)(m -4)2， m ∈[-2u '(m )=-4(m -4)(m 2-2m -6)=-4(m -4)(mm所以当且仅当mu (m )取到最大值. 综上，所求直线l 的方程为3x +2y+2【点评】(1) 本题的入手很容易，但第二问中的最值问题就显得很困难，其一是必须确定直线方程中的斜率和截距之间的关系，其二是建立起面积函数后求解其在什么情况下达到最大值，其中使用了导数的方法.(2) 解决圆锥曲线中的最值问题基本思想是建立目标函数，根据目标函数，利用圆锥曲线的几何特征、判别式法或基本不等式求出最值.变式 (2015·镇江期末)如图，已知椭圆22x a +22y b =1(a >b >0)的右焦点F(1，0)，离心率为，过点F 作两条互相垂直的弦AB ，CD ，设AB ，CD 的中点分别为M ，N.(变式)(1) 求椭圆的方程；(2) 求证：直线MN 必过定点，并求出此定点的坐标； (3) 若弦AB ，CD 的斜率均存在，求△FMN面积的最大值.【解答】(1) 由题意得c =1，c a=2，则ab =1，所以椭圆的方程为2x 2+y 2=1.(2) 当AB ，CD 斜率均存在时，设直线AB 的方程为y =k (x -1)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，M 1212x x x x 122⎛⎫++⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭k ，，联立22y k(x-1)x 2y -20=⎧⎨+=⎩，，得(1+2k 2)x 2-4k 2x +2k 2-2=0，所以212221224k x x 12k 2k -2x x 12k ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，，M 2222k -k 12k 12k ⎛⎫⎪++⎝⎭，， 将上式中的k 换成-1k ，可得N222k 2k 2k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，.由222k 12k +=222k +，解得k =±1， 则直线MN 斜率不存在，此时直线MN 过点203⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 当直线MN 斜率存在时，方法一：k MN =222-k k -12k 2k 2k 2-12k 2k ++++=24-k(3k 3)2k -2+=32×2-k k -1，直线MN 的方程为y -2k 2k +=32×22-k 2x-k -12k ⎛⎫ ⎪+⎝⎭.令y =0，得x =222k ++23×22k -12k +=23×223k -12k ++=23，所以直线MN 过定点203⎛⎫ ⎪⎝⎭，.当AB ，CD 中有一个斜率不存在时，MN 也过点203⎛⎫ ⎪⎝⎭，.综上所述，直线MN 过定点203⎛⎫ ⎪⎝⎭，.方法二：动直线MN 最多过一个定点，由对称性可知，定点必在x 轴上.下面证明，动直线MN 过定点P 203⎛⎫ ⎪⎝⎭，.当k ≠±1时，k PM =222-k 12k 2k 2-12k 3++=32×2k 1-k .将上式中的k 换成-1k ，可得k PN =32×21-k 1-k =32×2k 1-k ，则kPM =kPN，所以直线MN过定点P23⎛⎫⎪⎝⎭，.当AB，CD中有一个斜率不存在时，直线MN也过点23⎛⎫ ⎪⎝⎭，.综上，直线MN过定点23⎛⎫ ⎪⎝⎭，.(3) 由(2)可知直线MN过定点P23⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以S△FMN =S△FPN+S△FPM=12×21k32k++12×21-k312k+=16×222|k|(33k)(2k)(12k)+++=12×242|k|(k1)2k5k2+++=12×221|k||k|22k5k+++.令t=|k|+1|k|∈[2，+∞)，S△FMN =f(t)=12×2t2(t-2)5+=12×2t2t1+.f'(t)=12×2221-2t(2t1)+<0，则f(t)在[2，+∞)上单调递减.所以当t=2时，f(t)取得最大值，此时S△FMN 取得最大值19，此时k=±1.解析几何中的定点、定值问题例2 (2014·淮安、宿迁摸底)在平面直角坐标系x O y 中，已知椭圆C ：22x a +22y b =1(a >b >0)和直线l ：x =m (m ∈R )，且四点(3，1)，(3，-1)，0)，中有三个点在椭圆C 上，剩余一个点在直线l 上.(1) 求椭圆C 的方程；(2) 若动点P 在直线l 上，过点P 作直线交椭圆C 于M ，N 两点，使得PM=PN ，再过点P 作直线l '⊥MN，求证：直线l '恒过定点，并求出该定点的坐标.【分析】因为两点即可确定椭圆方程，所以第(1)小问中需要对所给四个点进行讨论，再用适合要求的两点求椭圆方程.第(2)小问需要先求出直线方程，再证明其过定点.【解答】(1) 由题意有3个点在椭圆C 上.根据椭圆的对称性，则点(3，1)，(3，-1)一定在椭圆C 上，即29a +21b =1. ①若点(-20)在椭圆C 上，则点(-20)必为椭圆C 的左顶点，而3>2则点0)一定不在椭圆C 上，故点在椭圆C 上，点0)在直线l 上，所以23a +23b =1. ②联立①②可解得a 2=12，b 2=4，所以椭圆C 的方程为212x +24y =1. (2) 由(1)可得直线l 的方程为x设y 0)，y 0∈⎛ ⎝⎭. 当y 0≠0时，设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，显然x 1≠x 2.联立2211221222221-124121124⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x yx xx y，则，+2212-4y y=0，即1212--y yx x=-13·1212++x xy y.又PM=PN，即P为线段MN的中点，故直线MN的斜率为-13·0=0.又因为l'⊥MN，所以直线l'的方程为y-y0x，即y=-⎛⎭x，显然直线l'恒过定点⎛⎫⎪⎪⎝⎭.当y=0时，直线MN即x时l'为x轴，亦过点-03⎛⎫⎪⎪⎝⎭.综上所述，直线l'恒过定点⎛⎫⎪⎪⎝⎭.【点评】椭圆背景下的直线过定点和圆背景下的直线过定点的处理方法类似，一是求出直线方程，根据直线方程求出定点；二是求出构成直线两点的坐标，再用三点共线论证.其中，如果可以用特殊化或对称性得出定点坐标或所在位置，再论证其一般性，这样的方法计算较为简单.变式如图，在平面直角坐标系x O y中，已知椭圆24x+y2=1的左、右焦点分别为F'，F，圆F：(x-2+y2=5.(变式) (1) 设M 为圆F 上一点，且满足' MF ·MF =1，求点M 的坐标；(2) 若P 为椭圆上任意一点，以P 为圆心、OP 为半径的圆P 与圆F 的公共弦为QT ，求证：点F 到直线QT 的距离FH 为定值.【分析】第(1)小问根据向量数量积和点M 在圆上两个条件，即可求出点M 坐标.第(2)小问设出点P 的坐标，用其坐标去表示直线OT ，再用点到直线的距离公式计算FH ，化简后得出定值.【解答】(1) 由题设得0)，0)，设M(m ，n )，由' MF ·MF=1，得(m+mn 2=1.即m 2+n 2=4. ①又(m-2+n 2=5. ②由①②，得m=3，n=±3，所以M 33⎛ ⎝⎭，或M-33⎛ ⎝⎭，. (2) 设P(x 0，y 0)，则圆P 的方程为(x -x 0)2+(y -y 0)2=20x +20y .即x 2+y 2-2x 0x -2y 0y =0. ③ 又圆F 的方程为(x-2+y 2=5. ④由③④得直线QT 的方程为(x 0x +y 0y -1=0，所以=.因为P(x 0，y 0)在椭圆上，所以204x +20y =1，即20y =1-24x ，所以【点评】定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系、长度、面积等，这些直线方程、数量积、比例关系、长度、面积不受变化的量所影响的一个值，就是要求的定值.这里对含有多个字母的等式化简要求较高，需要多训练.解析几何中的探索性问题例3 (2015·淮阴中学)如图，已知椭圆C ：24x +y 2=1，A ，B 是四条直线x =±2，y =±1所围成的两个顶点.(例3) (1) 设P 是椭圆C 上任意一点，若 OP =m OA +nOB ，求证：动点Q(m ，n )在定圆上运动，并求出定圆的方程；(2) 若M ，N 是椭圆C 上两上动点，且直线OM ，ON 的斜率之积等于直线OA ，OB 的斜率之积，试探求△OMN的面积是否为定值，并说明理由.【分析】本题考查对圆和椭圆性质的考查.(1) 可以确定A，B的点的坐标，由向量式得出P点坐标和Q(m，n)的关系，然后由P的位置，从而确定Q的轨迹；(2) 由直线OM，ON的斜率之积等于直线OA，OB的斜率之积，从而得出M，N点坐标之间的关系，列出△OMN的面积的表达式，化简求定值.【解答】(1) 易求得A(2，1)，B(-2，1).设P(x0，y0)，则24x+2y=1.由OP=mOA+nOB，得22(-)4(-)4=⎧⎨=+⎩x m n m ny m n，所以，+(m+n)2=1，即m2+n2=12，故点Q(m，n)在定圆x2+y2=12上.(2) 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则1212y yx x=-14，平方得2212x x=162212y y=(4-21x)(4-22x)，即21x+22x=4.因为直线MN的方程为(x2-x1)y-(y2-y1)x+x1y2-x2y1=0，所以O到直线MN的距离为d，所以△OMN的面积S=12MN·d=12|x1y2-x2y1|故△OMN的面积为定值1.【点评】结论探索型问题需要我们能够综合、灵活运用所学的数学知识和思想方法，创造性地解决问题.本题中通过假设会出现很多变量，但这些变量不需要求出，而只能整体变形、化归，所以需要我们有整体意识.变式 (2015·苏锡常镇宿一调)如图，在平面直角坐标系x O y 中，已知椭圆C ：22x a +22y b =1(a >b >0)的离心率为，且经过点1⎛ ⎝⎭，过椭圆的左顶点A 作直线l ⊥x 轴，点M 为直线l 上的动点(点M 与点A 不重合)，点B 为椭圆右顶点，直线BM 交椭圆C 于点P.(变式)(1) 求椭圆C 的方程.(2) 求证：AP⊥OM.(3) 试问： OP ·OM 是否为定值?若是定值，请求出该定值；若不是，请说明理由.【解答】(1) 因为椭圆C ：22x a +22y b =1(a >b >0)的离心率为，所以a 2=2c 2，又c 2=a 2-b 2，所以a 2=2b 2.又椭圆C过点1⎛ ⎝⎭， 所以212b +232b =1，所以a 2=4，b 2=2，所以椭圆C的方程为24x+22y=1.(2) 方法一：设直线BM的斜率为k，则直线BM的方程为y=k(x-2).设P(x1，y1)，将y=k(x-2)代入椭圆C的方程24x+22y=1中并化简得(2k2+1)x2-8k2x+8k2-4=0，解得x1=224-221+kk，x2=2，所以y1=k(x1-2)=2-421+kk，从而P2224-24-2121⎛⎫⎪++⎝⎭k kk k，.令x=-2，得y=-4k，所以M(-2，-4k)，OM=(-2，-4k).又AP=22242422121⎛⎫-+-⎪++⎝⎭k kk k，=222842121⎛⎫-⎪++⎝⎭k kk k，，所以AP·OM=22-1621+kk+221621+kk=0，所以AP⊥OM.方法二：设P(x0，y0).因为A(-2，0)，B(2，0).所以kPA ·kPB=2+yx·-2yx=22-4yx.又因为点P在椭圆上，所以24x+22y=1，所以2y=221-4⎛⎫⎪⎝⎭x，所以kPA ·kPB=221(4-)2-4xx=-12.因为kPB =kMB=-tan∠MBA=-MAAB，k MO=-tan∠MOA=-MA AO，所以kPB =12kMO.因为kPB=1-2PAk，所以kMO ·kPA=-1，即AP⊥MO.(3) 设M(-2，t)，由(2)得AP⊥MO，所以kAP =2+yx，kOM=-2t，所以kAP ·kOM=-2(2)+tyx=-1，所以t=2(2)+xy，所以OP·OM=(x，y0)·2(2)-2⎛⎫+⎪⎝⎭xy，=-2x0+y0·24+xy=4，所以OP·OM为定值4.【点评】本题第(2)问中方法一是采用设直线斜率k为参数，用k表示点P的坐标；方法二是用点P坐标去表示与之相关的直线斜率，并且成功的避开求出点P坐标，而是利用点P的几何特征求出直线斜率的关系，从而到达舍而不求简化计算的目的.椭圆与圆的综合应用例4 (2015·南师附中)如图，已知焦点在x轴上的椭圆C过点(-2，0)，且离心率为2，Q为椭圆C的右顶点.(例4)(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 已知过点N 605⎛⎫ ⎪⎝⎭，的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求证：以AB 为直径的圆必过定点Q.【分析】本题主要考查直线的方程、椭圆的标准方程、圆的简单性质等基础知识，考查灵活运用数形结合、化归与转化思想进行运算求解、推理论证的能力.(1) 求椭圆的标准方程，即只要求出有关的基本量即可；(2) 要求以AB 为直径的圆过点Q ，即求∠AQB=π2，但要注意对直线斜率的讨论.【解答】(1) 设椭圆C 的标准方程为22x a +22y b =1(a >b >0)，且a 2=b 2+c 2.由题意知，a =2，c a=，cb =1，所以椭圆C 的标准方程为24x +y 2=1.(2) 由(1)得Q(2，0)，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2).①当直线l 垂直于x 轴时，直线l 的方程为x =65.联立2266655544-.1554⎧⎧⎧===⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎪⎪⎪==+=⎪⎪⎪⎩⎩⎩x x x x y y y ，，，解得或，即A6455⎛⎫⎪⎝⎭，，B64-55⎛⎫⎪⎝⎭，(不妨设点A在x轴上方)，则直线AQ的斜率kAQ=-1，直线BQ的斜率kBQ =1.因为kAQ·kBQ=-1，所以AQ⊥BQ，所以∠AQB=π2，所以以AB为直径的圆必过定点Q.②当直线l与x轴不垂直时，由题意可设直线AB的方程为y=k6-5⎛⎫⎪⎝⎭x(k≠0).联立226-514⎧⎛⎫= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪+=⎪⎩y k xxy，，消去y，得(25+100k2)x2-240k2x+144k2-100=0.因为点N65⎛⎫⎪⎝⎭，在椭圆C的内部，显然Δ>0且2122212224025100144-100.25100⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩kx xk QAkx xk，因为=(x1-2，y1)，QB=(x2-2，y2)，y1=k16-5⎛⎫⎪⎝⎭x，y2=k26-5⎛⎫⎪⎝⎭x，所以QA·QB=(x1-2)(x2-2)+y1y2=(x1-2)(x2-2)+k16-5⎛⎫⎪⎝⎭x·k625⎛⎫-⎪⎝⎭x=(1+k2)x1x2-2625⎛⎫+⎪⎝⎭k(x1+x2)+4+3625k2=(1+k2)22144-10025100+kk-2625⎛⎫+⎪⎝⎭k2224025100⎛⎫⎪+⎝⎭kk+4+3625k2=0，所以QA⊥QB，即QA⊥QB，所以△QAB为直角三角形.综上，以AB为直径的圆必过定点Q.【点评】在涉及直线与圆锥曲线有两个交点时，一般不是求出这两个点的坐标，而是设出这两个点的坐标，根据直线方程和曲线方程联立后方程根的情况，使用根与系数的关系进行整体代入.在处理圆中的直径问题时，我们常用数量积来表示垂直.变式 (2015·泰州期末)如图，在平面直角坐标系x O y中，离心率为的椭圆C ：22x a +22y b =1(a >b >0)的左顶点为A ，过原点O 的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线PA ，QA 分别与y 轴交于M ，N 两点.若直线PQ的斜率为2时，PQ=2(变式)(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 试问：以MN 为直径的圆是否经过定点(与直线PQ 的斜率无关)?请证明你的结论.【解答】(1) 设P 00⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭x x .因为直线PQ的斜率为2时，20x+202⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭x =3，所以20x =2，所以22a +21b =1.因为e =c a=a=，所以a 2=4，b 2=2， 所以椭圆C 的标准方程为24x +22y =1.(2) 方法一：以MN0).证明如下：设P(x 0，y 0)，则Q(-x 0，-y 0)，且204x +202y =1，即20x +220y =4.因为A(-2，0)，所以直线PA 的方程为y =002+y x (x +2)，所以M 00202⎛⎫ ⎪+⎝⎭y x ，， 直线QA 的方程为y =00-2y x (x +2)，所以N 0020-2⎛⎫ ⎪⎝⎭y x ，.以MN 为直径的圆为(x -0)(x -0)+000022--2-2⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭y y y y x x =0，即x 2+y 2-00204-4x y x y +20204-4y x =0.因为20x -4=-220y ，所以x 2+y 2+002x y y -2=0. 令y =0，解得x=±故以MN0). 方法二：设P(x ，y )，Q(-x ，-y )，A(-2，0)，则k AP ·k AQ =2+y x ·-2y x =2221-4-4⎛⎫ ⎪⎝⎭x x =-12.设直线AP 的斜率为k ，则直线AQ 的斜率为-12k ，则直线AP 的方程为y =k (x +2).令x =0，y =2k ，所以M(0，2k ).同理N 10-⎛⎫ ⎪⎝⎭k ，，则以MN 为直径的圆为x 2+(y -2k )1⎛⎫+ ⎪⎝⎭y k =0，即x 2+y 2+1-2⎛⎫⎪⎝⎭k k y -2=0.令y =0，解得x=±故以MN0).1. 若双曲线C 1：22x m -22y b =1(m >0，b >0)与椭圆C 2：22x a +22y b =1(a >b >0)有相同的焦点，双曲线C 1的离心率是e 1，椭圆C 2的离心率是e 2，则211e +221e = . 【答案】2【解析】在双曲线中，c 2=m 2+b 2，在椭圆中，c 2=a 2-b 2，所以c 2=a 2-b 2=m 2+b 2，即m 2=a 2-2b 2，所以211e +221e =222-2a b c +22a c =2222-2a b c =2222(-)a b c =2.2. (2015·山西联考)如图，已知椭圆C ：22x a +22y b =1(a >b >0)的右焦点为F(1，0)，右顶点为A ，且AF=1.(第2题)(1) 求椭圆C 的标准方程.(2) 若动直线l ：y =kx +m 与椭圆C 有且只有一个交点P ，且与直线x =4交于点Q ，问：是否存在一个定点M(t ，0)，使得 MP ·MQ =0?若存在，求出定点M 的坐标；若不存在，请说明理由.【解答】(1) 由题设得c =1，a -c =1，解得a =2，所以bC 的标准方程为24x +23y =1.(2) 联立223412=+⎧⎨+=⎩y kx mx y，，消去y，得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0，所以Δ=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)=0，即m2=3+4k2.设P(x P，y P)，则xP =-2434+kmk=-4km，y P=kx P+m=-24km+m=3m，即P43-⎛⎫ ⎪⎝⎭km m，.因为M(t，0)，Q(4，4k+m)，则MP=43--⎛⎫⎪⎝⎭kt MQm m，，=(4-t，4k+m)，所以MP·MQ=4--⎛⎫⎪⎝⎭ktm(4-t)+3m(4k+m)=t2-4t+3+4km(t-1)=0恒成立，故21-430=⎧⎨+=⎩tt t，，即t=1，所以存在点M(1，0)符合题意.3. (2015·南京一中)如图，已知椭圆C：22xa+22yb=1(a>b>0)的焦距为2，且过点1⎛⎝⎭，右焦点为F2.设A，B是椭圆C上的两个动点，线段AB的中点M的横坐标为-12，线段AB的中垂线交椭圆C于P，Q两点.(第3题)(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 求2 F P ·2F Q 的取值范围.【解答】(1) 因为焦距为2，所以a 2-b 2=1.因为椭圆C 过点12⎛ ⎝⎭，， 所以21a +212b =1，故a 2=2，b 2=1，所以椭圆C 的标准方程为22x +y 2=1. (2) 由题意知，当直线AB 垂直于x 轴时，直线AB 方程为x =-12，此时0)，0)，又F 2(1，0)， 得2 F P ·2F Q =-1. 当直线AB 不垂直于x 轴时，设直线AB 的斜率为k (k ≠0)，M 12⎛⎫- ⎪⎝⎭m ，(m ≠0)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 则x 1+x 2=-1，y 1+y 2=2m .由221122221212⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y ，，得(x 1+x 2)+2(y 1+y 2)·1212--y y x x =0，则-1+4mk =0，故k =14m .此时，直线PQ 斜率为k 1=-4m ，PQ 的直线方程为y -m =-4m 12⎛⎫+ ⎪⎝⎭x ， 即y =-4mx -m .联立方程组22-4-12=⎧⎪⎨+=⎪⎩y mx m x y ，，消去y ，整理得(32m 2+1)x 2+16m 2x +2m 2-2=0.设P(x 3，y 3)，Q(x 4，y 4)，所以x 3+x 4=-2216321+m m ，x 3x 4=222-2321+m m . 于是2 F P ·2F Q =(x 3-1)(x 4-1)+y 3y 4 =x 3x 4-(x 3+x 4)+1+(4mx 3+m )(4mx 4+m ) =(4m 2-1)(x 3+x 4)+(16m 2+1)x 3x 4+m 2+1=222(4-1)(-16)321+m m m +222(116)(2-2)321++m m m +m 2+1 =2219-1321+m m .由于M 1-2⎛⎫ ⎪⎝⎭m ，在椭圆的内部，故0<m 2<78. 令t =32m 2+1，1<t <29，则2 F P ·2 F Q =1932-5132t .又1<t <29，所以-1<2 F P ·2 F Q <125232.综上可知，2 F P ·2F Q 的取值范围为1251232⎛⎫- ⎪⎝⎭，.【融会贯通】完善提高 融会贯通典例 (2015·南通、扬州、泰州、淮安三调)如图，在平面直角坐标系x O y中，椭圆22x a +22y b =1(a >b >0)的两焦点分别为F 1(-，0)，F 2(0)，且经过点.(典例)(1) 求椭圆的方程及离心率.(2) 设点B ，C ，D 是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B 与点D 关于原点O 对称.设直线CD ，CB ，OB ，OC 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，k 4，且k 1k 2=k 3k 4.①求k 1k 2的值；②求OB 2+OC 2的值. 【规范解答】 (1)依题意得，c=，a 2=b 2+3，……………………………………………………2分由233+b +214b =1，解得b 2=123-4⎛⎫= ⎪⎝⎭b ，不合题意，舍去，从而a 2=4，故所求椭圆方程为24x+y2=1，所以椭圆的离心率e=………………………………………………………………5分(2) ①设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则D(-x1，-y1)，于是k1k2=2121--y yx x·2121++y yx x=22212221--y yx x=222122211--1-44-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x xx x=-1 4……………………………8分②由①知，k3k4=k1k2=-14，故x1x2=-4y1y2，所以(x1x2)2=(-4y1y2)2，即(x1x2)2=1622121-1-44⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭x x=16-4(21x+22x)+2212x x，所以21x+22x=4…………………………………………………………………………11分又2=22114⎛⎫+⎪⎝⎭xy+22224⎛⎫+⎪⎝⎭xy=22124+x x+21y+22y，故21y+22y=1，所以OB2+OC2=21x+21y+22x+22y=5………………………………………………………14分变式1 (1) 已知AB是过椭圆22xa+22yb=1(a>0，b>0)中心的弦，点P是椭圆上任意一点，且PA，PB都存在非零斜率kPA ，kPB，求证：kPA·kPB=-22ba. (2) 已知AB是椭圆22xa+22yb=1上不过椭圆中心的弦，若M是AB的中点，且AB，OM都存在非零斜率k AB，k OM，求证：k AB·k OM=-22ba.(变式1(1))【解答】(1) 如图(1)，设A(x1，y1)，P(x0，y0)，则B(-x1，-y1).因为A，P都在椭圆上，所以212xa+212yb=1，22xa+22yb=1，所以21y=2222212-a b b xya，=22222-a b b xa.因为PA，PB都存在非零斜率kPA ，kPB，所以kPA ·kPB=0101--y yx x·0101++y yx x=22012201--y yx x=2221022201(-)(-)b x xa x x=-22ba，所以kPA ·kPB=-22ba.(2) 如图(2)，过点B作过椭圆中心的弦BC，连接AC，则OM∥AC，所以可知kAB kOM=kABkAC=-22ba.(变式1(2))变式2 如图，已知椭圆C ：22x +y 2=1，点M 1，M 2，…，M 5为其长轴AB 的6等分点，(变式2)分别过这五点作斜率为k (k ≠0)的一组平行线，交椭圆C 于P 1，P 2，…，P 10，则直线AP 1，AP 2，…，AP 10这10条直线的斜率乘积为 .【答案】-132【解析】由椭圆的性质可得1AP k ·1BP k =2AP k ·10BP k=-12，由椭圆的对称性可得1BP k =1010AP BP k k ，=1AP k ，所以1AP k ·10AP k =-12，同理可得3AP k ·8AP k =5AP k ·6AP k =7AP k ·4AP k =9AP k ·2AP k =-12，所以直线AP 1，AP 2，…，AP 10这10条直线的斜率乘积为51-2⎛⎫ ⎪⎝⎭=-132.温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第31-34页.【课后检测】第3讲解析几何中的综合问题A组一、填空题1. (2014·南京三模)已知抛物线y2=2px过点M(2，2)，则点M到抛物线焦点的距离为.2. 已知椭圆22xa+29y=1(a>0)与双曲线24x-23y=1有相同的焦点，那么实数a= .3. 设双曲线24x-25y=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线上位于第一象限内的一点，且△PF1F2的面积为6，则点P的坐标为.4. (2015·徐州一中)已知点M(-3，2)是坐标平面内一定点，若抛物线y2=2x的焦点为F，点Q是该抛物线上的一动点，则MQ-QF的最小值为.5. 若椭圆C：22xa+22yb=1(a>b>0)恒过定点A(1，2)，则椭圆C的中心到准线的距离的最小值为.6. (2015·苏锡常镇二模)已知A为椭圆29x+25y=1上的动点，MN为圆(x-1)2+y2=1的一条直径，则AM·AN的最大值为.7. (2015·福州质检)如图，直线y=m与抛物线y2=4x交于点A，与圆(x-1)2+y2=4的实线部分交于点B，F为抛物线的焦点，则△ABF的周长的取值范围是.(第7题)8. (2015·启东中学)设椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且α∈ππ124⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则该椭圆离心率的取值范围是.二、解答题9. 已知圆x2+y2=1过椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点，过定点F(1，0)的直线l交椭圆于A，B两点，且AF=λBF，λ∈133⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.(1) 求椭圆的方程；(2) 求直线l的倾斜角的取值范围.10. (2015·无锡期末)如图，已知椭圆C：24x+22y=1的上顶点为A，直线l：y=kx+m交椭圆于P，Q两点，设直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2.(1) 若m=0，求k1k2的值；(2) 当k 1k 2=-1时，求证：直线l ：y =kx +m 过定点.(第10题)11. (2015·苏州期末)如图，已知椭圆C ：212x +24y =1，点B 是其下顶点，过点B 的直线交椭圆C 于另一点A(点A 在x 轴下方)，且线段AB 的中点E 在直线y =x 上. (1) 求直线AB 的方程；(2) 若点P 是椭圆C 上异于A ，B 的动点，且直线AP ，BP 分别交直线y =x 于点M ，N ，求证：OM·ON为定值.(第11题)B 组一、 填空题1. (2015·石家庄调研)若抛物线y 2=2px 上一点P(2，y 0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为 .2. 已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足1MF ·2MF =0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 .3. (2015·郑州二模)已知双曲线22y a -22x b =1(a >0，b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，以线段F 1F 2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(4，3)，则此双曲线的方程为 .4. (2014·南京学情调研)如图，已知过椭圆22x a +22y b =1(a >b >0)的左顶点A(-a ，0)作直线l 交y 轴于点P ，交椭圆于点Q ，若△AOP是等腰三角形，且 PQ =2QA ，则椭圆的离心率为.(第4题)5. (2014·江西卷)设椭圆C ：22x a +22y b =1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2作x 轴的垂线与椭圆C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D.若AD⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于 .6. (2014·山东卷)已知双曲线22xa-22yb=1(a>0，b>0)的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且FA=c，则双曲线的渐近线方程为.7. (2015·兰州检测)若直线mx+ny=4和圆O：x2+y2=4没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆29x+24y=1的交点个数为.8. (2015·江西五校联考)已知双曲线C：22xa-22yb=1(a>0，b>0)的离心率为A，B为左、右顶点，点P为双曲线C在第一象限的任意一点，点O为坐标原点，若直线PA，PB，PO的斜率分别为k1，k2，k3，记m=k1k2k3，则m的取值范围为.二、解答题9. (2015·常州期末)在平面直角坐标系x O y中，已知椭圆C：22xa+22yb=1(a>b>0)的离心率e=12，直线l：x-my-1=0(m∈R)过椭圆C的右焦点F，且交椭圆C于A，B两点.(1) 求椭圆C的标准方程.(2) 已知点D52⎛⎫⎪⎝⎭，，连接BD，过点A作垂直于y轴的直线l1，设直线l1与直线BD交于点P，试探索当m变化时，是否存在一条定直线l2，使得点P恒在直线l2上?若存在，请求出直线l2的方程；若不存在，请说明理由.10. (2015·海门中学)已知椭圆C ：22x a +y 2=1(a >1)的上顶点为A ，右焦点为F ，直线AF 与圆M ：(x -3)2+(y -1)2=3相切. (1) 求椭圆C 的方程；(2) 若不过点A 的动直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，且 AP ·AQ =0，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标.11. (2015·南京、盐城、徐州二模)如图，在平面直角坐标系x O y 中，椭圆E ：22x a +22y b =1(a >b >0)的离心率为2，直线l ：y =12x 与椭圆E 相交于A ，B 两点，，D 是椭圆E 上异于A ，B 的任意两点，且直线AC ，BD 相交于点M ，直线AD ，BC 相交于点N ，连接MN.(1) 求a ，b 的值；(2) 求证：直线MN 的斜率为定值.(第11题)【课后检测答案】第3讲 解析几何中的综合问题A 组1. 52 【解析】方法一：因为抛物线过点M(2，2)，所以4p =4，从而p =1.根据抛物线的定义得点M 到焦点的距离为2p +2=52.方法二：因为抛物线过点M(2，2)，所以4p =4，从而p =1，故抛物线的方程为y 2=2x ，焦点坐标为F 102⎛⎫ ⎪⎝⎭，，从而点M52.2. 4 【解析】由题设知a 2-9=4+3，所以a =4.3.2⎫⎪⎪⎝⎭ 【解析】因为双曲线24x -25y =1的左、右焦点分别为F 1，F 2，所以F 1F 2=6，设P(x ，y )(x >0，y >0)，因为△PF 1F 2的面积为6，所以12F 1F 2·y =12×6×y =6，得y =2，再将y =2代入24x -25y =1，得x=，所以P25⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.4. 52 【解析】抛物线的准线方程为x =-12，当MQ∥x 轴时，MQ-QF 取得最小值，此时点Q 的纵坐标y =2，代入抛物线方程y 2=2x 得点Q 的横坐标x =2，则QM-QF=|2+3|-122+=52.【解析】由题设知21a +24b =1，准线方程为x =2ac ，所以椭圆的中心到准线的距离为d =2a c ，即d 2=42a c =422-a a b =42224--1a a a a =422--5a a a =2222(-5)9(-5)20-5++a a a =a 2-5+220-5a+9=42，当且仅当a 2.所以d≥，即d min6. 15 【解析】设圆心为C(1，0)，因为 AM · AN =(CM - CA )·( CN - CA )= CM · CN +| CA |2=| CA |2-1，设A(x ，y )，所以 AM ·AN =(x -1)2+y 2-1=x 2-2x +y 2，又29x +25y =1，即 AM ·AN =49x 2-2x +5(-3≤x ≤3)，又该二次函数为开口向上且对称轴为x =94，故x =-3时，有最大值为15.7. (4，6) 【解析】设B(x B ，y B )，则1≤x B ≤3.因为可以构成△ABF，所以 1<x B <3.因为圆的半径BF=2，抛物线的准线方程为x =-1，利用抛物线定义，AF 等于点A 到直线x =-1的距离d ，所以△ABF的周长l =AF+AB+BF=AF+AB+2=d +AB+2=x B -(-1)+2=x B +3，故4<l <6.8. 23⎣⎦， 【解析】由题知AF⊥BF，根据椭圆的对称性，AF'⊥BF'(其中F'是椭圆的左焦点)，因此四边形AFBF'是矩形，于是AB=FF'=2c ，AF=2c sin α，AF'=2c cos α，根据椭圆的定义，AF+AF'=2a ，所以2c sin α+2c cos α=2a ，则e =c a =1sin cos αα+=1π4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭，而α∈ππ124⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，所以α+πππ432⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以sin π4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭∈12⎤⎥⎣⎦，故e∈23⎣⎦，.9. (1) 由题意知c=1.又因为圆与椭圆有且只有两个公共点，从而b=1，故a所以所求椭圆的方程为22x+y2=1.(2) 设直线l：x=ty+1.由22112=+⎧⎪⎨+=⎪⎩x tyxy，，得(2+t2)y2+2ty-1=0.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1+y2=2-22+tt，y1y2=2-12+t.因为AF=λBF，所以y1=-λy2，所以(1-λ)y2=2-22+tt，-λ22y=2-12+t，消去y2，得2(1-)-λλ=-2242+tt，即21-2λλλ+=2242+tt.因为λ∈133⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，所以21-2λλλ+=λ+1λ-2∈43⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，即224423⎡⎤∈⎢⎥+⎣⎦tt，，解得-1≤t≤1，故直线l的斜率的取值范围为(-∞，-1]∪[1，+∞).又x=1也满足条件，故直线l的倾斜角的取值范围为π3π44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.10. (1) 当m=0时，将直线l：y=kx代入椭圆C：24x+22y=1，得x2+2k2x2=4，解得P ⎛⎫⎝，Q⎛⎫，因为点A为椭圆的上顶点，所以点A(0，所以k1==，k2==，所以k1k2=224-2(12)4+k k=-12.(2) 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线l：y=kx+m代入椭圆C：24x+22y=1，整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-4=0，则Δ>0且x1+x2=-2412+kmk，x1x2=222-4 12+mk.由k1k2=-1知11yx·22yx=-1，即y1y2-y1+y2)+2+x1x2=0，所以(kx1+m)(kx2+m)-kx1+m+kx2+m)+x1x2+2=0，所以k2x1x2+mk(x1+x2)+m2(x1+x2+x1x2+2=0，即(k2+1)222-412+mk+k(m-24-12⎛⎫⎪+⎝⎭kmk+m2+2=0，所以(k2+1)(2m2-4)+k(mkm)+(m2-2+2)(1+2k2)=0，所以3m2-2=0，解得m=舍去)或m=-，所以直线l：y=kx-3，所以直线l 过定点0-3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，.11. (1) 由题意知B(0，-2)，设E(λ，λ)，则A(2λ，2λ+2).把点A的坐标代入椭圆方程，得23λ+(λ+1)2=1，即43λ2+2λ=0，解得λ=-32，得A(-3，-1).由kAB =-2-(-1)0-(-3)=-13，得直线AB的方程为y=-13x-2，即x+3y+6=0.(2) 设M(m，m)，N(n，n)，P(x0，y0)，则2x+32y=12.由A，P，M共线，知AP∥AM，得(x+3)(m+1)=(y0+1)(m+3)，解得m=00003--2+y xx y.由B，P，N共线，知BP∥BN，得x0(n+2)=(y0+2)n，解得n=00-2--2xx y，。