计算方法简明教程插值法习题解析

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计算方法第四章插值法

《计算方法》
4
3
xi 4 yi 2
9 16 3 4
2
0
4
7
9
16
第4章插值法
应用背景
造函数表：三角函数、对数预测：鸡蛋价格、城市用水量
《计算方法》
数控加工：造船、飞机机翼骨架、服装样片、模具加工、刀具计算机辅助设计：潜水艇、汽车造型
服装样片
第4章插值法
实际问题中，f (x)多样，复杂，通常只能观测到一些离散数据；或者f (x)过于复杂而难以运算。这时我们要用近似函数 φ(x)来逼近f (x)。
《计算方法》
φ (x)= y0
第4章插值法
§2 线性插值与二次插值
2.1 线性插值
线性插值是代数多项式插值的最简单的形式。假设
《计算方法》
给定了函数f (x)在两个互异点x0，x1的值,即
x x0值）
y y0 x0
y1
x1
x
第4章插值法
现要用一线性函数
满足插值条件：
y( xi ) = yi , i = 0,1, 2
22
第4章插值法例：已知函数 y=f (x)的观测数据为
x
《计算方法》
1 0
2 -5
3 -6
4 3
y
试求拉格朗日插值多项式。
第4章插值法
《计算方法》
( x 2)( x 3)( x 4) 解：p3 ( x ) = 0 (1 2)(1 3)(1 4) ( x 1)( x 3)( x 4) ( 5) (2 1)(2 3)(2 4) ( x 1)( x 2)( x 4) ( 6) (3 1)(3 2)(3 4) ( x 1)( x 2)( x 3) 3 (4 1)(4 2)(4 3) = x3 4 x2 3

插值法思考题

插值法思考题
1.插值法是什么？
插值法是一种数值计算方法，它将一段连续函数曲线拆分成若干段线段，利用参数值在这些线段上的结点值求出其他参数值。

这种方法以函数快速、准确的近似为目的，能够找到给定的点集的最佳拟合曲线，其结果介于最近两点之间，从而得到准确的结果。

2.插值法有哪些应用？
插值法的应用非常广泛，主要用于处理数据拟合、求解非线性方程组、求解微分方程、求解积分、计算其他异常值等问题。

它还可以用于函数解析、物理模拟、信号处理、图像处理和优化等领域。

3.插值法有哪些常见的插值方法？
常见的插值方法有：
1）拉格朗日插值法：用拉格朗日插值多项式来近似给定的点集；
2）牛顿插值法：用牛顿插值多项式来近似给定的点集；
3）双线性插值法：用双线性插值函数来近似给定的点集；
4）埃尔米特插值法：用埃尔米特插值多项式来近似给定的点集；
5）样条插值法：用样条插值多项式来近似给定的点集。

二次插值计算例题

二次插值计算例题二次插值是一种常用的数值计算方法，用于通过已知数据点的坐标，推导出两个数据点之间的某个点的值。

在二次插值中，我们假设数据具有二次多项式的形式，并通过插值公式求解未知点的值。

以下是一个用于说明二次插值的计算例题：例题：已知数据点的坐标为（1，1）、（2，3）、（3，7），求x=2.5时的y值。

解析：1. 首先，我们需要确定插值多项式的形式。

由于已知的数据点个数为3个，因此我们可以假设插值多项式为二次多项式的形式：P(x) = a*x^2 + b*x + c2. 接下来，我们需要确定多项式的系数a、b和c。

为了确定这些系数，我们可以使用已知数据点的坐标。

3. 首先，我们将已知的数据点代入多项式中，得到以下方程： P(1) = a*1^2 + b*1 + c = 1P(2) = a*2^2 + b*2 + c = 3P(3) = a*3^2 + b*3 + c = 7将方程整理为矩阵形式，得到以下方程组：⎡ 1 1 1 ⎤⎡ a ⎤⎡ 1 ⎤⎢ 4 2 1 ⎥ * ⎢ b ⎥ = ⎢ 3 ⎥⎣ 9 3 1 ⎦⎣ c ⎦⎣ 7 ⎦4. 解方程组，可以得到系数a、b和c的值。

首先，将方程组进行高斯消元法的操作：⎡ 1 1 1 ⎤⎡ a ⎤⎡ 1 ⎤⎡ 1 1 1 ⎤⎢ 4 2 1 ⎥ * ⎢ b ⎥ = ⎢ 3 ⎥ => ⎢ 0 -2 -3 ⎥⎣ 9 3 1 ⎦⎣ c ⎦⎣ 7 ⎦⎣ 0 0 -2 ⎦进行回代运算：-2c = -2 => c = 1-2b - 3c = 3 => -2b - 3 = 3 => b = -2a +b +c = 1 => a - 2 + 1 = 1 => a = 2因此，系数a、b和c的值为2、-2和1。

5. 最后，将得到的系数代入插值多项式中，求解x=2.5时的y 值：P(2.5) = 2*2.5^2 + (-2)*2.5 + 1 = 11.25 - 5 + 1 = 7.25因此，在已知数据点（1，1）、（2，3）、（3，7）的情况下，当x=2.5时，y的值为7.25。

计算方法_课后习题答案

(4.5)(0.01172)

0.00879
（2）采用 Newton 插值多项式 y x N2(x) 根据题意作差商表：
i
xi
0
4
1
6.25
f (xi ) 2 2.5
一阶差商 2 9
2
9
3
2 11
二阶差商 4 495
N2 (7) 2 29 (7 4) ( 4 495) (7 4) (7 6.25) 2.6484848

1
e2
则根据二次Lagrange插值公式得：
L2 (x)

(x ( x0

x1)(x x2 ) x1)(x0 x2 )
y0

(x ( x1

x0 )(x x2 ) x0 )(x1 x2 )
y1

(x ( x2

x0 )(x x1) x0 )(x2 x1)
y2
2(x 1)(x 0.5) 2x(x 0.5)e1 4x(x 1)e0.5
8. 求作 f x xn1 关于节点 xi i 0,1, , n 的 Lagrange 插值多项式，并利用
插值余项定理证明
n
n
xin1li 0 1n xi
i0
i0
式中 li x 为关于节点 xi i 0,1, , n 的 Lagrange 插值基函数。
2 02 12 4 23 4 04 14 2 3
1 x2 3x 2 x 4 3x x2 6x 8 23 x x2 5x 4 1 x x2 3x 2
8
4
8

计算方法第三章(插值法)解答

Aitken（埃特肯）算法 N 0,1,,k , p ( x) L( x) N 0,1,,k ( x)
N 0,1,,k 1, p ( x) N 0,1,,k ( x) x p xk
Neville（列维尔）算法
( x xk )
Ni ,i 1,,k ( x) L( x) Ni ,i 1,,k 1 ( x) Ni 1,i 2,k ( x) Ni ,i 1,,k 1 ( x) xk xi ( x xi )
( x0 , y0 ), ( x1 , y1 )
容易求出，该函数为：
x x0 x x1 y y0 y1 x0 x1 x1 x0
一般插值问题：求过n+1个点
( x0 , y0 ), ( x1 , y1 ),,( xn , yn )
的不超过n次多项式 Ln ( x )。
Ln ( x) yi li ( x )
例子：求方程 x3-2x-5=0 在(2 , 3)内的根思路: 设 y = f(x) =x3-2x-5 ，其反函数为 x=f -1(y)，则根为x* =f -1(0) 。先用3= f -1(16)， 2= f -1(-1)插值，得 N0,1 (y) ≈f -1(y), 计算N0,1 (0)= 2.058823, f(2.058823) = -0.39 ，以-0.39为新的节点，继续……
第三章插值法
第一节插值多项式的基本概念
假设已经获得n+1点上的函数值
f xi yi , i 0,1,, n,
即提供了一张数据表
x
y f x
x0
y0
x1
y1
x2

xn
y2

插值法例题计算过程

插值法是一种数学方法，用于构造一个简单函数来近似地替代原函数，并满足已知的数据点。

插值法有很多种，包括拉格朗日插值法、牛顿插值法、三次样条插值法等。

以牛顿插值法为例，假设我们有一组数据：当折现率为10%时，净现值为121765；当折现率为12%时，净现值为116530。

我们的目标是求出折现率为11%时的净现值。

首先，我们需要构造插值多项式：
P(x) = a_0 + a_1 * x + a_2 * x^2 + ... + a_n * x^n
其中，x是我们要求的折现率，a_i是待求的系数。

然后，我们需要将已知的数据点代入插值多项式中，得到以下方程组：
P(10%) = 121765
P(12%) = 116530
接下来，我们需要解这个方程组，求出a_i的值。

最后，我们将求得的a_i值代入插值多项式中，求解得到折现率为11%时的净现值。

这就是插值法的基本计算过程。

数值分析_第二章_插值法

１ x０
x２０
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
…
xn－１０
…… ………
V n－１（ x０，x１，… ，xn－１）＝
１
xn－２
x２ n－２
…
xn－１ n－２
１
xn－１
x２ n－１
…
xn－１ n－１
∏ ＝
（ xi － xj ）．
０ ≤ j ＜ i ≤ n－１
故知 V n （ x）＝ V n－１（ x０，x１，… ，xn－１）（ x － x０）（ x － x１） … （ x －
＝ R截＋ R舍
＝
f″２（！ξ）（ x －
xi ）（ x －
xi＋１）＋
×
（－
０
．６９３１４７）
＋
（０．５４（０．６
－－
００
．４）（０．４）（０
．５４－０．５）．６－０．５）
× （－０．５１０８２６） ≈ －０．６１５３２０．
４畅解
由题设知０° ≤
x≤
９０° ，h ＝
xi＋１
－
xi
＝
（
１６０
）°
．记
xi
处的准确值为 f i ，带有误差的值为 f i ，则
７，
x
∈
［１，２］，
－
１９２
x３
＋６７ x２
－
２９３２
x
＋
１０５，
x
∈
（２，３］．
四、习题
１畅根据范德蒙行列式的定义，令
V n （ x）＝ V n （ x０，x１，… ，xn－１，x）

CPA.会计第二章插值法计算

专题四资金时间价值一、资金时间价值的概念定义：资金时间价值是指一定量资金在不同时点上的价值量差额。

【提示】理解资金时间价值要把握两个要点：（1）不同时点；（2）价值量差额。

二、终值和现值的计算1.终值又称将来值，是现在一定量的资金折算到未来某一时点所对应的价值，俗称“本利和”，通常记作F。

2.现值，是指未来某一时点上的一定量资金折算到现在所对应的价值，俗称“本金”，通常记作“P”。

现值和终值是一定量资金在前后两个不同时点上对应的价值，其差额即为资金的时间价值。

生活中计算利息时所称本金、本利和的概念，相当于资金时间价值理论中的现值和终值，利率（用i表示）可视为资金时间价值的一种具体表现：现值和终值对应的时点之间可以划分为n期（n≥1），相当于计息期。

【注意】终值与现值概念的相对性。

【思考】现值与终值之间的差额是什么？两者之间的差额是利息.三、利息的两种计算方式1.单利计息方式：只对本金计算利息。

以本金为基数计算利息，所生利息不再加入本金滚动计算下期利息（各期的利息是相同的）。

2.复利计息方式：既对本金计算利息，也对前期的利息计算利息。

将所生利息加入本金，逐年滚动计算利息的方法。

（各期的利息是不同的）。

【提示】除非特别指明，否则在计算利息的时候使用的都是复利计息。

四、复利终值与现值1.复利终值复利终值的计算公式为：F=P（1＋i）n在上式中，（1＋i）n称为“复利终值系数”，用符号（F/P，i，n）表示。

这样，上式就可以写为：F=P（F/P，i，n）【提示】在平时做题时，复利终值系数可以查表得到。

考试时，一般会直接给出。

但需要注意的是，考试中系数是以符号的形式给出的。

因此，对于有关系数的表示符号需要掌握。

【例题1·计算题】某人将100元存入银行，复利年利率2%，求5年后的终值。

【答案】5年后的终值=100×（1+2%）5 =100×（F/P，2%，5）=100×1.104=110.4（元）。

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第二章插值法1．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。

解：0120121200102021101201220211,1,2,()0,()3,()4;()()1()(1)(2)()()2()()1()(1)(2)()()6()()1()(1)(1)()()3x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------==-+--则二次拉格朗日插值多项式为220()()k k k L x y l x ==∑0223()4()14(1)(2)(1)(1)23537623l x l x x x x x x x =-+=---+-+=+- 2．给出()ln f x x =的数值表用线性插值及二次插值计算的近似值。

解：由表格知，01234012340.4,0.5,0.6,0.7,0.8;()0.916291,()0.693147()0.510826,()0.356675()0.223144x x x x x f x f x f x f x f x ======-=-=-=-=-若采用线性插值法计算ln0.54即(0.54)f ，则0.50.540.6<<2112122111122()10(0.6)()10(0.5)()()()()()x x l x x x x x x l x x x x L x f x l x f x l x -==----==---=+6.93147(0.6) 5.10826(0.5)x x =---1(0.54)0.62021860.620219L ∴=-≈-若采用二次插值法计算ln0.54时，1200102021101201220212001122()()()50(0.5)(0.6)()()()()()100(0.4)(0.6)()()()()()50(0.4)(0.5)()()()()()()()()()x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x L x f x l x f x l x f x l x --==------==-------==----=++500.916291(0.5)(0.6)69.3147(0.4)(0.6)0.51082650(0.4)(0.5)x x x x x x =-⨯--+---⨯--2(0.54)0.615319840.615320L ∴=-≈-3．给全cos ,090x x ≤≤的函数表，步长1(1/60),h '==若函数表具有5位有效数字，研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界。

解：求解cos x 近似值时，误差可以分为两个部分，一方面，x 是近似值，具有5位有效数字，在此后的计算过程中产生一定的误差传播；另一方面，利用插值法求函数cos x 的近似值时，采用的线性插值法插值余项不为0，也会有一定的误差。

因此，总误差界的计算应综合以上两方面的因素。

当090x ≤≤时，令()cos f x x = 取0110,()606018010800x h ππ===⨯= 令0,0,1,...,5400i x x ih i =+= 则5400902x π==当[]1,k k x x x -∈时，线性插值多项式为11111()()()k kk k k k k kx x x x L x f x f x x x x x ++++--=+--插值余项为111()cos ()()()()2k k R x x L x f x x x x ξ+''=-=-- 又在建立函数表时，表中数据具有5位有效数字，且[]cos 0,1x ∈，故计算中有误差传播过程。

*5**112111*1111*1*1(())102()(())(())(())()1(())()(())k k k k k k k k k k k k k k k kk k k k f x x x x x R x f x f x x x x x x x x x f x x x x x f x x x x x hf x εεεεεε-++++++++++∴=⨯--=+----≤+--=-+-=∴总误差界为12*1*12*855()()1(cos )()()(())21()()(())211()(())2211.06101020.5010610k k k k k k k R R x R x x x x x f x x x x x f x h f x ξεεε++---=+=---+≤⨯--+≤⨯+=⨯+⨯=⨯ 4．设为互异节点，求证：（1）0()nk kj j j x l x x=≡∑ (0,1,,);k n =（2）0()()0nk jj j xx l x =-≡∑ (0,1,,);k n =证明（1）令()kf x x =若插值节点为,0,1,,j x j n =，则函数()f x 的n 次插值多项式为0()()nk n j j j L x x l x ==∑。

插值余项为(1)1()()()()()(1)!n n n n f R x f x L x x n ξω++=-=+ 又,k n ≤(1)()0()0n n f R x ξ+∴=∴=()nk kj jj x l x x =∴=∑ (0,1,,);k n =000(2)()()(())()()(())nk j j j n nj i k i k j j j i nnik ii kj j i j x x l x C x x l x C x x l x =-==-==-=-=-∑∑∑∑∑0i n ≤≤又由上题结论可知()nk ij jj x l x x ==∑()()0ni k i ik i k C x x x x -=∴=-=-=∑原式∴得证。

5设[]2(),f x C a b ∈且()()0,f a f b ==求证：21max ()()max ().8a xb a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 解：令01,x a x b ==，以此为插值节点，则线性插值多项式为10101010()()()x x x x L x f x f x x x x x --=+--=()()x b x af a f b a b x a--=+--1()()0()0f a f b L x ==∴=又插值余项为1011()()()()()()2R x f x L x f x x x x x ''=-=-- 011()()()()2f x f x x x x x ''∴=-- []012012102()()1()()21()41()4x x x x x x x x x x b a --⎧⎫≤-+-⎨⎬⎩⎭=-=-又∴21max ()()max ().8a xb a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 6．在44x -≤≤上给出()xf x e =的等距节点函数表，若用二次插值求xe 的近似值，要使截断误差不超过610-，问使用函数表的步长h 应取多少？解：若插值节点为1,i i x x -和1i x +，则分段二次插值多项式的插值余项为2111()()()()()3!i i i R x f x x x x x x ξ-+'''=--- 211441()()()()max ()6i i i x R x x x x x x x f x-+-≤≤'''∴≤---设步长为h ，即11,i i i i x x h x x h -+=-=+434321().627R x e h ∴≤=若截断误差不超过610-，则62436()10100.0065.R x h h --≤≤∴≤ 7．若442,.n n n n y y y δ=∆求及，解：根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解。

2n n y =44(1)n n y E y ∆=-44044044044(1)4(1)4(1)2(21)2j j nj j n jj j jnj nn nE y j y j y j y y -=+-=-=⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭=-==∑∑∑ 114422()n n y E E y δ-=-14422422()(1)2nnn n E E y E y y ----=-=∆==8．如果()f x 是m 次多项式，记()()()f x f x h f x ∆=+-，证明()f x 的k 阶差分()(0)k f x k m ∆≤≤是m k -次多项式，并且1()0m f x +∆=（l 为正整数）。

解：函数()f x 的Taylor 展式为2()(1)1111()()()()()()2!(1)!m m m m f x h f x f x h f x h f x h f h m m ξ++'''+=++++++ 其中(,)x x h ξ∈+ 又()f x 是次数为m 的多项式(1)()0()()()m f f x f x h f x ξ+∴=∴∆=+-2()11()()()2!m m f x h f x h f x h m '''=+++()f x ∴∆为1m -阶多项式 2()(())f x f x ∆=∆∆ 2()f x ∴∆为2m -阶多项式依此过程递推，得()kf x ∆是m k -次多项式()m f x ∴∆是常数 ∴当l 为正整数时，1()0m f x +∆=9．证明1()k k k k k k f g f g g f +∆=∆+∆ 证明11()k k k k k k f g f g f g ++∆=-111111111()()k k k k k k k kk k k k k k k k k k k k k kf g f g f g f g g f f f g g g f f g f g g f +++++++++=-+-=-+-=∆+∆=∆+∆∴得证10．证明110010n n k kn n k k k k f gf g f g g f --+==∆=--∆∑∑证明：由上题结论可知1()k k k k k k f g f g g f +∆=∆-∆101101110(())()n k kk n k k k k k n n k k k kk k f g f g g f f g g f -=-+=--+==∴∆=∆-∆=∆-∆∑∑∑∑1110110022111100()()()()()k k k k k k n k k k n n n n n n f g f g f g f g f g f g f g f g f g f g f g f g ++-=--∆=-∴∆=-+-++-=-∑110010n n k k n n k k k k f g f g f g g f --+==∴∆=--∆∑∑得证。