例谈数列中的数学思想_6
高等数学说课稿《数列极限》（精选5篇）
高等数学说课稿《数列极限》（精选5篇）第一篇：高等数学说课稿《数列极限》《数列极限》说课稿袁勋这次我说课的内容是由盛祥耀主编的《高等数学》（上册）第一章第二节极限概念中的数列极限。
这部分内容在课本第18页至20页。
下面我把对本节课的教学目的、过程、方法、工具等方面的简单认识作一个说明。
一、关于教学目的的确定：众所周知，对极限这个概念的理解是高等数学的学习基础，但由于学生对数列极限概念及其定义的数学语言表述的理解比较困难，这种理解上的困难将影响学生对后继知识的学习，因此，我从知识、能力、情感等方面确定了本次课的教学目标。
1．在知识上，使学生理解极限的概念，能初步利用极限定义确定某些简单的数列极限；2．在能力上，培养学生观察、分析、概括的能力和在探索问题中的，由静态到动态、由有限到无限的辨证观点。
体验‚从具体到抽象，从特殊到一般再到特殊‛的认识过程；3．在情感上，通过介绍我国古代数学家刘徽的成就，激发学生的民族自尊心和爱国主义思想情感，并使他们对数列极限知识有一个形象化的了解。
二、关于教学过程的设计：为了达到以上教学目的，根据两节。
在具体教学中，根据‚循序渐进原则‛，我把这次课分为三个阶段：‚概念探索阶段‛；‚概念建立阶段‛；‚概念巩固阶段‛。
下面我将对每一阶段教学中计划解决的主要问题和教学步骤作出说明。
（一）‚概念探索阶段‛ 1.这一阶段要解决的主要问题在这一阶段的教学中，由于注意到学生在开始接触数列极限这个概念时，总是以静止的观点来理解这个描述变化过程的动态概念，总觉得与以前知识相比，接受起来有困难，似乎这个概念是突然产生的，甚至于不明概念所云，故我在这一阶段计划主要解决这样几个问题：①使学生了解以研究函数值的变化趋势的观点研究无穷数列，从而发现数列极限的过程；②使学生形成对数列极限的初步认识；③使学生了解学习数列极限概念的必要性。
2．本阶段教学安排我采取温故知新、推陈出新的教学过程，分三个步骤进行教学。
例谈用函数思想指导数列不等式的证明
只‰ ≤
当
， 欲 证 ％＝
≤
前 述 证 明 其 实 就 是 构 建 函数 后 采 用 作 差 比较 法 探 究 函 数 的单 调 性 ． 与此 法 相 应 的 还 有 构 造 恰 当 的 函 数 探 究 其 最 值 来 实
ｆ ～ ｂ ｎ ＋ ｌ ＋ １ １ — ｂ ＂ － — ２ ＂ ．
２
证 明： 由ｌ 知， 问题 的关键 即证
０， Ｐ≠ １ ） （ ） 亦 即 证 （
Ｐ≠ １ ．
ｐ＂ －Ｉ Ｐ 叶 ＋ １ ）
≤ （ ｐ ” ｌ ＋ １ ） （ ｐ ＞
（ ＋ １ ） （ 善 － １ ） （ ０ ＜ ６ ．
ｉ ￣ － ｂ ＝ ２ ｘ（ ＞ ０， ≠ １ ） ， 则 问题 车 戈 ＋（ １ － ｘ） （ １ ＋ ２ ｎ） ｘ 一 １ ＞０ ／
） （
） ＝ ２ ｎ （ ｐ － １ ） ｐ ＂
（ ｐ＞ ０， （ Ｐ 一１ ） （ ｐ 肿 ＋ Ｊ ） ） ｜ ． － ｌ Ｊ
（ ＞ １ ） ， 或 ＋ （ １ ） （ １ ＋ ２ ｎ ） ｘ ＂ － Ｉ ≤ ０ （ ０ ＜ １ ） ．避厂 （ ）
・
函数 进 行 研 究．
证明 ： 当６ ＝ ２时 ， ＝ ２， ＋１ ＝ ２， 成 立．
散 函 数 的 视 角去 看 ． 则 又是 一 番 景 象．上 面 的 证 明 中利 用相 邻
例谈方程函数思想在初中数列中的妙用
个是 ３ 第 三 个 数 是 Ｉ 则 第 ｎ个数 是 Ｉ
Ａ） ８ － Ｂ） ｎ＋ ｎ５ ｚ２ Ｃ） ４ ｌ ｎ－
（
）
Ｄ） ２ ２４ ＋ ｎ－ ｎ ５
７ ７ ＝ １ ＝ ＋６ ３ ７ １ ：７ ＋ ９ ＋６ ６ ：７ ０ ＋６ ： ＋ ｌ ７ ６ ： ＋ ２ ７ ６ ＝ ＋ ３ ７ ６，
｛ 芝 之： ： 解得｛ 二
所以，Ａ ｎ与 ｎ的一次函数 的解析式为 Ａ ＝ ｋ １ ｎ ４－ ，因此，新数列的第 ｎ
个数是 ４一 。 ｎ １ 三 、具 体 应 用 俗话 说 ：“ 了 鸟枪 ，就 要 打 鸟 ” 请 看下 面的 例 子 吧 ！ 挂 ， 例 ｌ ，如 图 ，将 一 个 正 三角 形 纸 片 剪成 四个 全 等 的 小 三 角形 ， 再将 其 中 的一 个 按 同样 的 方 法 剪 成 四个 更 小 的 三 角 形 ， 如 此 继 续下 去 ， 结 果如 下表 ：
数 列 的 第 ｎ项 的函 数 解 析 式 的方 法 以及 在 解 决 较 难 问题 时 的妙 用 。
【 词１ 函数 关键
数列
妙用
“ 中数列 ”这 种说 法可能有点不妥当 。等差数列 、等 比数列 、公 初
差 、公 比 、 通项 公式 等 这 些 概 念 在 初 中 数 学 中 是 不 出现 的 ，但 其在 初 中 数 学 中 应用 是 非 常 广泛 的 。 所 解 决 数 列 问 题 在 通 常 情 况下 ，教 师是 通 过逐 项 分 析 、研 究 、哉 公 差 ，找 公 比 ， 最 后 摸 索 出通 项 公 式 ，再 利 用 其 它数 学知 识 ，解 决题 目 中 出 现 的 问题 。 这 样 做 对 初 中 学生 来 说 ， 确 实具 有很强 的挑 战性 ，而具有挑 战精 神的优 秀学生却乐此不彼。因此 ，我根 据平 时 的教 学经 验 ，摸 索 出 符 合 初 中生 特 点 的 用 方 程 函数 思 想 来 解 决 这 类 问题 的 方 法 。现 就 等 差 数 列 及 其相 关 内容 ，谈 一 谈 个 人看 法 并 写 出来 供 同行 参 考 。 提 出问题 请 看 这 道题 ：试 一 试 ， 观 察下 面 几 组 数 ：
例谈数学思想在解题中的应用
Ａ． ８ １
一
分析 ： 本题 主要 考查 整 体 化 思 想 的 应 用 ． 镶 嵌 而 成 的 正方 形 图案 ． 已知 该 图 案 的 面 积 为 ４ ． ９ 小正 方 形 比较 题 目中 的 两个 代 数 式 不 难 发 现 ，其 二 次项 系 数 和 的 面积 为 ４若 用 ， 示 小 长 方 形 的边 长 （＞ ）请 观 察 图 ． Ｙ表 ｘｙ ， 次 项 系数 都 是 ３倍 的 关 系 ．所 以可 利 用 整体 代换 的 方 法 案 。 出 以下 关 系 中不 正确 的是 ： 指
想 的应 用 ．
ｘ ６ ７ 故 应 选 Ｄ ＋＝ ， ．
ｊ
通 过 观察 图 形 不 难 看 出 ．大 正 方
二 、 化 思 想 转
形 的 面 积 为 （＋ ） ４ ， 正 方 形 面 积 ｙ： ９ 小 －
所 谓转 化 ， 即设 法把 需 要 解决 的 问题 ， 过 某 种 转 化 过 为 （－ ） ４ 通 ｘ ｙ ￣ ，四个 小长 方 形 的 面 积 为 － － 程 ， 归 到一 类 已经 解 决或 易 于 解 决 的 问题 中 ， 而 使 原 来 ４ ｙ 化 从 ｘ ．由 此 可 进 一 步 得 出 ｘ ｙ ７ ＿ ＝ ＋＝。 ｙ 的 问题 得 到 解 决 ．
２ｘ４， 等． 不 确 是 ２故 选 ，＋９ ４ ＝坼 ｙ 所 正 的 坼 ５应 Ｄ 以 ，
五 、 类 讨 论 思想 分
当题 目中 的条 件 或结 论 不 确 定 或 不 唯一 时 ，会 产 生 几 种可 能 的情 况 ， 要 对 每一 种 情 况 都 进 需
行 分 析 解 决 。 后 综 合 得 出 结 论 ． 就 最 这 要 求 此 人 共 走 了 多 少 米 ， 直 接 计 算 比较 复 杂 ． “ 若 由 道 是分 类 讨 论 ， 分类 时 要 做 到 不 重 不漏 ． 路 宽 为 １米 ” 个 条件 易想 到 ， １ 长 的 道 路 ， 面 积 为 这 每 米 其 例 ５等 腰 三 角 形 一 腰 上 的 中 线 将 ． ｌ 方米． 可将“ 平 故 求共 走 了 多 少 米 远 ” 问 题 转 化 为 “ 所 周 长 分 为 １ 的 求 ２和 ９两 部 分 ， 这 个 三 角 求 走 的道 路对 应 的 面积 为多 少平 方 米 ” 问题 ． ７ ８ ５ （ 的 由 ｘ ＝ ６ 平 形 的 各 边 长． Ｂ
例谈数列问题中的数学思想
点 评 ： 等 价 转 化 法 的 关 键 是 要 明 确 转 化 的 方 向 或 者 说 转 化
的 目标 ． 本 题 转 化 的 关 键 就 是 将 研 究 慨 ２ ３ 取 值 范 围 问 题 转 ｌ 的
２ 解 填 空 题 不 要 求 求 解 过 程 ， 而 结 论 是 判 断 是 否 正 确 的 ． 从 唯一标准 ， 因此 解 填 空 题 时要 注 意 如 下 几 个 方 面 ： （ ） 认 真审题 ， 确要求 ， 维严谨 、 密 ， 算有 据 、 １要 明 思 周 计 准
） ＋
—一 的最大值 为 ， 最
４ 等 价 转 化 法 ．
分析 ： 直接
１ ！！里
２ ＋Ｃ Ｓ Ｏ
，
） 的最大 值 、 小值显然 不可取． 最 化袱 ） ＝
￣ＪＴｇ ） 奇 偶 性 Ｊ （ 的 Ｊ
＋ ＣＯＳ 戈
．
将 所 给 的命 题 进 行 等 价 转 化 ，使 之 成 为 一 种 容 易 理 解 的 语 言 或 容 易 求 解 的模 式 ． 过 转 化 ， 问题 化 繁 为 简 、 陌 生 为 熟 通 使 化
确 ； ２ 要 尽 量 利 用 已知 的 定 理 、 质 及 已有 的结 论 ； ３ 要 重 视 （） 性 （） 对 所 求 结 果 的检 验 ．
化 成 了直 线ｙ ｍ与 曲线ｙ ｆ ｘ） 三 个 交点 的 问题 ， 数 的 问题 转 ＝ ＝（ 有 将
化 成 了形 的 问题 ， 而利 用 图 形 的性 质 解 决． 从
点 评 ： 函 数 有 关 的 填 空 题 ， 据 题 目条 件 ， 活 地 应 用 函 与 依 灵 数 图 像 解 答 问 题 ， 往 可 使 抽 象 复 杂 的 代 数 问题 变得 形 象 直 观 ， 往
例谈排列组合中的数学思想方法
（ ） 对 称法 ２用
） 塞顿开 ， 应得排法 １ ＝ ０ 种 ）选 Ｂ应用 ６（ ， ． 对称思想简洁明快 ， 给人以美 的享受． ３分类划分思想 ． 划分 不但是 掌握外延 的逻 辑方 法 ， 而
例４ ｃ＋ ＋ １ ：— ． ．＋ ｃ … （ ＋） ＝ — ｃ ３１ ２ ２ ｃ ｏ ５＋ 解： ＝ ｃ ５２ ・ ２ １ ：＋ 设ｓｃ ３ ｃ十 ＋ ｎ ）～ ０ １ ¨ （ ＋ ｃ ＋ ＋
贝 （） ： ｃ＋ ＋：＋ １ ＋ ０ １ ｃ ｃ＋：… ｃ ｃ＝＋ ／ ＝ ＋１ ～ ｎ ｎ ｃ … ｃ！ｌ＝（ ＋ ＋。＝ ． ａ ＋ ２ ＋ 【 … ｃ ） ： ＋ ，ｌ １ ）（＋ ’ ２ ＋ － ＋ ｃ ： ：
３种 填 法 ；
例 ３已知集 合 Ａ 和集合 曰各含 １ ． ２个 元素 ， ＡｎＢ含有 ４ 个元素 ， 试求同时满足下 面两个条件的集合 的个数．
（） ｉｃＣＡｎＢ， Ｃ中含有 ３个元素 ； 且
（ｉＣＮＡ≠０ ０表 示 空集 ） ｉ ） （ ．
５函数 思 想 ．
运用 函数 的概念 和性质 ， 过类 比、 通 联
解析 ：１ 可以先用常规解法分类法求 （）
合ｃ 曰 取０ 元 有ｃｃ ｎ 中 个 素， ：０ ： 。
①Ａ在左边第一位时有 ４ 种排法 ； １ ②Ａ在左边第二位时有 Ｐｔ１ 法 ； ３ ３ 种排 ③Ａ在左边第三位时有 Ｐ ！ 种排法 ； ④Ａ在左边第 四位时有 ３种排法． １
（ ＋） ， ２ １： ｃ
・ ． ．
解析 ： 用化归思想建立数学模 型转化为
数学 问题 ：用 １２ ３ ４这 ４个 数字组成无 “ ，，， 重 复的 四位数 ， 中 １不在个位 ， 在十 其 ２不 位 ， 在百位 ， ３不 ４不在 千位 上 的四位数 有
例谈整体思想在数学解题中应用[论文]
例谈整体思想在数学解题中的应用摘要：整体思想是一种重要的数学思想方法，它是从整体上把握全局，注重问题的整体结构和特征，分析条件和结论的联系，从而使问题得以解决，常能化繁为简，变难为易，使解题过程显得简洁明快。
关键词：数学思想整体思想数学是一门具有严密逻辑性的基础学科，随着人类的进步和科学的发展，人们对数学的严密性和逻辑性有了更高的要求，因此，数学教师从教学的一开始就要有意识地培养学生的数学思维品质，有意识地贯穿数学思想方法，激发学生的创新思维和寻求新知识新方法的欲望，使学生把握一些解题的规律和方法，这样把学生从各种纷繁复杂的题型中解脱出来，使他们从中得到一些乐趣，在乐中求新，在新中获得更大的收益，其中整体思想是一种经常用到的数学解题的思想方法。
整体思想作为一种重要的思想方法，它在中学数学的各个方面都有广泛的应用。
学生若能灵活运用整体思想，常常能化繁为简，变难为易，提高解题的准确性和灵活性。
整体思想，就是在处理与解决问题时，胸怀整体的全局，暂时忽略或模糊问题的某些局部，注重问题的整体结构和整体特征，从整体上把握解决问题的方向，从整体上分析条件和结论的联系，并作出决策。
对于有一些数学问题，我们如果从局部入手，难以各个突破，但若能从宏观上进行整体分析，运用整体思想方法，则能化零为整，化分散为集中，使解题过程显得简洁明快，体现和谐美和数学美。
下面我们通过具体实例来探究整体思想在解题中的应用。
一、在求函数值中的应用例：已知函数f（x）=x3+x+sinx+2，且f（-2）=8则：f（2）=（）a.10b.6c.-4d.8解析：由于y=x3，y=x，y=sinx都是奇函数，所以将x3+x+sinx 看作一个整体，故设g（x）=x3+x+sinx，（此函数为奇函数）所以f（x）=g（x）+2∵f（-2）=8 ∴f（-2）=g（-2）+2∴g（2）=-6∴f（2）=g（2）+2=-4，故选c。
二、在函数单调性中的应用例：求函数y=（x2+5）/（x2+4）1/2的最值。
例谈整体思想在数列中的应用
＝ ｌｏｇ２ ( ａ８１ ｑ２３ × ４ ) ＝ ｌｏｇ２ ( ａ２１ ｑ２３ ) ４ ＝ ｌｏｇ２２１６ ＝ １６.
例 ５
在等差数列 { ａｎ }中ꎬ公差为
１ ２
ꎬ且
ａ１
＋
ａ３
＋
������
＋ ａ９９ ＝ ６０ꎬ求 ａ１ ＋ ａ２ ＋ ������ ＋ ａ９９ ＋ ａ１００ . 分析一 利用等差数列求和公式ꎬ整体求出 １００ａ１ ꎬ
学ꎬ１９９６(１０) :３０ － ３１.
[ 责任编辑:杨惠民]
收稿日期:２０１８ － ０４ － １５ 学一级教师ꎬ从事高中数学教学工作.
— ４７ —
再求和.
解法一 因为数列 ａ１ ꎬａ３ ꎬ������ꎬａ９９ 是公差为 １ 的等差
数列ꎬ所以 ５０ａ１
＋
５０
× ２
４９
×１
＝ ６０ꎬ解得 １００ａ１
＝
－ ２３３０.
所以
ａ１
＋
ａ２
＋
������
＋
ａ９９
＋
ａ１００
＝ １００ａ１
＋
１００ × ２
９９
×
１ ２
＝
－
２３３０ ＋ ２４７５ ＝ １４５.
分析二 根据等差数列的性质ꎬ联系未知与已知ꎬ应
＋ ( ａ９９ ＋ ｄ) ＝ ａ１ ＋ ａ３ ＋ ａ５ ＋ ������ ＋ ａ９９ ＋ ５０ｄ ＝ ６０ ＋ ５０ ×
１ ２
＝
８５. 所以 ａ１ ＋ ａ２ ＋ ������ ＋ ａ９９ ＋ ａ１００ ＝ ６０ ＋ ８５ ＝ １４５.
参考文献:
[１]王南林. 整体思想在数列中的应用[ Ｊ]. 中学数
＝ ２４８ ꎬ得
例谈排列组合中的数学思想方法
将研究对 象在一定条件下转化并归结 为另 一种研究 对象 的 思想方法称之 为化归转化思想 ．一般将有 待解决 的问题进行转 化 ，使 之成 为大家熟悉的或容易解 决的问题模式 ．
要 的是 ，过 了多 年 以后 ，他 们 掌 握 的数 学 知 识 可 能会 淡 忘 ，或
解 ： （ ）若用四种颜色 给Ｂ，Ｄ，Ｅ，Ｆ １ 涂色 ，则Ａ 必 同 与Ｆ
色 ，Ｃ 也同色 ，故有 × × ＝４ 与Ｅ １１２ 种涂色方法 ； 者 高中数 学知识在他们 将来所从 事的 Ｔ作 中可能无用 武之地 ， （ ２）若 用ｉ种 颜 色给Ｂ，Ｄ，Ｅ，Ｆ 色 ：① 当Ｂ、Ｄ同色 涂 但深深地铭 刻于头脑 中的数学思 想将随时 随地发生作用 ，使他 时 ，Ａ、 ｃ 有 ２ 颜 色 可 选 ；② 当 Ｂ、Ｅ同 色 时 ，Ａ有 ２ 颜 色 都 种 种 们受益终生 ．
，
（ ） 的值 ； １ 求ｃ． （ ２）组合数 的两个 性质 ：① ｃ ｃ ；② ｃ ＋ ＝ｃ ： ＝ ｃ 是
一
５ 整 体 思 想 ．
从 问题 的整体性 质 发 ，突 出对 问题 的整体结 构 的分 析
否都能 推广到 （ Ｒ， 是正整数 ）的情 况？若能推广 ，则 和 改造 ，发 现 问题 的 整体结 构 特征 ，把某 些式 子或 图形看 成 写 出推广的形 式并 给出证 明；若不能 ，则说明理由 ； 个整体 ，把 握 它们之 间 的关联 ，进 行有 目的的 、有 意识 的 （ ３）已知组 合数 ｃ 是正 整数 ，证 明 ：当 ｚ，ｍ是正整 整 体 处 理 。
ｘ ｘｘ－１ ｘ－２ （ （ ） （ ） ｘ－ｍ＋１ ｘｘ １（ ） （ ）
－ ． －
— — ． ． ． ． ． ． ． ． ． －
分析 ：将４ 名男生看 作一个整 体Ａ，５ 名女生看作 一个整体 Ｂ先整体 ，将Ａ、Ｂ ． 排队 ，有 种排法 ；后局部 ，男生有 种排 ；
例谈与数列有关的综合问题的解题技巧
例谈与数列有关的综合问题的解题技巧作者：徐义来源：《数学大世界·中旬刊》2019年第04期通过对近几年的数学高考题目进行一定的观察和总结，发现有关数列的题目出现频率比较高，不仅仅和函数、不等式等数与代数的部分相结合，有时还涉及三角形、立体几何等图形方面的知识。
数列是一种比较特殊的函数，需要教师熟练掌握相关概念，联想题目的特征，联想自身做题经验，找到解题方向，提高做题的效率。
数列就是按照一定的排序方式排列的一列数字，数列中每一个数都是这个数列的项。
数列也是一定定义域为正整数集的函数，而且数列所对应的数列通项公式也就是其函数的解析式。
对于高中生来说，数列的学习是一个重要部分，其中蕴含着多种多样的数学思想和数学方法，数列中涉及的问题也比较考查学生的归纳能力和逻辑能力，反映了学生对数列学习的深度，表现着学生的技巧性，所以数列的相关内容经常出现在每年的高考题目中，成为一道必考题。
数列作为特殊函数，在实际中也有广泛的应用，比如银行的信贷、养老保险等，这就需要学生不仅仅能够熟练掌握有关数列的相关问题，还要能够善于观察题目的特点，结合原有解题经验，迅速锁定解题的方向，提高解题的效率。
下文笔者就将针对数列题目来归纳一般的解题方式和思路。
一、与不等式知识结合在不等式和数列结合的题目中，主要考查的是数列的定义和等差数列的定义，题目上一般是已知Sn求an的基本题目，其中涉及的数学思想和数学方法为归纳法或者是利用放缩法去证明不等式。
这种函数和数列相结合的题目在高考中考到的几率比较大，学生应该多多掌握求出前n项和的各种方式，比如通过相加、相减或者相乘的方式来化简，从而提高解题的效率。
三、与最值、极限相结合数列和最值结合的题目主要就是考查学生对不等式和最值定义性质、数列性质等知识的掌握，大多数题目都会给出Sn和an之间的关系，并且要求出相应的通项公式，然后再构造出一个不等式来使之恒成立，其中涉及某个未知数的值，一般会要求学生求出未知数的最大值或者最小值。
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例谈数列中的数学思想高中数学常见的数学思想有:方程思想、函数思想、分类讨论思想、化归与转化、整体思想等；在高中数学教学过程中，加强数学思想方法的渗透，培养学生的思维能力，显得非常重要。
下面通过几道例题浅谈数列解题过程中渗透的数学思想,不当之处,敬请批评指正.1、方程思想在数列中运用等差（比）数列一般涉及五个基本量：n n S a n q d a ,,),,1（或.于是“知三求二”成为等差（比）数列中的基本问题，可运用方程思想，通过解方程（组）求解。
例1：等差数列{}n a 的前n 项和为S n，且S 12=84，S 20=460，求S28。
解：由已知得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=-+4602)112(2020842)112(121211d a d a ，解得4,151=-=d a .故10922)128(2828128=-+=d a S .在解决问题中利用方程揭示问题隐含的等量关系，从而显露设问与条件的联系。
等差（比）数列基本量之间的关系决定了方程思想在等差（比）数列问题中得以广泛运用。
例2、实数4321,,,a a a a 都不为0，且0)(2)(23224312242221=+++-+a a a a a a a a a ，求证：321,,a a a 成等比数列，且4a 为其公比。
分析：题中出现了四个变量，切不可乱了阵脚眉毛胡子一把抓，要抓住一个进行研究，观察后发现以4a 为主研究简单。
证明：由题设知，4a 是一元二次方程0)(2)(232231222221=+++-+a a x a a a x a a 的实数根 所以0)(4))((4)(4231222322222123122≥--=++-+=∆a a a a a a a a a a所以312231220a a a a a a =⇒=-因为)4,3,2,1(0=≠i a i 所以321,,a a a 成等比数列 由求根公式得：12312131222213124)()(2)(2a a a a a a a a a a a a a a =++=++= 所以4a 为其公比。
评注：对已知等式进行整体观察，发现4a 是某一元二次方程的根，从而得出巧妙的解答，颇具代表性。
例3、已知),0(,51cos sin πααα∈=+，则αcot 的值是__________。
分析：初观之，易两边同时平方---比较复杂；细察之，联想等差数列的性质，构造等差中项求解---非常简洁。
解：由),0(,51cos sin πααα∈=+，知ααcos ,101,sin 成等差数列 设公差是t ，则t t +=-=101cos ,101sin αα 由1)101()101(1cos sin 2222=++-⇒=+t t αα,解之得:107±=t又),0(πα∈,0,0101sin <>-=∴t t α107-=∴t 即53cos ,54sin -==αα,所以43cot -=α评注：也可将51cos sin =+αα同时平方得sin cos αα，进而得到57cos sin =-αα解方程组求解。
2、函数思想在数列中运用数列可以看作定义域为正整数集（或其有限子集）的特殊函数。
运用函数思想去研究数列，就是要借助于函数的单调性、图像和最值等知识解决相关问题。
它不仅使问题简化，而且可以加深对知识的理解。
例4、已知数列}{n a 的通项na n 21=，n S 为其前n 项的和。
求证：n S n <证明：构造函数n nn f -++++=21...32122121)(则112121...32122121)1(+-++++++=+n n n n f两式作差得：nn n n n n n f n f ++-+=-+-+=-+11121)1(121)()1( 因为n n n ++>+112，所以nn n ++<+11121 即)()1(n f n f <+，则函数)(n f 在其定义域内是减函数又因为0)1()(,021121)1(<≤∴<-=-=f n f f ，即021...32122121<-++++n n，也就是n S n < 评注：数列是特殊的函数，构造函数后，问题转化为证明0)(<n f ，即0)(max <n f例5、已知数列}{n a 中，11=a ，且点))(,(*1N n a a P n n ∈+，在直线01=+-y x （1）求}{n a 的通项公式； （2）求)2,(1...11*21≥∈++++++n N n a n a n a n n的最小值。
分析:(1)由等差数列的通项是关于n 的一次函数,易判断}{n a 是等差数列;又一次函数的斜率就是其公差,易得通项公式;(2)数列是特殊的函数,求数列最值时往往从研究其对应的函数入手,打开突破口. 解：（1）由题设11=a ，11=-+n n a a ，即n n a n =⋅-+=1)1(1 （2）构造函数n n n n n f ++++++=1...2111)( 则)1(21...3121)1(++++++=+n n n n f 于是11111(1()021*******f n f n n n n n n +-=+-=->+++++ )()1(n f n f >+∴，即函数N n n n f y ∈≥=,2),(是增函数故)(n f 的最小值是127221211)2(=+++=f 评注: 数列是特殊的函数，构造函数后，问题转化为判断函数的单调性，从而得到最值。
这种看似“无中生有”的想法，决非一时的突发奇想，它靠的是扎实的基本功和对事物敏锐的洞察力，只要我们平时注重知识的联系，善于将一个问题移植于一种崭新的情景中去研究，就会灵感顿生，从而创造性解决问题。
例6、已知等差数列}{n a 的前 m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（）A 、130 B 、170 C 、210 D 、260分析:等差数列的前n 项和n S =21()22d dn a n +-,可以看成关于 n 的二次式函数,则n S n可以看成关于n 的一次式函数. 一次函数图像是一条直线,那么三个点30(,)m m 100(2,)2m m 3(3,)3m S m m就在同一条直线y an b =+上,利用斜率相等,得它的前3m 项和为210.选(C).例7、递增数列}{n a ，对任意正整数n ，2n a n n λ=+恒成立，求λ.分析：2n a n n λ=+看成函数2()f x x x λ=+，它的定义域是{}1,x x x N ≥∈，要使函数2()f x x x λ=+为递增函数，即单调增区间为[)1,+∞,抛物线对称轴2x λ=-至少在1x =的左侧，不过由于函数为离散函数，对称轴2x λ=-在 1.5x =的左侧也可以，因为B 点可以比A 点高。
于是，322λ-<，得 3.λ>- 例8、若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的首项均为1，且公差0d >，公比1q >，则集合*{|},n n n a b n N =∈的元素个数最多是（ ）个A 、1B 、2C 、3D 、4解析：数列是特殊的函数，等差数列{}n a 是直线上的点 且直线的斜率是公差，由0d >知，对应函数是增函数；等比数列{}n b 例9、已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，其公比1q ≠，0n b >，若111111,a b a b ==，则（ ） A 、66a b = B 、66a b > C 、66a b < D 、6666a b a b ><或 解析：利用指数函数是凹函数的特性，可知选B ；可推广至：(1,2,3......)i i a b i >= 例10、在等差数列{}n a 中，n S 是前n 项的和，公差0d ≠。
（1）若,()n m a m a n m n ==≠，求m n a +； （2）若()m n S S m n =≠，求m n S +。
解析：（1）由1()n a dn a d =+-知n a 是关于n 的一次式则三点(,),(,),(,)m n m n m a n a m n a ++三点共线，故任意两点连线斜率相等 即()m n m n m a a a am n m n m+--=+--，解得0m n a +=（2）由211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-可知:n S 是关于n 的二次式，且无常数项 故可构造函数21()()22d d f x x a x =+- 由()m n S S m n =≠得()()f m f n =则2m nx +=是此函数的对称轴， 因此()(0)0f m n f +==，即0m n S +=另解：由211(1)()222n n n d d S na d n a n -=+=+-得122n S d dn a n =+- 则n Sn大关于n 的一次式，所以三点(,),(,),(,)m n m n S S S m n m n m n m n +++共线利用任意两点连线斜率相等易求得0m n S +=。
例11、已知等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，满足675S S S >>，下列结论不正确的是（ ） A 、0d < B 、110S > C 、120S < D 、130S < 解析：由675S S S >>可知760,0a a <>，故0d <； 由n S 有最大值，且与n S 相对应的二次函数的对称轴在区间1113(,)22内又00S =，所以130S >，故选D 。
例12、在等差数列{}n a 中，59750a a +=，且95a a >，则使数列前n 项和是n S 取最小值的n 等于_______。
解析：传统解法是13170a d +=得1173()03a d +=，再由95a a >知0d > 所以670,0a a ><，即6n =但若注意到等差数列中n a 是一次函数，则由一次函数的线性特征1212()()...()...()n nf x f x f x x x x f n n++++++=可知59750a a +=即755912120a ⨯+⨯=所以2030a =，又670,0a a ><得6n =例13、已知*1111...()23n S n N n=++++∈，定义211()n n f n S S ++=-，试确定m 的取值范围，使得对于大于1的自然数n ，不等式22111()[log (1)][log ]20m m f n m m ->--恒成立。