八年级数学第15章因式分解复习课课件人教版
3、已知：2x-3=0，求代数式x(x2-x)+x2(5-x)-9的值
解：原式=x3-x2+5x2-x3-9 =4x2-9 =(2x+3)(2x-3) 又∵ 2x-3=0, ∴ 原式=0
今天，我们复习了分解因式的那些知识？
下课了!
把下列各式分解因式： 把下列各式分解因式： (1) 4x2-16y2
解:原式=4(x2-4y2) =4(x+2y)(x-2y)
(2)
x2+xy+ y2.
(x2+2xy+y2) (x+y)2
解:原式 = =
⑶ -x3y3-2x2y2-xy
解:原式=-xy(x2y2+2xy+1) =-xy(xy+1)2
解：原式=(a+1)(a-2)
⑷分组分解法：
分组的原则： 分组的原则：分组后要能使因式分解继续下去 1、分组后可以提公因式 2、分组后可以运用公式
例题：把下列各式分解因式 例题： ① 3x+x2-y2-3y
解：原式=(x2-y2)+(3x-3y)
② x2-2x-4y2+1
解：原式=x2-2x+1-4y2 =(x-1)2-(2y)2 =(x+y)(x-y)+3(x-y) =(x-1+2y)(x-1-2y) =(x-y)(x+y+3)
一提 二套
对任意多项式分解因式， ① 对任意多项式分解因式，都必须首先考 虑提取公因式。 虑提取公因式。
♦ ② 对于二项式，考虑应用平方差公式分解。 对于二项式，考虑应用平方差公式分解。
对于三项式， 对于三项式，考虑应用完全平方公式或十字相 乘法分解。
Байду номын сангаас
三分 四查
③再考虑分组分解法 ④检查：特别看看多项式因式是否 检查： 分解彻底
（二）分解因式的方法： 分解因式的方法：
（1）、提取公因式法 ） ）、运用公式法 （2）、运用公式法 ）、 （3）、十字相乘法 ）、十字相乘法 （4）、分组分解法 ）、分组分解法
）、提公因式法 （1）、提公因式法： ）、提公因式法：
如果多项式的各项有公因式， 如果多项式的各项有公因式，可以把这个公 因式提到括号外面，将多项式写成乘积的形式。 因式提到括号外面，将多项式写成乘积的形式。 这种分解因式的方法叫做提公因式法。 这种分解因式的方法叫做提公因式法。 即： ma + mb + mc = m（a+b+c） （ ） 例题： 例题：把下列各式分解因式 ① 6x3y2-9x2y3+3x2y2 解：原式=3x2y2(2x-3y+1) (xy(y③ (x-y)2-y(y-x)2 解：原式=(x-y) 2(1-y) ②p （ y - x ） - q （ x - y ） 解：原式=p(y-x)+q(y-x) =(y-x)(p+q)
(4)81a4-b4
解:原式=(9a2+b2)(9a2-b2) =(9a2+b2)(3a+b)(3a-b)
⑸(2x+y)2-2(2x+y)+1 (2x+y)+1
解：原式=(2x+y-1)2
（6) (x-y)2 - 6x +6y+9
解：原式=(x-y)2-6(x-y)+9 =(x-y-3)2 (8) (x+1)(x+5）+4 解：原式=x2+6x+5+4 =(x+3)2
（2）运用公式法： ）运用公式法：
解：原式=(3x)2-2·(3x) ·1+1 =（3x-1)2
⑶十字相乘法
公式： 公式：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) a 1 b 例题： 例题：把下列各式分解因式 ① X2-5x+6
1 1 -2 -3
1
② a2-a-2
1 1 1 -2
解：原式=（x-2)(x-3)
运用公式法中主要使用的公式有如下几个： 运用公式法中主要使用的公式有如下几个： ＝（a＋ ）（ ）（a－ ） ① a2－b2＝（ ＋b）（ －b） ② a2 ＋2ab＋ b2 ＝（ ＋b）2 ＋ ＝（a＋ ） a2 －2ab+ b2 ＝（ －b）2 ＝（a－ ） 例题： 例题：把下列各式分解因式 ①x2－4y2 ② 解：原式= x2-(2y)2 x+2y)(x-2y） =（x+2y)(x-2y） [ 平方差公式 ] [ 完全平方公式 ] [ 完全平方公式 ] 9x2-6x+1
+xy⑺ x2y2+xy-12
解：原式=(xy-4)(xy+3)
应用： 1、 若 100x2-kxy+49y2 是一个完全平方式, 则k=（ ±140 ） 2、计算(-2)101+(-2)100
解：原式=（-2)(-2)100+ (-2)100 =(-2)100(-2+1)=2100· (-1)=-2100
复习课
定义 方法 步骤 练习 小结
把一个多项式化成几个整式的积的形式， 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫 分解因式。 因式分解。 做多项式的分解因式 也叫做因式分解 做多项式的分解因式。也叫做因式分解。
→几个整式的积 即：一个多项式 →几个整式的积 注：必须分解到每个多项式因式不能 再分解为止
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人教版八年级数学上册第15章《分式》复习ppt精品课件
10、解分式方程:
（1） 3 1 3 2x 2 1 x
解：两边同乘 2( x 1)
3 2(x 1)
2(x 1)
1
2(x 1) 3 2(x 1)
x 1
经检验：
3 2 6x 36 6x 7
x 7 x 7 是方程的6解
6
一化(整式) 二解
三“检验”
6、计算
(1)a 2b3 (a 2b2 )3
(2) (2ab2c 3 )2 (a 2b)3
（3）
ab ab
2
ba a
3
a2
1
b2
7.若方程 应是
3 有2 增根 1，则增根
2x 4 x 2
8.解关于x的方程
2
ax
3
11、八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自 行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时 到达。已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速 度？
解:设自行车的流速为
x，k汽m/车h 为
； 2x km/h
1、先找关系式； 2、“设”要完整； 3、应用题也要写“检验”；
分母不变，分子 相加减
x2 2x x2 2x
x 2x 2
4x x2 4
(2) a2 a b ab
原式 a2 a b ab 1 1
a2 a(a b) b(a b) ab
原式 a2 （a b) ab
a2 (a b)(a b) a b 1(a b)
1 2 4
初二备课组
5、整数指数幂：
人教版八年级上第15章整式的乘法和因式分解-7.ppt
同底数幂的乘法法则: am · an＝am+n（m,n为正整数）
算一算：
1.
28×27＝
215
2. 52×53＝55 4. a3×a4＝ a7
3.
7 2 5 10 10 ×10 ＝
1、（ 28 )× 27＝215 3、（ 102 )×105＝107
2、（ 52 )×53＝ 55 4、（ a3 )× a4＝a7
3、计算：
(1) ( x) x
5 2 5 2 2 2
( 2) ( m ) (m )
(3) x
16 5
（ x） x
3 3 4 3
3
(4) [(a ) (a ) ] (a ) (a )
2 3
3 2
4.
1)已知xa=2，xb=3，求x2a-b的值。
2)已知3m=2, 9n=10, 求 3m-2n 3 的值
思考与讨论
a≠0
m>n
?
说明：a可以代表数，单项式和多项式
现在你能解决我们一开始遇到的问题吗？
216÷28 ＝216-8=28
所以，这种移动存储器能存储这样的数码照片28张
归纳与梳理
已学过的幂运算性质
（ 1 ） am· an=am+n ( m、n为正整数) （2）am÷an=am-n (a≠0 m、n为正整数且 m>n) （3）(am)n=amn ( m、n为正整数) （4）(ab)n=anbn ( m、n为正整数)
15.4.1 同底数幂的除法(1)
态度决定一切， 积极的态度就是 积极的人生。
8K， 一种数码照片的文件大小是 2 问题 一个存储量为26M(1M=210K)的移动存储 器能存储多少张这样的数码照片？
人教版初中数学八年级上册《第15章分式复习课》
4
＋
－
抽取若干 定义 (可重复) 分母中含有未知数的方 程叫做分式方程.
组分式
1
x 1
1 x2
x 1
4
解分式方程， 并归纳步骤.＋Leabharlann －
小结
去分母，化成整式方程 检验 解整式方程 写出原方程的解.
话分式
通过本节课的学习，你收获了什么？
知识
分数
类 比
注意事项
数学思想
分式
约 分
{
转 化
2 2
针对其中一个， 设计问题考大家
小结
2.最简分式：分子与分母没有公因式的分式．
A A 1.若分式 B 有意义，则 B≠0； 若分式 B 无意义，则 A 若分式 B 的值为零，则 A=0且 B≠0.
B=0；
3.分式的基本性质：分子与分母乘(或除以)同一个不 等于0的整式，分式的值不变.
玩分式
任选两个
＋
－
任选一个
同桌两人互相出 题解答并评判， 交流归纳注意点.
玩分式
2 1 x
x 1 x
1 x x2 1
－
已知 x =
2
x x2 1
2 2 选一个你喜欢的 x 1
1 x x
＋
整数 x 代入求值.
组分式
1
组成分式方程
x 1
1 x2
x 1
得分式
小明回家复习分式的运算，在 整理笔记时发现一道题，
1 x2 x 1 1 x
“ ”处的运算符号和括号里 的式子都被墨水遮住了，你能将这 道题补充完整吗？
八年级上_第十五章整式的乘除与因式分解复习课件
第十五章 整式乘除与因式分解
单项式的乘法法则： 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在 一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 单项式与多项式的乘法法则： 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所 得的积相加． 多项式与多项式的乘法法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每 一项相乘，再把所得的积相加． 单项式的除法法则： 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在 被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
1.从左到右变形是因式分解正确的是( D ) A.x2-8=(x+3)(x-3)+1 B.(x+2y)2=x2+4xy+4y2 C.y2(x-5)-y(5-x)=(x-5)(y2+y) D. 2a 2 - 1 （a 2 - 1 ） （a 1 ）a 1 ) 2 2 (
2
4
2
2
2.下列各式是完全平方式的有( 1 2 ① x －４ x 4
计算： 3(-x)5+(-x4)2-(2x2)4 +(-x10)÷(- 1 x)2 x 3 考查知识点：（当m,n是正整数时） 1、同底数幂的乘法：am · n = am+n a 2、同底数幂的除法：am ÷ an = am-n ； a0=1(a≠0) m )n = amn 若(x-3)x+2=1, 3、幂的乘方: (a 求 x的值 4、积的乘方: (ab)n = anbn 5、合并同类项:
C ) C. 0 D. 1
2.已知 532 - 1 能被20 - - - 30之间的两个整数 整除,这两个整数是 ( C ) A. 25,27 B. 26,28 C. 24,26 D. 22,24 A ) 3.若 x 2 mx -10 (x - 2)(x 5) 则m=( A. 3 B. -10 C. -3 D.-5
人教版八年级上第15章整式的乘法和因式分解-11.ppt
你会运用平方差公式计算吗？
(3x+2)(3x-2) 3x 2 3x 2 =(3x)2 - 22 = 9x2-4
2 2 a + a b = a b ( b)( )
用公式关键是识别两数 符号相同的项 a 符号相反的项 b
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例1运用平方差公式计算
[想一想]:这几道题目有什么共同特点? 从计算结果你能发现什么规律?
猜想:(a+b)(a-b)=
2 2 a -b
?
(a+b)(a-b) = a2-ab+ab-b2 =a2-b2
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2 2 (a+b)(a-b)=a -b
特征:
两个二项 式相乘
15.2.1
平方差公式
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探究
计算下列多项式的积,你能发现什么规律?
(1) (x+3)(x-3)= x2-9 =x2-32
2-4 m =m2-22 (2) (m+2)(m-2)=
;
;
(3) (2x+1)(2x-1)= 4x2-1 =(2x)2-12 ;
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2 2 (a+b)(a-b)=a -b
运用平方差公式计算： 2-q2 p 1、(p+q)(-q+p) =
2、(-x-y) (x-y) =
位置变化
符号变化 系数变化
y2-x2 4a2-b2 x4-y4
3、(2a+b)(2a-b) = 4、(x2+y2)(x2-y2)=
变式三 (－3X＋2)(3X＋2) =22-(3x)2
人教八年级数学上册《 15.4 因式分解》课件
练习一 理解概念
判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是 因式分解?
(1) x2－4y2=(x+2y)(x－2y)； 因式分解
(2) 2x(x－3y)=2x2－6xy
整式乘法
(3) (5a－1)2=25a2－10a+1 ； 整式乘法
(4) x2+4x+4=3)=a2－9 (6) m2－4=(m+2)(m－2) ；
例1 把8a3b2 + 12ab3c 分解因式. 解:8a3b2+12ab3c =4ab2•2a2+4ab2•3bc =4ab2(2a2+3bc).
例2 把 2a(b+c) -3(b+c)分解因式.
分析:( b+c)是这个式子的公因式,可以直接提出.
解:2a(b+c) – 3(b+c) =(b+c)(2a-3).
动手试一试你会了吗？
把下列各式用提公因式法因式分解
①3mx-6my ②x2y+xy2 ③12a2b3－8a3b2－16ab4
练习:
1.把下列各式分解因式:
(1)8m2n+2mn;
(2)12xyz-9x2y2;
(3)2a(y-z)-3b(z-y); (4)p(a2+b2)-q(a2+b2).
2.先分解因式,再求值: 4a2(x+7)-3(x+7),其中a=-5,x=3.
15.4 因式分解
:整式的乘法
计算下列各式:
x(x+1)= x2 + x ； (x+1)(x－1)= x2－1 .
630能被哪些数整除？ 说说你是怎样想的。
632 03257
人教版八年级数学上册《十五章 整式的乘除与因式分解. 15.4 因式分解..(通用)》公开课课件_4
（5） x2 4x 4 x 22
（√）
创设情景
学校打算把操场重新规划一下，分 为绿化带、运动场、主席台三个部分， 如下图，计算操场总面积。
a
b
c
m
方法一：S = m ( a + b + c ) 方法二：S = ma + mb + mc
a
b
c
mm
m
方法一：S = m ( a + b + c )
方法二：S = ma + mb + mc 下面两个式子中哪个是因式分解？
m ( a + b + c ) = ma + mb + mc ma + mb + mc = m ( a + b + c )
在式子ma + mb + mc中，m是这个多项式 中每一个项都含有的因式，叫做 公。因式
在下面这个式子的因式分解过程中， 先找到这个多项式的公因式，再将原式除 以公因式，得到一个新多项式，将这个多 项式与公因式相乘即可。
这种方法叫做提公因式法。
ma + mb + mc = m ( a + b + c )
提公因式法一般步骤：
1、找到该多项式的公因式， 2、将原式除以公因式，得到一个新多项式， 3、把它与公因式相乘。
如何准确地找到多项 式的公因式呢？
1、系数
所有项的系数的最大公因数
2、字母
应提取每一项都有的字母， 且字母的指数取最低的
式 4ab2.
解：8a3b2 12ab3c
4ab2 2a2 4ab2 3bc
4ab2 2a2 3bc
初中数学经典课件：因式分解(人教版)
全平方公式吗？
a b2 a2 2ab b2 a b2 a2 2ab b2
a b2 a2 2ab b2
计 算
x 44 x _x_2__8_x__1_6__
： 7 b2 _b_2__1_4b___49__
m 99 m __m_2__1_8_m__8_1_
这两个数的积的两倍，等于这两个 数的和（或差）的平方。
牛刀小试(对下列各式因式分解)： ① a2+6a+9 = _______(a_+__3_)2______ ② n2–10n+25 = _____(n__–_5_)2______ ③ 4t2–8t+4 = _______4_(_t–_1_)_2_____ ④ 4x2–12xy+9y2 = ___(2_x_–_3_y_)_2____
② – 4x2 + y2 = y2 – 4x2 = (y+2x)(y–2x) = – ( 4x2 – y2 ) = – (2x+y)(2x–y)
③ x4 – 1 = (x2)2 – 12 = (x2+1) (x22+–11))(x–1)
因式分解一定要分解彻底 !
④ x2 – x6
④ x2 – x6
既然是二次式，就可以写成(ax+b)(cx+d)的形式。 (ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd
所以，需要将二次项系数与常数项分别拆成两 个数的积，而这四个数中，两个数的积与另外两 个数的积之和刚好等于一次项系数，那么因式分 解就成功了。
6 x2 + 7 x + 2
2
1
3
2 ∴6x2+7x+2=(2x+1)(3x+2)
a b2 a2 2ab b2 a b2 a2 2ab b2
a b2 a2 2ab b2
计 算
x 44 x _x_2__8_x__1_6__
： 7 b2 _b_2__1_4b___49__
m 99 m __m_2__1_8_m__8_1_
这两个数的积的两倍，等于这两个 数的和（或差）的平方。
牛刀小试(对下列各式因式分解)： ① a2+6a+9 = _______(a_+__3_)2______ ② n2–10n+25 = _____(n__–_5_)2______ ③ 4t2–8t+4 = _______4_(_t–_1_)_2_____ ④ 4x2–12xy+9y2 = ___(2_x_–_3_y_)_2____
② – 4x2 + y2 = y2 – 4x2 = (y+2x)(y–2x) = – ( 4x2 – y2 ) = – (2x+y)(2x–y)
③ x4 – 1 = (x2)2 – 12 = (x2+1) (x22+–11))(x–1)
因式分解一定要分解彻底 !
④ x2 – x6
④ x2 – x6
既然是二次式，就可以写成(ax+b)(cx+d)的形式。 (ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd
所以，需要将二次项系数与常数项分别拆成两 个数的积，而这四个数中，两个数的积与另外两 个数的积之和刚好等于一次项系数，那么因式分 解就成功了。
6 x2 + 7 x + 2
2
1
3
2 ∴6x2+7x+2=(2x+1)(3x+2)
人教版数学八年级上册 第十五章 分式(小结与复习)课件
B. a b D. 1 1
ab
4.计算：
（1）
x
2
4
4
x
1
2
原式=
4 ( x 2) x2 4
= 1
x2
（2）
x
2
x2
y2 2x
1
3x2 x
3 xy 1
原式= ( x y)( x y)· x 1
( x 1)2
3x( x y)
=
x y 3x( x 1)
= x y
3x2 3x
解得 : x 1 2
经检验，x 1
2
是原原分式方程的解;
练一练
(2)某市为进一步缓解交通拥堵现象，决定修建一条从市中心到机场 的轻轨铁路．实际施工时，每月的工效比原计划提高了20%，结果提 前5个月完成这一工程．求原计划完成这一工程的时间是多少个月．
解：设原计划完成这一工程的时间为x个月，则
练一练
1.
已知
x y
2 3
，
求 x2
x2 y2 2xy
y2
xy y2 2x2 2xy
的值.
解:
由
x2 y3
，得
x2y 3
，
x2 y2 xy y2 x2 2xy y2 2x2 2xy
(x
y)(x (x y)2
y)
2x(x y) y(x y)
本题还可以由已知 条件x=2m， y=3m.
(1 20%) 1 1 x x5
，解得: x=30.
经检验，x=30是原方程的根．
答：原计划完成这一工程的时间是30个．
专题复习
专题五 本章数学思想和解题方法
主元法
例5.(1)已知： 2a b 3 a 2b 14
ab
4.计算：
（1）
x
2
4
4
x
1
2
原式=
4 ( x 2) x2 4
= 1
x2
（2）
x
2
x2
y2 2x
1
3x2 x
3 xy 1
原式= ( x y)( x y)· x 1
( x 1)2
3x( x y)
=
x y 3x( x 1)
= x y
3x2 3x
解得 : x 1 2
经检验，x 1
2
是原原分式方程的解;
练一练
(2)某市为进一步缓解交通拥堵现象，决定修建一条从市中心到机场 的轻轨铁路．实际施工时，每月的工效比原计划提高了20%，结果提 前5个月完成这一工程．求原计划完成这一工程的时间是多少个月．
解：设原计划完成这一工程的时间为x个月，则
练一练
1.
已知
x y
2 3
，
求 x2
x2 y2 2xy
y2
xy y2 2x2 2xy
的值.
解:
由
x2 y3
，得
x2y 3
，
x2 y2 xy y2 x2 2xy y2 2x2 2xy
(x
y)(x (x y)2
y)
2x(x y) y(x y)
本题还可以由已知 条件x=2m， y=3m.
(1 20%) 1 1 x x5
，解得: x=30.
经检验，x=30是原方程的根．
答：原计划完成这一工程的时间是30个．
专题复习
专题五 本章数学思想和解题方法
主元法
例5.(1)已知： 2a b 3 a 2b 14
人教版八年级上册数学复习-完整PPT课件
1、完成下表 抢答
已知点
(2,-3) (-1,2) (-6,-5) (0,-1.6) (4,0)
关于x轴的对称点 关于y轴的对称点
2, 3 -1,-2 -2, -3 1, 2
-6, 5 6, -5
2、已知点2ab,-3a与点’8,b2
0,16 4,0 0, -16 -4,0
若点与点’关于轴对称，则a=_____ 2b=______4_
4．三角形的分类：
1：按边分类
不 等 边 三 角 形 三 角 形 等 腰 三 角 形 腰 腰 与 与 底 底 不 相 相 等 等 的 的 等 等 边 腰 三 三 角 角 形 形
2：按角分类
直角三角形 三角形斜三角形锐 钝角 角三 三角 角形 形
5、三角形的稳定性 6、三角形内角和定理： 1什么是三角形内角和定理？
三角形的外角与内角的关系：
1:三角形的一个外角与它相邻的内角互补； 2:三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和；
3:三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
4:三角形的外角和为360°。
8、多边形
（1）n边型内角和等于（n-2）180° （2）多边形的外角和等于360° （3）从n边形一个顶点可以作（n-3）条对角线， 把n边形分成（n-2）个三角形。
使DC=BC,连接AD
第十三章 轴对称
一轴对称图形
1、轴对称图形：
• 把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称 图形。这条直线就是它的对称轴。这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。
•
2、轴对称： •把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另 一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条 直线对称。这条直线叫做对称轴。折叠后重合的 点是对应点,叫做_对称点