解题技巧专题：解二元一次方程组
解题技巧专题：解二元一次方程组
——学会选择最优的解法
◆类型一 解未知数系数含有1或－1的方程组
1.已知a ，b 满足方程组⎩
⎪⎨⎪⎧a －b ＝2，a ＋b ＝6，则3a ＋b 的值为（ ） A.14 B.4 C.－4 D.－14
2.以方程组⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2①，y ＝x －1②的解为坐标的点（x ，y ）在平面直角坐标系中的位置在（ ） A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.若3x m ＋2n y 与－13
y m －n x 4是同类项，则m ＝ ，n ＝ Ｗ. 4.解方程组：
（1）⎩
⎪⎨⎪⎧x －y ＝0①，2x ＋y ＝6②；
（2）（2017·桂林中考）⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝3①，5x ＋y ＝9②.
◆类型二 解同一未知数系数互为倍数关系的方程组
5.二元一次方程组⎩
⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝7，2x －3y ＝1的解为（ ） A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝3 B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1 C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝3 D.⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1 6.解方程组：
（1）⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2y ＝25①，3x ＋4y ＝15②； （2）⎩
⎪⎨⎪⎧8x ＋9y ＝73①，17x －3y ＝74②.
◆类型三 解两个方程中未知数系数成对称关系的方程组
7.若x ，y 满足方程组⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝7，3x ＋y ＝5，则x －y 的值等于（ ） A.－1 B.1 C.2 D.3
8.方程组⎩
⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝3，3x ＋2y ＝11的解为 Ｗ. 9.已知方程组⎩
⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝1＋3a ①，x ＋3y ＝1－a ②的解满足x ＋y ＝0，求a 的值.
◆类型四 含字母系数的方程组的运用
10.（2017·余干县校级期末）已知x ，y 满足方程组⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋m ＝4，y －5＝m ，则无论m 取何值，x ，y 恒有关系式是（ ）
A.x ＋y ＝1
B.x ＋y ＝－1
C.x ＋y ＝9
D.x ＋y ＝－9
11.（2017·枣庄中考）已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3是方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝2，bx ＋ay ＝3
的解，则a 2－b 2＝ Ｗ. 12.已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝－2，ax ＋by ＝－4和方程组⎩
⎪⎨⎪⎧3x －y ＝12，bx ＋ay ＝－8的解相同，求（5a ＋b ）2的值.
参考答案与解析
1．A 2.A 3.2 1
4．解：(1)①＋②，得3x ＝6，解得x ＝2.把x ＝2代入①得y ＝2，∴原方程组的解为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2. (2)②－①，得3x ＝6，解得x ＝2，把x ＝2代入①得y ＝－1，∴原方程组的解为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1. 5．B
6．解：(1)①×2－②，得10x －3x ＝50－15，解得x ＝5.把x ＝5代入②得y ＝0.∴原方
程组的解为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝0. (2)①＋②×3，得8x ＋51x ＝73＋74×3，解得x ＝5.把x ＝5代入②得17×5－3y ＝74，
解得y ＝113，∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝113.
7．A 8.⎩⎨⎧x ＝275，
y ＝－135
9．解：①＋②，得4x ＋4y ＝2＋2a ，∴x ＋y ＝1＋a 2.∵x ＋y ＝0，∴1＋a 2
＝0，解得a ＝－1.
10．C 11.1
12．解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝－2，3x －y ＝12，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－6.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－6代入⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝－4，bx ＋ay ＝－8，得
⎩⎪⎨⎪⎧2a －6b ＝－4，2b －6a ＝－8.解得⎩⎨⎧a ＝74
，b ＝54，∴(5a ＋b )2＝102＝100.。
二元一次方程组解题技巧讲义（补课用）
⼆元⼀次⽅程组解题技巧讲义（补课⽤）⼆元⼀次⽅程组解题技巧讲义（补课⽤）⼀、⼆元⼀次⽅程组的有关概念：1.⼆元⼀次⽅程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1?的整式⽅程叫做⼆元⼀次⽅程．它的⼀般形式:)0,0(≠≠=+b a c by ax ，如6713,245=-=-n m y x 等是⼆元⼀次⽅程。
2.⼆元⼀次⽅程的解集：适合⼀个⼆元⼀次⽅程的每⼀对未知数的值，叫做这个⼆元⼀次⽅程的⼀个解．对于任何⼀个⼆元⼀次⽅程，令其中⼀个未知数取任意⼀个值，都能求出与它对应的另⼀个未知数的值．因此，任何⼀个⼆元⼀次⽅程都有⽆数多个解．由这些解组成的集合，叫做这个⼆元⼀次⽅程的解集．3.⼆元⼀次⽅程组及其解：两个⼆元⼀次⽅程合在⼀起就组成了⼀个⼆元⼀次⽅程组．⼀般地，能使⼆元⼀次⽅程组的两个⽅程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做⼆元⼀次⽅程组的解．它的⼀般形式为:=+=+.,222111c y b x a c y b x a 其中2121,,,b b a a 不全为零，如：?==;2,3y x =+=-;5,3n m n m =-=+-;2,53q p q p 都是⼆元⼀次⽅程组。
4.⼆元⼀次⽅程组的解法：代⼊消元法：在⼆元⼀次⽅程组中选取⼀个适当的⽅程，将⼀个未知数⽤含另⼀个未知数的式⼦表⽰出来，再代⼊另⼀个⽅程，消去⼀个未知数得到⼀元⼀次⽅程，求出这个未知数的值，进⽽求得这个⼆元⼀次⽅程组的解，这种⽅法叫做代⼊消元法。
加减消元法：两个⼆元⼀次⽅程中同⼀未知数的系数相反或相等时，将两个⽅程的两边分别相加或相差，从⽽消去这个未知数，得到⼀个⼀元⼀次⽅程，这种求⼆元⼀次⽅程组的解的⽅法叫做加减消元法，简称加减法．例题精析：例1.⽅程ax-4y=x-1是⼆元⼀次⽅程，则a 的取值为（） A 、≠0 B 、≠－1 C 、≠1 D 、≠2 解题思路：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1?的整式⽅程叫做⼆元⼀次⽅程．选B变式题1：如果（a －2）x+（b+1）y=13是关于x ，y 的⼆元⼀次⽅程，则a ，b 满⾜什么条件？解题思路：∵（a －2）x+（b+1）y=13是关于x ，y 的⼆元⼀次⽅程，∴a －2≠0，b+1≠0，?∴a ≠2，b ≠－1例2.若⼆元⼀次⽅程3x-2y=1有正整数解，则x 的取值应为（）A 、正奇数B 、正偶数D 、0 解题思路：由312x y -=，x 、y 都是正整数，选A变式题1：．⽅程组2528x y x y +=??-=?的解是否满⾜2x －y=8？满⾜2x －y=8的⼀对x ，y 的值是否是⽅程组2528x y x y +=??-=?的解？解：满⾜，不⼀定．∵2528x y x y +=??-=?的解既是⽅程x+y=25的解，也满⾜2x －y=8，?∴⽅程组的解⼀定满⾜其中的任⼀个⽅程，但⽅程2x －y=8的解有⽆数组，如x=10，y=12，不满⾜⽅程组2528x y x y +=??-=?．例3.已知⼆元⼀次⽅程组45ax by bx ay +=??+=? 的解是21x y =??=?,则a+b 的值为____。
二元一次方程组知识点归纳及解题技巧
二元一次方程组知识点归纳及解题技巧一，基本定义：二元一次方程定义：一个含有两个未知数，并且未知数的都指数是1的整式方程，叫二元一次方程。
二元一次方程组定义：两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程，叫二元一次方程组。
二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个公共解，叫做二元一次方程组的解。
二，解的状况：二元一次方程组的解有三种状况：1.有一组解如方程组x+y=5①6x+13y=89②x=-24∕7y=59∕7为方程组的解2.有多数组解如方程组x+y=6①2x+2y=12②因为这两个方程事实上是一个方程（亦称作“方程有两个相等的实数根”），所以此类方程组有多数组解。
3.无解如方程组x+y=4①2x+2y=10②，因为方程②化简后为x+y=5 这与方程①相冲突，所以此类方程组无解。
三，二元一次方程的解法：1,一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。
消元的方法有两种：1,代入消元法2,加减消元法3,教科书中没有的几种解法（一）加减•■代入混合运用的方法.例：i3x+14y=41（1）^14x+13y=40（2）解:（2）-⑴得x-y=-1x=y-1（3）把（3）代入⑴得13（y-1）+14y=41y=2把y=2代入⑶得x=1所以:x=1,y=2特点:两方程相加减,单个X或单个y,这样就适用接下来的代入消元.（二）换元法例3：rx:y=1:4>5x+6y=29令X=1y=41 则方程2可写为：5t+6×4（=2929t=29t=1所以x=1,y=4四，列方程（组）解应用题（一）,其详细步骤是：⑴审题。
理解题意。
弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。
⑵设元（未知数）。
①直接未知数②间接未知数（往往二者兼用）。
一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。
⑶用含未知数的代数式表示相关的量。
二元一次方程解题技巧及练习
二元一次方程解题技巧及练习基本思路：二元一次方程→化简→消元/转化→一元一次方程基本方法：代入消元或者加减消元法适用情况：1. 代入当有一个未知数系数为1或者－1；2. 加减当同一个字母的未知数的系数相同或者相反时；当同一个字母的未知数的系数互为倍数时；3. 代入加减一起使用两个相同的未知数系数之和分别相等时；其中一个未知数系数相差1时；4. 整体代入，即两个方程中有相同整式时；练习1:y ＝x-3 2x+3y ＝11 5x+2y ＝7 7x+2y ＝-1 2x-y ＝1x+y ＝5x-y ＝33x-8y ＝144x+8y ＝12 3x+2y ＝5 6x+4y ＝10 4x+6y ＝204x+7y ＝2225x+6y ＝2172x+3y ＝1 3x+5y ＝12.9 练习2:一．解答题（共16小题）1．求适合的x ，y 的值．2．解下列方程组 （1）（2） （3） （4）．3．解方程组：4．解方程组：5．解方程组：6．已知关于x，y的二元一次方程y=kx+b的解有和．（1）求k，b的值．（2）当x=2时，y的值．（3）当x为何值时，y=3？7．解方程组：（1）；（2）．8．解方程组：9．解方程组：10．解下列方程组：（1）（2）11．解方程组：（1）（2）12．解二元一次方程组：（1）；（2）．13．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为，乙看错了方程组中的b，而得解为．（1）甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？（2）求出原方程组的正确解．14．15．解下列方程组：（1）；（2）．16．解下列方程组：（1）（2）参考答案与试题解析一．解答题（共16小题）1．求适合的x，y的值．：解二元一次方程组．分析：先把两方程变形（去分母），得到一组新的方程，然后在用加减消元法消去未知数x，求出y的值，继而求出x的值．解答：解：由题意得：，由（1）×2得：3x﹣2y=2（3），由（2）×3得：6x+y=3（4），（3）×2得：6x﹣4y=4（5），（5）﹣（4）得：y=﹣，把y的值代入（3）得：x=，∴．点评：本题考查了二元一次方程组的解法，主要运用了加减消元法和代入法．2．解下列方程组（1）（2）（3）（4）．（3）（4）应先去分母、去括号化简方程组，再进一步采用适宜的方法求解．解答：解：（1）①﹣②得，﹣x=﹣2，解得x=2，把x=2代入①得，2+y=1，解得y=﹣1．故原方程组的解为．（2）①×3﹣②×2得，﹣13y=﹣39，解得，y=3，把y=3代入①得，2x﹣3×3=﹣5，解得x=2．故原方程组的解为．（3）原方程组可化为，①+②得，6x=36，x=6，①﹣②得，8y=﹣4，y=﹣．所以原方程组的解为．（4）原方程组可化为：，①×2+②得，x=，把x=代入②得，3×﹣4y=6，y=﹣．所以原方程组的解为．点评：利用消元法解方程组，要根据未知数的系数特点选择代入法还是加减法：3．解方程组：分析：先化简方程组，再进一步根据方程组的特点选用相应的方法：用加减法．解答：解：原方程组可化为，①×4﹣②×3，得7x=42，解得x=6．把x=6代入①，得y=4．所以方程组的解为．点评：注意：二元一次方程组无论多复杂，解二元一次方程组的基本思想都是消元．消元的4．解方程组：分析：把原方程组化简后，观察形式，选用合适的解法，此题用加减法求解比较简单．解答：解：（1）原方程组化为，①+②得：6x=18，∴x=3．代入①得：y=．所以原方程组的解为．点评：要注意：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边5．解方程组：分析：本题用加减消元法即可或运用换元法求解．解答：解：，①﹣②，得s+t=4，①+②，得s﹣t=6，即，解得．所以方程组的解为．点评：此题较简单，要熟练解方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法．6．已知关于x，y的二元一次方程y=kx+b的解有和．（1）求k，b的值．（2）当x=2时，y的值．（3）当x为何值时，y=3？：计算题．分析：（1）将两组x，y的值代入方程得出关于k、b的二元一次方程组，再运用加减消元法求出k、b的值．（2）将（1）中的k、b代入，再把x=2代入化简即可得出y的值．（3）将（1）中的k、b和y=3代入方程化简即可得出x的值．解答：解：（1）依题意得：①﹣②得：2=4k，所以k=，所以b=．（2）由y=x+，把x=2代入，得y=．（3）由y=x+把y=3代入，得x=1．7．解方程组：（1）；（2）．转化为整式方程解答．解答：解：（1）原方程组可化为，①×2﹣②得：y=﹣1，将y=﹣1代入①得：x=1．∴方程组的解为；（2）原方程可化为，即，①×2+②得：17x=51，x=3，将x=3代入x﹣4y=3中得：y=0．∴方程组的解为．8．解方程组：分析：本题应把方程组化简后，观察方程的形式，选用合适的方法求解．解答：解：原方程组可化为，①+②，得10x=30，x=3，代入①，得15+3y=15，y=0．则原方程组的解为．点评：解答此题应根据各方程组的特点，有括号的去括号，有分母的去分母，然后再用代入9．解方程组：分析：本题为了计算方便，可先把（2）去分母，然后运用加减消元法解本题．解答：解：原方程变形为：，两个方程相加，得4x=12，x=3．把x=3代入第一个方程，得4y=11，y=．解之得．10．解下列方程组：（1）（2）（2）先将方程组化为整系数方程组，再利用加减消元法求解．解答：解：（1），由①，得x=4+y③，代入②，得4（4+y）+2y=﹣1，所以y=﹣，把y=﹣代入③，得x=4﹣=．所以原方程组的解为．（2）原方程组整理为，③×2﹣④×3，得y=﹣24，把y=﹣24代入④，得x=60，所以原方程组的解为．11．解方程组：（1）（2）方程组（2）采用换元法较简单，设x+y=a，x﹣y=b，然后解新方程组即可求解．解答：解：（1）原方程组可化简为，解得．（2）设x+y=a，x﹣y=b，∴原方程组可化为，解得，∴∴原方程组的解为．12．解二元一次方程组：（1）；（2）．（2）先将方程组化简，然后运用加减消元的方法可求出x、y的值．解答：解：（1）将①×2﹣②，得15x=30，x=2，把x=2代入第一个方程，得y=1．则方程组的解是；（2）此方程组通过化简可得：，①﹣②得：y=7，把y=7代入第一个方程，得x=5．则方程组的解是．点评：此题考查的是对二元一次方程组的解法的运用和理解，学生可以通过题目的训练达到13．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为，乙看错了方程组中的b，而得解为．（1）甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？（2）求出原方程组的正确解．方程组．解答：解：（1）把代入方程组，得，解得：．把代入方程组，得，解得：．∴甲把a看成﹣5；乙把b看成6；（2）∵正确的a是﹣2，b是8，∴方程组为，解得：x=15，y=8．则原方程组的解是．14．分析：先将原方程组中的两个方程分别去掉分母，然后用加减消元法求解即可．解答：解：由原方程组，得，由（1）+（2），并解得x=（3），把（3）代入（1），解得y=，∴原方程组的解为．15．解下列方程组：（1）；（2）．分析：将两个方程先化简，再选择正确的方法进行消元．解答：解：（1）化简整理为，①×3，得3x+3y=1500③，②﹣③，得x=350．把x=350代入①，得350+y=500，∴y=150．故原方程组的解为．（2）化简整理为，①×5，得10x+15y=75③，②×2，得10x﹣14y=46④，③﹣④，得29y=29，∴y=1．把y=1代入①，得2x+3×1=15，∴x=6．故原方程组的解为．点评：方程组中的方程不是最简方程的，最好先化成最简方程，再选择合适的方法解方程．16．解下列方程组：（1）（2）分析：观察方程组中各方程的特点，用相应的方法求解．解答：解：（1）①×2﹣②得：x=1，将x=1代入①得：2+y=4，y=2．∴原方程组的解为；（2）原方程组可化为，①×2﹣②得：﹣y=﹣3，y=3．将y=3代入①得：x=﹣2．∴原方程组的解为．。
沪科版七年级数学上册复习资料-解题技巧专题：解二元一次方程组
解题技巧专题：解二元一次方程组——学会选择最优的解法◆类型一 解未知数系数含有1或－1的方程组一、直接运用或变形后运用代入法解方程组1．方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x ＋2y ＝8的解是________． 2．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝5①，2x ＋5y ＝9②.二、两个方程中某一未知数都含有系数1或－1，运用加减法解方程组3．二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝3，x －y ＝3的解为( ) A .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1 B .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1C .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－1D .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1 4．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝－3，x ＋3y ＝2的解为________． 5．解方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5①，3x －y ＝3②；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝1①，x ＋5y ＝8②.◆类型二 解两个方程中某一未知数系数为倍数关系的方程组6．二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝7，x －y ＝1的解为( ) A .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝3 B .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1 C .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝3 D .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1 7．解方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3b ＝5①，3a ＋2b ＝8②；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝11①，6x ＋y ＝22②.◆类型三 解两个方程中未知数系数成对称关系的方程组一、解未知数系数成对称关系的方程组8．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝10①，3x ＋2y ＝15②.二、不解方程组求字母或式子的值9．若x ，y 满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋5y ＝10，5x ＋3y ＝12，则x －y 的值为________． 10．已知a ，b 的值同时满足方程a ＋2b ＝8和2a ＋b ＝10，则a ＋b ＝________．11．若方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝1＋3a ①，x ＋3y ＝1－a ②的解满足x ＋y ＝0，求a 的值．◆类型四 含字母系数的方程组的运用12．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1是二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋ny ＝8，nx －my ＝1的解，则2m －n 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．513．若方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ay ＝4，x －y ＝－5的解也是方程2x ＋3y ＝5的解，则a 的值为________． 14．有一个代数式ax ＋by ，当x ＝5，y ＝2时，它的值是1；当x ＝1，y ＝3时，它的值是－5，试求当x ＝7，y ＝－5时，代数式ax ＋by 的值．15．已知关于x ，y 的二元一次方程(a －1)x ＋(a －2)y ＋5－2a ＝0，当a 每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解．16．已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝－2，ax ＋by ＝－4和方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝12，bx ＋ay ＝－8的解相同，求(5a ＋b)2的值．参考答案与解析1.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3 2．解：由①得x ＝5－3y ③，把③代入②，得2(5－3y )＋5y ＝9，解得y ＝1.把y ＝1代入③，得x ＝2.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1. 3．B 4.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1 5．解：(1)由①＋②，得4x ＝8，解得x ＝2.把x ＝2代入①，得y ＝3.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3. (2)由②－①，得7y ＝7，解得y ＝1.把y ＝1代入②，得x ＝3.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1. 6．B7．解：(1)①×3－②，得7b ＝7，解得b ＝1.把b ＝1代入①，得a ＋3＝5，解得a ＝2.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1. (2)②×2－①，得11x ＝33，解得x ＝3.把x ＝3代入①，得3＋2y ＝11，解得y ＝4.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4. 8．解：①＋②，得5x ＋5y ＝25，所以x ＋y ＝5③.①－③×2，得y ＝0.把y ＝0代入③，得x ＝5.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝0. 9．1 解析：两个方程相减，得2x －2y ＝2，所以x －y ＝1.10．6 解析：两个方程相加，得3a ＋3b ＝18，所以a ＋b ＝6.11．解：①＋②，得4x ＋4y ＝2＋2a ，所以x ＋y ＝1＋a 2.因为x ＋y ＝0，所以1＋a 2＝0，解得a ＝－1.12．C 解析：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1代入原方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝8，2n －m ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝2，所以2m －n ＝2×3－2＝4.故选C.13．2 解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－5，2x ＋3y ＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3代入方程x ＋ay ＝4，得－2＋3a ＝4，解得a ＝2.14．解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧5a ＋2b ＝1，a ＋3b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2.所以ax ＋by ＝x －2y .当x ＝7，y ＝－5时，x －2y ＝7－2×(－5)＝17.15．解：当a ＝3时，原方程为2x ＋y －1＝0.当a ＝4时，原方程为3x ＋2y －3＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －1＝0，3x ＋2y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝3. 16．解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝－2，3x －y ＝12，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－6.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－6代入⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝－4，bx ＋ay ＝－8，得⎩⎪⎨⎪⎧2a －6b ＝－4，2b －6a ＝－8，解得⎩⎨⎧a ＝74，b ＝54，所以(5a ＋b )2＝⎝⎛⎭⎫5×74＋542＝102＝100.。
解题技巧：与二元一次方程组解法有关的问题压轴题五种模型全攻略(原卷版) 七年级数学下册
专题04解题技巧专题：与二元一次方程组解法有关的问题压轴题五种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一求二元一次方程的正整数解】 (1)【考点二解二元一次方程组】 (1)【考点三二元一次方程组的错解复原问题】 (2)【考点四二元一次方程组的特殊解法】 (4)【考点五新定义型二元一次方程组问题】 (5)【过关检测】 (7)【典型例题】【考点一求二元一次方程的正整数解】x y+=的正整数解的对数是（）例题：（2023下·四川资阳·七年级校考期中）方程7A．5B．7C．6D．无数对【变式训练】【考点二解二元一次方程组】例题：（2024下·全国·七年级假期作业）解方程组：【变式训练】【考点三二元一次方程组的错解复原问题】例题：（2023下·七年级课时练习）下面是马小虎同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的问题：解方程组：34 6310 x yx y-=⎧⎨-=⎩①②解：①×2，得6x－2y＝8．③…第一步②－③，得－y＝2，…第二步解得y＝－2．…第三步把y＝－2代入①，得3x－（－2）＝4．…第四步解得x＝2．…第五步∴22 xy=⎧⎨=⎩(1)这种求解二元一次方程组的方法叫做________法，以上求解步骤中，马小虎同学从第________步开始出现错误；(2)请写出此题正确的解答过程．【变式训练】【考点四二元一次方程组的特殊解法】【变式训练】1．（2023上·陕西咸阳·八年级咸阳市实验中学校考期中）阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组()()()()3523135237m n m n ⎧+-+=-⎪⎨+++=⎪⎩时，采用了一种“整体换元”的解法，把5m +，3n +分别看成一个整体，设5m x +=，【考点五新定义型二元一次方程组问题】例题：（2023下·福建厦门·七年级厦门市湖滨中学校考期中）我们定义：若整式M 与N 满足：(M N k k +=为整数)，我们称M 与N 为关于k 的平衡整式．例如，若234x y +=，我们称2x 与3y 为关于4的平衡整式．(1)若25a -与49a +为关于1的平衡整式，求a 的值；(2)若310x -与y 为关于2的平衡整式，2x 与510y +为关于5的平衡整式，求x y +的值．【变式训练】1．（2023下·江苏苏州·七年级统考期末）对于有理数x 、y 定义一种新运算“※”：规定x ※2y ax by =-+，等式右边是通常的四则运算．例如：2※122a b =-+．(1)若1※(1)4-=-，3※24=，求a 、b 的值；(2)若运算“※”满足交换律，即对于任意有理数x 、y 且x y ≠，都满足x ※y y =※x ，求a 、b 之间的数量关系．2．（2023下·湖北十堰·七年级校考阶段练习）对于有理数x ，y ，定义新运算：2x y x y *=-，2x y x y ⊗=+，其中a ，b 是常数.例如111*=，328⊗=．(1)若关于x ，y 的方程组*45x y m x y m =-⎧⎨⊗=⎩的解也满足方程5x y +=，求m 的值；(2)若关于x ，y 的方程组111222*a x b y c a x b y c =⎧⎨⊗=⎩的解为45x y =⎧⎨=⎩，求关于x ，y 的方程组()()()()111222*a x y b x y c a x y b x y c ⎧+-=⎪⎨+⊗-=⎪⎩的解．【过关检测】一、单选题1．（2023上·山西太原·八年级太原市实验中学校联考阶段练习）用代入法解方程组22340y x x y =-+⎧⎨-=⎩①②时，将方程①代入②中，所得的方程正确的是（）A ．2364x x --=B ．2324x x +-=C ．2364x x -+=D ．2364x x +-=2．（2023下·山东威海·七年级统考期末）二元一次方程2321x y +=的正整数解有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．（2023上·广东茂名·八年级统考期末）已知代数式与242m x y --与52n m nx y +是同类项，那么m 、n 的值分别是（）A ．31m n =-⎧⎨=-⎩B ．31m n =⎧⎨=-⎩C ．31m n =-⎧⎨=⎩D ．31m n =⎧⎨=⎩4．（2023下·浙江·七年级校联考阶段练习）对于任意实数a ，b ，定义关于“⊗”的一种运算如下：2a b a b ⊗=-．例如342342=⨯-=⊗．若2x y ⊗=，且4y x ⊗=，则x y +的值为（）A ．6B ．7C ．8D ．95．（2023上·四川达州·八年级校考期末）两位同学在解方程组273ax by cx y +=⎧⎨+=⎩时，甲同学正确地解出11x y =-⎧⎨=-⎩，乙同学因把c 抄错了解得32x y =-⎧⎨=-⎩，则a 、b 、c 正确的值应为（）A ．315a b c =-=-=-，，B ．115a b c ==-=-，，C ．2410a b c ==-=-，，D ．315a b c ===-，，二、填空题6．（2023上·山东济南·八年级统考期中）把方程24x y -=变形，用含x 的代数式表示y ，则y =．7．（2023下·浙江湖州·七年级统考阶段练习）二元一次方程25x y +=的一个正整数解是．（只要写出一个）8．（2023上·河北张家口·八年级统考期中）已知方程组2324x y x y -=-⎧⎨-+=⎩，则x y +的值为．9．（2023上·山东·八年级期末）已知关于x ，y 的方程组210220x y m x y m +-+=⎧⎨+++=⎩．则x y +=．10．（2023下·山东济南·七年级统考期末）定义新运算：对于任意实数a 、b 约定关于⊗的一种运算如下：2a b a b ⊗=＋．例如：()()3223-⊗=⨯-24+=-．若()5x y ⊗-=，且27y x ⊗=，则x y +的值是．三、解答题。
专题14解二元一次方程组综合题(原卷版)
专题14 解二元一次方程组（综合题）易错点拨知识点01：消元法1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数. 这种将未知数的思想，叫做消元思想.2.消元的基本思路：未知数3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为知识点02：代入消元法通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做，简称代入法．细节剖析：(1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为，再中达到消元的目的．(2)代入消元法的技巧是：①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用求解；②若方程组中有未知数的系数为1(或1)的方程．则选择系数为1(或1)的方程进行变形比较简便；(3)若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或1，选系数的绝对值较小的方程变形比较简便．知识点03：加减消元法解二元一次方程组两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别，就能，得到一个，这种方法叫做加减消元法，简称加减法．细节剖析：用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：(1)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就，使同一个未知数的系数；(2)把两个方程的两边分别，消去一个，得到一个(3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；（4)将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是．知识点04：选择适当的方法解二元一次方程组解二元一次方程组的基本思想（一般思路）是消元，消元的方法有两种：，通过适当练习做到巧妙选择，快速消元．易错题专训一．选择题1．（2022春•淄博期末）利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（）A．要消去x，可以将①×3+②B．要消去x，可以将①×（﹣3）+②C．要消去y，可以将①×3+②D．要消去y，可以将①×（﹣3）+②2．（2022春•东川区期末）小王在解关于x，y的二元一次方程组时，解得，则Δ和*分别代表的数是（）A．2，6 B．4，6 C．6，2 D．6，43．（2022春•顺义区期末）用加减消元法解二元一次方程组时，下列做法正确的是（）A．要消去x，可以将①×3+②×5B．要消去x，可以将①×5﹣②×3C．要消去y，可以将①×2﹣2D．要消去y，可以将①×2+24．（2022春•嘉兴期中）解关于x，y的方程组可以用①×3﹣②，消去未知数x，也可以用①+②×4消去未知数y，则a，b的值分别为（）A．1，﹣2 B．﹣1，﹣2 C．1，2 D．﹣1，25．（2021春•饶平县校级期末）若关于x，y的方程组没有实数解，则（）A．ab＝﹣2 B．ab＝﹣2且a≠1 C．ab≠﹣2 D．ab＝﹣2且a≠26．（2022春•南关区期末）已知．当x＝1.5时，y＞0；当x＝1.8时，y＜0．则方程的解可能是（）A．1.45 B．1.64 C．1.92 D．2.05二．填空题7．（2022春•邹城市期末）方程组的解是．8．（2022春•武昌区期中）如果，那么+＝．9．（2021•台州模拟）小明解方程组的过程如下：解：由②，得y＝a﹣2x③，将③代入①，得4x+3（a﹣2x）＝8，可知在解题过程的第一步出现错误，后面的步骤均没有出错，若小明查阅答案发现结果正确，则常数a ＝．10．（2017•昆山市校级模拟）以方程组的解为坐标的点（x，y）在平面直角坐标系中的位置是第象限．三．解答题11．（2022•德城区校级开学）解方程组：（1）；（2）．12．（2022春•鲤城区校级期末）（1）解方程：3x﹣7＝x﹣（2x﹣5）；（2）解方程组：．13．（2022春•大同期末）（1）计算：；（2）解二元一次方程组：．14．（2022春•兰考县期末）解下列方程（或方程组）（1）x﹣1＝x+3；（2）．15．（2022春•睢阳区期末）阅读理解：已知实数x，y满足3x﹣y＝5…①，2x+3y＝7…②，求x﹣4y和7x+5y的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题：（1）已知二元一次方程组，则x﹣y＝，x+y＝．（2）对于实数x，y，定义新运算：x*y＝ax+by+c，其中a，b，c是常数，等式右边是实数运算，已知2*3＝12，3*5＝16，求1*1的值．16．（2022春•西城区校级期中）有些关于方程组的问题，需要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x，y满足3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②，求x﹣4y和7x+5y的值．本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．小明在做题过程仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，发现本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．请同学们运用这样的思想解决下列问题：（1）已知二元一次方程组，则x﹣y＝，x+y＝；（2）对于实数x，y，定义新运算：x※y＝ax﹣by+c，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3※5＝15，4※7＝28，那么求1※1的值．17．（2017春•红花岗区校级期中）方程组（1）（2）．18．（2022秋•浑南区校级月考）解方程组：（1）；（2）；（3）；（4）；（4）．19．（2018秋•香坊区校级月考）如图，数轴上A、B两点表示的数分别为a、b，且a、b满足（1）求a和b的值；（2）在数轴上有一动点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向向终点B运动，同时另一动点Q从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴负方向向终点A运动，当一个动点到达终点时，另一个动点继续运动，若点M为线段PQ的中点，设点P的运动时间为t秒，请用含t的整式表示点M所表示的数；（3）在（2）的条件下，当BQ﹣OP＝90时，求点M所表示的数．20．（2022春•太和县期末）先阅读，然后解方程组．解方程组时，可由①得x﹣y＝1，③然后再将③代入②得4×1﹣y＝5，求得y＝﹣1，从而进一步求得这种方法被称为“整体代入法”，请用这样的方法解下列方程组．。
怎么求解二元一次方程组
怎么求解二元一次方程组
二元一次方程组是由两个未知数和两个方程组成的方程组。
要求解这样的方程组，可以使用以下方法：
1. 消元法，将方程组中的一个未知数消去，得到只含有一个未知数的方程，然后求解该方程，再将求得的结果代入另一个方程中求解另一个未知数。
2. 代入法，将一个方程中的一个未知数用另一个未知数的表达式代入另一个方程中，然后求解得到一个未知数的值，再将此值代入原方程中求解另一个未知数。
3. 直接相减法，将两个方程相减，消去一个未知数，然后求解得到一个未知数的值，再将此值代入原方程中求解另一个未知数。
这些方法都可以用来求解二元一次方程组，选择合适的方法取决于具体的方程组形式和个人偏好。
通过这些方法，可以有效地求解二元一次方程组，得到方程组的解。
二元一次方程组知识点归纳及解题技巧汇总
二元一次方程组知识点归纳及解题技巧汇总二元一次方程组知识点归纳及解题技巧汇总1、二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。
2、二元一次方程组：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起。
3、二元一次方程组的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，二元一次方程有无数个解。
4、二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
5、消元法解二元一次方程组：(1) 基本思路：未知数又多变少。
(2) 消元法的基本方法：将二元一次方程组转化为一元一次方程。
6.解法：通过“代入”消去一个未知数，从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法(elimination by substitution)，简称代入法。
例：解方程组x+y=5①6x+13y=89②解：由①得x=5-y ③把③带入②，得6(5-y)+13y=89y=59/7把y=59/7带入③，得x=5-59/7即x=-24/7∴x=-24/7y=59/7 为方程组的解加减消元法：例：解方程组x+y=9①x-y=5②解：①+② 2x=14即 x=7把x=7带入①得7+y=9解得y=-2∴x=7y=-2 为方程组的解7. 二元一次方程组的解有三种情况：1.有一组解如方程组x+y=5① 6x+13y=89② x=-24/7 y=59/7 为方程组的解2.有无数组解如方程组x+y=6① 2x+2y=12②因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”)，所以此类方程组有无数组解。
3.无解如方程组x+y=4① 2x+2y=10②，因为方程②化简后为x+y=5 这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。
注意：用加减法或者用代入消元法解决问题时,应注意用哪种方法简单,避免计算麻烦或导致计算错误。
教科书中没有的几种解法(一)加减-代入混合使用的方法.例1, 13x+14y=41 (1)14x+13y=40 (2)解:(2)-(1)得x-y=-1 x=y-1 (3)把(3)代入(1)得13(y-1)+14y=4113y-13+14y=4127y=54y=2把y=2代入(3)得x=1所以:x=1,y=2特点:两方程相加减,单个x或单个y,这样就适用接下来的代入消元.(二)换元法例2， (x+5)+(y-4)=8(x+5)-(y-4)=4令x+5=m,y-4=n原方程可写为m+n=8m-n=4解得m=6,n=2所以x+5=6,y-4=2所以x=1,y=6特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程也是主要原因。
二元一次方程组知识点归纳、解题技巧汇总、练习题及答案
二元一次方程组知识点归纳、解题技巧汇总、练习题及答案把两个一次方程联立在一起，那么这两个方程就组成了一个二元一次方程组。
有几个方程组成的一组方程叫做方程组。
如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，那么这样的方程组叫做二元一次方程组。
二元一次方程定义：一个含有两个未知数，并且未知数的都指数是1的整式方程，叫二元一次方程。
二元一次方程组定义：两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程，叫二元一次方程组。
二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个公共解，叫做二元一次方程组的解。
一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。
消元的方法有两种：代入消元法例：解方程组x+y=5①6x+13y=89②解：由①得x=5-y③把③带入②，得6(5-y)+13y=89 y=59/7把y=59/7带入③，x=5-59/7 即x=-24/7 ∴x=-24/7y=59/7 为方程组的解我们把这种通过“代入”消去一个未知数，从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法（elim ination by substitution)，简称代入法。
加减消元法例：解方程组x+y=9①x-y=5②解：①+②2x=14 即x=7 把x=7带入①得7+y=9 解得y=-2∴x=7 y=-2 为方程组的解像这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法（elimination by addition-subtraction)，简称加减法。
二元一次方程组的解有三种情况：1.有一组解如方程组x+y=5①6x+13y=89②x=-24/7 y=59/7 为方程组的解2.有无数组解如方程组x+y=6①2x+2y=12②因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”)，所以此类方程组有无数组解。
3.无解如方程组x+y=4①2x+2y=10②，因为方程②化简后为x+y=5这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。
(完整版)二元一次方程组的常见解法
二元一次方程组的常见解法二元一次方程组中含有两个未知数，所以解二元一次方程组的主要思路就是消元，即消去一个未知数，使其转化为一元一次方程，这样就可以先解出一个未知数，然后设法求另一个未知数．常见的消元方法有两种：代入消元法和加减消元法．一、代入法即由二元一次方程中的一个方程变形，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程中，实现消元，进而求解．一般情况下用代入法解方程组时，选择变形的方程要尽可能的简单，表示的代数式也要尽可能的简单，以利于计算．2x+5y=－21①例1、解方程组x+3y=8 ②解由②得：x=8－3y ③把③代入①得2（8－3y）+5y=－21解得：y=37把y=37代入③得：x=8－3×37=－103x=－103所以这个方程组的解是y=37二、整体代入法当方程组中的两个方程存在整数倍数关系时，用代入法解可将整数倍数关系数中较小的一个变形，用另一个字母代数式表示它后代入另一个方程．3x－4y=9①例2、解方程组9x－10y=3②解由①得3x=4y+9 ③把③代入②得3(4y+9)－10y=3解得y=－12把y=－12代入③得3x=4×(－12)+9解得x=－13x=－13所以方程组的解是y=－12三、加减消元法即方程组中两个二元一次方程中的同一个未知数的系数相等时，让两个方程相减．如果方程组中两个二元一次方程中的同一个未知数的系数互为相反数时则让两个方程相减．消去一个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫加减消元法．2x+3y=14 ①例3、解方程组4x－5y=6②解由①×2得4x+6y=28 ③③－②得：11y=22解得y=2把y=2代入②得4x－5×2=6解得x=4x=4所以方程组的解为y=2四、整体运用加减法即当两个二元一次方程中的某一部分完全相同或符号相反时，可以把这两个方程两边相加或相减，把相同的部分整体消去．3(x+2)+(y－1)=4 ①例4 解方程组3(x+2)+(1－y)=2 ②解①－②得(y－1)－(1－y)＝4－2整理得2y=4解得y=2把y=2 代入①得3(x+2)+(2－1)=4整理得3x+7=4解得x=－1x=－1所以方程组的解为y=2解二元一次方程组的主要方法有代入法和消元法，因为方程的形式是多种多样的．所以在解方程中一定要仔细观察方程中各部分以及各个未知数和它们的系数之间的关系的找到最简便的解题方法．。