安徽省示范高中培优联盟2019-2020学年度高二上学期冬季联赛数学(理)试题Word版含答案
安徽省示范高中培优联盟2019-2020学年度上学期冬季联赛高二数学（理）试题（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）考生注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}2|log 4A x x =<，1|282x B x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ） A.[]1,3- B.(]0,3C.[)1,4-D.()0,42.命题“若()()430x y -+≤，则4x =或3y =-”的否命题是（ ） A.若()()430x y -+≤，则4x ≠或3y ≠- B.若()()430x y -+≤，则4x ≠且3y ≠- C.若()()430x y -+>，则4x ≠且3y ≠-D.若()()430x y -+>，则4x ≠或3y ≠- 3.已知直线l ⊄平面α，则（ ） A.P l ∀∈，P α∈ B.P l ∀∈，P α∉C.P l ∃∈，P α∈D.P l ∃∈，P α∉4.设a →，b →是两个非零向量，a →在b →方向上的投影为k ，则“0k <”是“a →，b →夹角为钝角”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.若xyyx e eππ--+≤+，则有（ ）A.0x y +≤B.0x y +≥C.0x y -≤D.0x y -≥6.已知直线y x m =+与圆22220x y x m +-+=有公共点，则实数m 的取值范围是（ ） A.13m -<≤ B.113m -<<C.113m -<≤D.113m -≤≤7.如图，某三棱柱的正视图是边长为2的正方形，其上下底面为正三角形，则下列命题中一定成立的是（ ）A.该三棱柱的表面积为1223+B.该三棱柱的体积为3C.该三棱柱的侧视图为矩形D.该三棱柱有外接球8.已知实数x ，y 满足11x y x≤⎧⎪⎨-≤⎪⎩，则22x y +的最大值与最小值之和为（ ）A.5B.112C.6D.79.已知直线43x y k -=与单位圆有唯一的公共点P ，角α的终边在直线OP 上，O 为坐标原点，则tan 2α=（ ） A.34 B.34-C.247D.247-10.若关于x 的方程sin 10x ω+=在区间()0,π上有且只有一解，则正数ω的取值范围是（ ）A.37,22⎛⎤⎥⎝⎦B.37,22⎛⎫⎪⎝⎭C.37,44⎛⎤⎥⎝⎦D.37,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦11.已知定义在R 上的函数()f x ，()g x 满足()()26f x x g x -+=，则函数()y g x =的图象关于（ ） A.直线3x =对称 B.直线3x =-对称C.原点对称D.y 轴对称12.已知奇函数()21ax bf x x+=+图象经过点()1,1，若矩形ABCD 的顶点A ，B 在x 轴上，顶点C ，D 在函数()y f x =的图象上，则矩形ABCD 绕x 轴旋转而成的几何体的体积的最大值为（ ）A.4π B.3πC.2πD.π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.不等式121x x -≥+的解集是________. 14.已知向量()2,1a →=，单位向量b →满足a b a b →→→→+=-，则向量b →的坐标为________.15.已知等比数列{}n a 中，前4项之和为114a +，且2a ，31a +，4a 成等差数列，则公比q =________. 16.已知函数()()()a log 10f x x x =+>与()xg x a k =+的图象上存在关于y 轴对称的点，其中1a >，则实数k 的取值范围是________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答. 17.已知数列{}n a 满足()1222n a a na n n N *+++=∈….()I 求数列{}n a 的通项公式；()II 求数列2n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和n S .18.在ABC ∆中，2AB =，6AC =，ABC ∆的面积为()I 设D 为AC 的中点，求BD 的长度. ()II 求sin C 的值.19.已知函数()2sincos 3sin 3222x x x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. ()I 求()f x 的单调递减区间；()II 先将()y f x =图象上所有点的横坐标变为原来的12（众坐标不变），再沿x 轴向右平移()0θθ>个单位长度，得到函数()y g x =，若()g x 的图象关于直线34x π=对称，求θ的最小值.20.我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如图，五面体ABCDEF 是一个“刍甍”，四边形ABCD 为矩形，EAD ∆与FBC ∆都是正三角形，4AB =，2AD EF ==.()I 求证：//EF 面ABCD ；()II 求直线CF 与平面ABEF 所成角的正弦值.21.已知过点()1,0A -的动直线与圆22:280C x y x +--=交于P ，Q 两点，线段PQ 中点M 的轨迹为曲线Γ.()I 求曲线Γ的方程；()II 若曲线Γ的一条切线与圆C 交于A ，B 两点，若33AB =T 的坐标.22.已知函数()1x x ϕ-()()()h x x x ϕϕ=+-.()I 求函数()h x 的值域；()II 求函数()()()2F x a x h x ϕ=•+的最大值()g a .安徽省示范高中培优联盟2019-2020学年度高二上学期冬季联赛数学（理）试题参考答案一、选择题1.【解析】选B .解2log 4x <得()0,16A =，解1282x ≤≤得[]1,3B =-，(]0,3A B =∴. 2.【解析】选C .“若p ，则q ”的否命题为“若p ⌝，则q ⌝”，p q ∨的否定为()()p q ⌝∧⌝. 3.【解析】选D .直线l ⊄平面α，//l α∴或lA α=，故选D .4.【解析】选B .a →，b →反向，即夹角为180︒时也有0k <，故应选必要不充分条件. 5.【解析】选A .由xyyx e eππ--+≤+得x x y y e e ππ---≤-，而()x x f x e π-=-是R 上的增函数.原不等式即()()f x f x =-，得x y ≤-，即0x y +≤.6.【解析】选C .直线0x y m -+=与圆()22211x y m -+=-有公共点，弦心距d =≤210m ->，解得113m -<≤. 7.【解析】选B .注意到，该三棱柱不一定为正三棱柱，有可能是斜三棱柱，于是只有其体积恒为8.【解析】选B .易知不等式组表示的平面区域是以()1,0，()0,1，()1,2为顶点的三角形，对于可行域内任一点P ，222OP x y =+，不难知2OP ≤≤22x y +的最大值与最小值之和为111522+=.9.【解析】选D .由题，直线OP 与直线43x y k -=垂直，故3tan 4OP k α==-，22tan 24tan 21tan 7ααα==--∴. 10.【解析】选A .sin 10sin 1x x ωω+=⇒=-，结合sin y x ω=的图象知，3744T T π<≤，即3722πππωω<≤，解得3722ω<≤. 11.【解析】选A .由()()()()22639f x x f x g x -+=--+=得()()293f x g x -+=+，于是()()33g x g x -+=+，∴函数()y g x =的图象关于直线3x =对称. 12.【解析】选D .由题，()00f =及()11f =得()221xf x x=+， 如图，不妨设C ，D 在x 轴上方不难知该旋转体为圆柱，半径R BC =， 令221xR x=+，整理得220Rx x R -+=，则C x ，D x 为这个一元二次方程的两个不等实根， 于是圆柱的体积222222421C D R V R x x RR R Rπππ-=-==-()2221R Rππ⎡⎤≤+-=⎢⎥⎣⎦，当且仅当212R =时等号成立.二、填空题13.【解析】[]3,1--. 不等式可化为1201x x --≤+，即301x x +≤+，解得[]3,1n x ∈--.14.【解析】52,555⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭或52,555⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. 由a b a b →→→→+=-不难知a b →→⊥，设(),b x y →=，由解得52,555b →⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭或52,555⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.15.【解析】2或12. 由题，2342431422a a a a a a ++=⎧⎨+=+⎩，解得324410a a a =⎧⎨+=⎩，即()23410aq a q q ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得2q =或12. 16.【解析】()1,-+∞. 由题，()xg x ak --=+与()()()log 10a f x x x =+>的图象有公共点，结合图象可知，()xg x ak --=+图象与y 轴交点的众坐标10k +>，故()1,k ∈-+∞.三、解答题17.【解析】：（1）1222n a a na n +++=…，()()()12121212n a a n a n n -+++-=-≥…， 两式作差得：()22n na n =≥，()22n a n n=≥∴， 又12a =符合上式，故()21n a n n=≥. （2）()211222n a n n n n n ==-+++， 111111111324112n S n n n n =-+-++-+--++∴…()()11113231212212n n n n n +=+--=-++++.18.【解析】：（1）由ABC ∆的面积1sin 2S AB AC A =••得sin 2A =，1cos 3A ==±∴，于是在ABD ∆中，由余弦定理：3BD ===（2）法一：ABC ∆中，由余弦定理，BC ==或再由正弦定理，sin 1sin 3AB A C BC •==或9法二：由ABC ∆的面积1sin 2S BC AC C =••，得21sin 3S C BC AC ==•或9.19.【解析】：（1）()22sincos 12sin 222x x x f x ⎫=+-⎪⎭sin 2sin 3x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，由()322232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈， 得()f x 的单调递区间为()72,266k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. （2）由题，()()2sin 23g x x πθ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦， ()g x 的图象关于直线34x π=对称，324g π⎛⎫=± ⎪⎝⎭∴， 即35sin 2sin 21236πππθθ⎛⎫⎛⎫-+=-=±⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()52=62k k Z ππθπ-+∈∴，()2=32k k Z ππθ+∈， 当1k =-时，θ的最小值为=6πθ.20.【解析】：（1）//AB CD ，AB ⊄面CDEF ，CD ⊂面CDEF ，//AB ∴面CDEF ，又面ABFE 面CDEF EF =， //AB EF ∴，又EF ⊄面ABCD ，AB ⊂面ABCD ，所以//EF 面ABCD .（2）如图，延长棱EF 至MN ，使得1ME NF ==，由题可知ABNM 与CDMN 皆为矩形，于是我们得到了直三棱柱ADM BCN -， 过C 作CP BN ⊥于P ，则CP ⊥面ABNM ，CF ∴在面ABFE 内的摄影为PF ，CF 与平面ABFE 所成角为CFP ∠，又223BN CN BF FN =-=，NBC ∆∴中，BC 2，222633CP ==∴ 故6sin =3CP CFP CF ∠=. 21.【解析】：（1）法一：圆()22:19C x y -+=，圆心()1,0C ， 由垂径定理知PQ CM ⊥，即AM CM ⊥， 于是M 的轨迹是以AC 为直径端点的圆， 所以曲线Γ的方程为221x y +=.法二：设动直线为()1y k x =+，与圆22:280C x y x +--=联立，得：()()222212180k x k x k ++-+-=，由韦达定理，22121P QM x x k x k +-==+①，()2211+M M ky k x k =+=∴②， 由①得21=1M M x k x -+，代入②式得：()222222141411111M MM M M M x x k y x k x x -•+===-⎛⎫+-+ ⎪+⎝⎭， 又动直线斜率不存在时点M 坐标为()1,0-满足以上式关系，故曲线Γ的方程为221x y +=.（2）设()00,T x y ，先证曲线Γ在点处的切线方程为001x x y y +=， 事实上，22001x y +=，∴点T 在001x x y y +=上，又圆心O 到001x x y y +=1=，故001x x y y +=为曲线Γ的切线，AB =，所以圆心到弦AB 的距离32d ===，0312x =-=，解得012x =-或52（舍），从而点的坐标为12⎛- ⎝⎭或1,2⎛- ⎝⎭.22.【解析】：（1）()h x =，[]1,1x ∈-， 法一：()[]222,4h x =⎡⎤⎣⎦，且()0h x ≥， 故()h x的值域为2⎤⎦.法二：令22sin 1x θ=-，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则())sin cos 2sin 4h x πθθθ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭3,444πππθ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，sin 4πθ⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦∴， 故()h x 的值域为2⎤⎦. （2）()()()2F x a xh x ϕ=•+=令t⎤=⎦2112t =-，()()2211122F x m t a t t at t a ⎛⎫==-+=+- ⎪⎝⎭∴，t ⎤∈⎦， ①当0a =时，()m t t =，()()22g a m ==∴；②当0a >时，二次函数()m t 的图象开口向上，且对称轴10t a =-<， 于是()m t在2⎤⎦上单调递增，()()22g a m a ==+∴； ③当0a >时，二次函数()()22g a m a ==+∴的图象开口向下，且对称轴10t a =->，若1t a ⎡=-∈⎣，即2a ≤-，则()g a m ==，若12t a ⎤=-∈⎦，即12a <≤-，则()112g a m a a a ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭， 若()12,t a =-∈+∞，即102a -<<，则()()22g a m a ==+； 综上，()12,211,2222a a g a a a a a ⎧+>-⎪⎪⎪=---<≤-⎨⎪≤-.。
安徽省示范高中培优联盟2020-2021学年高二上学期冬季联赛数学试题 理(PDF)
（在此卷上答题无效）
绝密★启用前
安徽省示范高中培优联盟２０２０年冬季联赛（高二）
数学（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第１至第２页，第Ⅱ卷第３至 第４页。全卷满分１５０分，考试时间１２０分钟。 考生注意事项：
１．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡 上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。
２．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用２Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
３ ４．．獉题清字答考笔獉卷晰第试描。、Ⅱ结獉草清作卷 束獉稿楚图，时獉纸务。题，獉上必必必可獉答须将须先獉题使试在用獉无用题题铅獉效卷０．号笔。和５所在答毫指答獉题米示题獉卡的的卡獉一黑答规并色定题上墨的区交水位域。签置作字绘答笔出，在超獉，确獉答出獉认獉题答獉后獉卡题獉再獉上区獉用书獉域０写书獉．５，写獉要毫的獉求米答獉字的案獉体黑无獉工色獉效整墨，、在獉水笔试迹签獉
（Ｄ）犳（狓）＝狓１２－狓２
（ ）
第（４）题图
第（７）题图
（５）四边形犃犅犆犇中，犃→犅＋２犆→犇＝０，设犅犆的中点为犕，犃→犅＝犪，犃→犇＝犫，则向量犇犕→＝ （ ）
（ ） （Ａ）３ ４犪－犫 （Ｂ）３ ４犪－１ ２犫 （Ｃ）犪－１ ２犫 （Ｄ）１ ２犪－犫
（ （６７） ）“ （（某φＣＡ几））＝充何充３π分体分＋必由不２要犽必若π条要干（犽件条大∈件小犣相）”同是的“正函方数体犳（组狓合）＝而ｓ成（ （ｉＢＤｎ，））其狓２必既三＋要不视φ不充图充分的均分也图为条不象如件必关图要于所条狓示件＝的３π图形对，称设”该的几何（ 体 的）
∑ ∑ ∑ 犻＝５１狓犻２－５狓－２＝１０，犻＝４１狓犻狔犻＝６６５３，犻＝４１狔犻＝３．３０．
安徽省示范高中培优联盟2020-2021学年高二上学期冬季联赛文科数学试题(无答案)
绝密★启用前安徽省示范高中培优联盟2020年冬季联赛（高二）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I 卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3至第4页．全卷满分150分，考试时间120分钟． 考生注意事项：1．答题前，务必在试题卷、管题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致．2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂系．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题．．卡．上书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题．．卡．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在．试．题卷．．、草稿．．纸上答题无效．．．．．．． 4．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交．第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．图中阴影部分所对应的集合是（ ）A ．()UA B ⋃ B ．()()U U A B ⋃ C ．()UA B ⋃ D ．()U A B ⋂2．从50件产品中随机抽取10件进行抽样．利用随机数表抽取样本时，将50件产品按01，02，03……，50进行编号，如果从随机数表的第1行，第6列开始，从左往右依次选取两个数字，则选出来的第4个个体编号为（ ）70 29 17 12 15 40 33 20 38 26 13 89 51 03 74 17 76 37 13 04 07 74 21 19 30 56 62 18 37 35 A ．03 B ．32 C ．38 D ．10 3．命题“所有的二次函数图象都是轴对称图形”的否定是（ ）A ．所有的轴对称图形都不是二次函数图象B ．所有的二次函数图象都不是轴对称图形C ．有些轴对称图形不是二次函数图象D ．有些二次函数图象不是轴对称图形 4．“3πϕ=”是“函数sin 2xf x ϕ=+（）（）的图象关于3x π=对称”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知集合11,,125A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭与1,2,52B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，现分别从集合A ，B 中各任取一数a ，b ，则lg 1a gb +为整数的概率为（ ） A ．19 B ．29 C ．13 D ． 496．已知函数y f x =（）的图象如图所示，则f x （）的解析式可以为（ ）A ．tan f x x =-（）B ．31f x x x=-（） C ．1sin f x x =（） D ．221f x x x=-（）7．某几何体由若干大小相同的正方体组合而成，其三视图均为如图所示的图形，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A ．9πB ．10πC ．11πD ．12π8．已知函数()2sin xx xe f x x k e e -=+++的图象关于点01（，）对称，则实数k 的值为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．29．直线10x my m R +-=∈（）与圆22420x y x y +-+=相交于A ，B 两点，则AB 弦长的最小值为（ ） A ．3 B ．2 C ．23 D ．4 10．某圆锥的侧面积是底面积的a 倍，则圆锥的高为其底面半径的（ ） A ．2a倍 B ．a 倍 C ．1a -倍 D ．21a -倍 11．卢卡斯是十九世纪法国数学家，他以研究斐波那契数列而著名．卢卡斯数列就是以他的名字命名，卢卡斯数列为：1，3，4，7，11，18，29，47，76；123…，即1213L L ==，，且21n n n L L L n N *++=+∈（）．则卢卡斯数列{}n L 的第2020项除以4的余数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3（在此卷上答题无效）绝密★启用前安徽省示范高中培优联盟2020年冬季联赛（高二）数学（文科）第Ⅱ卷（非选择题共90分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．）13．若x ，y 满足约束条件2403010x y x x y y +≥-⎧-≤⎪⎨⎪+-≥⎩，则5z x y =+的最小值为_________．14．非零向量a b ，满足6a b =，且3b a b ⊥-（），则向量a b ，的夹角大小为_________．15．已知ABC 中，tan sin cos A B B ，，成公比为43的等比数列，则tan C 的值为_________． 16．已知四面体ABCD 的所有棱长均为6，过D 作平面α使得//BC α，且棱AB AC ，分别与平面α交于点E ，F ，若异面直线DE BC ，7，则AE 的长为_________． 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本题满分10分）某市为促进青少年运动，从2010年开始新建篮球场，某调查机构统计得到如下数据．（1）根据表中数据求得y 关于x 的线性回归方程为0.36y x a =+，求表中数据5y ．并求出线性回归方程； （2）预测该市2020年篮球场的个数（精确到个）．附：可能用到的数据与公式：55152211,10080i ii i i ii x y nx ya yb x b x xnx ===-=-⋅=⋅=-∑∑∑55422111510,6653, 3.30ii i i i i i xx x y y ===-===∑∑∑．18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ．点(),n n S 在函数222x xy =+的图象上． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2n an b =，求数列{}1nn n a b ⋅⋅（-）的前n 项和n T ．19．（本小题满分12分）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC BD ，交于点P ，sin sin PA BAC PC ACB ⋅∠=⋅∠ （1）求证：sin sin ABD CBD ∠=∠；（2）若120BAD ∠=︒，60BCD ∠=︒，33BC CD ==，求AB ．20．（本小题满分12分）如图，三棱锥P ABC -中，PA ⊥面ABC ，2AB BC ==，120ABC ∠=︒，M 为PC 的中点． （1）求证：MB AC ⊥；（2）若45PBA ∠=︒，求点P 到面MAB 的距离．21.（本小题满分12分）本季度，全球某手机公司生产某种手机，由以往经验表明，不考虑其他因素，该手机全球每日的销售量y （单位：万台）与销售单价x （单位：千元/台，48x <≤），当46x <≤时，满足关系式64ny m x x =-+-（）（m ，n 为常数），当68x <≤时，满足关系式20200y x =-+．已知当销售价格为5千元/台时，全球每日可售出该手机70万台，当销售价格定为6千元/台时，全球每日可售出该手机80万台． （1）求m ，n 的值，并求出该手机公司每日销售量的最小值；（2）若该手机的成本为4000元/台，试确定销售价格x 为何值时，该手机公司每日销售手机所获利润最大． 22．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，P 为圆22:8120C x y x +-+=上的动点，线段OP 中点M 的轨迹记为曲线Γ （1）求曲线Γ的方程；（2）已知动点Q 在y 轴上，直线l 与曲线Γ交于A ，B 两点．求证：若直线QA QB ，均与曲线Γ相切，则直线l 恒过定点．。
2019-2020学年安徽省示范高中培优联盟高二冬季联赛数学(理)试题(解析版)
本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
21．（1）已知 , , ，试比较 与 的大小;
（2）求证： ．
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析
【解析】（1）利用作差比较法比较 与 的大小;（2）由（1）中结论，对于正整数 ， ，再给k取值得到n个不等式，再把不等式相乘即得证.
【详解】
因为 ，所以点M是AB的中点.
取 的中点 ，则 为异面直线 与 所成角或补角，
设正四面体的棱长为 ，则 ， ，
于是 ．
故选：B
【点睛】
本题主要考查异面直线所成的角的计算，考查余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
5．如图网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中曲线为半径为1的半圆，则该几何体的表面积为（）
本题主要考查递推数列求和，考查错位相减法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
20．三棱台 中， ， ， , ．
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值．
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】（1）由题得侧面 与侧面 为全等的直角梯形，证明 ， ，可证明 平面 ．（2）取 ， 的中点 ， ，连接 ， ， 为等边三角形，连接 ， ， 即为二面角 的平面角，记为 ，通过求解三角形利用余弦定理求解即可．
15．已知 ， , 均为单位向量，若 ，则 的最大值为______．
【答案】 ．
【解析】先求出 ，再求 的最小值得解.
【详解】
，
而 ，
设向量 与 的夹角为 ,
则 ，
当 时， 取最大为 ．
故答案为：
【点睛】
安徽省示范高中培优联盟2019-2020学年高二下学期春季联赛理科数学试题
，
，其中 ， 均为 内的随机数，再由计算机统计发现其中满足条件
的数对有 个，由此可估计 的近似值
为______________．
15. 已知△ABC中，AB＝9，∠BAC＝60°，D为边BC上一点，且CD＝2BD，AD＝2 ，则△ABC的面积为______________.
16. 已知双曲线C：
的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线分别交双曲线C的左、右支于A，B两点，
D．关于(3，0)对称
9. 函数
(x>0)的最小值为（ ）
A．6
B．
C．
D．
10. 已知过点 A．2
安徽省示范高中培优联盟2019-2020学年高二下学期春季联赛理科数学试题
的直线与抛物线
交于
B．－2
两点， 为抛物线的焦点，若 C．2或－2
为常数，则 的值为（ ） D．不存在
11. 已知正多面体共有5种，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体.任一个正多面体都有内切球和外接球，若一个半径为1
安徽省示范高中培优联盟2019-2020学年高二下学期春季联赛理科数学试题
5. 过圆C1：x2＋y2＝1上的点P作圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝4切线，切点为Q，则切线段PQ长的最大值为（ ）
A．2
B．
C．4
D．
6. 关于函数
有下述三个结论：
①
在区间
上是减函数；
②
的图象关于直线
对称；
③
在区间
上的值域为
的球既是一个正四面体的内切球，又是一个正六面体的外接球，则这两个多面体的顶点之间的最短距离为（ ）
A． －1
B．1
C．2 －1
2018-2019学年安徽省示范高中培优联盟高二上学期冬季联赛数学(理)试题 解析版
高中培优联盟2018-2019学年高二上学期冬季联赛数学（理）试题（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）考生注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}2|log 4A x x =<，1|282x B x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ） A.[]1,3- B.(]0,3C.[)1,4-D.()0,42.命题“若()()430x y -+≤，则4x =或3y =-”的否命题是（ ） A.若()()430x y -+≤，则4x ≠或3y ≠- B.若()()430x y -+≤，则4x ≠且3y ≠- C.若()()430x y -+>，则4x ≠且3y ≠-D.若()()430x y -+>，则4x ≠或3y ≠- 3.已知直线l ⊄平面α，则（ ） A.P l ∀∈，P α∈ B.P l ∀∈，P α∉C.P l ∃∈，P α∈D.P l ∃∈，P α∉4.设a →，b →是两个非零向量，a →在b →方向上的投影为k ，则“0k <”是“a →，b →夹角为钝角”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.若x y y x e e ππ--+≤+，则有（ ） A.0x y +≤ B.0x y +≥C.0x y -≤D.0x y -≥6.已知直线y x m =+与圆22220x y x m +-+=有公共点，则实数m 的取值范围是（ ） A.13m -<≤ B.113m -<<C.113m -<≤D.113m -≤≤7.如图，某三棱柱的正视图是边长为2的正方形，其上下底面为正三角形，则下列命题中一定成立的是（ ）A.该三棱柱的表面积为123+B.该三棱柱的体积为23C.该三棱柱的侧视图为矩形D.该三棱柱有外接球8.已知实数x ，y 满足11x y x≤⎧⎪⎨-≤⎪⎩，则22x y +的最大值与最小值之和为（ ）A.5B.112C.6D.79.已知直线43x y k -=与单位圆有唯一的公共点P ，角α的终边在直线OP 上，O 为坐标原点，则tan 2α=（ ）A.34 B.34-C.247D.247-10.若关于x 的方程sin 10x ω+=在区间()0,π上有且只有一解，则正数ω的取值范围是（ ） A.37,22⎛⎤⎥⎝⎦ B.37,22⎛⎫⎪⎝⎭C.37,44⎛⎤⎥⎝⎦D.37,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦11.已知定义在R 上的函数()f x ，()g x 满足()()26f x x g x -+=，则函数()y g x =的图象关于（ ） A.直线3x =对称 B.直线3x =-对称C.原点对称D.y 轴对称12.已知奇函数()21ax bf x x+=+图象经过点()1,1，若矩形ABCD 的顶点A ，B 在x 轴上，顶点C ，D 在函数()y f x =的图象上，则矩形ABCD 绕x 轴旋转而成的几何体的体积的最大值为（ ）A.4π B.3πC.2πD.π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.不等式121x x -≥+的解集是________. 14.已知向量()2,1a →=，单位向量b →满足a b a b →→→→+=-，则向量b →的坐标为________. 15.已知等比数列{}n a 中，前4项之和为114a +，且2a ，31a +，4a 成等差数列，则公比q =________.16.已知函数()()()a log 10f x x x =+>与()xg x a k =+的图象上存在关于y 轴对称的点，其中1a >，则实数k 的取值范围是________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答. 17.已知数列{}n a 满足()1222n a a na n n N *+++=∈….()I 求数列{}n a 的通项公式；()II 求数列2n an ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和n S . 18.在ABC ∆中，2AB =，6AC =，ABC ∆的面积为42.()I 设D 为AC 的中点，求BD 的长度.()II 求sin C 的值.19.已知函数()2sincos 3sin 3222x x x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. ()I 求()f x 的单调递减区间；()II 先将()y f x =图象上所有点的横坐标变为原来的12（众坐标不变），再沿x 轴向右平移()0θθ>个单位长度，得到函数()y g x =，若()g x 的图象关于直线34x π=对称，求θ的最小值.20.我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如图，五面体ABCDEF 是一个“刍甍”，四边形ABCD 为矩形，EAD ∆与FBC ∆都是正三角形，4AB =，2AD EF ==.()I 求证：//EF 面ABCD ；()II 求直线CF 与平面ABEF 所成角的正弦值.21.已知过点()1,0A -的动直线与圆22:280C x y x +--=交于P ，Q 两点，线段PQ 中点M 的轨迹为曲线Γ.()I 求曲线Γ的方程；()II 若曲线Γ的一条切线与圆C 交于A ，B 两点，若33AB =T 的坐标.22.已知函数()x ϕ=()()()h x x x ϕϕ=+-.()I 求函数()h x 的值域；()II 求函数()()()2F x a x h x ϕ=•+的最大值()g a .高中培优联盟2018-2019学年高二上学期冬季联赛数学（理）试题参考答案一、选择题1.【解析】选B .解2log 4x <得()0,16A =，解1282x ≤≤得[]1,3B =-，(]0,3A B =∴. 2.【解析】选C .“若p ，则q ”的否命题为“若p ⌝，则q ⌝”，p q ∨的否定为()()p q ⌝∧⌝. 3.【解析】选D .直线l ⊄平面α，//l α∴或lA α=，故选D .4.【解析】选B .a →，b →反向，即夹角为180︒时也有0k <，故应选必要不充分条件. 5.【解析】选A .由x y y x e e ππ--+≤+得x x y y e e ππ---≤-，而()xxf x e π-=-是R 上的增函数.原不等式即()()f x f x =-，得x y ≤-，即0x y +≤.6.【解析】选C .直线0x y m -+=与圆()22211x y m -+=-有公共点，弦心距d =≤210m ->，解得113m -<≤.7.【解析】选B .注意到，该三棱柱不一定为正三棱柱，有可能是斜三棱柱，于是只有其体积恒为8.【解析】选B .易知不等式组表示的平面区域是以()1,0，()0,1，()1,2为顶点的三角形，对于可行域内任一点P ，222OP x y =+，不难知2OP ≤≤，因此则22x y +的最大值与最小值之和为111522+=.9.【解析】选D . 由题，直线OP与直线43x y k-=垂直，故3tan 4OP k α==-，22tan 24tan 21tan 7ααα==--∴. 10.【解析】选A .sin 10sin 1x x ωω+=⇒=-，结合sin y x ω=的图象知，3744T T π<≤，即3722πππωω<≤，解得3722ω<≤. 11.【解析】选A .由()()()()22639f x x f x g x -+=--+=得()()293f x g x -+=+，于是()()33g x g x -+=+，∴函数()y g x =的图象关于直线3x =对称. 12.【解析】选D .由题，()00f =及()11f =得()221xf x x=+， 如图，不妨设C ，D 在x 轴上方不难知该旋转体为圆柱，半径R BC =， 令221x R x=+，整理得220Rx x R -+=，则C x ，D x 为这个一元二次方程的两个不等实根， 于是圆柱的体积222222421C D R V R x x RR R Rπππ-=-==-()2221R Rππ⎡⎤≤+-=⎢⎥⎣⎦，当且仅当212R =时等号成立.二、填空题13.【解析】[]3,1--.不等式可化为1201x x --≤+，即301x x +≤+，解得[]3,1n x ∈--. 14.【解析】52,555⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭或52,555⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. 由a b a b →→→→+=-不难知a b →→⊥，设(),b x y →=，由解得52,555b →⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭或52,555⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. 15.【解析】2或12. 由题，2342431422a a a a a a ++=⎧⎨+=+⎩，解得324410a a a =⎧⎨+=⎩，即()23410aq a q q ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得2q =或12. 16.【解析】()1,-+∞. 由题，()xg x ak --=+与()()()log 10a f x x x =+>的图象有公共点，结合图象可知，()xg x ak --=+图象与y 轴交点的众坐标10k +>，故()1,k ∈-+∞.三、解答题17.【解析】：（1）1222n a a na n +++=…，()()()12121212n a a n a n n -+++-=-≥…， 两式作差得：()22n na n =≥，()22n a n n=≥∴， 又12a =符合上式，故()21n a n n=≥. （2）()211222n a n n n n n ==-+++， 111111111324112n S n n n n =-+-++-+--++∴…()()11113231212212n n n n n +=+--=-++++.18.【解析】：（1）由ABC ∆的面积1sin 2S AB AC A =••得sin 2A =，1cos 3A ==±∴，于是在ABD ∆中，由余弦定理：3BD ===.（2）法一：ABC ∆中，由余弦定理，BC =再由正弦定理，sin 1sin 3AB A C BC •==或9法二：由ABC ∆的面积1sin 2S BC AC C =••，得21sin 3S C BC AC ==•或919.【解析】：（1）()22sincos 12sin 222x x x f x ⎫=+-⎪⎭sin 2sin 3x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，由()322232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈， 得()f x 的单调递区间为()72,266k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. （2）由题，()()2sin 23g x x πθ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，()g x 的图象关于直线34x π=对称，324g π⎛⎫=± ⎪⎝⎭∴， 即35sin 2sin 21236πππθθ⎛⎫⎛⎫-+=-=±⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()52=62k k Z ππθπ-+∈∴，()2=32k k Z ππθ+∈， 当1k =-时，θ的最小值为=6πθ.20.【解析】：（1）//AB CD ，AB ⊄面CDEF ，CD ⊂面CDEF ，//AB ∴面CDEF ，又面ABFE 面CDEF EF =，//AB EF ∴，又EF ⊄面ABCD ，AB ⊂面ABCD ，所以//EF 面ABCD .（2）如图，延长棱EF 至MN ，使得1ME NF ==，由题可知ABNM 与CDMN 皆为矩形，于是我们得到了直三棱柱ADM BCN -， 过C 作CP BN ⊥于P ，则CP ⊥面ABNM ，CF ∴在面ABFE 内的摄影为PF ，CF 与平面ABFE 所成角为CFP ∠，又223BN CN BF FN ==-NBC ∆∴中，BC 2，22263CP ==∴ 故6sin =3CP CFP CF ∠=. 21.【解析】：（1）法一：圆()22:19C x y -+=，圆心()1,0C ， 由垂径定理知PQ CM ⊥，即AM CM ⊥， 于是M 的轨迹是以AC 为直径端点的圆， 所以曲线Γ的方程为221x y +=.法二：设动直线为()1y k x =+，与圆22:280C x y x +--=联立，得：()()222212180k x k x k ++-+-=，由韦达定理，22121P QM x x k x k +-==+①，()2211+M M ky k x k=+=∴②，由①得21=1M M x k x -+，代入②式得：()222222141411111MMM M M M x x k y x k x x -•+===-⎛⎫+-+ ⎪+⎝⎭，又动直线斜率不存在时点M 坐标为()1,0-满足以上式关系， 故曲线Γ的方程为221x y +=.（2）设()00,T x y ，先证曲线Γ在点处的切线方程为001x x y y +=， 事实上，22001x y +=，∴点T 在001x x y y +=上，又圆心O 到001x x y y +=1=，故001x x y y +=为曲线Γ的切线，AB =，所以圆心到弦AB 的距离32d ===，0312x =-=，解得012x =-或52（舍），从而点的坐标为12⎛-⎝⎭或1,2⎛- ⎝⎭. 22.【解析】：（1）()h x =[]1,1x ∈-， 法一：()[]222,4h x =⎡⎤⎣⎦，且()0h x ≥， 故()h x的值域为⎤⎦.法二：令22sin 1x θ=-，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则())sin cos 2sin 4h x πθθθ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭3,444πππθ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，sin ,142πθ⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦∴，故()h x的值域为⎤⎦. （2）()()()2F x a x h x ϕ=•+=令2t ⎤=⎦2112t =-， ()()2211122F x m t a t t at t a ⎛⎫==-+=+- ⎪⎝⎭∴，t ⎤∈⎦， ①当0a =时，()m t t =，()()22g a m ==∴；②当0a >时，二次函数()m t 的图象开口向上，且对称轴10t a =-<， 于是()m t在⎤⎦上单调递增，()()22g a m a ==+∴； ③当0a >时，二次函数()()22g a m a ==+∴的图象开口向下，且对称轴10t a =->，若1t a ⎡=-∈⎣，即a ≤()g a m ==，若12t a ⎤=-∈⎦，即122a -<≤-，则()112g a m a a a ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭， 若()12,t a =-∈+∞，即102a -<<，则()()22g a m a ==+； 综上，()12,211,2222a a g a a a a a ⎧+>-⎪⎪⎪=---<≤-⎨⎪≤-.。
安徽省示范高中培优联盟2018-2019学年高二上学期冬季联赛数学(文)试题
高中培优联盟2018-2019学年高二上学期冬季联赛数学（文）试题本试题卷共6页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}2|log 4A x x =<，1|282x B x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ） A.[]1,3- B.(]0,3C.[)1,4-D.()0,42.某校高一年级10名同学参加校园歌手大赛的得分用茎叶图表示，其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的中位数为（ ）A.91.5B.88C.88.5D.903.命题“若()()430x y -+≤，则4x =或3y =-”的否命题是（ ） A.若()()430x y -+≤，则4x ≠或3y ≠- B.若()()430x y -+≤，则4x ≠且3y ≠- C.若()()430x y -+>，则4x ≠且3y ≠-D.若()()430x y -+>，则4x ≠或3y ≠-4.设a →，b →是两个非零向量，a →在b →方向上的投影为k ，则“0k <”是“a →，b →夹角为钝角”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.若xyyx e e ππ--+≤+，则有（ ）A.0x y +≤B.0x y +≥C.0x y -≤D.0x y -≥6.已知实数x ，y 满足11x y x≤⎧⎪⎨-≤⎪⎩，则22x y +的最大值与最小值之和为（ ）A.5B.112C.6D.77.在[]4,4-上随机地取一个数m ，则事件“直线y x m =+与圆22210x y x +--=相交”发生的概率为（ ） A.14B.13C.12D.238.如图，某三棱柱的正视图是边长为2的正方形，其上下底面为正三角形，则下列命题中一定成立的是（ ）A.该三棱柱的表面积为12+B.该三棱柱的体积为C.该三棱柱的侧视图为矩形D.该三棱柱有外接球9.已知直线43x y k -=与单位圆有唯一的公共点P ，角α的终边在直线OP 上，O 为坐标原点，则tan 2α=（ ）A.34 B.34-C.247D.247-10.已知函数()2sincos 222x x x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭先将()y f x =图象上所有点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），再沿x 轴向右平移()0θθ>个单位长度，得到函数()y g x =，若()g x 的图象关于直线34x π=对称，则θ的最小值为（ ） A.6π B.4πC.3πD.23π11.已知定义在R 上的函数()f x ，()g x 满足()()26f x x g x -+=，则函数()y g x =的图象关于（ ） A.直线3x =对称 B.直线3x =-对称C.原点对称D.y 轴对称12.已知奇函数()21ax bf x x+=+图象经过点()1,1，若矩形ABCD 的顶点A ，B 在x 轴上，顶点C ，D 在函数()y f x =的图象上，则矩形ABCD 绕x 轴旋转而成的几何体的体积的最大值为（ ）A.4π B.3πC.2πD.π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()13,01,03xx x f x x ⎧≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩，则()27f f --=⎡⎤⎣⎦________. 14.不等式121x x -≥+的解集是________. 15.已知等比数列{}n a 中，前4项之和为114a +，且2a ，31a +，4a 成等差数列，则公比q =________.16.设F 是椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点，直线3b y =与椭圆交于B ，C 两点，若BFC ∠为钝角，则该椭圆离心率的取值范围为________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.17.已知数列{}n a 满足()1222n a a na n n N *+++=∈….()I 求数列{}n a 的通项公式； ()II 求数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和n S . 18.在ABC ∆中，2AB =，6AC =，ABC ∆的面积为()I 设D 为AC 的中点，求BD 的长度. ()II 求sin C 的值.19.某校食堂的两层楼分别由两家餐饮公司经营，称为一食堂和二食堂，学校为了了解学生对这两家食堂的满意度，采用问卷的形式，随机抽取了60名学生对两家食堂分别进行评分.根据收集的120份问卷的评分得到了一楼食堂的满意度评分的频率分布直方图和二楼食堂满意度的频率分布表.()I 根据一楼食堂的频率分布直方图，估计该食堂的满意度评分的中位数；()II 从满意度高于90分的问卷中，随机抽取两份，求这两份问卷都是一楼食堂评分的概率； ()Ⅲ请从统计变量数据，对一楼食堂、二楼食堂作出客观评价.20.已知椭圆C 经过点()2,3P ，对称轴为坐标轴，焦点12,F F 在x 轴上且焦距为4.()I 求椭圆C 的方程；()II 若过点P 的直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，求直线l 的方程.21.我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如图，五面体ABCDEF 是一个“刍甍”，四边形ABCD 为矩形，EAD ∆与FBC ∆都是正三角形，4AB =，2,2AD EF ==.()I 求证：//EF 面ABCD ； ()II 求五面体ABCDEF 的体积.22.已知过点()1,0A -的动直线与圆22:280C x y x +--=交于P ，Q 两点，线段PQ 中点M 的轨迹为曲线Γ.()I 求曲线Γ的方程；()II 若曲线Γ的一条切线与圆C 交于A ，B 两点，若AB =T 的坐标.高中培优联盟2018-2019学年高二上学期冬季联赛数学（文）试题参考答案一、选择题1.【解析】选B .解2log 4x <得()0,16A =，解1282x ≤≤得[]1,3B =-，(]0,3A B =∴. 2.【解析】选D .中位数为8892902+=. 3.【解析】选C .“若p ，则q ”的否命题为“若p ⌝，则q ⌝”，p q ∨的否定为()()p q ⌝∧⌝. 4.【解析】选B .a →，b →反向，即夹角为180︒时也有0k <，故应选必要不充分条件. 5.【解析】选A .由xyyx e e ππ--+≤+得x x y y e e ππ---≤-，而()x x f x e π-=-是R 上的增函数.原不等式即()()f x f x =-，得x y ≤-，即0x y +≤. 6.【解析】选B .易知不等式组表示的平面区域是以()1,0，()0,1，()1,2为顶点的三角形，对于可行域内任一点P ，222OP x y =+，不难知2OP ≤≤，因此则22x y +的最大值与最小值之和为111522+=.7.【解析】选C .直线0x y m -+=与圆()2212x y -+=相交时，弦心距d =<31m -<<∴，故所求概率为12. 8.【解析】选B .注意到，该三棱柱不一定为正三棱柱，有可能是斜三棱柱，于是只有其体积恒为9.【解析】选D .由题，直线OP 与直线43x y k -=垂直，故3tan 4OP k α==-，22tan 24tan 21tan 7ααα==--∴. 10.【解析】选A .()22sin cos 12sin sin 2sin 2223x x x f x x x x π⎫⎛⎫=-=+=+⎪ ⎪⎭⎝⎭，由题，()()2sin 23g x x πθ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，()g x 的图象关于直线34x π=对称， 324g π⎛⎫=± ⎪⎝⎭，即35sin 2sin 21236πππθθ⎛⎫⎛⎫-+=-=± ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()5262k k Z ππθπ-=+∈∴，()232k k Z ππθ=+∈，当1k =-时，θ的最小值为6πθ=. 11.【解析】选A .由()()()()22639f x x f x g x -+=--+=得()()293f x g x -+=+，于是()()33g x g x -+=+，∴函数()y g x =的图象关于直线3x =对称. 12.【解析】选D .由题，()00f =及()11f =得()221xf x x=+， 如图，不妨设C ，D 在x 轴上方不难知该旋转体为圆柱，半径R BC =， 令221xR x=+，整理得220Rx x R -+=，则C x ，D x 为这个一元二次方程的两个不等实根，于是圆柱的体积222C D V R x x RRπππ=-==22R ππ⎡⎤≤+=⎢⎥⎣⎦，当且仅当212R =时等号成立.二、填空题13.【解析】[]3,1--.不等式可化为1201x x --≤+，即301x x +≤+，解得[]3,1n x ∈--. 14.【解析】127.不等式可化为()()1327273f -=-=-，()()()131273327f f f ---===⎡⎤⎣⎦∴. 15.【解析】2或12. 由题，2342431422a a a a a a ++=⎧⎨+=+⎩，解得324410a a a =⎧⎨+=⎩，即()23410aq a q q ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，2q ⇒=或12. 16.【解析】⎛ ⎝⎭.椭圆右焦点为(),0F c ，3b y =与椭圆交于,3b B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，,3b C a ⎫⎪⎪⎝⎭，,33b FB a c ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，2,33b FC c ⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭， ()22222222881700999984a b a FB FC c c a c e e ∙=-+=-+-<⇒<⇒<<∴. 三、解答题17.【解析】：（1）1222n a a na n +++=…，()()()12121212n a a n a n n -+++-=-≥…， 两式作差得：()22n na n =≥，()22n a n n=≥∴， 又12a =符合上式，故()21n a n n=≥. （2）()2112111n a n n n n n ⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭， 111111122211223111n n S n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭∴…. 18.【解析】：（1）由ABC ∆的面积1sin 2S AB AC A =∙∙得sin 2A =， 1cos3A ==±∴，于是在ABD ∆中，由余弦定理：3BD ===.（2）法一：ABC ∆中，由余弦定理，BC ==再由正弦定理，sin 1sin 3AB A C BC ∙==或9法二：由ABC ∆的面积1sin 2S BC AC C =∙∙，得21sin 3S C BC AC ==∙或919.【解析】：（1） 设一楼食堂的60份问卷的中位数为x ，则有()0.01100.02100.05700.5x ⨯+⨯+-=，74x =∴；（2）满意度高于90份的问卷，一楼食堂有0.0510603⨯⨯=份，二楼食堂有2份，它们分别设为：12312,,,,a a a b b ，从这5份问卷中随机抽取2份，所有可能的结果有：()12,a a ，()13,a a ，()11,a b ，()12,a b ，()23,a a ，()21,a b ，()22,a b ，()31,a b ，()32,a b ，()12,b b ，共10种结果，其中两份都是一楼食堂的有()12,a a ，()13,a a ，()23,a a 共3种结果，其概率为310； （3）由（1）知，一楼食堂得分的中位数为74，低于二楼食堂得分的中位数75分，一楼食堂得分集中在[]70,80这组，而二楼食堂得分集中在[]70,80和[]80,90两个组，一楼食堂得分的平均数低于二楼食堂得分的平均数；一楼食堂得分比较分散，二楼食堂得分相对比较集中，即一楼食堂得分的方差高于二楼食堂得分的方差.20.【解析】：（1）由题，24c =，焦点的坐标为()12,0F -，()22,0F ， 于是1228a PF PF =+=，216a =，22212b a c =-=∴，所以椭圆E 的方程为2211612x y +=. （2）由题意直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()23y k x =-+，与椭圆C 联立得：()()222438231648120kx k kx k k +--+--=，令()()()222264234431648120k k k k k ∆=--+--=，化简得：24410k k ++=，解得12k =-， 所以直线l 的方程为()1232y x =--+，即280x y +-=. 21.【解析】：（1）//AB CD ，AB ⊄面CDEF ，CD ⊂面CDEF ，//AB ∴面CDEF ，又面ABFE面CDEF EF =，//AB EF ∴，又EF ⊄面ABCD ，AB ⊂面ABCD ，所以//EF 面ABCD .（2）如图，延长棱EF 至MN ，使得1ME NF ==，由题可知ABNM 与CDMN 皆为矩形，于是我们得到了直三棱柱ADM BCN -，又BN CN ==NBC ∆∴中，BCNBC S ∆=∴，∴五面体ABCDEF 的体积2ADM BCN F BCN E ADM ADM BCN F BCNV V V V V V -----=--=-122333NBC NBC NBC S MN S FN S MN FN ∆∆∆⎛⎫=∙-∙∙∙=-=⎪⎝⎭22.【解析】：（1）法一：圆()22:19C x y -+=，圆心()1,0C ，由垂径定理知PQ CM ⊥，即AM CM ⊥， 于是M 的轨迹是以AC 为直径端点的圆， 所以曲线Γ的方程为221x y +=.法二：设动直线为()1y k x =+，与圆22:280C x y x +--=联立，得：()()222212180k x k x k ++-+-=，由韦达定理，22121P QM x x k x k +-==+①，()2211+M Mk y k x k =+=∴②， 由①得21=1M Mx k x -+，代入②式得：()222222141411111M MM M M M x x k y x k x x -∙+===-⎛⎫+-+ ⎪+⎝⎭，又动直线斜率不存在时点M 坐标为()1,0-满足以上式关系， 故曲线Γ的方程为221x y +=.（2）设()00,T x y ，先证曲线Γ在点处的切线方程为001x x y y +=， 事实上，22001x y +=，∴点T 在001x x y y +=上， 又圆心O 到001x x y y +=1=，故001x x y y +=为曲线Γ的切线，AB =，所以圆心到弦AB 的距离32d ===，0312x =-=，解得012x =-或52（舍），从而点的坐标为1,22⎛-⎝⎭或1,22⎛-- ⎝⎭.。
安徽省师范高中培优联盟2019年高二冬季联赛理科数学参考答案及解析
2019冬季联赛高二理科数学参考答案及解析一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．【答案】C ．A B ={0,1,2}．2．【答案】A ．ln 0x <01x ⇔<<，|1|2x +<31x ⇔-<<，而区间(0,1)(3,1)⊆-，故“ln 0x <”是“|1|2x +<”的充分不必要条件．3．【答案】C ．选项A ，反例为直棱柱两相邻侧面与其底面；选项B ，反例为圆锥的母线与其底面；选项C ，这两条直线均平行于二面的交线即可；选项D ，反例为直线在平面内的情形． 4．【答案】B ． 取PB 的中点N ，则CMN ∠为异面直线PA 与CM 所成角，设正四面体的棱长为2，则1MN =，CM CN ==cos 6CMN ∠=． 5．【答案】D ．该几何体由一个半径为1的半球和一个直径与高都为2的半圆柱组合而成的组合体，其表面积为(2)(24)5422πππππ++++=+．6．【答案】A ．由122k x π=得函数()f x 的对称中心为11(,0)()4k k π∈Z ，故函数()g x 的对称中心为22(,0)()43k k ππ+∈Z ，所以21||||||()4343k k k a b k ππππ--=+=+∈Z ，取1k =-得最小值为12π．7．【答案】B ．令1m =得121n n a a +=+，所以112(1)n n a a ++=+，{1}n a +成等比数列，于是不难求得21n n a =-，663a =．8．【答案】A ．由题，原点O 到直线:0AB x ay a +-==2a =12+． 9.【答案】C ．令e ,e xya b ==，则,0a b >且2a b +=，于是221e eexya b --+=+211e ()()2a b a b=++221e (1e )2b a a b =+++221(1e)(1e 22+=++=，当且仅当e b a =时等号成立． 10．【答案】D ．设,()P x y ，由22||12||PA PB +=可得点P 在圆22:14()E x y +-=上，由题可知E 与圆22:(2)4C x y a +-=-相切，故41a -=或9，即3a =或5-．11．【答案】B ．12把函数(21)y f x =-的图象向左平移 个单位，再向下平移1个单位，即可得到函数()(2)1g x f x =-的图象，故()g x 的图象关于直线对称，故选B ．12．【答案】D ．考虑函数ln 1(0)y ax x =->与24(0)y x ax x =+->的图象，不难知它们有公共的零点t 时，()0f x ≥恒成立．于是，24e at t =-=由2sin()cos()3sin 12x x x π+--=-=得1sin 3x =-，故27cos 212sin 9x x =-=． 14.【答案】[4,)+∞．由题，1y a x ≥+，作出不等式组所表示的平面区域可知，1yx +表示区域内的点与点(1,0)-连线的斜率，当(,)x y 取点时(0,4)时，1yx +的最大值为4，所以[4,)a ∈+∞．151．2|32|14(64)a b c c a b +-=-⋅+，而|64|213a b +=，设向量c 与64a b +的夹角为θ则|32|142a b c +-=-θπ=时，|32|a b c +-1．16．【答案】1643．设过点,,C M N 的平面与棱11A D交于点P ，则NPCM ∥，故11D P =．体积较小的那部分为三棱台1D NP DCM -，该三棱台的体积为128(14)433⋅=，所以体积较大的那部分的体积为328164433-=．三、解答题：共70分。
安徽省示范高中培优联盟2019_2020学年高二数学冬季联赛试题文含解析
安徽省示范高中培优联盟2019-2020学年高二数学冬季联赛试题 文（含解析）一、选择题（本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1.已知全集U =R ，{}2A x x x =<，{}210B x x =-≤，则()UAB 等于（ ）．A. 112x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭B. 112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭C. 102x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭ D. 112xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【答案】D 【解析】 【分析】分别解出不等式,可得{}|01A x x =<<,1|2B x x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭,再根据集合的补集、交集定义求解即可【详解】由题,可得{}|01A x x =<<,1|2B x x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭, 则U1|2B x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭,所以()1|12UA B x x ⎧⎫⋂=<<⎨⎬⎩⎭故选：D【点睛】本题考查集合的交集、补集运算,考查解不等式2.如图，选自我国古代数学名著《周髀算经》．图中大正方形边长为5，四个全等的直角三角形围成一个小正方形（阴影部分），直角三角形较长的直角边长为4．若将一质点随机投入大正方形中，则质点落在阴影部分的概率是（ ）．A.125B.225C.325D.425【答案】A【解析】 【分析】由勾股定理,可得阴影部分,即小正方形的边长为1,所求即为小正方形与大正方形的面积比 【详解】由题,大正方形边长为5,直角三角形较长的直角边长为4,根据勾股定理可得直角三角形较短的直角边长为3,则阴影部分,即小正方形边长为431-=,根据面积型的几何概型公式计算可得,质点落在阴影部分的概率为1115525P ⨯==⨯ 故选：A【点睛】本题考查面积型的几何概型的概率公式的应用,属于基础题 3.设sin2cos αα=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan2α的值是( )B. D. -【答案】A 【解析】2cos ,0,,2sin πααα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭2cos cos sin ααα∴=，1,26sin παα∴==，tan 2tan3πα== A.4.下列命题正确的是（ ）．A. 若p q ∧为假命题，则p ，q 都是假命题B. a b >是ln ln a b >的充分不必要条件C. 命题“若cos cos αβ≠，则αβ≠” 的逆否命题为真命题D. 命题“0x R ∃∈，060x +<”的否定是“0x R ∀∉，060x +≥” 【答案】C 【解析】 【分析】由逻辑联结词的性质判断A 选项；由不等式的性质判断B 选项；由原命题判断逆否命题的真假来判断C 选项；由存在性命题的否定的定义来判断D 选项【详解】对于选项A,若p q ∧为假,则p ,q 中有一个是假命题即可,故A 错误；对于选项B,当0a b >>时,无法推出ln ln a b >,故a b >不是ln ln a b >的充分条件,故B 错误；对于选项C,命题“若cos cos αβ≠,则αβ≠”的逆否命题为“若αβ=,则cos cos αβ=”,该命题正确,故C 正确；对于选项D,命题“0x R ∃∈,060x +<”的否定是“,60x R x ∀∈+≥”,故D 错误 故选：C【点睛】本题考查命题真假的判定,考查对逻辑联结词,充分不必要条件,逆否命题,存在性命题的否定的理解5.已知函数()1108101x xf x ++=+，则()()()()3336log log 6log log 3f f +的值为（ ）． A. 7 B. 9C. 14D. 18【答案】D 【解析】 【分析】 因为631log 3log 6=,原式可整理为()()()()3333log log 6log log 6f f +-,分析()f x 的性质可得()()18f x f x +-=,即可求解 【详解】由题,631log 3log 6=,则 ()()()()()()33363333log log 6log log 3log log 6log log 61f f f f ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()3333log log 6log log 6f f =+-,因为()1108210101101x xx f x ++==-++,则()22101010101101xx xf x -⋅-=-=-++, 所以()()2210221010102020218101101101x x x x xf x f x ⎛⎫⋅+⋅⎛⎫+-=-+-=-=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭. 则()()()()3333log log 6log log 618f f +-= 故选：D【点睛】本题考查函数对称性的应用,考查对数的性质,考查观察分析的能力,处理该题时不应直接代入数据处理,而是观察所求之间的关系,利用函数性质求解,以此简化运算 6.为得到函数πcos 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin y x =的图像 （ ） A. 向左平移π6个长度单位 B. 向右平移π6个长度单位 C. 向左平移5π6个长度单位D. 向右平移5π6个长度单位【答案】C 【解析】先化简变形把sin y x =变为πcos 2y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，然后由平移公式有πππcos cos cos ()222y x y x x ϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-→=+-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭平移个单位（）对应相等可得56πϕ=，显然是向左平移．7.如图，在四边形ABCD 中，对角线BD 垂直平分AC ，垂足为O ，若4AC =，则AB AC ⋅= （ ）．A. 2B. 4C. 8D. 16【答案】C 【解析】 【分析】由图可得12AB AO OB AC OB =+=+,转化12AB AC AC OB AC ⎛⎫⋅=+⋅ ⎪⎝⎭,根据OB 与AC 的位置关系进而求解即可【详解】因为对角线BD 垂直平分AC ,垂足为O ,所以12AO AC =,BO AC ⊥,即 0BO AC ⋅=,所以12AB AO OB AC OB =+=+, 则22211110482222AB AC AC OB AC AC OB AC AC ⎛⎫⋅=+⋅=+⋅=+=⨯= ⎪⎝⎭, 故选：C【点睛】本题考查向量的数量积,考查平面向量基本定理的应用,考查垂直向量的应用 8.函数f （x ）=ln|11xx+-|的大致图象是（ ） A. B.C. D.【答案】D 【解析】 因为()()11lnln 11x xf x f x x x-+-==-=-+-，所以函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，可排除,A C ；由()2ln30f =>,可排除B ，故选D.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题. 这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.9.若实数x，y满足约束条件02322302xx yxy<≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，若()0z x ky k=+>的最大值为152，则z的最小值为（）．A.72B. 4C.256D.92【答案】C【解析】【分析】设0x ky+=,即1=-y xk,且1k-<,画出可行域,平移直线,由图可得截距最大时的点坐标,进而求出2k=,代回直线方程,再平移直线找到截距最小时的点,从而求得z的最小值【详解】由题,设0x ky+=,即1=-y xk,因为0k>,所以1k-<,可行域如图所示,平移直线1=-y xk,在点3,32⎛⎫⎪⎝⎭处截距最大,则此时153322k=+,即2k=,则12y x=-；再平移直线12y x=-,在点34,23⎛⎫⎪⎝⎭处截距最小,此时min34252236z=+⨯=故选：C【点睛】本题考查线性规划的应用,考查数形结合思想10.已知函数()2f x x mx=-+，且()()f f x的最大值与()f x的最大值相等，则实数m的取值范围是（ ）． A. (][),20,-∞-+∞B. []2,0-C. (][),02,-∞+∞D. []0,2【答案】C 【解析】 【分析】先求出()f x 的对称轴和最大值,将问题转化为存在x ,使()2mf x ≥恒成立,再解不等式即可 【详解】由题,当2m x =时,()2max 4m f x =,因为()()ff x 的最大值与()f x 的最大值相等,所以存在x ,使()2m f x ≥恒成立,则()max 2m f x ≥,即242m m≥,解得0m ≤或2m ≥,故选：C【点睛】本题考查二次函数的最值问题,考查利用二次函数的性质处理含参问题,考查转化思想11.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出了体积计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异．”教材中的“探究与发现”利用祖暅原理将半球的体积转化为一个圆柱与一个圆锥的体积之差，从而得出球的体积计算公式．如图（1）是一种“四脚帐篷”的示意图，用任意平行于帐篷底面ABCD 的平面截帐篷，得截面四边形为正方形，该帐篷的三视图如图（2）所示，其中正视图的投影线方向垂直于平面AOC ，正视图和侧视图中的曲线均为半径为1的半圆．模仿上述球的体积计算方法，得该帐篷的体积为（ ）．图（1） 图（2）A. 23B.43C.π3D.2π3【答案】B【解析】【分析】由题,“祖暅原理”为两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体的体积相等,则可将该四角帐篷的体积等价于一个棱柱减去一个棱锥的体积,根据三视图的数据,求解即可【详解】由“祖暅原理”可得这个四角帐篷的体积等价于一个四棱柱减去一个四棱锥的体积,底面积为正方形,对角线长为2,即边长为；高为1,所以22124112333V=⨯-⨯⨯=-=故选：B【点睛】本题考查类比推理的应用,考查几何体的体积,考查分析推理能力12.若数列{}n a满足：对任意的()3n N n*∈≥，总存在,i j N*∈，使(),,n i ja a a i j i n j n=+≠<<，则称{}n a是“F数列”．现有以下数列{}n a：①2na n=；②2na n=；③3nna=；④112nna-⎛=⎝⎭；其中是F数列的有（）．A. ①③B. ②④C. ②③D. ①④【答案】D【解析】【分析】利用特殊值的方法可以否定②③,再根据通项公式的特点证明①④即可【详解】①2na n=,则12a=,()12122na n n-=-=-,则11n na a a-=+()3n≥,故①是“F 数列”；②2na n=,则2339a==,若(),,n i ja a a i j i n j n=+≠<<,则,i j只能是1,2,但2111a==,2224a==,此时312a a a≠+,故②不是“F数列”；③3nna=,则33327a==,若(),,n i ja a a i j i n j n=+≠<<,则,i j只能是1,2,但13a =,2239a ==,此时312a a a ≠+,故③不是“F 数列”；④1152n n a -⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭,则1121151522n n n a ----⎛⎫⎛⎫--== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,2132151522n n n a ----⎛⎫⎛⎫--== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2312112151515151522222n n n n n a a -------⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----⎢⎥+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111111151515151515151n n n na ------⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-------⎢⎥=⨯⨯+=⨯⨯== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()3n ≥,故④是“F 数列”故选：D【点睛】本题考查数列的通项公式的应用,考查对新定义的理解,考查分析阅读能力,考查推理论证能力二、填空题（本大题共4小题，把答案填在答题卡的相应位置．）13.在边长为1的正六边形的六个顶点中任取两个点，则这两点之间距离大于1的概率为______． 【答案】35【解析】 【分析】由边长为1的正六边形,根据三角形两边之和大于第三边可得对角线均大于1,进而得到所求 【详解】由题,根据三角形两边之和大于第三边可得正六边形的对角线均大于1,如图,六个顶点中任取两个点的情况数为15,对角线的条数为9,则顶点中两点之间距离大于1的概率为93155P ==,故答案为：35【点睛】本题考查概率的求解,考查古典概型的应用,属于基础题14.在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos 2cos b A a B =，且cos 3cos c A a C =，则cos A =_____________．【解析】因为cos 2cos b A a B =，cos 3cos c A a C =，所以由正弦定理可得sin cos 2sin cos B A A B =，sin cos 3sin cos C A A C =， 整理得tan 2tan B A =，tan 3tan C A =，所以()2tan tan 5tan tan tan 1tan tan 16tan B C AA B C B C A +=-+=-=---， 又tan 0A ≠，所以25116tan A =--，解得tan 1A =（负值舍去），所以4A π=，所以cos 2A =． 15.已知曲线:21C x y =+与直线:l y kx m =+，对任意的m R ∈，直线l 与曲线C 都有两个不同的交点，则实数k 的取值范围为______． 【答案】()2,2- 【解析】 【分析】先分类讨论画出曲线C 的图象,再根据对任意的m R ∈,直线l 与曲线C 都有两个不同的交点,变换直线找到符合条件的情况,即可得到斜率k 的范围 【详解】由题,因为曲线:21C x y =+,则 当0,0x y >>时,21y x =-； 当0,0x y ><时,21y x =-+； 当0,0x y <>时,21y x =--；当0,0x y <<时,21y x =+；画出图象,如下图所示,若对任意的m R ∈,直线l 与曲线C 都有两个不同的交点,则直线l 与曲线C 分别交于两支,故22k -<<,故答案为：()2,2-【点睛】本题考查已知交点个数求参问题,考查数相结合能力,考查分类讨论思想16.如图，设Ox 、Oy 是平面内相交成60︒角的两条数轴，1e 、2e 分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量．若向量12OP xe ye =+，则把有序实数对,x y 叫做向量OP 在斜坐标系xOy 中的坐标，记作,OP x y =．在此斜坐标系xOy 中，已知2,3=a ，5,2=-b ， ,a b夹角为θ，则θ=______．【答案】23π 【解析】 【分析】由题意,1223a e e =+,1252b e e =-+,分别求出a b ⋅,a ,b ,进而利用数量积求出夹角即可【详解】由题,1223a e e =+,1252b e e =-+,所以()()21221211221195210116101162223a b e e e e e e e e ⋅=⋅-+=--⋅+=--⨯+=+- ()212112222214129412931922e e e e e e a ==+⋅+=++⨯+=,则19a =,()22221211221522520425204192b e e e e e e =-+=-⋅+=-⨯+=,则19b =,所以1912cos 219a b a bθ-⋅===-⨯⋅,则23θπ= 故答案为：23π 【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用,考查利用数量积求向量的夹角,考查运算能力 三、解答题（本大题共6小题，解答应写出必要的文字说明、证明过程演算步骤．） 17.某蛋糕店计划按天生产一种面包，每天生产量相同，生产成本每个6元，售价每个8元，未售出的面包降价处理，以每个5元的价格当天全部处理完．（1）若该蛋糕店一天生产30个这种面包，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：个，n N ∈）的函数解析式；（2）蛋糕店记录了30天这种面包的日需求量（单位：个），整理得下表：假设蛋糕店在这30天内每天生产30个这种面包，求这30天的日利润（单位：元）的平均数及方差．【答案】(1) 330,3060,30n n y n -<⎧=⎨≥⎩,n N ∈.(2)平均数为59,方差为3.8. 【解析】 【分析】（1）当需求量小于30时,利润为卖出的利润减去亏损的部分；当需求量大于等于30时,利润即为30个面包的利润；（2）将需求量代入解析式求出利润,再利用平均数公式及方差公式运算即可 【详解】（1）由题,当30x <时,()()()866530330y n n n =----=-； 当30x ≥时,()308660y =⨯-=,所以330,3060,30n n y n -<⎧=⎨≥⎩,n N ∈ （2）由题,则所以平均数为()15435746066745930⨯+⨯+⨯+++⨯=⎡⎤⎣⎦； 方差为()()()()2221545935759460596674 3.830⎡⎤-⨯+-⨯+-⨯+++⨯=⎣⎦ 【点睛】本题考查分段函数在实际中的应用,考查平均数与方差,考查运算能力与数据处理能力,考查分类讨论思想18.设数列{}n a 满足123232n a a a na n ++++=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．【答案】（1）2n a n=（2）()121nn S n =-⋅+ 【解析】 【分析】（1）先求出1a ,再由2n ≥,可得()()123123121n a a a n a n -++++-=-,与题干中条件作差,整理后即可得到通项公式；（2）由（1）可设122nn n nb n a -==⋅,利用错位相减法求前n 项和即可 【详解】解：（1）当1n =时,1212a =⨯=；当2n ≥时,()()123123121n a a a n a n -++++-=-②,因为123232n a a a na n ++++=①,则①-②得,2n na =,即2n a n=, 检验,1221a ==,符合,故2n a n =（2）由（1）,设12222n nn n nb n a n-===⋅, 则121n n n S b b b b -=++++()0121=1222122n n n n --⨯+⨯++-⋅+⋅,所以()12121222122n n n S n n -=⨯+⨯++-⋅+⋅,所以012122222n n n S n --=+++-⋅()0212212n n n ⨯-=-⋅-212n n n =--⋅()121n n =-⋅-,则()121nn S n =-⋅+【点睛】本题考查求数列通项公式,考查错位相减法求数列的和,考查运算能力19.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，P 分别是面11ADD A ，面11CDD C ，面1111D C B A 的中心，11AD AA ==，2CD =．（1）求证：平面//MNP 平面1ACB ；（2）求三棱锥1D MNP -的体积；（3）在棱11C D 上是否存在点Q ，使得平面MNP ⊥平面1QBB ？如果存在，请求出1D Q 的长度；如果不存在，求说明理由． 【答案】（1）证明见解析（2）224（3）存在,1322D Q = 【解析】 【分析】（1）延长,,DM DN DP 分别至1,,A C B ,由中心可得到中点,利用中位线证明相交直线平行即可证得面面平行；（2）先求出三棱锥11D AB C-的体积,再由三棱锥各边的比求出1D MNP -的体积即可；（3）将平面MNP ⊥平面1QBB 转化为平面1ACB ⊥平面1QBB ,由长方体可得1BB AC ⊥,因为11//AC A C ,作出111B Q AC ⊥即可,进而求得1D Q【详解】（1）证明：延长,,DM DN DP 分别至1,,A C B ,M ,N ,P 分别是面11ADD A ,面11CDD C ,面1111D C B A 的中心,∴M ,N ,P 是1D A ,1D C ,11D B 的中点,//MN AC ∴,1//MP AB ,又MN MP M ⋂=,1AC AB A ⋂=,,MN MP ⊂平面MNP ,1,AC AB ⊂平面1ACB , ∴平面//MNP 平面1ACB（2）由题,11111111111111111114D AB C ABCD A B C D A D B A D D AC C B D C B ABC ABCD A B C D B ABC V V V V V V V V --------=----=-1121124112323⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭, 由（1）可得,三棱锥1D MNP -的各棱长为三棱锥11D AB C -的12, 111112288324D MNP D AB C V V --∴==⨯=（3）存在,132D Q =1BB 是长方体的侧棱, 1BB ∴⊥平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD ,1BB AC ∴⊥,连接11A C ,作111QB AC ⊥,垂足为O ,因为长方体,∴11//AC A C ,112A B 111B C =,1B Q AC ∴⊥,11B Q BB B ⋂=,11,B Q BB ⊂平面1QBB ,AC ∴⊥平面1QBB , AC ⊂平面1ACB ,∴平面1ACB ⊥平面1QBB ,由（1）,平面//MNP 平面1ACB ,∴平面MNP ⊥平面1QBB ,此时,1111111112C A B A B O QB C A B O π∠+∠==∠+∠,11111C A B QB C ∴∠=∠, 11111tan tan QB C C A B ∴∠=∠,即1111111QC B C B C A B =,则111Q C =12QC ∴=, 111122D Q D C QC ∴=-==, 【点睛】本题考查面面平行的证明,考查面面垂直的证明,考查三棱锥的体积,考查运算能力与几何体的分析能力20.已知函数()()2log 23f x ax a =++．（1）若()f x 在()1,2上单调递减，求实数a 的取值范围； （2）若存在[]2,1t ∈--使得()12f t f ⎛⎫=⎪⎝⎭，求a 的取值范围． 【答案】（1）304a -≤<（2）1616,,1515⎛⎤⎡⎤-∞-⋃-- ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【解析】 【分析】（1）根据复合函数单调性的处理原则“同增异减”可知2log y x =单调递增,函数()f x 单调递减,则求23y ax a =++单调递减,进而求解即可；（2）当0a =时为常数函数,符合条件；当0a ≠时可得()12f t f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,代入可得()1232312at a a a ⎛⎫++++=⎪⎝⎭,整理为关于t 的方程,即()()22561027160aa t a a ++++=,设()()()2256102716g t a a t a a =++++,由()()120g g -⋅-≤求解即可【详解】（1）由题,设2log y u =,()23u x ax a =++，2log y u =单调递增,且()f x 在()1,2上单调递减,()u x ∴在()1,2上单调递减,()020a u <⎧∴⎨≥⎩,即02230a a a <⎧⎨++≥⎩,解得304a -≤<（2）当0a =时,()2log 3f x =,是个常数函数,存在[]2,1t ∈--使得()12f t f ⎛⎫=⎪⎝⎭； 当0a ≠时,()f x 单调,若存在[]2,1t ∈--使得()12f t f ⎛⎫=⎪⎝⎭,则有()12f t f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 即()221log 23log 232at a a a ⎛⎫++=-++⎪⎝⎭, 则()1232312at a a a ⎛⎫++++= ⎪⎝⎭, ()()252329160t a t a ∴++++=,()()22561027160a a t a a ∴++++=在[]2,1t ∈--有解,设()()()2256102716g t a a t a a =++++,则()()()()()222156102716521165161g a a a a a a a a -=-++++=++=++,()()()2222561027161516g a a a a a -=-++++=+,()()120g g ∴-⋅-≤,即()()()516115160a a a +++≤,1616,,1515a ⎛⎤⎡⎤∴∈-∞-⋃-- ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【点睛】本题考查复合函数已知单调性求参数问题,考查对数函数性质的应用,考查转化思想,考查运算能力21.有一块半径为10cm ，圆心角为2π3的扇形钢板，需要将它截成一块矩形钢板，分别按图1和图2两种方案截取（其中方案二中的矩形关于扇形的对称轴对称）．图1：方案一 图2：方案二（1）求按照方案一截得的矩形钢板面积的最大值；（2）若方案二中截得的矩形ABCD 为正方形，求此正方形的面积；（3）若要使截得的钢板面积尽可能大，应选择方案一还是方案二？请说明理由，并求矩形钢板面积的最大值． 【答案】（1）25（2）12003003-（3）方案二,最大值为1003,理由见解析【解析】 【分析】（1）连接AC ,设CAB α∠=,则10cos AB α=,10sin BC α=,则矩形面积为关于α的函数,求出最值即可；（2）连接OC ,设COB θ∠=,利用正弦定理和三角形的对称性质可得3BC =20sin 3AB πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,利用AB BC =解得2sin θ,进而求出正方形面积即可； （3）由（2）得到sin 2633S πθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,求出最大值,与（1）的最值比较即可【详解】解：（1）连接AC ,设CAB α∠=,0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则10cos AB α=,10sin BC α=,10cos 10sin 25sin 2S AB BC ααα∴=⋅=⋅=,()20,απ∈,∴当22πα=,即4πα=时,max 25S = （2）连接OC ,设COB θ∠=03πθ⎛⎫<<⎪⎝⎭,正方形关于扇形轴对称,∴3OBA π∠=2sin 20sin 33AB CD OC ππθθ⎛⎫⎛⎫∴==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则23OBC π∠=, 在OBC 中,由正弦定理可得sin sin OC BC OBC COB=∠∠,即102sin sin 3BCπθ=, 则3BC =, 正方形,AB BC ∴=,即20sin 33πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭则33cos 1sin 2θθ⎛= ⎝⎭, 代入22sin cos 1θθ+=可得2sin 1643θ=+,则2240040012003003sin 331643S BC θ-==⨯==+ （3）选择方案二, 由（2）,对于方案二1120sin sin 22326463333S AB BC πππθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=-=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦52,666πππθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,∴当262ππθ+=,即6πθ=时,max 3S ==由（1）253>, 应选择方案二【点睛】本题考查三角函数与正弦定理在几何中的应用,考查利用三角函数求最值,考查运算能力,考查数形结合能力22.已知圆M 的圆心在射线()600x y x +-=≥上，截直线1:6l x =所得的弦长为6，且与直线2:60l x y -+=相切．（1）求圆M 的方程；（2）已知点()1,1N ，在直线MN 上是否存在点Q （异于点N ），使得对圆M 上的任一点P ，都有PQ PN 为定值λ？若存在，请求出点Q 的坐标及λ的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）()()223318x y -+-=（2）存在,Q 为33,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭,32λ= 【解析】【分析】 （1）由题,设圆心为()00,6x x -+,由相切关系求得半径,再由弦长公式求出0x ,进而得到圆的方程；（2）假设存在满足条件点和定值,设Q 为(),a a ()1a ≠,P 为(),x y ,利用两点间距离公式得到222PQ PN λ=,再根据P 在圆M 上,待定系数法求得系数的关系,进而求解即可【详解】（1）圆M 的圆心在射线()600x y x +-=≥上,∴设圆心为()00,6x x -+,圆心到直线1:6l x =的距离为06d x =-,又圆M 与直线2:60l x y -+=相切00r ∴====, 圆M 截直线1:6l x =所得的弦长为6,6∴=则229r d =-,即)()220069x --=, 20012450x x ∴+-=,解得03x =或015x =-（舍）r ∴=圆心为()3,3,∴圆M 为()()223318x y -+-=（2）存在,Q 为33,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭,32λ=, 假设存在直线MN 上点Q （异于点N ）,使得对圆M 上的任一点P ,都有PQ PN 为定值λ, 由题,设Q 为(),a a ()1a ≠,(0PQ PN λλ=>且1)λ≠,222PQ PN λ∴=, 设P 为(),x y ,则()()222PQ x a y a =-+-,()()22211PNx y =-+-, 则()()()()2222211x a y a x y λ⎡⎤-+-=-+-⎣⎦, 整理可得()()()()()22222222112222220x y a x a y a λλλλλ-+-----+-=, P 在圆M 上,()()223318x y ∴-+-=,即22660x y x y +--=,()()()()2222221161610x y x y λλλλ∴-+-----=, ()22226122220a a λλλ⎧-=-⎪∴⎨-=⎪⎩,解得3232a λ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,此时Q 为33,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 【点睛】本题考查圆的方程,考查直线与圆的位置关系,考查两点间距离公式的应用,考查运算能力,考查数形结合能力。
安徽省示范高中培优联盟2019-2020学年高二冬季联赛数学(理)试题及答案解析
设正四面体的棱长为 ，则 ， ，
于是 ．
故选：B
【点睛】
本题主要考查异面直线所成的角的计算，考查余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平。
5．D
【解析】
首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的表面积公式求出结果。
该几何体由一个半径为 的半球和一个直径与高都为 的半圆柱组合而成的组合体，
7．已知数列 满足 ，若 ，则 （）
A．31B．63C．95D．127
8．已知椭圆 ： 的左，右焦点分别为 ， ， ， 分别为椭圆 与 ， 正半轴的交点，若直线 与以 为直径的圆相切，则 的值为（）
A． B． C． D．
9．已知 ，则 的最小值是（其中 为自然对数的底数）（）
A．4B． C． D．
10．已知圆 : 及点 ， ．若在圆 上有且仅有一个点 ，使得 ，则实数 的值为（）
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．下列命题正确的是（）
A．若两个平面都垂直于第三个平面则这两个平面平行
B．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
C．若两个平面不平行，则两个平面内存在互相平行的直线
D．若一条直线不平行于一个平面，则这个平面内不存在与该直线平行的直线
4．已知三棱锥 的各棱长都相等，且 ，则直线 与 所成角的余弦值为（）
本题主要考查三角函数的对称中心和图像的变换，考查最值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
7．B
【解析】
令 得 ，利用构造法求出 ，即得解。
令 得 ，所以 ，
所以 成等比数列，所以 ，
所以 ，
所以 ．
故选：B
安徽省示范高中培优联盟2019-2020学年度高二上学期冬季联赛数学(理)试题Word版含答案
安徽省示范高中培优联盟2021-2021学年度上学期冬季联赛高二数学(理)试题(测试时间：120分钟试卷总分值：150分) 考生考前须知：1 .答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在做题卡上.2 .答复选择题时,选出每题答案后,用铅笔把做题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.答复非选择题时,将答案写在做题卡上.写在本试卷上无效.3 .测试结束后,将本试卷和做题卡一并交回.一、选择题：此题共12小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1 .设集合A = {x|log2x<4}, B ={x|； W2x98卜那么Ap)B=()A. 1-1,3 1B. 0,3 1C. 1-1,4D. 0,42.命题“假设|(x-4 )( y+3j <0,那么x = 4或y = 4〞的否命题是( )A.假设|(x—4)(y+3)W0,那么x=4或y 3B.假设|(x—4)(y+3) W0,那么x04且y 3C.假设|(x—4 K y+3 ) >0,那么x=4 且y#—3D.假设[(x—4)(y +3)>0,那么x#4 或y#—33.直线l江平面a ,那么( )A. V P^l , P WotB. V P W l , P更口C. P l , P 三：1D. Pl, P '：4.设a, b是两个非零向量,a在b方向上的投影为k,那么“ k<.〞是“t, b夹角为钝角〞的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.假设e x+n y 5 +n-x ,那么有( )A. x y < 0B. x y _ 0C. x -y w 0D. x -y _06.直线y =x+m 与圆x 2 + y 2—2x + m 2 =0有公共点,那么实数 m 的取值范围是〔〕1A. -1 ：： m 三 3B. -1 ：；： m3八 /1 / 1C. -1 ：：： mD. -1 < m3 37 .如图,某三棱柱的正视图是边长为 2的正方形,其上下底面为正三角形,那么以下命题中一定成立的是〔〕A.该三棱柱的外表积为12 + 2 J3 8 .该三棱柱的体积为 2点 C.该三棱柱的侧视图为矩形 D.该三棱柱有外接球x -1_ _8 .实数x , y 满足4 ,那么x 2 + y 2的最大值与最小值之和为〔〕〔y -1 <xA.5B. —C.6D.729 .直线4x -3y =k 与单位圆有唯一的公共点 P ,角a 的终边在直线 OP 上,O 为坐标原点,那么x 的方程sin^x+1 = 0在区间〔0产〕上有且只有一解,那么正数 切的取值范围是〔〕tan2：A. 34 C .24 7B.D.—34 24 710.假设关于 A . 3 72 ’2B 3 7B.C. 3,7D. 3,4 4, |0411 .定义在R上的函数f(x), g(x)W^ f (-x2+6x)=g(x,那么函数y=g(x)的图象关于( )A.直线x =3对称B.直线x=-3对称C.原点对称D. y轴对称12 .奇函数f(x)=ax邙图象经过点(1,1),假设矩形ABCD的顶点A, B在x轴上,顶点C, D在函1 x数y = f (x )的图象上,那么矩形ABCD绕x轴旋转而成的几何体的体积的最大值为( )n nA. -B.—冗C. -D.二二、填空题：此题共4小题,每题5分,共20分.一,x「1 …〜一13.不等式——之2的解集是.x 114 .向量a=(2,1单位向量b满足a+b=a—胃,那么向量b的坐标为.15 .等比数列Q n ｝中,前4项之和为a1 +14,且a2, a3+1 , a4成等差数列,那么公比q=.16 .函数f (x) = log a(x+1X x>0)与g(x)=a x+k的图象上存在关于y轴对称的点,其中a>1,那么实数k的取值范围是.三、解做题：共70分.解容许写出文字说明,证实过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生依据要求作答.17 .数列｛a n｝满足a1+2a2+…+na n=2n(n^ N〞).(I段数列｛an｝的通项公式；a n(II )求数列j的刖n项和S n.18 .在AABC 中,AB = 2, AC=6, 4ABC 的面积为4点.(I股D为AC的中点,求BD的长度.(II )求sinC的值.19 .函数 f (x [ = 2sin 个 । cosx _ J3sin 2 1+J 3. 22 1 2、(I 建f (x )的单调递减区间；(II )先将y = f (x )图象上所有点的横坐标变为原来的1 (众坐标不变),再沿x 轴向右平移63 二位长度,得到函数 y = g (x ),右g (x )的图象关于直线x =—— 对称,求8的最小值.420 .我国古代数学名著?九章算术?中记载的“刍薨〞是底面为矩形,顶部只有一条棱的五面体 面体ABCDEF 是一个“刍薨",四边形 ABCD 为矩形,A EAD 与A FBC 都是正三角形,AD =EF =2.(I 法证：EF//面 ABCD ；(II )求直线CF 与平面ABEF 所成角的正弦值.21 .过点A(-1,0 )的动直线与圆C:x 2+y 2 —2x —8 = 0交于P, Q 两点,线段PQ 中点M 线：.(I 讲曲线「的方程；(II )假设曲线厂的一条切线与圆C 交于A, B 两点,假设AB =3氐,求切线T 的坐标.22 .函数平(x 尸 J 1 -x , h(x )=^(x )+中(-x )(I 祥函数h(x )的值域;(II )求函数 F (x )=a W(x 2 )+h (x )的最大值 g (a ).安徽省示范高中培优联盟2021-2021学年度高二上学期冬季联赛数学〔理〕试题参考答案一、选择题11 .【解析】选 B .解 log 2x<4 得 A = 〔0,16〕,解万工？'<8 得 B=[—1,3],「小门3=〔0,3].2 .【解析】选C . “假设p,那么q 〞的否命题为“假设 」p,那么「q", p^q 的否认为〔「p 〕A 〔-i q 〕.'> 0 )个单.如图,五AB = 4,的轨迹为曲3 .【解析】选D . 「直线l0平面a , l //o〔或1n o f = A ,应选D .4 .【解析】选B.a,7反向,即夹角为180叩寸也有k <0,故应选必要不充分条件.5 .【解析】选A.由e x+n y £37+冗上得3"-冗,93日一冗\而f〔x〕 = e x—n.是R上的增函数.原不等式即f 〔x 〕= f 〔—x 〕,得x E —y ,即x十y E0.6 .【解析】选C .直线x —y+m =0与圆〔x—1 j+y2 =1—m2有公共点,1 m 1弦心距d =!―产」< 出-m ,且1 — m a 0 ,解得一1 < m .,2 37 .【解析】选B .注意到,该三棱柱不一定为正三棱柱,有可能是斜三棱柱,于是只有其体积恒为2J3.8 .【解析】选B .易知不等式组表示的平面区域是以〔1,0〕, 〔0,1〕, 〔1,2 〕为顶点的三角形,对于可行域内任一点P,OP2= x2+ y2,不难知—<OP <45 ,因此那么x2+ y2的最大值与最小值之和为工+5 = 11.2 2 2二、填空题c x -1 x 3 -2 ———<0,即------- <0,x 1 x 13 2tan 二由题,直线OP 与直线4x—3y =k 垂直,故tana =k0P =-一,•二tan20t = ----------------- 2—4 1 - tan二24 710.【解析】选A. sincox+1 =0= sin^x =-1,结合y =sinox的图象知, 3 T 7丁 r—T < n E—T ,即4 411.【解析】选A., 2 2 一由f (-x +6x )= f (-(x -3 ) +9 )= g (x 浮f (2—x +9)=g(x+3),于是g (—x+3 )= g (x+3 ), •.・函数y = g(x )的图象关于直线x = 3对称.2x12.【解析】选D.由题,f (0 )=0及f (1 )=1得f (x)=——2,1 x如图,不妨设C, D在x轴上方不难知该旋转体为圆柱,半径R =.2x 2令——2 = R,整理得Rx2—2x+R=0 ,那么X C ,X D为这个1 x二次方程的两个不等实根,于是圆柱的体积V =nR2xC —x D =nR2^^=2二~"2 R三二R 2+(J I -R2)]=n ,当且仅当R2 1 5,=一时等号成立.213.【解析】1-3,-11.不等式可化为解得n x-1-3,-11T T a +b设 b =(x , y 由解得 b = ।5,—2vf 或：更 2vf.5/ I 55J2a 3 a 4 =14 “口 CL =4 aq =4 3 4,解得?分 ,即〈 3 ,a 4 =2a 3 2 a ? a 4=10 a q q )=1016.【解析】由题,g(—x 尸a ,+k 与f (x ) = loga(x + 1)(X A 0)的图象有公共点,17 .【解析】：(1) a 1+2a 2+…+na n =2n , a 1+2a 2 +…+(n-1 )a n2 两式作差得：na n =2(n 々2), . . a n =-(n >2),n 2 ,又a 1=2符合上式,故a n= —(n 之1).n/c 、 a n211⑵ ------- = --------- =― -- ---- ,n 2 n n 2 n n 21+1.1+3 24 n -11 1113 2n 3一十一- ---- -. ----- ———. ------------14.【解析】隹-I叶卜黑妻15.【解析】 2或1.Ik 三 । 1,二结合图象可知,g(—x )=a 」+k图象与y 轴交点的众坐标1 + k>0,三、解做题由题,a1 ai解得q = 2或-.2= 2(n —1)(n 之 2),18 .【解析】：(1)由AABC 的面积S1一 一 2 2-AB ・AC ・sin A 得sin A =,cosA = 土木—sin 2 A = 士1,于是在AABD 中,由余弦定理:3(2)法一：AABC 中,由余弦定理, BC = J AB 2 VAC 2 — 2AB ・AC-cosA =4点或4代,,3 二 —由 2kn+—Wx +— M2kn + ——(k = Z ),2 3 2-江得f (x )的单调递区间为 pkn +1,2kn +「,一, 3二,, ,»g(x)的图象关于直线 x =——对称,• • g 45 二 二• .21 - -= - k 二 k Z ,1二6 2当k = —1时,8的最小值为8 = 土620.【解析】：(1) AB//CD , AB 0面 CDEF, CD 匚面 CDEF ,・ .AB//面CDEF ,又面 ABFEn 面CDEF = EF , ・ . AB//EF ,又 EF 0面 ABCD, AB 匚面 ABCD ,BD =AB 2 AD 2— 2AB *AD *cosA = 22 32 一 2 2 3： i J ―1 = 3或折.3AB *sin A 再由正弦定理,sinC =•BC1或下1 一 一 一 一法二：由 AABC 的面积 S = — BC ・AC ,sin C ,得 sin C =2BC *AC 3 919.【解析】：(1) f (x )=2sin xcos^x + 73 11-2sin2x=sin x 、, 3 cosx = 2sin l x —,,3(2)由题,g(x)=2sin .『(x —H冗 +—一 3 即 sin -2一21 •- 3=sin 2 2 - -过 C 作 CP_LBN 于 P,那么 CP_L 面 ABNM ,・•• CF 在面ABFE 内的摄影为PF , CF 与平面ABFE 所成角为Z CFP ,又 BN =CN 二JBF 2_FN 2「.△NBC 中,BC 边长的高为 J 2, ••.CP=42="6, J3 3故 sin CFP = CP =-6.CF 32 221.【解析】：(1)法一：圆C :(x —1 ) + y =9,圆心C 1,0 , 由垂径定理知PQ _LCM ,即AM .LCM , 于是M 的轨迹是以 AC 为直径端点的圆, 所以曲线「的方程为x 2 + y 2 =1.法二：设动直线为 y =k(x +1 ),与圆C :x 2 +y 2 -2x —8 = 0联立, 得：k 2 1 x 2 2 k 2 -1 x k 2 -8 =0,XP X Q1 - k 2k由…里,X M = =①…(x MA 病②,24・1^24k 1 X M 2y M = j =1 - X M , (1 +k ) 1 ^1-X M<_ 1 + X M )又动直线斜率不存在时点 M 坐标为(-1,0 )满足以上式关系,所以EF//面ABCD . 由题可知ABNM 与CDMN 皆为矩形,于是我们得到了直三棱柱 ADM - BCN , 由①得k 2=上迎,代入②式得:1 X M故曲线「的方程为x2+y2=1.(2)设T(x o,y0 ),先证曲线「在点处的切线方程为x0x + y0y =1 ,事实上,'；x2+y2 =1 , ...点T 在x0x + y0y =1 上,1又圆心O到x0x + y0y =1的距离, =1,,x2 y2故x0x + y0y =1为曲线「的切线,AB' = 3J3 ,所以圆心到弦AB的距离2 _ 1373、2 _ 3…15人解得x0 =——或心(舍),2 2,,,t, 1 1 石二/1 73从而点的坐标为—二巴3或」,-".I 2 2J I 2 2J22.【解析】：(1) h(x) = j1-x + ,1+x , x W〔—1,1】,2法一：, h(x )］=2+4 —x2w 匕,4 ］,且h(x)至0,故h(x)的值域为［应,2］.法二：令x =2sin 2日一1 , 0 0J0,—1, 一2那么h x = N-Zsin2；； ' . 2sin2= 2 sin cos - -2sin i 'J 二4… 二二3 二二\ 2* 8 +一七I—— , • sin 8 +——1七I—1 ,4媪4」s I 4)(2二故h(x)的值域为［衣,2〕.(2) F (x )=a+'(x2)+h(x)=a♦1-x2+J1+x+J-x,令t=7m + Q x w ［夜2 I,那么由―x2 =12-1,1 2 / t =a t 2 -1 t = 2 ①当 a=0 时,m (t 户t , g (a 尸 m (2 )=2 ；1 ②当a>0时,二次函数 m(t )的图象开口向上,且对称轴 t=——<0, a于是m(t )在[廖,2 I 上单调递增,g (a )= m(2 )=a + 2 ；1 ③当a>0时,二次函数,g(a )=m(2 )=a+2的图象开口向下,且对称轴 t = ——A0, a1 L - J2 一 一右 t = — — w [0, y/2 I,即 a E ——,那么 g(a)=m( V2 )=V2 , 1 2 1 …, 1右 t = __ ■= V 2, 2 I 即-——<a < --,那么 g (a ) = m -- 1= -a a - 2 2 a 1 一 1 一右 t =_—E(2,+℃ ),即 一一 <a<0,那么 g(a)=m(2)=a+2；a 2- 1a 2,a 2g a )==-——,———：二 a <2a 21 2 n 1 n 2 2 n 1 n 2 t e 语2〕, 12a综上,。