分数傅里叶变换产生分数泰伯效应
分数阶傅里叶变换的原理与应用
分数阶傅里叶变换的原理与应用一、分数阶傅里叶变换的原理1.1传统傅里叶变换的局限性传统的傅里叶变换可以将时域信号转换为频域信号，但其变换后的结果是旋转对称的，并且无法提供选择性的时频分辨率，即无法同时精确地描述信号的瞬时特性和频率特性。
1.2分数阶傅里叶变换的引入为了弥补传统傅里叶变换的不足，分数阶傅里叶变换被引入。
分数阶傅里叶变换是将传统傅里叶变换的旋转对称性由倾斜对称的情况首次引入到信号处理领域。
1.3 分数阶傅里叶变换的定义F(a,b) = ∫f(t)K(a,b,t)dt其中，a和b是变换的参数，f(t)是原始信号，K(a,b,t)为分数阶的核函数，核函数代表了信号在时域和频域中的变换关系，通过核函数可以实现对信号的不同时频特性的描述。
1.4分数阶傅里叶变换的数学表达式F(a,b) = ∫f(t)exp(-jπat²)exp(-jπb²/t²)dt其中，a和b分别代表旋转因子，通过调整a和b的取值，可以实现对信号的不同时频域特性的描述。
二、分数阶傅里叶变换的应用2.1信号处理2.2通信系统2.3图像处理2.4声音和视频处理2.5生物医学信号处理分数阶傅里叶变换在生物医学信号处理中也有广泛应用，如心电信号分析、脑电信号分析、磁共振成像分析等。
通过对生物医学信号进行分数阶傅里叶变换，可以实现对信号的精确分析和刻画，从而有助于疾病的早期诊断和治疗。
总结：分数阶傅里叶变换作为傅里叶变换的一种扩展形式，克服了传统傅里叶变换的不足，通过调整变换的参数，分数阶傅里叶变换可以实现对信号的精确时频分辨率分析，被广泛应用于信号处理、通信系统、图像处理、声音和视频处理、生物医学信号处理等领域。
随着对分数阶傅里叶变换的进一步研究和应用，相信将会有更多的应用场景被发现，为信号处理和通信领域带来更多创新和发展。
matlab 分数傅里叶变换
matlab 分数傅里叶变换使用Matlab进行分数傅里叶变换引言：傅里叶变换是信号处理中非常重要的一种数学工具，它可以将一个信号从时域转换到频域。
然而，在实际应用中，我们经常会遇到非周期信号，这就要求我们使用分数傅里叶变换（Fractional Fourier Transform, FRT）来处理这些非周期信号。
本文将介绍如何使用Matlab进行分数傅里叶变换，并结合实例进行说明。
一、分数傅里叶变换的定义分数傅里叶变换是傅里叶变换的一种推广形式，它可以将信号从时域转换到分数阶频域。
分数傅里叶变换可以看作是将傅里叶变换的旋转矩阵推广到分数阶的情况。
分数傅里叶变换的定义如下：$$F_v(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cdot e^{-j \pi v \cdot t^2} \cdot e^{-j \pi v \cdot t} dt$$其中，$F_v(x)$表示信号$f(t)$在分数阶频域$v$上的分数傅里叶变换。
二、Matlab中的分数傅里叶变换函数在Matlab中，我们可以使用“frft”函数来进行分数傅里叶变换。
该函数的使用格式如下：y = frft(x, v)```其中，x表示输入信号，v表示分数阶频域的参数。
该函数将返回信号在分数阶频域上的分数傅里叶变换结果。
三、分数傅里叶变换的实例分析为了更好地理解分数傅里叶变换的应用，我们将通过一个实例来进行分析。
假设我们有一个非周期信号$f(t)$，其表达式如下：$$f(t) = \begin{cases}e^{-t^2}, & t \geq 0 \\0, & t < 0\end{cases}$$我们希望将该信号转换到分数阶频域上，并观察其变换结果。
我们需要在Matlab中定义该信号：```matlabt = -5:0.01:5;f = exp(-t.^2) .* (t >= 0);```接下来，我们可以使用frft函数来进行分数傅里叶变换：v = 0.5; % 设置分数阶频域参数为0.5Fv = frft(f, v);```我们可以将信号在时域和分数阶频域上的波形进行绘制，以便进行对比分析：```matlabsubplot(2,1,1);plot(t, f);title('时域波形');xlabel('时间');ylabel('幅值');subplot(2,1,2);plot(t, abs(Fv));title('分数阶频域波形');xlabel('频率');ylabel('幅值');```运行上述代码，我们可以得到如下图所示的结果。
傅里叶变换公式的意义和理解
傅里叶变换公式的意义和理解摘要：1.傅里叶变换的基本概念和原理2.傅里叶变换的重要性3.傅里叶变换的应用领域4.深入理解傅里叶变换公式5.总结与展望正文：一、傅里叶变换的基本概念和原理傅里叶变换是一种将时间域或空间域中的信号转换为频域中的信号的数学方法。
它的基本原理是通过将原始信号分解成一组不同频率的正弦波，从而实现对信号的分析和处理。
傅里叶变换的核心公式为：X(ω) = ∫x(t)e^(-jωt) dt其中，X(ω)表示频域信号，x(t)表示时域信号，ω表示角频率，j表示虚数单位。
二、傅里叶变换的重要性傅里叶变换在信号处理、图像处理、通信等领域具有重要的应用价值。
它有助于我们更好地理解信号的频谱特性，从而为后续的信号处理和分析提供有力的理论依据。
三、傅里叶变换的应用领域1.信号处理：傅里叶变换有助于分析信号的频率成分，如音频信号、图像信号等。
2.图像处理：傅里叶变换可用于图像的频谱分析，如边缘检测、滤波等。
3.通信系统：傅里叶变换在通信系统中广泛应用于信号调制、解调、多路复用等领域。
4.量子力学：傅里叶变换在量子力学中具有重要作用，如描述粒子在晶体中的能级结构等。
四、深入理解傅里叶变换公式1.离散傅里叶变换：离散傅里叶变换是将离散信号从时域转换到频域的一种方法，如快速傅里叶变换（FFT）算法。
2.小波变换：小波变换是傅里叶变换的一种推广，可以实现信号的高频局部化分析，适用于图像压缩、语音处理等领域。
3.分数傅里叶变换：分数傅里叶变换是在傅里叶变换基础上发展的一种数学方法，可以实现信号的相位和幅度分析。
五、总结与展望傅里叶变换作为一种重要的数学工具，在各个领域具有广泛的应用。
随着科技的发展，傅里叶变换及相关理论不断得到拓展和深化，为人类探索复杂信号和系统提供了强大的支持。
Talbot effect及其应用
高峰
Talbot effect
• 泰伯效应（又译为塔尔博特效应）是光栅 在相干光照明下在自由空间中某些特定的 距离Z处自成像的现象。
• 分数泰伯效应或称分数泰伯自成像是指这 种成像过程发生在Z 的分数距离上, 如Z/2 处, Z/3 处等等。
Talbot effect的傅立叶变换解释
U ( f ) F p{u(x0 )} u(x0 ) exp[i ( f 2 x02 ) /( f sin * tan )] •
exp[i2 fx0 /( f sin2 )]dx0
p
2
• 将上面的函数代入积分，结合δ函数的性质
U (x)
exp(ikz) Cn
n
exp(i z
n2 d2
)
exp(i
2
n d
x)
•当 z 2m d 2 m = 0,1,2……时
光波复振幅与透过光栅的背面的分布相同。 这就是整数Ｔａｌｂｏｔ效应。
•对于分数的ｔａｌｂｏｔ效应有多种解释方法，比 较成功的有Lohmann引入的分数傅立叶变换，推导 过程与上类似，所不同的是在傅立叶变换时采用分 数形式，下面给出的是正透镜的傅立叶变换的分数 形式：
• 则在该平面上的复振幅可由傅立叶变换给出。
u(x) U ( f )*exp(ikz)*exp(izf 2)*exp(i2 xf )df
U 换时
U ( f
) Cn ( f
n
n) d
• 以最简单的Ronchi（朗奇）光栅为例： 一周期为d的光栅为 （此处脚标意为Z＝０）
t(x0 )
分数傅里叶变换
分数傅里叶变换在信号处理领域中，傅里叶变换是一项重要的数学工具，用于将一个信号从时域转换到频域。
然而，对于非周期信号或者信号突变的情况，传统的傅里叶变换可能无法准确地描述信号的频谱特征。
为了解决这个问题，人们提出了一种更加灵活和精确的傅里叶变换方法——分数傅里叶变换。
分数傅里叶变换是一种基于分数阶导数的信号变换方法，它能够有效地处理非周期信号和突变信号。
这种变换方法在信号处理、图像处理和模式识别等领域得到了广泛的应用，并且取得了令人瞩目的成果。
为了更好地理解分数傅里叶变换的原理和应用，我们首先需要了解傅里叶变换的基本概念。
傅里叶变换可以将一个信号分解为不同频率的正弦波成分，然后通过叠加这些正弦波成分，得到原始信号。
这种变换方法使得我们能够从频域的角度来分析信号的特征，比如频率、幅度和相位等。
然而，对于非周期信号或者信号突变的情况，传统的傅里叶变换可能会产生一些问题。
由于这些信号不具有周期性或者在某些时刻突然发生变化，传统的傅里叶变换无法准确地表示信号的频谱特征。
这就需要我们引入分数傅里叶变换这一更加灵活和精确的方法。
分数傅里叶变换基于分数阶导数的概念，可以有效地处理非周期信号和突变信号。
分数阶导数是导数的一种推广，它能够描述信号在时间或空间上的非平滑性和不连续性。
通过引入分数阶导数的概念，分数傅里叶变换能够更加准确地表示信号的频谱特征，从而提高信号处理的精度和效果。
分数傅里叶变换的应用十分广泛，涵盖了信号处理、图像处理和模式识别等多个领域。
在信号处理方面，分数傅里叶变换可以用于信号滤波、频谱分析和信号恢复等任务。
在图像处理方面，分数傅里叶变换可以用于图像去噪、图像增强和图像压缩等应用。
在模式识别方面，分数傅里叶变换可以用于特征提取和分类识别等任务。
通过分数傅里叶变换，我们可以更加准确地分析和处理信号的频谱特征，从而提高信号处理的精度和效果。
不仅如此，分数傅里叶变换还可以帮助我们深入理解信号的本质和特征，从而为更深入的研究和应用打下基础。
分数傅里叶变换
分数傅里叶变换分数傅里叶定义：分数傅里叶变换的物理意义即做傅里叶变换次，其中不一定要为整数（比傅里叶变换更加广泛）；通过分数傅里叶变换之后，图像或信号便会同时拥有时域与频域两者的特征。
1.1（维基百科）第一种定义:第二种定义：1.2从数学上分数傅立叶变换定义了积分形式：Wigner分布函数相空间定义的分数傅立叶变换A.W.Lohmann在1993 年利用傅里叶变换相当于在Wigner分布函数相空间中角度为π/2的旋转这一性质，说明分数傅里叶变换在Wigner分布函数空间中相当于角度是pπ/2的旋转，这里，p是分数傅里叶变换的级次。
分数傅里叶变换的定义在数学上是等价的。
当分数傅里叶变换的幂次p从0 连续增长到达1 时，分数傅里叶变换的结果相应地从原始信号的纯时间（空间）形式开始逐渐变化成为它的纯频域（谱）形式，幂次p在0到1之间的任何时刻对应的分数傅里叶变换采取了介乎于时（空）域和频域之间的一个过渡域的形式，形成一个既包含时（空）域信息同时也包含频（谱）域信息的混合信号。
因此，这样定义的分数傅里叶变换确实是一种时（空）-频描述和分析工具分数傅里叶的分类：1.一维分数傅里叶变换分数傅里叶变换的数学表达式有积分形式和级数表达式两种等价形式,1.积分形式2级数表达式形式其中2.二维分数傅里叶变换其中C为相应常系数。
当a=b时, 上式就是二维分数傅里叶变换的表达式; 当a=b=1时, 上式转化为常规二维傅里叶变换; 当a与b不相等时, 我们称这种情况的二维分数傅里叶变换为不对称分数傅里叶变换。
此时在x、y 方向实施的变换级次是不同的。
分数傅里叶变换的性质1周期性：（k为整数）2线性：（c1和c2是复常数）3阶数可加性：4尺度变换特性：5时移特性：6频移特性：7可逆性：对一个函数进行P 级分数傅里叶变换后，接着进行－P 级的分数傅里叶变换，则可得到原函数:分数傅里叶变换的数值算法(1) 基于傅立叶变换矩阵因子幂的离散化算法，利来计算离散的分数傅立叶变换的核矩阵，从而利用FFT来计算离散分数傅立叶。
泰伯效应的简单原理(翻译)
泰伯效应的简单原理一个众所周知的光学现象，发现新的应用在新兴领域，包括光学计算和光学测量。
泰伯效应，自成像时，它是由一个单色平面波照射光栅，在大约100年前发现的。
最近的研究表明，一些简单的原则支配的泰伯效应。
它们包括对称规则，定期重排相邻的相律和素数分解规则。
这些简单的规则为我们提供的望着这可能导致与区域实际应用，包括光互连，光计算和光学测量新的衍射光学元件设计中的泰伯效应的新途径。
一些相关的历史最早是由英国科学家亨利·福克斯塔尔博特（1800年至1877年）观察到的大约一个世纪前的Talbot效应。
发现效果塔尔博特，这是在大学文本作为菲涅耳衍射的示例一般地描述，被认为是最基础的光学现象之一。
该泰伯效应已收到持续关注，因为它是第一个描述，这不仅是因为理解它，而且它的广泛应用领域，包括光学测量，光学阵列照明，光学互连和物质，因为这是一光学自成像为更笨的研究。
泰伯自成像效应是在所谓的泰伯距离为Z = NZT，其中ZT=2D2/ K，K是入射光的波长观察，d是该期间光栅和n是正整数。
自成像的任何类型的光栅的泰伯距离可以由菲涅耳方程的方法进行说明。
什么一直困扰光学科学家直到最近一直有否规管在衍射分数泰伯距离或者换句话说简单的原则，在位于整数泰伯距离之间的距离。
最近的研究表明，在某些分数泰伯距离，也可以得到所述频率增加自成像效应。
现在的问题是，是否有这些复杂的光学衍射模式之间简单的关系，不仅包括强度图案也是相位差。
一个光场可以充分特征在于它的振幅和相位。
由于我们的眼睛般的CCD摄像头，可以感知的对象，它具有强度差，但不相位差，普通人通常没有意识到光的相位变化。
在光学实验室，当然，相位必须始终考虑。
丹尼斯·伽柏（1900年-1979年）被授予诺贝尔经济学奖的全息术的发明和发展，重建的方法的波阵面，或者换句话说，光场前的同相。
弗里茨泽尔尼克（1888年-1966年）被授予诺贝尔文学奖，他用于检测透明的生物物体，有一个纯相位变化的相位对比法的发明。
分数傅立叶变换
分数傅立叶变换
分数傅立叶变换（Fractional Fourier Transform，简称FrFT）是一种对信号和系统在时间域和频域进行有效描述的变换方法，又称为“分数频率傅立叶变换”。
它是由熊克特斯（Eckert）于1988年提出的。
它是一种漫射型的变换，此时傅里叶变换就叫做复数傅立叶变换（Complex Fourier Transform，简称CFT），而FrFT就是一种对复数傅里叶变换的一个改进，它以傅里叶变换为基础，以分数系数代替傅里叶变换中的实数系数，从而实现了信号或系统域转移的目的。
FrFT具有诸多优点，与普通的傅里叶变换（DFT）相比具有更好的数值性能，具有更宽的动态范围和更高的分辨率，可以有效的滤除噪音。
此外，它还可以快速实现非正交信号分析，将软件处理的复杂性和成本降低了至少一半。
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*国家自然科学基金资助项目。
收稿日期∶1996—02—06;收到修改稿日期∶1996—03—28第24卷 第2期中 国 激 光V o l.A24,N o.2 1997年2月C HIN ESE J O U RN AL O F LASERS February ,1997分数傅里叶变换产生分数泰伯效应*华建文 刘立人(中国科学院上海光机所 上海201800)提要 讨论了如何使用分数傅里叶变换来产生分数泰伯效应,导出了要产生这种双重变换的光学条件,变换后的周期、变换比例因子和级联运算法则,并进行了实验验证。
这种双重变换有助于光学系统的设计、分析和计算。
最后给出了应用实例。
关键词 光学变换,傅里叶变换,泰伯效应1 引 言 分数傅里叶变换的概念是Namias [1]首先提出的。
后来由McBride 和Kerr [2]把它发展成一个较为完整的数学理论。
它是傅里叶变换的全族。
后来,Lohm ann [3]在分析Wig ner 函数的基础上建立了光学领域中的分数傅里叶变换,并给出了光学实现的两种方案。
Mendlovic 和Oza-ktas [4,5]研究了分数傅里叶变换的某些特性以及在光纤中的光学实现。
文献[6～11]报道了一些分数傅里叶变换的应用。
泰伯效应是光栅在相干光照明下在自由空间中某些特定的距离Z 处自成像的现象。
分数泰伯效应或称分数泰伯自成像是指这种成像过程发生在Z 的分数距离上,如Z /2处,Z /3处等等。
关于它的基本理论及许多应用的回顾可在文献[12]及[13]中找到。
本文主要研究如何利用分数傅里叶变换使光栅产生分数泰伯像,或者说如何使分数傅里叶变换和分数泰伯自成像同时发生。
这两种过程同时发生有一定的实用意义。
利用这双重的分数变换(自成像也可看作一种变换)有助于一些光学系统的设计和分析,也有助于光路级联计算的简化。
我们把它用于位相物体观察系统的光学设计,得到的装置比波面成像剪切干涉系统简单,尺寸又小。
而且还能满足观察不同大小物体的要求。
2 分数泰伯效应和分数傅里叶变换 泰伯效应是一相干波照明一光栅,在自由空间中距光栅的某些特定的平面上能出现一些准确泰伯像和更多的分数泰伯像[13]。
一块周期为T ,开口比为h 的朗奇光栅可用下式描述g (x ,y )=rect(x /h )* nW (x -n T )(1)符号“*”表示卷积。
用单色平面波照明光栅,其菲涅耳衍射场在光栅后方自由空间中传播,在离光栅距离为Z 的平面上,光强分布为[13]|e(x,y)|2=|g(x,y)*ex p(j c x2/λZ)|2=|rect(x/h)*L(x∶T/U)|2(2)图1分数傅里叶变换装置Fig.1Frac tional Fo urie r tr ansfo rm se tup Q=sin O,R=tg(O/2)这里略去了所有的常数因子。
在距离Z=TUT2λ(3)处,如果T/U是一个整数,则L(x∶T/U)将就是nW(x-nT),这时|e(x,y)|2就是光栅g(x,y)的准确像。
如果T及U都是大于1的整数且T/U是一个不能再约分的分数,则方程式(2)表示的|e(x,y)|2将是光栅的分数泰伯像。
这些分数泰伯像的周期为T/U,同时还可能伴有一横向位移。
其详细的叙述可见文献[13]。
光学分数傅里叶变换由Lohma nn[3]给出。
图1中g0(x0)是待变换的物体,g1(x1)表示g0(x0)的分数傅里叶变换。
Lohmann给出的定义为g1(x1)=F p[g0(x0)]=∫g0(x0)ex p[j c(x20+x21)/(λf e tg O)]ex p[-j2c x1x0/(λf e sin O)]d x0(4)这里f e=f Q(5) f是透镜焦距,Q为sin O。
其中O和分数值P是通过下式联系的:O=P c/2(6) 3 分数傅里叶变换产生分数泰伯效应 首先考虑单个透镜系统中的分数傅里叶变换产生的分数泰伯效应。
分数傅里叶变换的定义为方程式(4)。
整理后得到其光强分布为|g1(x1)|2=|∫g0(x0)ex p[j c(x0-x1/co s O)2/(λf e tg O)]d x0|2(7)如果令f e tg O=Z e(8)和x1/cos O=x1e(9)那么方程(7)可重写成|g1(x1)|2=|[g0(x1e)*ex p(j c x21e/(λZ e)]|2(10)把方程(10)与方程(2)比较就可见它们在形式上是等效的。
如果g0(x0)是一块周期为T的朗奇光栅,并且Z e=TUT2λ(11)那么在观察平面x1e上就会形成周期为T/U的泰伯像。
由于实际观察平面是x1,因而它还有一比例因子M=cos O(12)所以像的实际周期为cos O T/U。
把方程(8)代入方程(11)并且设分数泰伯数T/U=N,则有tg O/N=T2/λf e(13) 164中 国 激 光24卷此式就是光学分数傅里叶变换产生分数泰伯像所要遵循的条件。
4 系统级联图2研究双重分数变换的装置Fig.2T he setup fo r studying the dual fractional t ransfor m 这一节考虑透镜级联的情况。
图2中两级透镜串连。
假定每一级都满足上述讨论的条件:分数傅里叶变换产生了分数泰伯像。
用脚码“1”及“01”表示第一级中的参数,“2”及“12”表示第二级中的参数,“02”表示整个系统的参数。
从方程(13)就有tg O 1/N 01=T 2/λf e (14)和tg O 2/N 12=T 2/λf e (15)由于分数傅里叶变换具有可加性,因而两个分数级分别为P 1和P 2的傅里叶变换级联就等于分数为(P 1+P 2)的单个傅里叶变换。
按照这一特性,参考方程(7),就有|g 2(x 2)|2=|∫g 0(x 0)exp{j c [x 0-x 2/cos(O 1+O 2)]2/[λf e tg (O 1+O 2)]}d x 0|2(16)从方程(16)可见对于级联系统的结论类似于第三节中的结论。
整个系统的泰伯数N 02应满足条件tg (O 1+O 2)/N 02=T 2/λf e(17)当在平面x 2上形成分数泰伯像时,像的比例因子M 02=cos(O 1+O 2)(18)控制着像的大小并对泰伯像的实际观察周期有影响。
联立方程式(14)、(15)和(17),就立即得到泰伯数的级联运算法则为N 02=(N 01+N 12)(λf e )2(λf e )2-N 01N 12T 4(19)方程(19)表明在一个级联系统中,如每一级都是分数傅里叶变换产生分数泰伯自成像,那么总的泰伯数与第一级和第二级的泰伯数有关。
这意味着级联系统中输出平面x 2上的分数泰伯像的周期与每一级的泰伯数有关。
计算很简单,但不是线性的。
适当调整光学参数同样能使整个系统具有双重变换的能力,这一点可从方程(19)或(17)看出。
5 实验与应用 通过上述分析,结论是分数泰伯效应可以与分数傅里叶变换同时发生或者说可由分数傅里叶变换产生。
这可用实验证实。
在图1的x 0平面处放置一张朗奇光栅并以相干光照明。
图中泰伯数N 选为1/2,透镜焦距为130mm,光波波长为0.6328μm,光栅周期T 为0.5mm ,光栅开口比为1/4。
把这些参数代入方程(13)和方程(5),就能计算出O 为119.7°或60.3°。
我们用O 等于119.7°做一实验验证,即光栅放置在透镜左边距透镜的距离为f (1-co s O )=194.5m m 处。
在透镜右边的这个距离上就可以得到N 为1/2的分数泰伯像。
它的周期是T /2,但还要考虑一个尺度因子cos O ,因而观察到的实际周期应为cos O T /2,它等于0.124mm 。
图3(a )1652期华建文等:分数傅里叶变换产生分数泰伯效应及3(b )分别是物光栅和它的分数傅里叶变换下的分数泰伯像的照片。
图3(a )的照相放大因子为2,图3(b )的照相放大因子为10。
从图3中可以看到3(a )与(b )有两点不同。
一为周期不同,另一为黑白条纹的宽度比不同。
图3(a )的黑条纹宽度与节距之比为1/4,图3(b )的黑条纹宽度与节距之比为1/2。
如果从分数泰伯像中扣除比例因子co s O ,则此光栅像正好是物光栅再加上移过了二分之一周期后的这个物光栅。
像的频率正好是物光栅频率的2倍。
这说明图3(b )确实是带有一个比例因子的分数泰伯像。
图3光栅的双重分数变换的结果焦距f :130mm,角度O :119.7°。
(a )光栅,节距T :0.5mm ,开口比1/4,照相比例:2;(b )分数泰伯像。
条纹周期:0.124mm,亮暗宽度比:1 1,照相比例:10Fig.3The r esult of a g ra ting under the dua l fr actio na ltra nsfo rmTh e focal leng th f is 130mm ,and O is 119.7°.(a )th e grat-ing,its pitch T is 0.5mm,and th e open ratio is 1/4.ph oto-graphic scale :2;(b )th e fractional image,the period offringes is 0.124m m ,th e wid th of b lack fringes occupies h alfperiod ,ph otog raphic s cale :10作为一个例子,我们用它来观察炽热气体的流型。
在图2所示的系统中,在x 1平面处插入一个酒精焰炬。
由于火焰近似于一种位相型物体,可以用exp [j θ(x )]来表示它。
这样,第二级分数傅里叶变换的输入便是g 1(x 1)ex p [j θ(x )]。
g 1(x 1)是物光栅g 0(x 0)的第一级分数傅里叶变换的输出,也是它的第一级分数泰伯像。
根据方程(4)在平面x 2上的输出为g 2(x 2)=F P2{g 1(x 1)ex p [j θ(x 1)]}=∫g 1(x 1)ex p [j θ(x 1)]×ex p [j c (x 21+x 22)/(λf e tg O 2)]ex p [-j 2c x 2x 1/(λf e sin O 2)]d x 1=lim x 1→∞∫x 1-x 1u (x 1)ex p [j θ(x 1)]d x 1(20)这里u (x 1)=g 1(x 1)ex p [j c (x 21+x 22)/(λf e tg O 2)]ex p [-j 2c x 2x 1/(λf e sin O 2)](21)设∫u (x1)d x 1=v (x 1)(22)方程(20)就可写成g 2(x 2)=lim x 1→∞∫x 1-x 1ex p [j θ(x )]d v (x 1)=lim x 1→∞{v (x 1)ex p [j θ(x 1)]}x 1-x 1-lim x 1→∞∫x1-x 1v (x 1)ex p [j θ(x 1)]j d θ(x 1)(23)假设焰炬是关于x 1对称的并且在无穷远处θ=θ0,则方程(23)便成为g 2(x 2)=ex p(j θ0)lim x 1→∞∫x1-x 1u (x 1)d(x 1)-lim x 1→∞∫x 1-x 1v (x 1)ex p [j θ(x 1)]j d θ(x 1)(24)把方程(21)代入(24),就有g 2(x 2)=exp(j θ0)F P2[g 1(x 1)]-j ∫+∞-∞v (x 1)ex p [j θ(x 1)]d θ(x 1)(25)方程(25)右边第一项F P 2[g 1(x 1)]在上述导出的条件下可以是光栅g 0(x 0)的分数泰伯像。