2020年湖北省武汉市高考数学模拟试卷(文科)(5月份)(含答案解析)
2020年湖北省武汉市高考数学模拟试卷（文科）（5月份）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x＞1}，B={x|2x＞1}，则（）A. A∩B={x|x＞0}B. A∩B={x|x＞1}C. A∪B={x|x＞1}D. A∪B=R2.已知F1（-3，0），F2（3，0），若点P（x，y）满足|PF1|-|PF2|=6，则P点的轨迹为（）A. 椭圆B. 双曲线C. 双曲线的一支D. 一条射线3.已知复数z1＝1+2i，z2＝1-i，则（）A. B. C. D.4.已知a=0.24，b=0.32，c=0.43，则（）A. b＜a＜cB. a＜c＜bC. c＜a＜bD. a＜b＜c5.用0，l，2，3，4可以组成数字不重复的两位数的个数为（）A. 15B. 16C. 17D. 186.在同一直角坐标系中，函数f（x）=xα（x≥0），g（x）=-logαx的图象可能是（）A. B. C. D.7.数列{a n}中，a n+l=2a n+l，a1=1，则a6=（）A. 32B. 62C. 63D. 648.已知长方体全部棱长的和为36，表面积为52，则其体对角线的长为（）A. 4B.C. 2D. 49.某学校美术室收藏有6幅国画，分别为人物、山水、花鸟各2幅，现从中随机抽取2幅进行展览，则恰好抽到2幅不同种类的概率为（）A. B. C. D.10.已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的焦距为4，其与抛物线E：y2=交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB为正三角形，则C的离心率为（）A. B. C. D.11.已知点A（2，1），动点B（x，y）的坐标满足不等式组，设z为向量在向量方向上的投影，则z的取值范围为（）A. [，]B. [，]C. [2，18]D. [4，l8]12.设函数f（x）=，则满足2f（f（a）=f（a）的a的取值范围是（）A. （-∞，0]B. [0，2]C. [2，+∞）D. （-∞，0]∪[2，+∞）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.等差数列{a n}中，a1=1，a9=21，则a3与a7等差中项的值为______14.已知向量=（l，2），=（2，1），=（1，n），若（2-3）⊥，则n=______15.函数f（x）=x3-3x2+5x-1图象的对称中心为______16.已知四面体中，，则四面体的体积为__________.三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，在△ABC中，点D在边AB上，CD⊥BC，AD=3，AC=7，cos∠ACD=．（1）求BC的长：（2）求△ABC的面积．18.如图1，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC=6；如图2，将图l中△DAC沿AC起，点D在丽ABC上的正投影G在△ABC内部，点E为AB的中点，连接DB，DE，三棱锥D-ABC的体积为l2．（1）求证：DE⊥AC；（2）求点B到平面ACD的距离．19.如图，O为坐标原点，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距等于其长半轴长，M，N为椭圆C的上、下顶点，且|MN|=2（1）求椭圆C的方程；（2）过点P（0，l）作直线l交椭圆C于异于M，N的A，B两点，直线AM，BN交于点T．求证：点T的纵坐标为定值3．20.菜市房管局为了了解该市市民2018年1月至2019年1月期间购买二手房情况，首先随机抽样其中200名购房者，并对其购房面积m（单位：平方米，60≤m≤130）进行了一次调查统计，制成了如图l所示的频率分布南方匿，接着调查了该市2018年1月-2019年1月期间当月在售二手房均价y（单位：万元/平方米），制成了如图2所示的散点图（图中月份代码1-13分别对应2018年1月至2019年1月）．（1）试估计该市市民的平均购房面积．（2）现采用分层抽样的方法从购房耐积位于[110，130]的40位市民中随机取4人，再从这4人中随机抽取2人，求这2人的购房面积恰好有一人在[120，130]的概率．（3）根据散点图选择=和=两个模型进行拟合，经过数据处理得到两个回归方程，分别为=0.9369+0.0285和=0.9554+0.0306ln x，并得到一些统计量的值，如表所示：=0.9369+0.0285=0.9554+0.03061ln x （y i）20.0005910.000164（y i）20.006050份的二手房购房均价（精确到0.001）．参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.10，ln17≈2.83，ln19≈2.94，≈1.41，≈1.73，≈4.12，≈4.36．参考公式：相关指数R2=1-．21.已知函数f（x）=e x--1（1）若直线y=x+a为f（x）的切线，求a的值．（2）若∀x∈[0，+∞），f（x）≥bx恒成立，求b的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=8sinθ+6cosθ．（1）求C2的直角坐标方程；（2）已知P（1，3），C1与C2的交点为A，B，求|PA|•|PB|的值．23.设函数f（x）=|2x+a|+|x-1|-3．（1）当a=4时，求不等式，f（x）≤6的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≥2恒成立，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：B={x|x＞0}，A={x|x＞1}；∴A∩B={x|x＞1}，A∪B={x|x＞0}．故选：B．可解出集合B，然后进行交集、并集的运算即可．考查描述法的定义，指数函数的单调性，以及交集、并集的运算．2.答案：D解析：解：F1（-3，0），F2（3，0），动点P满足|PF1|-|PF2|=6，因为|F1F2|=6，则点P的轨迹是一条射线．故选：D．利用已知条件，结合双曲线定义，判断选项即可．本题考查双曲线的简单性质以及双曲线定义的应用，是基础题．3.答案：B解析：【分析】把z1=1+2i，z2=1-i代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．【解答】解：∵z1=1+2i，z2=1-i，∴=．故选：B．4.答案：B解析：解：∵a=0.24=0.042=0.0016，b=0.32=0.09，c=0.43=0.064，∴b＞c＞a，故选：B．利用幂的意义，求出各个式子的具体值，可得结论．本题主要考查幂的意义，求出各个式子的具体值，可得结论，属于基础题．5.答案：B解析：解：若个位数是0，则有C=4种，若个位数不是0，则有A=12种，则共有4+12=16种，故选：B．讨论个位数是0，不是0时，对应的个数即可．本题主要考查简单计数的应用，利用讨论个位数是否为0是解决本题的关键．6.答案：D解析：解：当0＜a＜1时，函数f（x）=x a（x≥0）为增函数，且图象变化越来越平缓，g（x）=-log a x 的图象为增函数，当1＜a时，函数f（x）=x a（x≥0）为增函数，且图象变化越来越快，g（x）=-log a x的图象为减函数，综上：只有D符合故选：D．结合对数函数和幂函数的图象和性质，分当0＜a＜1时和当a＞1时两种情况，讨论函数f（x）=x a （x≥0），g（x）=log a x的图象，比照后可得答案．本题考查的知识点是函数的图象，熟练掌握对数函数和幂函数的图象和性质，是解答的关键．7.答案：C解析：解：数列{a n}中，a n+l=2a n+l，a1=1，a2=2a1+l=3，a3=2a2+l=7，a4=2a3+l=15，a5=2a4+l=31，a6=2a5+l=63，故选：C．利用数列的递推关系式逐步求解数列的项即可．本题考查数列的递推关系式的应用，是基本知识的考查．8.答案：B解析：解：设长方体的三条棱的长分别为：x，y，z，则，可得对角线的长为===．故选：B．首先转化为数学表达式，设出长方体的三条棱的长分别为x，y，z，根据题意列出关系式，通过配方法即可求出对角线的长．本题主要考查了长方体的特征，考查了配方法的应用，属于中档题．9.答案：B解析：解：某学校美术室收藏有6幅国画，分别为人物、山水、花鸟各2幅，现从中随机抽取2幅进行展览，基本事件总数n==15，恰好抽到2幅不同种类包含的基本事件个数m==12，则恰好抽到2幅不同种类的概率为p==．故选：B．现从中随机抽取2幅进行展览，基本事件总数n==15，恰好抽到2幅不同种类包含的基本事件个数m==12，由此能求出恰好抽到2幅不同种类的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．解析：解：由抛物线和双曲线关于x轴对称，可设A（m，n），B（m，-n），（m，n＞0），可得|AB|=|OA|=2n，即有=n，又n2=m，解得m=，n=1，则-=1，且c=2，即a2+b2=4，可得a=b=，则e==．故选：C．由抛物线和双曲线关于x轴对称，可设A（m，n），B（m，-n），（m，n＞0），由正三角形的性质和点满足抛物线方程，求得A的坐标，代入双曲线方程，结合a，b，c的关系，解方程可得a，运用离心率公式可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，以及抛物线和双曲线的对称性，考查方程思想和运算能力，属于基础题．11.答案：A解析：解：作出不等式组对应的平面区域如图：则=（x，y），=（2，1），则在向量方向上的投影为z=||cosθ==，设u=2x+y，得y=-2x+u，平移直线y=-2x+u，由图象知当直线y=-2x+u经过点B（0，2）时直线的截距最小，此时u=2，当直线y=-2x+u经过D时，直线y=-2x+u的截距最大，由，得，即D（6，6），此时u=12+6=18．即2≤u≤18，则≤z≤，即≤z≤，即z的取值范围是[，]，作出不等式组对应的平面区域，根据数量积的定义，结合目标函数函数的几何意义利用平移法进行求解即可．本题主要考查线性规划的应用，利用向量投影的定义进行转化，利用目标函数的几何意义利用平移法是解决本题的关键．12.答案：D解析：解：作出y=f（x）的图象，可得f（x）的最小值为，2f（f（a）=f（a），设t=f（a），可得t≥，即有2f（t）=t，当t＞1时，2•=t成立，即有a＞2或a＜0；当≤t≤1时，21-t=t，即有t=1，可得a=0或a=2．综上可得a的范围是a≥2或a≤0．故选：D．作出y=f（x）的图象，可得f（x）的最小值为，2f（f（a）=f（a），设t=f（a），可得t≥，即有2f（t）=t，讨论t的范围，结合图象可得a的范围．本题考查分段函数的运用：求函数值，考查分类讨论思想方法和方程思想，以及化简运算能力，属于中档题．13.答案：11解析：解：根据题意，等差数列{a n}中，a1=1，a9=21，则有a1+a9=a3+a7=1+21=22，则a3与a7等差中项为（a3+a7）=11；故答案为：11．根据题意，由等差数列的性质可得a1+a9=a3+a7=1+21=22，进而由等差中项的定义分析可得答案．本题考查等差数列的通项公式，涉及等差中项的定义，属于基础题．14.答案：4解析：解：；∵；∴；∴n=4．故答案为：4．可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出n．考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积、减法和数乘的坐标运算．15.答案：（1，2）解析：解：由题意设对称中心的坐标为（a，b），则有2b=f（a+x）+f（a-x）对任意x均成立，代入函数解析式得，2b=（a+x）3-3（a+x）2+5（a+x）-1+（a-x）3-3（a-x）2+5（a-x）-1=2a3+6ax2-6a2-6x2+10a-2=2a3-6a2+10a-2+（6a-6）x2，对任意x均成立，∴6a-6=0，且2a3-6a2+10a-2=2b，即a=1，b=2，即对称中心（1，2）．故答案为：（1，2）．根据函数对称性的性质建立方程进行求解即可．本题主要考查三次函数对称性的求解，利用对称中心的性质，建立方程是解决本题的关键．16.答案：解析：解：取BD中点O，AC中点E，连接AO，CO，OE，∵四面体ABCD中，AB=AD=BC=DC=BD=5，AC=8，∴AO⊥BD，CO⊥BD，AO=CO==，∵AO∩CO=O，∴BD⊥平面AOC，又因为OE⊥AC，所以OE===，∴四面体ABCD的体积：V=V B-AOC+V D-AOC=2V B-AOC==2×=．故答案为：．取BD中点O，AC中点E，得出BD⊥平面AOC，由四面体ABCD的体积V=V B-AOC+V D-AOC=2V B-AOC，即可求出结果．本题考查四面体体积的求法，考查四面体的结构特征等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.答案：（本题满分为12分）解：（1）∵在△ABC中，AD=3，AC=7，cos∠ACD=．∴由余弦定理可得：AD2=AC2+CD2-2AC•CD•cos∠ACD，可得：9=CD2+49-2×CD×7×，由于CD＜7，∴解得CD=5，∵cos∠CDA==-，∴∠CDB=，又∵∠DCB=，∴BC=5．…6分（2）在△CDB中，∠DCB=，∠CDB=，∴C点到AB的距离h=，BD=10，∴△ABC面积S==．…12分解析：（1）在△ABC中，由余弦定理结合CD＜7，解得CD的值，利用余弦定理可求cos∠CDA=-，可求∠CDB=，结合∠DCB=，可求BC的值．（2）在△CDB中，由（1）可求C点到AB的距离h=，BD=10，根据三角形的面积公式即可计算得解△ABC面积．本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.答案：证明：（1）在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2AD=2DC=6，在图1中作AB的中点E，在图1、图2中取AC的中点F，连结DF、CE、EF，则△DAC、△EAC均为等腰直角三角形，AC⊥DF，AC⊥EF，又DF∩EF=F，故AC⊥面DEF，又DE⊂面DEF，∴DE⊥AC．解：（2）∵DG⊥面ABC，GA⊂面ABC，GC⊂面ABC，∴DG⊥GA，DG⊥GC，∵DA=DC，∴GA=GC，∴G在AC的中垂线上，∴EG垂直平分AC，∵F为AC中点，∴E，F，G三点共线，由AB=2AD=2DC=6，得△ABC是等腰直角三角形，，设B到平面ADC的距离为h，则由V D-ABC=V B-ADC，得，∴点B到平面ACD的距离h===4．解析：（1）在图1中作AB的中点E，在图1、图2中取AC的中点F，连结DF、CE、EF，推导出AC⊥DF，AC⊥EF，从而AC⊥面DEF，由此能证明DE⊥AC．（2）推导出DG⊥GA，DG⊥GC，EG垂直平分AC，E，F，G三点共线，设B到平面ADC的距离为h，由V D-ABC=V B-ADC，能求出点B到平面ACD的距离．本题考查线线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：（1）由题意可知：，又a2=b2+c2，有，故椭圆C的方程为：．（2）由题意知直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+1，设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠0，x2≠0），得（4k2+3）x2+8kx-8=0，，且有x1+x2=kx1x2，，==，故==．故点T的纵坐标为3．解析：（1）建立方程求出a．b，c的值即可；（2）通过联立方程组，建立AM、BN的方程，再次联立AM、BN的方程求出交点T的纵坐标．本题主要考查椭圆的性质与方程，直线与圆的位置关系，属于中档题目．20.答案：解：（1）=65×0.05+75×0.1+85×0.2+95×0.25+115×0.15+125×0.05=96．（2）设从位于[110，120）的市民中抽取x人，从位于[120，130]的市民中抽取y人，由分层抽亲可知：，解得x=3，y=1，在抽取的4人中，记3名位于[110，120）的市民为：A1，A2，A3，1名位于[120，130]的市民为B，再从这4人中随机抽取2人，基本事件总数n=6，分别为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B），（A2，A3），（A2，B），（A3，B），其中恰有一人在[120，130]的情况共有3种，∴这2人的购房面积恰好有一人在[120，130]的概率P=．（3）设模型=0.9369+0.0285和=0.9554+0.0306ln x的相关指数分别为，则，=1-，∴，∴模型=0.9554+0.036ln x的拟合效果更好．2019年6月份对应的x=18．∴=0.9554+0.0306ln18=0.9554+0.0306（ln2+2ln3）≈1.044万元/平方米．解析：（1）利用频率分布直方图能估计该市市民的平均购房面积．（2）设从位于[110，120）的市民中抽取x人，从位于[120，130]的市民中抽取y人，由分层抽样能求出x=3，y=1，在抽取的4人中，记3名位于[110，120）的市民为：A1，A2，A3，1名位于[120，130]的市民为B，再从这4人中随机抽取2人，利用列举法能求出这2人的购房面积恰好有一人在[120，130]的概率．（3）设模型=0.9369+0.0285和=0.9554+0.0306ln x的相关指数分别为，则，=1-，∴，从而模型=0.9554+0.036ln x的拟合效果更好．由此能求出结果．本题考查平均数、概率的求法，考查直线回归方程的应用，考查频率分布直方图、列举法、回归直线方程的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.答案：解：（1）设切点为P（x0，y0），f′（x）=e x-x，∴f′（x0）=-x0=1，--1=x0+a，解得x0=0，a=0．（2）∀x∈[0，+∞），f（x）≥bx恒成立，⇔e x--1-bx≥0，x∈[0，+∞）．令g（x）=e x--1-bx，x∈[0，+∞）．g′（x）=e x-x-b=h（x），h′（x）=e x-1≥0，在x∈[0，+∞）上恒成立．∴h（x）在x∈[0，+∞）上单调递增．h（x）min=h（0）=1-b．①令1-b≥0，即b≤1，g′（x）≥0，函数g（x）在x∈[0，+∞）上单调递增．∴g（x）≥g（0）=0在x∈[0，+∞）上恒成立，满足题意．②令1-b＜0，即b＞1时，g′（x）min=h′（0）=1-b＜0．又g′（x）在在x∈[0，+∞）上单调递增．∴存在唯一x0∈（0，+∞），使得g′（x0）=-x0-b=0．且g（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．∴g（x）min=g（x0）=--1-bx0=--1-x0（-x0）=+-1-x0．令u（x）=e x+-1-xe x，x＞0．h′（x）=x（1-e x）＜0，∴h（x）在x∈（0，+∞）上单调递减，∴h（x）＜h（0）=0．∵x0＞0，∴h（x0）＜0，即g（x0）＜0，不符合题意．综上可得：b≤1．解析：（1）设切点为P（x0，y0），f′（x）=e x-x，可得f′（x0）=-x0=1，--1=x0+a，解得a．（2）∀x∈[0，+∞），f（x）≥bx恒成立，⇔e x--1-bx≥0，x∈[0，+∞）．令g（x）=e x--1-bx，x∈[0，+∞）．g′（x）=e x-x-b=h（x），h′（x）=e x-1，可得h（x）在x∈[0，+∞）上单调递增．h（x）min=h （0）=1-b．对b分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.答案：解：（1）由ρ=8sinθ+6cosθ，得ρ2=8ρsinθ+6ρcosθ，∴x2+y2-6x-8y=0，即（x-3）2+（y-4）2=25；（2）把代入（x-3）2+（y-4）2=25，得．∴t1t2=-20．则|PA|•|PB|=|t1t2|=20．解析：（1）把已知方程两边同时乘以ρ，结合ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ即可得到曲线C的直角坐标方程；（2）把直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，化为关于t的一元二次方程，利用根与系数的关系求解．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查直线参数方程中参数t几何意义的应用，是中档题．23.答案：解：（1）当a=4时，f（x）≤6即为|2x+4|+|x-1|≤9，当x≥1时，2x+4+x-1≤9，解得1≤x≤2；当x≤-2时，-2x-4+1-x≤9，解得-4≤x≤-2；当-2＜x＜1时，2x+4+1-x≤9，解得-2＜x＜1，综上可得-4≤x≤2，即有f（x）≤6的解集为[-4，2]；（2）由f（x）=|2x+a|+|x-1|-3，=|x+|+|x+|+|x-1|-3≥0+|（x+）-（x-1）|-3=|1+|-3，（当且仅当x=-时取得等号），关于x的不等式f（x）≥2恒成立，可得2≤|1+|-3，即为|1+|≥5，解得a≥8或a≤-12，可得a的范围是（-∞，-12]∪[8，+∞）．解析：（1）由绝对值不等式解法，讨论x≥1，x≤-2，-2＜x＜1，去掉绝对值，解不等式，求并集即可；（2）由绝对值不等式的性质求得f（x）的最小值，再由恒成立思想，解不等式可得a的范围．本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，注意运用分类讨论思想和转化思想，考查化简运算能力，属于中档题．。
湖北省2020年高三(5月)调研模拟考试数学(文科)试卷(含答案)
2020年湖北省高三（5月）调研模拟考试文科数学试卷2020．5本试卷共5页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答题前先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U=N* ，集合A={1，2，3，4，5}，B={2，4，6，8}，则图中的阴影部分表示的集合为A ．{1，3，5}B ．{2，4}C ．{6，8}D ．{2，4，6，8}2．已知i 是虚数单位，复数z 满足i z i =+)1(，则z 的虚部是A ．21B ．i 21-C ．i 21D ．21- 3．已知数列{}n a 的前项和*2,12N n n S n ∈+=，则15a a -=A ．13B ．14C ．15D ．164．若32)2cos(=-πθ．则)22sin(πθ-=A ．91-B ．91C ．95-D ．95 5．如图，网格纸上每个小格都是边长为1的正方形，粗线画出的是一个几何体的三视图．则该几何体的体积为A ．1B ．32C ．31D ．61 6．若△ABC 三边长分别为3，5，7，则△ABC 的面积为A ．8315B ．235C ．4315D ．8321 7．某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这100名同学的得分都在[50，100]内，按得分分成5组：[50，60），[60，70），[70 ，80），[80，90），[90．100]，得到如图所示的频率分布直方图，则估计这100名同学的得分的中位数为A ．72B ．72.5C ．73D ．73.58．△ABC 中，点D 为BC 的中点，3=，M 为AD 与CE 的交点，若AM λ=，则实数λ=A ．41B ．31C ．52D ．21 9．甲、乙、丙、丁四人等可能分配到A 、B 、C 三个工厂工作，每个工厂至少一人，则甲、乙两人不在同一工厂工作的概率为A ．61B ．31C ．21D ．6510．函数24x x x y --=的值城为A ．]4,222[-B ．]4,0[C ．]222,0[+D ．]222,222[+-11．已知函数)0)(3sin()(>-=ωπωx x f 在],0[π有且仅有4个零点，则ω的取值范围为 A ．)313,310[ B ．)316,313[ C ．)617,37[ D ．)316,37[ 12已知)0(sin )()(>--=-a x e e a x f x x 存在唯一零点，则实数a 的取值范围A ．),2(+∞πB ．),2[+∞πC ．),21(+∞D ．),21[+∞ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知直线l 过圆062622=+--+y x y x 的圆心且与直线01=++y x 垂直．则l 的方程是 . 14．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x C ：的左焦点)0,(1c F -关于直线0=+ay bx 的对称点P 在双曲线上．则双曲线C 的离心率为 .15．半径为2的球O 内内置一圆锥，则此圆锥的体积最大值为 .16．已知函数)(x f 是定义在),0(+∞的单调函数，对定义域内任意x ，均有2]ln )([2=--x x x f f ，则函数在点))(,(e f e 处切线的纵截距为 .三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足)(12*N n S a n n ∈+=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n n a n b ⋅+=)12(，求数列{}n b 的前n 项和n T 。
2020届湖北省武汉市部分学校高三下学期5月模拟数学(文)试题(解析版)
2020届湖北省武汉市部分学校高三下学期5月模拟数学（文）试题一、单选题1．复数z 12ii ==-（ ） A ．255i + B ．255i -+C ．1255i+ D ．1255i - 【答案】B【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，从而得出正确选项. 【详解】 z ()()()122112121255i i i i i i i ⋅+===-+--⋅+. 故选：B . 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题.2．已知全集U =R ，集合A ={x |x 2≤4}，那么U A =ð（ ） A ．(﹣∞,﹣2) B ．(2,+∞)C ．(﹣2,2)D ．(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)【答案】D【解析】解一元二次不等式求得集合A ，由此求得U A ð. 【详解】∵全集U =R ，集合A ={x |x 2≤4}={x |﹣2≤x ≤2}， ∴U A ð={x |x <2或x >2}=(﹣∞，﹣2)∪(2，+∞). 故选：D . 【点睛】本题考查补集的求法，考查补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题. 3．已知圆x 2+y 2+2x ﹣4y ﹣8=0的圆心在直线3x +y ﹣a =0，则实数a 的值为（ ） A ．﹣1 B ．1C ．3D ．﹣3【答案】A【解析】根据题意，求出圆的圆心坐标，将其代入直线的方程，解方程可得a 的值. 【详解】根据题意，圆x2+y2+2x﹣4y﹣8=0的圆心为(﹣1，2)，若圆x2+y2+2x﹣4y﹣8=0的圆心在直线3x+y﹣a=0上，则有3×(﹣1)+2﹣a=0，解得：a=﹣1；故选：A.【点睛】本题考查圆的一般方程与直线的方程，注意求出圆的圆心坐标，属于基础题. 4．若等差数列{a n}前9项的和等于前4项的和，a1=1，则a4=（）A．12-B．32C．12D．2【答案】C【解析】利用等差数列的通项公式与求和公式列方程，求得d，进而求得4a. 【详解】由题意可得：S9=S4，∴9×1+36d=4×1+6d，解得d16 =-.∴a4=1﹣311 62⨯=.故选：C.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 5．如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（）A．B．4 C．D．2【答案】C【解析】试题分析：根据已知中的三视图及相关视图边的长度，我们易判断出该几何体的形状及底面积和高的值，代入棱锥体积公式即可求出答案．解：由已知中该几何中的三视图中有两个三角形一个菱形可得这个几何体是一个四棱锥由图可知，底面两条对角线的长分别为2，2，底面边长为2故底面棱形的面积为=2侧棱为2，则棱锥的高h==3故V==2故选C点评：本题考查的知识点是由三视图求面积、体积其中根据已知求出满足条件的几何体的形状及底面面积和棱锥的高是解答本题的关键．6．已知sinα23=，α为第二象限角，则cos (2π-2α)=（ ）A ．459-B ．19-C ．19D ．459【答案】A【解析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα的值，进而利用诱导公式，二倍角的正弦函数公式即可求解. 【详解】 ∵sinα23=，α为第二象限角， ∴cosα251sin α=-= ∴cos (2π-2α)=sin 2α=2sinαcosα=223⨯⨯(559=-.故选：A . 【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题. 7．已知向量a r，b r满足(2)()6a b a b +⋅-=-rr rr，|b r|=2，且a r与b r的夹角为3π，则|a r|=（ ） A ．2 B ．1C 2D 3【答案】B【解析】直接根据数量积的展开式结合已知条件，即可求解结论. 【详解】因为向量a b r r ，满足(2a b +r r)•(a b -r r )=﹣6，|b r |=2，且a r 与b r 的夹角为3π，∴(2a b +r r )•(a b -r r )222a a b b =+⋅-=r r r r |a r |2+|a r |•|b r |•cos 223b π-=-r 6⇒|a r |2+|a r |﹣2=0⇒|a r|=1(负值舍) 故选：B . 【点睛】本题主要考查平面向量数量积的应用以及模长的计算，属于基础题目.8．如果从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组三角形三条边的边长有概率为（ ） A ．310B ．15C ．110D ．120【答案】A【解析】基本事件总数n 3510C ==，利用列举法求出这3个数构成一组三角形三条边的边长包含的基本事件有3个，由此能求出这3个数构成一组三角形三条边的边长的概率. 【详解】从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，基本事件总数n 3510C ==，这3个数构成一组三角形三条边的边长包含的基本事件有： {2，3，4}，{2，4，5}，{3，4，5}，共3个， ∴这3个数构成一组三角形三条边的边长的概率p 310=. 故选：A . 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.9．已知F 1，F 2是双曲线C ：22221(00)x y a b a b-=>>，的两个焦点，P 是C 上一点，满足|PF 1|+|PF 2|=6a ，且∠F 1PF 23π=，则C 的离心率为（ ）A B C ．2D【答案】D【解析】由双曲线的定义及|PF 1|+|PF 2|=6a 可得|PF 1|，|PF 2|的值，在三角形PF 1F 2中由余弦定理可得a ，c 的关系，从而求出离心率. 【详解】由双曲线的对称性设P 在第一象限，因为|PF 1|+|PF 2|=6a ，由双曲线的定义可得|PF 1|=2a +|PF 2|， 所以|PF 2|=2a ，|PF 1|=4a ， 因为∠F 1PF 23π=，在三角形PF 1F 2中，由余弦定理可得cos ∠F 1PF 2222121212||||2PF PF F F PF PF +-=⋅，即222116442224a a c a a+-=⋅⋅，整理可得：3a 2=c 2，可得e 3=， 故选：D .【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，属于中档题. 10．函数()|ln |2x f x e x =-的零点个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】把零点个数问题化为两个函数的交点，作函数的图象求解即可. 【详解】函数f (x )=e x |lnx |﹣2的零点可以转化为：|lnx |2xe =的零点； 在坐标系中画出两个函数2ln ,x y x y e==的图象，根据图象可得有两个交点； 故原函数有两个零点. 故选：B .【点睛】本题考查了方程的根与函数的图象的应用，属于基础题.11．已知函数f (x )3=(ωx +φ)﹣cos (ωx +φ)(0<φ<π,ω>0)为偶函数，且y =f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为2π，则f (6π)的值为（ ） A ．﹣1 B ．1C 3D 2【答案】B【解析】利用辅助角公式进行化简，结合f (x )是偶函数，求出φ的值，利用f (x )的对称轴之间的距离求出函数的周期和ω，代入进行求值即可. 【详解】f (x )3=(ωx +φ)﹣cos (ωx +φ)=2sin (ωx +φ6π-)， ∵f (x )是偶函数，∴φ6π-=kπ2π+，k ∈Z ， 得φ=kπ23π+， ∵0<φ<π，∴当k =0时，φ23π=， 即f (x )=2sin (ωx 236ππ+-)=2sin (ωx 2π+)=2cosωx ， ∵y =f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为2π， ∴22T π=，即T =π，即2πω=π， 得ω=2， 则f (x )=2cos 2x ， 则f (6π)=2cos (26π⨯)=2cos 1232π=⨯=1， 故选：B . 【点睛】本题主要考查三角函数值的计算，利用辅助角公式，结合三角函数的性质求出函数的解析式是解决本题的关键.难度不大.12．设奇函数()f x ，()x R ∈的导函数为()f x '，且(1)0f -=，当0x >时，()()0xf x f x '+>，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A ．(,1)(1,0)-∞--UB ．(0,1)(1,)⋃+∞C ．(,1)(0,1)-∞-UD ．(1,0)(1,)-??【答案】D【解析】根据所给不等式，构造函数()()g x x f x =⋅，由导数与单调性关系可知()g x 在0x >时单调递增，由函数奇偶性的性质可知()g x 为偶函数，画出函数示意图，即可求得()0f x >成立的x 的取值范围. 【详解】令()()g x x f x =⋅， 则()()()g x x f x f x '=⋅'+， 当0x >时，()()0xf x f x '+>，则当0x >时，()()g x x f x =⋅为单调递增函数， ()f x 为奇函数，则()()g x x f x =⋅为偶函数，且由(1)0f -=，可知(1)(1)0f f =--=，所以()()110g g =-=，则()()g x x f x =⋅的函数关系示意图如下图所示：当0x <时，若()0f x >，则()0g x <，此时()1,0x ∈-； 当0x >时，若()0f x >，则()0g x >，此时()1,x ∈+∞；综上可知，()0f x >的解集为(1,0)(1,)-??， 故选：D. 【点睛】本题考查了构造函数法解不等式，导数与函数单调性的关系应用，奇偶性的性质应用，数形结合法解不等式的应用，属于中档题.二、填空题13．已知实数x ，y 满足约束条件211y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则z =x +2y 的最小值为_____【答案】52-【解析】画出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义，即可求出z 的最小值. 【详解】作出实数x ，y 满足约束条件211y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，对应的平面区域如图：由z =x +2y 得y 1122x z =-+，平移直线y 1122x z =-+， 由图象可知当直线y 1122x z =-+经过点A (12-，﹣1)时，直线的截距最小，此时z 最小. 即z 12=-+2×(﹣1)52=-， 故答案为：52-.【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，结合数形结合是解决本题的关键. 14．若函数f (x )=ax +lnx 在点(1,a )处的切线平行于x 轴，则f (x )的最大值为_____. 【答案】1-【解析】先利用切点处切线与x 轴平行，求出a 的值，然后利用导数研究函数的单调性，求出最大值. 【详解】()'1f x a x=+，∴()'1f =a +1=0，∴a =﹣1. ∴f (x )=lnx ﹣x ，(x >0) ∵()'111x fx x x-=-=， 易知，x ∈(0，1)时，()'0f x >，f (x )递增；x ∈(1，+∞)时，()'0f x <，f (x )递减.∴f (x )max =f （1）=﹣1. 故答案为：﹣1. 【点睛】本题考查导数的几何意义和利用导数研究函数的最值.求切线时，抓住切点满足的两个条件列方程是关键.属于基础题.15．在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，已知AC ⊥BC ,BC =CC 1，则异面直线BC 1与AB 1所成角的余弦值为_____. 【答案】0【解析】通过证明AC ⊥平面BCC 1，证得AC ⊥BC 1，再结合BC =CC 1得正方形BCC 1B 1，则BC 1⊥B 1C ，证得BC 1⊥平面ACB 1，则问题可解. 【详解】如图：因为直棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1，所以侧面BCC 1B 1⊥底面ABC 又AC ⊥BC ，∴AC ⊥平面BCC 1B 1，∴AC ⊥BC 1.又BC =CC 1，∴四边形BCC 1B 1是正方形，故BC 1⊥B 1C ，结合AC ∩B 1C =C ， 故BC 1⊥平面AB 1C ，而AB 1⊂平面AB 1C ，所以BC 1⊥AB 1. 异面直线BC 1与AB 1所成角为2π，余弦值为0. 故答案为：0.【点睛】本题考查空间角的计算问题，要注意空间线线､线面､面面之间平行关系之间､垂直关系之间､平行与垂直关系间的转化.属于中档题.16．在△ABC中，已知AB=2,AC=3,A=60°，则sinC=_____.21【解析】已知利用余弦定理可求BC的值，进而利用正弦定理可求sinC的值.【详解】∵AB=2，AC=3，A=60°，∴由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+9﹣2×2×312⨯=7，∵BC>0，∴BC7∴由正弦定理AB BCsinC sinA=，可得32212sin77AB sinACBC⋅===.21.【点睛】本题考查余弦定理､正弦定理的在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题.三、解答题17．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.4，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.2.设各车主购买保险相互独立.（1）求该地1位车主至少购买甲､乙两种保险中的1种的概率；（2）求该地3位车主中恰有1位车主甲､乙两种保险都不购买的概率.【答案】（1）0.6.（2）0.432【解析】（1）根据和事件概率求法，求得所求概率.（2）由（1）求得1为车主甲､乙两种保险都不购买的概率，根据独立重复事件概率计算公式，计算出所求概率.【详解】（1）记A 表示事件：该地的1位车主购买甲种保险，则P (A )=0.4，设B 表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险，则P (B )=0.2，设事件C 表示事件：该地的1位车主至少购买甲､乙两种保险中的1种，则该地1位车主至少购买甲､乙两种保险中的1种的概率为：P (C )=P (A +B )=P (A )+P (B )=0.4+0.2=0.6.（2）设事件D 表示：该地1位车主甲､乙两种保险都不购买，则D C =，∴P (D )=1﹣P (C )=1﹣0.6=0.4，设E 表示：该地3位车主中恰有1位车主甲､乙两种保险都不购买，则该地3位车主中恰有1位车主甲､乙两种保险都不购买的概率：P (E )1230.40.6C =⨯⨯=0.432.【点睛】本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式、n 次试验中事件A 恰好发生k 次的概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.18．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，S n =a n +1.（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若n nn b S =，求数列{b n }的前n 项和为T n . 【答案】（1）21,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩.（2）1242n n n T -+=- 【解析】（1）根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列的通项公式， （2）利用错位相减法即可求出数列{b n }的前n 项和为T n .【详解】（1），a 1=1，S n =a n +1=S n +1﹣S n ，∴S n +1=2S n ，∴数列{S n }是以1为首项，以2为公比的等比数列，∴S n =1×2n ﹣1=2n ﹣1，∴a n =S n ﹣S n ﹣1=2n ﹣2，n ≥2，∴a n 21122n n n -=⎧=⎨≥⎩，，， （2）n n n b S ==n •(12)n ﹣1， ∴T n =(12)0+2•(12)1+3•(12)2+…+n •(12)n ﹣1，①， 由①12⨯可得， 12T n =(12)1+2•(12)2+3•(12)3+…+n •(12)n ，②， 由①﹣②可得12T n =1+(12)1+(12)2+(12)3+…+(12)n ﹣1﹣n •(12)n 112112n -=--n •(12)n =2﹣2×(12)n ﹣n •(12)n =2﹣(n +2)•(12)n ， ∴T n =4122n n -+-. 【点睛】本题考查数列递推式，考查了错位相减法求数列的和，是中档题.19．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD =2，DC =BC =1，AB =2，AB ∥DC ，∠BCD =90°.（1）求证：AD ⊥PB ；（2）求A 点到平面BPC 的距离.【答案】（1）证明见解析.（2）5【解析】（1）利用勾股定理证得AD ⊥BD ，又PD ⊥平面ABCD ，所以PD ⊥AD ，从而由线面垂直的判定定理得到AD ⊥平面PBD ，所以AD ⊥PB ；（2）证得BC ⊥PC ，求出S △BPC 和S △ABC ，再由V A ﹣BPC =V P ﹣ABC 利用等体积法即可求出点A 到平面PBC 的距离.【详解】（1）如图所示：在四边形ABCD 中，连接BD ，由DC =BC =1，AB =2，∠BCD =∠ABC 2π=， 在△ABD 中，BD =AD =AB =2，因此AD ⊥BD ，又PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥AD ，又BD ∩PD =D ，∴AD ⊥平面PBD ，∴AD ⊥PB ；（2）在四棱锥P ﹣ABCD 中，∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥BC ，而BC ⊥DC ，∴BC ⊥平面PDC ，∴BC ⊥PC，又PC ===，∴122BPC S BC PC =⨯⨯=V ，而S △ABC 12AB BC =⨯⨯=1， ，设点A 到平面PBC 的距离为h ，由V A ﹣BPC =V P ﹣ABC 可得：1133BPC ABC S h S PD ⨯⨯=⨯⨯V V ，∴h ==， 即点A 到平面PBC【点睛】本题主要考查了线线垂直的证明，以及等体积法求点到平面的距离，是基础题. 20．已知函数f (x )=ae x ﹣x ，（1）求f (x )的单调区间，（2）若关于x 不等式ae x ≥x +b 对任意x ∈R 和正数b 恒成立，求b a 的最小值. 【答案】（1）答案见解析.（2）1【解析】（1）先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性的关系即可求出； （2）先根据（1）利用导数和函数最值的关系求出()()min ln 1ln f x f a a b =-=+≥，可得1a a b lna ≥+，设()1a h a lna=+，利用导数求出函数的最小值即可. 【详解】（1）f ′(x )=ae x ﹣1，当a ≤0时，()f x ' <0，f (x )在R 上单调递减，若a >0时，令()f x '=ae x ﹣1=0，x =﹣lna ，在x >﹣lna 时，()f x ' >0，f (x )为增函数，在x <﹣lna 时，()f x ' <0，f (x )为减函数，所以，当0a ≤时，()f x 的单调减区间为(,)-∞+∞，无增区间；当0a >时，()f x 的单调减区间为(,ln )a -∞-，增区间为(ln ,)a -+∞.（2）f (x )=ae x ﹣x ，由题意f (x )min ≥b ，由（1）可知，当a ≤0时，f (x )在R 上单调递减，无最小值，不符合题意， 当a >0时，f (x )min =f (﹣lna )=1+lna ≥b ， ∴1a a b lna≥+，设h (a )1a lna=+，则()h a ' 2(1)lna lna =+， a ∈(0，1]，()h a ' <0；a ∈[1，+∞)，()h a '≥0，∴h (a )min =h （1）=1. 所以a b的最小值为1. 【点睛】本题考查了导数和函数单调性的关系以及和最值的关系，考查了函数恒成立的问题，考查了运算能力和转化能力，属于中档题.21．已知F (0,1)为平面上一点，H 为直线l ：y =﹣1上任意一点，过点H 作直线l 的垂线m ，设线段FH 的中垂线与直线m 交于点P ，记点P 的轨迹为Γ.（1）求轨迹Γ的方程；（2）过点F 作互相垂直的直线AB 与CD ，其中直线AB 与轨迹Γ交于点A ､B ，直线CD 与轨迹Γ交于点C ､D ，设点M ，N 分别是AB 和CD 的中点.①问直线MN 是否恒过定点，如果经过定点，求出该定点，否则说明理由； ②求△FMN 的面积的最小值.【答案】（1）24x y =.（2）①恒过定点，定点为(0，3)②4【解析】（1）设P 的坐标，由题意可得|PF |=|PH |，整理可得P 的轨迹方程；（2）①由题意可得直线BA ，CD 的斜率都存在，设直线AB 的方程与抛物线联立求出两根之和，进而求出AB 的中点M 的坐标，同理可得N 的坐标，进而求出直线MN 的斜率，再求直线MN 的方程，可得恒过定点；②因为直线MN 恒过定点，所以得S △FMN 12FQ =⨯⨯|x M ﹣x N |，由均值不等式可得△FMN 的面积的最小值为4.【详解】（1）设P 的坐标(x ，y )由题意可得|PF |=|PH |，=|y +1|，整理可得x 2=4y ，所以轨迹Γ的方程：x 2=4y ；（2）由题意可得直线AB ，CD 的斜率均存在，设直线AB 的方程：y =kx +1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线与抛物线联立214y kx x y=+⎧⎨=⎩，整理可得：x 2﹣4kx ﹣4=0，x 1+x 2=4k ，y 1+y 2=k (x 1+x 2)+2=4k 2+2，所以AB 的中点M (2k ，2k 2+1)，同理可得N (222k k -+，1)， 所以直线MN 的斜率为222211122k k k k k k⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭=-+， 所以直线MN 的方程为：y ﹣(2k 2+1)=(k 1k -)(x ﹣2k )， 整理可得y =(k 1k-)x +3，所以恒过定点Q (0，3). ①所以直线恒过定点(0，3)； ②从而可得S △FMN 12FQ =⨯⨯|x M ﹣x N |122=⨯⨯|2k 2k +|=2|k 1k +|≥4，当1k =±时取得等号.所以△FMN 的面积的最小值为4.【点睛】本题考查求轨迹方程及直线与抛物线的综合，及直线恒过定点的证明，均值不等式的应用，属于中档题.22．在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x =﹣2以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C 2极坐标方程为：ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0.（1）求C 1的极坐标方程和C 2的普通方程；（2）若直线C 3的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设C 2与C 3的交点为M ，N ，又C 1：x =﹣2与x 轴交点为H ，求△HMN 的面积.【答案】（1）C 1的极坐标方程cos 2ρθ=-，C 2的普通方程22(1)(2)1x y -+-=.（2）1【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换. （2）利用一元二次方程根和系数关系和极径的应用求出结果.【详解】（1）直线C 1：x =﹣2，转换为极坐标方程为ρcosθ=﹣2.C 2极坐标方程为：ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0，转换为直角坐标方程为(x ﹣1)2+(y ﹣2)2=1.（2）将4πθ=代入C 2极坐标方程为：ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0.得到240ρ-+=，解得12ρρ==，所以12MN ρρ=-=，由于H (﹣2，0)到直线y =x ，所以S △HNM =1.【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.23．已知函数f (x )=|x ﹣a |﹣|x ﹣5|.（1）当a =2时，求证：﹣3≤f (x )≤3；（2）若关于x 的不等式f (x )≤x 2﹣8x +20在R 恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）证明见解析.（2）[0,9]【解析】（1）2a =代入，利用绝对值不等式的性质可得253x x ---≤，进而得证； （2）分5a ≥及5a <两种情况讨论，每种情况下都把函数f (x )化为分段函数的形式，再根据题意转化为关于a 的不等式，每种情况解出后最后取并集即可.【详解】（1）证明：当a =2时，f (x )=|x ﹣2|﹣|x ﹣5|，∴||x ﹣2|﹣|x ﹣5||≤|x ﹣2﹣(x ﹣5)|=3，∴﹣3≤|x ﹣2|﹣|x ﹣5|≤3，即﹣3≤f (x )≤3；（2）解：f (x )=|x ﹣a |﹣|x ﹣5|，①当a ≥5时，()525555a x a f x x a x a a x -≥⎧⎪=-++<<⎨⎪-≤⎩，，，，则f (x )max =a ﹣5，且y =x 2﹣8x +20=x 2﹣8x +16+4=(x ﹣4)2+4≥4，要使f (x )≤ x 2﹣8x +20在R 恒成立，则只需4≥a ﹣5，则a ≤9，此时5≤a ≤9；②当a <5时，()552555a x f x x a a x a x a -≥⎧⎪=--<<⎨⎪-≤⎩，，，，需要28202545x x x a a ⎧-+≥--⎨≥-⎩恒成立， ∴()100420509a a ⎧=-++≤⎨≤⎩V ， ∴05a ≤<，综合①②可知，0≤a ≤9，即实数a 的取值范围为[0，9].【点睛】本题考查绝对值不等式的解法及其性质，考查不等式的恒成立问题，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题.。
湖北省武汉市部分学校2020届高三5月摸底检测文科数学试题(含答案)
2020年武汉市部分学校高三在线学习摸底检测文科数学2020.5.8本试卷共5 页，23题（含选考题）．全卷满分150分．考试用时120分钟．＊祝考试顺利＊注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑写在试卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡指定的位置用2B 铅笔涂黑．答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．5.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数z =i12i-＝A .2i+55B.2i+55- C.12i+55D.12i55-2.已知全集U=R,集合A={x| x2≤4},那么C U A=A. (-∞,-2)B. (2, + ∞)C. (-2,2)D. (-∞,-2)∪(2, + ∞)3.已知圆x2+ y2+ 2x- 4y- 8 = 0 的圆心在直线 3x + y-a =0 , 则实数a的值为A. -1B. 1C.3D. -34.若等差数列{a n}前9项的和等于前4项的和，a111=1,则a4=A. -12B.32C.12D.25.如图，某几何体的正视图，侧视图和俯视图分别是等边三角形、等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为A.B. 4C.D.26.已知sin α=23，α为第二象限角，则cos(π2-2α)= A.-459 B.-19 C. 19 D.4597.已知向量a ,b 满足(a +2b )⋅(a -b )= -6，|b |=2，且a 与b 的夹角为π3，则|a |=A.2B.1C. 2D. 38.如果从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组三角形三条边的边长有概率为A.310B.15C.110D.1209.已知F 1，F 2是双曲线 C :22221(0,0)x y a b a b-=>> 的两个焦点，P 是 C 上一点，满足 ｜PF 1｜＋｜PF 2｜＝6a ，且∠F 1PF 2=3π，则C 的离心率为C.210.函数f (x )=e |ln |2x x -的零点个数为A.1B. 2C. 3D.4 11.已知函数f(x )cos()(0,0)x x ωϕωϕϕπω+-+<<>为偶函数，且 y =f ( x ) 图象的两相邻对称轴间的距离为2π ，则f (6π)的值为 A.-1 B. 1.12.设函数f (x )(x ∈R )是奇函数，f (-1)=0，当x >0时，xf ´(x )+f (x )>0，则使得f (x )>0成立的 x 的取值范围是A .(-∞，-1)∪（1，+∞） B.(0，1)∪(1，+∞)C.(-∞，-1)∪(0,1)D. (-1，0)∪(1，+∞)二、填空题：本题共 4 小题，每小题5 分，共 20 分13.已知实数 x , y 满足约束条件21,1y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩ 则 z =x + 2y 的最小值为14.若函数f (x )=ax + ln x 在点(1 , a ) 处的切线平行于 x 轴，则f ( x ) 的最大值为 ．15. 在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，已知AC ⊥BC ，BC =CC 1，则异面直线BC 1与AB 1所成角的余弦值为 ．16.在△ABC 中，已知AB =2,AC =3,A =60︒，则sin C= ．三、解答题：共 70 分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 第 17 - 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23 题为选考题，考生根据要求作答（ 一）必考题：共 60 分．17. ( 本题满分12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为 0. 4 , 购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.2.设各车主购买保险相互独立．, （1）求该地1 位 车主至少购买甲、乙两种保险中的1 种的概率；( 2 ) 求该地 3 位 车主中恰有1 位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．_18.( 本题满分12 分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1 =1,S n = a n +1·( l ) 求数列{a n }的通项公式 ；(2)若n n n b S = ，求数列{b n }的前n 项和为T n ,.19. ( 本题满分 12 分） ,.如图，在四棱锥 P — ABC D 中 ，P D ⊥平面 ABCD , PD = 2, DC = BC =1 , AB =2 ,AB //DC , ∠BCD =90°.(I ) 求证：AD ⊥ P B ;( 2 )求A 点到平面BPC 的距离．20. ( 本题满分12 分）已知函数()e x f x a x =- ,(1)求f (x )的单调区间，(2)若关于 x 不等式 e x a x b ≥+对任意x ∈R 和正数 b 恒成立，求b a的最小值．21. ( 本题满分12 分）已知 F ( 0 ,1) 为平面上一点，H 为直线 l :y =-1 上任意一点，过点 H 作直线 l 的垂线 m , 设线段 FH 的中垂线与直线 m 交于点 P , 记点 P 的轨迹为Г(1 ) 求轨迹Г的方程；( 2 ) 过点 F 作互相垂直的直线AB 与 CD , 其中直线AB 与轨迹Г交千点A 、B , 直线 CD 与轨迹Г交于点 C 、D , 设点 M, N 分别是 AB 和 CD 的中点．①问直线ＭＮ是否恒过定点，如果经过定点，求出该定点，否则说明理由；②求△ FMN 的面积的最小值．（二 ）选考题：共 10 分 请考生从第 22、23 题中任选一题做答 井用 2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分22．[ 选修 4 - 4 : 坐标系与参数方程］（本小题满分10分）在直角坐标系 xOy 中，直线 C 1:x =-2 以坐标原点为极点 ，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C 2极坐标方程为：22cos 4sin +40ρρθρθ--=(1)求C 1的极坐标方程和C 2 的普通方程；(2)若 直线 C 3 的极坐标方程为()4πθρ=∈R ,设 C 2 与 C 3 的交点为 M , N , 又 C 1:x = -2与 x 轴交点为 H , 求△HMN 的面积.23.[选修 4 -5: 不等式选讲］（本小题满分10分）已知函数()|||5|f x x a x =---.(1 ) 当 a =2 时，求证：3()3f x -≤≤;( 2 ) 若关于x 的不等式2()820f x x x ≤-+在R 恒成立，求实数 a 的取值范围.。
2020届湖北省武汉市高考数学模拟试卷(5月份)(含解析)
2020届湖北省武汉市高考数学模拟试卷(5月份)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|y=lnx}，B={x∈N|x≤3}，则()A. B⊆AB. A∪B={x|x>0}C. A⊆BD. A∩B={1,2，3}2.双曲线的一个焦点为(−10,0)，离心率e=53，则此双曲线的标准方程为()A. x26−y24=1 B. x236−y264=1 C. x210−y220=1 D. x264−y236=13.在复平面内，复数z的对应点为(1,−1)，则z2=()A. √2B. −√2C. 2iD. −2i4.10.同学们研究制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，则同学们()A. 不能作出这样的三角形B. 能作出一个锐角三角形C. 能作出一个直角三角形D. 能作出一个钝角三角形5.哈六中消防演练期间，安排6位学生志愿者到4个安全出口提供服务，要求甲、乙两个安全出口各安排一个同学，剩下两个安全出口各安排两个同学，其中的小李同学和小王同学不在一起，不同的安排方案共有()A. 168种B. 156种C. 172种D. 180种6.已知函数y=f(x)，y=g(x)的图象如图所示，则函数y=g[|f(x)|]的大致图象是()A. B.C. D.7. 已知数列{a n −n}的前n 项和为S n ，且∑[n i=1a i+1+(−1)i a i ]=n 2，S 2018=1，则a 1=( )A. 32B. 12C. 52D. 28. 三棱锥又称四面体，则在四面体A −BCD 中，可以当作棱锥底面的三角形有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9. 扇形的半径为1，圆心角90°.点C ，D ，E 将弧AB 等分成四份．连接OC ，OD ，0E ，从图中所有的扇形中随机取出一个，面积恰为π8的概率是( )A. 310 B. 15 C. 25 D. 1210. 设点P 为抛物线y 2=16x 的焦点，直线l 是离心率为√2的双曲线的一条渐近线，则点P 到直线l 的距离为( )A. √2128B. 12C. 2√2D. 2411. 设x ，y 满足{2x +y ≤4x −y ≥−1x ≤2y +2，则z =x +y 的最小值为( )A. −8B. −7C. −6D. −512. 已知函数f(x)={2x+2+a,x ≤0f(x −1)+1,x >0，若对任意的a ∈(−3,+∞)，关于x 的方程f(x)=kx 都有3个不同的根，则k 等于( )A. 1B. 2C. 3D. 4二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在等差数列{a n }中，a 15=33，a 25=66，则a 35= ______ ． 14. 若向量相互垂直，则点(2,3)到点(x,y)的距离的最小值为 ．15. 函数f(x)满足：对任意的x ，均有f(x +3π2)=−1f(x)，当x ∈[−π,π]时，f(x)=xsinx ，则f(−8.5π)= ______ ． 16. 已知直线l ，m 和平面，下列命题中正确的命题的个数为 ．①若l//，，则l//m；②若l//m，，则l//；③若，则；④若，，则．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知函数f(x)=2cos2x+2√3sinxcosx．(1)求f(x)的最大值和最小正周期T；)=3，且a=1，求△ABC面(2)在△ABC中，内角A、B、C的所对的边分别为a、b、c，已知f(A2积的最大值．18.在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，已知PA=AD=2AB=4，Q是线段PD上一点，PC⊥AQ．(1)求证AQ⊥面PCD；(2)求PC与平面ABQ所成角的正弦值大小．19. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦点与双曲线x 22−y22=1的焦点重合，过椭圆C 的右顶点B 任作一条直线l ，交抛物线y 2=4x 于A ，B 两点，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， (1)试求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的右焦点且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，M ，N 是椭圆C 上位于直线PQ 两侧的两点．若∠MPQ =∠NPQ ，求证：直线MN 的斜率k MN 为定值．20. 某校在2015年11月份的高三期中考试后，随机地抽取了50名学生的数学成绩并进行了分析，结果这50名同学的成绩全部介于80分到140分之间．现将结果按如下方式分为6组，第一组[80,90)，第二组[90,100)，…，第六组[130,140]，得到如图所示的频率分布直方图． (I)求a 的值；(II)这50名学生中成绩在120分以上的同学中任意抽取3人，该3人在130分(含130分)以上的人数记为X ，求X 的分布列和期望．21.已知函数f(x)=xlnx(e为无理数，e=2.718)(I)求函数f(x)在点(e,f(e))处的切线方程；(Ⅱ)若k为正整数，且f(k)>(k−1)x−k对任意x>l恒成立，求k的最大值．22.解析几何之父笛卡尔是近代法国哲学家、物理学家、数学家，笛卡尔与瑞典公主克里斯汀有着一段关于“心形曲线”的凄美爱情故事…如图所示的“心形曲线”的极坐标方程是ρ=a(1−sinθ)，当a=1，记该“心形曲线”为C1．(1)圆ρ=sinθ与C1相交于异于的A，B两点，求|AB|；(2)设P，Q是“心形曲线”C1上的两点，O为极点，求△POQ面积的最大值．a n，n∈N∗23.已知各项都是正数的数列{a n}的前n项和为S n，S n=a n2+12(1)求数列{a n}的通项公式；}的前n项和T n；(2)设数列{b n}满足：b1=1，b n−b n−1=2a n(n≥2)，求数列{1b n≤λ(n+8)对任意的n(n≥2,n∈N∗)恒成立，求λ的取值范围．(3)在(2)的条件下，若T n−12【答案与解析】1.答案：D解析：解：∵集合A={x|y=lnx}={x|x>0}，B={x∈N|x≤3}={0,1，2，3}，∴A∩B={1,2，3}．故选：D．求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：B解析：本题以双曲线的简单性质为载体，考查双曲线的标准方程，是中档题．先确定双曲线为焦点在x轴上的双曲线，利用待定系数法，根据双曲线的一个焦点是(−10,0)，离心率e=53，即可求得．解：由题意，可设双曲线方程为x2a2−y2b2=1．由题设可知，c=10，ca =53，∴a=6，∵b2=c2−a2∴b2=64．故双曲线方程为：x236−y264=1．故选：B．3.答案：D解析：解：复数z的对应点为(1,−1)，∴z=1−i．则z2=(1−i)2=−2i．故选：D．复数z 的对应点为(1,−1)，可得z =1−i.再利用复数的运算法则即可得出． 本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.答案：D解析：5.答案：B解析：解：根据题意，分2步进行分析：①，将6人分成1、1、2、2的四组，其中的小李同学和小王同学不在同一组， 将6人分成1、1、2、2的四组，有C 61C 51C 42C 22A 22A 22=45种分组方法，其中小李和小王在同一组的分法有C 42C 21C 11A 22=6种，则小李同学和小王同学不在同一组的分法有45−9=39种；②，将2个1人的组全排列，安排在甲、乙两个安全出口，有A 22=2种安排方法， 将2个2人的组全排列，安排在剩下的两个安全出口，有A 22=2种安排方法， 则有39×2×2=156种不同的安排方法， 故选：B ．根据题意，分2步进行分析：①，将6人分成1、1、2、2的四组，其中的小李同学和小王同学不在同一组，②，将2个1人的组全排列，安排在甲、乙两个安全出口，将2个2人的组全排列，安排在剩下的两个安全出口，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，注意要先分组，再进行排列，属于基础题．6.答案：D解析：解：由已知中函数y =g(x)的图象可得： 当x =±1时，y =0，由函数y =f(x)的图象可得：|f(x)|=−1无解，但|f(x)|=1有三个解，故函数y =g[|f(x)|]有三个零点，可排除C ；由已知中函数y =g(x)的图象可得： 当x =0时，y =−1，由函数y =f(x)的图象可得：|f(x)|=0有两个解−2和0，故函数y =g[|f(x)|]图象与y =−1有两个交点(−2,−1)和(0,−1)，可排除A ，B ； 故选：D结合已知中函数y =f(x)，y =g(x)的图象，分析函数y =g[|f(x)|]的零点个数及与直线y =−1的交点坐标，进而可得答案．本题考查的知识点是函数的图象，其中根据已知函数图象分析复合函数的图象形状及关键点坐标是解答的关键．7.答案：A解析：解：依题意，a n+1+(−1)n a n =n 2−(2n −1)2=2n −1．当n 为奇数时，{a n+1−a n =2n −1a n+2+a n+1=2n +1⇒a n +a n+2=2；当n 为偶数时，{a n+1+a n =2n −1a n+2−a n+1=2n +1⇒a n +a n+2=4n ．∵S 2018=a 1+a 2+a 3+⋯+a 2018−(1+2+3+⋯+2018)=1，即a 1+a 2+⋯+a 2018=2018(1+2018)2+1=1009×2019+1，又a 1+a 2+⋯+a 2018=(a 1+a 3+a 5+⋯+a 2017)+(a 2+a 4+a 6+⋯+a 2018)=(a 1+2×504)+[1+a 1+252×(16+2016×4)]=1+2a 1+1008×2021=1009×2019+1，解得：a 1=32． 故选：A ．依题意，a n+1+(−1)n a n =n 2−(2n −1)2=2n −1，对n 分奇数和偶数进行讨论，利用数列的前n 项和公式可得关于a 1的方程，解方程即可得到答案． 本题考查数列递推关系式的运用，属于一道有难度的题．8.答案：D解析：在四面体A −BCD 中，任何一个面(三角形)都可以当作棱锥底面，即可得出． 本题考查了对三棱锥底面的理解，属于基础题．解：在四面体A −BCD 中，任何一个面(三角形)都可以当作棱锥底面． 因此在四面体A −BCD 中，可以当作棱锥底面的三角形有4个． 故选：D ．9.答案：A解析：解：由已知中扇形的半径为1，圆心角90°.点C ，D ，E 将弧AB 等分成四份 可得每个小扇形的面积为π16则图中共有面积为π16的扇形4个，面积为π8的扇形3个，面积为3π16的扇形2个，面积为π4的扇形1个，共10个故图中所有的扇形中随机取出一个，面积恰为π8的概率P =310 故选A ．根据已知中扇形的半径为1，圆心角90°.点C ，D ，E 将弧AB 等分成四份，我们计算出图中所有的扇形的个数，及面积恰为π8的扇形的个数，代入古典概型概率计算公式即可得到答案．本题考查的知识点是古典概型，其中计算出满足条件的基本事件个数及基本事件的总个数是解答本题的关键．10.答案：C解析：解：点P 为抛物线y 2=16x 的焦点，则点P(4,0)， ∵直线l 是离心率为√2的双曲线的一条渐近线， ∴e 2=c 2a 2=b 2a 2+1=2， 解得b a =1，∴双曲线的一条渐近线方程为y =x ， ∴点P 到直线l 的距离为d =√12+12=2√2，故选：C根据抛物线的定义可求出焦点坐标，再根据双曲线的定义求出准线方程，再根据点到直线的距离公式即可求出本题考查抛物线和双曲线的简单性质以及点到直线的距离，属于基础题．11.答案：B解析：解：由约束条件{2x +y ≤4x −y ≥−1x ≤2y +2得如图所示的三角形区域，令x +y =z ，y =−x +z ，显然当平行直线过点B 时，z 取得最小值；由{x −y =−1x =2y +2，可得B(−3,−4)， 此时z =−7． 故选：B ．先画出约束条件{2x +y ≤4x −y ≥−1x ≤2y +2的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数x +y 的最小值． 在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．12.答案：C解析：本题主要考查方程根的个数的应用，利用数形结合以及特殊值法是解决本题的关键．本题综合性较强，难度较大，如果正面求解，一般无法寻找突破口．根据a 取值的任意性，利用特殊值法，结合数形结合即可得到结论．解：∵对任意的a ∈(−3,+∞)，关于x 的方程f(x)=kx 都有3个不同的根， ∴不妨设a =0，则x ≤0时，f(x)=2x+2，若0<x ≤1，则−1<x −1≤0，则f(x)=f(x −1)+1=2x+1+1，若1<x ≤2，则0<x −1≤1，则f(x)=f(x −1)+1=2x +2，若2<x ≤3，则1<x −1≤2，则f(x)=f(x −1)+1=2+3，x−1+4，若3<x≤4，则2<x−1≤3，则f(x)=f(x−1)+1=2x−2…作出f(x)的图象如图：当k=1时，f(x)与y=x只有一个交点，不满足条件，当k=2时，f(x)与y=2x有四个交点，不满足条件，当k=3时，f(x)与y=3x有三个交点，满足条件，当k=4时，f(x)与y=4x只有两个交点，不满足条件，故k=3，故选C．13.答案：99解析：解：由等差数列的性质可知，a15，a25，a35成等差数列∴2a25=a15+a35∵a15=33，a25=66，∴a35=2×66−33=99．故答案为：99由等差数列的性质可知，a15，a25，a35成等差数列，结合已知可求本题主要考查了等差数列的性质的简单应用，属于基础试题14.答案：解析：试题分析：由已知得：，所以点(2,3)到点(x,y)的距离的最小值即为点到直线的距离：．考点：1、向量的数量积及向量的垂直关系；2、点到直线的距离．15.答案：π2解析：解：∵f(x+3π2)=−1f(x)，∴f(−8.5π)=−1f(−7π)=f(−11π2)=−1f(−4π)=f(−52π)=−1f(−π)=f(π2)，或∵f(x+3π2)=−1f(x)，∴f(x+3π)=f(x)，函数f(x)的周期是3π，∴f(−8.5π)=f(π2)，当x∈[−π,π]时，f(x)=xsinx，则f(−8.5π)=f(π2)=π2，故答案为：π2．根据f(x+3π2)=−1f(x)，求出f(−8.5π)=f(π2)，代入函数表达式，求出即可．本题考查了函数的周期性，考查求函数值问题，是一道基础题．16.答案：1解析：①若l//，，则l//m或者l，m异面，故错误；②若l//m，，则l//或者l在α内，故错误；③若，则或者l与α倾斜着相交，故错误；④由线面垂直的性质定理可知正确。
2019-2020年湖北省武汉市高考数学模拟试卷(文科)(5月份) (2)
2019-2020年湖北省武汉市武昌区高考数学模拟试卷（文科）（5月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|﹣l＜x＜l），B＝{x|x2﹣2x≤0），则A∩B＝（）A．[0，1）B．[﹣1，2] C．[﹣2，1）D．（﹣1，0]2．（5分）（）A．B．C．D．3．（5分）已知变量x与y负相关，且由观测数据得到样本的平均数3，2.7，则由观测数据得到的回归方程可能是（）A．0.2x+3.3 B．0.4x+1.5C．2x﹣3.3 D．2x+8.64．（5分）已知实数x，y，满足约束条件，若z＝﹣2x+y的最大值为（）A．﹣6 B．﹣4 C．2 D．35．（5分）如图，某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）A．B．C．D．36．（5分）给出下列三个命题（1）“若x2+2x﹣3≠0，则x≠1”为假命题；（2）命题p：∀x∈R，2x＞0，则￢p：∃x0∈R，0（3）“φkπ（k∈Z）”是“函数y＝sin（2x+φ）为偶数”的充要条件．其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．37．（5分）设，则a，b，c的大小顺序为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a8．（5分）已知正四棱锥P﹣ABCD的所有顶点都在球O的球面上，PA＝AB＝2，则球O的表面积为（）A．2πB．4πC．8πD．16π9．（5分）如果关于x的方程有4个不同的实数解，则实数k的取值范围是（）A．B．C．（1，+∞）D．10．（5分）已知F1，F2分别为双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左，右焦点，点P是C右支上一点，若0，且cos∠PF1F2，则C的离心率为（）A．5 B．4 C．D．11．（5分）将函数f（x）＝sin（）﹣2cos2x+1的图象向左平移2个单位，得到函数y＝g（x）的图象，当x∈[0，]时，g（x）的最小值为（）A．B．0 C．D．12．（5分）已知点C为扇形AOB的弧上任意一点，且∠AOB＝120°，若（λ，μ∈R），则λ+μ的取值范围为（）A．[﹣2，2] B．（1，] C．[1，] D．[1，2]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知sin（x），则cos x+cos（）＝14．（5分）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率为，乙获胜的概率为，甲获胜的概率是，甲不输的概率．15．（5分）已知点P（﹣3，3），过点M（3，0）作直线，与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则k1+k2＝16．（5分）如图，四边形ABCD中，AB＝4，BC＝5，CD＝3，∠ABC＝90°，∠BCD＝120°，则AD的长为三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知数列{a n}的各项均为正数，前n项和为S n，满足a n2+2a n＝4S n﹣1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝a n+2n，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥CD，AD⊥DC，AB＝AD＝l，DC＝2，SD，E为棱SB的中点．（1）求证：SC⊥平面ADE；（2）求点B到平面AEC的距离，19．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值．经数据处理后得到该样本的频率分布直方图，其中质量指标值不大于1.50的茎叶图如图所示，以这100件产品的质量指标值在各区间内的频率代替相应区间的概率．（1）求图中a，b，c的值；（2）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（说明：①同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；②方差的计算只需列式正确）；（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于1.50的产品至少要占全部产品的90%”的规定？20．（12分）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（1，）．（l）求C的方程；（2）设过点P（2，0）的直线，与C相交于A、B两点（点B在点P和点B之间），若S△OPA＝λS△OPB，求λ的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝（x+m）lnx+l在x处取得极值．（1）求f（x）的解析式及单调区间；（2）若f（x）≥ax+b对任意的a＞0，b∈R恒成立，证明ab．参考数据：e≈2.71828．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线，的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ，直线l与x轴交于点P，与曲线C交于两点M，N．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）求的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝|x﹣1|+|2x+3|．（1）求不等式f（x）＞4的解集；（2）若关于x的不等式|x+l|﹣|x﹣m|≥|t﹣1|+|2t+3|（t∈R）能成立，求实数m的取值范围．2019年湖北省武汉市武昌区高考数学模拟试卷（文科）（5月份）参考答案与解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：B＝{x|0≤x≤2}；∴A∩B＝[0，1）．故选：A．2．【解答】解：．故选：A．3．【解答】解：变量x与y负相关，排除选项B，C；回归直线方程经过样本中心，把3，2.7，代入A成立，代入D不成立．故选：A．4．【解答】解：实数x，y，满足约束条件，的可行域如图所示：联立，解得A（1，4）．化目标函数z＝2x﹣y为y＝2x﹣z，由图可知，当直线y＝2x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为﹣2×1+4＝2．故选：C．5．【解答】解：根据几何体得三视图转换为几何体为：故：V．故选：A．6．【解答】解：（1）若命题“若x＝1，则x2+2x﹣3＝0”是真命题，所以其逆否命题亦为真命题，因此（1）不正确；（2）根据含量词的命题否定方式，可知命题（2）正确．（3）当时，则函数）为偶函数；反之也成立．故“”是“函数y＝sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件；综上可知：真命题的个数2．故选：C．7．【解答】解：∵log2，，．∴b＞a＞c．故选：B．8．【解答】解：∵正四棱锥P﹣ABCD的所有顶点都在球O的球面上，PA＝AB＝2，∴连结AC，BD，交于点O，连结PO，则PO⊥面ABCD，OA＝OB＝OC＝OD，OP，∴O是球心，球O的半径r，∴球O的表面积为S＝4πr2＝8π．故选：C．9．【解答】解：方程①（1）由方程的形式可以看出，x＝0恒为方程①的一个解（2）当x＜0且x≠﹣2时方程①有解，则即kx2+4kx+1＝0当k＝0时，方程kx2+4kx+1＝0无解；当k≠0时，△＝16k2﹣4k≥0即k＜0或k时，方程kx2+4kx+1＝0有解．设方程kx2+4kx+1＝0的两个根分别是x1，x2则x1+x2＝﹣4，x1x2．当k时，方程kx2+4kx+1＝0有两个不等的负根；当k时，方程kx2+4kx+1＝0有两个相等的负根；当k＜0时，方程kx2+4kx+1＝0有一个负根．（3）当x＞0时，方程①有解，则，kx2+4kx﹣1＝0当k＝0时，方程kx2+4kx﹣1＝0无解；当k≠0时，△＝16k2+4k≥0即k＞0或k时，方程kx2+4kx﹣1＝0有解．设方程kx2+4kx﹣1＝0的两个根分别是x3，x4∴x3+x4＝﹣4，x3x4．∴当k＞0时，方程kx2+4kx﹣1＝0有一个正根，当k时，方程kx2+4kx+1＝0没有正根综上可得，当k∈（，+∞）时，方程有4个不同的实数解．10．【解答】解：在三角形PF1F2中，因为0，所以∠F1PF2＝90°，∴PF1＝F1F2•cos∠PF1F2＝2c•，PF2＝F1F2•sin∠PF1F2＝2c•，∴2a＝PF1﹣PF2，∴e5．故选：A．11．【解答】解：∵f（x）＝sin（）﹣2cos2x+1＝sin（）﹣cos x sincos x sin（x）∵f（x）的图象向左平移2个单位，得到函数y＝g（x）sin（x）sin （x）当x∈[0，]时，x根据正弦函数的性质可知，g（x）即最小值为故选：C．12．【解答】解：设半径为1，由已知可设OB为x轴的正半轴，O为坐标原点，建立直角坐标系，其中A（，）；B（1，0）；C（cosθ，sinθ）（其中∠BOC＝θ（0≤θ≤2）有（λ，μ∈R）即：（cosθ，sinθ）＝λ（，）+μ（1，0）；整理得：λ+μ＝cosθ；λ＝sinθ，解得：λ，μ＝cosθ，则λ+μcosθsinθ+cosθ＝2sin（θ），其中（0≤θ≤2）；易知λ+μcosθsinθ+cosθ＝2sin（θ）为增函数，由单调性易得其值域为[1，2]故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．【解答】解：已知sin（x）sin x cos x，则cos x+cos（）＝cos x cos x sin x（sin x cos x）•，故答案为：．14．【解答】解：甲获胜和乙不输是对立互斥事件，∴甲获胜的概率是1﹣（），甲不输与乙获胜对立互斥事件．∴甲不输的概率是1，故答案为：，．15．【解答】解：设直线x＝my+3，联立抛物线方程可得y2﹣4my﹣12＝0，设A（，y1），B（，y2），可得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣12，则k1+k2═1．故答案为：﹣1．16．【解答】解：连接AC，BD∵AB＝4，BC＝5，∠ABC＝90°，∴AC，cos∠BCA，sin∠BCA，∵∠BCD＝120°，∴cos∠ACD＝cos（120°﹣∠ACB），△ACD中，由余弦定理可得，AD2＝AC2+CD2﹣2AC•CD•cos∠ACD65﹣12，∴AD故答案为：三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．【解答】解：（1）∵a n2+2a n＝4S n﹣1，∴1+a n2+2a n＝4S n，1+a n﹣12+2a n﹣1＝4S n﹣1，两式相减可得，，∴，∵a n＞0，∴a n﹣a n﹣1＝2，∵a12+2a1＝4S1﹣1，解可得a1＝1，∴数列{a n}是以1为首项，以2为公差的等差数列，∴a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；（2）由（1）可知，b n＝2n﹣1+2n，∴T n＝（1+3+…+2n﹣1）+（2+22+…+2n），，＝n2+2n+1﹣2．18．【解答】证明：（1）由AD⊥平面SDC，得AD⊥SC，取BC的中点F，连结EF，AF，∵AB＝AD＝l，DC＝2，SD，E为棱SB的中点．∴在△AEF中，AE＝1，EF，AF，∴AE⊥EF，∴AE⊥SC，∵EF∩SC＝F，∴SC⊥平面ADE．解：（2）AC，EC，，，设点B到平面AEC的距离为h，∵V B﹣AEC＝V E﹣ABC，∴，解得h，∴点B到平面AEC的距离为．19．【解答】解：（1）由频率分布直方图和茎叶图得：，解得a＝0.5，b＝1，c＝1.5．（2）估计这种产品质量指标值的平均数为：1.35×0.5×0.1+1.45×1×0.1+1.55×3×0.1+1.65×4×0.1+1.75×1.5×0.1＝1.6，估计这种产品质量指标值的方差为：S2＝（1.35﹣1.6）2×0.05+（1.45﹣1.6）2×0.1+（1.55﹣1.6）2×0.4+（1.75﹣1.6）2×0.15＝0.0105．（3）∵质量指标值不低于1.50的产品占比为：0.30+0.40+0.15＝0.85＜0.9，∴不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于1.50的产品至少要占全部产品的90%”的规定．20．【解答】解：（1）∵椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（1，）．∴，解得a，b＝1，∴C的方程为1．（2）由题意得直线l的斜率存在且不为0，设其方程为x＝my+2，联立，得（2+m2）y2+4my+2＝0，∵过点P（2，0）的直线，与C相交于A、B两点，∴△＝16m2﹣8（2+m2）＞0，解得m2＞2，设A（x1，y1），B（x2，y2），得，y1y2，（*）由S△OPA＝λS△OPB，得，由m2＞2，得，∴，解得0，且λ≠1．∴λ的取值范围是（0，1）∪（1，3+2）．21．【解答】解：（1）∵f（x）＝（x+m）lnx+l，∴f'（x）（x＞0），∵f（x）在x处取得极值，∴，∴m＝0，∴f（x）＝xlnx+1，∴f'（x）＝lnx+1，∵当0＜x时，f'（x）＜0；当x时，f'（x）＞0，∴f（x）的单调减区间为（1，），单调增区间为（，）（2）f（x）≥ax+b，即xlnx+1﹣ax﹣bgeq0，令g（x）＝xlnx+1﹣ax﹣b，则g'（x）＝lnx+1﹣a，由g'（x）＞0，得x＞e a﹣1，∴g（x）min＝g（e a﹣1）＝﹣e a﹣1+1﹣b，由g（x）min≥0，得b≤1﹣e a﹣1，∴ab≤a﹣ae a﹣1，其中a＞0，令h（x）＝x﹣xe x﹣1（x＞0），则，∵h'（0）＝10，h'（）0，∴存在，使h（x0）＝0，即，∴h（x）max＝h（x0）＝x0﹣x0e x0﹣1＝（x0+1）2，∵，∴，∴ab．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（1）由ρ＝2sinθ，得ρ2＝2ρsinθ，把ρ2＝x2+y2，y＝ρsinθ代入，可得x2+y2﹣2y＝0．∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2y＝0；（2）将直线l的参数方程代入圆的方程，得t2+（2cosα﹣2sinα）t+1＝0．由△＝（2cosα﹣2sinα）2﹣4＞0，得sin2α＜0，且t1+t2＝﹣2cosα+2sinα，t1t2＝1．∴．∴的取值范围是（﹣2，6]．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（1）由题意可得|x﹣1|+|2x+3|＞4，当x≥1时，x﹣1+2x+3＞4，解得x≥1；当x＜1时，1﹣x+2x+3＞4，解得0＜x＜1；当x时，1﹣x﹣2x﹣3＞4，解得x＜﹣2．可得原不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）；（2）由（1）可得|t﹣1|+|2t+3|，可得t时，|t﹣1|+|2t+3|取得最小值，关于x的不等式|x+l|﹣|x﹣m|≥|t﹣1|+|2t+3|（t∈R）能成立，等价为|x+l|﹣|x﹣m|的最大值，由|x+l|﹣|x﹣m|≤|m+1|，可得|m+1|，解得m或m．。
2020年湖北省高三(5月)调研模拟考试文科数学试卷(答案)
2020 年湖北省高三（5 月）调研模拟考试
文科数学参考答案
一、选择题
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
答案 C A C C B C B D D A A D
二、填空题
13. x y 2 0 14.
15. ᧳
粘贴在答题卡上 的指定位置 。
2.选择题 的作答 :每 小题选 出答 案后 ,用 2B铅 笔 把答 题 卡上 对应 题 目的答 案标 号涂
黑 。写在试题卷 、草稿纸和答题卡上 的非答题 区域均无效 。 3.非 选择题 的作答 :用 签字笔 直接答在答 题 卡上对应 的答 题 区域 内。写在试 题卷 、草
C· 一钅卜
手 D。
5.如 图 ,网 格纸上每个小格都是边长为 1 的正方形 ,粗线 画 出的是一个几何体 的三视 图 ,则 该几何体 的体积为
A.1
B.争
昔 C。
D.÷
6.若 △⒕BC三 边长分别为 3,5,7,则 △⒕BC的 面积为
⒏f
7.某 校 随机抽取 1CXl名 同学进行 “垃圾分类 ”的问卷测试 ,测 试结果发现这 100名 同学 的得
是符合题 目要求的。
1.设 全集 σ=N丰 ,集 合⒕={1,2,3,4,5},B={2,4,6,8},则 图中的阴影部分表示的集合为
A.{1,3,5}
B.{2,4}
C.{6,8}
D.{2,4,6,8}
2.已 知 i是 虚数单位,复 数 z满 足(i+1)z=i,则 z的 虚部是
÷ A·
:· ÷i
C.÷i
2020年湖北省高考数学模拟试卷(文科)(5月份)(含答案解析)
2020年湖北省高考数学模拟试卷（文科）（5月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设全集，集合2，3，4，，4，6，，则图中的阴影部分表示的集合为A. 3，B.C.D.4，6，2.已知i是虚数单位，复数，则z的虚部为A. B. C. D.3.已知数列的前项和，则A. 13B. 14C. 15D. 164.若则A. B. C. D.5.如图所示，网格纸上每个小格都是边长为1的正方形，粗线画出的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为A. 4B. 2C.D.6.若三边长分别为3，5，7，则的面积为A. B. C. D.7.某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这l00名同学的得分都在内，按得分分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图则这100名同学的得分的中位数为A. B. 75 C. D. 808.中，点D为BC的中点，，M为AD与CE的交点，若，则实数A. B. C. D.9.甲、乙、丙、丁四人等可能分配到A、B、C三个工厂工作，每个工厂至少一人，则甲、乙两人不在同一工厂工作的概率为A. B. C. D.10.函数的值域为A. B.C. D.11.已知函数在有且仅有4个零点，则的取值范围为A. B. C. D.12.已知存在唯一零点，则实数a的取值范围A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知直线l过圆的圆心且与直线垂直．则l的方程是______．14.已知双曲线的左焦点关于直线的对称点P在双曲线上．则双曲线C的离心率为______．15.半径为2的球O内内置一圆锥，则此圆锥的体积最大值为______．16.已知函数是定义在的单调函数，对定义域内任意x，均有，则函数在点处切线的纵截距为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列的前n项和为，且满足求数列的通项公式；若，求数列的前n项和．18.已知如图1直角中，，，，点D为AB的中点，，将沿CD折起，使面面BCD，如图2．求证：；图2中，求C点到平面ADF的距离．19.如图，已知椭圆的左、右焦点分别为、，，Q是y轴的正半轴上一点，交椭圆于P，且，的内切圆半径为1．求椭圆C的标准方程；若N点为圆M上一点，求的取值范围．20.年份2013201420152016201720182019年份代号x1234567平均价格单位：千元吨从表中数据可认为和线性相关性较强，求出以为解释变量为预报变量的线性回归方程系数精确到；以的结论为依据，预测2032年该原料价格．预估该原料价格在哪一年突破1万元吨？参考数据：，，，；参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．21.已知函数．若，求过点且与相切的直线方程；若，证明：．22.在直角坐标系中xOy，曲线E的参数方程为为参数，若以直角坐标系中的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线F的极坐标方程为为参数．求曲线E的普通方程和曲线F的直角坐标方程；若曲线E与曲线F有公共点，求t的取值范围．23.已知函数，的解集为M．求M；若，，且，证明：．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：根据条件及图形，即可得出阴影部分表示的集合为：．故选：C．由韦恩图可知阴影部分表示的集合为，根据集合的运算求解即可．本小题主要考查Venn图表达集合的关系及运算、Venn图的应用等基础知识，考查数形结合思想．属于基础题．2.答案：C解析：解：，则z的虚部为：．故选：C．直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3.答案：C解析：解：数列的前项和，，．则．故选：C．数列的前项和，可得，，即可得出．本题考查了数列的递推关系、通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.答案：C解析：解：，可得，．故选：C．由已知利用诱导公式可得，进而根据诱导公式，二倍角的余弦函数公式即可求解．本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．5.答案：D解析：解：如图三棱锥是该几何体的直观图，三棱锥的高为2，底面三角形ABC的底边长为1，高为2，则此几何体的体积为，故选：D．通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即可．本题考查三视图与几何体的关系，考查几何体的体积的求法，考查计算能力．6.答案：C解析：解：可设的三边分别为，，，由余弦定理可得，，可得，可得的面积为．故选：C．可设的三边分别为，，，运用余弦定理可得cos C，由同角的平方关系可得sin C，进而根据三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式以及三角形的面积公式的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．7.答案：A解析：解：由频率分布直方图得：的频率为：，的频率为：，这100名同学的得分的中位数为：．故选：A．由频率分布直方图求出的频率为，的频率为，由此能求出这100名同学的得分的中位数．本题考查中位数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.答案：D解析：解：如图，D为BC的中点，，又，且，，且E，M，C三点共线，，解得．故选：D．根据D为BC的中点可得出，再根据即可得出，而根据E，M，C三点共线即可得出，解出即可．本题考查了向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，向量的数乘运算，三点A，B，C共线，且时，，考查了计算能力，属于基础题．9.答案：D解析：解：甲、乙、丙、丁四人等可能分配到A、B、C三个工厂工作，每个工厂至少一人，基本事件总数，甲、乙两人在同一工厂工作包含的基本事件个数，则甲、乙两人不在同一工厂工作的概率为．故选：D．基本事件总数，甲、乙两人在同一工厂工作包含的基本事件个数，由此利用对立事件概率计算公式能求出甲、乙两人不在同一工厂工作的概率．本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.答案：A解析：解：由，解得．可得函数的定义域为：．．令，解得，可得为极小值点，，，．函数的值域为．故选：A．由，解得可得函数的定义域为：利用导数研究函数的单调性即可得出值域．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值最值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.答案：A解析：解：函数在有且仅有4个零点，此时，，，求得，故选：A．由题意利用正弦函数的零点，正弦函数的周期性，可得，由此得出结论．本题主要考查正弦函数的零点，正弦函数的周期性，属于基础题．12.答案：D解析：解：由题意知，存在唯一零点，只有一个零点0．，是奇函数，故只考虑当时，函数无零点即可．当时，有，令，，则，，，，在上单调递增，，．故选：D．先由题设条件得到，再研究的奇偶性，把问题转化为当时，函数无零点．利用放缩法与单调性求出a的取值范围．本题主要考查函数的性质及导数的综合应用，属于基础题．13.答案：解析：解：根据题意，圆的圆心为，直线l与直线垂直，则直线l的斜率，则直线l的方程为，变形可得；故答案为：．根据题意，求出圆的圆心，由直线垂直与斜率的关系可得直线l的斜率，由直线的点斜式方程即可得答案．本题考查直线的点斜式方程以及圆的一般方程，注意分析圆的圆心，属于基础题．14.答案：解析：解：设左焦点关于的对称点为，由题意可得解得：，，即，而P在双曲线上，，即，整理可得，即，整理可得：，所以离心率，故答案为：．设左焦点的对称点P的坐标，由对称点之间的关系求出P的坐标，代入双曲线的方程可得a，c的关系，进而求出离心率．本题考查双曲线的性质及对称点的求法，属于中档题．15.答案：解析：解：设圆锥的高是h，过球心的一个轴截面如图：则圆锥的底面半径，圆锥的体积，，由解得，，由导数的性质知，当时，圆锥的体积最大．最大值为：．故答案为：．画出过球心的一个轴截面，有图找出圆锥的高和底面半径之间的关系式，再代入圆锥的体积公式，利用求它的导数和导数为零的性质，求出圆锥体积最大时圆锥的高．本题是有关旋转体的综合题，需要根据轴截面和体积公式列出函数关系，再由导数求出函数最值问题，考查了分析和解决问题的能力．16.答案：解析：解：函数对定义域内的任意x，均有，则是定值，不妨令，则，由在递增，且，可得的解为，，则，在点处切线的斜率为，切点为，则在点处切线方程为，可令，可得．故答案为：．由题意得是定值，令，得到，求出t的值，从而求出的表达式，求得的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程，再令，计算可得所求纵截距．本题主要考查导数的运用：求切线的方程，考查函数的解析式的求法和方程的解法，注意运用函数的单调性，考查方程思想和运算能力，本题是一道中档题．17.答案：解：由题意，当时，，解得，当时，由，可得，两式相减，可得，即，数列是以为首项，为公比的等比数列，故，．由知，，当n为偶数时，为奇数，，当n为奇数时，为偶数，，综上所述，可得．解析：本题第题先将代入题干表达式得到的值，当时，由，可得，两式相减并进一步计算转化可得到数列是以为首项，为公比的等比数列，由此可计算出数列的通项公式；第题先根据第题的结果计算出数列的通项公式，然后分n为偶数和n为奇数两种情况分别运用分组求和法求和，最后综合可得前n项和．本题主要考查数列求通项公式，以及正负号交错出现的数列的求和问题．考查了转化与化归思想，分类讨论思想，分组求和法，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．18.答案：解：证明：在三棱锥中，取CD 中点E，连结AE，在中，，，，，，又D为AB中点，，，，，，，，为直角三角形，，将没CD折起，使面面BCD，如图，由点E为CD的中点，在等边中，，面面，故AE面BCD，又面ACD，则．解：由，设C点到平面ADF的距离为h，由知点A到面CDF的距离为AE，则，，，由知，有，，点到平面ADF的距离．解析：取CD中点E，连结AE，推导出，面BCD，由此能证明．由，能求出C点到平面ADF的距离．本题考查线线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：设的内切圆M切，，PQ于E，F，G连接MG，MF，因为，因为，所以四边形MFGP为正方形，所以，设，，由，且，有，则，，由得，有，故，即，，所以椭圆的方程的标准方程：；设点，所以M到直线的距离为1，由直线的方程，即，所以，或舍，即，故圆M的方程为：，设圆上，由，，有，故的范围为解析：设内切圆与三角形各边的切点，再由直角三角形中，由勾股定理可得椭圆的a值，再由可得c的值，由a，b，c之间的关系求出椭圆的方程；由得直线的方程，由圆心到直线的距离为半径1，求出圆M的圆心坐标，可得圆的方程，设M的参数坐标，可得数量积的表达式，进而求出其取值范围．本题考查三角形的内切圆的半径与边长的关系，及求椭圆的标准方程的方法，数量积的求法，属于中难题．20.答案：解：，．，．关于x的线性回归方程为；年对应的年份代号为20，由可知，．故预测2030年该原料的价格为千克．又解不等式，得．故年份代号至少为24时，该原料价格才能突破1万元吨．年份代号为24时，对应2036年．故预估该原料价格在2036年突破1万元吨．解析：由已知数据求得与的值，可得线性回归方程；在中求得的线性回归方程中取，预测2032年该原料价格；求解不等式，可得该原料价格突破1万元吨的年份．本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．21.答案：解：若，则，，，点在上，当切点为时，，切线方程为，即，切点不为时，设切点为，，切线方程为，其过切点，有，易知是其一解，即，即，故点Q的横坐标，有，又，切线方程为，综合可知，有，故过点且与相切的直线方程为，或．，，，当，时，，单调递增，由，有在上单调递增，由，有，则，要证：，，即证，，，此式恒成立，故时，恒成立．解析：根据导数的几何意义，需要分类讨论，即可求出切线方程；判断函数的单调性，要证：，，只要证，根据正弦函数的性质即可证明．本题考查了切线方程，导数和函数的单调性的关系，不等式的证明，考查了运算能力和转化能力，属于难题．22.答案：解：曲线E的参数方程为为参数，所以，代入，得到．曲线F的极坐标方程为为参数，整理得，转换为直角坐标方程为．由于曲线E：经过点．所以点在直线上，所以．由于曲线E和曲线F相切时，，，．故t的范围是．解析：直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用直线和曲线的位置关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线和曲线的位置关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．23.答案：解：，则，由，可得当时，；当时，恒成立；当时，，综上可得，；证明：由可得，，，，且有，由，可得，即，可得，即为，可得，又，，故，即．解析：由绝对值的意义，运用零点分区间法，去绝对值，解不等式，求并集，即可得到所求解集；分别求得，，，，且有，由，可得，再由不等式的性质和两边平方法，化简变形，即可得证．本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想，考查不等式的证明，注意运用综合法和不等式的性质，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．。
2020年5月25日湖北省武汉市普通高中2020届高三毕业班高考模拟质量检测数学(文)试题(解析版)
绝密★启用前湖北省武汉市普通高中2020届高三毕业班下学期高考模拟质量检测数学(文)试题(解析版)2020年5月25日本试卷共5页，23题（含选考题）.★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，先将自已的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡指定的位置用2B 铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足，12z i i i +=++，则复数z =（ ）. A. 2i +B. 12i +C. 3i +D. 32i -【答案】B【解析】【分析】首先根据题意得到(1)(2)z i i i =++-，再化简即可得到答案.【详解】2(1)(2)2312z i i i i i i i =++-=++-=+.故选：B【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，属于简单题.2.已知集合103x A x x ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，{}2B x x =<，则A B =（ ）. A . {}21x x -<< B. {}32x x -<< C. {}21x x -<≤ D. {}21x x -≤≤ 【答案】C【解析】【分析】 首先分别解不等式103x x -≤+和2x <，再求交集即可. 【详解】因为(1)(3)01031303x x x x x x -+≤⎧-≤⇒⇒-<≤⎨+≠+⎩， 所以{}31A x x =-<≤. 因为222x x <⇒-<<，所以{}22B x x =-<<.{}21A B x x ⋂=-<≤. 故选：C【点睛】本题主要考查集合交集运算，同时考查了分式不等式和绝对值不等式的解法，属于简单题.3.某单位有职工160人，其中业务人员96人，管理人员40人，后勤服务人员24人，为了了解职工基本情况，要从中抽取一个容量为20的样本，如果采取分层抽样方式，那么抽到管理人员的人数为（ ）.A. 3B. 5C. 10D. 15【答案】B。
2020年湖北省武汉市部分学校高考数学模拟试卷(文科)(5月份) (含答案解析)
2020年湖北省武汉市部分学校高考数学模拟试卷(文科)(5月份)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 复数3+2i i=( )A. −2+3iB. −2−3iC. 2+3iD. 2−3i2. 设集合A ={x|2−x >0}，B ={x|x 2−3x +2<0}，若全集U =A ，则∁U B =( )A. (−∞,1]B. (−∞,1)C. (2,+∞)D. [2,+∞)3. 圆x 2+y 2−2x −8y +13=0的圆心到直线ax +y −1=0的距离为1，则a =( )A. −43B. −34C. √3D. 24. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且3S 1−2S 3=15，则a 3为( )A. 3B. −4C. −5D. 65. 如图，某几何体的主视图和左视图是全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为2的正方形，那么它的体积为( )A. 163 B.4 C. 83 D. 436. 已知sinα−cosα=13，则cos(π2−2α)=( )A. −89B. 23C. 89D. √1797. 已知向量a ⃗ =(1,√3)，向量a⃗ ,c ⃗ 的夹角是π3，a ⃗ ⋅c ⃗ =2，则|c ⃗ |等于( ) A. −2 B. 4 C. 2 D. −48. 从长度分别为2，3，4，5的线段中任取三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是( )A. 34B. 13C. 12D. 239. 已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2−y 2=2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|=2|PF 2|，则cos∠F 1PF 2等于( )A. 34B. 14C. 45D. 3510. 已知函数f(x)=sin x −lg |x|，则函数f(x)的零点个数为( )A. 3B. 5C. 6D. 711. 设函数f(x)=sin(ωx +φ)−cos(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为π，且f(−x)=f(x)，则A. f(x)在(0,π2)上单调递增 B. f(x)在(−π2,π2)上单调递减 C. f(x)在(0,π2)上单调递减D. f(x)在(−π2,π2)上单调递增12. 设函数f′(x)是奇函数f(x)(x ∈R)的导函数，f(−1)=0,当x >0时，xf′(x)−f(x)<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A. (−∞,−1)∪(0,1)B. (−1,0)∪(1,+∞)C. (−∞,−1)∪(−1,0)D. (0,1)∪(1,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若实数x,y 满足约束条件{x +2y ⩾0x −y ⩽0x −2y +2⩾0，则z =3x −y 的最小值等于_____．14. 已知函数f(x)=kx +lnx 在点(1,k)处的切线平行于x 轴，则k = ______ ．15. 直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，∠ACB =90°，∠BAC =30°，BC =1，AA 1=√6，M 是CC 1的中点，则异面直线AB 1与A 1M 所成角为______ ．16. △ABC 中，CA =1，CB =2，∠C =60°，则AB = ______ ，∠A = ______ ，S △ABC = ______ ． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 若进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的． (1)求进入商场的一位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率； (2)求进入商场的一位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率．=3n+1．18.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=5，a5=5.数列{b n}满足b1=−2，且b n+1−b na n(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)求数列{b n}的通项公式．19.如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD为平行四边形，BA=BP=BD=AP=2，DA=DP=√2．(1)求证：PA⊥BD；(2)求点C到平面PBD的距离．20.已知函数g(x)=e x−2ax−b，a，b∈R．(1)求函数g(x)的单调区间；(2)求函数g(x)在[0,1]上的最小值．21.已知点M为直线l1：x=−1上的动点，N(1,0)，过M作直线l1的垂线，交MN的中垂线于点P，记P点的轨迹为C．(1)求曲线C的方程；(2)若直线l2：y=kx+m与圆E：(x−3)2+y2=6相切于点D，与曲线C交于A，B两点，且D为线段AB的中点，求直线l2的方程．22.以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，点M的极坐标为(2,β)，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0,2π)．(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)过极点O和点M的直线与曲线C相交所得弦长为√3，求β的值及此时直线OM将曲线C分成的两段弧长之比．23.已知函数f(x)=|x−a2|+|x+2|，其中a∈R．(1)当a=−1时，求不等式f(x)≥6的解集；(2)若∀x∈R，使得f(x)>3a恒成立，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：【试题解析】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．直接由复数代数形式的乘除运算化简复数3+2ii，则答案可求．解：3+2ii =−i(3+2i)−i2=2−3i，故选D．2.答案：A解析：解不等式得出集合A、B，根据补集的定义写出∁U B.本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．解：集合A={x|2−x>0}={x|x<2}，B={x|x2−3x+2<0}={x|1<x<2}，若全集U=A，则∁U B={x|x≤1}=(−∞,1]．故选：A．3.答案：A解析：本题考查了直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，先根据圆的方程求出圆心坐标，在根据圆心到直线的距离为1列出方程，解方程求出a的值．解：圆x2+y2−2x−8y+13=0，得圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax+y−1=0的距离d=√a2+1=1，解得a=−43．故选A．解析：解：设数列{a n}的公差为d，∵3S1−2S3=15，∴3a1−2(3a1+3d)=15，化为：a1+2d=−5，∴a3=−5．故选：C．利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.答案：D解析：解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图中右上方等腰直角三角形为底面的三棱锥，底面面积S=12×2×2=2，高ℎ=2，故体积V=13Sℎ=43，故选：D．由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图中右上方等腰直角三角形为底面的三棱锥，代入棱锥体积公式，构造方程，解得答案．本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积，棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档．6.答案：C解析：解：∵sinα−cosα=13，∴两边平方，可得：1−2sinαcosα=19，可得：1−sin2α=19，∴cos(π2−2α)=sin2α=89．故选：C．由已知，利用二倍角公式可求sin2α的值，进而利用诱导公式即可化简求值得解．本题主要考查了二倍角公式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．解析：本题考查了平面向量数量积的应用问题，是基础题目．根据平面向量数量积运算的定义，即可求出对应的模长．解：∵向量a⃗=(1,√3)，∴|a⃗|=√12+(√3)2=2；又向量a⃗,c⃗的夹角是π3，a⃗⋅c⃗=2，∴|a⃗|⋅|c⃗|⋅cosπ3=2|c⃗|⋅12=2，∴|c⃗|=2．故选：C．8.答案：A解析：解：从长度分别为2，3，4，5的线段中任取三条，基本事件总数n=C43=4，以这三条线段为边可以构成三角形包含的基本事件的个数为m=3，∴以这三条线段为边可以构成三角形的概率p=mn =34．故选：A．从长度分别为2，3，4，5的线段中任取三条，由组合数公式求出基本事件总数，再求出以这三条线段为边可以构成三角形包含的基本事件的个数，由此利用等可能事件概率计算公式能求出以这三条线段为边可以构成三角形的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．9.答案：A解析：本题考查双曲线的性质，考查双曲线的定义，考查余弦定理的运用，属于中档题．根据双曲线的定义，结合|PF1|=2|PF2|，利用余弦定理，即可求cos∠F1PF2的值．解：将双曲线方程x2−y2=2化为标准方程x22−y22=1，则a=√2，b=√2，c=2，设|PF1|=2|PF2|=2m，则根据双曲线的定义，|PF1|−|PF2|=2a可得m=2√2，∴|PF1|=4√2，|PF2|=2√2，∵|F1F2|=2c=4，∴cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2−|F1F2|22|PF1||PF2|=2×4√2×2√2=2432=34．故选A．10.答案：C解析：本题考查函数的零点，根据题意画出函数y=lg|x|与y=sinx的图象，进而即可得到结果．解：函数f(x)=sinx−lg|x|的零点的个数，即函数y=lg|x|的图象和函数y=sinx的图象的交点个数，如图所示：显然函数y=lg|x|的图象和函数y=sinx的图象的交点个数为6．故选C．11.答案：A解析：利用辅助角公式化积，由周期求得ω，再由函数为偶函数求得φ，求出函数解析式得答案．本题考查三角函数的图象和性质，考查y=Asin(ωx+φ)型函数的图象变换，是中档题．解：f(x)=sin(ωx+φ)−cos(ωx+φ)=√2sin(ωx+φ−π4)，依题意知T=2πω=π，∴ω=2，∵函数为偶函数，∴φ−π4=kπ+π2，φ=kπ+3π4，k ∈Z ，∵|φ|<π2， ∴φ=−π4， ∴f(x)=√2sin(2x −π4−π4)=−√2cos2x ， ∴f(x)在(0,π2)上单调递增． 故选A ．12.答案：A解析：因为f(x)是奇函数，所以f(1)=−f(−1)=0令F(x)=f(x)x，F ′(x)=xf ′(x)−f(x)x 2,当x >0时，xf′(x)−f(x)<0，所以F(x)=f(x)x在(0,+∞)上单调递减，故在(0,1)上F(x)>0,当x ∈(1,+∞)上，F(x)<0,.因为函数f (x )是奇函数，则F(x)为偶函数，由图像知在(−∞,−1)∪(0,1)上f (x )>0．13.答案：−72解析：本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键，属于基础题． 作出不等式组对应的平面区域，通过目标函数的几何意义，利用数形结合即可的得到结论． 解：依题意，可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域，目标函数化为：y =3x −z ，则z 的最小值即为动直线在y 轴上的截距的最大值．通过平移可知在A 点处动直线在y 轴上的截距最大．因为A ：{x +2y =0x −2y +2=0解得A(−1,12)， 所以z =3x −y 的最小值z min =3×(−1)−12=−72．故答案为：−72． 14.答案：−1解析：解：∵函数f(x)=kx +lnx 在点(1,k)处的切线平行于x 轴，∴f′(1)=0，函数的f(x)的导数f′(x)=k +1x ，即f′(1)=k +1=0，解得k =−1，故答案为：−1根据导数的几何意义以及直线平行的斜率关系进行求解即可．本题主要考查导数的几何意义，根据直线平行的关系求出切线斜率是解决本题的关键． 15.答案：π2解析：连接AC 1，利用三角函数计算结合题中数据证出∠AC1A1=∠A1MC1，从而矩形AA 1C 1C 中A1M ⊥AC1.再利用线面垂直的判定与性质，证出A1M ⊥平面AB 1C 1，从而可得AB1⊥A1M ，由此即可得到异面直线AB 1与A 1M 所成的角．本题在直三棱柱中求异面直线所成角的大小，着重考查了直线与平面垂直的判定定理的应用，线线垂直与线面垂直的相互转化等知识，属于中档题．解：连接AC 1∵∠ACB =90°，∠BAC =30°，BC =1，AA 1=√6，∴A 1C 1=√3BC =√3，Rt △A 1C 1M 中，tan∠A 1MC 1=√2；Rt △AA 1C 1中，tan∠AC 1A 1=√2∴tan∠MA1C1=tan∠AC1A1即∠AC1A1=∠A1MC1可得矩形AA1C1C中，A1M⊥AC1∵B1C1⊥A1C1，B1C1⊥CC1且AC1∩CC1=C1∴B1C1⊥平面AA1C1，∵A1M⊂面AA1C1，∴B1C1⊥A1M，又AC1∩B1C1=C1，∴A1M⊥平面AB1C1结合AB1⊂平面AB1C1，得到AB1⊥A1M，即异面直线AB1与A1M所成的角是π2．故答案为：π2．16.答案：√3；90°；√32解析：解：∵△ABC中，CA=1，CB=2，∠C=60°，∴AB=√AC2+BC2−2AC⋅BC⋅cos∠C=√12+22−2×1×2×12=√3，∴sinA=BCsinCAB =2×√32√3=1，由A∈(0°,180°)，可得：A=90°，∴S△ABC=12×AB×AC=12×√3×1=√32．故答案为：√3、90∘、√32．由已知利用余弦定理可求AB，利用正弦定理可求sinA=BCsinCAB=1，结合范围A∈(0°,180°)，可得A的值，进而利用三角形面积公式可求S△ABC的值．本题主要考查了余弦定理，正弦定理，三角形面积公式，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．17.答案：解：记事件A为“进入商场的一位顾客购买甲种商品”；记事件B为“进入商场的一位顾客购买乙种商品”；记事件C为“进入商场的一位顾客购买甲、乙两种商品中的一种”；记事件D为“进入商场的一位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种．”(1)∵C=AB+AB，∴P(C)=P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)=P(A)⋅P(B)+P(A)⋅P(B)=0.5×0.4+0.5×0.6=0.5．(2)∵D=AB，∴P(D)=P(AB)=P(A)⋅P(B)=0.5×0.4=0.2，P(D)=1−P(D)=0.8．解析：(1)记A表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品，B表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品，C表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，D表示事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种．由C=AB+AB能求出进入商场的1位顾客购买甲，乙两种商品中的一种的概率．(2)利用对立事件概率计算公式能求出进入商场的1位顾客至少购买甲，乙两种商品中的一种概率P(D)．18.答案：解：(Ⅰ)等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=5，a5=5．可得a3=1.所以d=2，a1=−3.∴数列{a n}的通项公式a n=−3+2(n−1)=2n−5-------------(5分) (Ⅱ)当n≥2时，b n=(b n−b n−1)+(b n−1−b n−2)+⋯(b2−b1)+b1=−2+(−3)⋅32+(−1)⋅33+⋯(2n−7)⋅3n记t=(−3)⋅32+(−1)⋅33+⋯+(2n−7)⋅3n则3t=(−3)⋅33+(−1)⋅34+⋯+(2n−9)⋅3n+(2n−7)⋅3n+1−2t=(−3)⋅32+2[⋅33+34…+⋅3n]−(2n−7)⋅3n+1--------(10分)−(2n−7)⋅3n+1所以−2t=−27+2⋅33(1−3n−2)1−3=−54−(2n−8)⋅3n+1所以t=27+(n−4)⋅3n+1所以b n=25+(n−4)3n+1----------(14分)当n=1时也满足所以b n=25+(n−4)3n+1----------(15分)解析：(Ⅰ)求出数列的公差与首项，然后求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)利用数列的递推关系式，结合累加法以及错位相减法，求数列{b n}的通项公式．本题考查数列的递推关系式以及数列求和的方法的应用没看出转化首项以及计算能力．19.答案：(1)证明：取AP中点O，连接OB，OD．由DA=DP，BA=BP知，OB⊥AP，OD⊥AP．又OB∩OD=O，OB，OD⊂平面OBD，平面OBD，又平面OBD，∴PA⊥BD;(2)解：∵DA=DP=√2，AP=2，∴DA2+DP2=AP2，∴DA⊥DP，∴OD=1．又BA=BP=AP=2，∴OB=√3．可得OD2+OB2=1+3=BD2，故OB⊥OD．又OD⊥AP,AP∩OB=O,AP,OB⊂平面APB，∴OD⊥平面APB．∵点C到平面PBD的距离等于点A到平面PBD的距离．∴只需求点A到平面PBD的距离h，∵V A−PBD=V D−APB,即13SΔPBD·ℎ=13SΔAPB·OD ,∴ℎ=SΔAPB·ODSΔPBD =√34×4×12×√2×√4−2=2√217，即点C到平面PBD的距离为2√217．解析：本题考查线面垂直的判定与性质，考查点到平面距离的计算，考查体积的计算，属于中档题．(1)取AP的中点O，连接OD，OB，证明AP⊥平面OBD，即可证明PA⊥BD；(2)利用等体积V A−PBD=V D−APB,即可求点C到平面PBD的距离．20.答案：解：因为g′(x)=e x−2a，x∈[0,1]，e x∈[1,e]，(1)若a≤12，则2a≤1，g′(x)=e x−2a≥0，所以函数g(x)在区间[0,1]上单调递增，g(x)min=g(0)=1−b．(2)若12<a<e2，则1<2a<e，于是当0<x<ln(2a)时，g′(x)=e x−2a<0，当ln(2a)<x<1时，g′(x)=e x−2a>0，所以函数g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减，在区间[ln(2a),1]上单调递增，g(x)min=g(ln(2a))=2a−2aln(2a)−b．(3)若a≥e2，则2a≥e，g′(x)=e x−2a≤0，所以函数g(x)在区间[0,1]上单调递减，g(x)min=g(1)=e−2a−b．综上所述，当a≤12时，g(x)在区间[0,1]上的最小值为g(x)min=g(0)=1−b，当12<a<e2时，g(x)在区间[0,1]上的最小值为g(x)min=g(ln(2a))=2a−2aln(2a)−b；当a≥e2时，g(x)在区间[0,1]上的最小值为g(x)min=g(1)=e−2a−b．解析：本题考查了利用导数研究闭区间上函数的单调性极值与最值，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．(1)g(x)=f′(x)=e x−2ax−b，g′(x)=e x−2a.对a分类讨论，利用导数即可得出其单调性；(2)利用(1)的结论，对a分类讨论，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．21.答案：解：(1)由已知可得，|PN|=|PM|，即点P到定点N的距离等于到直线l1的距离，故P点的轨迹是以N为焦点，l1为准线的抛物线，所以曲线C的方程为y2=4x.…(4分)(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，D(x0,y0)，直线l2斜率为k，显然k≠0，由{y =kx +m,y 2=4x得，k 2x 2+(2km −4)x +m 2=0， x 1+x 2=4−2km k 2． 所以x 0=x 1+x 22=2−km k 2，y 0=kx 0+m =2k ，即D(2−km k 2,2k ).因为直线l 2与圆E ：(x −3)2+y 2=6相切于点D ，所以|DE|2=6；DE ⊥l 2，从而(2−kmk 2−3)2+(2k )2=6；2−kmk 2−3=−2，整理可得(2k )2=2，即k =±√2．所以m =0，故l 2的方程为y =√2x 或y =−√2x.…(12分)解析：(1)|PN|=|PM|，点P 到定点N 的距离等于到直线l 1的距离，说明P 点的轨迹是以N 为焦点，l 1为准线的抛物线，求解抛物线方程即可．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，D(x 0,y 0)，直线l 2斜率为k ，显然k ≠0，由{y =kx +m,y 2=4x得，k 2x 2+(2km −4)x +m 2=0，利用韦达定理结合，直线l 2与圆E ：(x −3)2+y 2=6相切于点D ，(2−km k 2−3)2+(2k )2=6；求解即可．本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力． 22.答案：解：(1)曲线C 的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0,2π)．转换为直角坐标方程为：x 2+y 2−2y =0．(2)过极点O 和点M 的直线与曲线C 相交所得弦长为√3，即：ρ=√3，故：ρ=2sinβ，解得：β=π3或2π3因为曲线C 的圆心的极坐标为(1,π2)，所以：∠MCO =2π3，所以：直线OM 将曲线C 分成的两段弧长之比2：1或1：2．同理：当β=2π3时，曲线C 分成的两段弧长之比2：1或1：2．解析：本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．(1)直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．(2)利用一元二次方程根和系数的关系求出结果．23.答案：解：(1)不等式f(x)≥6，即为|x +2|+|x −1|≥6，当x ≥1时，x +2+x −1≥6，可得x ≥52，即x ≥52；当x ≤−2时，−2−x −x +1≥6，解得x ≤−72，即x ≤−72；当−2<x <1时，2+x −x +1≥6，解得x ∈⌀．综上可得原不等式的解集为{x|x ≥52或x ≤−72}；(2)∀x ∈R ，使得f(x)>3a 恒成立，即有f (x )min >3a ，由|x −a 2|+|x +2|≥|x −a 2−x −2|=a 2+2，当且仅当−2≤x ≤a 2时，等号成立， 可得a 2+2>3a ，解得a >2或a <1．即实数a 的取值范围是(−∞,1)∪(2,+∞)解析：本题考查绝对值不等式的解法，以及绝对值不等式的性质，不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和化简运算能力，属于中档题．(1)讨论当x ≥1时，当x ≤−2时，当−2<x <1时，去掉绝对值，解不等式求并集，即可得到所求解集；(2)由题意可得f (x )min >3a ，运用绝对值不等式的性质可得最小值，由二次不等式的解法可得a 的范围．。
湖北省2020届高三(5月)调研模拟考试数学(文科)试卷 含答案
19：（本小题满分 12 分）
如图，已知椭圆
C：x a
2 2
+
y2 b2
= 1(a
b
0) 的左、右焦点分别为 F1、F2 ，
F1F2
=2
5 ，Q 是 y 轴的正
半轴上一点， QF2 交椭圆于 P，且 PF1 ⊥ PF2 ， PQF1 的内切圆⊙M 半径为 1．
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）若 N 点为圆 M 上一点，求 NF1 NF2 的取值范围.
湖北省 2020 年高三（5 月）调研模拟考试
文科数学试卷
本试卷共 5 页，23 题（含选考题）。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。
2020．5
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答题前先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
一工厂工作的概率为
A． 1 6
B． 1 3
C． 1 2
2
D． 5 6
10．函数 y = x − 4x − x2 的值城为
A．[2 − 2 2,4]
B．[0,4]
C．[0,2 + 2 2]
D．[2 − 2 2,2 + 2 2]
11．已知函数 f (x) = sin(x − )( 0) 在[0, ]有且仅有 4 个零点，则 的取值范围为 3
（2）若 bn = (2n +1) an ，求数列bn的前 n 项和Tn 。
3
18．（本小题满分 12 分）
已知如图 1 直角△ABC 中，AC⊥BC，AC=6，BC= 6 3 ，点 D 为 AB 的中点，BC=3BF，将△ACD