(新课改省份专用版)高考数学一轮复习2.4指数与指数函数学案

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高三一轮复习指数与指数函数新学案

)
B.a>1且b>0
C.0<a<1且b<0
D.a>1且b<0
2 27 － (1) ＋ (0.002) －10( 5－2) 1＋( 2－ 3)0＝________. 8
2 3
1
2 1 1 5 1 3 2 3 3 2 2 1 a .b .(3a b ) (4a .b ) (2) 2. 6
y 1 6x 2
的定义域是
值域是
．最小值是；．
x 1 -9 x 的最大值是 2. 若 1 x 2 ,求函数 f(x)=3+2·3 1 3 x
3．已知定义在 R 上的函数 f(x)＝2 －
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
.
(1)若 f(x)＝，则 x 的值是 2
(2)若 2tf(2t)＋mf(t)≥0 对于 t∈[1,2]恒成立，实数 m 的取值范围是
2 1 － 5．函数 y＝( )1 2 x x 的单调增区间为________值域为________ 2
2 5
1 3
1 6．已知函数 f(x)＝a－ x ，若 f(x)为奇函数，则 a＝________. 2 ＋1 7.若函数y=ax+b-1(a>0且a≠1)的图象经过二、三、四象限，则一定有( A.0<a<1且b>0 【典型例题】题型一：指数式与根式的计算问题例 1.计算下列各式的值．
叫做指数函数.
0<a<1
；；
1
高三一轮复习数学学案
编号 5
不苦不累，高三无味；不拼不博，等于白活
3. x y 12, xy 9, ( x y ), 则 x 2 y 2 ________. 1 1

高三数学第一轮复习指数与指数函数导学案理

课题：指数与指数函数编制人：审核：下科行政：【学习目标】1、了解指数函数模型的实际背景；2、理解有理数指数幂的含义，掌握幂的运算；3、理解指数函数的概念，指数函数的图象和性质。

【课前预习案】一、基础知识梳理1、根式（1）n 次方根的定义：如果a x n =，那么x 叫做a 的其中*,1N n n ∈>,式子n a 叫做根式，叫做根指数，a 叫做被开方数。

（2）方根的性质：当n 为奇数时，n na =当n 为偶数时，n n a = =n n a )(= （n >1且*N n ∈）2、有理数指数幂（1）正分数指数幂：n m a = （)1*,,0>∈>n N n m a 且（2）负分数指数幂：n ma -= =（)1*,,0>∈>n N n m a 且（3）0的正分数指数幂是；0的负分数指数幂没有意义3、有理数指数幂的性质（1）=s r a a ),,0(Q s r a ∈>（2）=s r a )( ),,0(Q s r a ∈>（3）r ab )(= ),,0(Q s r a ∈>4、指数函数图象和性质二、练一练 1、化简)0,0(16448<<y x y x 得（）(A) y x 22 (B)xy 2 (C) y x 24 (D) y x 22-2、函数x a a a y )33(2+-=是指数函数，则有（）(A) 21==a a 或 (B) 1=a (C) 2=a (D) 10≠>a a 且3、设指数函数)10()(≠>=a a a x f x 且，则下列等式不正确的是（）(A) )()()(y f x f y x f ⋅=+ (B))()(])[(y f x f xy f n n n ⋅=(C) )()()(y f x f y x f =- (D) )()(x f nx f x = 4、函数)1()(322>+=-+a m a x f x x 恒过点（1，10），则m =【课内探究】一、讨论、展示、点评、质疑探究一指数幂的化简与求值例1、化简下列各式：(1))0,0()(3131421413223>>⋅-b a b a b a ab b a (2) ()012132)32()15(10002.0833-+--+⎪⎭⎫ ⎝⎛----探究二、指数函数的图象与性质的应用例2、（1）函数x y 3=与x y --=3的图象关于（）(A) x 轴对称 (B) y 轴对称(C) 直线 y=x 对称 (D) 原点中心对称（2）函数)10(<<=a xxa y x的图象的大致形状是（）（3）设)()()(,,13)(b f a f c f a b c x f x >><<-=且，则下列关系式中一定成立的是（）(A) a c 33> (B)b c 33> (C) 233>+a c (D)233<+a c拓展1、（1）函数xx x f 214)(+=的图象（） (A) 关于原点对称 (B) 关于直线y=x 对称(C) 关于x 轴对称 (D) 关于y 轴对称（2）函数xx xx e e e e y ---+=的图象大致为（）探究三、指数函数综合应用例3（1）函数)10()(≠>--=a a a x a x f x 且有两个零点，则实数a 的取值范围是（2）已知093109≤+⋅-x x ，求函数2)21(4)41(1+⋅-=-x x y 的最大值和最小值二总结提升1、知识方面2、数学思想方面【课后训练案】1、若函数⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈=],1,0[,4),0,1[,)41()(x x x f x z 则)3(log 4f 等于（） (A)31 (B)3 (C) 41 (D)4 2、函数x x x f 243)(-⋅=在),0[+∞∈x 上的最小值是（） (A)121- (B)0 (C)2 (D)10 3、函数)1(>=a a y x 的图象是（）4、设2.146.08.0)21(,8,4-===c b a ，则c b a ,,的大小关系为（）(A)c b a >> c a b >> (B) (C) b a c >> a b c >> (D) 5、设函数)(x f 定义在实数集上，它的图象关于直线1=x 对称，且当1≥x时，13)(-=xx f ，则有（） (A))32()23()31(f f f << (B))31()23()32(f f f << (C))23()31()32(f f f << (D))31()32()23(f f f << 6、已知函数139)(++⋅-=m m x f x x 对),0(+∞∈x 的图象恒在x 轴上方，则m 的取值范围是（） (A)322222+<<-m (B)2<m (C)222+<m (D)222+≥m7、已知215-=a ，函数x a x f =)(，若实数n m ,满足)()(n f m f >，则n m ,的大小关系为 8、已知)10()(≠>+=-a a a a x f x x 且，且3)1(=f ，则)2()1(0(f f f ++）的值是9、设函数21212)(-+=x x x f ，[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数)]([x f y =的值域为 10、已知对任意R x ∈，不等式4222)21(21++-+>m mx x x x 恒成立，求实数m 的取值范围 11、已知函数)43lg(112x x xx y +-+-+=的定义域为M (1)求M (2)当M x ∈时，求)4(432)(3-<⨯+⋅=+a a x f x x 的最大值12、已知函数x x x f 212)(-=(1)若2)(=x f ,求x 的值；(2)若0)()2(2≥+t mf t f t 对于]2,1[∈t 恒成立，求实数m 的取值范围。

高考数学一轮复习 2.4指数函数教案

第四节指数函数教学目标：知识与技能：了解指数函数模型的实际意义，理解有理数幂的含义，掌握指数运算，理解指数函数概念及函数的性质过程与方法：通过指数函数的概念，会画指数函数的图象，利用图象掌握指数函数的性质情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验数形结合思想，感受图形的形状及函数的单调性教学重点：指数函数的图象及性质教学难点：利用指数函数的性质研究函数教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1.根式(1)根式的概念：①若x n =a,则x 叫做a 的n 次方根,其中n ＞1且n ∈N*.式子根式,这里n 叫做根指数,a 叫做被开方数.②a 的n 次方根的表示：(2)根式的性质：①∈N*).2.有理数指数幂(1)分数指数幂的意义:①正分数指数幂： ②负分数指数幂：③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义。

(2)有理数指数幂的运算性质： ①a r a s=____(a>0,r,s ∈Q)；②(a r )s =___(a>0,r,s ∈Q)； n x ___(n n N*),x a x _____(n n N*).=∈⎧=⇒⎨=∈⎩当为奇数且时当为偶数且时n a =___,n a,a 0,___n .a,a 0,⎧⎪=≥⎧⎨=⎨⎪-⎩⎩为奇数，为偶数＜()m *n a ____a 0,m,n N ,n 1;=∈＞且＞()m *n a ________a 0,m,n N ,n 1-==∈＞且＞；③(ab)r =____(a>0,b>0,r ∈Q).上述有理数指数幂的运算性质，对于无理数指数幂也适用.3.指数函数的概念(1)解析式：y= a x (a>0,a ≠1).(2)自变量：x.4.指数函数的图像与性质图像 a>1 0<a<1定义域 R值域 (0,+∞)性质在R 上是增函数在R 上是减函数二例题讲解【典例1】化简：b ＞0).【思路点拨】将根式化为分数指数幂，负分数指数幂化为正分数指数幂，底数为小数的化成分数，然后运用幂的运算性质进行计算.【规范解答】(1)原式= (2)原式【变式训练】(1)计算：43342(a b )a b -()1111010.25332473(2)0.008 13()81(3)100.027.88------⨯⋅+-⨯［］［］1213233211233(a b a b )ab a b -31111112126333a b ab .+-++---==()1114114233()313()102------⨯⨯+＝［］［］133310()10-⨯［］11231123101()(1030.1033--=--⨯=--=÷9333222(a a )(a a )-=÷【解析】原式(2)计算：【解析】原式(3)已知求【解析】∵ ∴ ∴m+m-1=14,+1=14+1=15.【典例2】已知函数 (1)作出图象.(2)由图象指出其单调区间.(3)由图象指出当x 取什么值时函数有最值.【思路点拨】将函数写成分段函数的形式，作出函数的图象，由图象可求单调区间及最值. 【规范解答】(1)由已知可得,其图象由两部分组成：一部分是： (x ≥0) 113232(a )(a )a a 1.=÷=÷=()112023170.027()(2)1).79----+--()112322725()7()11 0009-=--+-10549145.33=-+-=-1122m m 4-+=，33221122m m .m m ----1122m m 4,-+=1m m 216,-++=331112222111112222m m (m m )(m m 1)m m m m m m --------++∴==+--x 11y ().3+=x 1x 1x 11(),x 11y ()333,x 1.+++⎧≥-⎪==⎨⎪-⎩，＜x 1y ()3=(x ≥-1)；另一部分是：y=3x(x ＜0)图象如图所示：(2)函数在(-∞，-1］上是增函数，在［-1，+∞)上是减函数. (3)当x=-1时，函数取最大值1，无最小值. 【小结】指数函数图象的应用 (1)应用指数函数图象研究指数型函数的性质：对指数型函数的性质(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象,通过平移、对称变换得到其图象,然后数形结合使问题得解.(2)利用图象解指数型方程、不等式：一些指数型方程、不等式问题的求解,往往利用相应指数型函数图象数形结合求解. 【典例3】已知 (a ＞0且a ≠1).(1)讨论f(x)的奇偶性.(2)求a 的取值范围，使f(x )＞0在定义域上恒成立. 【思路点拨】先求函数的定义域，再判断奇偶性，对于恒成立问题，可借助函数的奇偶性，只讨论x ＞0的情况.【规范解答】(1)由于ax-1≠0,则ax ≠1,得x ≠0,所以函数f(x)的定义域为{x|x ≠0,x ∈R}.对于定义域内任意x ，有∴f(x)是偶函数.(2)由(1)知f(x)为偶函数，∴只需讨论x ＞0时的情况.当x ＞0时，要使f(x)＞0，即即即即ax-1＞0，ax ＞1，ax ＞a0.又∵x ＞0，∴a ＞1.因此a ＞1时，f(x)＞0在定义域上恒成立.【小结】利用指数函数的性质可求解的问题及方法 x 111y ()3+−−−−→=向左平移个单位()x 11y 3x 1.+−−−−→=-向左平移个单位＜|x1|1y ()3+=()3x 11f x ()x a 12=+-()()()x 33x x 11a 1f x ()x ()x a 121a 2--=+-=+---()33x x 1111(1)(x)()x f x .a 12a 12=--+-=+=--3x 11()x 0a 12+-＞，x 110a 12+-＞，x x a 102(a 1)+-＞，(1)应用指数函数的单调性可以比较同底数幂值的大小.(2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性的求解方法,与前面所讲一般函数的求解方法一致,只需根据条件灵活选择即可. 【变式训练】(1)函数的单调递减区间为_________，值域为________. 答案：(-∞,-2) ［3-7,+∞)(2)已知函数 (a ＞0且a ≠1)，①求f(x)的定义域；②讨论f(x)的奇偶性；③讨论f(x)的单调性.【解析】①f(x)的定义域是R.②f(x)是奇函数.③当a ＞1时，f(x)为R 上的增函数0＜a ＜1时, f(x )为R 上的减函数.三．课堂练习与作业思考辨析，考点自测，知能巩固()2x 4x 31f x ()3--+=()x x a 1f x a 1-=+。

指数与指数函数(课件)2024届高三数学一轮全方位基础复习(新教材新高考)

4 3
25
【解析】对于A，根据分式指数幂的运算法则，可得3 ⋅ 4 = 3+4 = 12 ≠ ，选项A错误；
对于B，8 = 2，故 = ± 8 2，选项B正确；
1
1
1
1
1
对于 C， + = 3， (2 + −2 )2 = + −1 + 2 = 3 + 2 = 5，因为 > 0，所以2 + −2 = 5，选项C错误；
立，
则满足2 − 4 < 0，即2 < 4，解得−2 < < 2，所以实数的取值范围是(−2,2)．
故答案为：(−2,2)．
考向典题讲解

【对点训练6】（2023·全国·高三专题练习）已知不等式4 − ⋅ 2 + 2 > 0，对于 ∈ (−∞, 3]恒成立，则实数
的取值范围是_________．
当 n 为偶数时， an＝|a|＝
－a，a<0.
n
考点知识梳理
2.分数指数幂
m
n
n
m
a
正数的正分数指数幂， a ＝____(a>0，m，n∈N*，n>1).
1

m
n
m
n
1 (a>0，m，n∈N*，n>1).
a
正数的负分数指数幂，a ＝____＝
n m
a
0的正分数指数幂等于__,0的负分数指数幂没有意义.
当() = 0时，e = ，结合图象可知，此时 < 0，所 > 0，则e > e0 = 1，所以 > 1，
故选：C．
）
考向典题讲解

第03讲指数与指数函数(教师版) 备战2025年高考数学一轮复习学案(新高考通用)

第03讲指数与指数函数（5类核心考点精讲精练）1. 5年真题考点分布2. 命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握指数的运算及指数函数的基本性质，难度中等偏下，分值为5-6分【备考策略】1.了解有理数指数幂、实数指数幂含义，掌握指数幂的运算性质.2.了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念3.能画出具体指数函数的图象探索并理解指数函数的单调性与特殊点4.能结合指数函数比较指数式大小【命题预测】本节内容会结合其他函数内容综合考查，需综合性学习备考1.指数的基本知识（1）根式的基本性质①x 的定义域为0≥x ,3x 的定义域为Rx ∈②⎩⎨⎧<-≥==0,0,2x x x x x x ，定义域为()R x ∈③()x x =2，定义域为()0≥x ④x x =33，定义域为()R x ∈⑤()x x =33，定义域为()R x ∈（2）指数的基本性质①零指数幂:01(0)a a =¹;②负整数指数幂:1(0,);p p a a p N a-*=¹∈③正分数指数幂:0,,1)m na a m n N n *=>∈>、且;④负分数指数幂: 10,,1)m nm naa m n N n a-*==>∈>、且（3）指数的基本计算①同底数幂的乘法运算nm nmaa a +=⋅②同底数幂的除法运算nm n ma aa -=③幂的乘方运算()mn nm a a =④积的乘方运算()mm mb a ab =2.指数函数（1）指数函数的定义及一般形式一般地，函数()R x a a a y x∈¹>=,10且，叫做指数函数（2）指数函数的图象和性质x a y =1>a 10<<a 图象定义域R值域()+∞,0过定点()1,0当0>x 时，1>y ；0<x 时,10<<y 当0>x 时，10<<y ；0<x 时,1>y 性质在()+∞∞-,上是增函数在()+∞∞-,上是减函数1．（2023·全国·模拟预测）（）A ．13B C D ．3【答案】A.【详解】()22234133-===．故选：A ．2．（2024·广东·模拟预测）若3xy =，则= ．【答案】±【分析】分0,0x y >>和0,0x y <<两种情况分类计算.【详解】当0,0x y >>时，==当0,0x y <<时，+==-故答案为：±3．（2022·北京·高考真题）已知函数1()12xf x =+，则对任意实数x ，有（）A ．()()0f x f x -+=B ．()()0f x f x --=C ．()()1f x f x -+=D ．1()()3f x f x --=【答案】C【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误．【详解】()()1121112121212x x x x xf x f x --+=+=+=++++，故A 错误，C 正确；()()11212121121212122121x x x x x x x xf x f x ----=-=-==-++++++，不是常数，故BD 错误；故选：C ．1．（2024·上海宝山·二模）（其中0a >）化为有理数指数幂的形式为 .【答案】54a 【分析】直接利用根式与分数指数幂的运算法则化简求解即可54a ===故答案为：54a 2．（2023·山东·模拟预测）若114a a --=，则22a a -+的值为（）A ．8B ．16C ．2D ．18【答案】D【分析】利用完全平方公式结合指数幂的运算性质计算即可.【详解】解：因为114a a --=，所以221122()24218a a a a --+=-+=+=.故选：D ．3．（2023·四川宜宾·一模）计算()12410.25lg 10-´=.【答案】-【分析】根据根式、指数幂运算以及对数的定义运算求解.()()121422410.2512-ùö´-ú÷øúû1242=-´-()12410.25lg 10-´=-故答案为：-.1．（2024·四川成都·模拟预测）函数3x y =与13xy =-的图象（）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于y x =对称【答案】C【分析】根据函数图象的对称性即可判断，对于两个函数()f x 与()g x ，如果它们的图象关于原点对称，即()()g x f x -=-在定义域内恒成立，则称()f x 与()g x 为中心对称，利用指数函数的图象的对称性，得出结论.【详解】令函数()()13,3xxy f x y g x ====-，所以()()133x x g x f x --=-=-=-即()()g x f x -=-，所以函数()f x 与()g x 的的图象关于原点对称，即函数3x y =与13xy =-的图象的的图象关于原点对称，故选：C.2．（23-24高三上·河北衡水·开学考试）已知0a >，则函数()2x f x a a =-的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】AD【分析】通过特值法，排除错误选项，通过a 的取值，判断函数的图象的形状，推出结果即可.【详解】由于当1x =时，(1)20f a a a =-=-<，排除B ，C ，当2a =时，()24x f x =-，此时函数图象对应的图形可能为A ，当12a =时，1()()12xf x =-，此时函数图象对应的的图形可能为D.故选：AD.3．（2024·甘肃张掖·模拟预测）函数()()e 11xf x x x =---的所有零点之和为（）A ．0B ．-1CD ．2【答案】A【分析】令()0f x =，即()e 110xx x ---=，构造函数e x y =与函数11x y x +=-，画出函数图象，可知两个函数图象相交于两点，设为12,x x ，得()()110f x f x =-=，进而得到21x x =-，即120x x +=【详解】由零点定义可知，函数的零点，就是方程()0f x =的实数根，令()0f x =，则()e110xx x ---=，显然1x ¹，所以1e 1x x x +=-，构造函数e x y =与函数11x y x +=-，则方程1e 1xx x +=-的根，可转化为两个函数图象的交点问题，根据图象可知，两个函数图象相交于两点，所以此方程有两个实数根，即函数()()e 11xf x x x =---有两个零点，设为12,x x ，所以1111e 1x x x +=-，2221e 1x x x +=-，即()()()()12111222e 110,e 110x xf x x x f x x x =---==---=，另外发现，将1x -代入，可得()()()()()11111111111111e 1110eee x x x x x x xf x x x x --+-++-=-----=+-=+=，所以1x -也是函数()f x 的零点，说明21x x =-，即120x x +=.故选:A.1．（22-23高二下·四川绵阳·期末）要得到函数212x y -=的图象，只需将指数函数4x y =的图象（）A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位【答案】D【分析】利用函数图象的平移变换可得出结论.【详解】因为242x x y ==，1221222x x æö-ç÷-èø=，所以，为了得到函数212x y -=的图象，只需将指数函数4x y =的图象向右平移12个单位，故选：D.2．（23-24高三上·山西晋中·阶段练习）（多选）在同一直角坐标系中，函数21y x ax a =++-与x y a =的图象可能是（）A ．B．C ．D ．【答案】AC【分析】根据二次函数的图象与指数函数的图象判断，注意分类讨论．【详解】当1a >时，对应的图象可能为选项A ；当01a <<时，对应的图象可能为选项C.故选：AC.3．（2024·黑龙江·二模）已知函数||12x y a b æö=+ç÷èø的图象经过原点，且无限接近直线2y =，但又不与该直线相交，则ab =（）A ．1-B ．2-C ．4-D ．9-【答案】C【分析】由题意可得0a b +=且2b =，求出a ，即可求解.【详解】因为函数1()()2xy f x a b ==+图象过原点，所以01()02a b +=，得0a b +=，又该函数图象无限接近直线2y =，且不与该直线相交，所以2b =，则2a =-，所以4ab =-.故选：C1．（2023·全国·高考真题）设函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减，则a 的取值范围是（）A ．(],2-∞-B ．[)2,0-C ．(]0,2D ．[)2,+∞【答案】D【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.【详解】函数2x y =在R 上单调递增，而函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减，则有函数22()()24a a y x x a x =-=--在区间()0,1上单调递减，因此12a ≥，解得2a ≥，所以a 的取值范围是[)2,+∞.故选：D2．（2024·宁夏银川·三模）已知函数()1221xx f x -=+，则下列说法不正确的是（）A ．函数()f x 单调递增B ．函数()f x 值域为()0,2C ．函数()f x 的图象关于()0,1对称D ．函数()f x 的图象关于()1,1对称【答案】C【分析】分离常数，再根据复合函数单调性的判断方法，即可判断A ；根据函数形式的变形，根据指数函数的值域，求解函数的值域，即可判断B ；根据对称性的定义，()2f x -与()f x 的关系，即可判断CD.【详解】()111222222212121x x x x x f x ---+-===-+++，函数22y t=-，121x t -=+，则1t >，又内层函数121x t -=+在R 上单调递增，外层函数22y t =-在()1,+∞上单调递增，所以根据复合函数单调性的法则可知，函数()f x 单调递增，故A 正确；因为1211x -+>，所以120221x -<<+，则1202221x -<-<+，所以函数()f x 的值域为()0,2，故B 正确；()2112422212221x x x x f x ----===+++，()()22f x f x -+=，所以函数()f x 关于点()1,1对称，故C 错误，D 正确.故选：C.3．（2024·全国·模拟预测）已知函数()2233x xf x --=-，则满足()()830f x f x +->的x 的取值范围是（）A ．(),4-∞B ．(),2-∞C ．()2,+∞D ．()2,2-【答案】B【分析】设()33x xg x -=-，即可判断()g x 为奇函数，又()()2f x g x =-，可得()f x 图象的对称中心为()2,0，则()()40f x f x +-=，再判断()f x 的单调性，不等式()()830f x f x +->，即()()834f x f x ->-，结合单调性转化为自变量的不等式，解得即可.【详解】设()33x x g x -=-，x ∈R ，则()()33x xg x g x --=-=-，所以()g x 为奇函数．又()()()222233332x x x x f x g x -----=-=-=-，则()f x 的图象是由()g x 的图象向右平移2个单位长度得到的，所以()f x 图象的对称中心为()2,0，所以()()40f x f x +-=．因为3x y =在R 上单调递增，3x y -=在R 上单调递减，所以()g x 在R 上单调递增，则()f x 在R 上单调递增，因为()()()()8304f x f x f x f x +->=+-，所以()()834f x f x ->-，所以834x x ->-，解得2x <，故满足()()830f x f x +->的x 的取值范围为(),2∞-．故选：B4．（2024·全国·模拟预测）已知0,1a a >¹，函数()()251,11,1xx a x x f x a x ⎧+-+£=⎨->⎩是R 上的减函数，则a 的取值范围是（）A ．(]1,3B ．[]2,3C ．[)2,+∞D ．[)3,+∞【答案】B【分析】根据分段函数的单调性和指数函数的单调性列出不等式组，解之即可直接得出结果.【详解】因为函数1(0,1)x y a a a =->¹是减函数，所以1a >．又因为函数2(y x a =+-5）1x +图像的对称轴是直线52ax -=，所以函数()251y x a x =+-+在5,2a -æö-∞ç÷èø上单调递减，在5,2a -æö+∞ç÷èø上单调递增．又函数()f x 是R 上的减函数，所以151231a a a a>⎧ï-ï≥⎨ï-≥-ï⎩，解得23a ££，所以a 的取值范围是[]2,3．故选:B ．1．（2024·江西·模拟预测）函数()223x xf x -=的一个单调递减区间为（）A ．(),0∞-B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,+∞【答案】C【分析】利用指数型复合函数的单调性即可得出答案.【详解】令22t x x =-，则3t y =，由复合函数的单调性可知：()f x 的单调递减区间为函数22t x x =-的单调递减区间，又函数2()()2()t x x x t x -=---=，即函数()t x 为偶函数，结合图象，如图所示，可知函数22t x x =-的单调递减区间为(),1∞--和()0,1，即()f x 的单调递减区间为(),1∞--和()0,1．故选：C ．2．（2024·福建福州·模拟预测）设函数()23a xf x -=在区间()1,2上单调递减，则a 的取值范围是（）A ．(],2-∞B ．(],4∞-C ．[)2,+∞D ．[)4,+∞【答案】D【分析】根据题意，由复合函数的单调性，列出不等式，代入计算，即可得到结果.【详解】函数3x y =在R 上单调递增，而函数()23a xf x -=在区间()1,2上单调递减，所以2y x a =-在区间()1,2单调递减，所以22a≥，解得4a ≥．故选：D ．3．（2024·吉林长春·模拟预测）（多选）已知函数()1221xx f x -=+，则下列说法正确的是（）A ．函数()f x 单调递增B ．函数()f x 值域为()0,2C ．函数()f x 的图象关于()0,1对称D ．函数()f x 的图象关于()1,1对称【答案】ABD【分析】根据复合函数单调性的判断方法，即可判断A ，根据函数形式的变形，根据指数函数的值域，求解函数的值域，即可判断B ，根据对称性的定义，()2f x -与()f x 的关系，即可判断CD.【详解】()111222222212121x x x x x f x ---+-===-+++，函数22y t=-，121x t -=+，则1t >，又内层函数121x t -=+在R 上单调递增，外层函数22y t =-在()1,∞+上单调递增，所以根据复合函数单调性的法则可知，函数()f x 单调递增，故A 正确；因为1211x -+>，所以120221x -<<+，则1202221x -<-<+，所以函数()f x 的值域为()0,2，故B 正确；()2112422212221x x x x f x ----===+++，()()22f x f x -+=，所以函数()f x 关于点()1,1对称，故C 错误，D 正确.故选：ABD4．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数()11,021,02x x f x x x +⎧<ïï=⎨ï≥ï+⎩，则不等式()()213f a f ->的解集为（）A ．()2,2-B ．()0,∞+C ．(),0∞-D ．()(),22,∞∞--È+【答案】A【分析】判断函数()f x 的单调性，再利用单调性解不等式即可.【详解】()11,021,02x x f x x x +⎧<ïï=⎨ï≥ï+⎩，易知112x y +=在(),0∞-单调递减，12y x =+在()0,∞+单调递减，且()f x 在0x =处连续，故()f x 在R 上单调递减，由()()213f a f ->，则213a -<，解得22a -<<,故不等式()()213f a f ->的解集为()2,2-.故选：A1．（23-24高三·阶段练习）已知函数()112æ=ç÷èøf x ，则()f x 的单调递增区间为，值域为．【答案】 (,0]-∞ (0,2]【分析】根据同增异减法则求出函数的单调区间；通过指数函数的单调性求出函数值域.【详解】令220x x ≥－，解得2x ≥或0x £，∴()f x 的定义域为(][),02,∞+∞U -，令1t -，则其在(,0]-∞上递减，在[2,)+∞上递增，又12ty æö=ç÷èø为减函数，故()f x 的增区间为(,0]-∞．∵11t =≥-，∴(]10,22tæö∈ç÷èø，故()f x 的值域为(0,2]．故答案为：(,0]-∞，(0,2].2．（2024·上海松江·二模）已知02a <<，函数()1241,22,2x a x a x y a x -⎧-++£=⎨>⎩，若该函数存在最小值，则实数a 的取值范围是 .【答案】1{|02a a <£或1}a =【分析】令()(2)41g x a x a =-++，(],2x ∞∈-，1()2x h x a -=，(2,)x ∈+∞，分类讨论a 的取值范围，判断()g x ，()h x 的单调性，结合()f x 存在最小值，列出相应不等式，综合可得答案．【详解】由题意，令()(2)41g x a x a =-++，(],2x ∞∈-，1()2x h x a -=，(2,)x ∈+∞，当01a <<时，()g x 在(],2-∞上单调递减，()h x 在(2,)+∞上单调递减，则()h x 在(2,)+∞上的值域为(0,2)a ，因为()f x 存在最小值，故需()2(2)2410g a a =-´++£，解得12a £，结合01a <<，此时102a <£；当12a <<时，()g x 在(],2-∞上单调递减，()h x 在(2,)+∞上单调递增，则()h x 在(2,)+∞上的值域为(2,)a +∞，因为()f x 存在最小值，故需()22g a £，即(2)2412a a a -´++£，解得34a £，这与12a <<矛盾；当1a =时，()5g x x =-+在(],2-∞上单调递减，且在(],2-∞上的值域为[)3,+∞，()2h x =，此时存在最小值2；则实数a 的取值范围为1{|02a a <£或1}a =．故答案为：1{|02a a <£或1}a =．3．（2024·四川成都·二模）已知函数()212ax x f x -+=的值域为M ．若()1,M ∞+Í，则实数a 的取值范围是（）A ．1,4æù-∞çúèûB ．10,4éùêúëûC ．11,,44æùéö-∞-È+∞ç÷úêèûëøD ．1,4éö+∞÷êëø【答案】B 【分析】对实数a 分类讨论，根据二次函数的性质及指数函数的值域可得结果.【详解】当0a =时，()()120,x f x ∞-+=∈+，符合题意；当0a ¹时，因为函数()212axx f x -+=的值域为M 满足()1,M ∞+Í，由指数函数的单调性可知，即二次函数21y ax x =-+的最小值小于或等于零；若0a >时，依题意有21y ax x =-+的最小值4104a a-£，即104a <£，若0a <时，不符合题意；综上：104a ££，故选：B.1．（2024·贵州·模拟预测）已知函数223()2x x f x -++=，则()f x 的最大值是 .【答案】16【分析】求出223t x x =-++的范围，根据复合函数的单调性求解.【详解】由()2232xx f x -++=，而2223(1)44t x x x =-++=--+£，因为2t y =单调递增，所以422t y =£，则()f x 的最大值是16.故答案为：162．（2024·山东菏泽·模拟预测）若函数1()1lg ([,100])10f x x x =+∈，则函数22[)()](()2f x f x F x -=的值域为（）A ．1[,16]2B ．[]1,8C ．[]2,16D ．[]1,16【答案】D【分析】根据给定条件，利用对数函数单调性求出()f x 的值域，再借助二次函数求出22[()]()f x f x -的值域，最后利用指数函数单调性求解即得.【详解】函数()1lg f x x =+在1[,100]10上单调递增，()[0,3]f x ∈，令22222[()]()[()]12lg [()]2()1[()1][0,4]t f x f x f x x f x f x f x =-=--=-+=-∈，而函数2t y =在[0,4]上单调递增，则1216t ££，所以函数22[)()](()2f x f x F x -=的值域为[]1,16.故选：D3．（2024·河北保定·三模）已知()11,14()1,1x a x f x a x x x ⎧--£ïï=⎨ï+->ï⎩()1a >的值域为D ，1[,)2D Í+∞，则a 的取值范围是（）A ．3[,2]2B ．55[,)43C ．3[,2)2D ．7[,2]4【答案】D【分析】分段函数在两段上分别根据自变量范围求函数值的范围，跟值域对比求实数a 的取值范围.【详解】①若12a <<，当1x £时，()()114xf x a =--在(,1]-∞上单调递减，此时5()[,)4f x a ∈-+∞，当1x >时，()11af x x x=+-≥，当且仅当1x =>时，等号成立，又函数()f x 的值域D 满足1[,)2D Í+∞，则1,211,212,a ⎧ïïï≥⎨ï<<ïï⎩解得724a £<；②若2a >，当1x £时，()()114xf x a =--在(,1]-∞上单调递增，此时15()(,44f x a ∈--，当1x >时，()11af x x x=+-≥，当且仅当1x =>时，等号成立，又函数()f x 的值域D 满足1[,)2D Í+∞，不合题意；③当2a =时，3,1,4()21,1,x f x x x x ⎧£ïï=⎨ï+->ï⎩，若1x >，有21112x x +->≥（当且仅当x =时取等号）符合题意，综上所述：724a ££.故选：D.1．（2024·云南·二模）若12132,6,2a b c p --===，则（）A ．b a c >>B ．c a b >>C ．a b c >>D ．a c b>>【答案】D【分析】根据中间数2比较a 与c ，根据中间数1比较b 与c .【详解】因为21222a p -=>=，1322c =<，所以a c >，因为11616b -==<，103221c =>=，所以c b >，所以a c b >>.故选：D.2．（2024·天津·一模）已知实数a ，b ，c 满足5312a æö=ç÷èø，12e b =，1123cæö=ç÷èø，则（）A ．a b c <，即可求出结果.【详解】因为12eb =，得到1e 1()2b =，又5312a æö=ç÷èø，函数1()2x y =是减函数，所以51311()122a b æö=<=<ç÷èøe ，又1123cæö=ç÷èø，得到1221log log 313c ==>，所以a b c <<，故选：A.3．（2024·宁夏银川·三模）设0.29a =，0.313b =，ln1.33c =，则（）A ．c b a <，再结合指数函数3x y =的单调性即可判断.【详解】根据题意，构造函数()1ln f x x x =--，则()1x f x x¢-=，当1x ≥时，()0f x ¢≥，所以()f x 在区间[)1,+∞上单调递增，因此可得()()1.310f f >=，即()1.3 1.31ln1.30.3ln1.30f =--=->，所以0.3ln1.3>，又指数函数3x y =为单调递增，可得0.310.3ln1.3333>>，即b c >，因为0.20.40.31933a b ==>=，所以c b a <<.故选：A.1．（2024·四川·模拟预测）设0.40.5a =， 1.10.4b =，0.51.1c =，则（）A ．a c b <>，又因为指数函数 1.1x y =是单调增函数，所以0.501.1 1.11>=，综上可得：b a c <<，故选：D.2．（2023·天津·高考真题）设0.50.60.51.01, 1.01,0.6a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <=.所以b a c >>.故选：D3．（2024·辽宁·一模）设123322e 1e 3a b c -==-=-，，则（）A ．a b c <，则c b <，即可求解.【详解】对于函数()e 1x f x x =--，()e 1x f x ¢=-，令()00,()00f x x f x x ¢¢<Þ<>Þ>，所以函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，所以min ()(0)0f x f ==，则()0f x ≥，即e 1x x ≥+.所以13122e 2(1)33b =-£-+=，23221e 1(1)33c -=-£--+=.由2e 8<，得2133e 82<=，所以13132e e<，则21332133121e 1e ee-+=+>>，所以21331e 2e --<-，即c b <.所以c b a <<.故选：B【点睛】方法点睛：对于比较实数大小方法：（1）利用基本函数的单调性，根据函数的单调性判断，（2）利用中间值“1”或“0”进行比较，（3）构造函数利用函数导数及函数单调性进行判断.一、单选题1．（2024·陕西渭南·二模）设集合{}11M x x =-££，{}e ,0xN y y x ==£，则M N È=（）A ．()0,1B ．(]0,1C ．[]1,1-D ．[]0,1【答案】C【分析】求出函数值域化简集合N ，再利用并集的定义求解即得.【详解】当0x £时，0e 1x <£，则(0,1]N =，而[1,1]M =-，所以[1,1]M N =-U .故选：C2．（2024·河南·模拟预测）若,a b ∈R ，则“a b >”是“3322a b b a ->-”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】构造函数()32x xf x =+，根据函数单调性得到3232a a b b +>+，故a b >.【详解】构造函数()32x xf x =+，则()f x 在R 上单调递增，所以()()33223232a b b a a a b bf a f b a b ->-Û+>+Û>Û>．3．（2024·湖南邵阳·三模）“01a <<”是“函数()xf x a a =-（0a >且1a ¹）在R 上单调递减”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】分1a >和01a <<两种情况讨论()f x 的单调性，结合充分、必要条件分析判断.【详解】若1a >，则()f x 的图象为：可知()f x 在R 上单调递增；若01a <<，则()f x 的图象为：可知()f x 在R 上单调递减；综上所述：“01a <<”是“函数()xf x a a =-（0a >且1a ¹）在R 上单调递减”的充要条件.故选：C ．4．（2024·全国·模拟预测）已知函数()()2x af x a +=∈R 为偶函数，则函数()y f x =的增区间为（）A ．()1,-+∞B ．()0,∞+C ．(),1-∞-D ．(),0∞-【答案】B【分析】由偶函数求得参数值，进而得表达式，结合指数函数单调性即可得解.【详解】因为函数()()2x af x a +=∈R 为偶函数，所以22x ax a-++=，解得0a =，所以函数()2,022,0x xx x f x x -⎧£==⎨>⎩，其增区间为()0,∞+.5．（2024·辽宁·一模）若函数()223xaxf x -+=在区间()1,4内单调递减，则a 的取值范围是（）A ．(],4∞-B ．[]4,16C ．()16,+∞D ．[)16,+∞【答案】A【分析】利用“同增异减”判断复合函数的单调性，从而求参数的取值范围.【详解】设()3u f u =，22u x ax =-+，则()3uf u =在(),-∞+∞上单调递增.因为()223xaxf x -+=在区间(1,4)内单调递减，所以函数22u x ax =-+在区间()1,4内单调递减，结合二次函数的图象和性质，可得：14a£，解得a £4.故选：A6．（2024·江西景德镇·三模）已知函数()()1,02,0xx f x g x x ⎧æö<ïç÷=⎨èøï>⎩是奇函数，则0x >时，()g x 的解析式为（）A ．12xæö-ç÷èøB ．12xæöç÷èøC ．2x -D ．2x【答案】C【分析】设0x >，利用0x <时，()12xf x æö=ç÷èø和()()f x f x -=-可求得()g x 的解析式.【详解】设0x >，则0x -<，所以()122xx f x -æö-==ç÷èø，又函数()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-，即()2xf x -=Þ()2x f x =-，0x >.即()2xg x =-.故选：C7．（2024·浙江绍兴·三模）已知函数()21f x +为偶函数，若函数()()11225--=++-x x g x f x 的零点个数为奇数个，则()1f =（）A ．1B ．2C ．3D ．0【答案】D【分析】由函数()g x 的图象关于1x =对称得零点关于1x =对称，但()g x 的零点个数为奇数个可得答案.【详解】因为函数()21f x +为偶函数，所以()()2+1=2+1f x f x -，所以()y f x =的图象关于1x =对称，令()11225--=+-xx h x ，则()()112225---=+-=x x h x h x ，可得函数()11225--=+-xx h x 的图象关于1x =对称，所以函数()()11225--=++-x x g x f x 的图象关于1x =对称，则函数()g x 的零点关于1x =对称，但()g x 的零点个数为奇数个，则()10f =.故选：D.二、填空题8．（2024·山东济宁·三模）已知函数410()2log 0xx f x x x ⎧æö£ïç÷=⎨èøï>⎩，，，则12f f æöæö=ç÷ç÷èøèø.【分析】利用已知的分段函数，可先求11()22f =-，再求1122f f f æöæöæö=-=ç÷ç÷ç÷èøèøèø.【详解】因为410()2log 0xx f x x x ⎧æö£ïç÷=⎨èøï>⎩，，，，所以44111log =log 2222f æö=-=-ç÷èø.所以11221112222f f f -æöæöæöæö=-===ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø9．（2024·全国·模拟预测）写出一个同时满足下面条件①②的函数解析式()f x = ．①()()()1212f x x f x f x +=；②()f x 的值域为(0,)+∞．【答案】2x （答案不唯一）【分析】根据指数函数的值域和指数运算即可得到答案.【详解】对于任意指数函数函数()(0xf x a a =>且1)a ¹,条件①，对于任意12,x x ∈R ，都有()()()12121212x x x xf x f x a a a f x x +=⋅==+，条件②，()f x 是指数函数，所以()f x 的值域为(0,)+∞，例如：函数()2xf x =为指数函数，满足条件①②.故答案为：2x （答案不唯一）.10．（23-24高一上·四川攀枝花·阶段练习）若命题“R x $∈，20x a -=”为假命题，则实数a 的取值范围为．【答案】{|0}a a £【分析】根据已知条件，推得R x "∈，20x a -¹为真命题，再结合指数函数值域的范围，即可求解．【详解】命题“R x $∈，20x a -=”为假命题，则R x "∈，20x a -¹为真命题，又 20x >则0a £，故实数a 的取值范围为{|0}a a £．故答案为：{|0}a a £．一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）已知函数()1e xf x a=+的图象关于点()()1,1f 对称，则=a （）A ．1B ．2C ．eD ．2e 【答案】C【分析】利用函数中心对称的性质，代入化简解方程即可求得e a =.【详解】由对称中心性质可知函数()f x 满足()()()221f x f x f +-=，即2112e e e x x a a a-+=+++，整理可得3122e e 2e e 2e e x x x x a a a -+-+=+++，即()()22e e e e e e e 22x x x xa --++--=，解得e a =.故选：C2．（2024·贵州毕节·三模）已知函数e ()e x xaf x a -=+是奇函数，若(2023)(2024)f f >，则实数a 的值为（）A ．1B ．1-C ．1±D ．0【答案】B【分析】根据函数奇偶性的定义，即函数的单调性解即可.【详解】因为函数e ()e x xaf x a-=+是奇函数，所以e 1e ()()e 1e e e e e x xx x x x x x a a a a a a f x f x a a --+--=---===-=-+++，解得1a =±，又e e 22()1e e e x x x x xa a a af x a a a-+-===-+++，所以当0a >时，函数为增函数，当a<0时，函数为减函数，因为(2023)(2024)f f >，所以a<0，故1a =-.故选：B3．（2024·北京西城·三模）已知函数()2x f x =，若12,R x x "∈，且12x x <，则下面结论错误的是（）A ．12()()f x f x <B ．1212()()22x x f x f x f ++æö<ç÷èøC ．1212()()()f x x f x f x =+D ．1212()()()f x x f x f x +=【答案】C【分析】根据指数函数的单调性判断A ，根据基本不等式判断B ，根据指数的运算判断C D .【详解】由指数函数的单调性可知()f x 在R 上单调递增，又12x x <，所以12()()f x f x <，故A 正确；因为120x >，220x >，所以121212122222()()222x x x x f x f x x x f +++æö=≥=ç÷è+=ø，又12x x <，所以上式取不到等号，所以1212()()22f x f x x x f ++æö>ç÷èø，故B 正确；1212()2x x f x x =，1212()()22x x f x f x +=+，12,R x x "∈，12x x <，1212()()()f x x f x f x ¹+，故C 错误；1212()2x x f x x ++=，12121212()()222()xx x x f x f x f x x +=⋅==+，故D 正确.故选：C.4．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数 ()e ,0,ln ,0,x x f x x x ⎧£=⎨>⎩()3,g x x =-方程()()()3f g x g x =--有两个不同的根，分别是12,,x x 则 12x x +=（）A ．0B ．3C ．6D ．9【答案】B【分析】方程()()()3f g x g x =--有两个不同的根等价于函数()()y f g x =与y x =-的图象有两个交点，作出函数()()f g x 与y x =-的图象，根据数形结合计算即可得出结果.【详解】由题意得：()3g x x =-为R 上的增函数，且()30,g =当3x £时，()0g x £，()()3e xfg x -=，当3x >时，()0g x >，()()()ln 3f g x x =-，方程()()()3f g x g x x =--=-有两个不同的根等价于函数()()y f g x =与y x =-的图象有两个交点，作出函数()()f g x 与y x =-的图象如下图所示：由图可知3e x y -=与()ln 3y x =-图象关于3y x =-对称，则,A B 两点关于3y x =-对称，中点C 在3y x =-图象上，由3y x y x =-⎧⎨=-⎩，解得：33,22C æö-ç÷èø.所以123232x x =´+=.故选：B5．（23-24高三下·河南周口·开学考试）若1235111e ,e ,563a b c ===，则（）A ．b c a >>B ．c a b >>C ．a b c >>D ．a c b>>【答案】B【分析】利用构造函数法，结合导数的性质判断函数的单调性，利用单调性进行判断即可.【详解】由题意知1235212e ,2e 53a b ==，令()e (01)xf x x x =<<，则()()2e 10x xf x x ¢-=<，所以()f x 在()0,1上单调递减，又120135<<<，所以1235f f æöæö>ç÷ç÷èøèø，即1235e e 1235>，所以123521e e 53>，即22a b >，所以a b >，又1355e 3a c ===，又53=>>55c a >，所以c a >，所以c a b >>．故选：B ．【点睛】关键点睛：本题的关键是对已知实数进行变形，然后构造函数，利用函数的单调性进行判断.6．（2022·全国·模拟预测）已知124e a =，139e b =，6c =，则a ，b ，c （）A ．a b c <，即11324e 9e <，而9e 4>，于是112294e 4()64>´=，所以c a b <<.故选：D二、多选题7．（2024·山东临沂·一模）已知函数()()221xf x a a =+∈-R ，则（）A ．()f x 的定义域为()(),00,∞-+∞U B ．()f x 的值域为RC ．当1a =时，()f x 为奇函数D ．当2a =时，()()2f x f x -+=【答案】ACD【分析】由分母不为零求出函数的定义域，即可判断A ，再分210x ->、1210x -<-<分别求出函数值的取值范围，即可得到函数的值域，从而判断B ，根据奇偶性判断C ，根据指数幂的运算判断D.【详解】对于函数()()221xf x a a =+∈-R ，令210x -¹，解得0x ¹，所以()f x 的定义域为()(),00,∞-+∞U ，故A 正确；因为20x >，当210x ->时2021>-x ，所以221x a a +>-，当1210x -<-<时2221x<--，所以2221x a a +<-+-，综上可得()f x 的值域为()(),2,a a -∞-++∞U ，故B 错误；当1a =时()22112121x x x f x +=+=--，则()()21212121x x x x f x f x --++-==-=---，所以()2121x f x =+-为奇函数，故C 正确；当2a =时()221212121x x x f x +=+=+--，则()()21211122121x x xx f x f x ---+=++-+++=-，故D 正确.故选：ACD三、填空题8．（2024·辽宁·模拟预测）命题“任意[]1,3x ∈，22x x a -£+”为假命题，则实数a 的取值范围是 .【答案】52a >【分析】根据题意，问题转化为存在[]1,3x ∈，22x x a ->+为真命题，即()min 22x xa ->+，求出22x xy -=+的最小值得解.【详解】若命题任意“[]1,3x ∈，22x x a -£+”为假命题，则命题存在[]1,3x ∈，22x x a ->+为真命题，因为13x ££时，228x ££，令2x t =，则28t ££，则1y t t =+在[]28,上单调递增，所以56528y ££，所以52a >.故答案为：52a >.9．（2024·上海·三模）若m ∈R ，()2,0,1,02x x x f x x ⎧≥ï=⎨<ï⎩，则满足()()23f m f m -≥+的m 的最大值为．【答案】12-/0.5-【分析】先判断函数()f x 的奇偶性与单调性，然后利用偶函数的单调性列不等式，最后解不等式即可得到m 的最大值.【详解】当0x >时，0x -<，即()()122x x f x f x -===-，当0x <时，0x ->，即()()122x xx f x f --===，于是，在(),-∞+∞上，()()f x f x -=都成立，即()f x 为偶函数.由指数函数的单调性可知，()f x 在()0,∞+上单调递增，因此，不等式()()23f m f m -≥+等价于23m m -≥+，即()()2223m m -≥+，解得12m £-.故m 的最大值为12-.故答案为：12-.10．（2024·广东广州·三模）函数()2,21331,2x a x f x ax x x ⎧£=⎨-+>⎩，其中0a >且1a ¹，若函数是单调函数，则a的一个可能取值为．【答案】4（答案不唯一）【分析】根据题意，()f x 在R 上单调递增，根据分段函数单调性列式求解.【详解】因为0a >且1a ¹，若函数是单调函数，结合二次函数可知：()f x 在R 上单调递增，21132245a a a a >⎧ïï£⎨ï£+ï⎩，解得1354a ££.故答案为：4（答案不唯一）.1．（2024·全国·高考真题）已知函数22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩在R 上单调递增，则a 的取值范围是（）A ．(,0]-∞B ．[1,0]-C ．[1,1]-D ．[0,)+∞【答案】B【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.【详解】因为()f x 在R 上单调递增，且0x ≥时，()()e ln 1xf x x =++单调递增，则需满足()02021e ln1a a -⎧-≥ï´-⎨ï-£+⎩，解得10a -££，即a 的范围是[1,0]-.故选：B.2．（2024·天津·高考真题）若0.30.34.24.2 4.2log 0.2a b c -===，，，则a b c ，，的大小关系为（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a>>【答案】B【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.【详解】因为 4.2x y =在R 上递增，且0.300.3-<<，所以0.300.30 4.2 4.2 4.2-<<<，所以0.30.30 4.21 4.2-<<<，即01a b <<<，因为 4.2log y x =在(0,)+∞上递增，且00.21<<，所以 4.2 4.2log 0.2log 10<=，即0c <，所以b a c >>，故选：B3．（2023·全国·高考真题）已知函数()2(1)e x f x --=．记,,a f b f c f ===，则（）A ．b c a >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b>>【答案】A【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.【详解】令2()(1)g x x =--，则()g x 开口向下，对称轴为1x =，4112æ-=ççè，而22491670-=+=>，41102æ-=>ççè11>由二次函数性质知g g <，4112æ-=ççè，而22481682)0-=+-=-=-<，11<，所以g g >，综上，g g g <<，又e x y =为增函数，故a c b <<，即b c a >>.故选：A.4．（2023·全国·高考真题）已知e ()e 1xax x f x =-是偶函数，则=a （）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】D【分析】根据偶函数的定义运算求解.【详解】因为()e e 1x ax x f x =-为偶函数，则()()()()1e e e e 0e 1e 1e 1a x x x x ax ax axx x x f x f x ---éù--ëû--=-==---，又因为x 不恒为0，可得()1e e 0a x x --=，即()1e e a x x -=，则()1x a x =-，即11a =-，解得2a =.故选：D.5．（2021·全国·高考真题）下列函数中最小值为4的是（）A ．224y x x =++B ．4sin sin y x x=+C ．2y 22x x-=+D ．4ln ln y x x=+【答案】C【分析】根据二次函数的性质可判断A 选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出,B D 不符合题意，C 符合题意．【详解】对于A ，()2224133y x x x =++=++≥，当且仅当=1x -时取等号，所以其最小值为3，A 不符合题意；对于B ，因为0sin 1x <£，4sin 4sin y x x=+≥=，当且仅当sin 2x =时取等号，等号取不到，所以其最小值不为4，B 不符合题意；对于C ，因为函数定义域为R ，而20x >，2422242x x xx y -=+=+≥=，当且仅当22x =，即1x =时取等号，所以其最小值为4，C 符合题意；对于D ，4ln ln y x x=+，函数定义域为()()0,11,+∞U ，而ln x R ∈且ln 0x ¹，如当ln 1x =-，5y =-，D 不符合题意．故选：C ．【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．6．（上海·高考真题）方程1139x -=的解为 .【答案】1-【分析】根据指数幂的运算性质，化简得到121339x --==，得出方程，即可求解.【详解】由121339x --==，可得12x -=-，解得=1x -.故答案为: 1-.【点睛】本题主要考查了实数指数幂的运算性质及其应用，其中解答中熟记实数指数幂的运算性质是解答的关键，着重考查运算与求解能力.7．（福建·高考真题）函数()x b f x a -=的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是（）A ．1,0a b >>C ．01,0a b <<>D ．01,0a b <<<【答案】D。

2025年高考数学一轮复习-第三章-第四节-指数与指数函数【课件】

② = =______

没有意义
③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂__________.
r+s
r
s
a
(3)有理数指数幂的运算性质:a ·a =____,(ar)s=
rb r
r
a
(ab) =_____(其中a>0,b>0,r∈Q).
rs(其中a>0,r,s∈Q)
a
__________________,
2
2
得到f(x)=
1 |x+1|
( ) 的图象.
2
(2)(多选题)(2023·福州调研)已知实数a,b满足等式2 023a=2 024b,下列等式可以成
立的是(
)
A.a=b=0
B.a<b<0
C.0<a<bΒιβλιοθήκη D.0<b<a
【解析】选ABD.如图,观察易知,a<b<0或0<b<a或a=b=0,故选ABD.
考向
高考命题以考查指数幂的运算性质、指数函数的单调性与特殊点、指
考法
数幂的大小比较为主,常以选择题或填空题的形式出现.
预计2025年高考中利用指数函数的性质比较大小、指数型函数图象的
预测
识别与应用以及指数型函数单调性的应用是考查的热点,题型为选择题
或填空题.
必备知识·逐点夯实
知识梳理·归纳
1.指数与指数运算
4
1
-3
x
1
x
所以2 ≤2 ≤2 ,所以函数y=2 的值域是[ ,2].
8
4 , ≥ 0,
(2)已知实数a≠1,函数f(x)=ቊ −

指数与指数函数(一轮复习导学案)

§2.6指数与指数函数主备人：钱美平审核人：陈军题型一：指数幂的运算【知识构建】1．指数幂的概念（1）根式:如果一个实数x 满足(1,N )n x a n n *=>∈，那么称x 为a 的，n 叫做根指数，a 叫做被开方数.① 当n 为奇数时，正数的n 次实数方根是一个数，负数的n 次实数方根是一个数，此时，a 的n 次实数方根只有一个，记为x= .② 当n 为偶数时，正数的n 次实数方根有个，它们互为，此时，正数 a 的正的n 次实数方根用符号表示，负的n 次实数方根用符号表示.正负两个n 次实数方根可以合写为 (a >0)的形式.负数没有偶次实数方根. 零的任何次实数方根都是 .（2）根式的性质：①n = ；②当n 为奇数时，n = ；当n 为偶数时, n =a = .2．有理指数幂（1）分数指数幂的表示① 正数的正分数指数幂mn a = ；② 正数的负分数指数幂mn a -= ；③ 0的正分数指数幂是，0的负分数指数幂无意义.（2）有理指数幂的运算性质①s ta a = (0,,a s t Q >∈)； ②()s t a = (0,,a s t Q >∈)； ③()t ab = (0,0,a b t Q >>∈).例1化简：（1） a 3b 23ab 2(a 14b 12)4a －13b 13(a >0，b >0)；（2）21103227()(0.002)2)8----+-+【方法提炼】题型二：指数函数的图象、性质【知识构建】指数函数概念、图象和性质（1）定义：（2）图象与性质例2 （1）函数f(x)＝a x－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列对a，b的范围判断正确的是________.(填序号)①a>1，b<0；②a>1，b>0；③0<a<1，b>0；④0<a<1，b<0.（2）若函数f(x)＝e－(x－μ)2 (e是自然对数的底数)的最大值是m，且f(x)是偶函数，则m＋μ＝________..【方法提炼】题型三：指数函数的应用例3 （1）k 为何值时，方程|3x －1|＝k 无解？有一解？有两解？（2）已知定义在R 上的函数f (x )＝2x －12|x | . ① 若f (x )＝32，求x 的值； ② 若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围.【方法提炼】题型四：综合与创新例4 已知过点O 的直线与函数y ＝3x 的图象交于A ，B 两点，点A 在线段OB 上，过A作y 轴的平行线交函数y ＝9x 的图象于C 点，当BC 平行于x 轴时，点A 的横坐标是________．【方法提炼】【变式训练】变式1：（1）20.520371037(2)0.1(2)392748π--++-+= （2）1132113321(4)()4(0.1)()ab a b ----=变式2.1：已知实数a ，b 满足等式(12)a ＝(13)b ，下列五个关系式： ① 00且a ≠1)的定义域和值域都是[0，2]，则实数a ＝______.变式3：设函数f (x )＝ka x －a －x (a >0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数.(1)若f (1)>0，试求不等式f (x 2＋2x )＋f (x －4)>0的解集；(2)若f (1)＝32，且g (x )＝a 2x ＋a －2x －4f (x )，求g (x )在[1，＋∞)上的最小值.变式4：已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)．(1)求f (x )；(2)若不等式⎝⎛⎭⎫1a x ＋⎝⎛⎭⎫1b x －m ≥0在x ∈(－∞，1]时恒成立，求实数m 的取值范围．。

2020版高考数学一轮(新课改省份专用)复习(学案)2.4指数与指数函数

第四节指数与指数函数突破点一指数幂的运算[基本知识]1．根式 (1)根式的概念若x n＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1且n ∈N *.式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．(2)a 的n 次方根的表示x n＝a ⇒⎩⎨⎧x ＝ n a当n 为奇数且n >1时，x ＝±n a当n 为偶数且n >1时2．有理数指数幂一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)4－a4＝－a .( )(2)(－a )＝(－a )＝－a .( ) (3)(na )n＝a .( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 二、填空题1．计算：π0＋2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫214＝________.答案：1182．设a >0，将a 2a ·3a 2表示成分数指数幂的形式，其结果是________．解析：a 2a ·3a 2＝a 2a ·a23＝a 2a53＝a 2a51×32＝a 2·a ＝a ＝a .答案：a 3．若a －2＝3－2a3，则实数a 的取值范围为________．解析：a －2＝|2a －1|，3－2a3＝1－2a .因为|2a －1|＝1－2a . 故2a －1≤0，所以a ≤12.答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12指数幂的运算规律(1)有括号的先算括号里的，无括号的先进行指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．[典例] (1)a 3a ·5a 4(a >0)的值是( )A ．1B ．aC ．aD ．a(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2 350＋2－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫2 14－(0.01)0.5＝________. [解析] (1)a 3a ·5a 4＝a 3a 12·a45＝a ＝a .故选D.(2)原式＝1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫49－⎝ ⎛⎭⎪⎫1100＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.[答案] (1)D (2)1615[方法技巧]化简指数幂常用的技巧(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫b a －p ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b p(ab ≠0)； (2)a ＝()a 1mm，a ＝(a )n (式子有意义)；(3)1的代换，如1＝a －1a,1＝aa 等；(4) 乘法公式的常见变形，如(a ＋b )(a －b )＝a －b ，(a ±b )2＝a ±2ab ＋b ，(a ±b )(a ∓ab ＋b )＝a ±b .[针对训练]1．化简a 23·b－1-12·a-12·b136a ·b 5(a >0，b >0)的结果是( )A ．aB ．abC ．a 2bD.1a解析：选D 原式＝a 1-3b 12a-12b13a 16b56＝a ·b ＝1a.2．(2019·江西百校联盟联考)已知14a ＝7b ＝4c＝2，则1a －1b ＋1c＝________.解析：由题设可得2＝14,2＝7,2＝4，则2＝147＝2，∴2＝2×4＝23， ∴1a －1b ＋1c＝3.答案：33．若x >0，则(2x ＋3)(2x －3)－4x (x －x )＝________.解析：因为x >0，所以原式＝(2x )2－(3)2－4x ·x ＋4x ·x ＝4x －3－4x ＋4x ＝4x －33－4x ＋4x 0＝－27＋4＝－23.答案：－23突破点二指数函数的图象及应用[基本知识]1．指数函数的图象画指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝⎛⎭⎪⎫－1，1a . 3．指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y ＝a x，(2)y ＝b x，(3)y ＝c x，(4)y ＝d x的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c >d >1>a >b .由此我们可得到以下规律：在y 轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)y ＝2x －1是指数函数．( )(2)y ＝ax ＋1的图象恒过定点(－1,1)．( )(3)要得到y ＝3x ＋2的图象只需将y ＝3x的图象向左平移2个单位即可．( )答案：(1)× (2)√ (3)√ 二、填空题 1．函数y ＝ax －3＋3(a >0，且a ≠1)的图象过定点________．解析：因为指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的图象过定点(0,1)，所以在函数y ＝a x －3＋3中，令x －3＝0，得x ＝3，此时y ＝1＋3＝4，即函数y ＝ax －3＋3的图象过定点(3,4)．答案：(3,4) 2．函数y ＝2x ＋1的图象是________(填序号)．解析：由y ＝2x 的图象向左平移1个单位可得y ＝2x ＋1的图象．答案：①3．已知函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －4x 的图象与指数函数y ＝a x 的图象关于y 轴对称，则实数a 的值是________．解析：由两函数的图象关于y 轴对称，可知12a －4与a 互为倒数，即a2a －4＝1，解得a＝4.答案：4[全析考法]考法一与指数函数有关的图象辨析 [例1] (2019·河北武邑中学调研)函数y ＝e－|x －1|的大致图象是( )[解析] 因为－|x －1|≤0，所以0<e －|x －1|≤e 0，即0<y ＝e－|x －1|≤1，故选B.[答案] B考法二指数函数图象的应用一些指数方程、不等式问题，往往利用相应指数型函数的图象数形结合求解．[例2] (2019·西安八校联考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x，x >0，则满足f (x )＋f (x －1)>1的x 的取值范围是________．[解析] 画出函数f (x )的大致图象如图所示，易知函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增．又x >x －1，且x －(x －1)＝1，f (0)＝1，所以要使f (x )＋f (x －1)>1成立，结合函数f (x )的图象知只需x －1>－1，解得x >0.故所求x 的取值范围是(0，＋∞)． [答案] (0，＋∞)[方法技巧]有关指数函数图象问题的解题思路(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．[集训冲关]1.[考法一]函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( )解析：选A 由f (x )＝1－e |x |是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除B 、D.又e |x |≥1，所以f (x )的值域为(－∞，0]，排除C.2.[考法二]函数y ＝a x－b (a >0且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则a b的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(0,1)D ．无法确定解析：选C 因为函数y ＝a x－b 的图象经过第二、三、四象限，所以函数y ＝a x－b 单调递减且其图象与y 轴的交点在y 轴的负半轴上．令x ＝0，则y ＝a 0－b ＝1－b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，1－b <0，解得⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，b >1，故a b∈(0,1)，故选C.3.[考法二]若曲线|y |＝2x＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________．解析：曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图可知：如果|y |＝2x＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]．答案：[－1,1]突破点三指数函数的性质及应用[基本知识]指数函数的性质(1)指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图象和性质跟a 的取值有关，要特别注意分a >1与0<a <1两种情况来研究．(2)对可化为a 2x＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x＋c ≥0(≤0)的指数方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的取值范围．[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)，当x >0时，y >1.( )(2)若指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)在[1,2]上的最大值为2，则a 为 2.( ) (3)若a m>a n(a >0，且a ≠1)，则m >n .( ) 答案：(1)× (2)√ (3)×1．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x的单调递增区间为________．答案：(－∞，＋∞)2．若－1<x <0，a ＝2－x，b ＝2x ，c ＝0.2x，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析：因为－1<x <0，所以由指数函数的图象和性质可得：2x <1,2－x >1,0.2x>1，又因为0.5x <0.2x，所以b <a <c .答案：b <a <c 3．函数y ＝3x 2－2x 的值域为________．解析：设u ＝x 2－2x ，则y ＝3u ，u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，所以y ＝3u ≥3－1＝13，所以函数y ＝3x 2－2x 的值域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞[全析考法]考法一比较指数式大小或解不等式[例1] (1)已知f (x )＝2x －2－x，a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫79，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫97，c ＝log 279，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系为( )A ．f (b )<f (a )<f (c )B ．f (c )<f (b )<f (a )C ．f (c )<f (a )<f (b )D ．f (b )<f (c )<f (a )(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)[解析] (1)易知f (x )＝2x －2－x在R 上为增函数，又a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫79＝⎝ ⎛⎭⎪⎫97>⎝ ⎛⎭⎪⎫97＝b >0，c ＝log 279<0，则a >b >c ，所以f (c )<f (b )<f (a )．(2)当a <0时，不等式f (a )<1可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －7<1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <8，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3，因为0<12<1，所以a >－3，此时－3<a <0；当a ≥0时，不等式f (a )<1可化为a <1，故a 的取值范围是(－3,1)． [答案] (1)B (2)C[方法技巧]有关指数不等关系的常见题型及求解思路(1)比较大小问题：常化为同底或同指，利用指数函数的单调性，图象或1,0等中间量进行比较．(2)简单的指数方程或不等式的求解问题：解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．考法二与指数函数有关的函数最值问题[例2] (2019·昆明第一中学月考)已知集合A ＝{x |(2－x )(2＋x )>0}，则函数f (x )＝4x－ 2x ＋1－3(x ∈A )的最小值为( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4[解析] 由题知集合A ＝{x |－2<x <2}．又f (x )＝(2x )2－2×2x －3，设2x＝t ，则14<t <4，所以f (x )＝g (t )＝t 2－2t －3＝(t －1)2－4，且函数g (t )的对称轴为直线t ＝1，所以最小值为g (1)＝－4.故选D.[答案] D [方法技巧]形如y ＝a 2x＋b ·a x ＋c (a >0，且a ≠1)型函数最值问题多用换元法，即令t ＝a x转化为y ＝t 2＋bt ＋c 的最值问题，注意根据指数函数求t 的范围．考法三与指数函数有关的函数单调性问题 [例3] (1)若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2](2)若函数f (x )＝a x(a x－3a 2－1)(a >0，且a ≠1)在区间[0，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1C ．(1， 3 ]D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ [解析] (1)由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|. 由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减，故选B.(2)令t ＝a x (t >0)，则原函数转化为y ＝t 2－(3a 2＋1)t ，其图象的对称轴为直线t ＝3a 2＋12. 若a >1，则t ＝a x≥1，由于原函数在区间[0，＋∞)上是增函数，则3a 2＋12≤1，解得－33≤a ≤33，与a >1矛盾；若0<a <1，则0<t ≤1，由于原函数在区间[0，＋∞)上是增函数，则3a 2＋12≥1，解得a ≥33或a ≤－33，所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1.故选B.[答案] (1)B (2)B [方法技巧]与指数函数有关的复合函数的单调性，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成，要注意数形结合思想的运用．[集训冲关]1.[考法一]已知a ＝0.80.7，b ＝0.80.9，c ＝1.20.8，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >b >aD ．c >a >b解析：选D a ＝0.80.7>0.80.9＝b ，a ＝0.80.7<0.80＝1，∴b <a <1，而c ＝1.20.8>1.20＝1，∴c >a >b .2.[考法二]函数y ＝16－2x的值域是( ) A ．[0，＋∞) B ．[0,4] C ．[0,4)D ．(0,4)解析：选C 函数y ＝16－2x 中，因为16－2x≥0，所以2x≤16.因为2x∈(0,16]，所以16－2x∈[0,16)．故y ＝16－2x∈[0,4)．故选C.3.[考法三]函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12的单调递增区间是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1解析：选D 令x －x 2≥0，得0≤x ≤1，所以函数f (x )的定义域为[0,1]，因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 是减函数，所以函数f (x )的增区间就是函数y ＝－x 2＋x 在[0,1]上的减区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，故选D.4.[考法一、三]已知函数f (x )＝a|x ＋1|(a >0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的大小关系是______________．解析：∵|x ＋1|≥0，函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，∴a >1.由于函数f (x )＝a|x ＋1|在(－1，＋∞)上是增函数，且它的图象关于直线x ＝－1对称，则函数在(－∞，－1)上是减函数，故f (1)＝f (－3)，f (－4)>f (1)．答案：f (－4)>f (1)。

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(2)设函数 f(x)＝Error!若 f(a)<1，则实数 a 的取值范围是( )
A．(－∞，－3)
B．(1，＋∞)
C．(－3,1)
D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
( ) ( ) ( ) [解析] (1)易知 f(x)＝2x－2－x 在 R 上为增函数，又 a＝
7 9
-1 4
＝
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1 4
>
9
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(3)1
的代换，如
1＝a－1a,1＝a
-1 2
a
1 2
等；
1
11
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11
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2
(4) 乘法公式的常见变形，如(a 2 ＋b 2 )(a 2 －b 2 )＝a－b，(a 2 ±b 2 )2＝a±2a 2 b 2 ＋b，(a 3 ±b 3 )(a 3 ∓a
11
2
3 b 3 ＋b 3 )＝a±b.
[针对训练]
1
1
1
解析：由题设可得 2 a ＝14,2 b ＝7,2 c ＝4，
则
2
1 a
-
1 b
＝174＝2，
∴2
1 a
-
1 b
+
1 c
＝2×4＝23，
∴1a－1b＋1c＝3. 答案：3
3．若
x>0，则(2x
1 4
＋3
3 2
)(2x
1 4
－3
3 2
)－4x
-1 2
1
(x－x 2 )＝________.
解析：因为
( ] 答案：－∞，12
指数幂的运算规律
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先进行指数运算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．
3．指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx 的图象，底数 a，b，c，d 与 1 之间的大小关系为 c>d>1>a>b.
由此我们可得到以下规律：在 y 轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
解析：由 y＝2x 的图象向左平移 1 个单位可得 y＝2x＋1 的图象．答案：①
( ) 3．已知函数
y＝
1 2a－4
x
的图象与指数函数
y＝ax
的图象关于
y
轴对称，则实数
a
的值是________．
解析：由两函数的图象关于 y 轴对称，可知2a1－4与 a 互为倒数，即2aa－4＝1，解得 a＝4.
答案：4
(1)4 ∓－a∓4＝－a.( )
2
1
(2)(－a) 4 ＝(－a) 2 ＝－a.( )
(3)(n a)n＝a.( )
答案：(1)× (2)× (3)√
二、填空题
[基本能力]
( ) 1．计算：π0＋2－2× 214
1
2 ＝________.
答案：181
2．设 a>0，将 a2 表示成分数指数幂的形式，其结果是________． a·3 a2
0<a<1
y＝ax(a>0，且 a≠1) a>1
图象
图象特征
在 x 轴上方，过定点(0,1) 当 x 逐渐增大时，图象逐渐下降当 x 逐渐增大时，图象逐渐上升
2.画指数函数图象的三个关键点
( ) 画指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，－1，1a .
考法一与指数函数有关的图象辨析
[全析考法]
[例 1] (2019·河北武邑中学调研)函数 y＝e－|x－1|的大致图象是( )
[解析] 因为－|x－1|≤0，所以 0<e－|x－1|≤e0，即 0<y＝e－|x－1|≤1，故选 B. [答案] B 考法二指数函数图象的应用一些指数方程、不等式问题，往往利用相应指数型函数的图象数形结合求解． [例 2] (2019·西安八校联考)设函数 f(x)＝Error!则满足 f(x)＋f(x－1)>1 的 x 的取值范围是________． [解析] 画出函数 f(x)的大致图象如图所示，易知函数 f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．又 x>x－1，且 x－(x－1)＝1，f(0)＝1，所以要使 f(x)＋f(x－1)>1 成立，结合函数 f(x)的图象知只需 x－1>－1，解得 x>0.故所求 x 的取值范围是(0，＋∞)． [答案] (0，＋∞)
[基本能力]
(1)y＝2x－1 是指数函数．( )
(2)y＝ax＋1 的图象恒过定点(－1,1)．( )
(3)要得到 y＝3x＋2 的图象只需将 y＝3x 的图象向左平移 2 个单位即可．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ 二、填空题 1．函数 y＝ax－3＋3(a>0，且 a≠1)的图象过定点________．解析：因为指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的图象过定点(0,1)，所以在函数 y＝ax－3＋3 中，令 x－3＝ 0，得 x＝3，此时 y＝1＋3＝4，即函数 y＝ax－3＋3 的图象过定点(3,4)．答案：(3,4) 2．函数 y＝2x＋1 的图象是________(填序号)．
1．化简∓a·b－1∓·a·b(a>0，b>0)的结果是( ) 6 a·b5
A．a
B．ab
C．a2b
D.1a
解析：选
D 原式＝abaabb＝a
-1 -1 -1 326
·b
2
+
1 -5 36
＝1a.
2．(2019·江西百校联盟联考)已知 14a＝7b＝4c＝2，则1a－1b＋1c＝________.
故选 C.
3.[考法二]若曲线|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 没有公共点，则 b 的取值范围是________．解析：曲线|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 的图象如图所示，由图可知：如果|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 没有公共
点，则 b 应满足的条件是 b∈[－1,1]．
答案：[－1,1]
突破点三指数函数的性质及应用
第四节指数与指数函数
突破点一指数幂的运算
1．根式
[基本知识]
(1)根式的概念
若 xn＝a，则 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n＞1 且 n∈N*.式子n a叫做根式，这里 n 叫做根指数，a 叫做
被开方数．
(2)a 的 n 次方根的表示
xn＝a⇒Error!
2．有理数指数幂
幂的有关概念
m
正分数指数幂：a n ＝n am(a＞0，m，n∈N*，且 n＞1)
所以 0≤a<1.
故 a 的取值范围是(－3,1)．
[答案] (1)B (2)C
[方法技巧]
有关指数不等关系的常见题型及求解思路
(1)比较大小问题：常化为同底或同指，利用指数函数的单调性，图象或 1,0 等中间量进行比较．
[全析考法]
( ) ( ) [例 1] (1)已知 f(x)＝2x－2－x，a＝ 7 9
-1 4
，b＝
9
7
1 5
，c＝log279，则
f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为( )
A．f(b)<f(a)<f(c)
B．f(c)<f(b)<f(a)
C．f(c)<f(a)<f(b)
D．f(b)<f(c)<f(a)
x>0，所以原式＝(2x
1 4
)2－(3
3 2
)2－4x
-1 2
·x＋4x
-
1 2
·x
1 2
＝4x
1´2 4
－3
3×2 2
－4x
-
1+1 2
＋4x
-1+ 2
1 2
＝4x
1
1
2 －33－4x 2 ＋4x0＝－27＋4＝－23.
答案：－23
突破点二指数函数的图象及应用
1．指数函数的图象函数
[基本知识]
A．(1，＋∞)
B．(0，＋∞)
C．(0,1)
D．无法确定
解析：选 C 因为函数 y＝ax－b 的图象经过第二、三、四象限，所以函数 y＝ax－b 单调递减且其图象
与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上．令 x＝0，则 y＝a0－b＝1－b，由题意得Error!解得Error!故 ab∈(0,1)，
[典例] (1) a3 (a>0)的值是( ) a·5 a4
A．1
B．a
1
C．a 5
17
D．a 10
( ) ( ) (2)
2
3 5
0＋2－2·
2
1 4
-
1 2
－(0.01)0.5＝________.
[解析] (1)
a3 a·5
a4＝aa·3a＝a
3-1 -4 25
＝a
17 10
.故选
负分数指数幂：a－
m n
＝1a＝n
1am(a＞0，m，n∈N*，且
n＞1)
0 的正分数指数幂等于_0_，0 的负分数指数幂无意义
aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)
有理数指数幂的性质
(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)
(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)