指数导学案
《指数函数的概念 》导学案
任务一： 阅读课本111页—113页的内容，回答下列问题探究指数函数的定义问题1： 阅读课本，第111页至112页，分析A 、B 两地景区游客人次y 与年份x 的变化规律。
A 地景区的游客人次近似______，______（填“年增长量”或“年增长率”）是一个常数；B 地景区的游客人次是非线性增长，________ （填“年增长量”或“年增长率”）越来越大，但其__________（填“年增长量”或“年增长率”）都约0.11，是一个常数。
问题2：阅读课本，第111页至112页，分析A 、B 两地景区游客人次y 与年份x 的对应关系。
A 地景区的游客人次年增长量相等，故游客人次自2001年后增加量记为y ，则y 与年份x 的对应关系可表示为_________________________，是一个 函数。
B 地景区的游客人次年增长率相等，故游客人次为2001年的倍数记为y ，则y 与年份x 的对应关系可表示为__________________________，是一个函数，其中指数x 是自变量。
问题3：阅读课本，第113页，可知，生物体内碳14含量y 与死亡年数x 的对应关系可表示为__________________________，是一个函数，其中 （填“指数”、“底数”或“幂”）x 是自变量。
如用字母a 代替函数 1.11(0)x y x =≥中的常数1.11与函数y =[(12)15730]x （0x ≥）中的常数(12)15730，以上两个函数的解析式都可以表示为 的形式，其中 （填“指数”、“底数”或“幂”）x 是自变量，底数a 是一个大于0且不等于1的常量。
知识一.指数函数的定义一般地，函数 叫做指数函数，其中 是自变量，定义域是 。
思考：1.指数函数的结构特征：（1）解析式中x a 的系数为 ;(2)底数 a 是,满足 ; （3）自变量 x 是 且 x. 2.为什么指数函数y ＝a x 的底数规定大于0，且不等于1?提示：(1)如果a ＜0，如y ＝(－4)x ，当x ＝14，12时，函数无意义． (2)如果a ＝0，y ＝0x ，当x ＞0时，,0x =0；当x ≤0时，0x 无意义.(3)如果a ＝1，y ＝1x ＝1，是一个常函数，没有研究的必要．为了避免上述各种情况，所以规定a >0，且a ≠1.任务二：用所学知识解决问题题型一：指数函数的概念例1．下列函数中，哪些是指数函数？(1)y ＝10x ； (2) y ＝2x ＋1 (3)y ＝－4x ； (4)y ＝x α(α是常数).（5）y ＝x 3 （6）y ＝3·2x （7）y ＝3－x (8) y ＝x x (x >0) 练习1.若函数x a y )12(-=是指数函数，则a 的取值范围为______.2.若函数f(x)＝(a 2－3a ＋3)a x 是指数函数，求a 的值。
指数函数的概念导学案
4.2.1 指数函数的概念导学案【学习目标】1.了解指数函数的概念.2.会画出指数函数图象(重点).3.会应用指数函数的性质求复合函数的定义域、值域(重点、难点).【自主学习】一．指数函数的定义一般地，函数 (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R .【答案】y ＝a x二．指数函数的图象和性质指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的图象和性质如下表：a >1 0<a <1图象定义域 R 值域(0，＋∞)性质过定点过定点 ，即x ＝0时，y ＝1函数值的变化 当x >0时， ；当x <0时， 当x >0时， ；当x <0时， 单调性在R 上是在R 上是【答案】【当堂达标基础练】1. 下列图象中，有可能表示指数函数的是（ ） 【答案】C【解析】由指数函数的增长速度及定义，可知C 正确． 2．已知函数1()12xf x =+，则对任意实数x ，有（ ） A ．()()0f x f x B ．()()0f x f x --= C ．()()1f x f x -+= D ．1()()3f x f x --=【答案】C3.函数2(2)x y a a =-是指数函数，则（ ） A ．1a =或3a = B ．1a = C ．3a = D ．0a >且1a ≠【答案】C【分析】由指数函数的定义可得2(2)1a -=，同时0a >，且1a ≠，从而可求出a 的值 【详解】由指数函数定义知2(2)1a -=，同时0a >，且1a ≠，所以解得3a =. 故选：C4．若()233xy a a a =-+是指数函数，则有（ ）A ．1a =或2B ．1a =C ．2a =D ．0a >且1a ≠【答案】C【分析】根据指数函数的概念，由所给解析式，可直接求解.【详解】因为()233xy a a a =-+是指数函数，所以233101a aa a ⎧-+=⎪>⎨⎪≠⎩，解得2a =.故选：C ．5．已知函数1(),02()0xx f x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，则[(4)]f f =________.故答案为：46.若函数()132xf x a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（0a >，且1a ≠）是指数函数，则=a ________．一、选择题1．若函数y ＝(a 2－4a ＋4)a x是指数函数，则a 的值是( ) A ．4 B ．1或3 C ．3 D ．1[答案C【解析】由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a ≠1，a 2－4a ＋4＝1，解得a ＝3，故选C.2．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x(x ≥8)的值域是( ) A ．RB.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1256C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，1256 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1256，＋∞【答案】B【解析】因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在[8，＋∞)上单调递减，所以0<⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≤⎝ ⎛⎭⎪⎫128＝1256.3．函数y ＝2x－1的定义域是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，0] C ．[0，＋∞) D ．(0，＋∞)【答案】C【解析】由2x－1≥0得2x≥1，即x ≥0，∴函数的定义域为[0，＋∞)，选C. 4．当a >0，且a ≠1时，函数f (x )＝a x ＋1－1的图象一定过点( )A ．(0,1)B ．(0，－1)C ．(－1,0)D ．(1,0)【答案】C 【解析】∵f (－1)＝a－1＋1－1＝a 0－1＝0，∴函数必过点(－1，0)．5．函数f (x )＝a x与g (x )＝－x ＋a 的图象大致是( )A B C D【答案】A【解析】当a >1时，函数f (x )＝a x单调递增，当x ＝0时，g (0)＝a >1，此时两函数的图象大致为选项A.二、填空题6．函数f (x )＝3x －1的定义域为________． 【答案】[1，＋∞)【解析】由x －1≥0得x ≥1，所以函数f (x )＝3x －1的定义域为[1，＋∞)．7．已知函数f (x )＝a x＋b (a >0，且a ≠1)经过点(－1,5)，(0,4)，则f (－2)的值为________． 【答案】7【解析】由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝5，a 0＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝3，所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋3，所以f (－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＋3＝4＋3＝7.8．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x <0，－2－x，x >0，则函数f (x )的值域是________．【答案】(－1,0)∪(0,1)【解析】由x <0，得0<2x<1；由x >0， ∴－x <0,0<2－x<1， ∴－1<－2－x<0.∴函数f (x )的值域为(－1,0)∪(0,1)．] 三、解答题 9．已知函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，其中a >0且a ≠1.(1)求a 的值；(2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域．[解] (1)因为函数图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12， 所以a2－1＝12，则a ＝12.(2)由(1)知函数为f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1(x ≥0)，由x ≥0，得x －1≥－1.于是0<⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2， 所以函数的值域为(0,2]．10．已知f (x )＝9x－2×3x＋4，x ∈[－1,2]． (1)设t ＝3x，x ∈[－1,2]，求t 的最大值与最小值； (2)求f (x )的最大值与最小值．[解] (1)设t ＝3x ，∵x ∈[－1,2]，函数t ＝3x在[－1,2]上是增函数，故有13≤t ≤9，故t 的最大值为9，t 的最小值为13.(2)由f (x )＝9x －2×3x ＋4＝t 2－2t ＋4＝(t －1)2＋3，可得此二次函数的对称轴为t ＝1，且13≤t ≤9，故当t ＝1时，函数f (x )有最小值为3，当t ＝9时，函数f (x )有最大值为67.【当堂达标素养练】1．函数y ＝a－|x |(0<a <1)的图象是( )A B C D【答案】A【解析】y ＝a －|x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a |x |，易知函数为偶函数，∵0<a <1，∴1a>1，故当x >0时，函数为增函数，当x <0时，函数为减函数，当x ＝0时，函数有最小值，最小值为1，且指数函数为凹函数，故选A.2．若a >1，－1<b <0，则函数y ＝a x＋b 的图象一定在( ) A ．第一、二、三象限 B ．第一、三、四象限 C ．第二、三、四象限 D ．第一、二、四象限【答案】A【解析】∵a >1，且－1<b <0，故其图象如图所示．3．已知函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在[－2，－1]上的最小值是m ，最大值是n ，则m ＋n 的值为________． 【答案】12【解析】∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上为减函数，∴m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝3，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9，故m ＋n ＝12. 4．函数f (x )＝3x3x ＋1的值域是________．【答案】(0,1)【解析】函数y ＝f (x )＝3x3x ＋1，即有3x ＝－y y －1，由于3x＞0，则－y y －1＞0，解得0＜y ＜1，值域为(0,1)．5．已知函数f (x )＝a x＋b (a >0，a ≠1)．(1)若f (x )的图象如图①所示，求a ，b 的取值范围；(2)若f (x )的图象如图②所示，|f (x )|＝m 有且仅有一个实数解，求出m 的范围． [解] (1)由f (x )为减函数可知a 的取值范围为(0,1)， 又f (0)＝1＋b <0，所以b 的取值范围为(－∞，－1)． (2)由图②可知，y ＝|f (x )|的图象如图所示．由图象可知使|f (x )|＝m 有且仅有一解的m 值为m ＝0或m ≥3.6．设函数()3x f x =，且(2)18f a +=，函数()34()ax x g x x R =-∈． （1）求()g x 的解析式；（2）若方程()g x －b=0在 [－2，2]上有两个不同的解，求实数b 的取值范围． 【答案】（1）()24x x g x =-，（2）31,164b ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭【详解】试题分析：（1）；本题求函数解析式只需利用指数的运算性质求出a 的值即可， （2）对于同时含有2,x x a a 的表达式，通常可以令进行换元，但换元的过程中一定要注意新元的取值范围，换元后转化为我们熟悉的一元二次的关系，从而解决问题．试题解析：解：（1）∵()3x f x =，且(2)18f a += ∴⇒∵∴（2）法一：方程为 令，则144t ≤≤ 且方程为在有两个不同的解．设2211()24y t t t =-=--+ ，y b = 两函数图象在1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个交点由图知31,164b ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，方程有两不同解．法二： 方程为 ，令，则144t ≤≤ ∴方程在1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 上有两个不同的解．设21(),,44f t t t b t ⎡⎤=-+-∈⎢⎥⎣⎦解得31,164b ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭考点：求函数的解析式，求参数的取值范围【方法点睛】求函数解析式的主要方法有待定系数法，换元法及赋值消元法等；已知函数的类型（如一次函数，二次函数，指数函数等），就可用待定系数法；已知复合函数的解析式，可用换元法，此时要注意自变量的取值范围；求分段函数的解析式时，一定要明确自变量的所属范围，以便于选择与之对应的对应关系，避免出错．。
新人教A版必修1高中数学2.1.2-3指数函数及其性质导学案
高中数学 2.1.2-3指数函数及其性质导学案 新人教A 版必修1学习目标：深入学习指数函数的性质学习重点：能解决与指数函数有关的综合应用问题 学习过程：一、 关于定义域：求下列函数的定义域 1、1621-=xy2、191-⎪⎭⎫ ⎝⎛=xy3、x y 416-=二、 关于值域： 1、求下列函数的值域（1）3121+⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y（2）xy ⎪⎭⎫⎝⎛=32（3）212225.0+-=x x y（4）231-=+x y ，[]0,2-∈x （5）121-=x y2、函数)1,0(≠>=a a a y x 在[]2,1上的最大值比最小值大2a ，则a 的值为______三、 关于单调性：1、 求下列函数的单调区间 （1）12.01-=xy(2)322-+=x x a y ）（1,0≠>a a2、 已知x x a a a a -++>++122)2()2(，则x 的取值范围是_____________四、 关于奇偶性 1、判断函数xx f 2121)(+-=的奇偶性2、已知函数x x eaa e x f +=)( )0(>a 是R 上的偶函数，求a 的值 一、选择题1、 若指数函数y a x =+()1在()-∞+∞，上是减函数，那么（ ） A 、 01<<a B 、 -<<10a C 、 a =-1 D 、 a <-12、已知310x =，则这样的（ ）A 、 存在且只有一个B 、 存在且不只一个C 、 存在且x <2D 、 根本不存在 3、函数f x x ()=-23在区间()-∞，0上的单调性是（ ） A 、 增函数 B 、 减函数C 、 常数D 、 有时是增函数有时是减函数4、下列函数图象中，函数y a a a x =>≠()01且，与函数y a x =-()1的图象只能是（ ）y y y yO x O x O x O xA B C D11115、函数f x x ()=-21，使f x ()≤0成立的的值的集合是（ ）A 、 {}x x <0B 、 {}x x <1C 、 {}x x =0D 、 {}x x =16、函数f x g x x x ()()==+22，，使f x g x ()()=成立的的值的集合（ ） A 、 是φ B 、 有且只有一个元素 C 、 有两个元素 D 、 有无数个元素7、若函数(1)x y a b =+-（0a >且1a ≠）的图象不经过第二象限，则有 （ ）A 、1a >且1b <B 、01a <<且1b ≤C 、01a <<且0b >D 、1a >且0b ≤ 8、F(x)=(1+)0)(()122≠⋅-x x f x是偶函数，且f(x)不恒等于零，则f(x)( )A 、是奇函数B 、可能是奇函数，也可能是偶函数C 、是偶函数D 、不是奇函数，也不是偶函数 二、填空题9、 函数y x =-322的定义域是_________。
《指数函数的发展历程》导学案
《指数函数的发展历程》导学案指数函数的发展历程导学案简介指数函数是数学中一类十分重要的函数，被广泛应用于自然科学、工程技术、经济学等领域。
本导学案将带领你了解指数函数的历史发展及其应用。
研究目标通过本导学案的研究，你将能够：1. 了解指数函数的概念和特点；2. 了解指数函数的历史发展过程；3. 掌握指数函数的基本性质和运算规则；4. 掌握指数函数在实际问题中的应用。
研究内容1. 指数函数的概念指数函数是具有形式 `f(x) = a^x` 的函数，其中 `a` 是常数，且`a>0` 且`a≠1`。
指数函数具有以下特点：- 当 `x` 为整数时，指数函数具有与指数运算相一致的性质；- 当 `x` 为有理数时，指数函数具有与根式运算相一致的性质；- 当 `x` 为无理数时，指数函数具有与指数运算和根式运算相结合的性质。
2. 指数函数的历史发展指数函数最早由比萨大教堂的建筑师勒昂纳多·斐波那契在13世纪提出，并用于解决兔子繁殖问题。
指数函数的研究随后得到了牛顿、莱布尼茨等数学家的关注，并逐渐发展成为一门独立的分支学科。
3. 指数函数的性质和运算规则指数函数具有以下基本性质和运算规则：- 指数函数的定义域为实数集，值域为正实数集；- 指数函数的图像总是通过点 `(0,1)`；- 指数函数具有指数增长和指数衰减的特点；- 指数函数之间可以进行加减乘除和指数运算等基本运算。
4. 指数函数的应用指数函数在实际问题中有广泛的应用，例如：- 在科学实验中，指数函数可用于描述变化速度快的现象；- 在金融领域中，指数函数可用于描述指数资产的增长或衰减情况；- 在生物学中，指数函数可用于描述细胞分裂和微生物繁殖等过程。
总结指数函数是一类具有重要应用价值的函数，通过了解指数函数的历史发展、性质和运算规则，以及其在实际问题中的应用，我们能够更好地理解和利用指数函数。
通过继续深入研究和实践，我们将能够在更多领域中应用指数函数，推动科学技术的发展。
指数函数导学案
指数函数及其性质（3课时）班级： 姓名 学号学习任务：（1）理解指数函数的的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性和特殊点； （2）在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合的方法等．学习重点：指数函数的的念和性质．学习难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质． 学习过程：一、自主学习1、问题1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个， 2个分裂成4个，……依此类推，写出1个这样的细胞分裂x 次后，得到的细胞个数y 与x 的函数解析式？问题2：公元前300年左右，中国有位杰出的学者庄子，在他的文章《庄子·天下篇》 中写道：一尺之棰，日取其半，万世不竭。
意思是，一尺长的木棍，每天截掉一半，千年万载也截不完！设第 x 天截得的木棍长度为y 尺。
根据这句话，试求x 与y 之间的函数关系。
解答：问题1函数解析式为_________ 问题2函数解析式为_______ 思考（1）以上两个函数有何共同特征？当x 扩充到R 时，称作什么函数？（2）这类函数与我们学过的函数y=x,21,x y x y ==-一样吗？有什么区别？2、指数函数的概念（1）指数函数的定义：一般地，函数_____________________叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为_____________．（2）指数函数解析式的特征：___________________________________________________（3）为什么规定底数a ＞０且a ≠１呢？为什么定义域为R ？（4）利用指数函数的定义解决：二、练一练：例1.判断下列函数是不是指数函数，为什么？212333133x x x x x xxy x y x y y y y y y π+-====⋅==+=-=① ② ③ ④ ⑤ ⑥⑦⑧注意：指数函数的解析式y=x a 中，x a 的系数是思考：确定一个指数函数需要什么条件？例2.指数函数f(x)的图像经过点（2，9），求解析式及f(1) , f(-2)合作探究一：01xy a a a =>≠三、指数函数(且)的图象特征的学习12()2x x y y ==1.在同一直角坐标系中用描点法画出函数与的图象；列表： 2x y =1()2x y =描点、连线：2．观察底数a 取其它值时函数图象变化的情况y a 归纳结论：(1)两个指数函数的图象关于轴对称时其解析式的特点：____________(2)指数函数的图象与底数之间的规律：______________巩固练习一：1321.______.2..2.32x xxA yB y xC yD y +-====-下列函数一定是指数函数的是(21),x y a a =-2.函数为指数函数求满足的范围______观察、思考：（1） 这两个函数的图象有什么关系？ （2） 这两个函数的图象各有什么特点？ 试着从以下几个方面找出这两个图象的共同点和不同点： ① 图象范围② 图象经过的特殊点③图象从左向右的变化趋势x 合作探究二：0且你能根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质吗？请完成下面表格：五、指数函数的应用例3：较下列各题中几个值的大小：2.530.10.20.33.11.7,1.70.8,0.8 1.7,0.9--①②③例题3解题方法小结：比较两个指数数幂的大小练一练：1.完成课本第73页练习1。
《指数与指数幂的运算(1)》导学案
2.1.1《指数与指数幂的运算（1）》导学案姓名: 班级: 组别: 组名: 【学习目标】1、理解根式的概念2、理解分数指数幂的概念3、能运用根式、指数幂的运算性质进行化简、求值 【重点难点】▲重点：根式、分数指数幂的概念 ▲难点：根式、指数幂的运算性质 【知识链接】1、二次根式的性质 a a =2)(，⎩⎨⎧<->==00||2a a a a a a2、整数指数幂及运算性质【学习过程】阅读课本P49，尝试回答以下问题 知识点一：根式的定义问题1：一般地，如果a x n=，那么 叫做 的 ，其中 。
①当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数， 这时a 的n 次方根用符号______表示。
②当n 为偶数时，正数的n 次方根是____________，记为__________。
负数没有偶次方根 ，0的任何次方根都等于_____问题2：式子na 叫_______，其中n （1>n 且*∈N n ）叫做________，a 叫做___________。
问题3：根据n 次方根的意义，可以得到：⑴()=nna ⑵为偶数为奇数n n a n n ⎩⎨⎧=问题4：计算 （1）=333（2）=-55)5.0(（3）=-44)2(（4）=-44)3(π阅读P50—52内容，尝试回答以下问题 知识点二：分数指数幂 问题1：当a ＞0时， ①5102510a a a==②==4312a a _________③47a 也能写成分数指数幂的形式么？ 问题2：我们规定正分数指数幂的意义： =nm a______________________________________ (注意条件)我们规定负分数指数幂的定义：=-nm a______________________________________ （注意条件）0的正分数指数幂_______________，0的负分数指数幂_______________ 问题3：用分数指数幂表示下列各式（1）=32x __________（2）=+43)(b a __________（0>+b a ）（3）=-6)(n m __________（n m >）问题4：有理数指数幂的运算性质是:（1）sra a =________（a ＞0，r 、s Q ∈） （2）s r a )(=________（a ＞0，r 、s Q ∈）（3）r ab )(=________（a ＞0，b ＞0，r Q ∈） 它可推广到无理数。
高中数学：指数与指数函数导学案
指数与指数函数1．根式 (1)根式的概念若x n ＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1且n ∈N *，式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数． (2)a 的n 次方根的表示x n ＝a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝n a (当n 为奇数且n ∈N *时)，x ＝±n a (当n 为偶数且n ∈N *时).2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正分数指数幂：＝na m (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)；②负分数指数幂： (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)；③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s ＝a r ＋s (a ＞0，r ，s ∈Q )； ②(a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象与性质R4.(1)na n与(na)n都等于a(n∈N*)．()(2)函数y＝a－x是R上的增函数．()(3)函数y＝a x2＋1(a＞1)的值域是(0，＋∞)．()(4)当x＞0时，y＝a x＞1.()(5)函数y＝2x－1＋1，过定点(0,1)．()考点一指数幂的运算[方法引航]指数幂的化简方法(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算.(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数.(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答.1．化简－(－1)0的结果为()（易错）A．－9B．7C．－10 D．9考点二指数函数图象及应用命题点1.指数函数图象的变换2.指数函数图象的应用[例2](1)函数x b的是()A．a＞1，b＜0 B．a＞1，b＞0C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0(2)k为何值时，方程|3x－1|＝k无解？有一解？有两解？[方法引航](1)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象.(2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解.1．函数f(x)＝2|x－1|的图象是()2．若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．考点三指数函数的性质命题点1.比较指数式的大小2.解指数方程或指数不等式[例3] (1)设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1.5，则( )A ．y 3＞y 1＞y 2B ．y 2＞y 1＞y 3C ．y 1＞y 2＞y 3D ．y 1＞y 3＞y 2 (2)不等式2－x2＋2x＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋4的解集为________． (3)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3①若f (x )有最大值3，求a 的值； ②若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值．[方法引航] (1)比较两个指数幂大小时，尽量化同底或同指，当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小.(2)解决简单的指数方程或不等式问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论.(3)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性的求解方法，与前面所讲一般函数的求解方法一致，只需根据条件灵活选择即可.1．若本例(1)中的三个数变为y 1＝，y 2＝，y 3＝，则大小关系如何．2．在本例(3)中，若a ＝－1，求f (x )的单调区间．3．在本例(3)中，若a ＝1，求使f (x )＝1的x 的解．[方法探究]整体换元法，巧化指数式指数式的运算化简除了定义和法则外，根据不同的题目结构，可采用整体换元等方法．一、根据整体化为同指数[典例1] 计算(3－2)2 018·(3＋2)2 019的值为________．二、根据整体化为同底数[典例2] 若67x ＝27,603y ＝81，则3x －4y ＝________.期末考试第一题三、根据整体构造代数式 [典例3] 已知a 2－3a ＋1＝0，则＝________.四、根据整体构造常数a x ·a －x ＝1 [典例4] 化简4x4x ＋2＋41－x 41－x ＋2＝________.五、根据整体换元[典例5] 函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1在区间[－3,2]上的值域是________．[高考真题体验]1．已知则( )A ．b ＜a ＜cB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b2．已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数．记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜a ＜b C ．a ＜c ＜bD ．c ＜b ＜a3．下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的单调递增函数是( ) A ．f (x )＝x 3 B ．f (x )＝3x C ．f (x )＝D ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x4．已知函数f (x )＝a x ＋b (a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝________.5．若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，则实数m 的最小值等于________．课时规范训练 A 组 基础演练1．函数y ＝a x －a (a ＞0，且a ≠1)的图象可能是( )2．在同一坐标系中，函数y ＝2x与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象之间的关系是( )A ．关于y 轴对称B ．关于x 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y ＝x 对称3．函数y ＝2x －2－x 是( )A ．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增B ．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减C ．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增D ．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减 4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x(x ＞0)，e x (x ≤0)，若F (x )＝f (x )＋x ，x ∈R ，则F (x )的值域为( )A ．(－∞，1]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，1]∪[2，＋∞)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)5．指数函数y ＝(2－a )x 在定义域内是减函数，则a 的取值范围是________．6．计算：＝________.7．若函数f (x )＝a x －x －a (a ＞0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．8．设a ＞0且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1,1]上的最大值是14，求a 的值．9．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量且a ＞0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)． (1)试确定f (x )；(2)若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x －m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．B 组 能力突破1．偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且在x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则关于x 的方程f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x 在x ∈[0,4]上解的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．42．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧(1－3a )x ＋10a ，x ≤7，a x －7，x ＞7是定义域上的递减函数，则实数a的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12B.⎝ ⎛⎦⎥⎤13，611C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23D.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，611 3．已知f (x )＝9x －13x ＋1，且f (a )＝3，则f (－a )的值为________．结论：4．设函数f (x )＝aa 2－1(a x －a －x )(a ＞0，a ≠1) (1)讨论f (x )的单调性；(2)若m ∈R 满足f (m )＞f (m 2＋2m －2)，求m 的范围．。
高一数学(§212 指数函数及其性质)导学案
§2.1.2 指数函数及其性质（1）学习目标1. 了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；2. 理解指数函数的概念和意义；3. 能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数的性质（单调性、特殊点）.学习过程一、课前准备（预习教材P 54~ P 57，找出疑惑之处） 复习1：零指数、负指数、分数指数幂怎样定义的？ （1）0a = ；（2）na-= ；（3）mna = ；m na -= .其中*0,,,1a m n N n >∈>复习2：有理指数幂的运算性质.（1）m n a a = ；（2）()m n a = ；（3）()n ab = . 二、新课导学 ※ 学习探究探究一：指数函数模型思想及指数函数概念实例： A ．细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x 次分裂得到y 个细胞，那么细胞个数y 与次数x 的函数关系式是什么？B ．一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84％，那么以时间x 年为自变量，残留量y 的函数关系式是什么？讨论：上面的两个函数有什么共同特征？底数是什么？指数是什么？新知：反思：为什么规定a ＞0且a ≠1呢？否则会出现什么情况呢？探究二：指数函数的图象和性质引言：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？ 回顾：研究方法：画出函数图象，结合图象研究函数性质．研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性． 作图：在同一坐标系中画出下列函数图象：1()2x y =， 2x y =讨论：（1）函数2x y =与1()2x y =的图象有什么关系？如何由2x y =的图象画出1()2x y =的图象？（2）根据两个函数的图象的特征，归纳出这两个指数函数的性质. 变底数为3或13后呢？新知：根据图象归纳指数函数的性质.a >1 0<a <1图 象性质(1)定义域： (2)值域 (3)过定点 (4)单调性(4)单调性※例1函数()x f x a =（0,1a a >≠且）的图象过点(2,)π，求(0)f ,(1)f -,(1)f 的值.小结：①确定指数函数重要要素是 ；② 待定系数法. 例2比较下列各组中两个值的大小：（1）0.60.52,2； （2）2 1.50.9,0.9-- ； （3）0.5 2.12.1,0.5 ； （4）231-与.小结：利用单调性比大小；或间接利用中间数.※ 动手试试练1. 已知下列不等式，试比较m 、n 的大小：（1）22()()33m n >； （2） 1.1 1.1m n <.练2. 比较大小：（1）0.70.90.80.8,0.8, 1.2a b c ===；（2）01, 2.50.4,-0.22-, 1.62.5.练3. 已知下列不等式，比较,m n 的大小.（1）33m n <； （2）0.60.6m n >； （3）(1)m n a a a >> ；（4） (01)m n a a a <<<. 三、总结提升 ※ 学习小结①指数函数模型应用思想；②指数函数概念；③指数函数的图象与性质；③单调法. ※ 知识拓展因为(01)x y a a a =>≠，且的定义域是R ， 所以()(01)f x y a a a =>≠，且的定义域与()f x 的定义域相同. 而()(01)x y a a a ϕ=>≠，且的定义域，由()y t ϕ=的定义域确定.学习评价1. 函数2(33)x y a a a =-+是指数函数，则a 的值为（ ）. A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 任意值2. 函数f (x )=21x a -+ (a >0,a ≠1)的图象恒过定点（ ）. A. (0,1) B. (0,2) C. (2,1) D. (2,2)3. 指数函数①()xf x m =，②()xg x n =满足不等式 01m n <<<，则它们的图象是（ ）.4. 比较大小：23( 2.5)- 45( 2.5)-.5. 函数1()19x y =-的定义域为 .课后作业1. 求函数y =1151x x--的定义域.2.求函数112x y -=的定义域，值域3.解不等式221()22x -≤4.如果224,(0,1)x xx a a a a -+>>≠且，求x 的取值范围。
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指数与指数函数（预习案）
命题人 张慧 班级 姓名
1、 了解指数函数模型的实际背景。
2、 理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。
3、 理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点。
1、 根式和正数的分数指数幂
（1）=a n m
(a>0,m,n ∈N +,且m/n 为既约分数)。
（2）=-a
n m (a>0,m,n ∈N +,且m/n 为既约分数)。
（3）0的任何次方根都是 ，即 =0。
（4）()
=n a n （n ∈N +）。
（5）当n 为奇数时，=n n a ；当n 为偶数时，=n n a 。
2、 有理指数幂的运算性质 （1）a a s r ⋅= （a>0,r,s ∈Q ）.
（2）
()a r s = （a>0,r,s ∈Q ）. (3 )()ab r = (a>0,b>0,r ∈Q).
（4）=÷a a s r （a>0,r,s ∈Q ）.
3、 指数函数
一般地，函数y=a x (a>0,a ≠1,x ∈R)叫做 ，其中x 是自变量。
4. 指数函数的图像与性质
1 .已知函数()()1,0≠>+=-a a x f a a x
x ，若f(-1)=3,则f(0)+f(2)的值为（ ） A.13 B.9 C.7 D.11
2. 若定义域为R 的函数f(x)满足条件：f(0)=1,f(3x)=[f(x)]3,则f(x)可能是（ ）
A.f(x)=2x
B.f(x)=x 3
C.f(x)=(1/4)x
D.f(x)=log 2(x+1)
3. 函数f(x)=a x-2009+2009(a>0,a ≠1)的图像恒过定点P ，则P 点坐标为
4. 函数f(x)=(1/5)x -3x 在闭区间[-1,1]上的最大值等于 。
5. 函数()()3/23+=x x f 的单调递减区间是 ，该函数的最大值是 。
通过这堂课的学习，我明确了
收获与感受
疑惑之处
指数与指数函数（学习案）
命题人 郑卫生 张晓菲 班级 姓名
1了解指数函数模型的实际背景。
2理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。
3理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点。
例1 若2x =8y-1,9y =3x-9,则x+y 等于（ ）
A.18
B.24
C.27
D.45
例2 函数x x y a x =
（0<a<1）的图像的大致形状是（ ）
例3 已知函数()()
3/142-=x x f ， （1） 求函数的单调区间； （2） 解不等式()331≤
x f
例4 如果函数y=a 2x +2a x -1(a>0,a ≠1)在区间[-1,1]上的最大值是14，求a 的值。
1.在养分充足的情况下，细菌的数量会以指数函数的方式成长。
假设细菌A 的数量每2小时可以成长为原来的2倍；细菌B 的数量每5个小时可以成长为原来的4倍。
现在若养分充足且一开始两种细菌的数量相等，则经过（ ）小时后，细菌A 的数量是B 的数量的两倍。
A.5
B.10
C.15
D.20
2.若函数y=a x +b-1(a>0,a ≠1)的图象经过第二，三，四象限，则一定有（ ）
A.0<a<1,b>0
B.a>1,b>0
C.0<a<1,b<0
D.a>1,b<0
3. 函数12-=x y 在区间（k-1,k+1）上不单调，则k 的取值范围（ ）
A.(-1,+∞)
B.(-∞,1)
C.(-1,1)
D.(0,2)
4.（1）已知-1≤x ≤0,函数y=2
x+2-3*4x 的最大值为 （2）函数221x x y +=
的值域为
1. 若x>0,则=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-
⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x x x x 2121234123414
2
2
33
2. 若52sin ,3,log log 225.0ππ===c b a , 则（ ）
A.a>b>c
B.b>a>c
C.c>a>b
D.b>c>a
3. 若函数f(x),g(x)分别为R 上的奇函数,偶函数，且满足f(x)-g(x)=e x ,则有（ ）
A ．f(2)<f(3)<g(0) B. g(0)< f(3)< f(2) C. f(2)< g(0)< f(3)
D. g(0)< f(2)< f(3)
已知函数f(x)=(1/3)x ,x ∈[-1,1],函数g(x)=f 2(x)-2af(x)+3的最小值为h(a),
(1) 求h(a)；
（2）是否存在实数m ，同时满足以下条件：
①m>n>3;
②当h(a)的定义域为[n,m]时，值域为[n 2,m 2]?若存在，求出m,n 的值；若不存在，说明
理由。
1. 比较两个指数幂大小时，尽量化为同底或同指，当底数相同，指数不同时，构造同
一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小或构造一个幂函数。
2. 解简单的指数不等式时，当底数含参数，且底数的大小不确定时，要对底数分大于
1与大于零小于1的正数两种情况进行讨论，即
()()()()()()⎩⎨⎧<<<>>⇔>10,1,a x g x f a x g x f a a x g x f 3.
在第一象限，指数函数图象由下往上，对应底数逐渐增大。
4. 可化为02=+⋅+C B a a x x 或02≥+⋅+C B a a x
x （或≤0）的指数方程或不等式，常借助换元法解决。