指数函数及其性质导学案
指数函数的概念导学案
4.2.1 指数函数的概念导学案【学习目标】1.了解指数函数的概念.2.会画出指数函数图象(重点).3.会应用指数函数的性质求复合函数的定义域、值域(重点、难点).【自主学习】一．指数函数的定义一般地，函数 (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R .【答案】y ＝a x二．指数函数的图象和性质指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的图象和性质如下表：a >1 0<a <1图象定义域 R 值域(0，＋∞)性质过定点过定点 ，即x ＝0时，y ＝1函数值的变化 当x >0时， ；当x <0时， 当x >0时， ；当x <0时， 单调性在R 上是在R 上是【答案】【当堂达标基础练】1. 下列图象中，有可能表示指数函数的是（ ） 【答案】C【解析】由指数函数的增长速度及定义，可知C 正确． 2．已知函数1()12xf x =+，则对任意实数x ，有（ ） A ．()()0f x f x B ．()()0f x f x --= C ．()()1f x f x -+= D ．1()()3f x f x --=【答案】C3.函数2(2)x y a a =-是指数函数，则（ ） A ．1a =或3a = B ．1a = C ．3a = D ．0a >且1a ≠【答案】C【分析】由指数函数的定义可得2(2)1a -=，同时0a >，且1a ≠，从而可求出a 的值 【详解】由指数函数定义知2(2)1a -=，同时0a >，且1a ≠，所以解得3a =. 故选：C4．若()233xy a a a =-+是指数函数，则有（ ）A ．1a =或2B ．1a =C ．2a =D ．0a >且1a ≠【答案】C【分析】根据指数函数的概念，由所给解析式，可直接求解.【详解】因为()233xy a a a =-+是指数函数，所以233101a aa a ⎧-+=⎪>⎨⎪≠⎩，解得2a =.故选：C ．5．已知函数1(),02()0xx f x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，则[(4)]f f =________.故答案为：46.若函数()132xf x a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（0a >，且1a ≠）是指数函数，则=a ________．一、选择题1．若函数y ＝(a 2－4a ＋4)a x是指数函数，则a 的值是( ) A ．4 B ．1或3 C ．3 D ．1[答案C【解析】由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a ≠1，a 2－4a ＋4＝1，解得a ＝3，故选C.2．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x(x ≥8)的值域是( ) A ．RB.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1256C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，1256 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1256，＋∞【答案】B【解析】因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在[8，＋∞)上单调递减，所以0<⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≤⎝ ⎛⎭⎪⎫128＝1256.3．函数y ＝2x－1的定义域是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，0] C ．[0，＋∞) D ．(0，＋∞)【答案】C【解析】由2x－1≥0得2x≥1，即x ≥0，∴函数的定义域为[0，＋∞)，选C. 4．当a >0，且a ≠1时，函数f (x )＝a x ＋1－1的图象一定过点( )A ．(0,1)B ．(0，－1)C ．(－1,0)D ．(1,0)【答案】C 【解析】∵f (－1)＝a－1＋1－1＝a 0－1＝0，∴函数必过点(－1，0)．5．函数f (x )＝a x与g (x )＝－x ＋a 的图象大致是( )A B C D【答案】A【解析】当a >1时，函数f (x )＝a x单调递增，当x ＝0时，g (0)＝a >1，此时两函数的图象大致为选项A.二、填空题6．函数f (x )＝3x －1的定义域为________． 【答案】[1，＋∞)【解析】由x －1≥0得x ≥1，所以函数f (x )＝3x －1的定义域为[1，＋∞)．7．已知函数f (x )＝a x＋b (a >0，且a ≠1)经过点(－1,5)，(0,4)，则f (－2)的值为________． 【答案】7【解析】由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝5，a 0＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝3，所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋3，所以f (－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＋3＝4＋3＝7.8．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x <0，－2－x，x >0，则函数f (x )的值域是________．【答案】(－1,0)∪(0,1)【解析】由x <0，得0<2x<1；由x >0， ∴－x <0,0<2－x<1， ∴－1<－2－x<0.∴函数f (x )的值域为(－1,0)∪(0,1)．] 三、解答题 9．已知函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，其中a >0且a ≠1.(1)求a 的值；(2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域．[解] (1)因为函数图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12， 所以a2－1＝12，则a ＝12.(2)由(1)知函数为f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1(x ≥0)，由x ≥0，得x －1≥－1.于是0<⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2， 所以函数的值域为(0,2]．10．已知f (x )＝9x－2×3x＋4，x ∈[－1,2]． (1)设t ＝3x，x ∈[－1,2]，求t 的最大值与最小值； (2)求f (x )的最大值与最小值．[解] (1)设t ＝3x ，∵x ∈[－1,2]，函数t ＝3x在[－1,2]上是增函数，故有13≤t ≤9，故t 的最大值为9，t 的最小值为13.(2)由f (x )＝9x －2×3x ＋4＝t 2－2t ＋4＝(t －1)2＋3，可得此二次函数的对称轴为t ＝1，且13≤t ≤9，故当t ＝1时，函数f (x )有最小值为3，当t ＝9时，函数f (x )有最大值为67.【当堂达标素养练】1．函数y ＝a－|x |(0<a <1)的图象是( )A B C D【答案】A【解析】y ＝a －|x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a |x |，易知函数为偶函数，∵0<a <1，∴1a>1，故当x >0时，函数为增函数，当x <0时，函数为减函数，当x ＝0时，函数有最小值，最小值为1，且指数函数为凹函数，故选A.2．若a >1，－1<b <0，则函数y ＝a x＋b 的图象一定在( ) A ．第一、二、三象限 B ．第一、三、四象限 C ．第二、三、四象限 D ．第一、二、四象限【答案】A【解析】∵a >1，且－1<b <0，故其图象如图所示．3．已知函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在[－2，－1]上的最小值是m ，最大值是n ，则m ＋n 的值为________． 【答案】12【解析】∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上为减函数，∴m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝3，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9，故m ＋n ＝12. 4．函数f (x )＝3x3x ＋1的值域是________．【答案】(0,1)【解析】函数y ＝f (x )＝3x3x ＋1，即有3x ＝－y y －1，由于3x＞0，则－y y －1＞0，解得0＜y ＜1，值域为(0,1)．5．已知函数f (x )＝a x＋b (a >0，a ≠1)．(1)若f (x )的图象如图①所示，求a ，b 的取值范围；(2)若f (x )的图象如图②所示，|f (x )|＝m 有且仅有一个实数解，求出m 的范围． [解] (1)由f (x )为减函数可知a 的取值范围为(0,1)， 又f (0)＝1＋b <0，所以b 的取值范围为(－∞，－1)． (2)由图②可知，y ＝|f (x )|的图象如图所示．由图象可知使|f (x )|＝m 有且仅有一解的m 值为m ＝0或m ≥3.6．设函数()3x f x =，且(2)18f a +=，函数()34()ax x g x x R =-∈． （1）求()g x 的解析式；（2）若方程()g x －b=0在 [－2，2]上有两个不同的解，求实数b 的取值范围． 【答案】（1）()24x x g x =-，（2）31,164b ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭【详解】试题分析：（1）；本题求函数解析式只需利用指数的运算性质求出a 的值即可， （2）对于同时含有2,x x a a 的表达式，通常可以令进行换元，但换元的过程中一定要注意新元的取值范围，换元后转化为我们熟悉的一元二次的关系，从而解决问题．试题解析：解：（1）∵()3x f x =，且(2)18f a += ∴⇒∵∴（2）法一：方程为 令，则144t ≤≤ 且方程为在有两个不同的解．设2211()24y t t t =-=--+ ，y b = 两函数图象在1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个交点由图知31,164b ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，方程有两不同解．法二： 方程为 ，令，则144t ≤≤ ∴方程在1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 上有两个不同的解．设21(),,44f t t t b t ⎡⎤=-+-∈⎢⎥⎣⎦解得31,164b ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭考点：求函数的解析式，求参数的取值范围【方法点睛】求函数解析式的主要方法有待定系数法，换元法及赋值消元法等；已知函数的类型（如一次函数，二次函数，指数函数等），就可用待定系数法；已知复合函数的解析式，可用换元法，此时要注意自变量的取值范围；求分段函数的解析式时，一定要明确自变量的所属范围，以便于选择与之对应的对应关系，避免出错．。
新人教A版必修1高中数学2.1.2-3指数函数及其性质导学案
高中数学 2.1.2-3指数函数及其性质导学案 新人教A 版必修1学习目标：深入学习指数函数的性质学习重点：能解决与指数函数有关的综合应用问题 学习过程：一、 关于定义域：求下列函数的定义域 1、1621-=xy2、191-⎪⎭⎫ ⎝⎛=xy3、x y 416-=二、 关于值域： 1、求下列函数的值域（1）3121+⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y（2）xy ⎪⎭⎫⎝⎛=32（3）212225.0+-=x x y（4）231-=+x y ，[]0,2-∈x （5）121-=x y2、函数)1,0(≠>=a a a y x 在[]2,1上的最大值比最小值大2a ，则a 的值为______三、 关于单调性：1、 求下列函数的单调区间 （1）12.01-=xy(2)322-+=x x a y ）（1,0≠>a a2、 已知x x a a a a -++>++122)2()2(，则x 的取值范围是_____________四、 关于奇偶性 1、判断函数xx f 2121)(+-=的奇偶性2、已知函数x x eaa e x f +=)( )0(>a 是R 上的偶函数，求a 的值 一、选择题1、 若指数函数y a x =+()1在()-∞+∞，上是减函数，那么（ ） A 、 01<<a B 、 -<<10a C 、 a =-1 D 、 a <-12、已知310x =，则这样的（ ）A 、 存在且只有一个B 、 存在且不只一个C 、 存在且x <2D 、 根本不存在 3、函数f x x ()=-23在区间()-∞，0上的单调性是（ ） A 、 增函数 B 、 减函数C 、 常数D 、 有时是增函数有时是减函数4、下列函数图象中，函数y a a a x =>≠()01且，与函数y a x =-()1的图象只能是（ ）y y y yO x O x O x O xA B C D11115、函数f x x ()=-21，使f x ()≤0成立的的值的集合是（ ）A 、 {}x x <0B 、 {}x x <1C 、 {}x x =0D 、 {}x x =16、函数f x g x x x ()()==+22，，使f x g x ()()=成立的的值的集合（ ） A 、 是φ B 、 有且只有一个元素 C 、 有两个元素 D 、 有无数个元素7、若函数(1)x y a b =+-（0a >且1a ≠）的图象不经过第二象限，则有 （ ）A 、1a >且1b <B 、01a <<且1b ≤C 、01a <<且0b >D 、1a >且0b ≤ 8、F(x)=(1+)0)(()122≠⋅-x x f x是偶函数，且f(x)不恒等于零，则f(x)( )A 、是奇函数B 、可能是奇函数，也可能是偶函数C 、是偶函数D 、不是奇函数，也不是偶函数 二、填空题9、 函数y x =-322的定义域是_________。
指数函数及其性质导学案
2.1.2指数函数及其性质（学案）（第1课时）【知识要点】 1.指数函数；2.指数函数的图象；3.指数函数的单调性与特殊点 【学习要求】1.理解指数函数的概念与意义；2.能借助计算器或计算机画出具体的指数函数的图象，并理解指数函数的单调性与特殊点； 【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第54页～第57页）1.指数函数的概念 （1）函数xy 073.1=与x y)21(=的特点是.（2）一般地，函数x a y =（）叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是. 2.指数函数的图象与性质 （1）列表、描点、作图象图象（2）两个图象的关系 函数xy 2=与x y )21(=的图象，都经过定点，它们的图象关于对称.通过图象的上升和下降可以看出，是定义域上的增函数，是定义域上的减函数.（3）类比以上函数的图像，总结函数性质，填写下列表格：图象定义域 值域性质【基础练习】1.指出下列哪些是指数函数（1）xy 4=；（2）4x y =；（3）xy 4-=；（4）xy )4(-=；（5）xy π=； （6）24x y =；（7）xx y =；（8）)121()12(≠>-=a a a y x 且. 2.作出xy 3=的图象.3.求下列函数的定义域及值域： （1）3-=x a y ； （2）xxy223-=；（3）11)21(-=x y4.下列关系中正确的是（）.（A ）313232)21()51()21(<<（B ）323231)51()21()21(<<（C ）323132)21()21()51(<<（D ）313232)21()21()51(<<【典型例题】例1已知指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x且的图象经过点),3(π，求)0(f ，)1(f ，)3(-f 的值.例2比较下列各题中两个值的大小： （1）5.27.1，37.1； （2）1.08.0-，2.08.0-；（3）3.07.1，1.39.0.1.函数bx a a a y +∙+-=)33(2是指数函数，则有（）.（A ）1=a或R ,2∈=b a （B ）0,1==b a（C ）0,2==b a （D ）0,10=≠>b a a 且 2.若函数)(x f 与x x g )21()(=得图象关于y 轴对称，则满足1)(>x f 的x 的取值范围是（）. （A ）R （B ）)0,(-∞（C ）),0(+∞（D ）),1(+∞ 3.函数1222-+-=x x y 的定义域是（）.（A ）}22{≤≤-x x （B ）}21{≤≤x x （C ）}1{≥x x （D ）R4.若集合R},2{∈==x y y A x ，R},{2∈==x x y y B ，则（）.（A ）B A ⊆（B ）B A ≠⊃（C ）B A =（ D ）Φ=B A5.函数xa x f )1()(+=是R 上的减函数，则a 的取值范围是（）. （A ）0<a（B ）01<<-a （C ）10<<a （D ）1-<a6.函数13-=-xy 的定义域和值域分别为. 7.函数)10(2≠>=-a a ay x 且的图象必经过点.8.某厂从今年起每年计划增产%8，则经过5年，产量能达到现在的倍（精确到01.0）.9.（1）比较21)54(与31)109(的大小并说明理由.（2）已知2b a =且1>b ，比较aa -与bb2-的大小.10.已知函数b ax f x+=2)(的图象过点)3,21(和)2,0(.（1）求)(x f 的解析式； （2）画函数)(x f y =的图象； 1.用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的43，写出存留污垢y 与漂洗次数x 的函数关系式，若要使存留污垢不超过原来的%1，则至少要漂洗几次？2.1.2指数函数及其性质（教案）（第1课时）【教学目标】1.使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系.2.理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性和特殊点.3.在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般过程、数形结合的方法等.【重点】指数函数的概念和性质.【难点】用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质. 【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第54页～第57页）1.指数函数的概念 （1）函数xy 073.1=与x y)21(=的特点是解析式都可以表示为x a y =的形式.（2）一般地，函数x a y =（1,0≠>a a 且）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R .2.指数函数的图象与性质 （1）列表、描点、作图象图象（2）两个图象的关系 函数xy 2=与x y )21(=的图象，都经过定点)1,0(，它们的图象关于y 轴对称.通过图象的上升和下降可以看出，xy 2=是定义域上的增函数，x y )21(=是定义域上的减函数.（3）类比以上函数的图像，总结函数性质，填写下列表格： 图象定义域 值域性质过定点)1,0(，即0=x时，1=y在R 上时减函数在R 上时增函数【基础练习】1.指出下列哪些是指数函数 （1）x y 4=；（2）4x y =；（3）x y 4-=；（4）x y )4(-=；（5）x y π=；（6）24x y =；（7）xx y =；（8）)121()12(≠>-=a a a yx 且. 解：是指数函数的有（1），（4），（5），（8）. 2.作出xy 3=的图象.解：⎪⎩⎪⎨⎧<≥==-0,30,33x x y x x x，如图：3.求下列函数的定义域：（1）3-=x a y ；（2）xx y 223-=；（3）11)21(-=x y解：（1）要使式子有意义，则需要03≥-x ，即3≥x ，定义域为),3[+∞.（2）要使式子有意义，则需要x x 22-为实数，因此，定义域为R . （3）要使式子有意义，则需要11-x 有意义，定义域为{}1≠x x . 4.下列关系中正确的是（D ）.（A ）313232)21()51()21(<<（B ）323231)51()21()21(<<（C ）323132)21()21()51(<<（D ）313232)21()21()51(<<【典型例题】例1已知指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x且的图象经过点),3(π，求)0(f ，)1(f ，)3(-f 的值.【审题要津】结合以前学过的求函数解析式的方法，本题中只要求出参数a 就可以了. 解：因为xa x f =)(得图象经过点),3(π，所以π=)3(f ，即π=3a解得31π=a ，于是3)(x x f π=.所以，1)0(0==πf ，331)1(ππ==f ，ππ1)3(1==--f .【方法总结】从方程思想来看，求指数函数就是确定底数，即只需要列一个方程即可.向学生渗透方程的思想.例2比较下列各题中两个值的大小： （1）5.27.1，37.1； （2）1.08.0-，2.08.0-；（3）3.07.1，1.39.0.【审题要津】（1），（2）利用指数函数单调性，（3）要构造中间数 解：（1）5.27.1，37.1可看作函数xy 7.1=的两个函数值.由于底数17.1>，所以指数函数x y 7.1=在R 上是增函数.因为35.2<，所以35.27.17.1<.（2）2.01.08.0,8.0--可看作函数x y 8.0=的两个函数值.由于底数18.00<<，所以指数函数x y 8.0=在R 上是减函数.因为2.01.0->-，所以2.01.08.08.0--<. （1） 由指数函数的性质知17.17.103.0=>所以1.33.09.07.1>.【方法总结】比较幂值的大小常常华化为同底数的幂，利用指数函数的单调性比较大小，或者借助幂值的范围利用中间数值过渡，常用的数值可能是0或1±.根据具体情况也可能是其他数值.1.函数bx a a a y +∙+-=)33(2是指数函数，则有（C ）.（A ）1=a或R ,2∈=b a （B ）0,1==b a（C ）0,2==b a （D ）0,10=≠>b a a 且 2.若函数)(x f 与x x g )21()(=得图象关于y 轴对称，则满足1)(>x f 的x 的取值范围是（C ）.（A ）R （B ）)0,(-∞（C ）),0(+∞（D ）),1(+∞ 3.函数1222-+-=x x y 的定义域是（B ）.（A ）}22{≤≤-x x （B ）}21{≤≤x x （C ）}1{≥x x （D ）R4.若集合R},2{∈==x y y A x ，R},{2∈==x x y y B ，则（A ）.（A ）B A ⊆（B ）B A ≠⊃（C ）B A =（ D ）Φ=B A5.函数xa x f )1()(+=是R 上的减函数，则a 的取值范围是（B ）. （A ）0<a（B ）01<<-a （C ）10<<a （D ）1-<a6.当]1,1[-∈x 时，函数xx f 3)(=的值域是]3,31[.7.函数)10(2≠>=-a a ay x 且的图象必经过点)1,2(.8.某厂从今年起每年计划增产%8，则经过5年，产量能达到现在的47.1倍（精确到01.0）.9.（1）比较21)54(与31)109(的大小并说明理由.（2）已知2b a =且1>b ，比较aa-与bb2-的大小.解：（1） 21)54(与31)109(底数不同，指数也不同，∴应插入一个中间量进行比较.根据两个数的特征应插入31)54(或21)109(.x y =在+∞,0(）上是增函数∴2121)109()54(<，又3121.11090><<，x y )109(=是减函数，（2）2b a =∴只需比较22b b -与b b 2-的大小b b b >∴>2,1 ，即b b 222-<-又xb y =是增函数，b b b b 222--<∴，即b a b a 2--<10.已知函数b ax f x+=2)(的图象过点)3,21(和)2,0(.(1)求)(x f 的解析式； (2)画函数)(x f y =的图象； 解：（1）由题意知：21)0(,3)21(=+==+=b f b a f ， 解得：⎩⎨⎧==12b a（2）1.用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的43，写出存留污垢y 与漂洗次数x 的函数关系式，若要使存留污垢不超过原来的%1，则至少要漂洗几次？解：设未漂洗时衣服上的污垢量为)0(>a a ,经过x 次漂洗后，存留污垢量为y ，则经过第一次漂洗，41)431(∙=-=a a y ，经过第二次漂洗，2)41()431(41∙=-∙∙=a a y…………经过第x 次漂洗，x a a y )41(......4141∙=∙∙=若使存留污垢不超过原来的%1，即%1∙≤a y ，至少要漂洗4次，存留污垢才不会超过原来的%1.。
指数函数导学案
指数函数及其性质（3课时）班级： 姓名 学号学习任务：（1）理解指数函数的的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性和特殊点； （2）在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合的方法等．学习重点：指数函数的的念和性质．学习难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质． 学习过程：一、自主学习1、问题1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个， 2个分裂成4个，……依此类推，写出1个这样的细胞分裂x 次后，得到的细胞个数y 与x 的函数解析式？问题2：公元前300年左右，中国有位杰出的学者庄子，在他的文章《庄子·天下篇》 中写道：一尺之棰，日取其半，万世不竭。
意思是，一尺长的木棍，每天截掉一半，千年万载也截不完！设第 x 天截得的木棍长度为y 尺。
根据这句话，试求x 与y 之间的函数关系。
解答：问题1函数解析式为_________ 问题2函数解析式为_______ 思考（1）以上两个函数有何共同特征？当x 扩充到R 时，称作什么函数？（2）这类函数与我们学过的函数y=x,21,x y x y ==-一样吗？有什么区别？2、指数函数的概念（1）指数函数的定义：一般地，函数_____________________叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为_____________．（2）指数函数解析式的特征：___________________________________________________（3）为什么规定底数a ＞０且a ≠１呢？为什么定义域为R ？（4）利用指数函数的定义解决：二、练一练：例1.判断下列函数是不是指数函数，为什么？212333133x x x x x xxy x y x y y y y y y π+-====⋅==+=-=① ② ③ ④ ⑤ ⑥⑦⑧注意：指数函数的解析式y=x a 中，x a 的系数是思考：确定一个指数函数需要什么条件？例2.指数函数f(x)的图像经过点（2，9），求解析式及f(1) , f(-2)合作探究一：01xy a a a =>≠三、指数函数(且)的图象特征的学习12()2x x y y ==1.在同一直角坐标系中用描点法画出函数与的图象；列表： 2x y =1()2x y =描点、连线：2．观察底数a 取其它值时函数图象变化的情况y a 归纳结论：(1)两个指数函数的图象关于轴对称时其解析式的特点：____________(2)指数函数的图象与底数之间的规律：______________巩固练习一：1321.______.2..2.32x xxA yB y xC yD y +-====-下列函数一定是指数函数的是(21),x y a a =-2.函数为指数函数求满足的范围______观察、思考：（1） 这两个函数的图象有什么关系？ （2） 这两个函数的图象各有什么特点？ 试着从以下几个方面找出这两个图象的共同点和不同点： ① 图象范围② 图象经过的特殊点③图象从左向右的变化趋势x 合作探究二：0且你能根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质吗？请完成下面表格：五、指数函数的应用例3：较下列各题中几个值的大小：2.530.10.20.33.11.7,1.70.8,0.8 1.7,0.9--①②③例题3解题方法小结：比较两个指数数幂的大小练一练：1.完成课本第73页练习1。
指数函数及其性质导学案
§2.1.2指数函数及其性质导学案教学过程（一）导入课题1.一种放射性物质不断衰减为其他物质,每经过一年剩留量约是原来的84%,求出这种物质经过x 年后的剩留量y 与x 的关系式是_________.2.某种细胞分裂时,由一个分裂成两个,两个分裂成四个,四个分裂成八个,依次类推,一个这样的细胞分裂x 次后,得到的细胞个数y 与x 的关系式是_________. 提问1：你能说出函数x y )84.0(=与函数x y 2=的共同特征吗? （二）新知探究提问2：你是否能根据上面两个函数关系式给出一个一般性的概念? 提问3：为什么指数函数的概念中明确规定1,0≠>a a ?提问4：为什么指数函数的定义域是实数集?提问5：如何根据指数函数的定义判断一个函数是否是一个指数函数？请你说出它的步骤. 例1判断下列函数是否是一个指数函数？(1)xy 4= (2)4x y = (3)xy 4-= (4)x y )4(-= (5)xy -=π(6)xy )1(π= (7)x x y = (8))1,0()12(≠>-=a a a y x (9)x y 32⋅= (10)26+=xy变式训练函数x a a a y )33(2+-=是指数函数，则=a 。
例2已知指数函数图像过点（3,27），求)21(),2(),0(f f f -提问6：前面我们学习函数的时候,根据什么思路研究函数的性质,对指数函数呢?提问7：说出作函数图像的步骤，作函数xy 2=，xy )21(=,x x y y )31(,3==的图象.列表描点作图提问8：根据上述几个函数图象的特点,你能归纳出指数函数的性质吗?一般地,指数函数xa y =在底数1>a 及10<<a 这两种情况下的图象和性质如下表。
(公开课)指数函数及其性质导学案
指数函数及其性质导学案编制：王** 审核：于**【学习目标】知识与技能：初步理解指数函数的定义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数图像.过程与方法：引入、剖析、定义指数函数的过程，启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念的学习方法.3.情感态度与价值观：通过本节课的学习，使学生获得研究函数的规律和方法，提高学生的学习能力。
重点：指数函数的概念、性质及其应用 难点：指数函数性质的归纳、概括及其应用课前预习案一、知识背景： 有理数指数幂的运算性质、初中学习的描点法作图的步骤【用15分钟的时间阅读探究课本上的基础知识，思考并尝试解答教材助读设置的问题，完成预习自测题，并将预习中不能解决的问题标出来，写到“我的疑问和收获”处。
】 二、教材助读1. 研究一个函数的性质一般研究哪些方面？2. 指数函数是怎样定义的？定义域是什么? 函数x y 32⨯=是指数函数吗？3. 指数函数中底数a 的取值范围是什么？4.你能比较出 1.71.3与2.51.3的大小吗？ 三、预习反馈1.判断下列函数是不是指数函数（1）xy 3= （2）xy 12= （3）x y )2(-= (4)13+=x y 2．函数(a-1)x y =在R 上是减函数，则a 的取值范围是__________ 3. 指数函数(x)f 的图像经过点（2，9），则1()2f ＝ ． 4.比较下列各题中两个数的大小：0.80.73____3 0.10.10.75____0.75- 2.7 3.51.01____1.01【我的疑问和收获】____________________________________________________________课堂探究案一． 概念解读请同学们探究下面的问题，并在题目的横线上填出正确答案：1.一般地，函数 叫做指数函数．其中是自变量，函数的定义域为_____ 反思1：为什么规定10≠>a a 且呢？ 【讨论】： 0,a 若≤则____________________.则若,1=a _________________________.反思2：判断一个函数是否是指数函数需要注意哪几点?二、性质探究：小组协作用描点法做出函数2x y =、3xy =、1(2xy =）和1(3xy =）的图像，并根据图象特征，采用由特殊到一般的推理方法提炼指数函数的性质，完成下表：记忆口诀：____________________________________________________________________三．知识综合应用探究探究点一：指数函数概念及图象的理解例1.请指出下列函数中，哪些是指数函数，哪些不是，并说明理由.(1) y=4·2x(2) y (2)x =- (3) y 2x =- (4) y x π= (5)2y x = (6) y 2x -= (7) y x x = (8)y (a 1)(a 1a 2)x =->且≠ 例2若函数 2()(33)x f x a a a =-+ 是指数函数，求a 的值.变式1. 函数()x f x a =（0,1a a >≠且）的图象过点(2,)π，求(0)f ,(1)f -,(1)f 的值.变式2. 已知01a <<，1b <-, 则函数xy a b =+的图象必定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限探究点二：比较大小例3比较下列各组中两个值的大小：（1） 1.72.5_____1.73 ；（2）0.8-0.1_____ 0.8-0.2；（3）1.70.3_____ 0.93.1；（4）1.5 0.3______0.81.2.变式 已知下列不等式，试比较m 、n 的大小： （1）22()()33m n >； （2） 1.1 1.1m n <.比较指数大小的方法：底数相同时：_______________________________________________________________ 底数不同时：_______________________________________________________________四、课堂小结通过本节课的学习，你学到了哪些知识?还有哪些疑问呢？____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________五、当堂检测1.下列函数中指数函数有（ ）个x x y x y y 32)3(,)2(,4)1(4⋅===A. 0B. 1C. 2D. 32. 下列函数图象中，函数y a a a x =>≠()01且，与函数y a x =-()1的图象只能是（ ）y y y y O x O x O x O xA B C D1111y y yy O x O x O x O x A B C D 113.若指数函数的图像过（2，4）点，则此函数的解析式是（ ） A ．1()2xy = B ．2x y = C ．1()4xy = D ．4x y = 4. 函数f(x)=21x a -+ (a>0,a ≠1)的图象恒过定点（ ）. A. (0,1) B. (0,2) C. (2,1) D. (2,2)5．函数x y a =在［０，１］上的最大值与最小值之和为３，则等于（ ） A.0.5 B.2 C.4 D.0.256.函数f (x)=(2a+1)x 在R 上是减函数，则a 的取值范围_________ 7．已知＝2x，则[(1)]f f -＝ ．六、课后探究1.求函数1511-=-xx y 的定义域？2.在上，],[n m )1,0()(≠>=a a a x f x 且的值域？。
指数函数及其性质教案
“指数函数及其性质教案”教学目标：1. 理解指数函数的定义和表达形式；2. 掌握指数函数的性质，包括单调性、奇偶性和周期性；3. 能够应用指数函数的性质解决实际问题。
教学内容：一、指数函数的定义与表达形式1. 引入指数函数的概念；2. 介绍指数函数的一般形式；3. 解释指数函数的参数含义。
二、指数函数的单调性1. 探讨指数函数的单调性；2. 证明指数函数的单调性；3. 应用指数函数的单调性解决实际问题。
三、指数函数的奇偶性1. 探讨指数函数的奇偶性；2. 证明指数函数的奇偶性；3. 应用指数函数的奇偶性解决实际问题。
四、指数函数的周期性1. 探讨指数函数的周期性；2. 证明指数函数的周期性；3. 应用指数函数的周期性解决实际问题。
五、实际问题中的应用1. 引入实际问题；2. 应用指数函数的性质解决实际问题；3. 总结指数函数在实际问题中的应用。
教学方法：1. 采用讲授法，讲解指数函数的定义、表达形式以及性质；2. 利用多媒体演示，直观展示指数函数的图像和性质；3. 通过例题和练习题，巩固学生对指数函数性质的理解和应用。
教学评估：1. 课堂问答，检查学生对指数函数定义和表达形式的理解；2. 布置课后练习题，评估学生对指数函数性质的掌握程度；3. 组织小组讨论，评估学生在解决实际问题中的应用能力。
教学资源：1. 教材或教辅资料；2. 多媒体教学设备；3. 练习题和实际问题。
教学时间：1. 第一课时：指数函数的定义与表达形式；2. 第二课时：指数函数的单调性；3. 第三课时：指数函数的奇偶性；4. 第四课时：指数函数的周期性；5. 第五课时：实际问题中的应用。
六、指数函数的图像与性质1. 分析指数函数的图像特点；2. 探讨指数函数的性质，包括单调性、奇偶性和周期性；3. 应用指数函数的性质解决实际问题。
七、指数函数的应用1. 引入实际问题；2. 应用指数函数的性质解决实际问题；3. 总结指数函数在实际问题中的应用。
高一数学(§212 指数函数及其性质)导学案
§2.1.2 指数函数及其性质（1）学习目标1. 了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；2. 理解指数函数的概念和意义；3. 能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数的性质（单调性、特殊点）.学习过程一、课前准备（预习教材P 54~ P 57，找出疑惑之处） 复习1：零指数、负指数、分数指数幂怎样定义的？ （1）0a = ；（2）na-= ；（3）mna = ；m na -= .其中*0,,,1a m n N n >∈>复习2：有理指数幂的运算性质.（1）m n a a = ；（2）()m n a = ；（3）()n ab = . 二、新课导学 ※ 学习探究探究一：指数函数模型思想及指数函数概念实例： A ．细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x 次分裂得到y 个细胞，那么细胞个数y 与次数x 的函数关系式是什么？B ．一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84％，那么以时间x 年为自变量，残留量y 的函数关系式是什么？讨论：上面的两个函数有什么共同特征？底数是什么？指数是什么？新知：反思：为什么规定a ＞0且a ≠1呢？否则会出现什么情况呢？探究二：指数函数的图象和性质引言：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？ 回顾：研究方法：画出函数图象，结合图象研究函数性质．研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性． 作图：在同一坐标系中画出下列函数图象：1()2x y =， 2x y =讨论：（1）函数2x y =与1()2x y =的图象有什么关系？如何由2x y =的图象画出1()2x y =的图象？（2）根据两个函数的图象的特征，归纳出这两个指数函数的性质. 变底数为3或13后呢？新知：根据图象归纳指数函数的性质.a >1 0<a <1图 象性质(1)定义域： (2)值域 (3)过定点 (4)单调性(4)单调性※例1函数()x f x a =（0,1a a >≠且）的图象过点(2,)π，求(0)f ,(1)f -,(1)f 的值.小结：①确定指数函数重要要素是 ；② 待定系数法. 例2比较下列各组中两个值的大小：（1）0.60.52,2； （2）2 1.50.9,0.9-- ； （3）0.5 2.12.1,0.5 ； （4）231-与.小结：利用单调性比大小；或间接利用中间数.※ 动手试试练1. 已知下列不等式，试比较m 、n 的大小：（1）22()()33m n >； （2） 1.1 1.1m n <.练2. 比较大小：（1）0.70.90.80.8,0.8, 1.2a b c ===；（2）01, 2.50.4,-0.22-, 1.62.5.练3. 已知下列不等式，比较,m n 的大小.（1）33m n <； （2）0.60.6m n >； （3）(1)m n a a a >> ；（4） (01)m n a a a <<<. 三、总结提升 ※ 学习小结①指数函数模型应用思想；②指数函数概念；③指数函数的图象与性质；③单调法. ※ 知识拓展因为(01)x y a a a =>≠，且的定义域是R ， 所以()(01)f x y a a a =>≠，且的定义域与()f x 的定义域相同. 而()(01)x y a a a ϕ=>≠，且的定义域，由()y t ϕ=的定义域确定.学习评价1. 函数2(33)x y a a a =-+是指数函数，则a 的值为（ ）. A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 任意值2. 函数f (x )=21x a -+ (a >0,a ≠1)的图象恒过定点（ ）. A. (0,1) B. (0,2) C. (2,1) D. (2,2)3. 指数函数①()xf x m =，②()xg x n =满足不等式 01m n <<<，则它们的图象是（ ）.4. 比较大小：23( 2.5)- 45( 2.5)-.5. 函数1()19x y =-的定义域为 .课后作业1. 求函数y =1151x x--的定义域.2.求函数112x y -=的定义域，值域3.解不等式221()22x -≤4.如果224,(0,1)x xx a a a a -+>>≠且，求x 的取值范围。
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指数函数及其性质导学案Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】指数函数及其性质（学案）（第1课时）【知识要点】 1.指数函数；2.指数函数的图象；3.指数函数的单调性与特殊点 【学习要求】1.理解指数函数的概念与意义；2.能借助计算器或计算机画出具体的指数函数的图象，并理解指数函数的单调性与特殊点； 【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第 54 页～第57页）1.指数函数的概念（1）函数x y 073.1=与x y )21(=的特点是 .（2）一般地，函数x a y =（ ）叫做指数函数，其中 是自变量，函数的定义域是 .2.指数函数的图象与性质函数x y 2=与x y )21(=的图象，都经过定点 ，它们的图象关于对称.通过图象的上升和下降可以看出， 是定义域上的增函数， 是定义域上的减函数.1.指出下列哪些是指数函数（1）x y 4=；（2）4x y =；（3）x y 4-=；（4）x y )4(-=；（5）x y π=； （6）24x y =；（7）x x y =；（8）)121()12(≠>-=a a a y x 且. 2.作出x y 3=的图象.3.求下列函数的定义域及值域： （1）3-=x a y ； （2）xxy 223-=；（3）11)21(-=x y4.下列关系中正确的是（ ）.（A ）313232)21()51()21(<< （B ）323231)51()21()21(<<（C ）323132)21()21()51(<< （D ）313232)21()21()51(<<【典型例题】例1 已知指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x 且的图象经过点),3(π，求)0(f ，)1(f ，)3(-f 的值.例2 比较下列各题中两个值的大小： （1）5.27.1，37.1；（2）1.08.0-，2.08.0-； （3）3.07.1，1.39.0.1.函数b x a a a y +•+-=)33(2是指数函数，则有（ ）. （A ）1=a 或R ,2∈=b a （B ）0,1==b a （C ）0,2==b a （D ）0,10=≠>b a a 且2.若函数)(x f 与x x g )21()(=得图象关于y 轴对称，则满足1)(>x f 的x 的取值范围是（ ）.（A ）R （B ）)0,(-∞ （C ）),0(+∞ （D ）),1(+∞ 3.函数1222-+-=x x y 的定义域是（ ）.（A ）}22{≤≤-x x （B ）}21{≤≤x x （C ）}1{≥x x （D ）R 4.若集合R},2{∈==x y y A x ，R},{2∈==x x y y B ，则（ ）. （A ）B A ⊆ （B ）B A ≠⊃ （C ）B A = （ D ）Φ=B A5.函数 x a x f )1()(+=是R 上的减函数，则a 的取值范围是（ ）. （A ）0<a （B ）01<<-a （C ）10<<a （D ）1-<a6. 函数13-=-x y 的定义域和值域分别为 .7.函数)10(2≠>=-a a a y x 且的图象必经过点 . 8.某厂从今年起每年计划增产%8，则经过5年，产量能达到现在的 倍（精确到01.0）.9.（1）比较21)54(与31)109(的大小并说明理由.（2）已知2b a =且1>b ，比较a a -与b b 2-的大小.10.已知函数b a x f x +=2)(的图象过点)3,21(和)2,0(.（1）求)(x f 的解析式；（2）画函数)(x f y =的图象；1.用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的43，写出存留污垢y 与漂洗次数x 的函数关系式，若要使存留污垢不超过原来的%1，则至少要漂洗几次指数函数及其性质（教案）（第1课时）【教学目标】1.使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系.2.理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性和特殊点.3.在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般过程、数形结合的方法等.【重点】指数函数的概念和性质.【难点】用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质. 【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第 54 页～第57页）1.指数函数的概念（1）函数x y 073.1=与x y )21(=的特点是 解析式都可以表示为x a y = 的形式 .（2）一般地，函数x a y =（1,0≠>a a 且）叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是 R . 2.指数函数的图象与性质函数x y 2=与x y )21(=的图象，都经过定点 )1,0( ，它们的图象关于y 轴对称.通过图象的上升和下降可以看出， x y 2=是定义域上的增函数，xy )21(=是定义域上的减函数.图象定义域值域性质 过定点)1,0(，即0=x 时，1=y在R 上时减函数在R 上时增函数1.指出下列哪些是指数函数（1）x y 4=；（2）4x y =；（3）x y 4-=；（4）x y )4(-=；（5）x y π=；（6）24x y =；（7）x x y =；（8）)121()12(≠>-=a a a y x 且. 解：是指数函数的有（1），（4），（5），（8）.2.作出xy 3=的图象.解：⎪⎩⎪⎨⎧<≥==-0,30,33x x y x x x，如图：3.求下列函数的定义域：（1）3-=x ay ； （2）xx y 223-=； （3）11)21(-=x y解：（1）要使式子有意义，则需要03≥-x ，即3≥x ，定义域为),3[+∞. （2）要使式子有意义，则需要x x 22-为实数，因此，定义域为R .（3）要使式子有意义，则需要11-x 有意义，定义域为{}1≠x x . 4.下列关系中正确的是（ D ）.（A ）313232)21()51()21(<< （B ）323231)51()21()21(<<（C ）323132)21()21()51(<< （D ）313232)21()21()51(<<【典型例题】例1 已知指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x 且的图象经过点),3(π，求)0(f ，)1(f ，)3(-f 的值.【审题要津】结合以前学过的求函数解析式的方法，本题中只要求出参数a就可以了.解：因为x a x f =)(得图象经过点),3(π，所以π=)3(f ，即π=3a解得31π=a ，于是3)(x x f π=.所以，1)0(0==πf ，331)1(ππ==f ，ππ1)3(1==--f .【方法总结】从方程思想来看，求指数函数就是确定底数，即只需要列一个方程即可.向学生渗透方程的思想.例2 比较下列各题中两个值的大小：（1）5.27.1，37.1； （2）1.08.0-，2.08.0-； （3）3.07.1，1.39.0.【审题要津】（1），（2）利用指数函数单调性，（3）要构造中间数解：（1）5.27.1，37.1可看作函数x y 7.1=的两个函数值.由于底数17.1>，所以指数函数x y 7.1=在R 上是增函数.因为35.2<，所以35.27.17.1<.（2）2.01.08.0,8.0--可看作函数x y 8.0=的两个函数值.由于底数18.00<<，所以指数函数x y 8.0=在R 上是减函数.因为2.01.0->-，所以2.01.08.08.0--<. （1） 由指数函数的性质知 17.17.103.0=> 所以1.33.09.07.1>.【方法总结】比较幂值的大小常常华化为同底数的幂，利用指数函数的单调性比较大小，或者借助幂值的范围利用中间数值过渡，常用的数值可能是0或1±.根据具体情况也可能是其他数值.1.函数b x a a a y +•+-=)33(2是指数函数，则有（ C ）. （A ）1=a 或R ,2∈=b a （B ）0,1==b a （C ）0,2==b a （D ）0,10=≠>b a a 且2.若函数)(x f 与x x g )21()(=得图象关于y 轴对称，则满足1)(>x f 的x 的取值范围是（ C ）.（A ）R （B ）)0,(-∞ （C ）),0(+∞ （D ）),1(+∞ 3.函数1222-+-=x x y 的定义域是（ B ）.（A ）}22{≤≤-x x （B ）}21{≤≤x x （C ）}1{≥x x （D ）R 4.若集合R},2{∈==x y y A x ，R},{2∈==x x y y B ，则（ A ）. （A ）B A ⊆ （B ）B A ≠⊃ （C ）B A = （ D ）Φ=B A5.函数 x a x f )1()(+=是R 上的减函数，则a 的取值范围是（ B ）. （A ）0<a （B ）01<<-a （C ）10<<a （D ）1-<a6.当]1,1[-∈x 时，函数x x f 3)(=的值域是 ]3,31[ .7.函数)10(2≠>=-a a a y x 且的图象必经过点 )1,2( .8.某厂从今年起每年计划增产%8，则经过5年，产量能达到现在的 47.1 倍（精确到01.0）.9.（1）比较21)54(与31)109(的大小并说明理由.（2）已知2b a =且1>b ，比较a a -与b b 2-的大小.解：（1） 21)54(与31)109(底数不同，指数也不同，∴应插入一个中间量进行比较.根据两个数的特征应插入31)54(或21)109(.x y =在+∞,0(）上是增函数∴2121)109()54(<，又3121.11090><<，x y )109(=是减函数， （2）2b a =∴只需比较22b b -与b b 2-的大小b b b >∴>2,1 ，即b b 222-<-又xb y =是增函数，b b b b222--<∴，即b a b a 2--<10.已知函数b a x f x +=2)(的图象过点)3,21(和)2,0(.(1) 求)(x f 的解析式； (2)画函数)(x f y =的图象；解：（1）由题意知：21)0(,3)21(=+==+=b f b a f ，解得：⎩⎨⎧==12b a（2）1.用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的43，写出存留污垢y 与漂洗次数x 的函数关系式，若要使存留污垢不超过原来的%1，则至少要漂洗几次解：设未漂洗时衣服上的污垢量为)0(>a a ,经过x 次漂洗后，存留污垢量为y ，则经过第一次漂洗，41)431(•=-=a a y ，经过第二次漂洗，2)41()431(41•=-••=a a y…… ……经过第x 次漂洗，x a a y )41(......4141•=••=若使存留污垢不超过原来的%1，即%1•≤a y ，至少要漂洗4次，存留污垢才不会超过原来的%1.。