2.2 二次函数的图象与性质第5课时教案

一、情境导入

在跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看作抛物线．如图，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4米，距地面均为1米，学生丙的身高是1.5米，距甲拿绳的手水平距离为1米，绳子甩到最高处时，刚好通过他的头顶．当绳子甩到最高时，学生丁从距甲拿绳的手2.5米处进入游戏，恰好通过．你能根据以上信息确定学生丁的身高吗？

二、合作探究

探究点：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质

【类型一】二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的性质

若点A(2，y1)，B(－3，y2)，C(－1，y3)三点在抛物线y＝x2－4x－m的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是()

A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3

C．y2＞y3＞y1D．y3＞y1＞y2

解析：∵二次函数y＝x2－4x－m中a＝1＞0，∴开口向上，对称轴为x＝－b

2a＝2.∵A(2，y1)中x

＝2，∴y1最小．又∵B(－3，y2)，C(－1，y3)都在对称轴的左侧，而在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，故y2＞y3，∴y2＞y3＞y1.故选C.

方法总结：当二次项系数a＞0时，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大；当a＜0时，在对称轴的左边，y随x的增大而增大，在对称轴的右边，y随x的增大而减小．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题

【类型二】二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的位置与各项系数符号的关系

已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过点(－1，0)，且顶点在第一象限．有下列四个结论：①a

＜0；②a＋b＋c＞0；③－b

2a＞0；④abc＞0.其中正确的结论是________(填序号)．

解析：由抛物线的开口方向向下可推出a＜0，抛物线与y轴的正半轴相交，可得出c＞0，对称轴

在y轴的右侧，a，b异号，b＞0，∴abc＜0；因为对称轴在y轴右侧，∴对称轴为－b

2a＞0；由图象可

知：当x＝1时，y＞0，∴a＋b＋c＞0.∴①②③都正确．故答案为①②③.

方法总结：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，a的符号由抛物线开口方向决定；b的符号由对称轴的位置及a的符号决定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置决定．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题

【类型三】二次函数y＝ax2＋bx＋c与一次函数图象的综合

在同一直角坐标系中，函数y＝mx＋m和函数y＝mx2＋2x＋2(m是常数，且m≠0)的图象可能是()

解析：若函数y＝mx＋m中的m＜0时，函数y＝mx2＋2x＋2开口方向朝下，对称轴为x＝－b

2a＝

－

2m＝－

m＞0，则对称轴应在y轴右侧，故A、B选项错误，D选项正确；若函数y＝mx＋m中的m

＞0时，函数y＝mx2＋2x＋2开口方向朝上，对称轴为x＝－b

2a＝－2

2m＝－1

m＜0，则对称轴应在y轴左侧，故C选项错误．故选D.

方法总结：熟记一次函数y＝ax＋b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．

【类型四】二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与几何图形的综合

已知：如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为(－1，

0)，点C 的坐标为(0，5)，另抛物线经过点(1，8)，M 为它的顶点．

(1)求抛物线的解析式； (2)求△MCB 的面积S △MCB .

解析：(1)将已知的三点坐标代入抛物线中，即可求得抛物线的解析式；(2)根据抛物线的解析式先求出点M 和点B 的坐标，可将S △MCB 化为其他图形面积的和差来解．

解：(1)依题意可知?????a －b ＋c ＝0，a ＋b ＋c ＝8，c ＝5，解得????

?a ＝－1，b ＝4，c ＝5，

∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋4x ＋5；

(2)令y ＝0，得(x －5)(x ＋1)＝0，解得x 1＝5，x 2＝－1，∴点B 的坐标为(5，0)．由y ＝－x 2＋4x ＋5

＝－(x －2)2＋9，得点M 的坐标为(2，9)．作ME ⊥y 轴于点E ，可得S △MCB ＝S 梯形MEOB －S △MCE －S △OBC ＝12(2＋5)×9－12×4×2－1

×5×5＝15. 方法总结：本题考查了二次函数解析式的确定以及图形面积的求法．不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题【类型五】二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的实际应用

跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线．正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB 为6

米，到地面的距离AO 和BD 均为0.9米，身高为1.4米的小丽站在距点O 的水平距离为1米的点F 处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E .以点O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋0.9.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)如果身高为157.5厘米的小明站在OD 之间且离点O 的距离为t 米，绳子甩到最高处时超过他的头顶，请结合函数图象，求出t 的取值范围．

解析：(1)已知抛物线解析式y ＝ax 2＋bx ＋0.9，选定抛物线上两点E (1，1.4)，B (6，0.9)，把坐标代入解析式即可得出a 、b 的值，继而得出抛物线解析式；(2)求出y ＝1.575时，对应的x 的两个值，从而可确定t 的取值范围．

解：(1)由题意得点E 的坐标为(1，1.4)，点B 的坐标为(6，0.9)，代入y ＝ax 2＋bx ＋0.9，得

?????a ＋b ＋0.9＝1.4，36a ＋6b ＋0.9＝0.9，解得?????a ＝－0.1，b ＝0.6.

故所求的抛物线的解析式为y ＝－0.1x 2＋0.6x ＋0.9； (2)157.5cm ＝1.575m ，当y ＝1.575时，－0.1x 2＋0.6x ＋0.9＝1.575，解得x 1＝32，x 2＝9

2，则t 的取值

范围为32＜t ＜9

方法总结：解答本题的关键是注意审题，将实际问题转化为求函数问题，培养自己利用数学知识解答实际问题的能力．

三、板书设计

二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与性质

1．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与性质

1．已知二次函数y=ax2﹣2x+2（a＞0），那么它的图象一定不经过（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

2．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（）

函数有最小值B．对称轴是直线x=

A．

C．当x＜，y随x的增大而减小D．当﹣1＜x＜2时，y＞0

3．如图，平面直角坐标系中，点M是直线y=2与x轴之间的一个动点，且点M是抛物线y=x2+bx+c的顶点，则方程x2+bx+c=1的解的个数是（）

A．0或2B．0或1C．1或2D．0，1或2

4．如果抛物线y=x2+（m﹣1）x﹣m+2的对称轴是y轴，那么m的值是_________．5．二次函数y=x2﹣4x﹣5的图象的对称轴是直线_________．

6．若抛物线y=2x2﹣mx﹣m的对称轴是直线x=2，则m=_________．

7．已知抛物线y=x2﹣x﹣1．

（1）求抛物线y=x2﹣x﹣1的顶点坐标、对称轴；

（2）抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的交点为（m，0），求代数式m2+的值．

8．如图，已知抛物线y=x2﹣x﹣6，与x轴交于点A和B，点A在点B的左边，与y轴的交点为C．

（1）用配方法求该抛物线的顶点坐标；

（2）求sin∠OCB的值；

（3）若点P（m，m）在该抛物线上，求m的值．

9．若二次函数y=a1x2+b1x+c1的图象记为C1，其顶点为A，二次函数y=a2x2+b2x+c2的图象记为C2，其顶点为B，且满足点A在C2上，点B在C1上，则称这两个二次函数互为“伴侣二次函数”．

（1）一个二次函数的“伴侣二次函数”有_________个；

（2）∠求二次函数y=x2+3x+2与x轴的交点；

∠求以上述交点为顶点的二次函数y=x2+3x+2的“伴侣二次函数”．

（3）试探究a1与a2满足的数量关系．

总结二次函数性质，充分地相信学生，鼓励学生大胆地用自己的语言进行归纳，在教学过程中，注重为

数学：26.1二次函数(第5课时)教案(人教新课标九年级下)

26.1 二次函数（5）教学目标： 1．使学生理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系。 2．会确定函数y=a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。 3．让学生经历函数y=a(x－h)2＋k性质的探索过程，理解函数y=a(x－h)2＋k的性质。重点难点：重点：确定函数y=a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，理解函数y=a(x －h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系，理解函数y=a(x－h)2＋k的性质是教学的重点。难点：正确理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系以及函数y=a(x－h)2＋k的性质是教学的难点。教学过程：一、提出问题 1．函数y=2x2＋1的图象与函数y=2x2的图象有什么关系? (函数y=2x2＋1的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向上平移一个单位得到的) 2．函数y=2(x－1)2的图象与函数y=2x2的．图象有什么关系? (函数y=2(x－1)2的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移1个单位得到的，见P10图26.2.3) 3．函数y=2(x－1)2＋1图象与函数y=2(x－1)2图象有什么关系?函数y=2(x－1)2＋1有哪些性质? 二、试一试系吗? 问题3：你能发现函数y=2(x－1)2＋1有哪些性质? 对于问题2和问题3，教师可组织学生分组讨论，互相交流，让各组代表发言，达成共识；函数y＝2(x－1)2＋1的图象可以看成是将函数y=2(x－1)2的图象向上平称1个单位得到的，也可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移1个单位再向上平移1个单位得到的。当x＜1时，函数值y随x的增大而减小，当x＞1时，函数值y随x的增大而增大；当x=1时，函数取得最小值，最小值y=1。三、做一做问题4：在图26．2．3中，你能再画出函数y=2(x－1)2－2的图象，并将它与函数y=2(x－1)2的图象作比较吗? 教学要点 1．在学生画函数图象时，教师巡视指导； 2．对“比较”两字做出解释，然后让学生进行比较。问题5：你能说出函数y=－1 3(x－1)2＋2的图象与函数y=－ 1 3x2的图象的关系，由此进一步说出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?

初中数学二次函数的图像与性质教案

第13课时二次函数的图像与性质（二）【复习目标】 1．能根据图象确定a、b、c的符号． 2．会用待定系数法求二次函数的解析式． 3．理解二次函数与一元二次方程的关系．并能用二次函数图象解一元二次方程的根及确定当函数值大于或小于0时自变量的取值范围．【知识梳理】 1．二次函数解析式的求法： (1)若给出抛物线上三点，通常可设一般式：________(a≠0)． (2)若给宝抛物线的顶点坐标或对称轴与最值，通常可设顶点式：________（a≠0），其中点（h，k）为顶点，对称轴为直线x＝h． (3)若给出抛物线与x轴的两个交点(x1，0)、（x2，0)及其他一个条件，通常可设交点式：_______(a≠0)．其中x1，x2是抛物线与x轴的交点的横坐标． 2．对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当给定y的值时，二次函数可转化为一元二次方程，所以我们可ax2＋bx＋c＝_______． 3．当b2－4ac>0时，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有_______交点． 4．当b2－4ac＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0）有两个相等的实数根，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有_______交点． 5．当b2－4ac－<0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0）没有实数根，则二次函数y＝ax2＋bx＋c 的图象与x轴_______交点．【考点例析】考点一二次函数的各项系数与图象之间的关系例1已知二次函数y＝ax2＋bx＋c＝0(a≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①abc>0；②b2－4ac<0；③4a－2＋c<0；④b＝－2a，其中结论正确的是( ) A．①③B．③④C．②③D．①④

二次函数(第4课时)教案

二次函数（第4课时）教案教学目标： 1．使学生能利用描点法画出二次函数y ＝a(x —h)2 的图象。 2．让学生经历二次函数y ＝a(x －h)2性质探究的过程，明白得函数y ＝a(x －h)2 的性质，明白得二次函数y ＝a(x －h)2的图象与二次函数y ＝ax 2 的图象的关系。重点难点：重点：会用描点法画出二次函数y ＝a(x －h)2的图象，明白得二次函数y ＝a(x －h)2 的性质，明白得二次函数y ＝a(x －h)2的图象与二次函数y ＝ax 2 的图象的关系是教学的重点。难点：明白得二次函数y ＝a(x －h)2的性质，明白得二次函数y ＝a(x －h)2 的图象与二次函数y ＝ax 2 的图象的相互关系是教学的难点。教学过程：一、提出咨询题 1．在同一直角坐标系内，画出二次函数y ＝－12x 2，y ＝－12x 2 －1的图象，并回答： (1)两条抛物线的位置关系。 (2)分不讲出它们的对称轴、开口方向和顶点坐标。 (3)讲出它们所具有的公共性质。 2．二次函数y ＝2(x －1)2的图象与二次函数y ＝2x 2 的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗?这两个函数的图象之间有什么关系? 二、分析咨询题，解决咨询题咨询题1：你将用什么方法来研究上面提出的咨询题? (画出二次函数y ＝2(x －1)2和二次函数y ＝2x 2 的图象，并加以观看) 咨询题2：你能在同一直角坐标系中，画出二次函数y ＝2x 2与y ＝2(x －1)2 的图象吗? 教学要点 1．让学生完成下表填空。 x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y ＝2x 2 y ＝2(x －1)2 2．让学生在直角坐标系中画出图来： 3．教师巡视、指导。咨询题3：现在你能回答前面提出的咨询题吗? 教学要点 1．教师引导学生观看画出的两个函数图象．依照所画出的图象，完成以下填空：开口方向对称轴顶点坐标 y ＝2x 2 y ＝2(x －1)2 2．让学生分组讨论，交流合作，各组选派代表发表意见，达成共识：函数y ＝2(x －1) 2 与y ＝2x 2的图象、开口方向相同、对称轴和顶点坐标不同；函数y ＝2(x 一1)2 的图象能够看作是函数y ＝2x 2 的图象向右平移1个单位得到的，它的对称轴是直线x ＝1，顶点坐标是(1，0)。咨询题4：你能够由函数y ＝2x 2的性质，得到函数y ＝2(x －1)2 的性质吗? 教学要点 1.教师引导学生回忆二次函数y ＝2x 2的性质，并观看二次函数y ＝2(x －1)2 的图象； 2．让学生完成以下填空：当x______时，函数值y 随x 的增大而减小；当x______时，函数值y 随x 的增大而增

22.1.4二次函数的图像和性质教案

22.1 二次函数（6）教学目标： 1．使学生掌握用描点法画出函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象。 2．使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。 3．让学生经历探索二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的性质。重点难点：重点：用描点法画出二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标是教学的重点。难点：理解二次函数y ＝ax 2＋b x ＋c(a ≠0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x ＝－b 2a 、(－b 2a ，4ac －b24a )是教学的难点。教学过程：一、提出问题 1．你能说出函数y ＝－4(x －2)2＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？ 2．函数y ＝－4(x －2)2＋1图象与函数y ＝－4x 2的图象有什么关系? (函数y ＝－4(x －2)2＋1的图象可以看成是将函数y ＝－4x 2的图象向右平移2个单位再向上平移1个单位得到的) 3．函数y ＝－4(x －2)2＋1具有哪些性质? (当x ＜2时，函数值y 随x 的增大而增大，当x ＞2时，函数值y 随x 的增大而减小；当x ＝2时，函数取得最大值，最大值y ＝1) 4．不画出图象，你能直接说出函数y ＝－12x 2＋x －5 2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗? 5．你能画出函数y ＝－12x 2＋x －5 2的图象，并说明这个函数具有哪些性质吗? 二、解决问题由以上第4个问题的解决，我们已经知道函数y ＝－12x 2＋x －5 2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。根据这些特点，可以采用描点法作图的方法作出函数y ＝－12x 2＋x －5 2的图象，进而观察得到这个函数的性质。解：(1)列表：在x 的取值范围内列出函数对应值表； x … －2 －1 0 1 2 3 4 … y … －612 －4 －212 －2 － 212 －4 － 612 … (2)描点：用表格里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点。

二次函数的图像与性质的教案

二次函数的图像与性质的教案（3）【目标】 1. 经历探索二次函数y ＝ax 2(a ≠0)及y ＝a(x-h)2 (a ≠0)的图象作法和性质的过程； 2. 能够理解函数y ＝a(x-h)2 (a ≠0)与y ＝ax 2的图象的关系，了解a,h,k 对二次函数图象的影响。 3．能正确说出函数 y ＝a(x-h)2的图象的开口方向，顶点坐标和对称轴。【重点】理解函数y ＝a(x-h)2 (a ≠0)与y ＝ax 2的图象的关系及性质；【难点】理解函数y ＝a(x-h)2 (a ≠0)与y ＝a x 2的图象的关系及性质；同学们还记得一次函数y=2x 与y=2(x-1)的图象的关系吗？你能由此推测二次函数2 x y =与y =(x-1)2的图象之间的关系吗？那么 2x y =与y=(x-1)2的图象之间又有何关系？动手操作、探究：在同一平面内画出函数2 x y =与y=(x-1)2的图象。比较它们的性质，你可以得到什么结论？【探究问题1】形如的二次函数的开口方向，对称轴，顶点坐标各是什么？我们已经了解到，函数k ax y +=2的图象，可以由函数2ax y =的图象上下平移所得，那么函数2)2(2 1-=x y 的图象，是否也可以由函数221x y =平移而得呢？画图试一试，你能从中发现什么规律吗？ 1、在平面直角坐标系中，并画出函数2)1(+=x y 的图象。 2、比较它与函数2 x y =的图象之间的关系。结论：（1）抛物线y=a(x-h)2(a ≠0)与抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的形状一样，只是位置不同，因此抛物线y=a(x-h)2可通过平移抛物线y ＝ax 2(a ≠0)得到。当h ＞0时，把抛物线y ＝ax 2(a ≠0)向左平移|h|个单位得到抛物线y=a(x-h)2，当h<0时，把抛物线y ＝ax 2(a ≠0)向右平移|h|个单位得到抛物线y=a(x-h)2

第课时用待定系数法求二次函数的解析式教案

第2课时用待定系数法求二次函数的解析式教学目标【知识与技能】利用已知点的坐标用待定系数法求二次函数的解析式. 【过程与方法】通过介绍二次函数的三点式，顶点式，交点式，结合已知的点，灵活地选择恰当的解析式求法. 【情感态度】经历用待定系数法求解二次函数解析式的过程，发现二次函数三点式、顶点式与交点式之间的区别及各自的优点，培养学生思维的灵活性. 教学重点待定系数法求二次函数的解析式. 教学难点选择恰当的解析式求法. 教学目标一、情境导入，初步认识问题我们知道，已知一次函数图象上两个点的坐标，可以用待定系数法求出它的解析式，试问：要求出一个二次函数的表达式，需要几个独立的条件呢？【教学说明】对于问题，教师应与学生一起交流，明确确定一个一次函数表达式为什么需要两个独立的条件的原因，进而获得确定一个二次函数表达式需要三个独立的条件. 二、思考探究，获取新知在前面的情境导入中，同学们已经知道确立一个二次函数需要三个条件.事实上，求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是求出待定系数a、b、c的值.由已知条件（如二次函数图象上的三个点的坐标）列出关于a、b、c的方程组，并求出a、b、c,就可以写出二次函数表达式. 回顾前面学过的知识，已知学过y=ax2，y=ax2+k,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k等几种形式的二次函数，所以在利用待定系数法求二次函数解析式时，一般也可分以下几种情况：

（1）顶点在原点，可设为y=ax2; （2）对称轴是y轴（或顶点在y轴上），可设为y=ax2+k; （3）顶点在x轴上，可设为y=a(x-h)2; （4）抛物线过原点，可设为y=ax2+bx; (5)已知顶点（h,k）时，可设顶点式为y=a(x-h)2+k; （6）已知抛物线上三点时，可设三点式为y=ax2+bx+c; （7）已知抛物线与x轴两交点坐标为（x1,0）,(x2,0)时，可设交点式为y=a(x-x1)(x-x2). 【教学说明】教师在教学时，可由浅入深进行讲解.对每一种情形，可先让学生自主思考探索交流想法后，再共同总结出各情况的设法，学生在思考中加深对知识的理解、记忆与掌握. 三、典例精析，掌握新知例根据下列条件，分别求出对应的二次函数解析式. （1）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点（1,0），（-5,0），顶点的纵坐标为92，求这个二次函数的解析式. （2）已知二次函数的图象经过（-1，10），（1，4），（2，7）；（3）已知二次函数的图象的顶点为（-1，3），且经过点（2，5）. 分析： (1)由已知的两点（1,0），（-5,0）的纵坐标知，这两点是关于对称轴对称的两个点，即对称轴为直线x=-2,由此可知顶点坐标为（-2，9/2），可用交点式和顶点式两种方法求解. (2)已知三点坐标，即直接给出了三组对应关系，可通过设三点式用待定系数法求解. （3）由条件初看起来似显不足，因为只给出经过图象上的两点的坐标，但若注意到顶点坐标实际上存在着两个独立等式，即有 2b a - =-1, 2 4 4 ac b a - =3,因此仍可求出相应二次函数解析式.这时可利用一般式，代入求值得到结果，也可设这个二次函数解析式为y=a（x-h）2+k，其中h，k可直接由顶点坐标得到，即h=-1，k=3，再把（2，5）代入求出a值，可快速获得该二次函数表达式. 解：（1）方法一：设这个二次函数的解析式为y=a(x-1)(x+5),则

二次函数的图像与性质教案

二次函数y= ax 2+bx+c 的图象与性质年级：九年级执教老师：田老师【教学目标】 1. 知识与技能会用配方法确定二次函数y= ax 2+bx+c 图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。理解二次函数y= ax 2+bx+c 的性质。 2. 过程与方法让学生经历配方的过程，掌握抛物线的对称轴和顶点坐标。 3. 情感态度与价值观培养学生积极探索、合作交流的意识。【教学重点】理解、掌握对称轴a b x 2-= , 顶点坐标（a b 2- ，a b ac 442-）【教学难点】用配方法确定对称轴、顶点坐标。【教学过程】一、温故知新 1. 耐心填一填

2. 抛物线y =－2(x ＋3)2－6的开口，对称轴是，顶点坐标为。当x 时，y 随x 的增大而减小；当x 时，y 随x 的增大而增大；当x 时，函数y 有最值。 3. 你能说出y =－2x 2＋6x －1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？二、探索新知 1.你能将二次函数 y =－2(x ＋3)2－6化成一般形式吗？ 2. 怎样将二次函数一般式y =－2x 2＋6x －1化成顶点式y=a(x －h)2＋k ？ y =－2x 2＋6x －1 =－2（x 2－3x ＋21 ）提：提取二次项系数 =－2[x 2－3x ＋223）（－223）（＋21 ] 配：括号内配成完全平方 =－2[（x －23）2－47 ] （加上再减去一次项系数一半的平方） =－2（x －23）2＋2 7 化：化成顶点式 3. 提问： ⑴ 对称轴是，顶点坐标是（） ⑵ 当x 等于多少时，函数的值最大？最大值是多少？ 4. 求函数122 12-+-=x x y 的最大值。

22.1 二次函数(第1课时)教学设计(一等奖)

22.1 二次函数（第1课时）教学设计一、教学目标：知识技能： 1．探索并归纳二次函数的定义； 2．能够表示简单变量之间的二次函数关系．数学思考： 1．感悟新旧知识间的关系，让学生更深地体会数学中的类比思想方法； 2．经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系．解决问题： 1．让学生学习了二次函数的定义后，能够表示简单变量之间的二次函数关系； 2. 能够利用尝试求值的方法解决实际问题．进一步体会数学与生活的联系，增强用数学意识。情感态度： 1．把数学问题和实际问题相联系,从学生感兴趣的问题入手，能使学生积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲； 2．使学生初步体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用； 3．通过学生之间互相交流合作，让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程，培养大家的合作意识．二、教学重点、难点：教学重点： 1．经历探索和表示二次函数关系的过程，获得二次函数的定义。 2．能够表示简单变量之间的二次函数关系．教学难点：经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验．三、教学方法：教师引导——自主探究——合作交流。四、教具：小黑板五、教学过程： 1. 温故知新，引出课题。 1、大家还记得我们学过哪些函数吗? 2、它们是如何定义的？ 3、我们分别从哪些方面对它们进行了研究？

2. 实际问题，列出函数关系式，探究新知问题1：已知正方体粉笔盒的棱长x ，粉笔盒的表面积为y ，探讨y 与x 有什么关系？问题2：多边形的对角线数d 与边数n 有什么关系？[1] 问题3：某工厂一种产品的年产量是20件，计划今后两年增加产量。如果每年都比上一年的产量增加x 倍，那么两年后这种产品的产量将随计划所定的x 的值而确定，y 与x 之间的关系应怎样表示？[2] 学生活动：学生自主学习教材第4-5页，发现书中显性问题，找出隐含问题，提出新问题，并尝试解决，记录解决问题的方案。然后，以小组为单位进行合作探究，讨论上述问题的解决方案，并进行组际交流，确定疑难点。师生活动：教师或者学生充当能者，对小组共同筛选出的问题、重难点进行部分教学，对关键点进行点睛引导，师生互动，思维接龙，旨在突破难点。预案：对问题1而言，如果学生不看展开图，直接说出答案，教师可追问：教材上展开图对求面积有什么作用？提醒学生思考展开图问题。如果学生看了展开图，却不知道它有何用？教师可追问：同学们，说一说符号语言y=6x 2中6的实际意义。请以小组为单位进行讨论。同时，对学生讨论的结果作鼓励性评价。如学生的答案是 y=4x ?x+x 2+x 2时，老师务必当众大力表扬：你的答案非常有创意，观察图很仔细，能够灵活利用书上的展开图求解，打破了思维定势，而且对过去学过的基础知识、方法、思想、基本活动经验进行了整合，变成了自己解决问题的锋利武器，你太有才了！同学们，这个同学就是我们学习的榜样，他今后很可能成为一位伟大的发明家。对问题2而言，如果学生不能正确得到结论，教师用作图法引导：从一个顶点可以作多少条对角线？n 个顶点呢？从所有顶点作出的对角线是否有重复的？如果学生能得出正确结论，教师也可追问：同学们，说一说符号语言()132d n n =-中12 的实际意义。请同学们先作图，再回答。同时，对他们的解题思路作点评，鼓励他们用不同方法发现规律，树立学习自信心。设计意图：以粉笔盒为教具，通过对粉笔盒面积求法的探究，不但能给学生提供展示平台，体验成功的机会，对学习产生自信，而且可以培养他们一题多解能力，筛选通法通解的意识。此外，对简单的实际问题，列出二次函数关系式，既巩固了方程法求函数关系式的思想，又为二次函数概念的形成提供感性素材。 3. 观察式子，形成二次函数概念问题4：观察: ① y = 6x 2； ② 213-22 d n n =； ③ y = 20x 2+40x+20. 想一想函数①②③有什么共同点？师生活动：针对问题4，教师追问：同学们，函数关系式①、②、③究竟表示的是哪种函数？能否给这种函数取个名字？学生仔细观察，讨论函数的共同点，由此给函数取名。当学生取名困难时，老师可以从方法的角度进行诱导：根据函数表达式与自变量的关系，类比一次函数的命名，让学生对函数y=ax 2 +bx+c 进行命名，引出二次函数概念。

第22章二次函数第5课时二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质-人教版九年级数学上册讲义

人教版九年级数学上册讲义第二十二章二次函数第5课时二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 的图象和性质教学目的会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k 的形式，并能由此得到二次函数y=ax 2+bx+c 的图象和性质. 教学重点会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k 的形式，并能由此得到二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象和性质. 教学内容知识要点 1．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的画法方法：描点法．步骤：(1)把y ＝ax 2＋bx ＋c 化成y ＝a (x －h )2＋k 的形式； (2)确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)在对称轴的两侧，以顶点为中心，左右对称描点画图． 2．顶点坐标公式抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标是，对称轴是直线 . 3．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最大(小)值规律：(1)自变量x 的取值范围是全体实数，当x ＝－b 2a 时，y 最值＝4ac －b 24a ，当a >0时，在x ＝－b 2a 处取得最小值，当a <0时，在x ＝－b 2a 处取得最大值； (2)自变量x 的取值范围是x 1≤x ≤x 2.

①x1≤－b 2a≤x2，则当x＝－ b 2a时，y最值＝ 4ac－b2 4a； ②当－b 2a>x2或－b 2a

九年级下二次函数图像与性质教案

第1课时 26.1 二次函数一、阅读教科书二、学习目标： 1．知道二次函数的一般表达式； 2．会利用二次函数的概念分析解题； 3．列二次函数表达式解实际问题．三、知识点：一般地，形如____________________________的函数，叫做二次函数。其中x 是________，a 是__________，b 是___________，c 是_____________．四、基本知识练习 1．观察：①y ＝6x 2；②y ＝－3 2x 2＋30x ；③y ＝200x 2＋400x ＋200．这三个式子中，虽然函数有一项的，两项的或三项的，但自变量的最高次项的次数都是______次．一般地，如果y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 是常数，a ≠0），那么y 叫做x 的_____________． 2．函数y ＝(m －2)x 2＋mx －3（m 为常数）．（1）当m__________时，该函数为二次函数；（2）当m__________时，该函数为一次函数． 3．下列函数表达式中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各项对应项的系数．（1）y ＝1－3x 2 （2）y ＝3x 2＋2x （3）y ＝x (x －5)＋2 （4）y ＝3x 3＋2x 2 （5）y ＝x ＋1 x 五、课堂训练 1．y ＝(m ＋1)x m m 2－3x ＋1是二次函数，则m 的值为_________________． 2．下列函数中是二次函数的是（） A ．y ＝x ＋1 2 B ． y ＝3 (x －1)2 C ．y ＝(x ＋1)2－x 2 D ．y ＝1 x 2－x 3．在一定条件下，若物体运动的路段s （米）与时间t （秒）之间的关系为 s ＝5t 2＋2t ，则当t ＝4秒时，该物体所经过的路程为（） A ．28米 B ．48米 C ．68米 D ．88米 4．n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式_______________________． 5．已知y 与x 2成正比例，并且当x ＝－1时，y ＝－3．求：（1）函数y 与x 的函数关系式；（2）当x ＝4时，y 的值；（3）当y ＝－1 3时，x 的值．

二次函数的性质教案

4.2二次函数的性质一、教材的地位与作用初中学习了一元二次函数2(0) =++≠图象、开口方向、对称轴 y ax bx c a 最大、最小值，有了初步的感性认识。在高一阶段将进一步从“数和形”两个方面研究一般二次函数的图象和性质，二次函数也是我们用来研究函数性质的最典型的函数。可以以它为素材来研究函数的单调性，奇偶性，最值等问题。还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系基础，是解决数学问题的常用工具，也是培养学生逻辑推理能力和渗透数形结合思想的重要素材。二、教学目标 1、知识与技能：掌握研究二次函数的一般方法——配方法，进而研究其性质。 2、过程与方法：进一步培养学生探究、合作、交流能力，培养学生的观察、分析、归纳概括能力,进一步向学生渗透数形结合的数学思想方法。 3、情感态度与价值观：通过本节课的教学，渗透二次函数图象的对称美，和谐的数学美。三、教学重难点教学重点：掌握研究二次函数图象的重要方法---配方法，能够较快求出二次函数的开口方向对称轴，单调区间、最值及顶点坐标。教学难点：运用配方法研究二次函数的性质。四、教法学法和教具教师启发讲授，学生探究学习的教学方法，教学中使用了多媒体投影和计算机来辅助教学，目的是让学生直接感受抛物线这种对称和谐美，有助于学生对问题的理解和认识。教具：多媒体

五、教学过程一、问题提出 1.画出函数2243y x x =--的图像，根据图像讨论抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、单调区间、最大值和最小值. 2.画出函数245y x x =-++的图像，根据图像讨论抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、单调区间、最大值和最小值. 3.讨论函数2(0)y ax bx c a =++≠图像的开口方向、顶点坐标、对称轴、单调区间、最大值和最小值. 22(1)5y x =-- 2(2)9y x =--+ 222432(1)5y x x x =--=--，∴开口向上，对称轴1x =，顶点坐标 -15（，）， ∞（-,1)递减，∞(1,+)递增，min ()5f x =- 2245(2)9y x x x =-++=--+∴开口向下，对称轴2x =，顶点坐标（2,9）， ∞（-,2)递增，∞(2,+)递减，max ()9f x = 设计意图：从具体到抽象，从简单到复杂的认知，概括2(0)y ax bx c a =++≠的开口方向、顶点坐标、对称轴、单调区间、最大值和最小值.渗透分类讨论和数形结合的思想。探究：函数2(0)y ax bx c a =++≠图像的开口方向、顶点坐标、对称轴、

《二次函数的图像和性质》教案

5、4二次函数的图像与性质(1) 教材分析: 本节内容就是在学生已经学习过的一次函数、反比例函数的图象与性质,以及二次函数的有关概念的基础上进行的,它既就是前面所学知识的应用、拓展,又就是对前面所学一次函数、反比例函数图象与性质的一次升华,还就是今后学习的基础,在教材中起着非常重要的作用. 教学设计: 本课一开始先让学生回忆用描点法画函数图象的一般步骤与方法,然后根据表中的各对对应值,在直角坐标系中描出相应的各点,用光滑的曲线连接,画出图象.通过画出图象,让学生分析、归纳二次函数的图象与性质、教学目标: 知识与技能:1、掌握二次函数的图象的作法及其性质,会根据图象用数学语言表达图象的性质. 2、能分清当a>0,a<0时图象之间有什么共同点与不同点. 过程与方法:通过对二次函数图象与性质的发现,提高分析、归纳等能力,体验数学中的数形结合思想的应用、情感态度与价值观:引导学生养成全面瞧问题,分类讨论的学习习惯,通过直观多媒体演示与学生动手作图、分析,激发学生学习数学的积极性. 教学重难点: 重点:能在直角坐标系中,正确画出二次函数的图象,并能说出二次函数的图象的性质、难点:作二次函数图象时要选取适当的点,选取适当数目的点、课前准备教具准备教师准备PPT 课件课时安排:4课时教学过程: 知识回顾: 一次函数:y =kx +b (k ≠0) 图象:直线反比例函数: (k ≠0)图象:双曲线问:1.如何画出函数图象呢? 2.如何得到相应的性质呢? 【设计意图】: 通过对一次函数与反比例函数解析式、图象的回顾,一方面巩固学生的旧知,另一方面对本节课的学习起到类比作用、合作探究一: 二次函数y=ax 2 (a>0)的图象请同学们用描点法按下列要求画图: k y x