【精品】2020学年湖北省武汉二中高二上学期期中数学试卷和解析(文科)
湖北省武汉市部分重点中学高二数学上学期期中考试 文.doc
湖北省部分重点中学-上学期高二期中考试数学试卷（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时1。
★祝考试顺利★第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直到型循环结构为2．设A 、B 是两个任意的事件，下面哪一个关系是正确的A ．AB A += B ．AB A ⊃C ．A AB A +=D ．AB A ⊂ 3．某校有下列问题：①高三毕业班500名学生中，O 型血有，A 型血有125人，B 型血有125人，AB 型血有50人，为研究血型与色弱的关系，需从中抽取一个容量为本；②高二年足球队有11名运动员，要从中抽出2人调查学习负担情况。
方法：Ⅰ.随机抽样法 Ⅱ.系统抽样法 Ⅲ.分层抽样法.其中问题与方法能配对的是 A ．①Ⅰ ②Ⅱ B ．①Ⅲ ② Ⅰ C ．①Ⅱ ②Ⅲ D ．①Ⅲ ②Ⅱ 4．对于独立性检验，下列说法正确的是A ．2K 独立性检验的统计假设是各事件之间相互独立 B ．2K 可以为负值C ．2K 独立性检验显示“患慢性气管炎和吸烟习惯有关”，这就是指“有吸烟习惯的人必定会患慢性气管炎”D ．2×2列联表中的4个数据可以是任意正数5．对于n 对观察数据，根据线性回归模型，对于每一个i x，对应的随机误差为i i i e y bx a=--，1,2,,i n =，我们希望总体误差越小越好，即A ．i e越小越好 B ．11ni i e n =∑越小越好 C ．1n i i e =∑越小越好 D ．21ni i e =∑越小越好6．将二进制数218(1111)位转换成十进制形式是A ．217－2B ．218－2C ．218－1D ．217－1 7． “回归”这个词是由英国著名的统计学家Francils Galton 提出来的。
1889年，他在研究祖先与后代身高之间的关系时发现，身材较高的父母，他们的孩子也较高，但这些孩子的平均身高并没有他们父母的平均身高高；身材较矮的父母，他们的孩子也较矮，但这些孩子的平均身高却比他们的父母的平均身高高。
2020-2021学年湖北省武汉市第二中学高二上学期期中考试数学试题
武汉市第二中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．命题“0x ∀>，使得sin x x >”的否定是（） A ．00x ∃≤，使得00sin x x ≤ B ．00x ∃>，使得00sin x x ≤ C ．0x ∀>，使得sin x x ≤D ．0x ∀≤，使得sin x x >2．若点()1,1,2A -，()0,3,0B ，()1,0,1C -，点D 在z 轴上，且AD BC ⊥，则AD =（）． AB．C．D ．63．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()*111,m n a a a m m +-<<->∈N ，则必有（）． A ．0m S <且10m S +> B ．0m S >且10m S +> C ．0m S <且10m S +<D ．0m S >且10m S +<4，若P 是两相交平面α，β外的任意一点，则过点P （）． A ．有且仅有一条直线与α，β都平行 B ．有且仅有一条直线与α，β都垂直 C ．有且仅有一条直线与α，β都相交D ．以上都不对5．己知椭圆22143x y +=的右焦点F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，则过F 作倾斜角为α的直线分别交抛物线于A ，B （A 在x 轴上方）两点，若||3||AF BF =，则α的值为（）． A ．30︒B ．120︒C ．60︒D ．60︒或120︒6．在等比数列{}n a 中，若123456158a a a a a a +++++=，3498a a ⋅=-，则123456111111a a a a a a +++++=（）． A ．35B ．35-C ．53D 、53-7．设动点P 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，记11D PD Bλ=，当APC ∠为锐角时，λ的取值范围是（）．A ．10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭8．双曲线()222210,0x y a b a b +=>>的左焦点(),0F c -关于直线by x a=-的对称点Q 在该双曲线上，则双曲线的离心率为（）．A B CD 二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．已知双曲线222cos ,32x y k k πθθπ⎛⎫-=≠+∈ ⎪⎝⎭Z ，则不因θ改变而变化的是（）． A ．焦距B ．离心率C ．顶点坐标D ．渐近线方程10．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长是1，下列结论正确的有（）．A ．直线BC 与平面11ABC D 所成的角为4πB ．C 到平面11ABCD 距离为2C ．两条异面直线1CD 和1BC 所成的角为4π D ．三棱锥1D DAB -中三个侧面与底面均为直角三角形 11．已知曲线22:1C mx ny -=，下列说法正确的是（）．A ．若0mn >，则C 为双曲线B ．若0m >且0m n +<，则C 为焦点在x 轴的椭圆 C ．若0m >，0n <，则C 不可能表示圆D ．若0m >，0n =，则C 为两条直线12．已知P 是左右焦点分别为1F ，2F 的椭圆22142x y +=上的动点，()0,2M ，下列说法正确的有（）． A ．124PF PF +=B ．12PF PF -的最大值为C ．存在点P ，使12120F PF ∠=︒D ．MP的最大值为2三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．双曲线2213y x -=的左焦点到其渐近线的距离为_________． 14．直线l 与抛物线22y x =相交于点A ，B 且90AOB ∠=︒，则AOB 面积的最小值为_________．15．若n S 为数列{}n a 的前n 项和，且2121232222n n a a a a n n -++++=+，则n a =_________，n S =________．16．空间四边形ABCD中，AB AD BD ===AC =BC DC =，BC DC ⊥，则其外接球表面积为_________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．17．（10分）已知命题p ：方程22242220x y x my m m +-++-+=表示圆；命题q ：方程22115x y m a+=--表示焦点在y 轴上的椭圆，若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．18．（本小题12分）已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，0n a >，315S =，公差1d >且_______从“①21a -为11a -和31a +的等比中项”，“②等比数列nb 的公比12q =，12b a =，33b a =”这两个条件中，选择一个补充在上面问题中的划线部分，使得符合条件的数列{}n a 存在并作答． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T ．19．（本小题12分）已知圆222440x y x y +--+=．（1）若圆C 的切线在x 轴，y 轴上的截距相等，求此切线的方程；（2）从圆C 外一点()00,P x y 向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有PM PO =，求PM的最小值．20．（本小题12分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，E 为PD 中点．（1）证明：//PB 平面AEC ；（2）设1PA =，120BAD ∠=︒，菱形ABCD 的面积为D AE C --的余弦值．21．（本小题12分）设抛物线2:2C y x =，点()2,0A ，过()2,0A 的直线l 与C 交于()2,0A （M 在x 轴上方）两点．（1）当2MA AN =时，求直线l 的方程；（2）是否存在x 轴的点B （异于A 点），使得MBA NBA =∠∠，若存在，求B 点的坐标；若不存在，说明理由．22．（本题满分12分）若曲线上任意一点P 与点()2,0A -，()2,0B 连线的斜率之积为14-，过原点的直线与曲线交于M ，N 两点，其中点M 在第二象限，过点M 作x 轴的垂线交AN 于点C ． （1）求曲线的方程；（2）试比较2AM 与AC AN ⋅的大小．2020~2021年度上学期武汉二中期中考试 高二数学试卷参考答案一、选择题二、多选题 9．BD 10．ABD11．ABD12．ABD三、填空题 13．314．415．1212n n -+；125102n n -+-16．3π四、解答题17．45a ≤<．18．（1）21n a n =+；（2）3(23)n nT n =+．解：（1）若选①21a -为11a -和31a +的等比中项，则()()()2132111a a a -+=-， 由{}n a 是等差数列，315S =， 得315S =，所以25a =，∴(4)(6)16d d -+=，解得2d =或4d =-（舍）， ∴13a =，21n a n =+；若选②，等比数列n b 的公比12q =，12b a =，33b a =， 得231b b q =，即3214a a =，即()()11124a d a d +=+，又315S =，得11332152a d +⨯⨯=，即15a d +=，解得1514d =-<，不符合题意，故选①，此时21n a n =+． （2）111111(21)(23)22123n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭∴11111111111235577921212123n T n n n n ⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪-+++⎝⎭11123233(23)nn n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭． 19．（1）0x =或34y x =，或3x y +=±； （2． 解：（1）圆的方程22(1)(2)1x y -+-=，切线的截距不为0时，设直线方程y x a =-+1=，得3a =+3a =所以切线方程为3x y +=+3x y +=-； （2）若切线的截距为0时，斜率存在时，设直线的方程为y kx =1=得34k =，切线方程为0x =或34y x =． 20．解：（1）证明：连接BD 交AC 交于点O ，连接OE ，∵O ，E 分别为BD ，PD 中点， ∴//PB OE ，∴//PB 平面AEC ，PB ⊄平面AEC ， ∴//PB 平面AEC ；（2）1=2ABCD S AC BD ⨯⨯=菱形120BAD ∠=︒， ∴2AC BD AB BC CD AD ======．取BC 中点M ，连接A M ．以点A 为原点，以AM 方向为x 轴，以AD 方向为y 轴，以AP 方向为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：()0,2,0D ，()0,0,0A ，10,1,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，)C ，10,1,2AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()3,1,0AC =，设平面AEC 的法向量为(,,)m x y z =，由m AE m AC ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，1020y z y ⎧+=⎪+=，则()3,3,6m =-，同理平面ADE 的法向量为(1,0,0)n =，1cos ,439m n m n m n ⋅===+， 即二面角D AE C --的余弦值为14． 21．解：（1）设211,2y M y ⎛⎫⎪⎝⎭，222,2y N y ⎛⎫⎪⎝⎭，直线:2(0)l x my m =+>， (2,0)A ，1222MA AN y y =⇒=-，∵2222402x my ymx y x=+⎧⇒--=⎨=⎩， ∴12222122212422y y y m m m y y y ⎧+=-=⎪⇒=⇒=⎨=-=-⎪⎩， 直线l 的方程为y =-（2）设B 点坐标为(),0B t ，∵ABM ABN ∠=∠，∴0BM BN k k +=， ∴122212022BM BN y y k k yy t t +=+=--，()()2221121212120222y y y y y t y t y y t y y ⎛⎫⎛⎫⋅-+⋅-=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴(2)20t m --⋅=，2t =-，所以存在()2,0B -．22．解：（1）设P 的坐标为(),x y ，由题可知14PA PB k k ⋅=-，即1224y y x x ⋅=-+-，∴221(0)4x y y +=≠． （2）设直线AM 的方程为(2)y k x =+，0k >，()11,M x y ，代入椭圆方程得()222241161640k x k x k +++-=，则212164241k x k --=+，解得2122841k x k -=+，从而1(2)AM x =--=；由椭圆对称性可得()11,N x y --， 所以2111211112244ANy y y k k x x x -⋅=⋅==-+-+-， 于是14AN k k=-，故124(2)41AC x k =--=+，21216(2)41k AN x k =---=+， ()()()222222241611641164141k kAN AC k k k +⎛⎫⋅=+⋅= ⎪⎝⎭++， 所以()()2222121441k AN AC kAM -⋅-=+，因为点M 在第二象限，所以12k >，于是有2A M A A N C <⋅．。
高二第一学期期中测试数学试题(文科)及答案doc
高二第一学期期中测试数学试题（文科）参考公式：回归直线方程a x by ˆˆ+=∧，其中∑∑==∧--=n i i ni ii xn x yx n yx b 1221，x b y aˆˆ-= 一、选择题（本大题共10小题，每小题５分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1．设,a b 为非零实数,若a b <,0c ≠ 则下列不等式成立的是A. ac bc <B. 22a b < C. 22ac bc < D. a c b c -<+ 2．要完成下列两项调查：宜采用的抽样方法依次为①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3人调查学习负担情况.A ．①随机抽样法，②系统抽样法B ．①分层抽样法，②随机抽样法C ．①系统抽样法，②分层抽样法D ．①②都用分层抽样法3．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立．．．．．．的两个事件是 A ．至少有1个白球，都是白球 B ．至少有1个白球，至少有1个红球C ．恰有1个白球，恰有2个白球D ．至少有1个白球，都是红球4．一组数据的平均数是2 .8 ，方差是3 .6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是A ．57.2 ，3.6B ．57.2 ，56.4C ．62.8 ，63.6D ．62.8 ，3.65．当1x >时，关于函数 下列叙述正确的是A.函数()f x 有最小值2B.函数()f x 有最大值2C.函数()f x 有最小值3D.函数()f x 有最大值3 6．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率为90% , 则甲、乙二人下成和棋的概率为A. 50%B. 30%C. 10%D. 60% 7．如右图所示的程序框图输出的结果是S ＝120 ，则判断框内应填写的条件是A. i ≤5？B. i>5？C. i ≤6？D. i>6？,11)(-+=x x x f354555658．已知回归直线斜率的估计值是1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线的回归方程是 A. 1.230.08y x ∧=+ Ｂ． 1.235y x ∧=+ Ｃ． 1.234y x ∧=+ Ｄ．0.08 1.23y x ∧=+9．△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a 、b 、c ，若 A=2B ，则cosB 等于A. B. C. D.10．ABCD 为长方形，AB=2 ，BC=1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到点O 的距离大于1的概率为 A ．4π B ． 14π- C ． 8π D ．18π- 二、填空题（本大题共4小题，每小题５分，共20分）11．把5进制数4301（5）化为十进制数：4301（5）= 。
湖北省武汉市武汉中学2020-2021高二数学上 期中试题试卷解析
武汉中学2020〜2021学年度高二上学期期中考试数学试卷解析一、单选题（每小题5分，共40分）1.宜线2》一3），—6 =。
在x轴上的截距为。
，在V轴上的截距为力.则（）.A. a = 3.b = 2 B,a = 3.Z> = -2 C.a = -3.b = 2 D.a = -3.b = -2【答案】B【解析】当x = 0时，y = -2. :.h = -2,当y = 0时，x = 3. .\o = 3.故选B.2.已知椭圆［+），2=|匕的动点，姻该棉圆的戎距为（）.4A. 73B. 2后C. >/5D. 2>/5【答案】B【解析】a = 2. h=\. :.c = j3. ：.2c = 2j3.即焦跆为2后,故选B.3.设”是双曲线4- = = 1上的动点.则”到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对仇为4 3（>•A.4B.2JJC.2>/5D.2J7【答幻A【解，，】由题惹可知“ =2,根据双曲线的定义，户到该戏曲线两个焦点的距肉之差的绝对值为2o = 4.故选A.4.中心在原点的椭圖的右焦点为尸（1,0）,肉心率等于:，则该椭圖的方程是（）.A X+22= IB X+22= IC X+>2= ID E+己=】4 3 9 8 8 6 4 2【答案】B2【协析】由題密可知c = l, e = - = ~, /.« = 3. :.b 2=a 2-c }=^-所以该神圆的方程 a 3 是—+ ^- = 1.故选B.9 85. 己知双曲线具-打= W ＞0油＞0)的渐进线方程^y = ±2x,则其离心率为().O\MB.V5 C 冷 D 罕【答案】B【跳i 】山其渐进絞方程y = ±2xni 知：=2,所以离心率e=, + % =后故选B.6. 如图,为蛔金属材料的硬度,用•定压力把•个商强度钢珠圧向该种材料的表面.在材料表面用下•个凹坑，现测得四坑直径为10mm,若所用钢珠的直径为26mm,则凹坑課 度为＜ ).A. \mmB. 2mmC. 3mmD. 4 in in【答案】A【個枳】凹坑深)^d = OC-OM .其中 OC = r = l3. OM = Jr 2-AM 2 =Vl32-52=12 带入街.d = OC-QW = 13-12 = 1.故选 A.由图•得A 不正确:由图二符B 不正确:垂虹叶・条直线的两囲线平行，C 正确 由图三每D4正确.故选C.7.己知空何中仇〃是两条不同直线, A. ??m/ia.ii u 。
湖北省部分中学2020年秋高二数学上学期期中联考试卷附答案解析
D．
0，1 2
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分,在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选 对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分
9．下列说法正确的是（ ）
A．命题“ x R ， x2 1 ”的否定是“ x0 R ， x02 1”
B．命题“ x0 (3, ) ， x02 9 ”的否定是“ x (3, ) ， x2 9 ” C．“ m 0 ”是“关于 x 的方程 x2 2x m 0 有一正一负根”的充分不必要条件 D．“ a 5 ”是命题“ x R, x2 ax a 0 ”为假命题的充分不必要条件
湖北省部分中学 2020 年秋高二数学上学期期中联考试卷
第 I 卷（选择题）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要 求的
1．已知点 A(-3, 2) ， B(0, 1) ，则直线 AB 的倾斜角为（ ）
A． 300
B． 450
C．1350
10．抛掷一枚骰子 1 次,记“向上的点数是 4,5,6”为事件 A,“向上的点数是 1,2”为事件 B,“向上的点 数是 1,2,3”为事件 C,“向上的点数是 1,2,3,4”为事件 D,则下列关于事件 A，B，C，D 判断正确的是 （）
A．A 与 B 是互斥事件但不是对立事件
B．A 与 C 是互斥事件也是对立事件
所以“ m ”是“ m l ”的充要条件 故选 C
5.【答案】B
【解析】由圆的几何性质两圆在点 A 处的切线互相垂直，且过对方圆心 O2O1．则
在 Rt△O2AO1 中，|O1A|= 5 |O2A|= 20 ，斜边上的高为半弦，用等积法易 得： AB 5 5 20 ⇒|AB|=4．故答案为：B
湖北省武汉市第二中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题(原卷版)
2020~2021学年度上学期武汉二中期中考试高二数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1. 命题“0x ∀>，使得sin x x >”的否定是（ ）A. 00x ∃≤，使得00sin x x <B. 00x ∃>，使得00sin x x ≤C. 0x ∀>，使得sin x x ≤D. 0x ∀≤，使得sin x x >2. 若点()()()1,1,2,0,3,0,1,0,1A B C --，点D 在z 轴上.且AD BC ⊥，则AD =（ ）B.C. D. 63. 设等差数列{}n a 的前n 和为n S ，若()*111,m m a a a m m N +-<<->∈，则必有（ ）A. 0m S <且10m S +>B. 0m S >且10m S +>C. 0m S <且10m S +<D. 0m S >且10m S +<4. 若P 是两相交平面,αβ外的任意一点，则过点P （ ）A. 有且仅有一条直线与,αβ都平行B. 有且仅有一条直线与,αβ都垂直C. 有且仅有一条直线与,αβ都相交D. 以上都不对 5. 已知椭圆22143x y +=的右焦点F 是抛物线()220y px p =>的焦点，则过F 作倾斜角为α的直线分别交抛物线于,A B （A 在x 轴上方)两点，若3AF BF =，则α的值为（ ） A. 30︒ B. 120︒C. 60︒D. 60︒或120︒ 6. 在等比数列{}n a 中，12345634159,88a a a a a a a a +++++==-，则123456111111a a a a a a +++++=（ ）A. 35B. 35C. 53D. 53- 7. 设动点P 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，11D P D Bλ=，当APC ∠为锐角时，λ的取值范围是（ ）A. 10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C. 1,13⎛⎫⎪⎝⎭ D. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭8. 双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点(),0F c -关于直线b y x a =-的对称点Q 在该双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）A. 5B. 5C. 3D. 3 二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9. 已知双曲线222cos ,32x y k k Z πθθπ⎛⎫-=≠+∈ ⎪⎝⎭，则不因θ改变而变化的是（ ） A. 焦距 B. 离心率 C. 顶点坐标 D. 渐近线方程10. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长是1，下列结论正确的有（ ）A. 直线BC 与平面11ABC D 所成的角为4πB. C 到平面11ABC D 的距离为长22C. 两条异面直线1CD 和1BC 所成的角为4πD. 三棱锥1D DAB -中三个侧面与底面均直角三角形 11. 已知曲线22:1C mx ny -=，下列说法正确的是（ ）A. 若0mn >，则C 为双曲线B. 若0m >且0m n +<，则C 为焦点在x 轴的椭圆C . 若0,0m n ><，则C 不可能表示圆D. 若0,0m n >=，则C 两条直线 12. 已知P 是左右焦点分别为12,F F 的椭圆22142x y +=上的动点， ()0,2M ,下列说法正确的有（ ） A. 124PF PF +=B. 12PF PF -的最大值为22C. 存在点P ，使12120F PF ︒∠=D. MP 的最大值为22+ 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 双曲线2213y x -=的左焦点到其渐近线的距离为__________．14. 直线l 与抛物线22y x =相交于点,A B 且90AOB ︒∠=，则AOB ∆面积的最小值为__________． 15. 若n S 是数列{}n a 的前n 项和，且2121232222n n a a a a n n -++++=+，则n a =_________n S =_____ 16. 空间四边形ABCD 中，2,3,,AB AD BD AC BC DC BC DC =====⊥，则其外接球表面积__________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．17. 已知命题:p 方程22242220x y x my m m +-++-+=表示圆；命题:q 方程22115x y m a +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.18. 已知n S 是等差数列{}n a 前n 项和，30,15n a S >=，公差1d >且 从“①21a -为11a -与31a +的等比中项”，“②等比数列{}n b 的公比12331,,2q b a b a ===”这两个条件中，选择一个补充在上面问题中的划线部分，使得符合条件的数列{}n a 存在并作答.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T . 19. 已知圆222440x y x y +--+=；（1）若圆C 的切线在x 轴，y 轴上的截距相等，求此切线的方程；（2）从圆C 外一点()00,P x y 向该圆引一条切线，切点为,M O 为坐标原点，且有PM PO =，求PM 的最小值.20. 如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD 、底面ABCD 为菱形，E 为PD 的中点.（1）证明：//PB 平面AEC ；（2）设1,120PA BAD ︒=∠=，菱形ABCD 的面积为23D AE C --的余弦值.21. 设抛物线2:2C y x =，点()2,0A ，过点A 的直线l 与C 交于M N 、(M 在x 轴上方)两点. (Ⅰ)当2MA AN =时，求直线l 的方程；(Ⅱ)在x 轴上是否存在点B ，使得ABM ABN ∠=∠,若存在，求B 点出坐标，若不存在，说明理由． 22. 若曲线Γ上任意一点P 与点()()2,0,2,0A B -连线的斜率之积为14-，过原点的直线与曲线Γ交于,M N 两点，其中点M 在第二象限，过点M 作x 轴的垂线交AN 于点C ．（1）求曲线Γ的方程；（2）试比较2AM 与AC AN ⋅大小.。
2020-2021学年湖北省武汉中学高二上学期期中数学试题(解析版)
2020-2021学年湖北省武汉中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．直线2360x y --=在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则（ ） A ．3,2a b == B ．3,2a b ==-C ．3,2a b =-=D ．3,2a b =-=-【答案】B【分析】令0x =求y ，利用0y =求x ．【详解】令0x =，由2360x y --=得：2y =-，所以2b =- 令0y =，由2360x y --=得：3x =，所以3a =，故选B ．【点睛】本题考查了直线的截距问题，直线方程0Ax By C ++=，令0x =解出y ，得到直线的纵截距．令0y =解出x ，得到直线的横截距．2．已知椭圆2214x y +=，则该椭圆的焦距为（ ）A B ．C D ．【答案】B【分析】利用椭圆的性质以及222c a b =-即可求解.【详解】由2214x y +=，则24a =，21b =，所以2223c a b =-=，所以c =所以该椭圆的焦距为2c =故选：B【点睛】本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.3．设P 是双曲线22143y x -=上的动点，则P 到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为（ ）A ．4B ．C ．D ．【答案】A【分析】直接利用双曲线的定义分析解答得解. 【详解】由题得24,2a a =∴=.由双曲线的定义可知P 到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值24a =. 故选A【点睛】本题主要考查双曲线的定义，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.4．中心在原点的椭圆的右焦点为()10F ，，离心率等于13，则该椭圆的方程是（ ） A ．22143x y +=B ．22198x yC ．22186x y +D ．22142x y +=【答案】B【分析】根据题意，由椭圆的焦点坐标可得椭圆的焦点在x 轴上，且c =1，结合椭圆的离心率公式可得a 的值，由椭圆的几何性质可得b 的值，将a 、b 的值代入椭圆的方程即可得答案．【详解】根据题意，椭圆的一个焦点为(1,0)F 则该椭圆焦点在x 轴上，且1c = ， 又因为椭圆的离心率为13，即13c e a ==， 所以3a =，则2228b a c =-=，故所求椭圆标准方程为22198x y .故选：B.【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质，注意椭圆离心率公式的应用.是基础题.5．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为2,y x =±则其离心率为（ ）A B C D 【答案】B【分析】利用渐近线方程得出2b a =，然后结合222c a b =+求出ca即可.【详解】由渐近线方程可知2,b c e a a ====== 故选：B.【点睛】本题考查根据双曲线的渐近线方程求解离心率问题，属于简单题.6．如图,为测量金属材料的硬度,用一定压力把一个高强度钢珠压向该种材料的表面,在材料表面留下一个凹坑,现测得凹坑直径为10mm ,若所用钢珠的直径为26 mm ,则凹坑深度为( )A ．1mmB ．2 mmC ．3mmD ．4 mm【答案】A【分析】由题可知OM AM ⊥，在RT OMA ∆中，利用勾股定理，可求得OM ，进而可求出CM ，即凹坑深度．【详解】依题意得，222OA AM OM =+，从而12OM mm =，故13121CM mm =-=，故选A ．【点睛】利用半径，弦心距和弦的一半组成的直角三角形来求解，是基础题． 7．已知空间中m ，n 是两条不同直线，α是平面，则（ ） A ．若//m α，n α⊂，则//m n B ．若//m α，//n α，则m n ⊥ C ．若m α⊥，n α⊥，则//m n D ．若m α⊥，n α⊥，则m n ⊥【答案】C【分析】根据线面关系和直线与平面垂直的性质定理逐一判断可得选项. 【详解】对于A ，B ，直线m ，n 可能平行、相交或异面，A ，B 错误； 对于C ，D ，由直线与平面垂直的性质定理易得C 正确，D 错误， 故选：C.【点睛】本题考查空间中直线与平面的位置关系，熟记空间中直线与平面的位置关系的判定定理和性质定理是解题的关键，属于基础题. .8．如图，在四面体ABCD 中，AB CD =，M 、N 分别是BC 、AD 的中点，若AB 与CD 所成的角的大小为30°，则MN 和CD 所成的角的大小为（ ）A ．15°B ．75°C ．30°或60°D ．15°或75°【答案】D【分析】取BD 中点E ，根据三角形中位线的平行关系可知异面直线AB 与CD 所成角为MEN ∠或其补角；根据等腰三角形特点可求得NME ∠，根据异面直线所成角定义可知NME ∠即为所求角.【详解】取BD 中点E ，连接,ME NE,,M N E 分别为,,BC AD BD 中点 //ME CD ∴，//NE AB异面直线AB 与CD 所成角为30 30MEN ∴∠=或150AB CD = ME NE ∴= 75NME ∴∠=或15 //ME CD MN ∴和CD 所成角为NME ∠MN ∴和CD 所成角的大小为15或75故选D【点睛】本题考查异面直线所成角的求解，关键是能够通过平移将两直线变为相交关系，从而得到异面直线所成角；易错点是忽略异面直线所成角的范围为0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，造成丢根的情况出现.二、多选题9．直线y x b =+与曲线21x y =-恰有一个交点，则实数b 可取下列哪些值（ ） A ．2- B ．1-C ．1D ．2【答案】AC【分析】先画直线与曲线图象，再结合题意判断实数b 的取值范围即可解题. 【详解】解：曲线21x y =-，整理得221x y +=，0x ≥， 画出直线与曲线的图象，如图，直线y x b =+与曲线21x y =-恰有一个交点， 则(1,1]{2}b ∈--故选：AC.【点睛】本题考查根据直线与半圆的交点个数求参数，是基础题. 10．下列说法正确的是（ ）A ．过11(,)x y ，22(,)x y 两点的直线方程为112121y y x x y y x x --=-- B ．点(0,2)关于直线1y x =+的对称点为(1,1)C ．直线20x y --=与两坐标轴围成的三角形的面积是2D ．经过点(1,1)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-= 【答案】BC【分析】运用直线的两点式方程判断A 的正误；利用对称知识判断B 的正误；求出直线在两坐标轴上的截距可得到三角形的面积判断C 的正误；利用直线的截距相等可判断D 的正误．【详解】对于A ：当12x x ≠，12y y ≠时，过11(,)x y ，22(,)x y 两点的直线方程为112121y y x x y y x x --=--，故A 不正确；对于B ：点 (0,2) 与 (1,1) 的中点坐标1322⎛⎫⎪⎝⎭，， 满足直线方程1y x =+, 并且两点的斜率为： −1, 所以点 (0,2) 关于直线 y =x +1 的对称点为 (1,1) ，所以 B 正确；对于C ：直线20x y --=在两坐标轴上的截距分别为： 2,−2, 直线20x y --=与坐标轴围成的三角形的面积是12222⨯⨯=，所以C 正确； 对于D ：经过点 (1,1) 且在 x 轴和 y 轴上截距都相等的直线方程为 x +y −2=0 或 y =x ，所以 D 不正确； 故选：BC.【点睛】本题考查直线的方程，直线与坐标轴的截距，点关于直线的对称点，注意在考虑截距相等的时候，不漏掉截距为0的情况，属于基础题．11．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF 2=a ，以下结论正确的有（ ）A ．AC ⊥BEB ．点A 到△BEF 的距离为定值C ．三棱锥A ﹣BEF 的体积是正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1体积的112D ．异面直线AE ，BF 所成的角为定值 【答案】ABC【分析】由异面直线的判定判断A ；由二面角的平面角的定义可判断B ；运用三棱锥的体积公式可判断C ；运用三角形的面积公式可判断D ．【详解】对于A ，根据题意，AC ⊥BD ，AC ⊥DD 1，AC ⊥平面BDD 1B 1， 所以AC ⊥BE ，所以A 正确；对于B ，A 到平面BDD 1B 1的距离是定值，所以点A 到△BEF 的距离为定值， 则B 正确；对于C ，三棱锥A ﹣BEF 的体积为 V 三棱锥A ﹣BEF 13=•12EF •AB •BB 1•sin45°112322=⨯⨯⨯a ×a 22⨯a 112=a 3， 三棱锥A ﹣BEF 的体积是正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1体积的112，正确； 对于D ，如图所示异面直线AE ，BF 所成的角的平面角为AEM ∠不为定值，命题D 错误；故选：ABC ．【点睛】本题主要考查异面直线位置关系；点到面的距离；三棱锥的体积运算；属于中档题。
2019-2020年高二上学期期中数学试卷(文科) 含解析
2019-2020年高二上学期期中数学试卷（文科）含解析一.选择题（本大题共12题，每题5分，共60分）1．椭圆的离心率为（）A．B．C．2 D．42．设a，b∈R，则“a＞b”是“|a|＞|b|”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知||=1，||=，|﹣2|=，则向量，的夹角为（）A．B．C．D．4．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y= B．y= C．y=±x D．y=5．给出下列命题：（1）“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若m≤1，则x2﹣2x+m=0有实根”的逆否命题；（4）“若A∩B=B，则A⊆B”的逆否命题．其中为真命题的是（）A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（2）（3） D．（3）（4）6．已知椭圆的长轴是8，离心率是，此椭圆的标准方程为（）A．B．或C．D．或7．若向量、、两两所成的角相等，且||=1，||=1，||=3，则|++|等于（）A．2 B．5 C．2或5 D．或8．设=（1，2），=（1，1）且与+λ的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣，0）∪（0，+∞）B．（﹣，+∞）C．[﹣，0）∪（0，+∞）D．（﹣，0）9．已知方程﹣=1表示双曲线，那么k的取值范围是（）A．k＞5 B．﹣2＜k＜2 C．k＞2或k＜﹣2 D．k＞5或﹣2＜k＜210．设D为△ABC所在平面内一点，，则（）A．B．C．D．11．已知△ABC的顶点B，C在椭圆+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）A． B．6 C． D．1212．设双曲线的焦点为F1、F2，过F1作x轴的垂线与该双曲线相交，其中一个交点为M，则||=（）A．5B．4C．3D．2二.填空题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．命题“∃∈R，x2+2x+5=0”的否定是．14．若命题p：曲线﹣=1为双曲线，命题q：函数f（x）=（4﹣a）x在R上是增函数，且p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围是．15．已知点F1（﹣4，0），F2（4，0），动点P满足|PF2|﹣|PF1|=4，则动点P的轨迹方程为．16．在直角三角形ABC中，∠C=，AB=2，AC=1，若=，则•=．三.解答题（本大题共6题，共70分）17．求符合下列条件的双曲线的标准方程（1）焦点在x轴上，顶点间的距离为6，渐近线方程为y=±（2）与椭圆+=1共焦点，它们的离心率之和为．18．已知，的夹角为60°，，，当实数k为何值时，（1）（2）．19．已知点P是椭圆+=1上的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形面积等于1，求点P的坐标．20．在四边形ABCD中，已知∥，=（6，1），=（x，y），=（﹣2，﹣3）．（1）求用x表示y的关系式；（2）若⊥，求x、y值．21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）上的动点到焦点距离的最小值为．以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于A，B两点，P为椭圆上一点，且满足+=t（O为坐标原点）．当|AB|=时，求实数t的值．22．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）过点，且离心率e为．（1）求椭圆E的方程；（2）设直线x=my﹣1（m∈R）交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．2016-2017学年内蒙古包头一中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题（本大题共12题，每题5分，共60分）1．椭圆的离心率为（）A．B．C．2 D．4【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆方程和椭圆基本量的平方关系，可得a=2、b=，从而算出c=1，由此即得该椭圆离心率的值．【解答】解：∵椭圆的方程为，∴a2=4，b2=3，可得c==1，因此椭圆的离心率e=，故选：B2．设a，b∈R，则“a＞b”是“|a|＞|b|”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若a=1，b=﹣2，满足a＞b，但|a|＞|b|不成立，若a=﹣2，b=1，满足|a|＞|b|，但a＞b不成立，即“a＞b”是“|a|＞|b|”的既不充分也不必要条件，故选：D．3．已知||=1，||=，|﹣2|=，则向量，的夹角为（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用向量数量积运算性质即可得出．【解答】解：∵|﹣2|=，∴=，∴5=，解得=，∴向量，的夹角为．故选：C．4．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y= B．y= C．y=±x D．y=【考点】双曲线的简单性质．【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=±x，代入可得答案．【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），则离心率e===，即4b2=a2，故渐近线方程为y=±x=x，故选：D．5．给出下列命题：（1）“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若m≤1，则x2﹣2x+m=0有实根”的逆否命题；（4）“若A∩B=B，则A⊆B”的逆否命题．其中为真命题的是（）A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（2）（3） D．（3）（4）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①写出逆命题，进行判断②写出否命题，进行判断③若m≤1，△=4﹣4m≥0，原命题为真，逆否命题也为真④若A∩B=B，则A⊆B”为假，逆否命题也为假．【解答】解：“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy=1”为真命题．（1）正确．“面积相等的三角形全等”是假命题，其否命题为真命题．（2）正确．当m≤1时，△=4﹣4m≥0，x2﹣2x+m=0有实根，命题为真，逆否命题也为真（3）正确．“若A∩B=B，则A⊆B”为假命题，逆否命题也为假．（4）错误综上所述，为真命题的是（1）（2）（3）故选C6．已知椭圆的长轴是8，离心率是，此椭圆的标准方程为（）A．B．或C．D．或【考点】椭圆的标准方程．【分析】根据椭圆的基本概念，结合题意算出a=4且c=3，从而得到b2=a2﹣c2=7．再根据椭圆的焦点位置，即可确定此椭圆的标准方程．【解答】解：∵椭圆的长轴为8，离心率是，∴2a=8，e==，解得a=4，c=3，b2=a2﹣c2=7，因此，当椭圆的焦点在x轴上时，其方程为；椭圆的焦点在y轴上时，其方程为．故选：B7．若向量、、两两所成的角相等，且||=1，||=1，||=3，则|++|等于（）A．2 B．5 C．2或5 D．或【考点】平面向量数量积的运算．【分析】设向量所成的角为α，则先求出的值即可求出，【解答】解：由向量、、两两所成的角相等，设向量所成的角为α，由题意可知α=0°或α=120°则=+++2（++）=11+2（||•||cosα+||•||cosα+||•||cosα）=11+14cosα所以当α=0°时，原式=5；当α=120°时，原式=2．故选C8．设=（1，2），=（1，1）且与+λ的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（）A ．（﹣，0）∪（0，+∞）B ．（﹣，+∞）C ．[﹣，0）∪（0，+∞）D ．（﹣，0）【考点】平面向量数量积的运算．【分析】若设θ为与的夹角，θ为锐角⇒cos θ＞0，且cos θ≠1，根据条件及两向量夹角的余弦公式即可求得λ的取值范围，并且在求时，先求它的平方． 【解答】解： =（1，2）•（1+λ，2+λ）=3λ+5，=5+6λ+2λ2，；∴设与的夹角为θ且θ为锐角，则：cos θ==＞0，且∴解得：λ，且λ≠0．∴实数λ的取值范围是．故选A ．9．已知方程﹣=1表示双曲线，那么k 的取值范围是（ ）A ．k ＞5B ．﹣2＜k ＜2C ．k ＞2或k ＜﹣2D ．k ＞5或﹣2＜k ＜2【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线方程的特点可得（k ﹣5）（|k |﹣2）＞0，解之可得．【解答】解：若方程﹣=1表示的曲线为双曲线，则（k ﹣5）（|k |﹣2）＞0，解得k ＞5或﹣2＜k ＜2． 故选D ．10．设D 为△ABC 所在平面内一点，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】平行向量与共线向量．【分析】将向量利用向量的三角形法则首先表示为，然后结合已知表示为的形式．【解答】解：由已知得到如图由===；故选：A ．11．已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆+y 2=1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（ ）A ．B ．6C ．D ．12 【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆的定义：椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a ，可得△ABC 的周长．【解答】解：由椭圆的定义：椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a ，可得△ABC 的周长为4a=， 故选C12．设双曲线的焦点为F 1、F 2，过F 1作x 轴的垂线与该双曲线相交，其中一个交点为M ，则||=（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】依题意，可求得﹣=1的左焦点F 1（﹣3，0），从而可求得||，利用双曲线的定义即可求得||．【解答】解：∵双曲线﹣=1中a 2=3，b 2=6，∴c 2=a 2+b 2=9，∴c=3，故左焦点F 1（﹣3，0）．依题意，设M （﹣3，y 0），则=﹣1=2，∴y 0=±2，故|MF 1|=2． ∵M （﹣3，y 0）为左支上的点，∴|MF2|﹣|MF1|=2，∴|MF2|=2+|MF1|=4，即||=4．故选B．二.填空题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．命题“∃∈R，x2+2x+5=0”的否定是∀x∈R，x2+2x+5≠0．【考点】命题的否定．【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断．【解答】解：命题的特称命题，则命题的否定是全称命题，即∀x∈R，x2+2x+5≠0，故答案为：∀x∈R，x2+2x+5≠014．若命题p：曲线﹣=1为双曲线，命题q：函数f（x）=（4﹣a）x在R上是增函数，且p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围是（﹣∞，2]∪[3，6）．【考点】复合命题的真假；双曲线的简单性质．【分析】通过p∨q为真命题，p∧q为假命题，判断两个命题的真假关系，分别求出命题是真命题时a的范围，即可求解结果．【解答】解：当p为真命题时，（a﹣2）（6﹣a）＞0，解之得2＜a＜6．当q为真命题时，4﹣a＞1，即a＜3．由p∨q为真命题，p∧q为假命题知p、q一真一假．当p真q假时，3≤a＜6．当p假q真时，a≤2．因此实数a的取值范围是（﹣∞，2]∪[3，6）．故答案为：（﹣∞，2]∪[3，6）．15．已知点F1（﹣4，0），F2（4，0），动点P满足|PF2|﹣|PF1|=4，则动点P的轨迹方程为．【考点】轨迹方程．【分析】由条件知，点P的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线左支，从而写出轨迹的方程即可．【解答】解：由|PF2|﹣|PF1|=4＜|F1F2|知，点P的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线左支，得c=4，2a=4，∴a=2，∴b2=12，故动点P的轨迹方程是．故答案为16．在直角三角形ABC 中，∠C=，AB=2，AC=1，若=，则•=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据结合图形得出==，=0， =2××COS30°，转化得出•=（）•=+求解即可．【解答】解：∵直角三角形ABC 中，∠C=，AB=2，AC=1，∴根据勾股定理得出BC=，sin ∠ABC ═=，即∠ABC=30°∵若=，∴==， =0，=2××COS30°=3∴•=（）•=+=×3=故答案为：三.解答题（本大题共6题，共70分） 17．求符合下列条件的双曲线的标准方程（1）焦点在x 轴上，顶点间的距离为6，渐近线方程为y=±（2）与椭圆+=1共焦点，它们的离心率之和为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】（1）由题意，2a=6， =，求出a ，b ，即可求出双曲线的标准方程；（2）椭圆+=1的焦点坐标为（0，±4），离心率为，可得双曲线的焦点坐标为（0，±4），离心率为2，求出a，b，即可求出双曲线的标准方程．【解答】解：（1）由题意，2a=6，=，∴a=3，b=1，∴双曲线的标准方程为=1；（2）椭圆+=1的焦点坐标为（0，±4），离心率为，∴双曲线的焦点坐标为（0，±4），离心率为2，∴，∴双曲线的标准方程为=1．18．已知，的夹角为60°，，，当实数k为何值时，（1）（2）．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】（1）由可知存在实数t，使，可得k与t的方程组，解之可得；（2）由=（）•（）=0可得关于k的方程，解之即可．【解答】解：（1）由可知存在实数t，使，即，解得，故k=时，可得；（2）由=（）•（）=0可得15+3k+（5k+9）=0，代入数据可得15×4+27k+（5k+9）×=0，解得k=﹣，故当k=﹣时，．19．已知点P是椭圆+=1上的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形面积等于1，求点P的坐标．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆方程可知： +=1，c==1，由三角的面积公式可知：S=•2c•丨y丨=1，即丨y丨=1，代入椭圆方程得：=1，即可求得丨x丨=，即可求得点P的坐标．【解答】解：F1、F2是椭圆+=1的左、右焦点，c==1，则F1（﹣1，0），F2（1，0），设P（x，y）是椭圆上的一点，由三角的面积公式可知：S=•2c•丨y丨=1，即丨y丨=1，将丨y丨=1代入椭圆方程得：=1，解得：丨x丨=，∴点P的坐标为（，1））（﹣，1）（）（，﹣1）．20．在四边形ABCD中，已知∥，=（6，1），=（x，y），=（﹣2，﹣3）．（1）求用x表示y的关系式；（2）若⊥，求x、y值．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】（1），由，能求出y=﹣．（2）=（x+6，y+1），=（x﹣2，y﹣3），由，y=﹣，能求出x、y值．【解答】（本小题满分12分）解：（1）∵=（6，1），=（x，y），=（﹣2，﹣3），∴…∵，∴x（﹣2+y）=y（4+x）…∴y=﹣，…（2）∵=（6，1），=（x，y），=（﹣2，﹣3），∴=（x+6，y+1），=（x﹣2，y﹣3），∵，∴（x+6）（x﹣2）+（y+1）（y﹣3）=0，又∵y=﹣，解得或．21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）上的动点到焦点距离的最小值为．以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于A，B两点，P为椭圆上一点，且满足+=t（O为坐标原点）．当|AB|=时，求实数t的值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）利用椭圆C： +=1（a＞b＞0）上的动点到焦点距离的最小值为，可求a﹣c的值，利用直线与圆相切，可得b的值，由此可求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线AB的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理及|AB|=， +=t，即可求得结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意知a﹣c=﹣1；…又因为b==1，所以a2=2，b2=1．…故椭圆C的方程为+y2=1．…（Ⅱ）设直线AB的方程为y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），由得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0．…△=64k4﹣4（2k2+1）（8k2﹣2）＞0，∴k2．…x1+x2=，x1x2=．又由|AB|=，得|x1﹣x2|=，即=…可得…又由+=t，得（x1+x2，y1+y2）=t（x，y），则=，=…故，即16k2=t2（1+2k2）．…得，t2=，即t=±．…22．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）过点，且离心率e为．（1）求椭圆E的方程；（2）设直线x=my﹣1（m∈R）交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】解法一：（1）由已知得，解得即可得出椭圆E的方程．（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点为H（x0，y0）．直线方程与椭圆方程联立化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，利用根与系数的关系中点坐标公式可得：y0=．|GH|2=．=，作差|GH|2﹣即可判断出．解法二：（1）同解法一．（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），则=，=．直线方程与椭圆方程联立化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，计算=即可得出∠AGB，进而判断出位置关系．【解答】解法一：（1）由已知得，解得，∴椭圆E的方程为．（2）设点A（x1y1），B（x2，y2），AB中点为H（x0，y0）．由，化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，∴y1+y2=，y1y2=，∴y0=．G，∴|GH|2==+=++．===，故|GH|2﹣=+=﹣+=＞0．∴，故G在以AB为直径的圆外．解法二：（1）同解法一．（2）设点A（x1y1），B（x2，y2），则=，=．由，化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，∴y1+y2=，y1y2=，从而==+y1y2=+=﹣+=＞0．∴＞0，又，不共线，∴∠AGB为锐角．故点G在以AB为直径的圆外．2016年12月19日。
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将抛物线化为标准方程可得
所以准线方程为
所以选D
【点睛】
本题考查了抛物线方程及其性质简单应用，属于基础题。
5．B
【解析】
【分析】
根据双曲线定义及a、b、c关系，求出值即可得到双曲线方程。
【详解】
因为双曲线 的实轴的长度比虚轴的长度大2，焦距为10
所以 ，解方程组得
且焦点在x轴上，所以双曲线标准方程为
19．求满足下列条件的椭圆或双曲线的标准方程：
（1）椭圆的焦点在 轴上，焦距为4，且经过点 ；
（2）双曲线的焦点在 轴上，右焦点为 ，过 作重直于 轴的直线交双曲线于 ， 两点，且 ，离心率为 .
20．已知直线 过点 ，圆 ： .
（1）当直线 与圆相切时，求直线 的一般方程；
（2）若直线与圆相交，且弦长为 ，求直线 的一般方程.
【详解】
根据原命题与逆命题的关系，可得逆命题为
若 ，则
所以选C
【点睛】
本题考查了命题与逆命题的关系，属于基础题。
3．A
【解析】
【分析】
由两点间距离公式，可直接求得 的值。
【详解】
根据空间两点间距离公式可得
所以选A
【点睛】
本题考查了空间中两点间距离公式，属于基础题。
4．D
【解析】
【分析】
把抛物线化为标准方程即可求得准线方程。
所以选B
【点睛】
本题考查了利用a、b、c的关系求双曲线标准方程，属于基础题。
6．C
【解析】
【分析】
解不等式求得x的取值范围，根据充分不必要条件可求出a、b的范围即可。
【详解】
解不等式 得
因为“ ”是“ ”的充分不必要条件，且
湖北省2020年数学高二上学期文数期中考试试卷(I)卷
湖北省 2020 年数学高二上学期文数期中考试试卷（I）卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 12 分)1. （1 分） (2019 高一上·东方月考) 命题“对，都有”的否定为（ ）A.对，都有B.，使得C.，使得D.，使得2. （1 分） 若 p 是真命题，q 是假命题，则（ ） A . p 且 q 是真命题 B . p 或 q 是假命题 C . 非 p 是真命题 D . 非 q 是真命题 3. （1 分） (2020 高一上·延寿期中) 下列四个命题中的真命题为（ ） A . ∃ x∈Z，1<4x<3 B . ∃ x∈Z，5x＋1＝0 C . ∀ x∈R，x2－1＝0 D . ∀ x∈R，x2＋x＋2>04. （1 分） (2019 高二上·北京月考) 已知 一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 AC 边上，则的顶点 A、C 在椭圆 的周长是（ ）A.第 1 页 共 20 页上，顶点 B 是椭圆的B.6C. D . 12 5. （1 分） (2018 高二上·巴彦期中) 双曲线 则点 到另一个焦点的距离等于（ ） A.上一点 到它的一个焦点的距离等于 ，B. C.D.6. （1 分） (2020 高二上·丽水期末) 已知，，点在曲线上，若直线 ， 的斜率分别为 ， ，则（ ）A. B. C. D.7. （1 分） (2019 高二下·赣县期中) 已知双曲线焦点 重合，抛物线的准线与双曲线交于两点，且（）的一个焦点与抛物线的的面积为 （ 为原点），则双曲线的方程为A. B.第 2 页 共 20 页C.D. 8. （1 分） 抛物线的焦点坐标是（ ）A. B . (1,0)C. D . (0,1) 9. （1 分） 设函数 f‘（x）是奇函数 f（x）（x R）的导函数，f（-1）=0，当 x 0 时，xf'（x）-f（x） 0，则使得 f （x） 0 成立的 x 的取值范围是（ ） A . （- ， -1） （0，1） B . （-1，0） （1，+ ） C . （- ， -1） （-1，0） D . （0，1） （1，+ ）10. （1 分） (2017 高三下·西安开学考) 函数 y= 象中的（ ），x∈（﹣π，0）∪（0，π）的图象可能是下列图A.第 3 页 共 20 页B.C.D.11. （1 分） 已知一组曲线,其中 a 为 2,4,6,8.中任取的一个数，b 为 1,3,5,7 中任取的一个数，从这些曲线中任意抽取两条，它们在与直线 x=1 交点处的切线相互平行的概率是（ ）A.B.C.D. 12. （1 分） (2015 高二下·宜春期中) 已知定义在 R 上的函数 y=f（x）的导函数为 f′（x），满足 f′（x） ＜f（x），且 f（0）=1，则不等式 f（x）＜ex 的解集为（ ） A . （﹣∞，e4） B . （e4 ， +∞） C . （﹣∞，0） D . （0，+∞）第 4 页 共 20 页二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2018 高二下·泰州月考) “” 是“函数(填“充分不必要”，“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)14. （1 分） (2019 高二上·北京月考) 以下命题：①“”是“”的充分不必要条件；②命题“若，则”的逆否命题是假命题；③命题“若，则”的否命题为“若，则”；④若为假命题，则 ， 均为假命题；其中正确命题的序号为________．（把所有正确命题的序号都填上）．为奇函数”________的条件.15. （1 分） 设 F1 ， F2 为双曲线 小值为 8a 时，该双曲线离心率 e 的取值范围是________的左右焦点，P 为双曲线右支上任一点，当 最16. （1 分） (2017 高二下·蚌埠期中) 函数 y=的导数是________．三、 解答题 (共 6 题；共 11 分)17. （2 分） 已知命题 p：lg（x2﹣2x﹣2）≥0；命题 q：0＜x＜4．若 p 且 q 为假，p 或 q 为真，求实数 x 的 取值范围．18. （2 分） (2018 高二上·思南月考) 已知椭圆 C： 端点到右焦点的距离为 .（1） 求椭圆 C 的方程．＝1(a＞b＞0)的离心率为，短轴的一个（2） 设斜率为 1 的直线 经过左焦点与椭圆 C 交于 A,B 两点，求 .19.（2 分）(2016 高二下·曲靖期末) 若椭圆 C1： （p＞0）的焦点在椭圆 C1 的顶点上．（1） 求抛物线 C2 的方程；第 5 页 共 20 页的离心率等于 ，抛物线 C2：x2=2py（2） 求过点 M（﹣1，0）的直线 l 与抛物线 C2 交 E、F 两点，又过 E、F 作抛物线 C2 的切线 l1、l2 ， 当 l1⊥l2 时，求直线 l 的方程．20. （2 分） (2020·安徽模拟) 已知函数.（1） 当时，证明：；（2） 是否存在不相等的正实数 m，n 满足 请说明理由.，且？若存在，求 a 的取值范围；若不存在，21. （2 分） (2019 高二上·宾县月考) 已知椭圆椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.（1） 求椭圆的标准方程；的离心率为 ，以原点为圆心，（2） 若直线与椭圆 相交于两点且.求证：的面积为定值.22. （1 分） (2019 高一上·新津月考) 已知函数，最小值 ，设函数.（1） 求 的值；，在区间上有最大值（2） 不等式在上恒成立，求实数 的取值范围；（3） 方程有三个不同的实数解，求实数 的取值范围.第 6 页 共 20 页一、 单选题 (共 12 题；共 12 分)答案：1-1、 考点：参考答案解析： 答案：2-1、 考点：解析： 答案：3-1、 考点：第 7 页 共 20 页解析： 答案：4-1、 考点：解析： 答案：5-1、 考点：第 8 页 共 20 页解析： 答案：6-1、 考点： 解析：答案：7-1、 考点： 解析：第 9 页 共 20 页答案：8-1、 考点： 解析： 答案：9-1、 考点： 解析：答案：10-1、第 10 页 共 20 页考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共11分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、答案：22-3、考点：解析：。
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2018学年湖北省武汉二中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）若复数（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣6 B．13 C．D．2．（5分）定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：（1）1*1=1，（2）（n+1）*1=n*1+2，则n*1等于（）A．n﹣1 B．2n﹣1 C．2n+1 D．n23．（5分）用简单随机抽样方法从含有6个个体的总体中抽取一个容量为2的样本，某一个体a“第一次被抽到的概率”、“第二次被抽到的概率”、“在整个抽样过程中被抽到”的概率分别是（）A．B．C．D．4．（5分）若某程序框图如图所示，则输出的p的值是（）A．21 B．26 C．30 D．555．（5分）在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（）A．B．C．D．6．（5分）在2012年中央电视台举办的“我要上春晚”大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图如图，数据的平均数和中位数分别为（）A．84，84 B．84，86 C．85，86 D．85，877．（5分）在一次班级聚会上，某班到会的女同学比男同学多6人，从这些同学中随机挑选一人表演节目．若选到女同学的概率为，则这班参加聚会的同学的人数为（）A．12 B．18 C．24 D．328．（5分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD=1，设点CG到平面PAB的距离为d1，点B到平面PAC的距离为d2，则有（）A．1＜d1＜d2B．d1＜d2＜1 C．d1＜1＜d2D．d2＜d1＜19．（5分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O在底面ABCD中心，在正方体ABCD ﹣A1B1C1D1内随机取一点P则点P与点O距离大于1的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是（）A．[1﹣，1+] B．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞）C．[2﹣2，2+2]D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）二、填空题：本大题共7个小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．（5分）计算的值的程序框图如图所示，其中判断框内应填入的条件是．12．（5分）数列{a n}的通项公式（n∈N*），，试通过计算f（1），f（2），f（3），…的值，推测出f（n）的表达式为．13．（5分）对具有线性相关关系的变量x和y，测得一组数据如下表：若它们的回归直线方程为=10.5x+a，则a的值为．14．（5分）已知某程序的框图如图，若分别输入的x的值为0，1，2，执行该程序后，输出的y的值分别为a，b，c，则a+b+c=．15．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．16．（5分）已知结论：“在正三角形ABC中，若D是BC的中点，G是三角形ABC重心，则=2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在正四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则=．17．（5分）由直线l：x+2y+4=0上的动点P引圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2=4的两切线，切点为A、B，则四边形PACB的面积最小值为．三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（12分）从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高，据测量被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组；第一组[155，160）、第二组[160，165）；…第八组[190，195），如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列．（1）求第六组、第七组的频率．（2）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x、y，求满足|x﹣y|≤5的事件概率．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=BC=2AC=2，D为AA1中点．（Ⅰ）求证：CD⊥B1C1；（Ⅱ）求证：平面B1CD⊥平面B1C1D；（Ⅲ）求三棱锥C1﹣B1CD的体积．20．（13分）已知|x|≤2，|y|≤2，点P的坐标为（x，y）．（I）求当x，y∈R时，P满足（x﹣2）2+（y﹣2）2≤4的概率；（II）求当x，y∈Z时，P满足（x﹣2）2+（y﹣2）2≤4的概率．21．（14分）某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形．（1）求出f（5）；（2）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f（n+1）与f（n）的关系式，并根据你得到的关系式求f（n）的表达式；（3）求+++…+的值．22．（14分）已知圆C经过点A（﹣2，0），B（0，2），且圆心在直线y=x上，且，又直线l：y=kx+1与圆C相交于P、Q两点．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若，求实数k的值；（Ⅲ）过点（0，1）作直线l1与l垂直，且直线l1与圆C交于M、N两点，求四边形PMQN面积的最大值．2018学年湖北省武汉二中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）若复数（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣6 B．13 C．D．【解答】解：由复数==是纯虚数，则，解得a=﹣6．故选：A．2．（5分）定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：（1）1*1=1，（2）（n+1）*1=n*1+2，则n*1等于（）A．n﹣1 B．2n﹣1 C．2n+1 D．n2【解答】解：∵1*1=1，（n+1）*1=n*1+2，∴（n+1）*1=n*1+2=（n﹣1）*1+4=（n﹣2）*1+6=…=[n﹣（n﹣1）]*1+2n=1+2n，∴n*1=2n﹣1．故选：B．3．（5分）用简单随机抽样方法从含有6个个体的总体中抽取一个容量为2的样本，某一个体a“第一次被抽到的概率”、“第二次被抽到的概率”、“在整个抽样过程中被抽到”的概率分别是（）A．B．C．D．【解答】解：个体a第一次被抽到的概率是一个等可能事件，试验发生包含的事件数6，满足条件的事件数1，∴个体a第一次被抽到的概率是第二次被抽到表示第一次没有被抽到且第二次抽到，这是一个相互独立事件同时发生的概率，第一次不被抽到的概率是，第二次被抽到的概率是∴第二次被抽到的概率是在整个抽样过程中被抽到的概率是故选：C．4．（5分）若某程序框图如图所示，则输出的p的值是（）A．21 B．26 C．30 D．55【解答】解：根据题意可知该循环体运行3次第1次：n=2，p=1+22=5第2次：n=3，p=5+32=14，第3次：n=4，p=14+42=30因为P=30＞20，结束循环，输出结果p=30．故选：C．5．（5分）在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：随机取出2个小球得到的结果数有C52=种取出的小球标注的数字之和为3或6的结果为{1，2}，{1，5}，{2，4}共3种，∴P=，故选：A．6．（5分）在2012年中央电视台举办的“我要上春晚”大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图如图，数据的平均数和中位数分别为（）A．84，84 B．84，86 C．85，86 D．85，87【解答】解：由七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图知：数据为：73，84，84，84，85，86，92，平均数=（73+84+84+84+85+86+92）=84，中位数=84．故选：A．7．（5分）在一次班级聚会上，某班到会的女同学比男同学多6人，从这些同学中随机挑选一人表演节目．若选到女同学的概率为，则这班参加聚会的同学的人数为（）A．12 B．18 C．24 D．32【解答】解：设男同学有x人，则女同学有x+6人，由题意可得=，解得x=6，则这个班所有的参加聚会的同学的人数为2x+6=18人，故选：B．8．（5分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD=1，设点CG到平面PAB的距离为d1，点B到平面PAC的距离为d2，则有（）A．1＜d1＜d2B．d1＜d2＜1 C．d1＜1＜d2D．d2＜d1＜1【解答】解：过C做平面PAB的垂线，垂足为E，连接BE，则三角形CEB为直角三角形，其中∠CEB=90°，根据斜边大于直角边，得CE＜CB，即d2＜1．同理，d1＜1．再根据面PAC和面PAB与底面所成的二面角可知，前者大于后者，所以d2＜d1．所以d2＜d1＜1．故选：D．9．（5分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O在底面ABCD中心，在正方体ABCD ﹣A1B1C1D1内随机取一点P则点P与点O距离大于1的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：本题是几何概型问题，与点O距离等于1的点的轨迹是一个半球面，其体积为：V1=“点P与点O距离大于1的概率”事件对应的区域体积为23﹣，则点P与点O距离大于1的概率是=．故选：B．10．（5分）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是（）A．[1﹣，1+] B．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞）C．[2﹣2，2+2]D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）【解答】解：由圆的方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，得到圆心坐标为（1，1），半径r=1，∵直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆相切，∴圆心到直线的距离d==1，整理得：m+n+1=mn≤，设m+n=x，则有x+1≤，即x2﹣4x﹣4≥0，∵x2﹣4x﹣4=0的解为：x1=2+2，x2=2﹣2，∴不等式变形得：（x﹣2﹣2）（x﹣2+2）≥0，解得：x≥2+2或x≤2﹣2，则m+n的取值范围为（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）．故选：D．二、填空题：本大题共7个小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．（5分）计算的值的程序框图如图所示，其中判断框内应填入的条件是n ＞20或i＞10．【解答】解：由已知中最后一次进入循环时，n=20，i=10即n≤20，i≤10时，进入循环故答案为：n＞20或i＞1012．（5分）数列{a n}的通项公式（n∈N*），，试通过计算f（1），f（2），f（3），…的值，推测出f（n）的表达式为．【解答】解：∵数列{a n}的通项公式（n∈N*），∴a1=4，a2=9．a3=16，∵，∴f（1）=1﹣，f（2）==，f（3）=，∴由归纳推理可推测出f（n）的表达式为：，故答案为：．13．（5分）对具有线性相关关系的变量x和y，测得一组数据如下表：若它们的回归直线方程为=10.5x+a，则a的值为 1.5．【解答】解：∵=54∴这组数据的样本中心点是（5，54）把样本中心点代入回归直线方程=10.5x+a∴54=10.5×5+a，∴a=1.5故答案为：1.5．14．（5分）已知某程序的框图如图，若分别输入的x的值为0，1，2，执行该程序后，输出的y的值分别为a，b，c，则a+b+c=6．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数的函数值．当x=0时，则y=4°=1；当x=1时，则y=1；当x=2时，则y=22=4；则a+b+c=1+1+4=6故答案为：6．15．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个四棱锥，其中底面是对角线长为2的正方形，一条高为1的侧棱垂直于底面．则该几何体的体积==．故答案为．16．（5分）已知结论：“在正三角形ABC中，若D是BC的中点，G是三角形ABC重心，则=2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在正四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则=3．【解答】解：设正四面体ABCD边长为1，易求得AM=，又O到四面体各面的距离都相等，所以O为四面体的内切球的球心，设内切球半径为r，则有r=，可求得r即OM=，所以AO=AM﹣OM=，所以=3故答案为：317．（5分）由直线l：x+2y+4=0上的动点P引圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2=4的两切线，切点为A、B，则四边形PACB的面积最小值为8．【解答】解：如图所示，由切线的性质可得△CAP≌△CBP，因此要使四边形PACB的面积取得最小值，要求△CAP的面积取得最小值即可．而S△==|PA|，因此要求切线长|PA|取得最小值即可．又|PA|==，CAP要求|CP|取得最小值即可．当且仅当CP⊥l时，|CP|取得最小值．圆心C（2，2）到直线l的距离d==2．∴|PA|==4．∴四边形PACB的面积的最小值=2×4=8．故答案为：8．三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（12分）从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高，据测量被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组；第一组[155，160）、第二组[160，165）；…第八组[190，195），如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列．（1）求第六组、第七组的频率．（2）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x、y，求满足|x﹣y|≤5的事件概率．【解答】解：（1）由直方图知，前五组频率为（0.008+0.016+0.04+0.04+0.06）×5=0.82，后三组频率为1﹣0.82=0.18，人数为0.18×50=9（人），由直方图得第八组频率为：0.008×5=0.04，人数为0.04×50=2（人），设第六组人数为m，则第七组人数为9﹣2﹣m=7﹣m，又第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列，∴m+2=2（7﹣m），∴m=4．∴第六组人数为4人，第七组人数为3人，频率分别等于=0.08，=0.06．（2）由（1）知身高在[180，185）内的人数为4人，设为a，b，c，d．身高在[190，195）的人数为2人，设为A，B．若x，y∈[180，185）时，有ab，ac，ad，bc，bd，cd共六种情况．若x，y∈[190，195）时，有AB共一种情况．若x，y分别在[180，185）和[190，195）内时，有aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB共8种情况，∴基本事件总数为6+8+1=15种，事件|x﹣y|≤5所包含的基本事件个数有6+1=7种．∴P（|x﹣y|≤5）=．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=BC=2AC=2，D为AA1中点．（Ⅰ）求证：CD⊥B1C1；（Ⅱ）求证：平面B1CD⊥平面B1C1D；（Ⅲ）求三棱锥C1﹣B1CD的体积．【解答】证明：（Ⅰ）∵∠A1C1B1=∠ACB=90°∴B1C1⊥A1C1又由直三棱柱性质知B1C1⊥CC1（2分）∴B1C1⊥平面ACC1A1又CD⊂平面ACC1A1∴B1C1⊥CD（4分）（Ⅱ）由AA1=BC=2AC=2，D为AA1中点，可知，∴DC2+DC12=CC12=4即CD⊥DC1（6分）又B1C1⊥CD∴CD⊥平面B1C1D又CD⊂平面B1CD故平面B1CD⊥平面B1C1D（9分）（Ⅲ）解：V C1﹣DCB1=V B1﹣DCC1===．（12分）20．（13分）已知|x|≤2，|y|≤2，点P的坐标为（x，y）．（I）求当x，y∈R时，P满足（x﹣2）2+（y﹣2）2≤4的概率；（II）求当x，y∈Z时，P满足（x﹣2）2+（y﹣2）2≤4的概率．【解答】解：（I）如图，点P所在的区域为正方形ABCD的内部（含边界），满足（x﹣2）2+（y﹣2）2≤4的点的区域为以（2，2）为圆心，2为半径的圆面（含边界）．∴所求的概率．（II）满足x，y∈Z，且|x|≤2，|y|≤2的点有25个，满足x，y∈Z，且（x﹣2）2+（y﹣2）2≤4的点有6个，依次为（2，0）、（2，1）、（2，2）、（1，1）、（1，2）、（0，2）；∴所求的概率．21．（14分）某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形．（1）求出f（5）；（2）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f（n+1）与f（n）的关系式，并根据你得到的关系式求f（n）的表达式；（3）求+++…+的值．【解答】解：（1）∵f（1）=1，f（2）=1+4=5，f（3）=1+4+8=13，f（4）=1+4+8+12=25，∴f（5）=1+4+8+12+16=41．（2）∵f（2）﹣f（1）=4=4×1，f（3）﹣f（2）=8=4×2，f（4）﹣f（3）=12=4×3，f（5）﹣f（4）=16=4×4，由上式规律得出f（n+1）﹣f（n）=4n．∴f（n）﹣f（n﹣1）=4（n﹣1），f（n﹣1）﹣f（n﹣2）=4•（n﹣2），f（n﹣2）﹣f（n﹣3）=4•（n﹣3），…f（2）﹣f（1）=4×1，∴f（n）﹣f（1）=4[（n﹣1）+（n﹣2）+…+2+1]=2（n﹣1）•n，∴f（n）=2n2﹣2n+1．（3）当n≥2时，==（﹣），∴+++…+=1+（1﹣+﹣+…+﹣）=1+（1﹣）=﹣．22．（14分）已知圆C经过点A（﹣2，0），B（0，2），且圆心在直线y=x上，且，又直线l：y=kx+1与圆C相交于P、Q两点．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若，求实数k的值；（Ⅲ）过点（0，1）作直线l1与l垂直，且直线l1与圆C交于M、N两点，求四边形PMQN面积的最大值．【解答】解：（I）设圆心C（a，a），半径为r．因为圆经过点A（﹣2，0），B（0，2），所以|AC|=|BC|=r，所以解得a=0，r=2，…（2分）所以圆C的方程是x2+y2=4．…（4分）（II）方法一：因为，…（6分）所以，∠POQ=120°，…（7分）所以圆心到直线l：kx﹣y+1=0的距离d=1，…（8分）又，所以k=0．…（9分）方法二：设P（x1，y1），Q（x2，y2），因为，代入消元得（1+k2）x2+2kx﹣3=0．…（6分）由题意得：…（7分）因为=x1•x2+y1•y2=﹣2，又，所以x1•x2+y1•y2=，…（8分）化简得：﹣5k2﹣3+3（k2+1）=0，所以k2=0，即k=0．…（9分）（III）方法一：设圆心O到直线l，l1的距离分别为d，d1，四边形PMQN的面积为S．因为直线l，l1都经过点（0，1），且l⊥l1，根据勾股定理，有，…（10分）又根据垂径定理和勾股定理得到，，…（11分）而，即…（13分）当且仅当d1=d时，等号成立，所以S的最大值为7．…（14分）方法二：设四边形PMQN的面积为S．当直线l的斜率k=0时，则l1的斜率不存在，此时．…（10分）当直线l的斜率k≠0时，设则，代入消元得（1+k2）x2+2kx﹣3=0所以同理得到．…（11分）=…（12分）因为，所以，…（13分）当且仅当k=±1时，等号成立，所以S的最大值为7．…（14分）赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。