考研数学三(多元函数微积分学)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)

考研数学三（多元函数微积分学）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．[2008年] 设则( )．A．fx’(0，0)，fy’(0，0)都存在B．fx’(0，0)不存在，fy’(0，0)存在C．fx’(0，0)存在，fy’(0，0)不存在D．fx’(0，0)，fy’(0，o)都不存在正确答案：B解析：因而则极限不存在，故偏导数fx’(0，0)不存在．而因而偏导数fy’(0，0)存在．仅(B)入选．知识模块：多元函数微积分学2．[2003年] 设可微函数f(x，y)在点(x0，y0)处取得极小值，则下列结论正确的是( )．A．f(x0，y)在y=y0处的导数大于零B．f(x0，y)在y=y0处的导数等于零C．f(x0，y)在y=y0处的导数小于零D．f(x0，y)在y=y0处的导数不存在正确答案：B解析：解一因f(x，y)在点(x0，y0)处可微，故f(x，y)在点(x0，y0)处两个偏导数存在，因而一元函数f(x0，y)在y=y0处的导数也存在．又因f(x，y)在点(x0，y0)处取得极小值，故f(x0，y0)在y=y0处的一阶(偏)导数等于零．仅(B)入选．解二由函数f(x，y)在点(x0，y0)处可微知，f(x．y)在点(x0，y0)处的两个偏导数存在．又由二元函数极值的必要条件即得f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数都等于零．因而有知识模块：多元函数微积分学3．[2016年] 已知函数则( )．A．fx’－fy’=0B．fx’+fy’=0C．fx’－fy’=fD．fx’+fy’=f正确答案：D解析：则仅(D)入选．知识模块：多元函数微积分学4．[2017年] 二元函数z=xy(3－x－y)的极值点为( )．A．(0，0)B．(0，3)C．(3，0)D．(1，1)正确答案：D解析：zy’=y(3－x－y)－xy=y(3－2x－y)，zy’=x(3－x－y)－xy=x(3－x－2y)，又zxx’=－2y，zxy=3－2x－2y，zyy’=－2x，将选项的值代入可知，只有(D)符合要求，即A=zxx”(1，1)=－2，B=zxy”(1，1)=－1，C=zyy”(1，1)=－2．满足B2－AC=－3＜0，且A=－2＜0，故点(1，1)为极大值点．仅(D)入选．知识模块：多元函数微积分学5．[2006年] 设f(x，y)与φ(z，y)均为可微函数，且φy’(x，y)≠0，已知(x0，y0)是f(x，y)在约束条件φ(x，Y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是( )．A．若fx’(x0，y0)=0，则fy’(x0，y0)=0B．若fx’(x0，y0)=0，则f’y(x0，y0)≠0C．若fx’(x0，y0)≠0，则fy’(x0，y0)=0D．若fx’(x0，y0)≠0，则f’y(x0，y0)≠0正确答案：D解析：解一由拉格朗日乘数法知，若(x0，y0)是f(x，y)在条件φ(x，y)=0下的极值点，则必有fx’(x0，y0)+λφx’(x0，y0)=0，①fx’(x0，y0)+λφx’(x0，y0)=0．②若fx’(x0，y0)≠0，由式①知λ≠0．又由题设有φy’(x0，y0)≠0，再由式②知fy’(x0，y0)≠0．仅(D)入选．解二构造拉格朗日函数F(x，y，λ)=f(x，y)+λφ(x，y)，并记对应于极值点(x0，y0)处的参数的值为λ0，则由式③与式④消去λ0得到fx’(x0，y0)／φx’(0，y0)=一λ0=f’y(x0，y0)／φ’y(x0，y0)．即f’x(x0，y0)φ’y(x0，y0)一fy’(x0，y0)φx’(x0，y0)=0．整理得若fx’(x0，y0)≠0，则由式③知，φx’(x0，y0)≠0．因而fy’(x0，y0)≠0．仅(D)入选．解三由题设φy’(x，y)≠0知，φ(x，y)=0确定隐函数y=y(x)．将其代入f(x，y)中得到f(x，y(x))．此为一元复合函数．在φ(x，y)=0两边对x求导，得到因f(x，y(x))在x=x0处取得极值，由其必要条件得到f’x+fy’y’=fx’+fy’(一φx’／φy’)=0．因而当fx’(x0，y0)≠0时，必有fy’(x0，y0)≠0．仅(D)入选．知识模块：多元函数微积分学填空题6．[2012年] 设连续函数z=f(x，y)满足则dz｜(0,1)=__________．正确答案：2dx－dy解析：用函数f(x，y)在(x0，y0)处的微分定义：与所给极限比较易知：z=f(x，y)在点(0，1)处可微，且fx’(0，1)=2，fy’(0，1)=－1，f(0，1)=1，故dz｜(0,1)=fx’(0，1)dx+fy’(0，1)dy=2dx－dy．知识模块：多元函数微积分学7．[2009年] 设z=(x+ey)x，则正确答案：2ln2+1解析：解一为简化计算，先将y=0代入z中得到z(x，0)=(x+1)x，z为一元函数．将x=1代入上式，得到解二考虑到z(x，0)=(x+1)x为幂指函数，先取对数再求导数：lnz=xln(x+1)．在其两边对x求导，得到则知识模块：多元函数微积分学8．[2007年] 设f(u，v)是二元可微函数，则正确答案：解析：解一设u=y／x，v=x／y．为方便计，下面用“树形图”表示复合层次与过程．由式①一式②得到解二令f1’，f2’分别表示z=f(y／x，x ／y)对第1个和第2个中间变量y／x、x／y求导数，则知识模块：多元函数微积分学9．[2004年] 函数f(u，v)由关系式f[xg(y)，y]=x+g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y)≠0，则正确答案：解析：令u=xg(y)，v=y，由此解出于是知识模块：多元函数微积分学10．[2005年] 设二元函数z=xex+y+(x+1)ln(1+y)，则dz｜(1,0)=_________．正确答案：2edx+(e+2)dy解析：dz=d[xex+y+(x+1)ln(1+y)]=d(xex+y)+d[(x+1)ln(1+y)] =ex+ydx+xex+y(dx+dy)+ln(1+y)dx+[(x+1)／(1+y)]dy．①将x=1，y=0代入上式(其中dz，dx，dy不变)，得到dz｜(1,0)=edx+e(dx+dy)+2dy=2edx+(e+2)dy．解二利用全微分公式求之．为此，先求出偏导数故解三用定义简化法求之．固定一个变量转化为另一个变量的一元函数求导．由z(x，0)=xex得到由z(1，y)=ey+2ln(1+y)得到故知识模块：多元函数微积分学11．[2006年] 设函数f(u)可微，且f’(0)=1／2，则z=f(4x2－y2)在点(1，2)处的全微分dz｜1,2=___________．正确答案：4dx一2dy解析：解一dz=df(4x2－y2)=f’(u)du=f’(u)d(4x2－y2)=f’(u)(8xdx－2ydy)，其中u=4x2－y2．于是dz｜1,2=f’(0)(8dx－4dy)=4dx－2dy．解二利用复合函数求导公式和定义简化法求之．由z=f(4x2－y2)得到解三由z=f(4x2－y2)得到于是故dz｜1,2=4dx－2dy．知识模块：多元函数微积分学12．[2011年] 设函数则dz｜1,1=____________．正确答案：(1+2ln2)(dx—dy)解析：解一所给函数为幂指函数，先在所给方程两边取对数，然后分别对x，y求偏导：由得到则解二先用定义简化法求出然后代入全微分公式求解．故dz｜1,1=2(ln2+1／2)dx－2(ln2+1／2)dy=(1+2ln2)(dx－dy)．知识模块：多元函数微积分学13．[2015年] 若函数z=z(x，y)由方程ex+2y+3z+xyz=1确定，则dz｜0,0=_______________．正确答案：解析：在ex+2y+3z+xyz=1①两边分别对x，y求偏导得到同法可得将x=0，y=0代入式①易求得z=0，代入式②、式③分别得到则知识模块：多元函数微积分学14．[2014年] 二次积分正确答案：解析：注意到不易求出，需先交换积分次序，由积分区域的表达式D={(x，y)|y≤x≤1，0≤y≤1)－{(x，y)|0≤y≤x，0≤x≤1}及交换积分次序得到故知识模块：多元函数微积分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

[2006年] 设x＞0，y＞0．求15．正确答案：涉及知识点：多元函数微积分学16．正确答案：涉及知识点：多元函数微积分学17．[2003年] 设f(u，v)具有二阶连续偏导数，且满足又求正确答案：设则同理，可求得由式①+式②得到涉及知识点：多元函数微积分学18．[2005年] 设f(u)具有二阶连续导数，且g(x，y)=f(y／x)+yf(x／y)，求正确答案：由已知条件可得涉及知识点：多元函数微积分学19．[2011年] 已知函数f(u，v)具有二阶连续偏导数，f(1，1)=2是f(u，v)的极值，z=f(x+y，f(x，y))．求正确答案：由题设有因而涉及知识点：多元函数微积分学20．[2002年] 设函数u=f(x，y，z)有连续偏导数，且z=z(x，y)由方程zex －yey=zex所确定，求du．正确答案：解一下面求出dz与dx，dy的关系．由d(xex－yey)－d(zez)得到ex(x+1)dx－ey(1+y)dy=ez(1+z)dz，即代入式①即得解二设F(x，y，z)=xex－yey－zez，则Fx’=(x+1)ex，Fy’=－(y+1)ey，Fz’=－(z+1)ez，涉及知识点：多元函数微积分学[2008年] 设z=z(x，y)是由x2+y2－z=φ(x+y+z)所确定的函数，其中φ具有二阶导数，且φ’≠－1．求：21．dz；正确答案：解一利用一阶全微分形式不变性求之．在x2+y2－z=φ(x+y+z)两边求全微分，得到2xdx+2ydy－dz=φ’(x+y+z)d(x+y+z)=φ’(x+y+z)(dx+dy+dz)，(φ’+1)dz=(2x－φ’)dx+(2y－φ’)dy，解二设F(x，y，z)=x2+y2－z－φ(x+y+z)，则Fx’=2x－φ’，Fy’=2y－φ’，Fz’=－1－φ’，因而故解三在x2+y2－z=φ(x+y+z)两边对x求导，得到即由对称性即得则涉及知识点：多元函数微积分学22．记求正确答案：由上题式①知，则同法或由u(x，y)的对称性易求得涉及知识点：多元函数微积分学23．[2009年] 求二元函数f(x，y)=x2(2+y2)+ylny的极值．正确答案：令fx’(x，y)=2x(2+y2)=0，fy’(x，y)=2x2y+lny+1=0，得其驻点为(0，1／e)．又fxx”=2(2+y2)，fyy”=2x2+1／y，fxy”=4xy，因A=fxx”＞0 而B2－AC=(fxy”)2－fxx”fyy”＜0，故二元函数存在极小值，且f(0，1／e)=－1／e就是它的极小值．涉及知识点：多元函数微积分学24．[2018年] 将长为2m的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形．三个图形的面积之和是否存在最小值?若存在，求出最小值．正确答案：设圆的周长为x，正三角形的周长为y，正方形的周长z，由题设可知x+y+z=2，则目标函数构造拉格朗日函数对参数求导并令导函数为零，则解得此时面积和有最小值，即涉及知识点：多元函数微积分学25．[2010年] 求函数u=xy+2yz在约束条件x2+y2+z2=10下的最大值和最小值．正确答案：解一用拉格朗日乘数法求之．令F(x，y，z)=xy+2yz+λ(x2+y2+z2－10)．且令由式①、式③分别得λ=－y／(2x)，λ=－y／z，故y／(2x)=y／z，即z=2x．⑤将式⑤代入式②得到5x+2λy=0，即λ=－5x／(2y) (y≠0)．⑥由式⑥和λ=－y／(2x)得到λ=－5x／(2y)=－y／(2x)，即5x2=y2．⑦将式⑤、式⑦代入式④，得到10x2=10，即x2=1，x=±1．当x=1时，z=2，当x=－1时，z=－2，令y=0，由式②、式④得到x=－2z，4z2+z2=5z2=10．即故也是可能极值点．综上所述，得到可能的极值点有比较u在各点处的值可知，在点处取得最大值，最大值为在点处取得最小值，最小值为故所求函数u的最大值和最小值分别为解二由方程x2+y2+z2=10可确定z是x，y的函数，代入目标函数，得u为x，y的二元函数．令在x2+y2+z2=10两边对x，y求导，得到将其代入上式并联立方程④，有解上述方程组，得到可能的最值点为比较u的各点函数值得到为最大值，为最小值．涉及知识点：多元函数微积分学26．[2006年] 计算二重积分其中D是由直线y=x，y=1，x=0所围成的平面区域．正确答案：解一或解二用极坐标系计算(见图1．4．5．1)．涉及知识点：多元函数微积分学。