向心加速度公式推导完整版
向心加速度公式的推导
a BA
r
向心加速度公式的推导
创新微课
小结
1 、科学方法：
（1）发现物理规律的基本方法：以观察实验为基础，分析、综合的方法； （2）实验方法：研究物理问题的重要方法之一——控制因素（变量）法。
2、 知识整合：
圆
周 匀速圆
运 动
周运动
向心加速度
圆 匀速圆 周
运 周运动 动
同学，下节再见
B RB RC C
向心加速度公式的推导
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练习、如图所示，A、B两物体作匀速圆周运动时的向心加速
度随半径变化的关系图线，其中B图线为双曲线，可得出
( B)
A、A物体运动时的线速度大小保持不变 B、A物体运动时的角速度大小保持不变 C、B物体运动时的角速度保持不变 D、B物体运动的线速度随r而改变
V = △ L /△t
思考：从公式a=v2/r看
,向心加速度与圆周运
an
v2 r
r 2
动的半径成反比；从公 式a=rw2看，向心加速 度与半径成正比，这两
个结论是否矛盾？
向心加速度公式的推导
向心加速度的公式
v不变时，an与r 成反比
an =
v2 r
an = rω2
ω不变时，an与r 成正比
创新微课
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向心加速度公式的推导
向心加速度公式的推导
向心加速度的公式推导
①由△OAB与△BVAVB相似有
v AB v R
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O
VB
② 当Δt很小很小时， AB /Δt表
示何物理量？
r
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向心加速度的公式推导
向心加速度推导过程
向心加速度推导过程
高中物理一年级中学到匀速圆周运动。
有关圆周运动有几个概念：
1.运动半径R；
2.线速度V ：质点沿切向的即时速度；
3.角速度ω：质点绕某点运动通过弧度角与所用时间的比值；
4.向心加速度a：速度变化与时间的比值；
5.圆心角θ；
现在对向心加速度公式进行推导：如图
现设一质点以R为半径作匀速圆周运动，质点的线速度为V，周期为T，角速度为ω。
当质点运动一周时，周角为2π，是间为T，由定义有：ω＝2π/T
∵V ＝L/T=2πR/T＝ωR
∴V=ωR (1)
如图甲，质点在时间差Δt内从a点运动到b点，则它的速度变化量为ΔV，
如图乙。
速度变化的角等于圆心角θ。
在Va、Vb、ΔV组成的小三角形成中，
把它补成小扇形。
在数学上有弧长等于半径与圆心角的积。
当θ足够小时，则可以认为弧长等于弦长。
这时ΔV相当扇形的弦，Va＝Vb＝V相当于半径
所以有
ΔV＝θV……………………………………（２）
因为圆心角等于角速度与时间的积
θ=ωΔt……………………………………（３）
由（１）、（２）、（３）可得
a=ΔV/Δt=θV/Δt=θωR/Δt＝ωΔtωR/Δt＝ω２R 即
a=ω２R
还可以推出
a＝ω２R＝ωRω＝ωV=(V/R)V=V２/R
即
a=ωV＝ω２R＝V２/R
证明完毕，愿对你有所帮助。
捧真心于2011年11月15日。
向心加速度公式推导的几种方法
【字体：A 】向心加速度公式推导向心加速度是匀速圆周运动中的教学难点，这是由于学生因长期接受标量运算而产生的思维定势，认为匀速圆周运动中物体运动速率不变，故其因此我们在教学中必须强调两点，一的矢量性，速度的方向变化也表示速度有变化，故△v≠0，另一是速度变化的方向就是加速度的方向。
因此在教学中必须说清楚△v的方向。
教材中引进了速度三角形的方法，实际上已经考虑到了上述两点。
关于向心加速度公式的推导方法甚多，下面提供几种有别于课本的推导方法，供大家参考。
1 矢量合成法如图1所示，物体自半径为r的圆周a匀速率运动至b，所经时间为△t，若物体在a、b点的速率为v a=v b=v，则其速度的增量△v=v b-v a=v b+（-v a），由平行四边形法则作出其矢量图如图1。
由余弦定理可得可见当θ→0时，α=90°，即△v的方向和v b垂直，由于v b方向为圆周切线方向，故△v的方向指向圆心.因△v的方向即为加速度的方向，可见匀速圆周运动中加速度的方向指向圆心，。
. .2 运动合成法众所周知，物体作圆周运动的条件一是受到一个指向圆心的向心力的作用.另一是有一个初速度.可以设想，若没有初速度则物体将向着圆心方向作匀加速运动.若没有向心力，则物体将沿初速度方向作匀速运动.可见圆周运动应当是沿圆心方向的匀加速直线运动和沿初速度方向的匀速运动的合运动.如图2所示，物体自a至b的运动，可看成先由a以速度v匀速运动至c，再由c以加速度α匀加速运动至b，由图可知当△t→o时ac方向的运动可以忽略.故物体只有指向圆心方向的加速度α.3 位移合成法如图3所示，设物体自a点经△t沿圆周运动至b，其位移ab可看成是切向位移s1和法向位移s2的矢量和.由以上分析可知，其法向运动为匀加速由图知：△acb∽△adb，故有ac∶ab=ab∶ad，4 类比法设有一位置矢量r绕o点旋转，其矢端由a至b时发生的位移为△s（如图4）.若所经时间为△t，则在此段时间内的平均速率显然这个速率描述的是位置矢量矢端的运动速率，当△t趋近于零时，这个平均速率就表示位置矢量的矢端在某一时刻的即时速率，如果旋转是匀角速的，则其矢端的运动也是匀速率的，易知其速率（1）式中t为旋转周期.再如图5是一物体由a至b过程中，每转过1/8圆周，速度变化的情况。
向心力的加速度公式
向心力的加速度公式
向心力的加速度公式可以表示为：
a = v^2 / r.
其中，a表示向心加速度，v表示物体的速度，r表示物体绕圆心运动的半径。
这个公式告诉我们，向心加速度与速度的平方成正比，与半径成反比。
也就是说，当物体的速度增加时，它所受到的向心加速度也会增加；而当半径增大时，向心加速度会减小。
这个公式的应用非常广泛。
例如，在机械工程中，我们可以使用这个公式来计算旋转机械零件上的受力情况；在天体物理学中，我们可以用这个公式来研究行星绕太阳的运动轨迹。
总之，向心力的加速度公式是一个非常重要的物理公式，它可以帮助我们理解圆周运动中物体的加速度变化规律，以及在实际应用中的各种问题。
通过深入理解和应用这个公式，我们可以更好地
掌握物体在圆周运动中的运动规律，从而更好地应用于实际问题的解决。
向心加速度的公式及方向知识点归纳
向心加速度的公式及方向知识点归纳
向心加速度反映圆周运动速度方向变化快慢的物理量，下面是向心加速度的公式和方向等内容，请大家查阅下文。
向心加速度的公式及方向知识点归纳
1向心加速度的公式
公式：a向=rω^2=v^2/r=4π^2r/T^2
向心加速度的思维误区：
1、误认为匀速圆周运动的向心加速度恒定不变，所以是匀变速运动，实际上，合力方向时刻指向圆心，加速度是时刻变化的。
2、据公式an=v²/r，误认为an与v²成正比，与半径r成反比;只有在半径r确定时才能判断an与v或an与w的关系。
3、误认为做圆周运动的加速度一定指向圆心。
只有做匀速圆周运动的物体其加速度才指向圆心，做变速圆周运动的物体存在一个切向加速度，所以不指向圆心。
2向心加速度的方向
方向始终与运动方向垂直，方向时刻改变且指向圆心（曲率中心），不论加速度的大小是否变化，的方向是时刻改变的，所以圆周运动一定是变加速运动。
可理解为做圆周运动物体加速度在指向圆心（曲率中心）方向上的分量。
向心加速度是矢量，并且它的方向无时无刻不在改变且指向圆心（曲率中心）。
所有做曲线运动的物体都有向心加速度，向心加速度反映的是圆周运动在半径方向上的速度方向（即径向即时速度方向）改变的快慢。
向心加速度又叫法向加速度，意思是指向曲线的法线方向的加速度。
当物体的速度大小也发生变化时，还有沿轨迹切线方向也有加速度，叫做切向加速度。
向心加速度的方向始终与速度方向垂直，也就是说线速度始终沿曲线切线方向。
向心加速度公式的推导方法
关于向心加速度公式的推导方法（下面提供几种有别于课本的推导方法，供大家参考）1、矢量合成法如图1所示，物体自半径为r的圆周a匀速率运动至b，所经时间为△t，若物体在a、b点的速率为v a=v b=v，则其速度的增量△v=v b-v a=v b+（-v a），由平行四边形法则作出其矢量图如图1。
由余弦定理可得可见当θ→0时，α=90°，即△v的方向和v b垂直，由于v b方向为圆周切线方向，故△v的方向指向圆心.因△v的方向即为加速度的方向，可见匀速圆周运动中加速度的方向指向圆心，.2 .运动合成法众所周知，物体作圆周运动的条件一是受到一个指向圆心的向心力的作用.另一是有一个初速度.可以设想，若没有初速度则物体将向着圆心方向作匀加速运动.若没有向心力，则物体将沿初速度方向作匀速运动.可见圆周运动应当是沿圆心方向的匀加速直线运动和沿初速度方向的匀速运动的合运动.如图2所示，物体自a至b的运动，可看成先由a以速度v匀速运动至c，再由c以加速度α匀加速运动至b，由图可知当△t→o时ac方向的运动可以忽略.故物体只有指向圆心方向的加速度α3、.位移合成法如图3所示，设物体自a点经△t沿圆周运动至b，其位移ab可看成是切向位移s1和法向位移s2的矢量和.由以上分析可知，其法向运动为匀加速由图知：△acb∽△adb，故有ac∶ab=ab∶ad，4、类比法设有一位置矢量r绕o点旋转，其矢端由a至b时发生的位移为△s（如图4）.若所经时间为△t，则在此段时间内的平均速率显然这个速率描述的是位置矢量矢端的运动速率，当△t趋近于零时，这个平均速率就表示位置矢量的矢端在某一时刻的即时速率，如果旋转是匀角速的，则其矢端的运动也是匀速率的，易知其速率（1）式中t为旋转周期.再如图5是一物体由a至b过程中，每转过1/8圆周，速度变化的情况。
现将其速度平移至图6中，容易看出图6和图5相类似，所不同的是图5表示的是位置矢量的旋转.，而图6则是速度矢量的旋转，显然加速度是速度的变化率，即由图6可知，这个速度变化率其实就是端的旋转速率，其旋转半径就是速率v的大小，故有比较图5图6可以看出当△t→o时△v的方向和△s的方向相垂直.故加速度的方向和速度方向相垂直.欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习课件等等打造全网一站式需求。
高一物理必修2向心加速度知识点总结
高一物理必修2向心加速度知识点总结
高一物理必修2向心加速度知识点总结
物理学与其他许多自然科学息息相关，如物理、化学、生物和地理等。
小编准备了高一物理必修2向心加速度知识点，具体请看以下内容。
高中物理向心加速度的方向
方向始终与运动方向垂直，方向时刻改变，不论加速度a的大小是否变化，a的方向是时刻改变的，所以圆周运动一定是变加速运动。
可理解为做圆周运动物体加速度在指向圆心方向上的分量。
向心加速度是矢量，因为它的方向无时无刻不在改变
公式：a向=r^2=v^2/r=4^2r/T^2
所有做曲线运动的物体都有向心加速度，向心加速度反映线速度方向变化的快慢。
向心加速度又叫法向加速度，意思是指向曲线的法线方向的加速度。
当物体的速度大小也发生变化时，还有沿轨迹切线方向也有加速度，叫做切向加速度。
向心加速度的方向始终与速度方向垂直，也就是说线速度始终沿曲线切线方向。
高中物理向心加速度的思维误区
(1)在比较各种物理关系的问题中，通常要先找出明显的相同量或不同量，然后借关系式推导出其它量的关系。
向心力加速度计算公式
向心力加速度计算公式
向心力加速度，也称为切向加速度，是一种实际应用中比较常用的物理参数，在航空、化学及其他物理科学领域都广泛运用。
它表示某物体在其旋转轨道上的切向加速度，可以使用我们熟悉的牛顿定律推导出它的计算公式。
具体推导过程为：假设一个物体的运动状态由它的位置、速度以及加速度描述，其中速度是位置的函数，且加速度也是速度的函数，则物体的速度与加速度之间的关系可用微分方程表示。
既然是在旋转轨道上运动，那么加速度必然是切向加速度，则我们可以假定它是由两个特殊物理量构成：它的距离轨道中心的半径和其半径改变速度之积（即每秒让半径变化多少）。
因此，计算有关物体的切向加速度就变成了向量思维，我们可以根据物体到轨道中心点的距离、速度及其函数和泰勒展开，刄写出向心力加速度的计算公式，即：
$$a_t = \frac{v^2}{r}, \quad \text{其中}\,\, v 为物体距原点的半径的变化速度
\quad \text{and}\,\, r 为物体距离原点的半径$$
根据上述计算公式，我们可以得到这样一个结论：某物体的切向加速度是给定的半径速度的平方与半径的商的乘积。
也就是说，物体离加速中心越远，它的切向加速度就越小；但是，如果半径的速度越快，则物体的切向加速度就越大。
综上所述，向心力加速度是一个比较重要的物理量，它可以用于研究客观物体在旋转轨道上的动力学变化。
此外，根据其计算公式，其取值范围受到半径以及半径改变速度的许多因素的制约，呈现出非常丰富的变化特性，也增加了其在物理研究中的重要性。
向心力 向心加速度
向心力向心加速度1. 引言在物理学中，向心力和向心加速度是描述物体在进行圆周运动时受到的力和加速度。
向心力是一个沿着半径方向的力，使物体向圆心靠拢；向心加速度则是物体在圆周运动中加速度的大小。
本文将从向心力和向心加速度的定义、计算公式以及示例应用等方面进行详细介绍。
2. 向心力向心力是指物体在做圆周运动时受到的沿着半径方向的力。
向心力的大小与物体的质量、圆周运动的角速度以及物体与圆心的距离有关。
根据牛顿第二定律，向心力与物体的质量乘以向心加速度之间存在以下关系：F_c = m * a_c其中 F_c 表示向心力，m 表示物体的质量，a_c 表示向心加速度。
3. 向心加速度向心加速度是物体在圆周运动中加速度的大小。
根据物体在圆周运动中的速度变化情况，可以推导出向心加速度的计算公式。
假设物体以恒定的角速度ω 绕圆心运动，其线速度的大小为 v，根据几何关系可得：v = ω * r其中 v 表示线速度，r 表示物体与圆心的距离。
假设物体的线速度发生了Δv 的变化，由于圆周运动的特性，线速度的变化会导致物体发生向心加速度 a_c，根据加速度的定义可得：a_c = Δv / Δt将Δv替换为ω * Δr，其中Δr 表示物体在Δt 时间内与圆心的距离变化，可得：a_c = (ω * Δr) / Δt当Δt 趋近于 0 时，上式变为微分形式：a_c = (dω * dr) / dt对上式进行进一步推导，可以得到向心加速度的计算公式：a_c = ω^2 * r4. 示例应用4.1 行星绕太阳的向心力和向心加速度行星绕太阳做椭圆轨道运动，其向心力和向心加速度的计算可以通过开普勒第二定律和牛顿定律得到。
根据开普勒第二定律，行星在其椭圆轨道上的扫面面积相等。
根据牛顿定律，向心力使得行星保持在轨道上。
当行星靠近太阳时，向心力增大；当行星离开太阳越远，向心力减小。
根据向心力的定义和计算公式，可以计算出行星绕太阳的向心力和向心加速度。
向心加速度的公式及方向知识点归纳
向心加速度的公式及方向知识点
归纳
向心加速度的公式
公式：a向=rω^2=v^2/r=4π^2r/T^2
向心加速度的思维误区：
1.错误地认为匀速圆周运动的向心加速度是恒定的，所以是匀速变速运动。
实际上，合力始终指向圆心，加速度一直在变化。
2、据公式an=v²/r，误认为an与v²成正比，与半径r成反比;只有在半径r确定时才能判断an与v或an与w的关系。
3.认为圆周运动的加速度一定指向圆心是错误的。
只有匀速圆周运动的物体的加速度指向圆心，而变速圆周运动的物体有切向加速度，所以不指向圆心。
向心加速度的方向
方向始终垂直于运动方向，一直变化，指向圆心(曲率中心)。
无论加速度是否变化，方向都是变化的，所以圆周运动一定是变加速度运动。
可以理解为物体做圆周运动时加速度在指向圆心(曲率中心)方向上的分量。
向心加速度是一个矢量，它的方向一直在变，指向圆心(曲率中心)。
一切作曲线运动的物体都有向心加速度，向心加速度反映的是圆周运动在径向(即径向瞬时速度方向)的速度变化。
向心加速度也叫法向加速度，是指指向曲线法线方向的加速度。
当物体速度变化时，沿轨迹切线方向也有加速度，称为切向加速度。
向心加速度的方向总是垂直于速度方向，也就是说线速度总是沿着曲线的切线方向。
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1-cos 6 2
向心加速度公式推导完整版一李朝辉整理
向心加速度是匀速圆周运动中的教学难点，这是由于学生因长期接受标量运算而产生
山二0,于是有Q 二三二=C L 的思维
定势，认为匀速圆周运动中物体运动速率不变，故其
At 因此我们在教学中必须强调两点，一的矢量性，速度的方向变化也表示速慶有变化，故Av *0,另一是速度变化的方向就是加速度的方向•因此在教学中必须说清楚的方向。
教材 中引进了速度三角形的方法，实际上已经考虑到了上述两点。
关于向心加速厦公式的推导方 法甚多，下面提供几种有推导方法，供大家参考。
方法一：（课本上的方法）利用加速度的定艾推导（又称矢量合成法）：
如图所示：设小球在很短的时间t 内从A 运动到B,在时间t 内速度变化为
因为△ OAB^ABDC （可自己证一下），所以有：Zkv/v 二AB/R 当tTO 时，AB 二弧AB
所以:厂弧AB/t, a=Av/1
所以a=v 2 /R
方法二：在矢量合成法中应用三角函数推导：
如图所示，物体自半径为r 的圆周a 匀速率运动至b.所经时间为若物体在a. b 点 的速率为Va=Vb=V,则其速度的增#Av=Vb-Va=Vb+ （—Va ）,由平行四边形法则作出其矢量 图如图。
由余弦定理可得 v = + v 2 - 2v 2 cos
J1 - cos 8 0
由三角公式可知加亏= .
.e Av = 2vsin —— 2
0 g
当 8 -*0时）sin —-=—
乙 £ 于是有
180 - 9
另由图1可釦Q =-^
可见当6T0时，a =90° ,即Av 的方向和vb 垂直，由于vb 方向为圆周切线方向， 故Av 的方向指向圆心.因Av 的方向即为加速皮的方向，可见匀速國周运动中加速慶的方向
其大小为
指向圆心，方法三：利用运动的合成与分解推导(简称运动合成法)
由于惯性，小球有离开圆心沿切线运动的趋势，而细线的拉力却拉着小球向圆心运动.
这样小球运动可分解成沿切线方向的匀速直线运动和沿半径方向的初速度为零的匀加速直线运动
设在很短的时间t内，小球沿圆周从A到B,可分解为沿切线AC方向的匀速直线运动和沿AD方向初速度为零的匀加速直线运动•如图一:
12
AC= vt , AD=—at
2
由RtAADB^RtAEDB 可知：
BD±AD • DE ,BD二AC
（2=-3t2（2P丄畀）
2 2
4
由于时间E很短，即r趋近丁・0,所以
-a2t2趋近于0.
4
故有：M R
方法四：利用开普勒第三定律、万有引力定律和牛顿第二定律推导向心加速慶
设：质量为m的人造地球卫星以速率v在半径为r的近圆轨道上绕地球运行，运行周期为T,地球质童为Mo
根据开普勒第三定律订2 /卢=k (k为常量)
根据万有引力定律：F=GMm/r2
对于圆周运动的物体有：T=2n r/v
根据牛顿第二定律:a=F/m
联立上述冬式有：a二(GMk/4n2 ) X (v2 /r)
所以：a^v2 /r
方法五：曲率圆法
由干曲线运动是变速运动•故肓定有加速度•质.也的舜时加速度定义为
=lini
3严1
式中罟为一段肘间内的平均加速度、瞬时加速度是平均加速度在3-0时的极限，加速度方向肯定与速度方向不在同一直线.
—般的曲线运动•为求在任一点的蜕时加速度•通常将具分解为法向加速度心.，
与切向加速度如图7-1所上》
示•设质点沿曲线运动■在八、B两点的翼时速度各为s与f 叭| \ 间隔时间4■速度增鞏为! 如•
将H分解为法向分址 \ / /
3与切向分址•法向分
M 皿表示速度方向的变化・® 7-1
切向分拭表示速厦大小的变化•则法向加速度心与切向加速度血分别为
I •Vn 1 •
u n^l\m-— td f= IlTB ——.
先确定心.设-4是半径为"的圆周上一点「该風称曲线A点的
曲率圆・p称曲率半径）•曲线AH近似为孩例上的＜.AB ,矢虽
三角形HED与几何三角形
向心加速度公式推导完整版一李朝輝整理
相似•故有需=于•弐二于罟剧
5 =皿毛=皿宁至=lim斗旦=—・
AL" 丄/f “ 《X（ * P A■•仆• p P
方向垂直干5 •抬向曲率圆圆心•故通常称法向加速
度为向心加速度・，
至干切向加速度•则与直线运动中一样•絆于速度
大小的变化率.
曲线运动的瞬时加速度是切向加速度与向心加速
度的矢址和•方向与速度方向成。
=打1、伽竺.
",
一般的曲线运动•同时有切向加速度与向心加連
度•当X寻时，速率増大•当化＞号时•速率减小；若切
向加速度为零•速率不变•即为匀速率曲线运动•例如
匀速岡周运动•其加速度即为向心加速度大小a=节
不变，方向与速度方向垂直而梧向圆心•匀速圆周运动
是切向加逶度为零而向心加速度大小不变的曲线运
动：若法向加速度为冬•则运动方向不变，即为变速冑
线运动.可见•直线运动是曲线运动的特例.曲线运动
也可以是匀变速运动，即合加速度的大小、方向均不
变•例如斜（平）抛运动就足加速度恒为尺的匀变速曲
线运动.
求解曲线运动的瞬时速度与瞬时加速度的运动学
舉本方法都是通过矢量的分解与合成•从定义出发•用微无法解决.
方法六：类比法：
设有一位置矢量r绕。
点获转，其矢端由a至b时发生的位移为△$ （如图4）。
若所
-_ As
经时间为则在此段时间内的平均速率‘宀込「显然这个速率描述的是位置矢量矢端的运
动速率，当趙近于零时，这个平均速率就表示位置矢量的矢端在某一时刻的即时速率，
二2穴R ⑴
如果旋转是匀角速的，则其矢端的运动也是匀速率的，易知其速率丫一〒」
A 图5
图6
(1)式中t为旋转周期。
再如图5是一物体由a至b过程中，毎转过1/8圆周，速度变化的情况。
现将其速度平移至图6中，容易看出图6和图5相类似，所不同的是图5表示的是位
0.-AV 置矢量的旋转・，而图6则是速度矢量的我转，显然加速度是速度的变化率，即 4
的大小, 故畀
罟将
⑴式
由图6可知，这个速度变化率其实就是速度矢量矢端的旋转速率，其旋转半径就是速率v 比较图5图6可以看出当△tTo时Av的方向和As的方向相垂直•故加速度的
方向和速度方向相垂直.。