高中数学教材变式题汇总 -教师版
高中数学教材题目变式汇总一、集合与函数1．（人教版第14页B 组第1题）已知集合{}1,2A =，集合B 满足{}1,2A B = ，则集合B 有 个.变式1：已知集合{}1,2A =，集合B 满足A B A = ，集合B 与集合A 之间满足的关系是 解：B A ⊆变式2：已知集合A 有n 个元素，则集合A 的子集个数有 个，真子集个数有 个 解：子集个数有2n个，真子集个数有21n-个变式3：满足条件{}{}1,21,2,3A = 的所有集合A 的个数是 个解：3必须在集合A 里面，A 的个数相当于2元素集合的子集个数，所以有4个. 设计意图：考察集合的运算与集合之间的关系 2．（人教版第14页A 组第10题）已知集合{}|37A x x =≤<，{}|210B x x =<<，求()R C A B ，()R C A B ，()R C A B ，()R A C B变式1：已知全集,U R =且{}{}2|12,|680,A x x B x x x =->=-+<则()U C A B 等于A.[1,4)- B (2,3) C (2,3] D (1,4)- 解：答案为C ，集合{}{}||1|2|31A x x x x x =->=><-或，所以{}|13U C A x x =-≤≤，集合{}{}2|680|24B x x x x x =-+<=<<，所以()U C A B 为(2,3]变式2：设集合{}22,A x x x R =-≤∈，{}2|,12B y y x x ==--≤≤，则()R C A B等于（ ）A ．RB ．{},0x x R x ∈≠ C ．{}0 D ．∅ 解：[0,4]A =，[4,0]B =-，所以(){0}R R C A B C = ，故选B 。
变式3．已知集合{}|110,P x N x =∈≤≤集合{}2|60,Q x R x x =∈+-=则P Q 等于（A ）{}1,2,3 （B ）{}2,3 （C ）{}1,2 （D ）{}2解：集合{}{}2|603,2Q x R x x =∈+-==-，所以答案为D.设计意图：结合不等式考察集合的运算3．（北师大版第21页B 组第2题）已知集合{}31,3,A a =-，{}1,2B a =+，是否存在实数a ，使得B A ⊆，若存在，求集合A 和B ，若不存在，请说明理由.变式1：已知集合A ＝{－1，3，2m －1}，集合B ＝{3，2m }．若B A ⊆，则实数m ＝ ．解：由已知22212101m m m m m =-⇒-+=⇒=变式2：{}2|60A x x x =+-=，{}|10B x mx =+=，且A B A = ，则m 的取值范围是______ .解：{}{}2|603,2A x R x x =∈+-==-，当B =Φ时，0m =，当0m ≠时，1x m =-，所以12m-=或13m -=-，所以12m =-或13m =-，所以110,,23m ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭变式3：设{}2|40A x x x =+=，{}22|2(1)10B x x a x a =+++-=且A B B = ，求实数a 的值.解：{}4,0A =-，因为A B B = ，所以B A ⊆，所以B =Φ或{}4B =-或{}0B =或{}4,0B =-，当B =Φ时，224(1)4(1)01a a a ∆=+--<⇒<-，当{}4B =-或{}0B =时， 01a ∆=⇒=-，{}0B =符合题意，当{}4,0B =-时，2402(1)401a a -+=-+⎧⎨-⨯=-⎩1a ⇒= 所以1a ≤-或1a =设计意图：结合参数讨论考察集合运算4．（北师大版第38页B 组第1题）设函数()f x =()g x =，求函数()()f x g x 的定义域.变式1： 函数)13lg(13)(2++-=x xx x f 的定义域是A.),31(+∞-B. )1,31(- C. )31,31(- D. )31,(--∞解：由13101301<<-⇒⎩⎨⎧>+>-x x x ，故选B.变式2：设()x x x f -+=22lg，则⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为高中数学教材题目变式汇总A. ()()4,00,4 -B. ()()4,11,4 --C. ()()2,11,2 --D. ()()4,22,4 --解：选 C.由202x x +>-得，()f x 的定义域为{}|22x x -<<。
故22,2222.x x ⎧-<<⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩，解得()()4,11,4x ∈-- 。
故⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为()()4,11,4--设计意图：考察函数的定义域 5．（人教版第84页B 组第4题）已知函数()log (1)a f x x =+，()log (1)(0a g x x a =->，且1)a ≠ （1） 求函数()()f x g x +定义域（2） 判断函数()()f x g x +的奇偶性，并说明理由.变式1：已知2()3f x ax bx a b =+++是偶函数，定义域为[1,2]a a -.则a = ，b =解：函数是偶函数，所以定义域关于原点对称.∴1123a a a -=-⇒=，0b = 变式2：函数|3||4|92-++-=x x x y 的图象关于 （ ）A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．原点对称D ．直线0=-y x 对称解：函数定义域为29033x x -≥⇒-≤≤，所以y ==图像关于y 轴对称.变式3：若函数()log (a f x x =+是奇函数，则a =解：由于()log (a f x x =是奇函数，∴()()0f x f x -+=，即log (log (0a a x x ++-=，∴22log 20212a a a a =⇒=⇒=±，又0a >，∴2a =设计意图：考察定义域与奇偶性 6．（人教版83页B 组第2题） 若3log 1(04aa <>，且1)a ≠，求实数a 的取值范围. 变式1：若011log 22<++aa a，则a 的取值范围是 （ ）A ．),21(+∞B ．),1(+∞C ．)1,21(D ．)21,0(解：当1212a a >⇒>时，若011log 22<++a a a，则21011a a+<<+01a ⇒<<，∴112a << 当112002a a >>⇒<<时，若011log 22<++a a a，则2111a a+>+⇒1a >，此时无解！ 所以选C变式2：设10<<a ，函数)22(log )(2--=x x a a a x f ，则使0)(<x f 的x 的取值范围是（A ）)0,(-∞（B ）),0(+∞（C ）)3log ,(a -∞（D ）),3(log +∞a解：要使0)(<x f ，且10<<a ，所以2221x x a a -->⇒2230x xa a -->⇒(3)(1)03x x x a a a -+>⇒>，又10<<a ，∴log 3a x <，故选C.设计意图:考察对数函数的单调性 7．（人教A 版126页B 组第1题）经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格（自变量），而用横轴来表示产品数量（因变量），下列供求曲线，哪条表示厂商希望的供应曲线，哪条表示客户希望的需求曲线？为什么？（图略） 变式1：某地一年的气温Q （t ）（单位：℃）与时间t （月份）之间的关系如图（1）所示，已知该年的平均气温为10℃，令G （t ）表示时间段〔0，t 〕的平均气温，G （t ）与t 之间的函数关系用下列图象表（ ）10ºB高中数学教材题目变式汇总答案：A变式2：为了稳定市场，确保农民增收，某农产品的市场收购价格a与其前三个月的市场收购价格有关，且使a 与其前三个月的市场收购价格之差的平方和最小．若下表列出的是该产品前6个月的市场收购价格：则7月份该产品的市场收购价格应为（ ）A ．69元B ．70元C ．71元D ．72元答案：C设计意图：考察学生读图、读表的能力 8．（人教版43页B 组第3题）已知函数()f x 是偶函数，而且在(0,)+∞上是减函数，判断()f x 在(,0)-∞上是增函数还是减函数，并证明你的判断.变式1：下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A. R x x y ∈-=,3 B. R x x y ∈=,sin C. R x x y ∈=, D. R x xy ∈=,)21(解：B 在其定义域内是奇函数但不是减函数;C 在其定义域内既是奇函数又是增函数;D 在其定义域内不是奇函数,是减函数;故选A.变式2：函数()y f x =是R 上的偶函数，且在(,0]-∞上是增函数，若()(2)f a f ≤,则实数a 的取值范围是 （ ）A.2a ≤ B.2a ≥- C.22a -≤≤ D.2a ≤-或2a ≥解：当0a >时，∵函数()y f x =是R 上的偶函数，且在(,0]-∞上是增函数，∴()y f x =在(0,)+∞C上是减函数，所以若()(2)f a f ≤，则2a ≥，当0a <时，函数()y f x =是R 上的偶函数，且在(,0]-∞上是增函数，且(2)(2)f f -=，∴2a ≤-，故选D设计意图：考察函数奇偶性与单调性的关系 9．（人教版第49页B 组第4题）已知函数(4),0()(4),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩，求(1)f ，(3)f -，(1)a +的值变式1：设,0.(),0.x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩则1(())2g g =__________解：1ln 2111(())(ln )222g g g e ===.变式2：已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是A.(0,1)B.1(0,)3 C.11[,)73D.1[,1)7解：分段函数的单调性需分段处理.答案选C变式3：设函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧--+14)1(2x x 11x x <≥ 则使得f （x ）≥1的自变量x 的取值范围为A.（－∞，－2］∪［0，10］B.（－∞，－2］∪［0，1］C.（－∞，－2］∪［1，10］D.［－2，0］∪［1，10］解：当x ＜1时，f （x ）≥1⇔（x +1）2≥1⇔x ≤－2或x ≥0，∴x ≤－2或0≤x ＜1. 当x ≥1时，f （x ）≥1⇔4－1-x ≥1⇔1-x ≤3⇔1≤x ≤10.综上，知x ≤－2或0≤x ≤10.答案：A 设计意图：考察分段函数的概念和性质 10．（北师大版54页A 组第5题）对于下列函数，试求它们在指定区间上的最大值或最小值，并指出这时的x 值 （2）221y x x =--+，[3,1]x ∈-变式1：函数x y a =在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则a 的值为（ ）A ．12 B.2 C.4 D.14解：当1a >或01a <<时，函数xy a =都是定义域上的单调函数，∴0132a a a +=⇒=，故选高中数学教材题目变式汇总C.变式2：若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍，则a 的值为（ ）A ．42 B ．22 C ．41 D ．21 解：∵01a <<，∴()f x 是定义域上的减函数，所以max ()log 1a f x a ==，min ()log 2a f x a =，∴3213log 2(2)81a a a a a a =⇒=⇒=⇒= A 设计意图：考察函数的最值 11.（人教版65页第8题）已知下列等式，比较m ，n 的大小（1）22mn< (2)0.20.2m n<变式1：设111()()1222b a <<<，那么 （ ） A.a a＜a b＜b aB.a a＜ b a＜a bC.a b＜a a＜b aD.a b＜b a＜a a解：由111()()110222b a b a <<<⇒>>>，在A 和B 中，(01)x y a a =<<在定义域内是单调递减的，∴aba a >，所以结论不成立.在C 中，(0)n y x n =>在(0,)+∞内是单调递增的，又a a ab a b <⇒<，所以答案为C.变式2：已知111222log log log b a c <<，则 （ ）A ．222bac>> B.222abc>> B.222cba>> D.222cab>>解：由已知b a c >>，因为2xy =在定义域内是单调递增的，所以222bac>>答案为A.变式3：已知函数)(x f y =的图象与函数x a y =（0>a 且1≠a ）的图象关于直线x y =对称，记]1)2(2)()[()(-+=f x f x f x g ．若)(x g y =在区间]2,21[上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．),2[+∞B ．)2,1()1,0(C ．)1,21[ D ．]21,0(分析：本题根据反函数的定义求出()f x 的解析式，再用换元法判断()g x 的单调性，结合条件)(x g y =在区间]2,21[上是增函数，求出实数a 的取值范围是，答案为D 设计意图：考察指、对数函数的单调性 12．（人教版48页A 组第8题）设221()1x f x x+=-，求证：（1）()()f x f x -= （2）1()()f f x x =- 变式1：函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =__________.解：11(3)(12)(1)5f f f =+==-，1(5)(32)5(3)f f f =+==-，又 ()()12f x f x +=，∴1()(2)f x f x =+，∴1111(5)(1)(52)(3)(1)5f f f f f -===-==--+-变式2：若奇函数()f x ()x R ∈满足(2)1,(2)()(2)f f x f x f =+=+，则(5)f =解：由已知(5)(3)(2)(3)1(1)(2)1(1)2f f f f f f f =+=+=++=+，令1x =-，则(1)(1)f f =-+，又∵()f x 是奇函数，所以(1)(1)f f -=-，∴1(1)(1)1(1)2f f f =-+⇒=，∴1(5)22f = 变式3：函数()f x 是一个偶函数，()g x 是一个奇函数，且1()()1f xg x x +=-，则()f x 等于 A.112-xB.1222-x x C.122-x D.122-x x解析：由题知1()()1f xg x x +=-①以x -代x ，①式得1()()1f x g x x -+-=--，即1()()1f xg x x -=-- ② ①+②得21()1f x x =-答案：A 设计意图：考察函数的抽象运算与综合性质 13．（人教版第49页B 组第5题）证明：(1)若()f x ax b =+，则1212()()()22x x f x f x f ++= (2)若2()g x x ax b =++，则1212()()()22x x g x g x g ++≤ 变式1：如图所示，()(1,2,3,4)i f x i =是定义在［0，1］上的四个函数，其中满足性质：“对［0，1］中高中数学教材题目变式汇总任意的1x 和2x ，任意1212[0,1],[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλλ∈+-≤+-恒成立”的只有（ ）1()f x 2()f x 3()f x 4()f x A ．1()f x 和3()f x B ．2()f x C ．2()f x 和3()f xD ．4()f x解：当12λ=时，符合条件的函数是凹函数，从图像可看出有1()f x 和3()f x ，选择A. 变式2：.设函数()f x =cx bax ++2的图象如下图所示，则a 、b 、c 的大小关系是A.a ＞b ＞cB.a ＞c ＞bC.b ＞a ＞cD.c ＞a ＞b解析：f （0）=c b =0，∴b =0.f （1）=1，∴ca +1=1. ∴a =c +1.由图象看出x ＞0时，f （x ）＞0，即x ＞0时，有cx ax+2＞0，∴a ＞0.又f （x ）= xc x a +，当x ＞0时，要使f （x ）在x =1时取最大值1，需x +xc≥2c ， 当且仅当x =c =1时.∴c =1，此时应有f （x ）=2a=1.∴a =2.答案：B 变式3：如图所示，单位圆中弧AB 的长为,()x f x 表示弧AB 与弦AB 所围成的弓形面积的２倍，则函数()y f x =的图象是答案：( D )设计意图：考察图象与式子运算的能力 14：（北师大版136页B 组第1题）判断下列方程在（0，10）内是否存在实数解，并说明理由. (1)1ln 02x x += （2）2lg 0x x -= 变式1：设二次函数()()f x ax bx c a =++>20，方程()f x x -=0的两个根x x 12,满足0112<<<x x a. 当()x x ∈01,时，证明. 分析：在已知方程()f x x -=0两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函数()x x f -的表达式，从而得到函数)(x f 的表达式.证明：由题意可知))(()(21x x x x a x x f --=-.ax x x 1021<<<< , ∴ 0))((21>--x x x x a ,∴ 当()x x ∈01,时，x x f >)(. 又)1)(())(()(211211+--=-+--=-ax ax x x x x x x x x a x x f ,,011,0221>->+-<-ax ax ax x x 且∴ 1)(x x f <,综上可知，所给问题获证. 变式2：已知二次函数c bx ax x f ++=2)(．（1）若a>b >c ， 且f （1）=0，证明f （x ）的图象与x 轴有2个交点；（2）在（1）的条件下，是否存在m ∈R ，使得f （m ）=－ a 成立时，f （m +3）为正数，若存在，证明你的结论，若不存在，说明理由；（3）若对)()(,,,212121x f x f x x R x x ≠<∈且，方程)]()([21)(21x f x f x f +=有2个不等实高中数学教材题目变式汇总根，),(21x x 证明必有一个根属于解: （1）)(,04,00,0)1(2x f ac b c a c b a c b a f ∴>-=∆∴<>∴>>=++=且且 的图象与x 轴有两个交点.（2）(1)0f = ，∴1是()0f x =的一个根，由韦达定理知另一根为ac， ∴00,01,,,c a c a b c b a c a><∴<<>>=--且又 10)1)((<<∴<-=--m a c a m a c m a 则13233=+->+>+∴acm )(x f 在（1，+∞）单调递增，0)1()3(=>+∴f m f ，即存在这样的m 使 0)3(>+m f （3）令)]()([21)()(21x f x f x f x g +-=，则)(x g 是二次函数. 0)]()([41]2)()()(][2)()()([)()(22121221121≤--=+-+-=⋅x f x f x f x f x f x f x f x f x g x g1212()(),()()0,()0f x f x g x g x g x ≠⋅<∴= 又有两个不等实根，且方程()0g x =的根必有一个属于),(21x x .设计意图：考察函数的零点 15．（北师大版第66页B 组第3题）求二次函数22()2(21)542f x x a x a a =--+-+在区间【0，1】上的最小值()g a 的表达式. 变式1：设a 为实数，记函数x x x a x f -+++-=111)(2的最大值为g (a ).（Ⅰ）设t ＝x x -++11，求t 的取值范围，并把f (x )表示为t 的函数m (t )（Ⅱ）求g (a )（Ⅲ）试求满足)1()(ag a g =的所有实数a解：（I ）∵x x t -++=11，∴要使t 有意义，必须01≥+x 且01≥-x ，即11≤≤-x ∵]4,2[12222∈-+=x t ，且0≥t ……① ∴t 的取值范围是]2,2[。
高中数学选择性必修二 4 3 1 1等比数列的概念和通项公式(知识梳理+例题+变式+练习)(含答案)
4.3.1.1等比数列的概念和通项公式知识点一 等比数列的概念(1)文字语言：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q ≠0)表示． (2)符号语言：a n ＋1a n ＝q (q 为常数，n ∈N *)【重点总结】(1)由等比数列的定义知，数列除末项外的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此公比也不为0，由此可知，若数列中有“0”项存在，则该数列不可能是等比数列．(2)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”，同时注意公比是每一项与其前一项之比，前后次序不能颠倒．(3)定义中的“同一个常数”是定义的核心之一，一定不能把“同”字省略．要点二 等比中项如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项． 【重点总结】(1)若G 是a 与b 的等比中项，则G a ＝bG，所以G 2＝ab ，G ＝±ab.(2)与“任意两个实数a ，b 都有唯一的等差中项A ＝a ＋b2”不同，只有当a 、b 同号时a 、b 才有等比中项，并且有两个等比中项，分别是ab 与－ab ；当a ，b 异号时没有等比中项．(3)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项． 要点三 等比数列的通项公式设等比数列{a n }的公比为q ，则这个等比数列的通项公式是a n ＝11n a q (a 1，q ≠0且n ∈N *)． 【重点总结】(1)已知首项a 1和公比q ，可以确定一个等比数列． (2)在公式a n ＝a 1q n －1中，有a n ，a 1，q ，n 四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量，其中a 1，q 为两个基本量．(3)对于等比数列{a n }，若q<0，则{a n }中正负项间隔出现，如数列1，－2,4，－8,16，…；若q>0，则数列{a n }各项同号．从而等比数列奇数项必同号；偶数项也同号．【基础自测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若一个数列为{a n }，且满足a na n －1＝q (n ≥2，q 为不等于0的常数)，则这个数列是等比数列．( )(2)在等比数列{a n }中，若已知任意两项的值，则可以求出首项、公比和数列任一项的值．( ) (3)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .( )(4)若一个数列从第二项开始，每一项都是它前后两项的等比中项，则这个数列是等比数列．( ) 【答案】（1）√（2）√（3）×（4）× 2．(多选题)下列数列不是等比数列的是( )A ．2,22,3×22，… B.1a ，1a 2，1a3，…C ．s －1，(s －1)2，(s －1)3，…D ．0,0,0，… 【答案】ACD【解析】A 中，222≠3×2222，A 不是等比数列；B 中，1a 21a ＝1a 31a 2＝…，B 是等比数列；C 中，当s ＝1时，不是等比数列；当s ≠1时，是等比数列，所以C 不是等比数列；D 显然不是等比数列．故选ACD. 3．已知{a n }是等比数列，a 1＝1，a 4＝22，则a 3＝( ) A ．±2 B ．2 C ．－2 D ．4 【答案】B【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，则有1×q 3＝22＝(2)3，∴q ＝2，∴a 3＝a 4q＝2，故选B.4．已知等比数列{a n }中，a 1＝－2，a 3＝－8，则a n ＝________. 【答案】－2n 或(－2)n【解析】∵a 1＝－2，a 3＝－8，∴a 3a 1＝q 2＝－8－2＝4，∴q ＝±2，∴a n ＝(－2)·2n －1或a n ＝(－2)·(－2)n －1，即a n＝－2n 或a n ＝(－2)n .题型一 等比数列通项公式的求法及应用 探究1 基本量的计算 【例1】在等比数列{a n }中 (1)a 4＝2，a 7＝8，求a n ；(2)a 2＋a 5＝18，a 3＋a 6＝9，a n ＝1，求n .【解析】(1)因为⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝a 1q 3，a 7＝a 1q 6，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝2， ①a 1q 6＝8， ② 由②①得q 3＝4，从而q ＝34，而a 1q 3＝2， 于是a 1＝2q 3＝12，所以a n ＝a 1q n －1＝22-53n .(2)方法一：由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝a 1q ＋a 1q 4＝18， ①a 3＋a 6＝a 1q 2＋a 1q 5＝9， ② 由②①得q ＝12，从而a 1＝32.又a n ＝1，所以32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝1，即26－n ＝20，所以n ＝6. 方法二：因为a 3＋a 6＝q (a 2＋a 5)，所以q ＝12.由a 1q ＋a 1q 4＝18，得a 1＝32.由a n ＝a 1q n －1＝1，得n ＝6. 【重点小结】 (1)由a 7a 4＝q 3便可求出q ，再求出a 1，则a n ＝a 1·q n －1.(2)两个条件列出关于a 1，q 的方程组，求出a 1，q 后再由a n ＝1求n ；也可以直接先由q ＝a 3＋a 6a 2＋a 5入手．【方法归纳】等比数列通项公式的求法(1)根据已知条件，建立关于a 1，q 的方程组，求出a 1，q 后再求a n ，这是常规方法．(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q 后，再求a 1，最后求a n ，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．探究2 等比数列的实际应用【例2】计算机的价格不断降低，若每台计算机的价格每年降低13，现在价格为8 100元的计算机3年后的价格可降低为( )A ．300元B ．900元C ．2 400元D ．3 600元 【答案】C【解析】降低后的价格构成以23为公比的等比数列，则现在价格为8 100元的计算机3年后的价格可降低为8 100×⎝⎛⎭⎫233＝2 400(元)． 【方法技巧】关于等比数列模型的实际应用题，先构造等比数列模型，确定a 1和q ，然后用等比数列的知识求解． 【跟踪训练1】(1)在等比数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 2＝2，则公比q 等于( ) A ．－2 B ．1或－2 C ．1 D ．1或2 【答案】B【解析】a 3＋a 4＝a 2q ＋a 2q 2＝2q ＋2q 2＝4， 即q 2＋q －2＝0，解得q ＝1或q ＝－2，故选B.(2)在等比数列{a n }中，a n >0，已知a 1＝6，a 1＋a 2＋a 3＝78，则a 2等于( ) A ．12 B ．18 C ．24 D ．36 【答案】B【解析】设公比为q ，由已知得6＋6q ＋6q 2＝78， 即q 2＋q －12＝0解得q ＝3或q ＝－4(舍去)． ∴a 2＝6q ＝6×3＝18.故选B.(3)某林场的树木每年以25%的增长率增长，则第10年末的树木总量是今年的________倍． 【答案】1.259【解析】设这个林场今年的树木总量是m ，第n 年末的树木总量为a n ，则a n ＋1＝a n ＋a n ×25%＝1.25a n . 则a n ＋1a n＝1.25，则数列{a n }是公比q ＝1.25的等比数列． 则a 10＝a 1q 9＝1.259 m.所以a 10a 1＝1.259.题型二 等比中项【例3】已知等比数列的前三项和为168，a 2－a 5＝42，求a 5，a 7的等比中项．【解析】设该等比数列的公比为q ，首项为a 1， 因为a 2－a 5＝42，所以q ≠1，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝168a 1q －a 1q 4＝42， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1(1＋q ＋q 2)＝168a 1q (1－q 3)＝42①②因为1－q 3＝(1－q )(1＋q ＋q 2)，所以由②除以①，得q (1－q )＝14.所以q ＝12.所以a 1＝4212－⎝⎛⎭⎫124＝96.若G 是a 5，a 7的等比中项，则应有G 2＝a 5a 7＝a 1q 4·a 1q 6＝a 21q 10＝962×⎝⎛⎭⎫1210＝9. 所以a 5，a 7的等比中项是±3. 【方法归纳】(1)首项a 1和q 是构成等比数列的基本量，从基本量入手解决相关问题是研究等比数列的基本方法． (2)解题时应注意同号的两个数的等比中项有两个，它们互为相反数，而异号的两个数没有等比中项． 【跟踪训练2】如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( ) A ．b ＝3，ac ＝9 B ．b ＝－3，ac ＝9 C ．b ＝3，ac ＝－9 D ．b ＝－3，ac ＝－9【答案】B【解析】∵－1，a ，b ，c ，－9成等比数列， ∴a 2＝(－1)×b ，b 2＝(－1)×(－9)＝9 ∴b <0，∴b ＝－3.又b 2＝ac ，∴ac ＝9.故选B.题型三 等比数列的判定与证明【例4】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝13(a n －1)(n ∈N *)(1)求a 1，a 2；(2)求证：数列{a n }是等比数列．【解析】(1)当n ＝1时，S 1＝13(a 1－1)＝a 1，解得：a 1＝－12，当n ＝2时，S 2＝13(a 2－1)＝a 1＋a 2，解得a 2＝14.(2)证明：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13(a n －1)－13(a n －1－1)，得a n a n －1＝－12.又a 1＝－12，所以{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列．【变式探究1】将本例中条件换为“数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1”，求证：{a n ＋1}成等比数列，并求a n .【解析】由a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，∴a n ＋1＋1a n ＋1＝2，∴{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1＝2×2n －1＝2n ， ∴a n ＝2n －1.【变式探究2】将本例中的条件换为“数列{a n }中，a 1＝56，a n ＋1＝13a n ＋⎝⎛⎭⎫12n ＋1”，求a n . 【解析】令a n ＋1－A ·⎝⎛⎭⎫12n ＋1＝13⎣⎡⎦⎤a n －A ·⎝⎛⎭⎫12n ，则a n ＋1＝13a n ＋A 3·⎝⎛⎭⎫12n ＋1. 由已知条件知A3＝1，得A ＝3，所以a n ＋1－3×⎝⎛⎭⎫12n ＋1＝13⎣⎡⎦⎤a n －3×⎝⎛⎭⎫12n . 又a 1－3×⎝⎛⎭⎫121＝－23≠0， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －3×⎝⎛⎭⎫12n 是首项为－23，公比为13的等比数列． 于是a n －3×⎝⎛⎭⎫12n ＝－23×⎝⎛⎭⎫13n －1，故a n ＝3×⎝⎛⎭⎫12n －2×⎝⎛⎭⎫13n . 【方法归纳】判定数列是等比数列的常用方法(1)定义法：a n ＋1a n ＝q (q 是常数)或a na n －1＝q (q 是常数，n ≥2)⇔{a n }为等比数列．(2)等比中项法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ≠0，n ∈N *)⇔{a n }为等比数列．(3)通项公式法：a n ＝a 1q n －1(其中a 1，q 为非零常数，n ∈N *)⇔{a n }为等比数列． 【易错辨析】忽略等比数列各项的符号规律致错【例5】在等比数列{a n }中，a 5＝1，a 9＝81，则a 7＝( ) A ．9或－9 B ．9 C ．27或－27 D ．－27 【答案】B【解析】由等比中项的性质得a 27＝a 5a 9＝81，∴a 7＝±9，由于等比数列中的奇数项的符号相同，所以a 7＝9，故选B. 【易错警示】 1. 出错原因没有弄清等比数列各项的符号规律，直接由等比中项得a 7＝±9，错选A. 2. 纠错心得在等比数列中，奇数项的符号相同，偶数项的符号相同．解此类题时要小心谨慎，以防上当.一、单选题1．已知等比数列{}n a 中，3a 是1a ，2a 的等差中项，则数列{}n a 的公比为（ ） A ．12-或1B ．12-C ．12D ．1【答案】A【分析】首先根据题意得到3122a a a =+，从而得到2210q q --=，再解方程即可. 【解析】由题知：3122a a a =+，所以221q q =+，即2210q q --=，解得12q =-或1q =.故选：A2．已知等比数列{}n a 满足2512,4a a ==，则公比q =（ ） A ．12-B ．12C ．2-D ．2【答案】B 【分析】由352a a q =即可求出．【解析】 352a a q =，即3124q =，解得12q =． 故选：B ．3．已知{}n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和．若2312a a a ⋅=，且4a 与72a 的等差中项为54，则5S =（ ） A ．29 B ．31 C ．33 D ．35【答案】B 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由已知可得q 和1a ，代入等比数列的求和公式即可 【解析】因为 2312a a a =23114a q a a ==，42a ∴=，3474452224a a a a q +=⨯=+， 所以11,162q a ==，551161231112S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-，故选：B.4．《莱茵德纸草书》（RhindPapyrus ）是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把93个面包分给5个人，使每个人所得面包个数成等比数列，且使较小的两份之和等于中间一份的四分之三，则最大的一份是（ ）个． A ．12 B ．24 C ．36 D ．48【答案】D 【分析】设等比数列{}n a 的首项为10a >，公比1q >，根据题意，由()()211513141931a q a q a q q ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩求解. 【解析】设等比数列{}n a 的首项为10a >，公比1q >，由题意得：123123453493a a a a a a a a ⎧+=⎪⎨⎪++++=⎩，即()()211513141931a q a q a q q ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩， 解得132a q =⎧⎨=⎩，所以45148a a q ==，故选：D5．在等比数列{}n a 中，若1614a a a ⋅⋅为定值，n T 为数列{}n a 的前n 项积，则下列各数为定值的是（ ） A ．11T B ．12TC ．13TD ．14T【答案】C 【分析】根据等比数列的通项公式用1,a q 表示出1614a a a ，然后再分别表示出各选项中的积进行判断． 【解析】设公比为q ，则()35133186161411111a a a a a q a q a q a q =⋅==为定值，即61a q 为定值，(1)112(1)211111n n n n n n n T a a q a qa qa q--+++-=⋅==，11555111111()T a q a q ==，不是定值，1211126621211T a q a q ⎛⎫== ⎪⎝⎭，不是定值，13786131311()T a q a q ==，是定值，1413131414221411()T a q a q ⨯==，不是定值．故选：C ．6．在各项都为正数的数列{}n a 中，首项12,n a S =为数列{}n a 的前n 项和，且()2121(42)0n n n S S a n ----=≥，则10S =（ ） A ．1022 B ．1024C ．2046D ．2048【答案】C 【分析】当2n ≥时，1n n n a S S -=-，故可以得到()()11220n n n n a a a a --+-=，因为120n n a a -+>，进而得到120n n a a --=，所以{}n a 是等比数列，进而求出102046S = 【解析】由()2121(42)0n n n S S a n ----=≥，得22140nn a a --=，得()()11220n n n n a a a a --+-=， 又数列{}n a 各项均为正数，且12a =， ∴120n n a a -+>，∴120n n a a --=，即12nn a a -= ∴数列{}n a 是首项12a =，公比2q 的等比数列，其前n 项和()12122212n n nS +-==--，得102046S =，故选：C.7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21n n S a =-，则202120221S a +=（ ）A ．2B ．1C ．12D ．13【答案】B 【分析】由21n n S a =-，根据n a 与n S 的关系，得出{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式，即可求解. 【解析】由数列{}n a 的前n 项和21n n S a =-，当1n =时，可得11121a S a ==-，所以11a =；当2n ≥时，()112121n n n n n a S S a a --=-=---，所以12n n a a -=， 所以{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以202120212021122112S -==--，202120222a =，所以2021202211S a +=. 故选：B.8．在等比数列{}n a 中，()23122a a a a +=+，则数列{}n a 的公比q =（ ） A ．2 B ．1 C ．1-或1 D ．1-或2【答案】D 【分析】用1,a q 表示出已知等式后可得结论． 【解析】由题意知()()211210a q q a q +-+=，所以()()120q q +-=，所以1q =-或2q.故选：D .二、多选题9．(多选题)已知等比数列{}n a 的前n 项和是n S ，则下列说法一定成立的是（ ） A ．若30a >，则20210a > B ．若40a >，则20200a > C ．若30a >，则20210S > D ．若30a >，则20210S <【答案】ABC【分析】根据等比数列通项式，前n 项和n S 代入即可得出答案. 【解析】设数列{}n a 的公比为q ，当30a >，则2018202130a a q=>，A 正确； 当40a >，则2016202040a a q=>，B 正确. 又当1q ≠时，()20211202111a q qS -=-，当1q <时，2021202110,10,0q qS ->->∴>，当01q <<时，2021202110,10,0q q S ->->∴>，当1q >时，2021202110,10,0q qS -<-<∴>当1q =时，2021120210S a =>，故C 正确，D 不正确. 故选：ABC10．(多选题)若数列{a n }是等比数列，则下面四个数列中也是等比数列的有（ ） A ．{ca n }(c 为常数) B ．{a n ＋a n ＋1}C ．{a n ·a n ＋1)D ．{}3n a【答案】CD 【分析】A. 由c ＝0判断；B.q ＝－1时判断；CD.由等比数列的定义判断. 【解析】当c ＝0时，{ca n }不是等比数列，故A 错误；当数列{a n }的公比q ＝－1时，a n ＋a n ＋1＝0，{a n ＋a n ＋1}不是等比数列，故B 错误； 由等比数列的定义，选项CD 中的数列是等比数列，故CD 正确. 故选：CD11．设数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，n T 是{}n a 的前n 项之积，227a =，369127a a a ⋅⋅=，则当n T 最大时，n 的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】AB【分析】 设等比数列{}n a 的公比为q ，求出q 的值，进而可求得数列{}n a 的通项公式，解不等式1n a ≥，求出n 的取值范围，即可得解.【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则33696127a a a a ⋅⋅==，可得613a =，13q ∴==，所以，225212733n n n n a a q ---⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， 令531n n a -=≥，解得5n ≤，故当n T 最大时，4n =或5.故选：AB.第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题12．在等比数列{}n a 中，1521,8,n a a a S ==是数列{}n a 的前n 项和，若63k S =，则k =________．【答案】6【分析】由1521,8a a a ==，解得2q求解. 【解析】在等比数列{}n a 中，设公比为q ，因为1521,8a a a ==，所以48,0q q q =≠，解得2q， 所以126312kk S -==-，解得6k =， 故答案为：613．在正项等比数列{}n a 中，若13a 、312a 、22a 成等差数列，则2021202020232022a a a a -=-________．【答案】19【分析】设正项等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，根据已知条件求出q 的值，再结合等比数列的基本性质可求得结果.【解析】设正项等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，因为13a 、312a 、22a 成等差数列，则31232a a a =+，即211132a q a a q =+， 可得2230q q --=，0q >，解得3q =， 因此，()20212020202120202202320222021202019a a a a a a q a a --==--. 故答案为：19. 14．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若241,4n n a S b a a +==，数列{}n a 的通项公式为___________． 【答案】21()2n n a -= 【分析】当1n =时，求得102b a =>，再由n n S a b =-+，得到11(2)n n S a b n --=-+≥， 相减可得120n n a a --=，结合等比数列的通项公式，求得b ，进而求得数列的通项公式.【解析】由题意，正项数列{}n a 满足241,4n n a S b a a +==， 当1n =时，可得1111a S a a b =++=，则102b a =>， 由n n S a b =-+，则11(2,)n n S a b n n N +--=-+≥∈，两式相减可得120n n a a --=，所以1(22)1,n n n n N a a +-≥=∈， 即数列{}n a 为公比为12的等比数列， 所以2416,4b a a b ==，所以2441461a b a b =⨯=，解得4b =， 所以122b a ==，所以数列{}n a 的通项公式为1121112()()22n n n n a a q ---==⨯=.故答案为：21()2n n a -=.四、解答题15．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，12a =，172n n S a ++=，2211log log n n n b a a +=⋅，n T 为数列{}n b 的前n 项和.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2022n m T >对所有*n N ∈恒成立，求满足条件m 的最小整数值.【答案】（1）322n n a -= （2）674【分析】（1）利用递推公式，结合前n 项和与第n 项的关系、等比数列的定义进行求解即可； （2）根据对数的运算性质，结合裂项相消法进行求解即可.（1）由题意172n n S a ++=，当2n ≥时，172n n S a -+=，两式相减得：17n n n a a a +=-，即：()182n n a a n +=≥，所以2n ≥时，{}n a 为等比数列又因为1n =时，217272216a S =+=⨯+=， 所以218a a =， 所以，对所有*n N ∈，{}n a 是以2为首项，8为公比的等比数列，所以132282n n n a --=⨯=；（2） 由题知：32312212211log log log 2log 2n n n n n b a a -++==⋅⋅ ()()13231n n =-+11133231n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭所以12111111111134473231331n n T b b b n n n ⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=- ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭所以111202220221674167433131n T n n ⎛⎫⎛⎫=⨯-=-< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭所以满足2022n m T >恒成立的最小m 值为674.16．等差数列{}n a 中，13a =，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 各项均为正数，11b =，且2212b S +=，{}n b 的公比22S q b =. （1）求n a 与n b ；（2）求12111nS S S +++. 【答案】（1）33(1)3n a n n =+-=，13n n b -=（2）()231n n + 【分析】（1）由{}n b 的公比22S q b =及2212b S +=可解得3q =，由11b =则n b 可求，又由22S q b =可得29S =，26a =，213d a a =-=，则n a 可求；（2）由（1）可得3(1)2n n n S +=，则122113(1)31n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，故由裂项相消法可求12111nS S S +++. （1） 等差数列{}n a 中，13a =，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 各项均为正数，11b =，且2212b S +=，{}n b 的公比22S q b =，222212S q b b S ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得3q =，13n n b -=. {}n b 各项均为正数，∴3q =，13n n b -=.由23b =，得29S =，26a =，213d a a =-=，∴()3313n a n n =+-=. （2）3(1)3(1)322n n n n n S n -+=+=， 122113(1)31n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，12111211111132231n S S S n n ⎛⎫+++=-+-++- ⎪+⎝⎭ 2121313(1)n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 17．已知数列{a n }中，a 1＝4，a n ＋1＝2a n －5，求证{a n －5}是等比数列．【答案】证明见解析【分析】由a n ＋1－5＝2(a n －5)结合等比数列的定义证明即可.【解析】证明：由a n ＋1＝2a n －5得a n ＋1－5＝2(a n －5)． 又a 1－5＝－1≠0，故数列{a n －5}是首项为－1，公比为2的等比数列．。
浅析高中数学例题变式教学
浅析高中数学例题变式教学作者：张再华来源：《中学教学参考·理科版》2015年第09期[摘要]在新课改背景下，传统的数学课堂教学模式已经难以适应现代数学课堂教学的需要，如何在有限的课堂时间里，将更多的知识和解题技巧传授给学生，培养学生的数学思维，成为现代数学课程需要解决的重要问题.为了能够改善传统数学课堂教学中的不足之处，有必要研究例题变式教学.[关键词]数学变式教学例题应用[中图分类号]G633.6 [文献标识码]A [文章编号] 16746058（2015）260014数学例题展示了解题的整体思路，把抽象的思维转变成切实可见的形象体现.在数学教学中，可以通过数学例题的展示减少数学的抽象性，使学生在学习中没有那么大的压力.但是在传统的教学中，老是举例来让学生模仿的教学形式不利于学生数学思维能力的培养.如果能够对这些例题进行适当的变式，能帮助学生更好地理解数学知识，了解问题的本质.一、例题变式在数学课堂教学中的作用在数学教学中，教师不能仅仅把相关的知识点教给学生，还要把解题的方法教给学生，并培养他们良好的数学思维.数学例题是数学教学中重要的教学题材，也是数学教学的主要组织形式.充分利用和设计数学例题是新课程背景下提高高中数学教学效率的重要手段.数学教科书中的例题都是专家们的解题思路，这些思路适合大多数学生的学习思维，便于学生学习相关的知识.如果教师在课堂教学中不仅关注教科书上的例题，而且在这些例题的基础上加以开发、转变，就能够培养学生灵活的思维方式，调动学生对数学学习的积极性，从而发展学生的解题思维，促进其高效学习思维习惯的形成.二、数学例题变式教学的相关研究顾明远在《教育大词典》中对“变式教学”做了解释，他认为所谓的变式教学就是教师在进行数学题目的讲解过程中，通过讲解得出相关的结论，再对命题进行有目的、有计划的转变，让它从不同的角度进行转化，从而扩充学生学习内容的一种教学方式.刘长春等人对“变式教学”也提出了相关的见解，他们认为变式就是通过一定的范式，不断地改变问题的情境和问题的思维角度，在保证事物本质不变的条件下，利用相关的迁移理论进行迁移，是一种重要的教学途径.三、例题变式教学的应用随着新课程改革的不断深化和素质教育的大力实施，对传统的课堂教育提出了新的要求，要求在课堂上要尽量体现学生的主体地位，重在培养学生勇于探索的精神、创新合作的交流能力和数学思维能力.数学课堂教学中的变式教学恰好能够很好地解决这些问题.例如，在“关于同角三角函数基本关系式”的章节的教学中，单一的关系式教学难免会使学生失去学习兴趣而产生厌烦情绪.因此，教师应采用例题变式的方式，运用一系列的变式教学设计来培养学生的数学思维，进而不断提高教学效率.这一章节的主要教学目的是要学生了解三角函数之间的关系，并且能够证明一些简单的三角函数关系，为以后的学习做一个铺垫.本节课的主要设计思路是通过具体的角的关系转化成抽象角之间的关系，引导学生的思维由特殊向一般的思维方式转变，通过小组之间的合作探索循序渐进地寻找解题的方法.通过对例题的学习让学生对公式的应用进一步了解.通过变式1、2、3的不断深入，让学生在不断的探索中，切身体验到同角三角函数这类题型的解题方法.例如，在“抛物线及其标准方程”的教学中，常见的例题有：直线y=x-2与曲线y2=2x相较于A、B两点，求证：OA⊥OB（其中O为坐标原点）.这样的例题较为简单，我们可以适当改变例题的条件或结论，这样就可起到更好的教学效果.比如，我们可以将它变为：如果直线y=kx+b和抛物线y2=2px（p>0）相交与A、B两点，直线AB经过（2p，0），求证：OA⊥OB（其中O为坐标原点）.也可以将原题变式为：若直线y=kx+b和抛物线y2=2px（p>0）相交于A、B两点，OA⊥OB，O为坐标原点，求证：y=kx+b通过一定点P.并试求出这一定点P的坐标.这一系列的变式都在配合教师层层递进地引导和提问，通过学生之间的小组合作，充分培养了学生的数学思维，锻炼了学生主动探索和自主学习的能力.更重要的是让学生学会了用从特殊到一般的思维方式去解决问题.高中数学知识非常繁琐，很多看似独立存在的小知识点实际上都存在一定的联系.因此，高中数学课堂教学不是单纯地教授知识、学习知识的过程，而是重在培养学生的数学思维的过程.变式教学正好符合高中阶段的课程特点，教师通过变式教学，从不同的角度对多个知识点进行考查，帮助学生构建知识网络.这是整个高中数学教学最为行之有效的教学方法.（责任编辑黄桂坚）。
高中数学选择性必修二 4 2 1 1等差数列的概念和通项公式(知识梳理+例题+变式+练习)(含答案)
4.2.1.1等差数列的概念和通项公式要点一 等差数列的概念(1)文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d_表示． (2)符号语言：a n ＋1－a n ＝d (d 为常数，n ∈N *)． 【重点概要】(1)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”．(2)一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差即使等于常数，这个数列也不一定是等差数列，因为当这些常数不同时，该数列不是等差数列，因此定义中强调“同一个常数”，即该常数与n 无关．(3)求公差d 时，可以用d ＝a n －a n －1来求，也可以用d ＝a n ＋1－a n 来求．注意公差是每一项与其前一项的差，且用a n －a n －1求公差时，要求n ≥2，n ∈N *. 要点二 等差中项(1)条件：如果a ，A ，b 成等差数列． (2)结论：那么A 叫做a 与b 的等差中项． (3)满足的关系式是________． 【重点概要】在等差数列{a n }中，任取相邻的三项a n －1，a n ，a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，则a n 是a n －1与a n ＋1的等差中项． 反之，若a n －1＋a n ＋1＝2a n 对任意的n ≥2，n ∈N *均成立，则数列{a n }是等差数列．因此，数列{a n }是等差数列⇔2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)．用此结论可判断所给数列是不是等差数列，此方法称为等差中项法．要点三 等差数列的通项公式以a 1为首项，d 为公差的等差数列{a n }的通项公式a n ＝1(1)a n d +-【重点总结】从函数角度认识等差数列{a n }若数列{a n }是等差数列，首项为a 1，公差为d ，则a n ＝f(n)＝a 1＋(n －1)d ＝nd ＋(a 1－d)． (1)点(n ，a n )落在直线y ＝dx ＋(a 1－d)上； (2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d. 【基础自测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( ) (2)等差数列{a n }的单调性与公差d 有关．( )(3)若三个数a ，b ，c 满足2b ＝a ＋c ，则a ，b ，c 一定是等差数列．( )(4)一个无穷等差数列{a n }中取出所有偶数项构成一个新数列，公差仍然与原数列相等．( ) 【答案】（1）×（2）√（3）√（4）×2．(多选题)下列数列是等差数列的有( ) A ．1,1,1,1,1 B ．4,7,10,13,16 C.13，23，1，43，53 D ．－3，－2，－1,1,2 【答案】ABC3．已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差d 为( )A ．2B ．3C ．－2D ．－3 【答案】C【解析】由等差数列的定义，得d ＝a 2－a 1＝－1－1＝－2.故选C. 4．在△ABC 中，三内角A 、B 、C 成等差数列，则B 等于________． 【答案】60°【解析】因为三内角A 、B 、C 成等差数列， 所以2B ＝A ＋C ，又因为A ＋B ＋C ＝180°， 所以3B ＝180°，所以B ＝60°.题型一 等差数列的通项公式 探究1 基本量的计算【例1】(1)在等差数列{a n }中，已知a 6＝12，a 18＝36，则a n ＝________. (2)已知数列{a n }为等差数列，a 3＝54，a 7＝－74，则a 15＝________.【答案】(1)2n (2)－314【解析】(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋5d ＝12a 1＋17d ＝36，⎩⎪⎨⎪⎧解得d ＝2，a 1＝2，∴a n ＝2＋(n －1)×2＝2n .(2)法一：(方程组法)由⎩⎨⎧a 3＝54，a 7＝－74，得⎩⎨⎧a 1＋2d ＝54，a 1＋6d ＝－74，解得⎩⎨⎧a 1＝114，d ＝－34，∴a 15＝a 1＋(15－1)d ＝114＋14×⎝⎛⎭⎫－34＝－314. 法二：(利用a m ＝a n ＋(m －n )d 求解)由a 7＝a 3＋(7－3)d ，即－74＝54＋4d ，解得d ＝－34，∴a 15＝a 3＋(15－3)d ＝54＋12×⎝⎛⎭⎫－34＝－314. 探究2 判断数列中的项【例2】100是不是等差数列2,9,16，…的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由． 【解析】∵a n ＝2＋(n －1)×7＝7n －5， 由7n －5＝100，得n ＝15， ∴100是这个数列的第15项．探究3 等差数列中的数学文化 【例3】《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每个人所得成等差数列，最大的三份之和的17是最小的两份之和，则最小的一份的量是( )A.116B.103C.56D.53【答案】D【解析】由题意可得中间的那份为20个面包， 设最小的一份为a 1，公差为d ，由题意可得[20＋(a 1＋3d )＋(a 1＋4d )]×17＝a 1＋(a 1＋d )，解得a 1＝53，故选D.【方法归纳】(1)已知a n ，a 1，n ，d 中的任意三个量，求出第四个量．(2)应用等差数列的通项公式求a 1和d ，运用了方程的思想．一般地，可由a m ＝a ，a n ＝b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(m －1)d ＝aa 1＋(n －1)d ＝b ，求出a 1和d ，从而确定通项公式．(3)若已知等差数列中的任意两项a m ，a n ，求通项公式或其它项时，则运用a m ＝a n ＋(m －n )d 较为简捷． 【跟踪训练】(1)等差数列{a n }中，a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，则n 等于( )A ．50B ．49C ．48D ．47 【答案】A【解析】由题得2a 1＋5d ＝4，将a 1＝13代入得，d ＝23，则a n ＝13＋23(n －1)＝33，故n ＝50.(2)等差数列{a n }中，已知a 5＝10，a 12＝31. ①求a 20；②85是不是该数列中的项？若不是，说明原因；若是，是第几项？ 【解析】(2)①设数列{a n }的公差为d . 因为a 5＝10，a 12＝31，由a n ＝a 1＋(n －1)d 得，⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝10，a 1＋11d ＝31，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝3. 即a n ＝－2＋3(n －1)＝3n －5，则a 20＝3×20－5＝55. ②令3n －5＝85，得n ＝30，所以85是该数列{a n }的第30项． 题型二 等差数列的判定与证明【例4】已知数列{a n }满足a 1＝4且a n ＝4－4a n －1(n >1)，记b n ＝1a n －2.(1)求证：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．【解析】(1)证明：∵b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－2－1a n －2＝1⎝⎛⎭⎫4－4a n －2－1a n －2＝a n 2(a n －2)－1a n －2＝a n －22(a n －2)＝12又b 1＝1a 1－2＝12∴数列{b n }是首项为12，公差为12的等差数列．(2)由(1)知，b n ＝12＋(n －1)×12＝12n ∵b n ＝1a n －2∴a n ＝1b n ＋2＝2n＋2.要证{b n }是等差数列，只需证b n ＋1－b n ＝常数或b n －b n －1＝常数(n ≥2)．【变式探究1】将本例中的条件“a 1＝4，a n ＝4－4a n －1”改为“a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2”，求a n .【解析】∵a n ＋1＝2a na n ＋2∴取倒数得：1a n ＋1＝a n ＋22a n ＝12＋1a n ∴1a n ＋1－1a n ＝12，又1a 1＝12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为12，公差为12的等差数列， ∴1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝12＋n 2－12＝n 2，∴a n ＝2n . 【方法归纳】定义法判断或证明数列{a n }是等差数列的步骤： (1)作差a n ＋1－a n ，将差变形；(2)当a n ＋1－a n 是一个与n 无关的常数时，数列{a n }是等差数列；当a n ＋1－a n 不是常数，是与n 有关的代数式时，数列{a n }不是等差数列．【跟踪训练】已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n .(1)设b n ＝a n2n －1，证明：数列{b n }是等差数列．(2)求数列{a n }的通项公式．【解析】(1)证明：因为a n ＋1＝2a n ＋2n ，所以a n ＋12n ＝2a n ＋2n 2n ＝a n2n －1＋1，所以a n ＋12n －a n2n －1＝1，n ∈N *.又b n ＝a n2n －1，所以b n ＋1－b n ＝1.所以数列{b n }是等差数列，其首项b 1＝a 1＝1，公差为1. (2)由(1)知b n ＝1＋(n －1)×1＝n ，所以a n ＝2n －1b n ＝n ·2n －1，经检验，n ＝1时a 1＝1也满足上式． 题型三 等差中项【例5】已知三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，则这三个数为________． 【答案】3,5,7或7,5,3【解析】设此三个数分别为x －d ，x ，x ＋d ， 则⎩⎪⎨⎪⎧(x －d )＋x ＋(x ＋d )＝15(x －d )2＋x 2＋(x ＋d )2＝83 解得x ＝5，d ＝±2.∴所求三个数分别为3,5,7或7,5,3.【总结】三个数成等差数列可设为x -d,x,x+d【变式探究2】已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数． 【解析】法一：(设四个变量)设这四个数分别为a ，b ，c ，d ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧b －a ＝c －b ＝d －c ，a ＋b ＋c ＋d ＝26，bc ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝5，c ＝8，d ＝11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝11，b ＝8，c ＝5，d ＝2，∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.法二：(设首项与公差)设此等差数列的首项为a 1，公差为d ，根据题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋(a 1＋3d )＝26，(a 1＋d )(a 1＋2d )＝40，化简，得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝26，a 21＋3a 1d ＋2d 2＝40， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，d ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝11，d ＝－3，∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.法三：(灵活设元)设这四个数分别为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ (a －3d )＋(a －d )＋(a ＋d )＋(a ＋3d )＝26，(a －d )(a ＋d )＝40，化简，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝26，a 2－d 2＝40，解得⎩⎨⎧a ＝132，d ＝±32.∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.【小结】四个数成等差数列可设为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d【变式探究3】已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为859，求这5个数．【解析】设第三个数为a ，公差为d ，则这5个数分别为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d .由已知有 ⎩⎪⎨⎪⎧(a －2d )＋(a －d )＋a ＋(a ＋d )＋(a ＋2d )＝5，(a －2d )2＋(a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2＋(a ＋2d )2＝859， 整理得⎩⎪⎨⎪⎧ 5a ＝5，5a 2＋10d 2＝859.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，d ＝±23. 当d ＝23时，这5个分数分别是－13，13，1，53，73.当d ＝－23时，这5个数分别是73，53，1，13，－13.综上，这5个数分别是－13，13，1，53，73或73，53，1，13，－13.【方法归纳】当等差数列{a n }的项数n 为奇数时，可设中间的一项为a ，再以d 为公差向两边分别设项，即设为…，a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，…；当等差数列的项数n 为偶数时，可设中间两项分别为a －d ，a ＋d ，再以2d 为公差向两边分别设项，即设为…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，….【易错辨析】忽视等差数列中的隐含条件致误【例6】已知{a n }为等差数列，首项为125，它从第10项开始比1大，那么公差d 的取值范围是( )A ．d >875B ．d <325C.875<d <325D.875<d ≤325 【答案】D【解析】由题意可得a 1＝125，且⎩⎪⎨⎪⎧a 10>1a 9≤1即⎩⎨⎧125＋9d >1125＋8d ≤1解得875<d ≤325，故选D.【易错警示】1. 出错原因(1)错选A ，只看到了a 10>1而忽视了a 9≤1，是审题不仔细而致误； (2)错选C ，误认为a 9<1，是由不会读题，马虎造成错误. 2. 纠错心得认真审题，充分挖掘题目中的隐含条件.一、单选题1．等差数列{}n a 的公差为3，若2a ，4a ，8a 成等比数列，则{}n a 的前2n 项2n S =（ ）． A ．3(21)n n - B ．3(21)n n + C ．3(1)2n n + D ．3(1)2n n - 【答案】B 【分析】根据等差数列与等比数列的性质可得数列的通项公式，进而可得2n S . 【解析】等差数列{}n a 的公差为3，且2a ，4a ，8a 成等比数列，2428a a a ∴=，()()2222618a a a ∴+=+，解得26a =，1233a a ∴=-=，{}∴n a 的前2n 项， 22(21)2332n n n S n -=⋅+⨯ 3(21)n n =+．故选：B ．2．已知数列{}n a 满足()()11220n n n n a a a a ++--+=，下列结论正确的是（ ） A ．当11a =时，10a 的最大值258 B ．当11a =时，9a 的最小值384- C ．当101a =时，1a 的最小值17- D ．当91a =时，1a 的最大值132【答案】C【分析】根据题干中的条件可得：12n n a a +-=或120n n a a ++=，即{}n a 是等差数列或等比数列，A 选项分别把两种情况下的10a 算出来，比较大小，求出10a 的最大值，同样的道理，其他选项也可以判断出来，进而选出正确的选项 【解析】()()11220n n n n a a a a ++--+=则120n n aa +--=或120n n a a ++=A 选项，当120n n a a +--=时，{}n a 是等差数列，公差为2，当11a =时，101911819a a d =+=+= 当120n n a a ++=时，12n na a +=-，{}n a 是等比数列，公比为-2，当11a =时，()9102512a =-=-，10a 的最大值为19，故A 选项错误；B 选项，当120n n a a +--=时，{}n a 是等差数列，公差为2，当11a =时，91811617a a d =+=+=当120n n a a ++=时，12n na a +=-，{}n a 是等比数列，公比为-2，当11a =时，()892256a =-=，9a 的最小值为17，故B 选项错误；C 选项，当120n n a a +--=时，{}n a 是等差数列，公差为2，当101a =时，即1192a +⨯=，解得：117a =- 当120n n a a ++=时，12n n a a +=-，{}n a 是等比数列，公比为-2，当101a =时，即()9112a -=，解得：11512a =-，117512<--，故1a 的最小值为17-，故选项C 正确 D 选项，当120n n a a +--=时，{}n a 是等差数列，公差为2，当91a =时，1161a += ，解得：115a =- 当120n n a a ++=时，12n n a a +=-，{}n a 是等比数列，公比为-2，当91a =时，即()8112a -=，解得：11256a =，此时1a 的最大值为1256，D 选项错误 故选：C3．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若235a a +=，728S =，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．1- B ．2-C ．1D ．2【答案】C 【分析】由等差数列性质，747S a =求得44a =，根据项与项之间的关系代入条件求得公差. 【解析】由题知，74728S a ==，则44a =，设数列公差为d ，则234424435a a a d a d d +=-+-=+-=， 解得1d =， 故选：C4．在等差数列{}n a 中，前9项和918S =，266a a +=，则3n a =（ ） A ．33-n B ．35n + C ．73n - D ．213n -【答案】C 【分析】根据918S =，266a a +=，可求得公差，再利用等差数列的通项公式即可得解. 【解析】 解：()199599182a a S a ===+，52a ∴=，又26426a a a +==，43a ∴=，∴公差541d a a =-=-，()447n a a n d n =+-⋅=-，373n a n ∴=-．故选：C.5．在ABC ∆中，“π3B =”是“角A ，B ，C 成等差数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【分析】若π3B =，则2π23AC B +==，若A ，B ，C 成等差数列，则π3B =，得到答案. 【解析】在ABC ∆中，若π3B =，则2ππ23A CB B +=-==，所以A ，B ，C 成等差数列，充分性成立. 反之，若A ，B ，C 成等差数列，则2B A C =+，因为3πA B C B ++==，所以π3B =，必要性成立.所以“π3B =”是“角A ，B ，C 成等差数列”的充要条件. 故选：C.6．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且{}n a 满足122n n n a a a ++=+，532a a -=，若424S S =，则9a =（ ） A ．9 B ．172C ．10D ．192【答案】B 【分析】根据122n n n a a a ++=+判断出{}n a 是等差数列，然后将条件化为基本量，进而解出答案. 【解析】由122n n n a a a ++=+可知，{}n a 是等差数列，设公差为d ，所以53221a a d d -==⇒=， 由()1421114642241S S a a a ⇒+=⨯+⇒==，所以9117822a =+=. 故选：B.7．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3724a a +=，840S =，则29a a +等于（ ） A ．44- B ．14C ．24D ．38【答案】D 【分析】根据条件，列出方程组，求出首项和公差即可求解. 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由3724a a +=，840S =得112824,82840,a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得144,14,a d =-⎧⎨=⎩则2912938a a a d +=+= 故选：D8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，43a =，1224S =，若i 0j a a +=（i ，j N *∈，且1i j ≤<），则i 的取值集合是（ ）A ．{}1,2,3B ．{}1,2,3,4,5C ．{}6,7,8D ．{}6,7,8,9,10【答案】B 【分析】设公差为d ，结合等差数列的通项公式和求和公式即可求出首项和公差，即可写出数列中的项，从而可选出正确答案. 【解析】设公差为d ，由4133a a d =+=-及121121112242S a d ⨯=+=，解得19a =-，2d =， 所以数列为9-，7-，5-，3-，1-，1，3，5，7，9，11，…，故i 取值的集合为{}1,2,3,4,5. 故选:B .二、多选题9．将2n 个数排成n 行n 列的一个数阵，如下图： 1112131n a a a a ⋯⋯ 2122232n a a a a ⋯⋯ 3132333n a a a a ⋯⋯ ……123n n n nn a a a a ⋯⋯ 该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列(其中0m >).已知1113612,1a a a ==+，记这2n 个数的和为S .下列结论正确的有（ ） A ．3m =B ．767173a =⨯C ．1()313j ij a i -=⨯-D ． (13)131(4)n S n n =-＋ 【答案】ACD 【分析】根据题意，利用等差数列和等比数列的通项公式以及求和公式，对各选项进行判断，即可得到结果. 【解析】由11136121a a a ==+，，可得22131161112525a a m m a a m m ===+=+，，所以22251m m =++，解得3m =或12m =- (舍去)，所以选项A 是正确的； 又由6666761(253)3173a a m ==+⨯⨯=⨯，所以选项B 不正确；又由1111111[()][2]11333()(3)1j j j j ij i a a m a i m m i i ----==+-⋅⋅=+-⨯⨯=-⨯，所以选项C 是正确的；又由这2n 个数的和为S ，则111212122212()()()n n n n nn S a a a a a a a a a =++⋯++++⋯++⋯+++⋯+()()()11211131313...131313n n n n a a a ---=+++--- ()()()()23111 313131224n n n n n n +-=-⨯=+-，所以选项D 是正确的； 故选：ACD.10．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 3＝0，a 4＝8，则（ ）A ．S n ＝2n 2－6nB ．S n ＝n 2－3nC ．a n ＝4n －8D ．a n ＝2n【答案】AC【分析】根据已知条件求得1,a d ，由此求得,n n a S ，从而确定正确选项，【解析】 依题意3408S a =⎧⎨=⎩， 1113304,438a d a d a d +=⎧⇒=-=⎨+=⎩， 所以2148,262n n n a a a n S n n n +=-=⋅=-. 故选：AC11．已知等差数列{a n }中，a 1＝3，公差为d (d ∈N *)，若2021是该数列的一项，则公差d 不可能是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】BCD【分析】由已知得2021＝3＋(n －1)d ，即有n ＝2018d ＋1，因为d ∈N *，所以d 是2 018的约数，故d 不可能是3，4和5.由此可得选项.【解析】解：由2021是该数列的一项，即2021＝3＋(n －1)d ，所以n ＝2018d＋1，因为d ∈N *，所以d 是2 018的约数，故d 不可能是3，4和5.故选：BCD.第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题12．设n S 为正项数列{n a }的前n 14n a +，则通项公式n a =___________ 【答案】21()4n n N +-∈ 【分析】当1n =时，求得114a =；当2n ≥时，可得21()4n n S a =+，则2111()4n n S a --=+， 两式相减得到112n n a a --=，结合等差数列的定义，即可求解其通项公式. 【解析】由n S 为正项数列{n a }的前n 14n a =+，当1n =114a =+，可得2111()4a a =+，解得114a =， 当2n ≥时，可得21()4n n S a =+，则2111()4n n S a --=+， 两式相减，可得1-11()()02n n n n a a a a -+--=， 因为0n a >，所以112n n a a --=， 所以数列{n a }是以12为公差，以14为首项的等差数列， 所以1121(1)424n n a n -=+-=. 故答案为：21()4n n N +-∈. 13．在等差数列{a n }中，a 3＝0．如果a k 是a 6与a k ＋6的等比中项，那么k ＝________．【答案】9【分析】根据等比数列的性质以及等差数列的通项公式求解即可.【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得a 3＝a 1＋2d ＝0，∈a 1＝－2d ．又∈a k 是a 6与a k ＋6的等比中项，266k k a a a +∴=，即[a 1＋(k －1)d ]2＝(a 1＋5d )·[a 1＋(k ＋5)d ]，[(k －3)d ]2＝3d ·(k ＋3)d ，解得k ＝9或k ＝0(舍去)． 故答案为：914．在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝2，a 3＋a 7＝8，则a 11＋a 15＝________.【答案】32【分析】由a 1＋a 5＝2，a 3＋a 7＝8，两式相减求得公差即可.【解析】因为a 1＋a 5＝2，a 3＋a 7＝8，所以(a 3＋a 7)－(a 1＋a 5)＝4d ＝6，解得d ＝32， 所以a 11＋a 15＝(a 1＋a 5)＋20d ＝2＋20×32＝32. 故答案为：32四、解答题15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且28S =，9411S a =. （1）求n a ；（2）若3n n S a =+2 ，求n .【答案】（1）21n a n =+（2）4n =【分析】（1）设公差为d ，根据28S =，9411S a =，列出方程组，求得首项跟公差，即可得出答案； （2）利用等差数列前n 项和的公式求得n S ，再根据3n n S a =+2 ，即可的解. （1）解：设公差为d ，由已知294811S S a =⎧⎨=⎩， 得：()11128936113a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩，解得：132a d =⎧⎨=⎩， 所以21n a n =+；（2）解：()232122n n n S n n ++==+， 因为3n n S a =+2 ，即()223212n n n +=++，得2450n n --=，解得4n =，或1n =-（舍去）， 所以4n =.16．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1646,2a a a +==. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求n S 的最大值及相应的n 的值.【答案】（1）102n a n =-（2）当4n =或5n =时，n S 有最大值是20【分析】（1）用等差数列的通项公式即可. （2）用等差数列的求和公式即可. （1）在等差数列{}n a 中，∈1646,2a a a +==, ∈1125632a d a d +=⎧⎨+=⎩， 解得182a d =⎧⎨=-⎩， ∈1(1)102n a n d a n ==--+；（2）∈18,2a d ==-，1(1)2n n n S na d -=+ ∈1(1)(1)8(2)22n n n n n S na d n --=+=+-29n n =-+ ， ∈当4n =或5n =时，n S 有最大值是20。
高中数学教材中的问题与变式(9)直线与方程
高中数学教材中的经典问题与变式（9）直线与方程类型1：直线的倾斜角与斜率1.（北师大版必修2 第93 页A 组第1题）已知点)33,1(),3,1(-B A ，求直线AB 的斜率.变式1：已知点)33,1(),3,1(-B A ，则直线AB 的倾斜角是（ ） A.3π B.6π C.32π D.65π 解：∵311333-=---=AB k ，∴3tan -=α，∵πα≤≤0，∴323πππα=-=，故选（C ）. 变式2：若三点)0)(,0(),0,(),2,2(≠ab b C a B A 共线，则b a 11+的值等于 . 解：∵A 、B 、C 三点共线，∴AC AB k k =，∴202220--=--b a ，∴)(2b a ab +=，∴2111=+b a . 变式3：已知点)2,5(),1,1(B A -，直线l 的倾斜角是直线AB 的倾斜角的一半，求直线l 的斜率.解：设直线l 的倾斜角为α，则直线AB 的倾斜角为α2，依题意有4315)1(22tan =---=α，∴43t an 1t an 22=-αα，∴03t a n 8t a n 32=-+αα，∴31t a n =α或3tan -=α.由0018020≤≤α，得00900≤≤α，∴0tan ≥α，∴31tan =α，∴直线l 的斜率为31.类型2：已知截距求直线的方程2.（人教A 版必修2 第100页A 组第9题）求过点)3,2(P ，并且在两轴上的截距相等的直线方程. 变式1：直线0632=--y x 在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则（ ）A.2,3==b aB.2,3-==b aC.2,3=-=b aD.2,3-=-=b a解：令0=x 得2-=y ，∴直线在y 轴上的截距为2-=b ；令0=y 得3=x ，∴直线在x 轴上的截距为3=a ，故选（B ）.变式2：过点)3,2(P ，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是 .解：依题意，直线的斜率为1或直线经过原点，∴直线的方程为23-=-x y 或x y 23=，即01=+-y x 或023=-y x .变式3：直线l 经过点)3,2(P ，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，求直线l 的方程.解：依题意，直线l 的斜率为±1，∴直线l 的方程为23-=-x y 或)2(3--=-x y ，即01=+-y x 或05=-+y x .类型3：直线与坐标轴围成的面积3.（人教A 版必修2 第124页A 组第3题）求直线01052=--y x 与坐标轴围成的三角形的面积. 变式1：过点（-5，-4）且与两坐标轴围成的三角形面积为5的直线方程是 .解：设所求直线方程为)5(4+=+x k y ，依题意有5)45)(54(21=--k k， ∴01630252=+-k k （无解）或01650252=+-k k ，解得52=k 或58=k . ∴直线的方程是01052=--y x 或02058=+-y x .变式2：（2006年上海春季卷）已知直线l 过点)1,2(P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 面积的最小值为 .解：设直线AB 的方程为)0()2(1<-=-k x k y ， 则4])1()4(24[21)]1()4(4[2114421)21)(12(21=-⋅-+≥-+-+=--=--=∆kk k k k k k k S OAB ，当且仅当kk 14-=-即21-=k 时取等号，∴当21-=k 时，OAB S ∆有最小值4. 变式3：已知射线)0(4:>=x x y l 和点)4,6(M ，在射线l 上求一点N ，使直线MN 与l 及x 轴围成的三角形面积S 最小.解：设)1)(4,(000>x x x N ，则直线MN 的方程为0)4)(6()6)(44(00=-----y x x x .令0=y 得1500-=x x x ，∴]211)1[(101]1)1[(101104)15(2100020020000+-+-=-+-=-=⋅-=x x x x x x x x x S 40]211)1(2[1000=+-⋅-≥x x ，当且仅当11100-=-x x 即20=x 时取等号，∴当N 为（2，8）时，三角形面积S 最小.类型4：求与已知直线平行的直线的方程4.（北师大版必修2 第117页第10题）求过点)4,1(-A ，且与直线0532=++y x 平行的直线的方程. 变式1：（2005年全国卷）已知过点),2(m A -和)4,(m B 的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为（ ）A.0B.-8C.2D.10解：依题意有224-=+-m m ，解得8-=m ，故选（B ）.变式2：与直线0532=++y x 平行，且距离等于13的直线方程是 .解：设所求直线方程为032=++m y x ，则1332522=+-m ，解得18=m 或8-=m ，∴直线方程为01832=++y x 或0832=-+y x .变式3：已知三条直线0,0134,0532=-=+-=++y mx y x y x 不能构成三角形，求实数m 的取值集合.解：依题意，当三条直线中有两条平行或重合，或三条直线交于一点时，三条直线不能构成三角形，故23m =-或34=m 或1=m ，∴实数m 的取值集合是24,,133⎧⎫-⎨⎬⎩⎭.类型5：直线平行与垂直的判定5.（北师大版必修2 第117页A 组第7题）若直线062=++y ax 和直线0)1()1(2=-+++a y a a x 垂直，求a 的值.变式1：（1987年上海卷）若直线062:1=++y ax l 与直线0)1()1(:22=-+-+a y a x l 平行但不重合，则a 等于（ ）A.-1或2 B.-1 C.2 D.32 解：∵21//l l ，∴21k k =且21b b ≠，∴112--=-a a 且1132---≠-a a ，解得1-=a ，故选（B ）. 变式2：（2005年北京春季卷）“21=m ”是“直线013)2(=+++my x m 与直线03)2()2(=-++-y m x m 相互垂直”的（ ）A.充分必要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件解：由20)2(3)2)(2(0212121-=⇔=++-+⇔=+⇔⊥m m m m m B B A A l l 或21=m ，知由21=m 可推出21l l ⊥，但由21l l ⊥推不出21=m ，故21=m 是21l l ⊥的充分不必要条件，故选（B ）. 变式3：设直线062=++y ax 与圆04222=+-+y x y x 相交于点P 、Q 两点，O 为坐标原点，且OQ OP ⊥，求m 的值.解：∵圆04222=+-+y x y x 经过原点O ，且OQ OP ⊥，∴PQ 是圆的直径，∴圆心（1，-2）在直线062=++y ax 上，∴2-=m .类型6：求线段的中垂线的方程6.（人教A 版必修2 第110页A 组第3题）已知)4,7(-A ，)6,5(-B ，求线段AB 的垂直平分线的方程. 变式1：已知)4,7(-A 关于直线l 的对称点为)6,5(-B ，则直线l 的方程是（ ）A.01165=-+y xB.0156=--y xC.01156=-+y xD.0165=+-y x解：依题意得，直线l 是线段AB 的垂直平分线.∵65-=AB k ，∴561=-=AB l k k ，∵AB 的中点为（1，1），∴直线l 的方程是)1(561-=-x y 即0156=--y x ，故选（B ）. 变式2：已知圆16)4()7(22=++-y x 与圆16)6()5(22=-++y x 关于直线l 对称 ，则直线l 的方程是 .解：依题意得，两圆的圆心)4,7(-A 与)6,5(-B 关于直线l 对称，故直线l 是线段AB 的垂直平分线，由变式1可得直线l 的方程为0156=--y x .变式3：求点)4,7(-A 关于直线0156:=--y x l 的对称点B 的坐标.解：设),(y x B .由l AB ⊥，且AB 的中点在直线l 上，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--⋅-+⋅-=⋅-+0124527615674y x x y ，解得⎩⎨⎧=-=65y x ，∴)6,5(-B .类型7：求反射光线7.（北师大版必修2 第118页B 组第2题）光线自点)3,2(M 射到点)0,1(N 后被x 轴反射，求反射光线所在直线的方程.变式1：一条光线从点)3,2(P 射出，经x 轴反射，与圆1)2()3(22=-++y x 相切，则反射光线所在直线的方程是 .解：依题意得，点P 关于x 轴的对称点)3,2('-P 在反射光线所在的直线上，故可设反射光线所在直线的方程为)2(3-=+x k y ，即032=---k y kx .由反射光线与圆相切得11552=++k k ，解得34-=k 或43-=k ，∴反射光线所在直线的方程是)2(343--=+x y 或)2(433--=+x y ，即0134=++y x 或0643=++y x .变式2：（2003年全国卷）已知长方形的四个顶点)0,0(A 、)0,2(B 、)1,2(C 和)1,0(D ，一质点从AB 的中点0P 沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角）.设4P 的坐标为)0,(4x .若204<<x ，则θtan 的取值范围是（ ） A.)1,31( B.)32,31( C.)21,52( D.)32,52(解：用特例法，取14=x ，则1P 、2P 、3P 、4P分别为BC 、CD 、DA 、AB 的中点，此时21tan =θ.依题意，包含21tan =θ的选项（A ）（B ）（D ）应排除，故选（C ）. 变式3：已知点)15,2(),5,3(B A -，在直线0443:=+-y x l 上求一点P ，使PB PA +最小.解：由题意知，点A 、B 在直线l 的同一侧.由平面几何性质可知，先作出点A 关于直线l 的对称点'A ，然后连结B A '，则直线B A '与l 的交点P 为所求.事实上，设点'P 是l 上异于P 的点，则PB PA B A B P A P B P A P +=>+=+''''''.设),('y x A ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++⋅--⋅-=⋅+-0425423314335y x x y ，解得⎩⎨⎧-==33y x ，∴)3,3('-A ，∴直线B A '的方程为05118=-+y x .由⎩⎨⎧=-+=+-051180443y x y x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==338y x ，∴)3,38(P .。
高中数学变式练习
变式练习 一、选择题1．函数f （x ）＝)1(log 21－x 的定义域是（ ）A ．（1，＋∞）B ．（2，＋∞）C ．（－∞，2）D ．]21(，解析：要保证真数大于0，还要保证偶次根式下的式子大于等于0，所以⎪⎩⎪⎨⎧≥0)1(log 0121－＞－x x 解得1＜x ≤2． 答案：D2．函数y ＝21log （x 2－3x ＋2）的单调递减区间是（ ）A ．（－∞，1）B ．（2，＋∞）C ．（－∞，23）D ．（23，＋∞） 解析：先求函数定义域为（－o ，1）∪（2，＋∞），令t （x ）＝x 2＋3x ＋2，函数t （x ）在（－∞，1）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数y ＝21log （x 2－3x ＋2）在（2，＋∞）上单调递减．答案：B3．若2lg （x －2y ）＝lg x ＋lg y ，则xy的值为（ ） A ．4B ．1或41C ．1或4D ．41错解：由2lg （x －2y ）＝lg x ＋lg y ，得（x －2y ）2＝xy ，解得x ＝4y 或x ＝y ，则有xy ＝41或y x ＝1． 答案：选B正解：上述解法忽略了真数大于0这个条件，即x －2y ＞0，所以x ＞2y ．所以x ＝y 舍掉．只有x ＝4y ． 答案：D4．若定义在区间（－1，0）内的函数f （x ）＝a 2log （x ＋1）满足f （x ）＞0，则a 的取值范围为（ ） A ．（0，21） B ．（0，21）C ．（21，＋∞）D ．（0，＋∞）解析：因为x ∈（－1，0），所以x ＋1∈（0，1）．当f （x ）＞0时，根据图象只有0＜2a ＜l ，解得0＜a ＜21（根据本节思维过程中第四条提到的性质）． 答案：A 5．函数y ＝lg （x－12－1）的图象关于（ ） A ．y 轴对称 B ．x 轴对称C ．原点对称D ．直线y ＝x 对称解析：y ＝lg （x －12－1）＝x x －＋11lg ，所以为奇函数．形如y ＝x x －＋11lg 或y ＝xx －＋11lg 的函数都为奇函数． 答案：C 二、填空题已知y ＝a log （2－ax ）在［0，1］上是x 的减函数，则a 的取值范围是__________． 解析：a ＞0且a ≠1⇒μ（x ）＝2－ax 是减函数，要使y ＝a log （2－ax ）是减函数，则a ＞1，又2－ax ＞0⇒a ＜32（0＜x ＜1）⇒a ＜2，所以a ∈（1，2）． 答案：a ∈（1，2）7．函数f （x ）的图象与g （x ）＝（31）x的图象关于直线y ＝x 对称，则f （2x －x 2）的单调递减区间为______．解析：因为f （x ）与g （x ）互为反函数，所以f （x ）＝31log x则f （2x －x 2）＝31log （2x －x 2），令μ（x ）＝2x －x 2＞0，解得0＜x ＜2．μ（x ）＝2x －x 2在（0，1）上单调递增，则f ［μ（x ）］在（0，1）上单调递减；μ（x ）＝2x －x 2在（1，2）上单调递减，则f ［μ（x ）］在［1，2）上单调递增． 所以f （2x －x 2）的单调递减区间为（0，1）．答案：（0，1）8．已知定义域为R 的偶函数f （x ）在［0，＋∞］上是增函数，且f （21）＝0， 则不等式f （l og 4x ）的解集是______．解析：因为f （x ）是偶函数，所以f （－21）＝f （21）＝0．又f （x ）在［0，＋∞］上是增函数，所以f （x ）在（－∞，0）上是减函数．所以f （l og 4x ）＞0⇒l og 4x ＞21或l og 4x＜－21．解得x ＞2或0＜x ＜21．答案：x ＞2或0＜x ＜21三、解答题9．求函数y ＝31log （x 2－5x ＋4）的定义域、值域和单调区间．解：由μ（x ）＝x 2－5x ＋4＞0，解得x ＞4或x ＜1，所以x ∈（－∞，1）∪（4，＋∞），当x ∈（－∞，1）∪（4，＋∞），｛μ｜μ＝x 2－5x ＋4｝＝R ＋，所以函数的值域是R＋．因为函数y ＝31log （x 2－5x ＋4）是由y ＝31log μ（x ）与μ（x ）＝x 2－5x ＋4复合而成，函数y ＝31log μ（x ）在其定义域上是单调递减的，函数μ（x ）＝x 2－5x ＋4在（－∞，25）上为减函数，在［25，＋∞］上为增函数．考虑到函数的定义域及复合函数单调性，y ＝31log （x 2－5x ＋4）的增区间是定义域内使y ＝31log μ（x ）为减函数、μ（x ）＝x 2－5x ＋4也为减函数的区间，即（－∞，1）；y ＝31log （x 2－5x ＋4）的减区间是定义域内使y ＝31log μ（x ）为减函数、μ（x ）＝x 2－5x ＋4为增函数的区间，即（4，＋∞）． 10．设函数f （x ）＝532＋x ＋xx2323lg ＋－， （1）求函数f （x ）的定义域；（2）判断函数f （x ）的单调性，并给出证明；（3）已知函数f （x ）的反函数f －1（x ），问函数y ＝f －1（x ）的图象与x 轴有交点吗?若有，求出交点坐标；若无交点，说明理由．解：（1）由3x ＋5≠0且x x 2323＋－＞0，解得x ≠－35且－23＜x ＜23．取交集得－23＜x ＜23． （2）令 （x ）＝3x ＋5，随着x 增大，函数值减小，所以在定义域内是减函数；x x 2323＋－＝－1＋x236＋随着x 增大，函数值减小，所以在定义域内是减函数． 又y ＝lg x 在定义域内是增函数，根据复合单调性可知，y ＝xx2323lg ＋－是减函数，所以f（x ）＝532＋x ＋xx2323lg ＋－是减函数．（3）因为直接求f （x ）的反函数非常复杂且不易求出，于是利用函数与其反函数之间定义域与值域的关系求解．设函数f （x ）的反函数f －1（x ）与工轴的交点为（x 0，0）．根据函数与反函数之间定义域与值域的关系可知，f （x ）与y 轴的交点是（0，x 0），将（0，x 0）代入f （x ），解得x 0＝52．所以函数y ＝f －1（x ）的图象与x 轴有交点，交点为（52，0）。
高中数学选择性必修二 5 3 1 2函数单调性的应用(知识梳理+例题+变式+练习)(含答案)
5.3.1.2函数单调性的应用【基础自测】1．函数y ＝x －ln x 的单调递减区间为( ) A ．(－1,1] B ．(0，＋∞) C ．[1，＋∞) D ．(0,1] 【答案】D【解析】函数的定义域为(0，＋∞)，令y ′＝1－1x ＝x －1x ≤0，解得x ∈(0,1]，又x >0，所以x ∈(0,1]．2．函数f (x )＝x 3＋ax －2在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．[3，＋∞) B ．[－3，＋∞) C ．(－3，＋∞) D ．(－∞，－3) 【答案】B【解析】f ′(x )＝3x 2＋a ，由题意知3x 2＋a ≥0在x ∈(1，＋∞)上恒成立，所以a ≥－3x 2在x ∈(1，＋∞)上恒成立．所以a ≥－3.3．已知函数f (x )＝x ＋ln x ，则有( ) A ．f (e)<f (3)<f (2) B ．f (3)<f (e)<f (2) C ．f (e)<f (2)<f (3) D ．f (2)<f (e)<f (3) 【答案】D【解析】f ′(x )＝12x ＋1x所以当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0 所以函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数 又2<e<3所以f (2)<f (e)<f (3)，故选D.4．函数f (x )＝ax 3－x 2＋x －5在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是________． 【答案】a ≥13【解析】f ′(x )＝3ax 2－2x ＋1.由题意知3ax 2－2x ＋1≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，(－2)2－4×3a ×1≤0，解得a ≥13.题型一 利用导数求函数的单调区间 【例1】求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝x 3－3x ＋8.(2)f (x )＝x ＋bx(b ≠0)．【解析】(1)函数f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )>0，则3x 2－3>0. 即3(x ＋1)(x －1)>0，解得x >1或x <－1.所以函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)， 令f ′(x )<0，则3(x ＋1)(x －1)<0，解得－1<x <1. 所以函数f (x )的单调递减区间为(－1,1)． (2)函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋b x ′＝1－b x2， ①若b >0时，令f ′(x )>0，则x 2>b ，所以x >b 或x <－b . 所以函数的单调递增区间为(－∞，－b )和(b ，＋∞)． 令f ′(x )<0，则x 2<b ，所以－b <x <b ，且x ≠0. 所以函数的单调递减区间为(－b ，0)和(0，b )．②若b <0时，f ′(x )>0恒成立，所以函数的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)． 【方法归纳】(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．(2)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间中间不能用“∪”连结，而只能用“逗号”或“和”字隔开．【跟踪训练1】求下列函数的单调区间： (1)y ＝ln(2x ＋3)＋x 2；(2)y ＝12x 2＋a ln x (a ∈R ，a ≠0)．【解析】(1)函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2的定义域为⎝⎛⎭⎫－32，＋∞. y ′＝22x ＋3＋2x ＝4x 2＋6x ＋22x ＋3＝2(2x ＋1)(x ＋1)2x ＋3.令y ′>0，解得－32<x <－1或x >－12.所以函数的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－32，－1，⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. 令y ′<0，解得－1<x <－12，所以函数的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－1，－12. (2)由于f (x )＝12x 2＋a ln x ，所以f ′(x )＝x ＋ax.①当a >0时，函数的定义域是(0，＋∞)，于是有f ′(x )＝x ＋ax>0，所以函数只有单调递增区间(0，＋∞)．②当a <0时，函数的定义域是(0，＋∞)，由f ′(x )＝x ＋ax >0，得x >－a ；由f ′(x )＝x ＋ax<0，得0<x <－a .所以当a <0时，函数的单调递增区间是(－a ，＋∞)，单调递减区间是(0，－a )．综上所述：当a >0时，f (x )只有单调递增区间(0，＋∞)；当a <0时，f (x )的单调递增区间是(－a ，＋∞)，单调递减区间是(0，－a )． 题型二 利用导数求参数的取值范围【例2】若函数h (x )＝ln x －12ax 2－2x (a ≠0)在[1,4]上单调递减，则a 的取值范围为________．【答案】⎣⎡⎭⎫－716，0∪(0，＋∞)． 【解析】因为h (x )在[1,4]上单调递减，所以当x ∈[1,4]时， h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，即a ≥1x 2－2x 恒成立．令G (x )＝1x 2－2x ，则由题意可知，只需a ≥G (x )max ，而G (x )＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1，因为x ∈[1,4]，所以1x ∈⎣⎡⎦⎤14，1， 所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716，又因为a ≠0.所以a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－716，0∪(0，＋∞)． 【变式训练1】本例中的条件“h (x )在[1,4]上单调递减”改为“h (x )在[1,4]上单调递增”，实数a 的取值范围如何？【解析】因为h (x )在[1,4]上单调递增，所以当x ∈[1,4]时，h ′(x )≥0恒成立，即a ≤1x 2－2x 恒成立，又因为当x ∈[1,4]时，⎝⎛⎭⎫1x 2－2x min ＝－1(此时x ＝1)，所以a ≤－1，即a 的取值范围是(－∞，－1]．【变式训练2】本例中的条件“h (x )在[1,4]上单调递减”改为“h (x )在[1,4]上存在单调递减区间”，实数a 的取值范围又如何？【解析】因为h (x )在[1,4]上存在单调递减区间，所以h ′(x )<0在[1,4]上有解，所以当x ∈[1,4]时，a >1x 2－2x有解，而当x ∈[1,4]时，⎝⎛⎭⎫1x 2－2x min ＝－1(此时x ＝1)，所以a >－1，又因为a ≠0，所以a 的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．【变式训练3】本例中的条件“h (x )在[1,4]上单调递减”改为“h (x )在[1,4]上不单调，”则实数a 的取值范围又如何呢？【解析】因为h (x )在[1,4]上不单调，所以h ′(x )＝0在(1,4)上有解，即a ＝1x 2－2x ＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1在(1,4)上有解， 令m (x )＝1x 2－2x ，x ∈(1,4)，则－1<m (x )<－716.所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－1，－716. 【方法归纳】根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集．(2)f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上，f ′(x )不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题．【跟踪训练2】(1)若f (x )＝2x 3－3x 2－12x ＋3在区间[m ，m ＋4]上是单调函数，则实数m 的取值范围是________． 【答案】(1)m ∈(－∞－5]∪[2，＋∞)【解析】(1)f ′(x )＝6x 2－6x －12＝6(x ＋1)(x －2) 令f ′(x )>0，得x >2或x <－1 令f ′(x )<0，得－1<x <2.∴f (x )在(－∞，－1]和[2，＋∞)上单调递增，在[－1,2]上单调递减． 若f (x )在[m ，m ＋4]上单调 ∴m ＋4≤－1或m ≥2即m ∈(－∞－5]∪[2，＋∞)．(2)已知函数f (x )＝2ax －x 3，x ∈(0,1]，a >0，若f (x )在(0,1]上是增函数，则a 的取值范围为________． 【解析】(2)由题意知f ′(x )＝2a －3x 2，且方程f ′(x )＝0的根为有限个，则f (x )在(0,1]上为增函数等价于f ′(x )＝2a －3x 2≥0对x ∈(0,1]恒成立．即a ≥32x 2对x ∈(0,1]恒成立，只需a ≥⎝⎛⎭⎫32x 2max 即可．由x ∈(0,1]得32x 2∈⎝⎛⎦⎤0，32，从而a ≥32.所以a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 题型三 利用导数解决不等式问题 探究1 比较大小【例3】(1)若函数f (x )＝cos x ＋2xf ′⎝⎛⎭⎫π6，则f ⎝⎛⎭⎫－π3与f ⎝⎛⎭⎫π6的大小关系是( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π6 B ．f ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫π6 C ．f ⎝⎛⎭⎫－π3<f ⎝⎛⎭⎫π6 D ．不确定 【答案】(1)C【解析】(1)f ′(x )＝－sin x ＋2f ′⎝⎛⎭⎫π6∴f ′⎝⎛⎭⎫π6＝－sin π6＋2f ′⎝⎛⎭⎫π6 ∴f ′⎝⎛⎭⎫π6＝sin π6＝12∴f ′(x )＝－sin x ＋1≥0∴f (x )＝cos x ＋x 是R 上的增函数又－π3<π6∴f ⎝⎛⎭⎫－π3<f ⎝⎛⎭⎫π6，故选C. (2)已知定义域为R 的偶函数f (x )的导函数为f ′(x )，当x <0时，xf ′(x )－f (x )<0.若a ＝f (e )e ，b ＝f (ln 2)ln 2，c ＝f (3)3，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．b <a <c B ．a <c <b C ．a <b <c D ．c <a <b【答案】(2)D【解析】(2)设g (x )＝f (x )x ，则g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2，又当x <0时，xf ′(x )－f (x )<0，所以g ′(x )<0. 即函数g (x )在区间(－∞，0)内单调递减． 因为f (x )为R 上的偶函数，且2<e<3， 可得g (3)<g (e)<g (ln 2)，即c <a <b ，故选D. 探究2 解不等式【例4】(1)已知函数f (x )＝x －sin x ，则不等式f (1－x 2)＋f (3x ＋3)>0的解集为( )A ．(－∞，－4)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C ．(－1,4)D ．(－4,1)【答案】(1)C【解析】(1)由题意可知，函数f (x )的定义域是R .因为f ′(x )＝1－cos x ≥0，所以函数f (x )是定义域上的单调递增函数．因为f (－x )＝－x －sin(－x )＝－(x －sin x )＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数． 因为不等式f (1－x 2)＋f (3x ＋3)>0可转化为f (1－x 2)>－f (3x ＋3)＝f [－(3x ＋3)]， 所以1－x 2>－(3x ＋3)，即x 2－3x －4<0，解得－1<x <4， 即不等式的解集为(－1,4)，故选C.(2)设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集为________．【答案】(2)(－∞，－3)∪(0,3) 【解析】(2)令F (x )＝f (x )g (x )∵f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数 ∴F (x )＝f (x )g (x )是定义在R 上的奇函数 又∵当x <0时F ′(x )＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0成立 ∴F (x )在区间(－∞，0)上是增函数， 可得它在区间(0，＋∞)上也是增函数． ∵g (－3)＝0，可得F (－3)＝0,∴F (3)＝0.当x >0时，F (x )＝f (x )g (x )<0，即F (x )<F (3)，∴0<x <3 当x <0时，F (x )＝f (x )g (x )<0故不等式f (x )g (x )<0的解集是(－∞，－3)∪(0,3)． 【方法归纳】(1)含有“f ′(x )”的不等关系，其隐含条件是挖掘某函数的单调性，通过对不等关系变形，发现函数． (2)常见的构造函数思路①已知f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )型；联想构造函数F (x )＝f (x )g (x )． ②已知“f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )”型：联想构造函数F (x )＝f (x )g (x ).③已知“f (x )＋f ′(x )”型：联想构造函数F (x )＝e x f (x )． ④已知“f ′(x )ln x ＋f (x )x”型：联想构造函数F (x )＝f (x )ln x ．【跟踪训练3】(1)若定义在R 上的函数y ＝f (x )满足f ′(x )>f (x )，则当a >0时，f (a )与e a f (0)的大小关系为( ) A ．f (a )<e a f (0) B ．f (a )>e a f (0) C ．f (a )＝e a f (0) D ．不能确定 【答案】(1)B【解析】(1)令F (x )＝f (x )e x ，则F ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x∵f ′(x )>f (x )，∴F ′(x )>0，∴F (x )在R 上单调递增．∴当a >0时，则有F (a )>F (0)，即f (a )e a >f (0)e即f (a )>e a f (0)，故选B.(2)设定义域为R 的函数f (x )满足f ′(x )>f (x )，则不等式e x －1f (x )<f (2x －1)的解集为________． 【答案】(2)(1，＋∞)【解析】(2)设F (x )＝f (x )e x ，则F ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x∵f ′(x )>f (x )，∴F ′(x )>0，∴函数F (x )在R 上单调递增．∵e x －1f (x )<f (2x －1)，∴f (x )e x <f (2x －1)e2x －1即F (x )<F (2x －1) ∴x <2x －1，即x >1故不等式e x －1f (x )<f (2x －1)的解集为(1，＋∞)．【易错辨析】对函数单调递增(减)的充要条件理解不透致错【例5】已知函数f (x )＝2ax 3＋4x 2＋3x －1在R 上是增函数，则实数a 的取值范围为________【答案】[89，＋∞)【解析】f ′(x )＝6ax 2＋8x ＋3.∵f (x )在R 上是增函数，∴f ′(x )≥0在R 上恒成立， 即6ax 2＋8x ＋3≥0在R 上恒成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧64－72a ≤0，a >0，解得a ≥89.经检验，当a ＝89时，只有个别点使f ′(x )＝0，符合题意．∴当a ≥89时，f (x )在R 上单调递增．一、单选题1．已知函数()()331132ln 1222x t x a f t x x ⎛⎫=-+-+- ⎪⎝⎭，若对任意的正实数t ，()f x 在R 上都是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．4,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．16,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】D 【分析】由()0f x '≥在R 上恒成立，整理成二次项系数为正的二次三项式，则其0∆≤对0t >恒成立，分离参数后，求出关于t 的函数的最小值，即得a 的范围． 【解析】由题意223313()(2)(ln 1)2222f x x t x t a '=-+-+-0≥在x ∈R 上恒成立，其中R t ∈，整理得2225(4ln 1)4(ln 1)04x t t x t t a -+-++--≥对R x ∈恒成立，所以222(4ln 1)5[4(ln 1)]0t t t t a ∆=+--+--≤对0t >恒成立， 222544(ln 1)8(ln 1)4(ln 1)a t t t t t t ≤+---=-+，令()ln 1g t t t =-+，11()1t g t t t-'=-=，01t <<时，()0g t '<，()g t 递减，1t >时，()0g t '>，()g t 递增， 所以min ()(1)2g t g ==，所以24(ln 1)t t -+的最小值是16，516,a ≤ 所以165a ≤． 故选：D ．2．已知数列{}{}{}{}n n n n a b c d 满足：11,!,,nnn n n n a n b n c n d n====.则对于任意正整数n >100，有（ ） A ．22n n n n a a b b -<- B ．22n n n n b b c c -<- C ．22n n n n c c d d -<- D ．22n n n n a a d d -<-【答案】C 【分析】根据题意，可知2220,0,0n n n n n n a a b b d d >---><，即可排除B 、D,对于A 选项，对2n n b b -进行放缩，即可判断正误，对于C 选项，由22n n n n c c d d -<-得，11221(2)()122nn n n n ⎡⎤<-⎢⎥⎣⎦，转化为121()122n n n >+，再证12112ne n>+，即可判断正确.【解析】解：易知2220,0,0n n n n n n a a b b d d >---><， 下证ln xx的单调性: （令ln ()xf x x=，则()21ln 'x f x x -=，当100n >时，'()0f x <，ln n n 单调递减） 当100n >时，ln xx单调递减，则ln x x e 单调递减，则1x x 也单调递减，故20n n c c -<， 于是B 、D 不成立.对于A,()[]222!(12)(1)2)(2)n n n n n n n b n n b n b n ==⨯⨯⨯+-⨯⨯<⨯<()22221242n n n n nn nn n n n n n n a a ⎛⎫=⋅<-=-= ⎪-⎝⎭，故A 错. 对于C ，要证：1111222221(2)(2)()122n n n n n nn n n d d c c n n n n⎡⎤-=<-=-=-⎢⎥⎣⎦， 由12(2)1nn >，只需证 121()122n n n>+.由1002n e >>知，只需证11221()122n n n e n>>+得证.下证12112nen>+，令 ()1,'()1,x x g x e x g x e =--=- 当0x <时，)'(0g x <，()g x 单调递减，当 0x >时，'()0g x >，()g x 单调递增，所以()(0)0g x g ≥=，即1xe x ≥+恒成立，当1x =取等号.又112n ≠，故12112n e n>+. 故选：C.3．已知()cos 2sin f x x x =+，则下列函数中在R 上单调增的是( ) A ．()y f x x =+ B ．2()y f x x =+C ．3()y f x x =+D ．4()y f x x =+【答案】C 【分析】对于选项ABD ：对函数求导，求出sin 2cos x x -+的范围，判断导函数是否有变号零点即可求解；对于选项C ：对函数求导，通过分类讨论自变量的取值范围，来确定导函数的符号，进而即可出答案. 【解析】对于选项A ：因为()cos 2sin y f x x x x x =+=++，所以'sin 2cos 1)1[1]y x x x ϕ=-++=++∈，因为10<10，从而'sin 2cos 1y x x =-++在R 上有变号零点， 从而()y f x x =+在R 上不是单调递增的，故A 错误；对于选项B ：由题意可知，''2')sin 2(o 2)s (c y f x x x x x =-++=+，因为sin 2cos )[x x x ϕ-+=+∈，2(,)x ∈-∞+∞， 所以'sin 2cos 2x y x x =-++必有变号零点，从而2()y f x x =+在R 上不是单调递增的，故B 错误； 对于选项C ：由题意，''3'2()()sin 2cos 3y f x x x x x =+=-++，由sin 2cos )[x x x ϕ-+=+∈，故对自变量x 分类讨论：①当[0,]4x π∈时，cos sin 0x x ≥≥，故'2sin 2cos 30y x x x =-++>；②当(,]42x ππ∈时，2233()14x π>⨯>，即23sin 0x x ->，从而'2sin 2cos 30y x x x =-++>；③当(,)2x π∈+∞时，2233()2x π>⨯>'2sin 2cos 30y x x x =-++>；④当[,0)2x π∈-时，sin 0x ->，cos 0x ≥，230x >，所以'2sin 2cos 30y x x x =-++>，⑤当(,)2x π∈-∞-时，因为2233()2x π>⨯->'2sin 2cos 30y x x x =-++>，综上所述，对于x R ∀∈，'2sin 2cos 30y x x x =-++>， 从而3()y f x x =+在R 上单调增；故C 正确；对于选项D ：由题意，'4'3')(sin 2c )o 4(s y x x x f x x =-++=+，因为sin 2cos )[x x x ϕ-+=+∈，34(,)x ∈-∞+∞， 所以3sin 2cos 4y x x x =-++'在R 上有变号零点， 从而4()y f x x =+在R 上不是单调递增的，故D 错误. 故选：C.4．已知函数()41sin 122x x f x e e x π+-=-++实数a ，b 满足不等式()()312f a b f a ++-<，则下列不等式成立的是（ ） A ．43a b +>- B ．43a b +<- C ．21a b +>- D ．21a b +<-【答案】B 【分析】 设41()e e sin 22x x g x x π+-=-+,则()()1f x g x =+,研究()g x 的对称性和单调性即可.【解析】 设41()ee sin 22x x g x x π+-=-+，则()()1f x g x =+.(3)(1)2f a b f a ++-<即(3)(1)0g a b g a ++-<. 因为4411(4)e e sin 2e e sin ()2222x x x x g x x x g x πππ-+-+⎛⎫--=-+--=--=- ⎪⎝⎭.即函数()g x 关于(2,0)-对称.442111()e e cos 2e e cos 2e cos 0424242x x x g x x x x ππππππ+-+'=++⋅=+>所以()g x 是增函数, 因为(3)(1)0g a b g a ++-<. 所以(3)(1)(3)g a b g a g a +<--=--. 则33a b a +<--,得43a b +<-故选：B 【点睛】关键点点睛:根据条件判断函数的对称性和单调性是解决本题的关键. 5．已知数列{}n a 满足21e1n a n a -+=+（*n ∈N ，e 为自然对数的底数），且对任意的0M >都存在*n ∈N ，使得2n a M -<成立，则数列{}n a 的首项1a 须满足（ ） A ．11a ≤ B ．112a ≤≤ C ．12a ≤ D ．12a ≥【答案】C 【分析】先判断数列{}n a 的单调性，再根据选项作取舍. 【解析】设()1x f x e x =--，令()10xf x e '=-=，得到0x =.当(,0)x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.故()(0)0f x f ≥=，即1x e x ≥+（当且仅当时0x =取等号）. 故21e1211n a n n a a -+=+≥-++（当且仅当时2n a =取等号）.即1n n a a +≥.要使对任意的0M >都存在*n ∈N ，使得2n a M -<成立， 显然12a =时，2n a =，一定能满足题意； 当12a >时，2n a >，如图此时不满足题意； 当12a <时，2n a <，如图此时满足题意； 综上，12a ≤. 故选：C6．已知212()2,,[1,)f x x ax x x ∀∞=+-∈+，若12x x <，恒有()()()211212x f x x f x a x x -<-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,3]-∞ B ．(,4]-∞C ．70,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．[1,5]【答案】A 【分析】由已知得()()1212+<+f x a a f x x x ，令()22+-+=x a xx x ag ，可得()g x 是单调递增函数，根据双勾函数的性质可求实数a 的取值范围. 【解析】由()()()211212x f x x f x a x x -<-，得()()1212+<+f x a a f x x x ， 令()()222a g x x f x a x ax x a x xa ++--=++==+， 则12,[1,)x x ∀∈+∞，且12x x <， 恒有()()1212+<+f x a a f x x x ，所以()g x 是单调递增函数， 当2a ≤时，()g x 在[1,)+∞为增函数，故符合； 当2a >1，故23a <≤ 综上，3a ≤， 故选：A.7．关于函数()cos xf x ae x =-，(),x ππ∈-，下列说法错误的是（ ）A ．当1a =-时，函数()f x 在(),ππ-上单调递减B ．当1a =时，函数()f x 在(),ππ-上恰有两个零点C ．若函数()f x 在(),ππ-上恰有一个极值，则0a =D ．对任意0a >，()0f x ≥恒成立 【答案】D 【分析】分别在0x π-<≤和0πx <<得到()0f x '<，由此可知A 正确；在平面直角坐标系中作出x y e =与cos y x =图象，由图象可确定B 正确； 将问题转化为sin x x a e =-在(),ππ-上恰有一个解，令()sin xxg x e =-，利用导数可确定()g x 单调性并得到其图象，数形结合可确定0a =，C 正确； 令1a =，由B 中结论可确定D 错误. 【解析】对于A ，()cos x f x e x =--，则()sin xf x x e '=-，当0x π-<≤时，sin 0x ≤，0x e >，()0f x '∴<，()f x ∴单调递减； 当0πx <<时，sin 1x ≤，e 1x >，()0f x '∴<，()f x ∴单调递减； 综上所述：()f x 在(),ππ-上单调递减，A 正确；对于B ，()cos xf x e x =-，令()0f x =，得：cos x e x =；在平面直角坐标系中，作出x y e =与cos y x =的图象如下图所示，由图象可知：当x ππ-<<时，x y e =与cos y x =有且仅有两个不同交点，∴函数()f x 在(),ππ-上恰有两个零点，B 正确；对于C ，由()cos x f x ae x =-得：()sin xf x ae x '=+，若()f x 在(),ππ-上恰有一个极值，则()f x '在(),ππ-上恰有一个变号零点， 即sin xxa e =-在(),ππ-上恰有一个解， 令()()sin x xg x x eππ=--<<，则()cos sin 4xxx x x g x e e π⎛⎫- ⎪-+⎝⎭'==； 当3,,44x ππππ⎛⎫⎛⎫∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0g x '>；当3,44x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x '<；()g x ∴在3,4ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在443,ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，又()0g π-=，()00g =，()0g π=，可得()g x 大致图象如下，若sin xxa e =-在(),ππ-上恰有一个解，则0a =， 此时函数()f x 在(),ππ-上恰有一个极值，C 正确； 对于D ，当1a =时，由B 选项可知，()0,0x π∃∈-，使得00cos x ex =，当()0,0x x ∈时，cos x ex <，即()cos 0xf x e x =-<，D 错误.故选：D.【点睛】思路点睛：本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数判断函数单调性、零点个数和极值的问题；根据极值点个数求解参数值的常用方法是通过分离变量的方式将问题转化为方程解的个数或两函数交点个数问题，通过数形结合的方式来解决. 8．已知函数2()1x a f x x -=+，设12,x x 为方程1()2f x x =的两个非零实数根，若函数()f x 在区间11[,]22-上是增函数，则12x x -的取值范围是（ ） A． B ．5[2,]2C．[1,D ．5[1,]2【答案】B 【分析】根据函数()f x 在区间11[,]22-上是增函数，则222(21)()0(1)x ax f x x ---=≥+'成立，即2()210g x x ax =--≤在11[,]22x ∈-上恒成立求得a 的范围，然后12,x x 为方程1()2f x x=的两个非零实数根求解.【解析】因为函数()f x 在区间11[,]22-上是增函数，所以()()()()()()'22'22222()1(1)2111x a x x a x x ax f x x x -+--+---==≥++'成立，即2()210g x x ax =--≤在11[,]22x ∈-上恒成立，∵g （0）=-1<0，结合二次函数y =g （x ）的图象， 只需11()102411()1024g a g a ⎧=--≤⎪⎪⎨⎪-=+-≤⎪⎩，解得：3344a -≤≤，方程22121012x a x ax x x-=⇔--=+有两个非零实根， 则2(2)40a ∆=-+>，且12122,1x x a x x +==-，125[2,]2x x ∴-====，故选：B二、多选题9．（多选）已知函数()ln xf x x=，则（ ） A ．()f x 在e x =处取得极大值 B ．()f x 有两个不同的零点 C ．()f x 的极小值点为e x = D．()2ff f <<【答案】AD 【分析】()f x 的定义域为()0,∞+，求()f x '判断单调性，求得极值可判断A ，C ；根据单调性以及()10f =可判断B 、D ，进而可得正确选项. 【解析】由题意可得函数的定义域为()0,∞+，由()ln x f x x=可得()221ln 1ln ⋅--'==x xx x f x x x ， 令()0f x '=，解得：e x =当0e x <<时，()0f x '>，则()f x 在()0,e 上单调递增； 当e x >时，()0f x '<，则()f x 在()e,+∞上单调递堿． 所以当e x =时，函数()f x 取得极大值为()1e ef =，无极小值，故选项A 正确，选项C 不正确； 因为()ln1101f ==，且()f x 在()0,e 上单调递增， 所以函数()f x 在()0,e 上有一个零点．当e x ≥时，ln 0x >，0x >，所以()0f x >，此时无零点． 综上所述：()f x 有一个零点，故B 不正确；e <<<，()f x 在()0,e上单调递增，所以()2f f f <<，故选项D 正确． 故选：AD ．10．函数()ln f x x x =，()()f x g x x'=，下列命题中正确的是（ ）A ．若直线y kx =与曲线()g x 相切，则12k e=B ．当211x x e>>时，有()()()()11222112x f x x f x x f x x f x +>+C ．函数()g x 有两个零点D ．若120x x >>时，总有()()()2212122m x x f x f x ->-恒成立，则1m ≥ 【答案】BD 【分析】对于A ，通过求曲线()g x 过原点的切线方程，可以直接求出k .对于B ，首先当211x x e>>时，将不等式()()()()11222112x f x x f x x f x x f x +>+变形为()()12f x f x <.再通过求导，判断()f x 在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调性即可证得.对于C ，令()0g x =，方程的解的个数即为函数()g x 零点个数. 对于D ，将问题转化为22111222ln ln 22m m x x x x x x ->-恒成立，再构造函数()2ln 2mh x x x x =-，用导数研究单调性. 【解析】对于A ，由题意得()1ln xg x x+=，设过原点的直线与曲线()g x 的切点为()00,x y ，则0001ln x y x +=，又()2ln x g x x -'=所以切线斜率为020ln x k x -=，又因为切线过原点，所以切线斜率还可以表示为002001ln y x k x x +==，所以0022001ln ln x x x x +-=，解得01ln 2x =-，120x e -=，所以2e k =，故A 错误.对于B ，首先当211x x e>>时，将不等式()()()()11222112x f x x f x x f x x f x +>+变形为()()()()121122x x f x x x f x ->-，再由211x x e>>可得120x x -<，进一步化简不等式可得()()12f x f x <.所以将问题转化为，当211x x e >>时，()()12f x f x <.又()1ln f x x '=+，令()0f x '>解得1x e >，所以()f x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，所以211x x e>>时，()()12f x f x <成立，故B 正确.对于C ，由题意得()1ln xg x x+=，令()0g x =，则1ln 0x +=，解得1x e -=，只有一个解，所以函数()g x 只有1个零点，故C 错误.对于D ，若120x x >>时，总有()()()2212122m x x f x f x ->-恒成立，即22111222ln ln 22m m x x x x x x ->-恒成立，构造函数()2ln 2m h x x x x =-，()()12h x h x >，对任意的120x x >>恒成立，故()h x 在()0,∞+单调递增，则()ln 10h x mx x '=--≥，()0,x ∈+∞恒成立，也即ln 1x m x+≤在区间()0,∞+恒成立，即()max 1g x m =≤，故D 正确. 故选：BD.11．若实数a b <，则下列不等式成立的是（ ） A ．若1a >，则log 2a ab > B ．224555baa⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．若0a >，则2211b a a b>++ D ．若()5,,1,33m a b >∈，则()()3322103a b m a b a b ---+->【答案】ACD 【分析】根据对数函数的单调性得到A 正确，取0a =得到B 错误，构造()3g x x x =+得到函数单调递增得到C 正确，构造函数()3213f x x mx x =-+得到函数单调递减得到D 正确，得到答案.【解析】log log log 1log 2a a a a ab a b b =+=+>，A 正确；取0a =，则24551a a⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==，B 错误；要使2211b a a b >++，即33b b a a +>+，()3g x x x =+，则()2310g x x '=+>，函数单调递增，故()()g b g a >，即33b b a a +>+，故C 正确；设()3213f x x mx x =-+，则()221f x x mx =-+'，二次函数对称轴为x m =，()1220f m '=-<，()31060f m '=-<，故()2210f x x mx '=-+<在()1,3上恒成立.故函数()f x 单调递减，故()()f a f b >，即()()3322103a b m a b a b ---+->，D 正确. 故选：ACD.第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题12．已知实数()()1,0ln 1,0x e x f x x x x -⎧>⎪=⎨⎪-≤⎩，若关于x 的方程()()2340f x f x t -+=有四个不同的实数根，则t 的取值范围为___________. 【答案】[)0,1 【分析】画出()f x 的图象，根据图象特点，要想方程()()2340f x f x t -+=有四个不同的实数根，需要令()f x m =，这样2340m m t -+=有两个不同的实数根1m ，2m ，且11m >，201m ≤<，才会有四个交点. 【解析】当0x ≤时，()()ln 1f x x =-，单调递减，当0x >时，()1x e f x x -=，()()121x e x f x x --'=，当1x >时，0f x ，()1x e f x x-=单调递增，当01x <<时，0fx，()1x e f x x-=单调递减，在1x =时，()f x 取得最小值，()11f =画出()f x 的图象如图所示：令()f x m =，则方程为2340m m t -+=，要想方程()()2340f x f x t -+=有四个不同的实数根，结合()f x的图象可知需要满足：2340m m t -+=有两个不同的实数根1m ，2m ，且11m >，201m ≤<，令()234g m m m t =-+，则()()161201000t g g ∆=->⎧⎪<⎨⎪≥⎩ ，解得：01t ≤< t 的取值范围[)0,1故答案为：[)0,1 【点睛】函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．13．已知函数321,0()5691,0xx f x x x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-++>⎩，给出下列四个结论: ①函数()f x 在区间(1,1)-上单调递减； ②1和3是函数()f x 的极值点；③当[,3]x a ∈时，函数()f x 的值域是[1,5]，则11a -≤≤；④函数2()[()](1)()g x f x a f x a =-++的零点至少有2个，至多有6个． 其中，所有正确结论的序号是______． 【答案】②③④ 【分析】作出函数()f x 的大致图象，根据图象即可判断出①②③，对于④，[][][]2()()(1)()()1()g x f x a f x a f x f x a =-++=-⋅-的零点，等价于方程()1f x =和方程()f x a =的根的个数，对a 分类讨论，利用数形结合法即可判断出正误. 【解析】解：当0x >时，32()691f x x x x =-++，则2()31293(1)(3)f x x x x x =-+=--'，令()0,f x '=，得1x =或3，所以当(0,1)x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；当(1,3)x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，当(3,)x ∈+∞时，()0f x '>，单调递增，作出函数()f x 的大致图象，如下图所示：对于①，由图象得，()f x 在(1,1)-上先减后增，故①错误；对于②，由图象得，1x =是函数()f x 的极大值点，3x =是函数()f x 的极小值点，故②正确；对于③，当0x ≤时，令155x⎛⎫⎪⎭=⎝得1x =-，所以若当[],3x a ∈时，函数()f x 的值域为[]1,5，则11,a -≤≤故③正确；对于④，由[][][]2()()(1)()()1()g x f x a f x a f x f x a =-++=-⋅-，得函数g (x )的零点，等价于方程f (x ) = 1和方程f (x ) = a 的根的个数，即等价于y = 1和y = a ，与函数y = f (x )的图象的交点个数， 由图象得y = 1与函数f (x )的图象有2个交点，当a < 1时，y = a 与函数f (x )的图象没有交点，所以函数g (x )的零点有2个； 当a = 1时，y = a 与函数f (x )的图象有2个交点，所以函数g (x )的零点有2个； 当1<a < 5时，y = a 与函数f (x )的图象有4个交点，所以函数g (x )的零点有6个； 当a = 5时，y = a 与函数f (x )的图象有3个交点，所以函数g (x )的零点有5个； 当a > 5时，y = a 与函数f (x )的图象有2个交点，所以函数g (x )的零点有4个； 所以函数g (x )=[f (x )]2-(a + 1)f (x ) + a 的零点至少有2个，至多有6个，故④正确. 故答案为：②③④.14．已知()f x 是定义域为()0,∞+的单调函数，若对任意的()0,x ∈+∞，都有()13log 4f f x x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，且关于x 的方程()323694f x x x x a -=-+-+在区间(]0,3 上有两解，则实数a 的取值范围是___________【答案】(]0,5 【分析】令()13log f x x a +=，将x a =可得134log a a +=，解得3a =，即可得13()3log f x x-=-，设()32694g x x x x a =-+-+，利用导数判断单调性作出32694y x x x =-+-的图象以及13|log |y x =的图象，结合图象可得0(3)41a g a >⎧⎨=-≤⎩即可求解. 【解析】因为定义在()0,∞+的单调函数()f x 满足()13log 4f f x x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦， 所以必存在唯一的正实数a ，满足()13log f x x a +=，()4f a = ①， 令x a =，可得()13log f a a a += ②，由①②得：13log 4a a =-即413a a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为y a =单调递增，413a y -⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减，所以方程413a a -⎛⎫= ⎪⎝⎭有唯一解， 所以413a a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得：3a =．故13()3log f x x=-，由方程()323694f x x x x a -=-+-+在区间(]0,3上有两解， 即3213log 694x x x x a =-+-+在区间(]0,3上有两解，由()32694g x x x x a =-+-+，可得()()()23129313g x x x x x '=-+=--，当13x <<时，()0g x '<，()g x 递减，当01x <<时，()0g x '>，()g x 递增，所以()g x 在1x =处取得最大值a ，()04g a =-，()34g a =-， 分别作出13|log |y x =，和32694y x x x =-+-的图象，可得两图象只有一个交点()1,0，若32694y x x x =-+-的图象以及13|log |y x =的图象有2个交点，则0(3)41a g a >⎧⎨=-≤⎩，解得05a <≤，所以当05a <≤时，两图象有两个交点，即方程两解． 故答案为：(]0,5．【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.四、解答题15．已知函数1()xx f x ax e +=-． （1）若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x b =+，求实数a ，b 的值；（2）若函数()f x 在区间(0,2)上存在．．单调增区间，求实数a 的取值范围； （3）若()f x 在区间(0,2)上存在极大值，求实数a 的取值范围（直接写出结果）．【答案】（1）1,1a b ==-（2）1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭（3）212,⎛⎫-- ⎪⎝⎭e e 【分析】（1）求导1(1)()x x x x f x a a e e'-+=-=+，再根据曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x b =+求解； （2）根据函数()f x 在区间(0,2)上存在单调增区间，又()0x x f x a e='+>在(0,2)上有解求解；（3）212,⎛⎫-- ⎪⎝⎭e e （1） 解：因为1(1)()x x x xf x a a e e '-+=-=+， 所以(0)f a '=，因为曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x b =+，所以切线斜率为1，即1a =，(0)1f b =-=，所以1,1a b ==-．（2）因为函数()f x 在区间(0,2)上存在单调增区间， 所以()0xx f x a e ='+>在(0,2)上有解， 即只需()'f x 在(0,2)上的最大值大于0即可． 令1()(),()x xx x h x f x a h x e e -==+=''， 当(0,1)x ∈时，()0,()h x h x '>为增函数，当(1,2)x ∈时，()0,()h x h x '<为减函数，所以，当1x =时，()h x 取最大值1a e+， 故只需10a e+>，即1a e >-． 所以实数a 的取值范围是1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭． （3）212,⎛⎫-- ⎪⎝⎭e e 16．已知函数()2lnf x x ax =-在2x =处的切线与直线230x y +-=平行.（1）求a ；（2）设()()212g x f x x bx =+-，若函数()g x 存在单调递减区间，求b 的取值范围. 【答案】（1）3（2）(3)-++∞【分析】(1)结合已知条件，求出直线230x y +-=的斜率，然后利用导数的几何意义和两直线平行时斜率相等即可求解；(2)结合(1)中结论求出()g x 解析式，由已知条件可知'()0g x <在(0,)+∞上有解，然后结合均值不等式即可求解.（1） 由题意，'2()f x a x=-，直线230x y +-=的斜率为2-， 因为函数()f x 在2x =处的切线与直线230x y +-=平行，所以'(2)12f a =-=-，解得3a =.（2）由(1)中结论可知，()2ln 3f x x x =-，从而()21(3)2ln 2g x x b x x =-++， 故'2()(3)g x x b x=+-+， 因为函数()g x 存在单调递减区间， 所以'2()(3)0g x x b x =+-+<在(0,)+∞上有解，即23b x x+>+在(0,)+∞上有解，当0x >时，由均值不等式可知，2x x +≥当且仅当2xx=时，即x 2x x +取得最小值从而3b +>3b >-+故b 的取值范围为(3)-++∞.17．已知函数()()e 1x f x ax a R =--∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()()ln e 1ln x g x x =--，且[()]()f g x f x <在(0,)x ∈+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）当0a ≤时，()f x 在R 上单调递增；当0a >时，()f x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增.（2）(],1-∞.【分析】（1）利用导数，通过分0a ≤和0a >两种情况，即可求出函数的单调区间；（2）首先利用（1）的结论及导数证明0()g x x ；然后分0a ≤和0a >两种情况，将不等式大小之间的关系转化为自变量的比较，从而可得出答案.（1）因为()()e 1x f x ax a R =--∈，所以()x f x e a '=-，①若0a ≤，()0x f x e a '=->，所以()f x 在R 上单调递增；②若0a >，由()0f x '>，得ln x a >，所以函数()f x 在(ln ,)a +∞上单调递增，由()0f x '<，得ln x a <，所以函数()f x 在(,ln )a -∞上单调递减；综上所述，当0a ≤时，()f x 在R 上单调递增；当0a >时，()f x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增.（2）下面证明：0x ∀>，有0()g x x ，先证：0x ∀>，有()0>g x ，由（1）可知当1a =时，min ()(0)0f x f ==，即当0x >时，1x e x ->，故0x ∀>，()1()ln 1ln ln ln10x xe g x e x x ⎛⎫-=--=>= ⎪⎝⎭， 再证0x ∀>，()g x x <；要证0x ∀>，()g x x <，只需证明0x ∀>，1x x e e x-<， 即证0x ∀>，即证1x x e xe -<，即证0x ∀>，10x x xe e -+>.令()1(0)x x H x xe e x =-+>，因为()0x H x xe '=>在(0,)+∞上恒成立，所以函数()H x 在(0,)+∞上单调递增，故有()()00H x H >= ，即0x ∀>，10x x xe e -+>恒成立，即0x ∀>，有0()g x x ，①当1a ≤时，由（1）得，()f x 在(0,)+∞单调递增，则由上结论可知，[()]()f g x f x <在(0,)x ∈+∞上恒成立，符合题意；②当1a >时，由（1）得，()f x 在(0,ln )a 上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增，此时当0ln x a <<时，0()ln [()]()g x x a f g x f x <<<⇔>，不合题意.综上所述，实数a 的取值范围为(],1-∞.。
高中数学新教材变式题汇总1
一、集合与函数1．（人教版第14页B 组第1题） 已知集合{}1,2A =，集合B 满足{}1,2AB =，则集合B 有 个.变式1：已知集合{}1,2A =，集合B 满足A B A =，集合B 与集合A 之间满足的关系是解：B A ⊆变式2：已知集合A 有n 个元素，则集合A 的子集个数有 个，真子集个数有 个 解：子集个数有2n 个，真子集个数有21n -个 变式3：满足条件{}{}1,21,2,3A =的所有集合A 的个数是 个解：3必须在集合A 里面，A 的个数相当于2元素集合的子集个数，所以有4个. 设计意图：考察集合的运算与集合之间的关系 2．（人教版第14页A 组第10题）已知集合{}|37A x x =≤<，{}|210B x x =<<，求()R C AB ，()RC A B ，()R C A B ，()R A C B变式1：已知全集,U R =且{}{}2|12,|680,A x x B x x x =->=-+<则()U C A B 等于A.[1,4)- B (2,3) C (2,3] D (1,4)- 解：答案为C ，集合{}{}||1|2|31A x x x x x =->=><-或，所以{}|13U C A x x =-≤≤，集合{}{}2|680|24B x x x x x =-+<=<<， 所以()U C A B 为(2,3]变式2：设集合{}22,A x x x R =-≤∈，{}2|,12B y y x x ==--≤≤，则()R C A B 等于（ ）A ．RB ．{},0x x R x ∈≠ C ．{}0 D ．∅ 解：[0,4]A =，[4,0]B =-，所以(){0}R R C AB C =，故选B 。
变式3．已知集合{}|110,P x N x =∈≤≤集合{}2|60,Q x R x x =∈+-=则PQ 等于（A ）{}1,2,3 （B ）{}2,3 （C ）{}1,2 （D ）{}2 解：集合{}{}2|603,2Q x R x x =∈+-==-，所以答案为D.设计意图：结合不等式考察集合的运算3．（北师大版第21页B 组第2题）已知集合{}31,3,A a =-，{}1,2B a =+，是否存在实数a ，使得B A ⊆，若存在，求集合A 和B ，若不存在，请说明理由.变式1：已知集合A ＝{－1，3，2m －1}，集合B ＝{3，2m }．若B A ⊆，则实数m ＝ ． 解：由已知22212101m m m m m =-⇒-+=⇒=变式2：{}2|60A x x x =+-=，{}|10B x mx =+=，且A B A =，则m 的取值范围是______ .解：{}{}2|603,2A x R x x =∈+-==-，当B =Φ时，0m =，当0m ≠时，1x m =-，所以12m-=或13m -=-，所以12m =-或13m =-，所以110,,23m ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭变式3：设{}2|40A x x x =+=，{}22|2(1)10B x x a x a =+++-=且A B B =，求实数a 的值.解：{}4,0A =-，因为AB B =，所以B A ⊆，所以B =Φ或{}4B =-或{}0B =或{}4,0B =-，当B =Φ时，224(1)4(1)01a a a ∆=+--<⇒<-，当{}4B =-或{}0B =时， 01a ∆=⇒=-，{}0B =符合题意，当{}4,0B =-时，2402(1)401a a -+=-+⎧⎨-⨯=-⎩1a ⇒= 所以1a ≤-或1a =设计意图：结合参数讨论考察集合运算4．（北师大版第38页B 组第1题）设函数3()32f x x =-，1()23g x x =-，求函数()()f x g x 的定义域.变式1： 函数)13lg(13)(2++-=x xx x f 的定义域是A.),31(+∞- B. )1,31(- C. )31,31(- D. )31,(--∞解：由13101301<<-⇒⎩⎨⎧>+>-x x x ，故选B.变式2：设()x x x f -+=22lg，则⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为A. ()()4,00,4 -B. ()()4,11,4 --C. ()()2,11,2 --D. ()()4,22,4 --解：选 C.由202x x +>-得，()f x 的定义域为{}|22x x -<<。
高中数学新教材变式题10《导数》变式题(命题人广州大学附中 王映)
十、《导数》变式题（命题人：广大附中 王映）一 导数的概念与运算1。
如果质点A 按规律s =2t 3运动，则在t =3 s 时的瞬时速度为（ ） A. 6m/s B. 18m/s C. 54m/s D. 81m/s解析：∵s ′=6t 2，∴s ′|t =3=54. 答案：C变式：定义在D 上的函数)(x f ，如果满足：x D ∀∈，∃常数0M >，都有|()|f x ≤M 成立，则称)(x f 是D 上的有界函数，其中M 称为函数的上界.文（1）若已知质点的运动方程为at t t S ++=11)(，要使在[0,)t ∈+∞上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数，求实数a 的取值范围.理（2）若已知质点的运动方程为at t t S -+=12)(，要使在[0,)t ∈+∞上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数，求实数a 的取值范围. 解： （1） ∵a t t S ++-='2)1(1)(. 由|)(|t S '≤1，得|)1(1|2a t ++-≤1 ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≥++-≤++-1)1(11)1(122a t a t ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+≥++≤⇒1)1(11)1(122t a t a令1)1(1)(2++=t t g ，显然)(t g 在),0[+∞上单调递减，则当t →+∞时，)(t g →1. ∴1≤a 令1)1(1)(2-+=t t h ，显然)(t h 在),0[+∞上单调递减，则当0=t 时，0)0()(max ==h t h ∴0≥a∴0≤a ≤1； 故所求a 的取值范围为0≤a ≤1.（2）∵a t t S -+='121)(. 由|)(|t S '≤1，得|121|a t -+≤1∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≥-+≤-+11211121a t a t ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++≤-+≥⇒11211121t a t a令121)(+=t t g ，则3)12(1)(+-='t t g .当[0,)t ∈+∞时，有0)(<'t g ，∴121)(+=t t g 在[0，+∞)上单调递减.故当t =0 时，有1)0()(max ==g t g ； 又0121)(>+=t t g ，当t →+∞时，121)(+=t t g →0，∴ ]1,0()(∈t g ，从而有1121-+t ≤0，且11121>++t . ∴0≤a ≤1；故所求a 的取值范围为0≤a ≤1.2.已知xf x f xx f x ∆-∆+=→∆)2()2(lim ,1)(0则的值是（ ）A. 41- B. 2 C. 41 D. －2解：0000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-=∆由导数定义得22(2)(2)11lim'(2)4x x f x f f x x∆→=+∆-==-=-∆选A变式1：()()()为则设hf h f f h 233lim,430--='→（ ）A ．－１ Ｂ．－2 C ．－3 D ．1 解：()()()()003333lim lim '2h h f h f f h f f h h →-→-----11=-=-(3)=-222. 选B.变式2：()()()00003,lim x f x x f x x f x x x ∆→+∆--∆∆设在可导则等于 （ ）A ．()02x f 'B ．()0x f 'C ．()03x f 'D ．()04x f '()()()()()()()()00000000000003000000300003lim()()3lim ()()3=lim lim 3 3()3()=lim 3lim 3='()3'()4'()x x x x x x f x x f x x xf x x f x f x f x x xf x x f x f x f x x x xf x x f x f x x f x x x f x f x f x D∆→∆→∆→∆→∆→-∆→+∆--∆∆+∆-+--∆∆+∆---∆+⨯∆∆+∆--∆-+⨯∆-∆+=∴解：=选 3．人教版选修1－1第84页例2，选修2－2第8页例2：根据所给的函数图像比较012(),,h t t t t 曲线在附近得变化情况。
高中数学选择性必修二 4 1 2数列的递推公式(知识梳理+例题+变式+练习)(含答案)
4.1.2 数列的递推公式知识点一数列的递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．数列递推公式与通项公式的关系：递推公式表示a n 与它的前一项a n －1(或前n 项)之间的关系，而通项公式表示a n 与n 之间的关系． 要点二 a n 与S n 的关系1．前n 项和S n ：把数列{a n }从第1项起到第n 项止的各项之和，称为数列{a n }的前n 项和，记作S n ，即S n ＝12n a a a +++ 2．a n 与S n 的关系：a n ＝11,1,2n n S n S S n -=⎧⎨-≥⎩【基础自测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)根据通项公式可以求出数列的任意一项．( ) (2)有些数列可能不存在最大项．( ) (3)递推公式是表示数列的一种方法．( ) (4)所有的数列都有递推公式．( ) 【答案】（1）√（2）√（3）√（4）×2．数列{a n }中，a n ＋1＝a n ＋2－a n ，a 1＝2，a 2＝5，则a 5＝( ) A ．－3 B ．－11 C ．－5 D ．19 【答案】D【解析】a 3＝a 2＋a 1＝5＋2＝7，a 4＝a 3＋a 2＝7＋5＝12，a 5＝a 4＋a 3＝12＋7＝19，故选D. 3．数列{a n }中，a n ＝2n 2－3，则125是这个数列的第几项( ) A ．4 B ．8 C ．7 D ．12 【答案】B【解析】令2n 2－3＝125得n ＝8或n ＝－8(舍)，故125是第8项．故选B. 4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2，则a n ＝________. 【答案】2n －1【解析】当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝n 2－n 2＋2n －1＝2n －1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝1满足上式，所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.题型一 数列中项与项数关系的判断(1)写出数列的一个通项公式，并求出它的第20项；(2)判断42和10是不是该数列中的项？若是，指出是数列的第几项，若不是，请说明理由．【解析】(1)由于22＝8，所以该数列前4项中，根号下的数依次相差3，所以它的一个通项公式为a n ＝3n －1；a 20＝3×20－1＝59.(2)令3n －1＝42，两边平方得3n ＝33，解得n ＝11，是正整数令3n －1＝10，两边平方得n ＝1013，不是整数．∴42是数列的第11项，10不是数列中的项． 【方法归纳】(1)由通项公式写出数列的指定项，主要是对n 进行取值，然后代入通项公式，相当于函数中，已知函数解析式和自变量的值求函数值．(2)判断一个数是否为该数列中的项，其方法是可由通项公式等于这个数求方程的根，根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为数列中的项．(3)在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是N *(或它的有限子集{1,2,3，…，n })这一约束条件．【跟踪训练1】已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n . (1)写出此数列的第4项和第6项；(2)问－49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的一项呢？ 【解析】(1)a 4＝3×42－28×4＝－64， a 6＝3×62－28×6＝－60.(2)由3n 2－28n ＝－49解得n ＝7或n ＝73(舍去)，所以－49是该数列的第7项．由3n 2－28n ＝68解得n ＝－2或n ＝343，所以68不是该数列的一项．题型二 已知S n 求a n例2 设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝2n 2－30n .求a n . 【解析】当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－30n －[2(n －1)2－30(n －1)]＝4n －32 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－28，适合上式， 所以a n ＝4n －32.借助a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，(n ＝1)S n －S n －1(n ≥2)【变式探究1】将本例中的“S n ＝2n 2－30n ”换为“S n ＝2n 2－30n ＋1”，求a n . 【解析】当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×1－30×1＋1＝－27. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－30n ＋1－[2(n －1)2－30(n －1)＋1] ＝4n －32.验证当n ＝1时，上式不成立∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－27，n ＝14n －32，n ≥2.方法归纳已知数列{a n }的前n 项和公式S n ，求通项公式a n 的步骤： (1)当n ＝1时，a 1＝S 1.(2)当n ≥2时，根据S n 写出S n －1，化简a n ＝S n －S n －1.(3)如果a 1也满足当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1的通项公式，那么数列{a n }的通项公式为a n ＝S n －S n －1；如果a 1不满足当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1的通项公式，那么数列{a n }的通项公式要分段表示为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1S n －S n －1，n ≥2.【跟踪训练2】已知数列：a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，求a n .【解析】当n ≥2时，由a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，得a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13，两式相减得3n －1a n ＝n 3－n －13＝13，则a n ＝13n .当n ＝1时，a 1＝13，满足a n ＝13n ，所以a n ＝13n .题型三 由数列递推公式求通项公式【例3】已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则a n ＝________.【答案】n (n ＋1)2【解析】∵a n ＋1＝a n ＋n ＋1，a 1＝1，∴a n ＋1－a n ＝n ＋1， ∴a n －a n －1＝n ，a n －1－a n －2＝n －1，…，a 2－a 1＝2 以上式子相加得： a n －a 1＝2＋3＋…＋n∴a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.变形为：a n ＋1－a n ＝n ＋1，照此递推关系写出前n 项中任意相邻两项的关系，这些式子两边分别相加可求． 【变式探究2】若将“a n ＋1＝a n ＋n ＋1”改为“a n ＋1＝nn ＋1a n”，则a n ＝________.【答案】1n【解析】∵a n ＋1＝n n ＋1a n ，a 1＝1，∴a n ＋1a n ＝nn ＋1，∴a n a n －1＝n －1n ，a n －1a n －2＝n －2n －1，…，a 2a 1＝12，以上式子两边分别相乘得：a n a 1＝n －1n ×n －2n －1×…×12＝1n∴a n ＝1n a 1＝1n .【方法归纳】由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为a n ＋1＝a n ＋f (n )或a n ＋1＝g (n )·a n ，则可以分别通过累加法或累乘法求得通项公式，即：(1)累加法：当a n ＝a n －1＋f (n )时，常用a n ＝a n －a n －1＋a n －1－a n －2＋…＋a 2－a 1＋a 1求通项公式．(2)累乘法：当a n a n －1＝g (n )时，常用a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1求通项公式．【跟踪训练3】在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n ＝( ) A ．2＋ln n B ．2＋(n －1)ln n C ．2＋n ln n D ．1＋n ＋ln n 【答案】A【解析】∵在数列{a n }中，a n ＋1－a n ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ＝ln n ＋1n∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝ln n n －1＋ln n －1n －2＋…＋ln 21＋2＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫n n －1·n －1n －2·…·21＋2＝2＋ln n .故选A.【易错辨析】数列中忽视n 的限制条件致误【例4】设S n 为数列{a n }的前n 项和，log 2(S n ＋1)＝n ＋1，则a n ＝________.【答案】⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝12n ，n ≥2【解析】由log 2(S n ＋1)＝n ＋1得S n ＋1＝2n ＋1，∴S n ＝2n ＋1－1当n ≥2时a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－1－2n ＋1＝2n .当n ＝1时，a 1＝S 1＝3.经验证不符合上式．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝12n ，n ≥2.【易错警示】1. 出错原因忽视n ＝1的情况致错，得到错误答案：a n ＝2n . 2. 纠错心得已知a n 与S n 的关系求a n 时，常用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)来求a n ，但一定要注意n ＝1的情况.一、单选题1．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，2(1)nn S a n n =+-，（*n N ∈），若()22112n S S S n n+++--2013=，则n 的值为（ ）． A ．1007 B ．1006 C ．2012 D ．2014【答案】A 【分析】根据数列n a 与n S 的关系证得数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以2为公差的等差数列，利用等差数列的前n 项和公式求出题中的式子，化简计算即可. 【解析】2(1)nn S a n n=+-， 12(1)(2)nn n S S S n n n-∴-=+-， 整理可得，1(1)2(1)n n n S nS n n ---=-， 两边同时除以(1)n n -可得12(2)1n n S S n n n --=-，又111S = ∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以2为公差的等差数列，2321(1)23nS S S S n n∴++++-- 2(1)12(1)2n n n n -=⨯+⨯-- 22(1)n n =--21n =-，由题意可得，212013n -=， 解得1007n =． 故选：A ．2．南宋数学家杨辉在《解析九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（ ） A ．171 B ．190 C ．174 D ．193【答案】C 【分析】根据题意可得数列3，4，6，9，13，18，24，⋯，满足：11(2)n n a a n n --=-，13a =，从而利用累加法即可求出n a ，进一步即可得到19a 的值． 【解析】3,4,6,9,13,18,24,后项减前项可得1,2,3,4,5,6,所以()1112,3n n a a n n a --=-≥=， 所以()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+()()1213n n =-+-+++()()()111133,222n n n n n -+⋅--=+=+≥.所以19191831742a ⨯=+=. 故选：C3．在数列{}n a 中，11a =，121nn n a a +-=-，则9a =（ ）A ．512B ．511C ．502D ．503【答案】D 【分析】利用累加法先求出通项即可求得答案. 【解析】因为11a =，121nn n a a +-=-，所以()()()121321n n n a a a a a a a a -=+-+-++-=()()()21211(21)21211222(1)2n n n n n --+-+-++-=++++--=-，所以9929503a =-=.故选：D. 4．数列23，45，69，817，1033，…的一个通项公式为（ ）A ．221n n n a =+ B ．2221n n n a +=+ C ．1121n n n a ++=-D ．12222n n n a ++=+【答案】A 【分析】根据数列中项的规律可总结得到通项公式. 【解析】1221321⨯=+，2422521⨯=+，3623921⨯=+，48241721⨯=+，510253321⨯=+， ∴一个通项公式为：221n nna =+. 故选：A.5．下列命题不正确的是（ ）A 的一个通项公式是n aB ．已知数列{},3n n a a kn =-，且711a =，则1527a =C ．已知数列{}n a 的前n 项和为()*,25n n n S S n N =-∈，那么123是这个数列{}n a 的第7项D ．已知()*1n n a a n n N +=+∈，则数列{}n a 是递增数列【答案】C 【分析】A：根据被开方数的特征进行判断即可；B：运用代入法进行求解判断即可；C：根据前n项和与第n项之间的关系进行求解判断即可；D：根据递增数列的定义进行判断即可.【解析】对于A31⇒⨯na⇒=A正确；对于B，3na kn=-，且7151122327na k a n a=⇒=⇒=-⇒=，B正确；对于C，()*25nnS n N=-∈，13a=-，当2,n n N*≥∈时，111222n n nn n na S S---=-=-=，12127n-=，无正整数解，所以123不是这个数列{}n a的第7项，C错误；对于D．由()*11,0n n n na a n n N a a n++=+∈-=>，易知D正确，故选：C．6．已知数列{}n a的前n项和2nS n=，则数列11n na a+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前99项和为（）A．1168B．1134C．198199D．99199【答案】D【分析】先根据11,2,1n nnS S naS n--≥⎧=⎨=⎩，求出21na n=-，然后利用裂项相消求和法即可求解.【解析】解：因为数列{}n a的前n项和2nS n=，2121nS n n-=-+，两式作差得到21(2)na n n=-≥，又当1n=时，21111a S===，符合上式，所以21na n=-，111111(21)(21)22121n na a n n n n+⎛⎫==-⎪-+-+⎝⎭，所以12233411111n na a a a a a a a+++++=111111111111233557212122121n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以12233499100111199992991199a a a a a a a a ++++==⨯+. 故选：D.7．数列{}n a 中的前n 项和22nn S =+，数列{}2log n a 的前n 项和为n T ，则20T =（ ）.A ．190B ．192C ．180D ．182【答案】B 【分析】根据公式1n n n a S S -=-计算通项公式得到14,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩，故2,11,2n n b n n =⎧=⎨-≥⎩，求和得到答案.【解析】当1n =时，111224a S ==+=；当2n ≥时，()11112222222n n n n n n n n a S S ----=-=+-+=-=，经检验14a =不满足上式，所以14,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩， 2log n n b a =，则2,11,2n n b n n =⎧=⎨-≥⎩，()201911921922T ⨯+=+=. 故选：B.8．已知数列{}n a 满足11a =，()()()11*12n n n n a a a a n N n n ++-=∈++，则10a 的值为（ ）A ．1231B ．2231C ．1D ．2【答案】B 【分析】首先根据已知条件得到1111112n n a a n n +-=-++，再利用累加法求解即可. 【解析】 因为()()()*1112n n n n a a n n n N a a ++++=∈-，所以()()()*11112nn n n a a n N a a n n ++-=∈++， 所以()()111111212n n n n a a a a n n n n ++-==-++++，即1111112n n a a n n +-=-++，当2n ≥时，11221111111n n n n a a a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111123n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+- ⎪⎪+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭-⎝⎭， 1111121n a a n -=-+，解得()11131122122n n n a n n +=-+=≥++ 当1n =时，上式成立，故2231n n a n +=+，故102022230131a +==+. 故选：B二、多选题9．数列{a n }的前n 项和为S n ，()*111,2N n n a a S n +==∈，则有（ ）A ．S n ＝3n －1B ．{S n }为等比数列C ．a n ＝2·3n －1D ．21,123,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩【答案】ABD 【分析】根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得n a ，进而求得n S 以及判断出{}n S 是等比数列.【解析】依题意()*111,2N n n a a S n +==∈，当1n =时，2122a a ==， 当2n ≥时，12n n a S -=，11222n n n n n a a S S a +--=-=，所以13n n a a +=，所以()2223232n n n a a n --=⋅=⋅≥，所以21,123,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩. 当2n ≥时，1132n n n a S -+==；当1n =时，111S a ==符合上式，所以13n n S -=.13n nS S +=，所以数列{}n S 是首项为1，公比为3的等比数列. 所以ABD 选项正确，C 选项错误.故选：ABD10．已知数列{}n a 的前n 项和22n n nS +=，数列{}n b 满足1n n b a =，若n b ，2n b +，n k b +（k *∈N ，2k >）成等差数列，则k 的值不可能是（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10【答案】AD 【分析】利用n a 与n S 的关系，求得n a ，进而求得n b ，然后根据n b ，2n b +，n k b +（k *∈N ，2k >）成等差数列，得到n 与k 的关系，进而求得答案.【解析】当1n =时，11212a S ===，当2n ≥时，()()2211122n n n n n n n a S S n --+++=-=-=，故n a n =（N n *∈），11n n b a n ==（N n *∈）．因为n b ，2n b +，n k b +（N k *∈，2k >）成等差数列，所以22n n n k b b b ++=+，即2112n n n k=+++，所以48422n k n n ==+--，（2k >，N k *∈），从而2n -的取值为1，2，4，8，则对应的k 的值为12，8，6，5，所以k 的值不可能是4，10， 故选:AD ．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题11．数列{}n a 的前n 项的和231n S n n =++，n a =________．【分析】利用2n 时，1n n n a S S -=-求n a ，同时注意11a S =． 【解析】解析：由题可知，当2n 时，1n n n a S S -=-22313(1)(1)1n n n n ⎡⎤=++--+-+⎣⎦62n =-，当1n =时，113115a S ==++=，故答案为：5,162,2n n n =⎧⎨-⎩．12．设数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n －3，则a n ＝________.【答案】【解析】解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n －3)－[2(n －1)－3]＝2，又a 1＝S 1＝2×1－3＝－1，故a n ＝13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若n n a b S +=，2414a a =，则数列{}n a 的通项公式为___________. 【答案】212n -⎛⎫ ⎪⎝⎭或212n -⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】 由n n a b S +=可得数列{}n a 是公比为12的等比数列，然后根据2414a a =求出21a =即可. 【解析】因为n n a b S +=，所以当1n =时，1112b a S a +==，即12b a = 当2n ≥时，11n n b a S --+=，然后可得10n n n a a a --+=，即()1122n n a a n -=≥ 所以数列{}n a 是公比为12的等比数列 所以21124b a a ==，4111816a a b ==， 因为22411644a ab ==，所以4b =±， 当4b =时， 21a =，2221122n n n a a --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当4b =-时， 21a =-，2221122n n n a a --⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：212n -⎛⎫ ⎪⎝⎭或212n -⎛⎫- ⎪⎝⎭四、解答题 14．已知数列{}n a 的前n 项和()2*2n S n kn k N =-+∈，且n S 的最大值为4．（1）求常数k 及n a ；（2）设()17n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（1）2k =，25n a n =-+ （2）2(1)n n T n =+ 【分析】（1）由于()222*2()n S n kn n k k k N =-+=--+∈，则可得24k =，从而可求出2k =，然后利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出n a ， （2）由（1）可得11121n b n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，然后利用裂项相消求和法求解即可 （1）因为()222*2()n S n kn n k k k N =-+=--+∈，所以当n k =时，n S 取得最大值2k ， 所以24k =，因为*k N ∈，所以2k =，所以24n S n n =-+，当1n =时，11143a S ==-+=，当2n ≥时，2214[(1)4(1)]25n n n a S S n n n n n -=-=-+---+-=-+，13a =满足上式，所以25n a n =-+（2）由（1）可得()()11111177252(1)21n n b n a n n n n n n ⎛⎫====- ⎪-+-++⎝⎭， 所以1111111112222321n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+⨯- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111212(1)n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭ 15．已知数列{}n a 满足()23*1232222n n a a a a n n N ++++=∈，求数列{}n a 的通项公式．【答案】12n na =【分析】 先根据前n 项和与通项的关系得12n n a =，再检验1n =时也满足条件即可求得答案. 【解析】因为23*1232222()n n a a a a n n N ++++=∈①， 所以()2311231222212n n a a a x a n n --++++=-≥②， ①-②得21(2)n n a n =≥，即 12n n a =, 当1n =时，112a =，满足12n n a =， 所以12n na = 16．已知数列{}n a 的前n 项和112n n S ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求数列{}n a 的通项公式． 【答案】312122n n n a n ⎧=⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩ 【分析】根据n S 与n a 的关系式，求解数列的通项公式即可.需要注意验证首项.【解析】()111111222n n n n S S n --⎛⎫⎛⎫=+∴=+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①②-①②得()122n n a n ⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭ 根据题意，1111311222a S ⎛⎫==+=≠- ⎪⎝⎭ 所以数列的通项公式为312122n n n a n ⎧=⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩。
高中数学新教材变式题4：《三角》
四、三角（命题人：广州市第87中学 赖青松）1．（北师大版第59页A 组第2题）正弦定理与余弦定理在∆ABC 中，若 ()()3a b c c b a bc +++-=，则()A =．A ． 150B ．120C ． 60D ． 30变式1：在∆ABC 中，若 a =4c =，60A = ，则b =__________．答案：1或3变式2：在∆ABC 中，若 b =，30A = ，105C =，则此三角形的周长为__________．答案：22变式3：已知a 、b 、c 是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边，S 是△ABC 的面积．若a =4，b =5，S =53，求c 的长度． 解：∵S ＝21ab sin C ，∴sin C ＝23，于是∠C ＝60°或∠C ＝120°又∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，当∠C ＝60°时，c 2＝a 2＋b 2－ab ，c ＝21当∠C ＝120°时，c 2＝a 2＋b 2＋ab ，c ＝61∴c 的长度为21或612．（北师大版第63页A 组第6题）三角形中的几何计算在∆ABC 中，3A B A C ==，2B C =，B ∠的平分线交过点A 且与B C 平行的线于点D ．求∆ABD 的面积．变式1：已知A B C △1+，且sin sin A B C +=．（I ）求边A B 的长； （II ）若A B C △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数．解：（I ）由题意及正弦定理，得1AB BC AC ++=，BC AC +=，两式相减，得1AB =．（II ）由A B C △的面积11sin sin 26B C A C C C =，得13B C A C =，由余弦定理，得222cos 2AC BC ABC AC BC+-=22()2122AC BC AC BC ABAC BC+--==，所以60C = ． 变式2：△ABC 中，,3,3A B C π==则△ABC 的周长为（ ）． A．)33B π++ B．)36B π++C ．6sin()33B π++ D ．6sin()36B π++解：在ABC ∆中，由正弦定理得：,233sin =BAC 化简得：AC=,sin 32Bsin[()]32A BB ππ=-+，化简得：AB=)32sin(32B -π，所以三角形△ABC 的周长为：3+AC+AB=3+B sin 32+)32sin(32B -π=3+3cos 6sin()36B B B π+=++故选D变式3：在45,cos 5ABC B AC C ∆∠=︒==中，，求（1）?B C =（2）若点D A B 是的中点，求中线CD 的长度。