高中数学新教材变式题：《圆锥曲线与方程》(命题人：广州市教育局教研室曾辛金)

九、《圆锥曲线与方程》变式题（命题人：广州市教育局教研室 曾辛金）

1．（人教A 版选修1－1，2－1第39页例2）

如图，在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 作X 轴的垂线段PD ，D 为垂足．当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？

变式1：设点P 是圆224x y +=上的任一点，定点D 的坐标为（8，0）．当点P 在圆上运动时，求线段PD 的中点M 的轨迹方程．

解：设点M 的坐标为(),x y ，点P 的坐标为()00,x y ，则082x x +=

，02

y

y =．即028x x =-，02y y =． 因为点P ()00,x y 在圆224x y +=上，所以

22004x y +=．

即()()2

2

2824x y -+=，

即()22

41x y -+=，这就是动点M 的轨迹方程．

变式2：设点P 是圆22

4x y +=上的任一点，定点D 的坐标为（8，0），若点M 满足

2PM MD =

．当点P 在圆上运动时，求点M 的轨迹方程．

解：设点M 的坐标为(),x y ，点P 的坐标为()00,x y ，由2PM MD =

，得

()()00,28,x x y y x y --=--，

即0316x x =-，03y y =．

因为点P ()00,x y 在圆224x y +=上，所以

22004x y +=．

即()()2

2

31634x y -+=，

即2

216439x y ⎛⎫

-+= ⎪⎝

⎭，这就是动点M 的轨迹方程．

变式3：设点P 是曲线(),0f x y =上的任一点，定点D 的坐标为(),a b ，若点M 满足

(,1)PM MD λλλ=∈≠-R

．当点P 在曲线(),0f x y =上运动时，求点M 的轨迹方程．

解：设点M 的坐标为(),x y ，点P 的坐标为()00,x y ，由PM MD λ=

，得

()()00,,x x y y a x b y λ--=--，

即()01x x a λλ=+-，()01y y b λλ=+-． 因为点P ()00,x y 在圆(),0f x y =上，所以

()00,0f x y =．

即()()()1,10f

x a y b λλλλ+-+-=，这就是动点M 的轨迹方程．

2．（人教A 版选修1－1，2－1第40页练习第3题）

已知经过椭圆

22

12516

x y +=的右焦点2F 作垂直于x 轴的直线A B ，交椭圆于A ，B 两点，1F 是椭圆的左焦点．

（1）求1AF B ∆的周长；

（2）如果AB 不垂直于x 轴，1AF B ∆的周长有变化吗？为什么？

变式1（2005年全国卷Ⅲ）：设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是

A ．

2 B ．12

C ．2

D 1 解一：设椭圆方程为22221x y a b +=，依题意，显然有212PF F F =，则

2

2b c a =，即22

2a c c a

-=，即2210e e +-=，解得1e =．选D ． 解二：∵△F 1PF 2为等腰直角三角形，∴c PF c F F PF 22,21212===. ∵a PF PF 221=+，∴a c c 222=+，∴121

21-=+=a

c

．故选D ．

变式2：已知双曲线22

221,(0,0)x y a b a b

-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线的

右支上，且12||4||PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为 ．

解一：由定义知12||||2PF PF a -=，又已知12

||4||PF PF =，解得183PF a =，223

PF a =，在12PF F ∆中，由余弦定理，得22

2

221898173

2382494964cos e a a c a a PF F -=⋅⋅-+=∠，要求e 的最大值，

即求21cos PF F ∠的最小值，当1cos 21-=∠PF F 时，解得53e =．即e 的最大值为5

3

．

解二：设),(y x P ，由焦半径公式得a ex PF a ex PF -=+=21,，∵214PF PF =，∴)(4)(a ex a ex -=+，∴x a e 35=

，∵a x ≥，∴35≤e ，∴e 的最大值为5

3

． 变式3（2005年全国卷Ⅰ）：已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭

圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OA OB + 与(3,1)a =-

共线．

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）设M 为椭圆上任意一点，且 (,)OM OA OB λμλμ=+∈R

，证明22μλ+为定值．

解：（Ⅰ）设椭圆方程为

)0,(),0(122

22c F b a b

y a x >>=+， 则直线AB 的方程为c x y -=，代入122

22=+b

y a x ，化简得

02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a .

设A （11,y x ），B 22,(y x ），则2222212122222

2,.a c a c a b x x x x a b a b -+==++ 由1212(,),(3,1),OA OB x x y y a OA OB +=++=-+ 与a

共线，得 ,0)()(32121=+++x x y y 又c x y c x y -=-=2211,，

.2

3

,

0)()2(3212121c x x x x c x x =

+∴=++-+∴ 即2322

22c b

a c a =+，所以3

6.32222a b a c b a =

-=∴=， 故离心率.3

6==

a c e （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知2

2

3b a =，所以椭圆12222=+b y a x 可化为.332

22b y x =+

设(,)OM x y =

，由已知得),,(),(),(2211y x y x y x μλ+=

⎩⎨

⎧+=+=∴.,2121y y y x x x μλμλ ),(y x M 在椭圆上，.3)(3)(2

221221b y y x x =+++∴μλμλ 即.3)3(2)3()3(2

21212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ①

由（Ⅰ）知.2

1,23,232

22221c b c a c x x ===+